Неустойчивости и волны во вращающейся плазме и турбулентная генерация регулярных структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт»

На правах рукописи

ЛАХИН Владимир Павлович

НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ И ТУРБУЛЕНТНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук б'ЯНВ

Москва — 2013 005544289

005544289

Работа выполнена в Институте физики токамаков, Национального исследовательского центра "Курчатовский институт"

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор, Ильгисоннс Виктор Игоревич

Официальные оппоненты:

Ерохин Николай Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом Института космических исследований РАН

Похотелов Олег Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Института физики физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН

Зайцев Федор Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, профессор кафедры автоматизации Ведущая организация: научных исследований факультета ВМК

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт общей физики им. A.M. Прохорова Российской академии наук

Защита состоится " Я5" " pc^^s. 2014 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д.520.009.02 на базе НИЦ "Курчатовский институт" по адресу: пл. Академика Курчатова 1, г. Москва.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ " Курчатовский институт"

Автореферат разослан "_"_ 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

А.В. Демура

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию ряда теоретических проблем, представляющих интерес для физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза, астрофизики, физики ионосферы. К числу таких проблем, вызывающих повышенное внимание в современной мировой литературе, относится проблема спонтанного возникновения локального вращения плазмы в системах магнитного удержания плазмы (токамаках, стеллараторах) в омическом и L-режимах. Это явление весьма многоплановое и не имеет общепринятого исчерпывающего описания. С одной стороны, плазма часто демонстрирует присутствие низкочастотных зональных течений и геодезических акустических мод (ГАМ), которое в соответствии с многочисленными экспериментальными результатами строго коррелирует с уровнем мелкомасштабной турбулентности плазмы. Возникновение зональных течений и ГАМ часто связывают с нелинейными механизмами, обусловленными их взаимодействием с мелкомасштабной дрейфовой турбулентностью плазмы. С другой стороны, скорости глобального вращения плазмы в современных термоядерных установках могут достигать довольно высоких значений. В диссертации рассматривается влияние глобального равновесного вращения плазмы на различные моды возмущений плазмы (в первую очередь - на ГАМ и зональные течения) и их линейную устойчивость. Также находит свое развитие теория турбулентной генерации зональных течений с учетом электромагнитных эффектов, которые являются существенными в условиях, характерных для современных систем магнитного удержания плазмы. Эта проблема актуальна и для плазмы ионосферы Земли на высоких широтах, в которой спутниковые измерения указывают на существование зональных течений. Большой интерес в астрофизическом сообществе вызывает явление магнитовращательной неустойчивости (MBH), особенно в связи с проблемой аномально быстрого переноса момента импульса вещества в аккреционных дисках. Эта неустойчивость возникает в дифференциально-вращающейся плазме в слабом магнитном поле. Для изучения свойств этой предсказанной в теории неустойчивости предпринимаются усилия по ее экспериментальному наблюдению в лабораториях с использованием вращающихся во внешнем магнитном поле жидких металлов и низкотемпературной плазмы. Поскольку для таких сред диссипативные эффекты существенны, весьма важной и актуальной задачей является развитие теории MBH и тесно к ней

примыкающих конвективных неустойчивостей именно в диссипативной плазме и, в более общем контексте, в проводящих диссипативных средах.

Цель и задачи диссертационной работы.

Целью настоящей диссертационной работы является теоретическое выявление влияния равновесного вращения проводящих сред (плазмы, жидких металлов, жидкостей) во внешних магнитных полях на некоторые типы магнитогидродинамических волн и неустойчивостей и условий спонтанной генерации регулярных структур в плазме мелкомасштабной турбулентностью. Целью и актуальностью темы обусловлены следующие задачи диссертационой работы:

1. Исследование влияния равновесного тороидального и полоидального вращения плазмы на низкочастотные электростатические и электромагнитные МГД моды и их линейную устойчивость в осесимметричных токамаках.

2. Изучение спонтанной генерации зональных течений плазмы в токамаках и в земной ионосфере мелкомасштабной дрейфовой и дрейфово-альфвеновской турбулентностью.

3. Развитие теории линейной устойчивости дифференциально-вращающихся проводящих сред (жидких металлов и плазмы) во внешних аксиальных и азимутальных магнитных полях с учетом как диссипативных эффектов (магнитной диффузии и вязкости), так и сжимаемости среды (эффекта стратификации) применительно к существующим и планируемым лабораторным экспериментам по моделированию магнитовращательной неустойчивости.

4. Анализ механизмов спонтанного усиления крупномасштабных магнитных полей в космической и ионосферной плазме мелкомасштабными электронными движениями и их связи с топологическими свойствами этих движений.

Научная новизна работы.

В работах, положенных в основу диссертации, автором получены следующие новые научные результаты:

1. Аналитически показано существование низкочастотной линейно-неустойчивой электростатической осесимметричной моды в токамаке для равновесия плазмы с чисто тороидальным вращением и изохорическими магнитными поверхностями. Найдено, что неустойчивость обусловлена полоидальной стратификацией плазмы на магнитных поверхностях в поле центробежной силы. В приближении токамака с большим аспектным отношением и круглыми концентрическими магнитными поверхностями вычислен инкремент неустойчивости.

2. Для осесимметричных равновесий токамака с общим вращением плазмы - суперпозицией тороидального и полоидального вращения - в приближении круглых концентрических магнитных поверхностей получено дисперсионное уравнение, описывающее низкочастотный непрерывный МГД спектр. Выведено условие существования апериодически-неустойчивой ветви электростатических осесимметричных МГД мод в токамаке с доминирующим полоидальным вращением плазмы. Показано, что при выполнении этого условия неустойчивыми являются и асимметричные электромагнитные моды, локализованные на рациональных магнитных поверхностях. При локализации асимметричных мод вне рациональных магнитных поверхностей они становятся устойчивыми, благодаря зацеплению медленной звуковой и альфвеновской мод.

3. В квазилинейном приближении выведена система связанных уравнений, описывающих взаимодействие крупномасштабных зональных течений и зональных магнитных полей с мелкомасштабной дрейфово-альфвеновской турбулентностью в плазме конечного давления me/m¿ < ¡3 -С 1. Получены критерии генерации зональных течений в токамаках мелкомасштабной дрейфово-альфвеновской турбулентностью в различных режимах. Показано, что турбулентность приводит к генерации зональных течений с длиной волны, превышающей ларморовский радиус ионов.

4. Методами двухмасштабного приближения прямого взаимодействия в приближении кинематического динамо исследовано взаимодействие сильной дрейфовой турбулентности плазмы с крупномасштабными вихревыми структурами. Показана возможность спонтанной генерации крупномасштабных вихрей турбулентностью. Механизмом неустойчивости является отрицательная турбулентная вязкость.

Найдено, что в режиме сильной турбулентности существование этого механизма определяется видом ее спектра.

5. Показано, что низкопороговая неустойчивость азимутального течения сильнорезистивной проводящей среды в спиральном магнитном поле имеет диссипативную природу, а неустойчивой является мода инерционных колебаний. Получен критерий, определяющий класс неустойчивых профилей угловой скорости вращения среды, и вычислен порог неустойчивости.

6. Получены необходимые и достаточные условия линейной устойчивости осесимметричных возмущений азимутального течения низкотемпературной плазмы в аксиальном внешнем магнитном поле при совместном учете эффектов диссипации плазмы (вязкости и резистивности) и ее радиальной тепловой стратификации. Показано, что в комбинации с магнитной диффузией и вязкостью тепловая стратификация оказывает существенное влияние на устойчивость плазмы. Найдено, что при неблагоприятной стратификации плазмы имеет место диссипативная неустойчивость плазмы, обусловленная ее магнитной диффузией.

7. В приближении кинематического динамо показана возможность спонтанного усиления крупномасштабного магнитного поля электронной 2^-мерной турбулентностью. Детально проанализирована роль двух физических эффектов: эффекта ненулевой микроспиральности и эффекта отрицательной диссипации, связанного с анизотропией турбулентности. Найдено, что электронная инерция приводит к анизотропизации коэффициентов турбулентной вязкости и эффекта микроспиральности. Показано, что турбулентность, микроспиральность которой содержится на масштабах, меньших толщины бесстолкновительного скин-слоя, не приводит к усилению крупномасштабного поля.

8. Показано, что стационарные периодические ЭМГД течения в слабостолкновительной плазме подвержены развитию вторичных неустойчивостей с генерацией крупномасштабных диссипативных структур. В зависимости от топологии течений механизмами неустойчивостей служат эффекты отрицательной магнитной диффузии и микроспиральности. Получены соответствующие критерии устойчивости периодических электронных течений.

Автор выносит на защиту следующие положения:

1. Вывод о линейной неустойчивости низкочастотной электростатической осесимметричной МГД моды в токамаке с тороидальным вращением плазмы и изохорическими магнитными поверхностями.

2. Условие существования неустойчивой ветви низкочастотных МГД мод в токамаке с полоидальным вращением плазмы и вывод о возможности ее стабилизации в случае асимметричных мод.

3. Условия генерации разномасштабных зональных течений плазмы в токамаках и в ионосфере дрейфово-альфвеновской турбулентностью.

4. Выводы о возможности генерации крупномасштабных вихрей в токамаке в режиме сильной дрейфовой турбулентности за счет механизма отрицательной турбулентной вязкости и о существенной зависимости этого эффекта от спектра турбулентности.

5. Вывод о диссипативной природе экспериментально наблюдаемой неустойчивости вращения сильнорезистивной проводящей среды в спиральном магнитном поле и критерий этой неустойчивости.

6. Аналитическое выражение для критического числа Рейнольдса, определяющего порог неустойчивости диссипативной проводящей среды, вращающейся в аксиальном магнитном поле.

7. Критерии устойчивости вращения диссипативной плазмы в аксиальном магнитном поле с учетом ее радиальной тепловой стратификации.

8. Критерии спонтанного усиления крупномасштабного магнитного поля в плазме за счет эффектов спиральности и анизотропии электронной турбулентности.

9. Условия генерации крупномасштабных диссипативных структур в плазме вторичной неустойчивостью ЭМГД течений с различными топологическими свойствами.

Научная и практическая ценность.

