О некоторых обратных задачах спектрального анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРОВ ОДНОГО

КЛАССА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Достаточные условия дискретности спектра. Асимптотические формулы для собственных значений. ^

§ 2. Примеры.^ о

ГЛАВА П. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОЙ ЧАСТИ ОПЕРАТОРА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ПО ОДНОМУ И ДВУМ СПЕКТРАМ.

§ X. Определение одного из коэффициентов обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка по одному и двум спектрам

§ 2. Определение комплекснозначного потенциала по одному и двум спектрам операторов, являющихся обобщением дифференциальных.

ДОБАВЛЕНИЕ К ГЛАВЕ П.

Обратными задачами спектрального анализа в самом общем смысле называются задачи восстановления оператора (или его неизвестной части) по известным спектральным характеристикам. В зависимости от типа оператора, структуры его спектра и характера исходных спектральных данных обратные задачи спектрального анализа различаются своими постановками. Наибольший интерес представляют обратные задачи, которые допускают единственное решение. В связи с этим особое значение приобретают теоремы единственности.

В настоящей диссертации рассматриваются обратные задачи двух видов: I) определение неизвестной части оператора (обыкновенного дифференциального порядка %Vd ( Иг?/*, ) или более общего типа) по одному спектру; 2) определение неизвестной общей части двух разных операторов (указанных выше) по их спектрам. В задачах такого вида используется относительно небольшой набор спектральных данных (один или два спектра), наиболее естественных с физической точки зрения, поэтому они могут цредставлять интерес для решения прикладных задач математической физики.

4.°. Остановимся более подробно на некоторых результатах, полученных ранее в теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных операторов.

Один из первых результатов в этой области для дифференциальных уравнений 2-ого порядка был получен В.А.Амбарцумяном в 1929г. в работе \l~\ , в которой он показал, что если собственные значения краевой задачи

О^Х^ЗГ) (0.1) Ij^OH уЧя-З-о (0.2) с непрерывным вещественным потенциалом ^(х) равны » го С},(х)==0,

Следующий шаг в теории обратных задач для операторов Штурма

Лиувшшя на конечном отрезке был сделан Боргом в 1946 г. в [2] . Основной результат этой работы может быть сформулирован следующим образом: собственные числа и УРавнения (0»1) при граничных условиях , + и , у '(игиНуСЮ-о (14 fit ЛЛ±* соответственно, однозначно определяют функцию (^(х)при. даншх i Л. н . (Отметим, что Борг накладывал некоторые ограничения на . В вышеприведенной формулировке теорема была доказана Л.АЛудовым [,зЗ ). Борг также показал, что потенциал C^tx) , удовлетворяющей условию = , определяется однозначно спектром уравнения (0.1) при граничных условиях (0.2) или уо>= уи»«0 (0.3) и что в общем случае один спектр не определяет функцию (х) однозначно. В работе [2 ] был предложен также метод построения уравнения (0.1) по двум спектрам. Однако при этом предполагалось, что существует уравнение вида (0.1) такое, что данные последовательности ij^h^fo*" его спектры.

Обратная задача для синуулярного дифференциального уравнения 2-ого порядка впервые была изучена А.Н.Тихоновым в 1949 г. в работе [43 в связи с некоторыми математическими проблемами электроразведки (см. также [б} )• В работе £43 было доказано, что если функция И(хД) является при А<0 решением задачи. где Jp(x) - кусочно-аналитическая функция, Jp(x»j3o>0 ) , то Jp(x) однозначно определяется значениями функции R(JO-= J иСоЛ^ при А<0 . Теорема единственности аналогичного типа была доказана также в £53 •

В 1950 г. В.А.Марченко показал, что спектральная функция оператора Штурма-Лиувилля определяет этот оператор однозначно [бЗ«

Почти одновременно с работой В.А.Марченко Крейн М.Г. опубликовал серию статей [^7,83 и др., в которых, в частности, изучалась задача построения регулярного оператора Штурма-Лиувилля по двум спектрам.

В 1951 г. И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан в работе [ 9"} указали способ построения оператора 2-го порядка по его спектральной функции, а также получили необходимые и достаточные условия для того, чтобы монотонная функция Jp(x> могла быть спектральной функцией такого оператора.

Вопросы о построении дифференциального оператора 2-ого порядка по одному и двум спектрам (регулярный и сингулярный случай) рассматривались также в работах Б.М.Левитана и М.Г.Гасымова [jEO— тез.

Отметим также ряд статей по обратным задачам спектрального аанализа для уравнений 2-го порядка, в которых доказаны теоремы единственности решения обратных задач в различных постановках (см. [17-22Л ).

Работы советских математиков А.Н.Тихонова, В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана, М.Г.Крейна, Л.Д.Фадде-ева (см. [4-16], [25-303 ), а также зарубежных ученых Борга [2~\ , Левинсона [22, 31} , Хохштадта [241 , 'Холда [231 и др. позволили создать достаточно полную теорию обратныых задач спектрального анализа для оператора Штурма-Лиувилля как в регулярном, так и в нерегулярном случаях. Однако распространить эту теорию на случай дифференциальных уравнений более высоких порядков ш. всегда. у> .-удается. ': . Например, операторы преобразования вольтеррового вида, используемые при решении обратных задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка в методе Гельфанда-Левитана, не всегда существуют для операторов более высокого порядка, как было показано в работах [32-361 . Однако в случае уравнений специального вида, полиномиально зависящих от спектрального параметра, такие операторы существуют С 37 J .

Одна из первых работ по теории обратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений порядка больше двух на конечном отрезке была опубликована в 1925 г. [381. В этой работе показано, что для самосопряженного выражения. 4-ого порядка один и тот же спектр может соответствовать целому семейству граничных условий, и, следовательно, в общем случае один спектр не определяет однозначно такой оператор. В работах С39-43Цдля обыкновенных дифференциальных операторов порядка больше двух, найдены различные наборы спектральных данных, которые однозначно определяют соответствующий оператор. Так, например, в £423 показано, что для однозначного восстановления оператора W, -ого порядка достаточно задать 4 спектров ).

И.Г.Хачатрян в Ц441 (см. также С45Л ) рассмотрел вопрос о восстановлении комплекснозначного симметричного потенциала СрО--С^(ЗГ-х), С^(Д)€ L^C^JT), по спектру {^пЛТ* краевой задачи: (-i^^^-v^WUCX^^Cx», (0.4)

17/5. (0.5)

В этой работе найдены достаточные условия на заданную последовательность комплексных чисел {^п^Г* и такой класс функций, в котором при этих условиях существует только один потенциал fyCx} , порождающий собственные значения • Кроме того, показано, что даже при выполнении условия симметрии С^Сх) потенциал fy(ot) в общем случае спектром задачи (0.4), (0.5) не определяется однозначно.

В работе Садовничего В.А. и Дубровского В.В. [461 рассматривался случай абстрактных самосопряженных операторов, определенных в гильбертовом пространстве И" функций, заданных на множестве X и квадратично интегрируемых на X По MepeJ4.

Предполагалось, что самосопряженный оператор ^ с простым дискретным спектром возмущается ограниченным самосопряженным оператором J? , который реализуется как оператор умножения на функцию рСзс) и не меняет дискретности и простоты спектра. В (46} рассматривался вопрос об определении |р(х) по спектру оператора . Авторы [463 нашли такой класс функций, в котором решение этой обратной задачи (в предположении, что оно существует), единственно.

В [47] доказан ряд теорем единственности для операторов, порожденных обыкновенным несамосопряженным дифференциальным выражением произвольного порядка на конечном отрезке и неразделенными граничными условиями общего вида. В [48] показано, что коэффициенты самосопряженного дифференциального выражения четвертого порядка, удовлетворяющие некоторым условиям симметрии, однозначно определяются по спектрам двух краевых задач, порожденных этим выражением на конечном отрезке, и разными наборами краевых условий (теорема единственности).

Из работ зарубежных математиков, посвященных обратным задачам для уравнения четвертого порядка с дискретным спектром, отметим работы [49-553 , в которых в качестве исходной информации использованы различные наборы спектральных данных (спектр и нормировочные числа, три спектра и т.д.).

2Л Перейдем теперь к более точной постановке задач, которые рассматриваются в диссертации, и формулировке результатов.

Диссертация состоит из введения, глав I, П и дополнения к главе П. Основные результаты диссертации изложены в главе П и дополнении к ней.Глава I носит вспомогательный характер.

1. Чудов Л.A., Обратная задача Штурма-Лиувилля, Математ. сб., 1949, т. 25(67), 1Ь 3, 451-454.

2. Тихонов А.Н., О единственности решения задачи электроразведки, Докл. АН СССР, 1949, т. 69, 1^ 6, 797-600.

3. Тихонов А.Н,, К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований, Журнал вычислит, математики и математ. физики, 1965, т. 5, Jg 3, 545-547.

4. Марченко В.А,, Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка, Докл. АН СССР, 1950, т. 72, Ш 3, 457-460.

5. Крейн М.Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля, Докл. АН СССР, I95I, т. 76, Jg I, 21-24.