Полученные в диссертационной'работе результаты по влиянию вращения плазмы на низкочастотные моды в токамаке и по турбулентной генерации зональных течений актуальны в связи с таким явлениями, наблюдаемыми в современных установках по магнитному удержанию плазмы, как возникновение в омических и L-режимах локального спонтанного вращения плазмы, которое ассоциируется с геодезическими акустическими модами и зональными течениями, и коррелирующее с ним уменьшение уровня мелкомасштабной турбулентности плазмы и турбулентного переноса. Выведенные в диссертационной работе общие уравнения, описывающие низкочастотные моды непрерывного МГД спектра во вращающейся плазмы и исследованные аналитически в приближениии токамака с круглыми магнитными поверхностями и низким давлением плазмы, являются основой для дальнейшего численного анализа применительно к условиям, соответствующим реальным установкам. Результаты по спонтанной генерации зональных течений дрейфово-альфвеновской турбулентностью также представляют интерес для геофизических приложений в связи с наблюдаемыми зональными течениями в ионосфере Земли. Результаты по магнитовращательной неустойчивости и тесно с ней связанным конвективным неустойчивостям в цилиндрически вращающихся проводящих средах и в плазме представляют интерес для интерпретации экспериментальных результатов на лабораторных установках по изучению MBH. В частности, они качественно объясняют неустойчивые моды с конечной частотой, растущей с увеличением скорости вращения, которые наблюдаются в эксперименте PROMISE (Россендорф, Германия) по изучению неустойчивости течения Куэтта между вращающимися цилиндрами в спиральном магнитном поле. Результаты, полученные при рассмотрении MBH в жидких металлах, легли в основу практических рекомендаций относительно параметров лабораторной установки по экспериментальному исследованию MBH при вращении жидкого натрия радиальным током в аксиальном магнитном поле (ФЭИ, Обнинск, Россия). Результаты по устойчивости вращения столкновительной плазмы в аксиальном магнитном поле могут быть интересны и важны для планируемых экспериментов по вращению низкотемпературной плазмы в цилиндре в аксиальном магнитном поле, а также для экспериментов по центробежному удержанию плазмы МСХ (Мэрилэнд, США). Полученные в диссертации результаты по генерации регулярных структур электронной турбулентностью и

по неустойчивостям электронных течений могут найти применение при изучении процессов в хвостах магнитосферы Земли и ионосферной плазме и в связи с экспериментами по их лабораторному моделированию (UCLA, США), в солнечном ветре и в солнечной короне.

Публикации, апробация работы.

Полученные автором оригинальные научные результаты докладывались и обсуждались на семинарах в НИЦ "Курчатовский институт" (Москва), в Институте физики плазмы (Райнхаузен, Нидерланды), в Астрофизическом институте (Потсдам, Германия), в Центре атомной энергии Кадараш (Кадараш, Франция), а также на специализированных российских и международных конференциях, таких как Конференция МАГАТЭ по термоядерной энергии (2002, 2010), Конференция Европейского физического общества по управляемому синтезу и физике плазмы (1999, 2007, 2011), XXV Генеральная ассамблея Европейского геофизического общества (Ницца, Франция, 2000), Варенно-Лозаннское международное совещание по теории термоядерного синтеза (Варенна, Италия, 2012), Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2007, 2011, 2012, 2013), Международный семинар по магниторотационной неустойчивости в астрофизике и физике Земли (2005, 2006), Международный семинар "МГД: лабораторные эксперименты для геофизики и астрофизики" (Катания, Италия, 2007), Ежегодная конференция Американского физического общества по Отделению физики плазмы (Чикаго, США, 2010), Международный симпозиум "Плазма в лаборатории и во Вселенной: взаимодействия, модели и турбулентность" (Комо, Италия, 2009), Международное рабочее совещание по нелинейным структурам в замагниченной плазме (Таруса, Россия, 2000). Результаты работы опубликованы в ведущих специализированных отечественных и зарубежных журналах, в трудах международных конференций.

Личный вклад автора.

Все результаты, изложенные в диссертации, были получены при самом активном и непосредственном участии автора на всех этапах работы (постановка задачи, разработка методов ее решения, получение решения, написание и публикация статьи) с внесением им решающего вклада. По теме диссертации автором опубликована 21 работа (не считая тезисов докладов), в том числе, 4 работы без соавторов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения. Каждая глава начинается с разъяснения предмета исследования, обсуждения новизны результатов, полученных диссертантом, и их места в ряду результатов, полученных другими авторами, и заканчивается краткими выводами, в которых суммируются полученные в ней оригинальные результаты. Материал диссертации изложен на 257 страницах, включая 31 рисунок и список литературы из 235 наименований.

Краткое содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цели и задачи работы, а также дается краткое изложение содержания диссертации по главам и перечислены положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается вопрос о влиянии равновесного вращения плазмы на низкочастотные МГД моды непрерывного спектра в осесимметричных системах магнитного удержания плазмы. При этом основное внимание уделяется геодезическим акустическим модам и зональным течениям. Анализ проблемы производится в рамках уравнений идеальной МГД с уравнением состояния в виде адиабаты. Предполагается, что МГД уравнениями описываются как равновесие плазмы, так и ее возмущения. Поскольку рассмотрение возмущений и их устойчивости имеет смысл лишь при существовании сответствующего равновесия плазмы, то в разделе 1.1 обсуждаются осесимметричные равновесия плазмы при наличии вращения. Как хорошо известно, в наиболее общем случае допускается существование осесимметричного равновесия с течением плазмы, являющимся суперпозицией ее чисто тороидального вращения и течения вдоль силовых линий магнитного поля (см., например, [1,2]).

Для чисто тороидального вращения плазмы обсуждается вопрос о вырождении равновесия. Оно обусловлено тем, что течение плазмы происходит вдоль оси симметрии. Как следствие, зависимости массовой плотности и давления плазмы от полоидального угла не определяются уравнениями равновесия. Для случая постоянной массовой плотности плазмы на магнитных поверхностях (изохорических магнитных поверхностей) производится упрощение равновесия на случай токамака с большим аспектным отношением и относительно

медленным тороидальным вращением и вычисляется неоднородная по полоидальному углу часть равновесного давления плазмы, обусловленная центробежными силами (подраздел 1.1.1).

В подразделе 1.1.2 рассматривается вопрос о существовании равновесия с вложенными магнитными поверхностями при наличии ненулевого полоидального вращения плазмы. Эта задача становится нетривиальной при угловых скоростях полоидального вращения плазмы сравнимых с величиной с3/дИо и выше [3,4] (с5 - скорость звука; До, Я ~ большой радиус и коэффициент запаса устойчивости токамака). Проблема заключается в том, что при изменении величины альфвеновского числа Маха М2 = рУр/Вр (ур,Вр - полоидальные скорость и магнитное поле, р - массовая плотность плазмы) уравнение, являющееся аналогом уравнения Грэда-Шафранова, меняет свой тип с эллиптического на гиперболический и наоборот. При этом само условие эллиптичности зависит от величины функции полоидального магнитного потока^, т.е. от самого решения этого уравнения. Поскольку в диссертации не ставится задачи исследовать эту важную и интересную проблему, то ограничиваемся нахождением области параметров плазмы, в которой гарантированно существует равновесие плазмы с вложенными магнитными поверхностями. Рассматриваются токамаки с большим аспектным отношением, малым давлением плазмы и относительно небольшими угловыми скоростями полоидального и тороидального вращения (Пр,Пт) ~ с.ч//г'о. При таких предположениях аналитически вычисляются неоднородные на магнитных поверхностях части давления и массовой плотности плазмы, обусловленные центробежными силами, и определяется диапазон параметров плазмы, в котором гарантированно существует равновесие с вложенными магнитными поверхностями.

Во втором разделе первой главы диссертации исследуется влияние чисто тороидального вращения плазмы в токамаке на осесимметричные электростатические моды в случае равновесия с изохорическими магнитными поверхностями. Такие возмущения характеризуются тороидально- и полоидально-симметричным потенциальным электрическим полем, зависящим лишь от координаты вдоль нормали к магнитной поверхности. Для упрощенного равновесия токамака в приближении большого аспектного отношения и круглых концентрических магнитных поверхностей аналитически получено дисперсионное уравнение возмущений. Показывается, что наряду с ГАМ, модифицированной вращением плазмы, существует апериодически неустойчивая конвективная мода, обусловленная тороидальным вращением плазмы. При медленном вращении плазмы

7

0,20

0,16 -0,12 -0,08 0,04

9 = 3

—I-,-,-,-,-,-1-.-1—

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

м

ш

2,6

2,4 - 2,2 - 2,0 - 1,8 1,6 1,4

Рис. 1: Нормированная частота ГАМ ш = и>/и>3 (сплошная линия) и нормированный инкремент ЗТ 7 = 7/ал, (пунктирная линия) как функции звукового числа Маха М при <7 = 3

М = ПДо/са « 1 (Й - угловая скорость тороидального вращения) инкремент неустойчивой моды определяется соотношением

ш? М4

ш = — -

ш3 — сц/в.о.

2д2 2 + 1/д2'

Источником неустойчивости является полоидальная стратификация плазмы на магнитных поверхностях в поле центробежной силы. При больших угловых скоростях вращения имеет место зацепление этой неустойчивой моды с ГАМ. Зависимости частоты модифицированной ГАМ и инкремента неустойчивой конвективной моды от звукового числа Маха представлены на рисунке 1.

В третьем разделе первой главы аналитическая теория осесимметричных электростатических МГД возмущений непрерывного спектра обобщается на случай плазменных равновесий с течениями общего вида, являющимися суперпозицией тороидальных течений и течений вдоль магнитного поля. В подразделе 1.3.1 выводится общая система линеаризованных уравнений для описания таких возмущений плазмы. При ее получении предполагаются лишь существование равновесия с вложенными магнитными поверхностями, а также электростатичность и тороидальная симметрия возмущений. В подразделе 1.3.2 полученные уравнения упрощаются на случай

простейшего равновесия токамака с большим аспектным отношением и круглыми концентрическими магнитными поверхностями. Производится вычисление возмущений продольной скорости и массовой плотности плазмы. Дисперсионное уравнение, определяющее непрерывный спектр осесимметричных электростатических возмущений, выводится в подразделе 1.3.3. Обсуждается вырождение дисперсионного уравнения в случае чисто тороидального вращения. В случае равновесия с ненулевым полоидальным вращением плазмы представлены результаты аналитических (в случае очень медленного вращения) и численных (в случае более быстрого вращения) расчетов непрерывного МГД спектра в зависимости от угловых скоростей полоидального и тороидального вращения плазмы. Выводится достаточное условие неустойчивости одной из ветвей непрерывного спектра. Проводится детальный анализ дисперсионного уравнения в предельном случае преимущественно полоидального равновесного вращения плазмы и аналитически выводится необходимое и достаточное условие существования неустойчивой ветви спектра

,,242 2д2(1 + ЗМр) п

(1 - м2Ру + Ч\_ШР'<°>

1р

где Мр = (¡П()0.р/ся. Из этого условия следует, что неустойчивость одной из ветвей спектра имеет место при достаточно больших полоидальных угловых скоростях плазмы 0.р > в некотором диапазоне значений

параметра Мр: 2 < Мр < где Мр = цЯц&,р/с3, а величина М0 зависит от величины q.

В четвертом разделе первой главы теория низкочастотных мод непрерывного МГД спектра в осесимметричных токамаках обобщается на случай асимметричных электромагнитных мод с (т,п) Ф 0, где тип полоидальное и тороидальное волновые числа. Возмущения описываются лагранжевым смещением элемента плазмы вводимым стандартным образом. В подразделе 1.4.1 вводится ортогональный базис, связанный с силовой линией магнитного поля, по которому производится разложение всех возмущенных величин. Линеаризованные уравнения возмущенного движения плазмы записываются в разложении по этому базису. Упрощение уравнений с учетом предположения о сильной локализации рассматриваемых возмущений на магнитных поверхностях и вывод системы двух связанных уравнений для таких возмущений производится в подразделе 1.4.2. Эта система связанных уравнений для компонент лежащих на магнитных поверхностях токамака и направленных параллельно и перпендикулярно равновесному магнитному полю, описывает зацепление

косых альфвеновских и медленных (магнитозвуковых) мод и определяет непрерывный МГД спектр плазмы в осесимметричных тороидальных системах. Полученные уравнения применяются в подразделе 1.4.3 для нахождения дисперсионного уравнения низкочастотных мод непрерывного МГД спектра во вращающейся плазме низкого давления в токамаках с большим аспектным отношением и круглыми магнитными поверхностями. Показано, что на рациональных магнитных поверхностях это уравнение в точности совпадает с дисперсионным соотношением для осесимметричных электростатических мод с (т, п) = 0. Для мод, локализованных вне рациональных магнитных поверхностей, происходит модификация непрерывного спектра, обусловленная тороидальным зацеплением звуковых мод с альфвеновскими. В случае преимущественно полоидального вращения плазмы с угловой скоростью, превышающей величину с8/дИ о, аналитически и численно исследуется стабилизация неустойчивой ветви медленных мод при их локализации вне рациональных магнитных поверхностей, обусловленная их тороидальным зацеплением с косой альфвсновской модой. Также для равновесия с чисто тороидальным вращением плазмы обсуждается снятие вырождения дисперсионного уравнения за счет конечного значения продольного волнового числа и появление дополнительной ветви спектра в виде продольных звуковых волн.

Результаты исследований, изложенных в этой главе опубликованы в работах [1А]-[4А].

Вторая глава диссертации посвящена проблеме нелинейной генерации крупномасштабных структур (в первую очередь -зональных течений) мелкомасштабной турбулентностью дрейфового типа - дрейфовой и дрейфово-альфвеновской. Рассмотрение ведется в предположении о разделении пространственных масштабов турбулентности и возмущений и основывается на методе многомасштабных разложений. В первых двух разделах главы исследуется генерация зональных течений и зональных магнитных полей дрейфово-альфвеновской турбулентностью. Эта проблема актуальна как в связи с проблемой зональных течений в токамаках, так и для физики ионосферы Земли. Используется подход, разработанный в работе Веденова и Рудакова [5]: мелкомасштабная турбулентность предполагается слабой и описывается волновым кинетическим уравнением, в котором учитывается только ее взаимодействие с зональным возмущением, и одновременно в

гидродинамических уравнениях, описывающих зональное возмущение, учитываются усредненные по мелким масштабам нелинейные эффекты, обусловленные турбулентностью.

В первом разделе этой главы исследуется проблема генерации зональных течений и зональных магнитных полей дрейфово-альфвеновской турбулентностью. Рассмотрение проводится на основе упрощенной системы редуцированных двухжидкостных МГД уравнений, в которой предполагается, что 7} <С Те (7} и Те - температуры ионов и электронов) и ионы считаются холодными [6,7]. Эти исходные нелинейные уравнения приводятся в подразделе 2.1.1 и в линейном приближении описывают как мелкомасштабные дрейфово-альфвеновские волны, так и крупномасштабные зональные течения и магнитные поля. В подразделе 2.1.2 вводятся два пространственных и временных масштаба и выводится система уравнений для крупномасштабных зональных течений и зональных магнитных полей путем усреднения нелинейных уравнений по мелким масштабам. Показывается, что в случае строго идеальной двухжидкостной модели, не учитывающей диссипацию или же резонансное взаимодействие дрейфово-альфвеновских волн с электронами, генерация зональных магнитных полей невозможна. Мелкомасштабные поля представляются в виде интеграла Фурье по быстрым пространственным переменным, и турбулентность описывается спектральной функцией (функцией Вигнера). Вывод волнового кинетического уравнения, описывающего спектральную функцию дрейфово-альфвеновских волн с учетом их взаимодействия с крупномасштабным зональным возмущением, приводится в подразделе 2.1.3. Показывается, что в некоторых частных случаях волновое кинетическое уравнение принимает вид закона сохранения и найдены соответствующие обобщенные инварианты действия. Также в этом подразделе представлено обсуждение перехода полученного уравнения в соответствующих предельных случаях к уравнениям, полученным ранее в работе [8]. Неустойчивости, приводящие к спонтанной генерации зонального течения, рассматриваются в подразделе 2.1.4. Подобно работам [9]—[11], рассматриваются резонансная неустойчивость и неустойчивость гидродинамического типа. Выводятся критерии возникновения упомянутых неустойчивостей. Помимо этого обсуждается возможность генерации крупномасштабного зонального магнитного поля при учете в первоначальной идеальной МГД модели эффектов слабого резонансного взаимодействия дрейфово-альфвеновских волн с электронами. Показано, что при учете такого резонансного

взаимодействия длинноволновая альфвеновская турбулентность приводит к неустойчивости крупномасштабного зонального магнитного поля и получен критерий возникновения неустойчивости.

Во втором разделе второй главы учитываются эффекты конечного ларморовского радиуса ионов и теория генерации зональных течений дрейфово-альфвеновской турбулентностью обобщается на случай т = Тг/Те ~ 1. Анализ основывается на нелинейной двухжидкостной модели кинетической дрейфово-альфвеновской турбулентности, предложенной в работе [12] и обсуждаемой в подразделе 2.2.1. В этой модели точный кинетический отклик плотности ионов заменяется его выражением в рамках приближения Падэ. Модель дает точное описание проблемы в двух предельных случаях: когда пространственные масштабы турбулентности либо очень велики, либо очень малы по сравнению с ларморовским радиусом ионов. На промежуточных же пространственных масштабах она удовлетворительно учитывает эффекты конечного ларморовского радиуса ионов [13,14]. В подразделе 2.2.2 выводятся система усредненных уравнений для полей, описывающих крупномасштабные зональные возмущения, и волновое кинетическое уравнение для спектральной функции дрейфово-альфвеновской турбулентности. Показывается, что в предельных случаях зональных течений с пространственным масштабом, значительно превышающим ларморовский радиус ионов (когда возмущение плотности плазмы N зональным течением пренебрежимо мало, N = 0), и зональных течений с пространственным масштабом, много меньшим ларморовского радиуса ионов (когда возмущение плотности плазмы подчиняется закону Больцмана N = —ф/т, ф - электростатический потенциал зонального возмущения), уравнение эволюции спектральной функции турбулентности принимает форму закона сохранения. Найдены аналитические выражения для соответствующих обобщенных инвариантов действия. В подразделе 2.2.3 подробно исследуется возможность спонтанной генерации зональных течений турбулентностью в режимах, когда пространственный масштаб зонального течения либо мал, либо велик по сравнению с ларморовским радиусом ионов. Выводятся соответствующие критерии возникновения неустойчивостей. Показывается, что дрсйфово-альфвеновская турбулентность приводит к неустойчивости только зональных течений с длиной волны, превышающей ларморовский радиус ионов.

В отличие от двух первых разделов второй главы, в которых турбулентность считается слабой и пренебрегается взаимодействием между мелкомасштабными дрейфово-альфвеновскими волнами,

в третьем разделе второй главы диссертации представлено обобщение теории генерации крупномасштабных структур дрейфовой турбулентностью на случай сильной турбулентности. Такая постановка задачи более адекватно соответствует экспериментальным наблюдениям дрейфовой турбулентности в токамаках, которые показывают, что нелинейные уширения частоты превышают линейные частоты дрейфовых волн [15]. Рассмотрение проблемы проводится на основе упрощенной модели Хасегавы-Мимы (геострофического уравнения) с использованием методов двухмасштабного приближения прямого взаимодействия [16]. В подразделе 2.3.1 выводится усредненное уравнение крупномасштабных вихревых движений. В соответствии с теорией многомасштабных разложений вводятся быстрые и медленные переменные. Электростатический потенциал представляется в виде суммы средней (крупномасштабной) части и случайной (мелкомасштабной) части. После этого уравнение для турбулентной части потенциала решается разложением по малому параметру - отношению пространственного масштаба турбулентности к пространственному масштабу среднего поля. Средние величины, обусловленные турбулентностью, вычисляются в приближении прямого взаимодействия. Эффекты, обусловленные турбулентностью, в полученном уравнении эволюции усредненного электростатического потенциала описываются спектральной корреляционной функцией 2-го порядка и статистически усредненной функцией отклика (функцией Грина) турбулентного поля. Показывается, что дрейфовая турбулентность приводит к эффекту турбулентной вязкости и к перенормировке скобки Пуассона в нелинейном уравнении, описывающем крупномасштабные возмущения. При этом в режиме сильной турбулентности коэффициент вязкости является суммой двух сравнимых по величине частей. Подобно квазилинейной теории, первая часть линейна по отношению к спектральной корреляционной функции турбулентного поля 2-го порядка и всегда отрицательна. Вторая же часть обусловлена корреляциями 3-го порядка и пропорциональна квадрату спектральной корреляционной функции. Ее знак существенным образом зависит от вида спектральной функции турбулентности.

В подразделе 2.3.2 в предположении об однородности и изотропности турбулентности и о концентрации ее энергии в инерционном интервале обсуждается вопрос о явном виде корреляционной функции и усредненной функции Грина. В таком режиме они не зависят ни от источника турбулентности, ни от диссипации и полностью определяются

нелинейным взаимодействием турбулентных пульсаций. При отыскании общего вида соответствующих выражений для спектральной функции и функции Грина используется метод, основанный на анализе инвариантных свойств геострофического уравнения по отношению к преобразованиям масштабов. Рассматривается два предельных случая: когда характерный масштаб турбулентности либо значительно меньше, либо значительно больше естественного пространственного масштаба геострофического уравнения - ионного ларморовского радиуса, вычисленного по электронной температуре р„ (p2s = Те/ттцш^, где то, и u>Bi ~ масса и ларморовская частота ионов). В указанных предельных случаях получены выражения для спектральной корреляционной функции и усредненной функции Грина в инерционном интервале турбулентности. В подразделе 2.3.3 турбулентные коэффициенты в уравнениях эволюции крупномасштабного поля вычисляются для спектров дрейфовой турбулентности, описывающих инерционный интервал в указанных выше предельных случаях. Показывается, что для мелкомасштабной дрейфовой турбулентности с kps » 1 и колмогоровским спектром с постоянным потоком энергии Е^ ~ кг5/3 и для длинноволновой турбулентности с kps 1 и колмогоровским спектром с постоянным потоком энстрофии Ек ~ к~5 коэффициент турбулентной вязкости отрицателен, и имеет место спонтанное усиление крупномасштабных вихрей (к - волновой вектор турбулентных пульсаций).

Результаты исследований, которые легли в основу второй главы диссертации, опубликованы в работах [5А]-[7А].

В третьей главе диссертации исследуется проблема магнитовращательной неустойчивости и тесно с ней связанных конвективных неустойчивостей во вращающихся проводящих диссипативных средах - жидких металлах и низкотемпературной плазме - применительно к их экспериментальному наблюдению в лабораторных условиях. В разделе 3.1 рассматривается проблема магнитовращательной неустойчивости в азимутально вращающихся жидких металлах в однородном осевом магнитном поле. Мотивацией представленного анализа послужил планируемый эксперимент по наблюдению MBH в жидком натрии, вращаемом между неподвижными цилиндрами в аксиальном магнитном поле пропускаемым по нему радиальным током. В начале раздела приводится схема предложенного эксперимента и обсуждается ожидаемое из общефизических соображений и подкрепленное результатами численного моделирования

проблемы равновесное вращение жидкого металла в таком эксперименте с профилем угловой скорости в основном объеме П ос R~2. Анализ MBH проводится на основе уравнений несжимаемой диссипативной МГД. В подразделе 3.1.1 подробно сформулирована постановка задачи, приведены дисперсионное уравнение осесимметричных возмущений, полученное в локальном приближении, и следующий из него критерий магнитовращательной неустойчивости. Неустойчивость является пороговой по угловой скорости вращения жидкого металла, и порог определяется комбинацией факторов: диссипативными эффектами, величиной внешнего магнитного поля и радиальным профилем угловой скорости вращения. Следующий подраздел 3.1.2 посвящен строгой математической минимизации порога MBH по отношению к волновым числам возмущения и величине внешнего осевого магнитного поля. В результате такой минимизации аналитически вычисляется зависимость критической угловой скорости вращения - минимальной скорости вращения, при которой возникает MBH - от безразмерного параметра Этот параметр пропорционален отношению квадрата эпициклической частоты к2 = R~3d(ü.2R4)/dR к квадрату угловой скорости жидкости Я2, С = к2/2П2. Он определяет меру отклонения радиального профиля угловой скорости вращения от гранично-устойчивого в приближении идеальной гидродинамики без магнитного поля профиля П ос R~2, для которого £ = 0 (линия Рэлея). Также выводится аналитическое выражение, описывающее зависимость величины внешнего магнитного поля, при котором имеет место эта критическая угловая скорость вращения, от указанного параметра При вращении жидкого металла между короткими цилиндрами h < \/2(i?2 — R\) (h -высота цилиндров, Ri и Т?2 ~ радиусы внутреннего и внешнего цилиндров) минимальным порогом неустойчивости обладают наиболее крупномасштабные моды, допускаемые размерами экспериментальной установки: kz = тг/h, Icr = 7r/(Ü2 — Ri)- Величина критической угловой скорости определяется выражением:

vkz ^2(С + ^т(2-С))/(2-С), при -2Рт/(2 -Рт) < С <2 Пс = — • ■

z Рт/Щ\, при С < -2Рт/(2 - Рт).

Здесь г/ - коэффициент магнитной диффузии, v - коэффициент вязкости, а Рт = и/г] - магнитное число Прандтля. Вправо от точки С = —2Pm/(2 — Рт) эта критическая угловая скорость достигается при значениях магнитного поля, определяемых уравнением

с2 — р I 2С 17

log(Rec)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

С

Рис. 2: Зависимость критического числа Рейнольдса Rec от На линии Рэлея Rec = 1,16- 103.

где S = kzVA/Ф2, к2 = к2н + к%, а vA ~ альфвеновская скорость, а влево от указанной точки - в отсутствие внешнего магнитного поля. Определяемая приведенным выражением зависимость критического числа Рейнольдса Rec = SlcR\/v от меры отклонения профиля течения от линии Рэлея £ для жидкого натрия ( г/=810см2/с, Рт = 0,88 • Ю-5) и для геометрических параметров, планируемых в эксперименте (ФЭИ, г. Обнинск) i?i=3cm, i?2=15cm, h= 6 см представлена на рисунке 2. Вообще говоря, для гидродинамически устойчивых профилей вращения (С > 0) порог MBH в жидких металлах из-за из высокой резистивности достигается при больших числах Рейнольдса, при которых трудно ожидать ламинарности исходного течения. Наименьшим порогом обладает течение с П ос R~2, чем оно и привлекательно с точки зрения экспериментального наблюдения MBH. Однако, в силу малости магнитного числа Прандтля жидких металлов (Рт = 10"5 -ь 10"7 ) величина Rec изменяется практически скачкообразно на два порядка в узком интервале ширины Рт по С- Это обстоятельство обусловлено сильным подавлением неустойчивости резистивностью жидкого металла при С > 0. Таким образом, для наблюдения MBH требуется поддержание профиля угловой скорости Q. ос R~2 с недостижимой в эксперименте точностью. На этом основании в работе [17] был сделан пессимистичный вывод о невозможности наблюдения MBH в эксперименте с профилем угловой скорости П ос R~2.

Вместе с тем, точки кривой на рисунке 2, отражающей зависимость

критического числа Рейнольдса Rec от £> соответствуют разным значениям магнитного поля. Поскольку в эксперименте величина внешнего магнитного поля предполагается фиксированной, то в подразделе 3.1.3 решается задача о минимизации порога неустойчивости только по отношению к волновым числам возмущения при постоянном значении величины внешнего магнитного поля. Приводятся результаты численных расчетов, проведенных для случаев слабого (10 Гс), умеренного (100 Гс) и достаточно сильного (1 кГс) магнитных полей. Из них следует, что при малых значениях магнитного поля экспериментальное наблюдение MBH действительно невозможно, поскольку требуется поддерживать профиль угловой скорости с недостижимой в эксперименте точностью. В то же время, сделан вывод о достижимости компромисса между ростом порога неустойчивости Rec ос В при увеличении величины внешнего магнитного поля В и ростом допустимого отклонения профиля вращения от линии Рэлея Q ос В2, при котором неустойчивость не подавляется резистивностью жидкости. Предложены оптимизированные параметры экспериментальной установки для лабораторного наблюдения MBH: при величине внешнего аксиального магнитного поля порядка В = 3 • 102 Гс критическое число Рейнольдса Rec = 4 • 104, а допустимое отклонение профиля угловой скорости вращения £ = 0.05.

Во втором разделе третьей главы исследуется проблема устойчивости азимутального вращения сильнорезистивных жидкостей, к которым относятся и жидкие металлы, в спиральном магнитном поле. Такое поле является суперпозицией аксиального (Boz) и азимутального {В{),Р) магнитных полей. Эта проблема представляет интерес в связи с экспериментом PROMISE (Россендорф, Германия). В результате численного анализа устойчивости течения в такой конфигурации в работах [18,19] было найдено, что величина критической угловой скорости вращения в спиральном магнитном поле уменьшается на два порядка по сравнению со случаем чисто аксиального поля. Неустойчивость была названа спиральной MBH и наблюдается в эксперименте. При этом в указанных работах был обойден вопрос о физических механизмах, лежащих в основе неустойчивости. В разделе 3.2 диссертации на основе аналитического рассмотрения локальной устойчивости течения проводящей жидкости в спиральном магнитном поле по отношению к осесимметричным возмущениям производится идентификация неустойчивых мод и обсуждается источник их неустойчивости. Поскольку жидкие металлы характеризуются большим коэффициентом магнитной диффузии, то рассмотрение проблемы

устойчивости производится в рамках гальванического приближения. Это существенно упрощает дисперсионное уравнение возмущений и аналитическое нахождение порога неустойчивости. В подразделе 3.2.1 уравнения диссипативной МГД упрощаются с учетом предположения о сильной резистивности жидкости и выводится локальное дисперсионное уравнение осесимметричных возмущений. Подробный анализ этого дисперсионного соотношения приводится в подразделе 3.2.2. Для случая произвольной зависимости азимутального магнитного поля от радиуса получено уравнение, описывающее порог устойчивости течения. Детальный анализ устойчивости проводится в частном случае азимутального магнитного поля, создаваемого пропусканием аксиального тока по внешнему проводнику, BQ(p ос 1/R. Такая магнитная конфигурация используется в лабораторном эксперименте PROMISE (Германия). Вычисляются частота и инкремент осесимметричных возмущений и выводится критерий их неустойчивости. Показывается, что для профилей угловой скорости, отличных от П а 1 /R2, неустойчивыми модами являются инерционные колебания жидкости, (jj = кгк/к. Неустойчивость имеет диссипативную природу и является следствием комбинированного эффекта спирального магнитного поля и резистивности (магнитной диффузии) жидкости. Она возникает при выполнении условия:

(cj2a + ujnujv)2 + Aa2wnu>vw2Alfi + 2a2ÇQ2u>2

Здесь

wA = kzVAz, uAip = vAv/R, u>v = fk2, ojv = vk2, a = kzjk, F = + + 2 a2u2Av,

a vaz и va<p ~ аксиальная и азимутальная альфвеновские скорости. Источником низкопороговой неустойчивости является последний член в левой части этого неравенства, который отличен от нуля лишь при наличии как аксиального, так и азимутального поля. Также обсуждается устойчивость течения, соответствующего линии Рэлея, Q ос 1/R2.

Получено условие, описывающее неустойчивые профили угловой скорости вращения сильнорезистивной жидкости:

С2_4^З + 4^С + 4>0.

Из этого условия следует два вывода: 1) неустойчивыми в спиральном магнитном поле могут быть и азимутальные течения с угловой скоростью

20

Ые* 1000

10000

100

- 100

10000

1000

0,0 0,2 0,4 0,6

0,8

1,0 1,2 1,4

/1

Рис. 3: П ос Д 18: число Рейнольдса 11е* = аИ/и, минимизированное по отношению к На* = Ша/у/ЩЛ^, как функция величины азимутального магнитного поля Магнитное число Прандтля Рт = 10 •'.

вращения, растущей с радиусом; 2) вязкость жидкости оказывает стабилизирующий эффект и приводит к расширению класса устойчивых течений.

Результаты численных расчетов по минимизации порога неустойчивости и вычислению критического значения числа Рейнольдса даны в подразделе 3.2.3. Приводятся результаты вычислений для трех профилей угловой скорости вращения: профиля, соответствующего линии Рэлея (£} ос Д~2), профиля с П ос и профиля, близкого к

критическому профилю П ос Л-1,7. Для профиля с Я ос Я~18 результаты расчетов представлены на рисунке 3. Полученные результаты показывают, что в некотором интервале значений ц = В^/Вог имеет место существенное понижение порога неустойчивости по сравнению со случаем аксиального магнитного поля. Анализируется зависимость ширины этого интервала и критического числа Рейнольдса от профиля угловой скорости вращения жидкого металла. Также обсуждаются зависимости частот и инкрементов неустойчивых мод от значения числа Рейнольдса вращающейся жидкости.

В третьем разделе третьей главы исследуется устойчивость дифференциально-вращающейся низкотемпературной плазмы в однородном аксиальном магнитном поле с учетом как диссипативных эффектов (вязкости и резистивности), так и тепловой радиальной стратификации плазмы. Мотивацией для такой задачи является

-(5).

>о,

лабораторный эксперимент по наблюдению МВН во вращающейся низкотемпературной плазме [20, 21]. Кроме того, полученные результаты справедливы и для иных проводящих сред (жидкостей, газов) и, таким образом, представляют общефизический интерес.

Анализ устойчивости осуществляется в рамках системы уравнений диссипативной МГД с уравнением состояния в виде адиабаты. Эффект тепловой стратификации плазмы обусловлен слабой сжимаемостью плазмы, которая учитывается в приближении Буссинеска. В подразделе 3.3.1 выводится дисперсионное уравнение мелкомасштабных осесимметричных возмущений с учетом эффектов тепловой стратификации плазмы, ее резистивности и вязкости. Для анализа устойчивости возмущений применяется критерий устойчивости Льенара-Шипара. Магнитное число Прандтля плазмы Рт может изменяться в большом диапазоне в зависимости от ее плотности и температуры. Для Рт ~ 1 получено необходимое условие устойчивости плазмы:

рт2 =__1 аРо "

~ Гр0 ¿Я сШ

где ро и ро - давление и массовая плотность плазмы, а Г - показатель адиабаты.

В предельных случаях плазмы с большим и малым значениями магнитного числа Прандтля Ргп найдены необходимые и достаточные условия устойчивости вращающейся диссипативной плазмы. В подразделе 3.3.2 рассматривается случай пренебрежимо малой резистивности плазмы, Р1П 1. Выводятся необходимые и достаточные критерии устойчивости в чисто гидродинамическом случае (в отсутствие внешнего магнитного поля) и в общем случае. Показывается, что в гидродинамическом случае имеет место неустойчивость плазмы, если ее давление и энтропия одновременно либо спадают, либо возрастают в радиальном направлении, так что ./V2 < 0 (неблагоприятная стратификация). Эта неустойчивость обусловлена вязкостью плазмы и никоим образом не может быть подавлена дифференциальным вращением. Внешнее аксиальное магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на неустойчивость таким образом, что устойчивы равновесия с профилями давления и плотности для которых

2и>\ + а2ЛГ2 > 0.

Также в этом общем случае рассматривается переход к ранее известному критерию устойчивости бесстолкновительной плазмы [22]. В подразделе 3.3.3 выводится необходимый и достаточный критерий устойчивости в случае пренебрежимо малой вязкости плазмы, когда

Рт 1, и обсуждается влияние резистивности на устойчивость

плазмы. Показывается, что в случае неблагоприятной стратификации (.N2 < 0) резистивная плазма, находящаяся во внешнем магнитном поле, неустойчива из-за эффекта тепловой стратификации плазмы (подобно вязкой плазме в отсутствие магнитного поля). Обсуждается влияние резистивности плазмы на ее устойчивость в случае благоприятной стратификации, при которой радиальные градиенты давления и энтропии направлены в противоположные стороны.

Результаты исследований, изложенных в третьей главе опубликованы в работах [8А]-[14А].

Четвертая глава диссертации посвящена проблеме спонтанного усиления крупномасштабных магнитных полей электронными движениями. Исследования являются развитием высказанной в книге [23] идеи о том, что высокочастотные мелкомасштабные электронные колебания могут приводить к генерации крупномасштабных магнитных полей в космической плазме. Рассмотрение проводится в рамках уравнений электронной МГД (ЭМГД модели). В первом разделе главы приводится стандартное уравнение несжимаемой электронной магнитной гидродинамики и вкратце обсуждаются условия его применимости при описании плазмы. Наряду с общей трехмерной моделью в этом разделе обсуждается система двух скалярных уравнений, сооответствующая так называемой 2^-мерной ЭМГД модели, в которой магнитное поле является трехмерным, но зависит лишь от двух пространственных координат. Такая модель представляется разумной, если, благодаря какому либо фактору, к примеру, сильному внешнему магнитному полю, самосогласованное магнитное поле значительно слабее зависит от одной из координат, чем от двух других.

Во втором разделе четвертой главы рассматривается проблема генерации крупномасштабных магнитных полей в плазме в рамках 2|-мерной ЭМГД модели, которая является предметом активных исследований [24]-[27]. С одной стороны такая модель, подобно трехмерной модели допускает описание электронных движений с ненулевой перекрестной спиральностью (или микроспиральностью), B-rot В ^ 0, а с другой стороны она обладает свойствами, характерными для двумерных моделей (сохраняет дополнительные квадратичные по амплитуде величины и описывает двойные турбулентные каскады). При исследовании спонтанной генерации регулярных крупномасштабных структур в настоящей главе диссертации используется подход, аналогичный подходу, используемому в теории кинематического

магнитного динамо. В силу простоты и большей наглядности в интерпретации результатов в подразделе 4.2.1 рассматривается проблема спонтанного усиления крупномасштабных возмущений ЭМГД турбулентностью с характерным пространственным масштабом, превышающим толщину электронного бесстолкновительного скин-слоя I » с/Шре. В этом случае эффекты инерции электронной жидкости пренебрежимо малы. В приближении кинематического динамо выводится уравнение для крупномасштабного магнитного поля с учетом влияния мелкомасштабной турбулентности

^ = vV2(B±) - aV2rot (В) - /xV4{B),

ot

где (В) - крупномасштабное магнитное поле, (B L) - его составляющая, перпендикулярная оси z, rj - коэффициент турбулентной магнитной диффузии (резистивности), а ос (В • rot В) соответствует эффекту, обусловленному усредненной микроспиральностью турбулентности, а д ос (В2) - коэффициент турбулентной вязкости. Турбулентная магнитная диффузия представляет собой новый по сравнению с [23] эффект, обусловленный двумерностью турбулентности. Обсуждается два возможных механизма генерации крупномасштабного магнитного поля - механизм, обусловленный ненулевой микроспиральностью турбулентности (а-эффект), и механизм, связанный с отрицательной турбулентной резистивностью. Для однородной турбулентности эффективная резистивность обусловлена анизотропией турбулентности, отлична от нуля в отсутствие равнораспределения энергии между аксиальной и полоидальной компонентами мелкомасштабного магнитного поля

П ос {{(VS*)2) - <(VB<)2> - <(V^)2)}

и может быть отрицательной. Рассматриваются неустойчивости крупномасштабного магнитного поля, обусловленные обоими упомянутыми механизмами и вычисляются их максимальные инкременты и характерные длины волн. В подразделе 4.2.2 теория обобщается на случай более мелкомасштабной турбулентности I < с/шре. Показывается, что электронная инерция приводит к анизотропизации коэффициентов турбулентной вязкости и эффекта микроспиральности. Выводятся критерии генерации крупномасштабного магнитного поля, в разных режимах обусловленной либо спиральным механизмом, либо эффектами отрицательных турбулентных резистивности и вязкости. Показано, что турбулентность, микроспиральность которой содержится на масштабах, меньших

толщины бссстолкновитсльного скин-слоя I < c/ujpe, не приводит к усилению крупномасштабного поля, обусловленному спиральным механизмом.

Крупномасштабные регулярные структуры могут генерироваться не только турбулентностью плазмы (или жидкости), но и при наличии столкновительной диссипации среды появляться в результате вторичной неустойчивости регулярных мелкомасштабных течений жидкости или плазмы [28]. Неустойчивость течений возникает, если их скорость превышает некоторую критическую величину и приводит к образованию крупномасштабных диссипативных структур. Интересным представляется вопрос об устойчивости периодических течений электронной жидкости, о механизмах их вторичных неустойчивостей, о том, как они соотносятся с топологическими свойствами электронных течений, такими как их спиральность и анизотропия, о существовании аналогии с механизмами усиления крупномасштабных магнитных полей ЭМГД турбулентностью. Такой анализ может представлять интерес при изучении явлений в плазме в z-пинчах, в магнитосферной и ионосферной плазме. В третьем разделе четвертой главы в рамках уравнений диссипативной электронной магнитной гидродинамики представлено исследование устойчивости периодических ЭМГД течений плазмы различных типов. Предполагается, что либо в результате какой-либо неустойчивости (первичной неустойчивости), либо внешним источником в плазме создано периодическое течение, амплитуда которого поддерживается стационарной за счет постоянно действующего внешнего источника, и анализируется устойчивость такого течения по отношению к крупномасштабным возмущениям (вторичные неустойчивости). Исследование проблемы проводится аналитически с использованием методов асимптотических масштабных разложений и подкрепляется результатами численных расчетов. В подразделе 4.3.1 приводятся исходные уравнения и формулируется постановка задачи. В подразделах 4.3.2 - 4.3.4 дается анализ устойчивости трех различных типов стационарных периодических ЭМГД течений. В подразделе 4.3.2 рассматривается течение колмогоровского типа (В0 = cosxez) в случаях большого и малого чисел Рейнольдса. Спиральное течение типа течения Бельтрами (В0 = су sinх + cz соях) исследуется в подразделе 4.3.3, а анизотропное спиральное течение В0 = еу sin х cos а + ег cos х sin а, сочетающее в себе свойства первых двух - в подразделе 4.3.4. Детально обсуждаются механизмы, приводящие к неустойчивостям, и их связь с топологическими свойствами первичный течений. Показывается, что такими механизмами являются эффект отрицательной резистивности,

связанный с анизотропией течения, и механизм, обусловленный микроспиральностью течения и подобный а-эффекту в теории магнитного динамо. Таким образом, для ЭМГД модели прослеживается тесная аналогия между факторами, приводящими к спонтанному нарастанию крупномасштабных возмущений в бездиссипативной турбулентной плазме и в резистивной плазме со стационарными периодическими течениями. Наряду с результатами, полученными аналитически, приводятся результаты численного моделирования ЭМГД уравнений с начальными условиями, соответствующими аналитической постановке задачи. Показывается их хорошее соответствие с аналитическими результатами в области параметров, в которой последние применимы.

Результаты исследований, которые изложены в четвертой главе диссертации, опубликованы в работах [15А]-[21А].

В Заключении кратко суммируются основные результаты диссертации, которые состоят в следующем:

1. Предсказана линейная неустойчивость низкочастотной электростатической МГД моды с (т, п) = 0 в токамаке с тороидальным вращением плазмы и изохорическими магнитными поверхностями, обусловленная неблагоприятной полоидальной стратификацией плазмы на магнитных поверхностях.

2. Показано существование неустойчивой ветви низкочастотного МГД спектра в токамаке с быстрым полоидальным вращением плазмы и получен критерий неустойчивости. Показана стабилизации этой неустойчивости для мод с (т,п) / 0 при их локализации вне рациональных магнитных поверхностей.

3. Получены критерии генерации зональных течений в токамаках мелкомасштабной дрейфово-альфвеновской турбулентностью в различных режимах. Показано, что турбулентность приводит к генерации зональных течений с длиной волны, превышающей ларморовский радиус ионов.

4. Доказана возможность спонтанной генерации крупномасштабных вихрей в токамаке сильной дрейфовой турбулентностью, обусловленной механизмом отрицательной турбулентной вязкости. Показано, что эффект существенным образом зависит от спектра турбулентности.

5. Получена аналитическая зависимость порога MBH диссипативной проводящей среды, вращающейся в аксиальном магнитном поле, от радиального профиля вращения. Показано, что увеличение амплитуды магнитного поля дает возможность наблюдения MBH в эксперименте с вращением жидкого натрия радиальным током.

6. Показано, что низкопороговая неустойчивость наблюдаемая в эксперименте с жидким галлием, вращающимся в спиральном магнитном поле, принципиально отлична от MBH. Неустойчивыми являются инерционные колебания среды, а неустойчивость имеет диссипативную природу. Таким образом, лабораторное обнаружение MBH еще ждет своего часа.

7. Показано, что радиальная тепловая стратификация низкотемпературной плазмы, вращающейся в аксиальном магнитном поле, в комбинации с магнитной диффузией и вязкостью оказывает существенное влияние на се устойчивость, и это нужно учитывать при интерпретации результатов эксперимента. Доказано, что при значениях магнитного числа Прандтля Рт < 1 неблагоприятная стратификация приводит к диссипативной неустойчивости плазмы.

8. Показана возможность спонтанного усиления крупномасштабного магнитного поля в космической плазме электронной 2 1/2-мерной турбулентностью, обусловленная двумя физическими эффектами: эффектом гиротропности турбулентности и эффектом отрицательной диссипации.

9. Показано, что стационарные периодические ЭМГД течения резистивной плазмы подвержены развитию вторичных неустойчивостей с генерацией крупномасштабных диссипативных структур. В зависимости от топологии течений механизмами неустойчивостей являются эффекты отрицательной магнитной диффузии и спиральности.

Основные публикации по теме диссертации

[1А] Lakhin V.P., Ilgisonis V.l. and Smolyakov A.I. Geodesic acoustic modes and zonal flows in toroidally rotating tokamak plasmas// Phys. Letters A. -2010. - V. 374. - P. 4872-4875.

[2А] Ilgisonis V.I., Lakhin V.P., Smolyakov A.I., and Sorokina E.A. Geodesic acoustic modes and zonal flows in rotating large aspect ratio tokamak plasmas// Plasma Phys. Contr. Fus. - 2011. - V. 53. - 065008 (19 pp.).

[ЗА] Lakhin V.P. and Ilgisonis V.I. Continuum Modes in Rotating Plasmas: General Equations and Continuous Spectra for Large Aspect Ratio Tokamaks// Phys. Plasmas. - 2011. - V. 18. - 092103 (11 pp.).

[4A] Ilgisonis V.I., Lakhin, V.P., Sorokina E.A., and Smolyakov A.I., Geodesic Acoustic Modes in Rotating Large Aspect Ratio Tokamak Plasmas// 23rd IAEA Fusion Energy Conf. (Daejeon, Korea), 2010. -THS/P8-01.

[5A] Лахин В.П. О генерации крупномасштабных структур сильной дрейфовой турбулентностью// Физика плазмы. - 2001. - Т. 27. - С. 777-792.

[6А] Лахин В.П. О генерации зональных течений и крупномасштабных магнитных полей дрейфово-альфвеновской турбулентностью// Физика плазмы. - 2003. - Т. 29. - С. 157-171.

[7А] Lakhin V.P. Finite ion Larmour radius effects in the problem of zonal flow generation by kinetic drift-Alfven turbulence// Plasma Phys. Contr. Fus. - 2004. - V. 46. - P. 877-897.

[8A] Velikhov E.P., Ivanov A.A., Lakhin V.P., and Serebrennikov K.S. Magneto-rotational instability in differentially rotating liquid metals// Phys. Letters A. - 2006.- V. 356, P. 357-365.

[9A] Ильгисонис В.И., Лахин В.П., Хальзов И.В. Способна ли МВН приводить к новому вихревому равновесию?// III Международный семинар по магниторотационной неустойчивости в астрофизике и физике Земли. Москва, РНЦ "Курчатовский институт". - 2006. - С. 76 - 91.

[10А] Ильгисонис В.И., Лахин В.П., Хальзов И.В., Поздняков Ю.И. Вращение жидкого натрия в магнитном поле: диссипативное равновесие и магнитовращательная неустойчивость// Пути Ученого. Е.П. Велихов/

Под общей редакцией академика РАН В.П. Смирнова), Москва, РНЦ "Курчатовский институт". - 2007. - С. 181 - 188.

[11А] Лахин В.П. Влияние азимутального магнитного поля на порог магниторотационной неустойчивости в цилиндрическом течении Куэтта-Тэйлора// III Международный семинар по магниторотационной неустойчивости в астрофизике и физике Земли. Москва, РНЦ "Курчатовский институт". - 2006. - С. 103 - 112.

[12A] Lakhin V.P. and Velikhov Е.Р. Instabilities of highly-resistive rotating liquids in helical magnetic fields// Phys. Letters A.- 2007.- V. 369,- P. 98-106.

[13A] Лахин В.П., Ильгисонис В.И. О влиянии диссипативных эффектов на неустойчивости дифференциально-вращающейся плазмы // ЖЭТФ. - 2010. - Т. 137. - С. 783 - 788.

[14А] Ilgisonis V.I., Khalzov I.V., Lakhin V.P., and Smolyakov A.I., What physics does affect the MRI threshold, in Plasmas in the Laboratory and in the Universe: Interactions, Patterns, and Turbulence// Int. Symposium "Plasmas in the Laboratory and in the Universe: interactions, patterns, and turbulence". Como, Italy, 2009. AIP Conf. Proc. - 2010. - V. 1242. - P. 23-30.

[15A] Westerhof E., Kuvshinov B. N., Lakhin V. P., Moiseev S. S., and Schep T. J. On the turbulence spectra of electron magnetohydrodynam-ics//Proc. 26th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Maastricht, 14-18 June, 1999./ ECA. - 1999. - V. 23J. - P. 29-32.

[16A] Abdalla T.M., Lakhin V.P., Schep T.J., and Westerhof E. Spectral properties of decaying turbulence in electron magnetohydrodynamics// Phys. Plasmas. - 2003. - V. 10. - P. 3077-3092.

[17A] Lakhin V.P. and Moiseev S.S. On spontaneous amplification of large-scale perturbations by two-dimensional electron magnetohydrodynam-ic turbulence // Phys. Letters A. - 1999. - V. 263. - P. 386-392.

[18A] Lakhin V.P., Moiseev S.S., and Schep T.J. Fast magnetic and turbulent-wave dynamos in electron magnetohydrodynamics// Physics and Chemistry of the Earth. - 2001. - V. 25. - P. 769-774.

[19А] Lakhin V.P. and Schep T.J. On generation of mean fields by small-scale electron magnetohydrodynamic turbulence// Phys. Plasmas. -2004. - V. 11. - P. 1424-1439.

[20A] Lakhin V.P. and Levchenko V.D. Long-wavelength instability of periodic flows and whistler waves in electron magnetohydrodynamics// Proceedings of the 19th Int. Conf. on Plasma Phys. Contr. Nucl Fus. Res. (Lyon). - 2002. - IAEA-CN-94/ TH/P2-06.

[21A] Лахин В.П., Левченко В.Д. Длинноволновая неустойчивость периодических течений и геликонов в электронной магнитной гидродинамике// Физика плазмы. - 2003. - Т. 29. - С. 1-19.

Список цитированной литературы

[1] Zehrfeld Н.Р. and Green B.J. Stationary toroidal equilibria at finite beta// Nucl. Fusion. - 1972. - V. 12. - P. 569-576.

[2] Hameiri E. The equilibrium and stability of rotating plasmas// Phys. Fluids. - 1983. - V. 26. - P. 230-237.

[3] Goedbloed J.P. and Lifschitz A.E. Stationary symmetric magnetohydrodynamic flows// Phys. Plasmas. - 1997. - V. 4. - P. 3544-3564.

[4] Goedbloed J.P. , Belien A.J.C., van der Hoist В., and Keppens R. Unstable continuous spectra of transonic axisymmetric plasmas// Phys. Plasmas. - 2004. - V. 11. - P. 28-54.

[5] Веденов A.A., Рудаков Л.И. О взаимодействии волн в сплошных средах// ДАН СССР. - 1964. - Т. 159. - С. 767-770.

[6] Shukla Р.К., Yu M.Y., Varma R.K. Drift-Alfven vortices// Phys. Fluids. - 1985. - V. 28. - P. 1719-1721.

[7] Лахин В.П., Михайловский А.Б., Онищенко О.Г. Дрейфово-альфвеновские вихри// Физика плазмы. - 1987. - Т. 13. - С. 188-196.

[8] Smolyakov A.I., Diamond Р.Н. Generalized action invariants for drift waves-zonal flow systems // Phys. Plasmas. - 1999. - V. 6. - P. 4410-4413.

[9] Smolyakov A.I., Diamond P.H., Shevchenko V.l. Zonal flow generation by parametric instability in magnetized plasmas and geostrophic fluids// Phys. Plasmas. - 2000. - V. 7. - P. 1349-1351.

[10] Smolyakov A.I., Diamond P.H., and Medvcdev M.V. Role of ion diamagnetic effects in the generation of large scale flows in toroidal ion temperature gradient mode turbulence // Phys. Plasmas. 2000. - V. 7. - P. 3987-3992.

[11] Smolyakov A. I., Diamond P. H., and Kishimoto Y. Secondary instabilities of large scale flow and magnetic field in the electromagnetic short wavelength drift-Alfven wave turbulence// Phys. Plasmas. - 2002. -V. 9. - P. 3826-3834.

[12] Schep T. J., Kuvshinov B. N., and Pegoraro F. Generalized two-fluid theory of nonlinear magnetic structures// Phys. Plasmas. - 1994. - V. 1. - P. 2843-2852.

[13] Hahm T. S. and Chen L. Theory of semicollisional kinetic Alfven modes in sheared magnetic fields// Phys. Fluids. - 1985. - V. 28. - P. 3061-3065.

[14] Pegoraro F. and Schep T. J. Theory of resistive modes in the ballooning representation// Plasma Phys. Control. Fusion. - 1986. - V. 28. P. 647-668.

[15] Liewer P. C. Measurements of microturbulence in tokamaks and comparisons with theories of turbulence and anomalous transport // Nucl.Fusion. 1985. - V.25. - P. 543-623.

[16] Yoshizawa A. Statistical approach to inhomogeneous turbulence with unidirectional mean flow: evaluation of Reynolds stress// J. Phys. Soc. Jpn. - 1979. - V. 46. - P. 669-674.

[17] Rüdiger G., Schultz M., and Shalybkov D. Linear magnetohydro-dynamic Taylor-Couette instability for liquid sodium// Phys. Rev E. - 2003. - V. 67. - P. 046312.

[18] Hollerbach R. and Rüdiger G. New type of magnetorotational instability in cylindrical Taylor-Couette flow// Phys. Rev. Lett. - 2005. - V.

95. - P. 124501.

[19] Rüdiger G., Hollerbach R., Schultz M., and Shalybkov D.A. The stability of MHD Taylor-Couette flow with current-free spiral magnetic fields between conducting cylinders // Astron. Nachr. - 2005. - V. 326. - P. 409-413.

[20] Wang Z., Si J., and Liu W. Equilibrium and magnetic properties of a rotating plasma annulus// Phys. Plasmas. - 2008. - V. 15. - P. 102109.

[21] Noguchi K. and Pariev V.l. Magnetorotational instability in a Couette flow of plasma// AIP Conf. Proc. - 2003. - V. 692. - P. 285-292.

[22] Fricke K. J. and Smith R. C. On global dynamical stability of rotating stars// Astron. Astrophys. - 1971. - V. 15. - P. 329-331.

[23] Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A. Турбулентное динамо в астрофизике// М.: Наука, 1980.

[24] Исиченко М. Б., Марначев А. М. Нелинейные структуры в электронной МГД однородной плазмы// ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93. - С. 1244-1255.

[25] Biskamp D., Schwarz Е., and Drake J .F. Two-dimensional electron magnetohydrodynamic turbulence// Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. - P. 1264-1267.

[26] Das A. and Diamond P .H. Theory of two-dimensional meanfield electron magnetohydrodynamics// Phys. Plasmas. - 2000. - V. 7. - P. 170-177.

[27] Wareing C. J. and Hollerbach R., Forward and inverse cascades in decaying two-dimensional electron magnetohydrodynamic turbulence// Phys. Plasmas. - 2009. - V.16. - P.042307.

[28] Мешалкин JI. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. матем. и механ. - 1961. - Т. 25. - С. 1140-1143.

Подписано в печать 18.09.2013. Формат 60x90/16 Печать цифровая. Усл. печ. л. 2,0 Тираж 90. Заказ 80

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

Национальный исследовательский центр "КУРЧАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ"

На правах рукописи

05201450566

ЛАХИН ВЛАДИМИР ПАВЛОВИЧ

НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ И ТУРБУЛЕНТНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ РЕГУЛЯРНЫХ СТРУКТУР

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2013

Оглавление

Введение 5

1 Низкочастотные моды непрерывного МГД спектра

во вращающейся плазме осесимметричных токамаков 34

1.1 Равновесие вращающейся плазмы............. 40

1.1.1 Чисто тороидальное вращение, р = р(гр)...... 46

1.1.2 Ненулевое полоидальное вращение, к ^ 0..... 47

1.2 ГАМ и зональные течения в плазме токамака с чисто

тороидальным вращением................. 52

1.3 Осесимметричные электростатические моды в плазме

с полоидальным вращением................ 58

1.3.1 Уравнения осесимметричных электростатических

возмущений..................... 58

1.3.2 Возмущения массовой плотности и продольной

скорости....................... 62

1.3.3 Дисперсионное уравнение мод непрерывного

спектра....................... 63

1.4 Моды непрерывного МГД спектра с (т, п) ф 0 во

вращающейся плазме ................... 73

1.4.1 Разложение по ортогональному базису, связанному

с силовой линией магнитного поля........ 73

1.4.2 Обобщенные уравнения для мод непрерывного

спектра....................... 77

1.4.3 Дисперсионное уравнение мод непрерывного

спектра....................... 80

2 Генерация крупномасштабных структур в плазме

мелкомасштабной дрейфовой турбулентностью 90

2.1 Генерация крупномасштабных зональных течений и магнитных полей в плазме дрейфово-альфвеновской турбулентностью...................... 95

2.1.1 Исходные уравнения................. 95

2.1.2 Усредненные уравнения крупномасштабных

зональных течений и магнитных полей ..... 97

2.1.3 Уравнение для спектральной функции дрейфово-

альфвеновских волн и его инварианты......100

2.1.4 Неустойчивости крупномасштабных зональных

возмущений в плазме ...............107

2.2 Роль эффектов конечного ларморовского радиуса ионов в проблеме генерации зональных течений в плазме кинети-

ческой дрейфово-альфвеновской турбулентностью ... 113

2.2.1 Описание кинетической дрейфово-альфвеновской

турбулентности плазмы с пространственным масштабом, сравнимым по величине с ларморовским радиусом ионов...................113

2.2.2 Уравнения эволюции зональных возмущений и

спектральной функции мелкомасштабной турбулентности ................... 115

2.2.3 Турбулентная генерация зональных течений

в плазме.......................120

2.3 Генерация крупномасштабных структур в плазме сильной

дрейфовой турбулентностью ...............123

2.3.1 Уравнение эволюции крупномасштабного поля . . 124

2.3.2 Спектры турбулентности в инерционном

интервале......................134

2.3.3 Турбулентные коэффициенты в случае сильной

дрейфовой турбулентности............138

3 Неустойчивости во вращающихся жидких металлах

и плазме 146

3.1 Магнитовращательная неустойчивость жидких металлов

в осевом магнитном поле .................152

3.1.1 Формулировка задачи и порог МВН........154

3.1.2 Минимизация порога неустойчивости по отношению

к волновым числам и магнитному полю.....157

3.1.3 Минимизация порога неустойчивости по отношению

к волновым числам возмущений при фиксированном магнитном поле.........163

3.2 Неустойчивости сильнорезистивных вращающихся

жидкостей в спиральном магнитном поле........165

3.2.1 Локальное дисперсионное уравнение

осесимметричных возмущений ..........167

3.2.2 Анализ дисперсионного уравнения.........171

3.2.3 Результаты численных расчетов по минимизации

порога неустойчивости...............175

3.3 О влиянии диссипативных эффектов на неустойчивости

дифференциально-вращающейся плазмы........180

3.3.1 Локальное дисперсионное уравнение

осесимметричных возмущений ..........181

3.3.2 Влияние вязкости на устойчивость вращающейся

плазмы .......................185

3.3.3 Влияние резистивности на устойчивость

вращающейся плазмы...............187

4 Спонтанное усиление крупномасштабных магнитных

полей в плазме электронной турбулентностью 192

4.1 Электронная магнитная гидродинамика (ЭМГД) .... 195

4.2 Турбулентная генерация крупномасштабных полей

в плазме в 2|-мерной ЭМГД модели...........198

4.2.1 ЭМГД турбулентность с I > с/ире .........199

4.2.2 Случай мелкомасштабной турбулентности с

I < c/ujve.......................206

4.3 Длинноволновая неустойчивость периодических ЭМГД

течений в диссипативной плазме.............213

4.3.1 Исходные уравнения и постановка задачи.....213

4.3.2 Устойчивость ЭМГД течения колмогоровского типа

в плазме.......................214

4.3.3 Устойчивость спирального течения в плазме . . . 221

4.3.4 Устойчивость анизотропного спирального течения

в плазме.......................226

Заключение 232

Введение

Хорошо известно, что плазма в лабораторных и природных условиях термодинамически крайне неравновесна и подвержена самопроизвольному развитию в ней возмущений в виде различных колебаний и волн. Неустойчивые возмущения в значительной степени определяют поведение и свойства плазмы, и поэтому их детальному изучению на протяжении последних 60-ти лет посвящено огромное число работ, обзоров и монографий (см., к примеру, [1]- [12]). Далеко не в последнюю очередь этот пристальный интерес связан с интенсивными исследованиями по управляемому термоядерному синтезу. Чтобы удержание плазмы магнитным полем было принципиально возможным, в первую очередь необходимо обеспечить устойчивость плазмы по отношению к крупномасштабным гидродинамическим возмущениям с длиной волны порядка размеров самой плазмы. При этом плазма остается неустойчивой по отношению к различным мелкомасштабным возмущениям. Нарастание амплитуд мелкомасштабных возмущений в виде различных типов колебаний и волн и их взаимодействие между собой приводят, как правило, к развитию сложного хаотического движения в плазме. Такое состояние плазмы с сильно развитыми хаотическими колебаниями и волнами принято называть турбулентным. Согласно существующим теоретическим воззрениям и многочисленным экспериментальным данным, турбулентность является естественным состоянием плазмы, и именно турбулентные движения с длинами волн, много меньшими размера плазмы, играют существенную роль в поведении как лабораторной, так и космической плазмы, в частности, в процессах переноса плазмы.

Уже к середине 60-х годов в результате исследований по программе УТС стало понятно, что скорости переноса частиц и тепла поперек магнитного поля, которыми обусловливаются перспективы достижения условий для устойчивого поддержания реакции управляемого термоядерного синтеза (УТС), существенно превосходят значения, следующие из теории классических столкновительных переносов, и определяются мелкомасштабными турбулентными процессами [13]- [17]. В последние полтора-два десятилетия на основе многочисленных экспериментальных данных было осознано, что существенную роль в саморегулировании

турбулентности и процессов переноса в токамаках играет спонтанно возникающее локальное полоидальное вращение плазмы. Возникновение такого вращения связывают с явлениями, известными как зональные течения и геодезические акустические моды (ГАМ), которым в силу их исключительной важности уделяется огромное внимание (см., например, обзор [18]).

В теории под зональными течениями в токамаках понимают электростатические колебания плазмы, потенциал которых не зависит ни от тороидального, ни от полоидального угла и характеризуется конечным волновым числом поперек магнитных поверхностей токамака /сг, кга 1 (а - малый радиус

токамака). Зональные течения представляют собой вытянутые асимметричные вихревые моды с частотой близкой к нулю, и ~ 0. Само понятие зональных течений пришло в физику плазмы из физики атмосферы. Наглядным природным проявлением зональных течений являются, к примеру, пояса Юпитера. В отличие от зональных течений ГАМ является электростатической модой с конечной частотой со ~ с3/Яо, где с5 - скорость звука, а До большой радиус токамака. Эта мода колебаний плазмы органически связана с кривизной магнитного поля и не имеет аналога в цилиндрической геометрии. Она была предсказана теоретически в работе [19] задолго до ее экспериментального наблюдения. Подобно зональным течениям, возмущение электростатического потенциала, обусловленное ГАМ, не зависит ни от тороидального, ни от полоидального угла и сильно локализовано в направлении поперек магнитных поверхностей токамака, кга 1. При этом возмущение потенциала сопровождается осциллирующими по полоидальному углу возмущениями плотности и давления плазмы. Последние возникают из-за сжимаемости движения плазмы в скрещенных электрическом и магнитном полях, обусловленной геодезической кривизной магнитных силовых линий. Отсюда и проистекает название моды - геодезическая акустическая мода. Обе указанные моды приводят к полоидальному вращению плазмы в токамаках. Зачастую о них говорят как о двух ветвях зональных течений и называют ГАМ высокочастотным зональным течением.

Со времени первой идентификации ГАМ в токамаке Б-Ш-Б [20] ГАМ и зональные течения наблюдали в омических и Ь-режимах во многих современных тороидальных установках магнитного удержания плазмы [21]- [29]. Они проявляются в виде

осцилляций электростатического потенциала, которые не зависят ни от тороидального, ни от полоидального угла. Характерный размер ГАМ и зональных течений по малому радиусу токамака составляет 3-5 см, а частоты осцилляций электростатического потенциала плазмы находятся в диапазонах порядка 1 кГц и от 10 до 30 кГц, соответственно. Экспериментальные данные показывают существование сильной корреляции между зональными течениями и амплитудой мелкомасштабной турбулентности плазмы: возникновение зональных течений приводит к уменьшению интенсивности турбулентности в 4-10 раз.

В теории ГАМ были предсказаны в виде мод непрерывного МГД спектра и в основном исследовались для равновесий без вращения плазмы (статических равновесий). В идеальной МГД модели в отсутствие равновесного вращения плазмы как зональные течения, так и ГАМ в линейном приближении нейтрально устойчивы. Неидеальные эффекты, такие как диссипативные эффекты или эффекты резонансного взаимодействия ГАМ с ионами, приводят к затуханию этих мод. В связи с этим важнейшей проблемой является идентификация механизмов, которые приводят к неустойчивости зональных течений.

Согласно доминирующим в настоящее время представлениям (см., например, обзор [18] и огромное количество цитированных в нем работ), механизмом неустойчивости зональных течений, является их нелинейное взаимодействие с мелкомасштабной турбулентностью плазмы. При таком взаимодействии происходит нелокальная передача части энергии мелкомасштабной турбулентности зональному течению с большим пространственным масштабом (нелокальный обратный каскад энергии), впервые предсказанная в работе [30] при исследовании дрейфовой турбулентности. Спонтанно возникающие в результате такой нелинейной раскачки зональные течения приводят к декорреляции и подавлению турбулентности, которые обусловлены радиальной неоднородностью их угловой полоидальной скорости: зональные течения деформируют мелкомасштабные турбулентные вихри, посредством их растяжения генерируя более мелкие масштабы (большие кг) в направлении поперек магнитных поверхностей токамака. В свою очередь меньшие турбулентные масштабы сильнее диссипируют из-за столкновений, что также приводит к уменьшению интенсивности турбулентности плазмы и, соответственно, к уменьшению аномальных переносов

частиц и тепла поперек магнитных поверхностей. Преимущественно в теоретических исследованиях, связанных с нелинейной генерацией зональных течений мелкомасштабной турбулентностью, ограничиваются изучением взаимодействия зональных течений с электростатической турбулентностью дрейфового типа [18]. Вместе с тем, для современных токамаков характерны такие температуры и плотности плазмы, что ß = 87тр/В2 > rrie/m^ (те и т7 -массы электрона и протона, р - давление плазмы, В - амплитуда магнитного поля). В этих условиях существенную роль играют возмущения магнитного поля, а именно, в плазме в результате линейных неустойчивостей могут раскачиваться дрейфово-альфвеновские волны. Проблеме взаимодействия мелкомасштабной дрейфово-альфвеновской турбулентности с зональными течениями и выяснению возможности раскачки зональных течений такой турбулентностью, несмотря на ее несомненную важность, не уделялось должного внимания. Обсуждаемое явление важно не только для проблемы переноса плазмы в токамаках, но и в связи с наблюдаемыми в ионосфере Земли на высоких широтах зональными течениями [31,32], для геофизических приложений.

Еще одним аспектом, не нашедшим должного развития в теории турбулентной генерации крупномасштабных структур (в частности - зональных течений), является исследование данного явления в режиме сильной турбулентности. Ввиду сложности теоретического анализа явления, за редким исключением [33]- [35] взаимодействие мелкомасштабной дрейфовой турбулентности с крупномасштабным возмущением рассматривается в квазилинейном приближении, при котором учитывается лишь взаимодействие мелкомасштабных турбулентных пульсаций с крупномасштабным возмущением и пренебрегается их взаимодействием между собой [36]-[38]. Вместе с тем, экспериментальные измерения дрейфовой турбулентности в токамаках показывают, что нелинейные уширения частот превышают линейные частоты дрейфовых волн [39]. Это свидетельствует о том, что дрейфовая турбулентность в токамаках не может рассматриваться как волновая турбулентность и для нее весьма существенным является нелинейное взаимодействие мелкомасштабных турбулентных пульсаций. В свете сказанного, при исследовании генерации крупномасштабных структур в токамаках квазилинейное приближение является недостаточным, и при создании адекватной теории явления необходимо учитывать

нелинейное взаимодействие турбулентных пульсаций в режиме сильной турбулентности.

Существенным фактором, влияющим на поведение плазмы, является ее равновесное вращение. Применительно к исследованиям по программе УТС важность эффектов вращения была осознана сравнительно недавно - лишь к концу 1980-х годов - после обнаружения вращения плазмы со значительными скоростями в экспериментах с дополнительным нагревом плазмы в токамаках. Вращение плазмы является характерной чертой современных токамаков. В одних случаях механизмы возникновения вращения плазмы в токамаках могут быть прозрачны и связаны с внешними воздействиями на нее - как, к примеру, тороидальное вращение плазмы в токамаках при несбалансированной тангенциальной инжекции пучков нейтральных атомов. В других же случаях эти механизмы совсем не очевидны и являются предметом активных обсуждений (см., например, работы [40, 41] и многочисленные приведенные в них ссылки). Равновесное вращение плазмы существенным образом влияет на различные типы волн и неустойчивостей. Это влияние обусловлено главным образом (но не только) центробежными и кориолисовыми эффектами. Вращение может приводить к существенной модификации ранее известных ветвей возмущений статического равновесия плазмы и к появлению абсолютно новых ветвей, к подавлению некоторых ранее известных неустойчивостей и к возникновению новых типов неустойчивостей, для которых вращение служит резервуаром (или стоком) энергии [42] - [45]. Несомненный интерес представляет анализ влияния равновесного вращения на зональные течения, ГАМ и другие низкочастотные моды в токамаке. В частности, важно выяснить каким образом упомянутые ветви непрерывного МГД спектра модифицируются во вращающейся плазме, как изменяются их частоты, от которых зависит эффективность взаимодействия мод с мелкомасштабной турбулентностью. Наиболее же существенным мотивирующим фактором для такого анализа является выяснение возможности линейной раскачки низкочастотных мод, обусловленной равновесным вращением плазмы.

Турбулентные переносы являются универсальным фундаментальным явлением в плазме, играющим важнейшую роль не только в лабораторных установках магнитного удержания плазмы, но и в природных условиях - в астрофизике, в геофизике. Одной из

важнейших неустойчивостей в астрофизике, активно обсуждающейся в последние два десятилетия, считается магнитовращательная (или магниторотационная) неустойчивость (MBH) - неустойчивость дифференциального вращения плазмы (и других проводящих сред) в слабом магнитном поле. Всплеск интереса к MBH произошел в начале 90-х годов после осознания ее исключительной важности как возможного механизма возбуждения и поддержания турбулентности в аккреционных дисках. Дело в том, что наблюдаемые в астрофизике скорости аккреции вещества в аккреционных дисках на много порядков величины превышают скорости, которые могут быть объяснены молекулярной вязкостью. Для объяснения указа