6. Крейн М.Г., Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи. Докл. АН СССР, 1954, т. 94, В 6, 987-990.

7. Гельфанд М.М., Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, Изв. АН СССР, сер. ма-тем., I95I, т. 15, J^ 4, 309-360.

8. Левитан Б.М., Об определении дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля по двум спектрам, Докл. АН СССР, 1963, т. 150, Ш 3, 474-476.

9. Гасымов М.Г., Об обратной задаче для уравнения Штурма-Лиувил- - ля, Докл. АН СССР, 1964, т. 154, .й 2, 254-257.

10. Левитан Б.М., Гасымов М.Г., Определение дифференциального уравнения по двум спектрам, Успехи мат. наук, 1964, т. 19(116), вып. 2, 3-63.

11. Левитан Б.М., Об определении оператора Штурма-Лиувилля по одному и двум спектрам, Изв. АН СССР, сер. мат., 1978, т.42, Ш I, 185-199.

12. Гасымов М.Г., Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам. Докл. АН СССР, 1965, т.161, Ш 2, 274-276.

13. Садовничий В.А., Е^цинственность решения обратной задачи для уравнения второго порядка с нераспадающимися краевыми условиями, Вестник ?ЛГУ, сер. матем., 1974, В I, I43-I5I.

14. Садовничий В.А., Теорема единственности решения обратной задачи спектрального анализа в случае дифференциального уравнения с периодическими граштчными условиями, Дифф. уравн., 1973, т. 9, JJ^ 2, 271-277.

15. Юрко В.А., Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями, Матем. зам., 1975, т. 18, Ш 4, 569-576.

16. Карасева Т.М., Об обратной задаче Штурма-Лиувилля для неэрми- -109-това оператора, Матем. сб., 1953, т. 32(74), В 2, 477-483. 22. &trtn-4Gftt^ ^ .% Сткме Siwim-йтляШ ^"w^iriyJloifi.

17. ЖМ О.Ж. Vk imviu Зишп-йоитШ о\Мип ш1к 24. 'ЙосМаобб %. ,№ inmhu. Siumi-iLmmtk i^^i^y Стип. Oft рал£. OUi-d CUbbUti tXl(Xi:li., 19?5,tr.^(„ fJ^5/6,;/5-:f25.

18. Тихонов А.Н,, Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т. 39, J,^ 5, 195-198.

19. Алимов Ш.А., О работах А.Н.Тихонова по обратным задачам для уравнения Штурма-Лиувилля, Успехи мат. наук, 1976, т. 31,в.6, (192), 84-88.

20. Фадеев Л.Д,, Обратная задача квантовой теории рассеяния, в сб.: "Современные проблемы математики", т.З, ВИНИТИ (Итоги науки и техники), М., 1974, 93-180.

21. Марченко Б.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, К, "Наукова дугжа", 1977, 331.

22. Фадеев Л.Д,, Обратная задача квантовой теории рассеяния. Успехи матем. наук, 1959, т. 14, в.4, 57-119.

23. Агранович З.С., Марченко В.А., Обратная задача теорий рассеяния,!. , Из д-во ХГУ,1960. 31. isivimm^df; (кьШ ап1шатш> &^ Ш- boimicd ша Til. Sibk.dM..-<^-i^- a£(iol.,4949, гб', Mo9,' 2.9.

24. Сахнович Л.А., Об ббратной задаче для уравнения четвертого порядка, Матем. сб., 1962, т.56(98), в.2, 137-146.

25. Сахнович Л.А., Метод оператора преобразования для уравнений высших поря.цков, Матем. сб., 1961,т.55(97),в.З, 347-360. -но26. Сахнович Л.А,, Обратная задача для дифференциальных операторов поря,.];ка гит^ с аналитическими коэффициентами, Матем, сб., 1958, т. 46(88), 61-67.

27. Сахнович Л.А., Необходимые условия наличия оператора преобразования для уравнения четвертого поря,цка, Успехи мат.наук, 1961, т. 16, AS 5, 199-205.

28. Мацаев В.И., О существовании оператора преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков, Докл. АН СССР, I960, т. 130, J& 3, 499-502.

29. Гасымов М.Г,, Маггеррамов A.M., О существовннии операторов преобразования для дифференциальных уравнений высокого порядка, полиномиально зависящих от параметра. Докл. АН СССР,1977, т. 235, Яз 2, 259-262.

30. Ч)ож^ %. С, Ли %осклйШ1 9( Ш ыМиуь е| ih %1аШс Воя, кАт&АХл Лоутп- Jicdk-, i^^5, цц , i o i - u a

31. Лейбензон З.Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач. Труды Московск. мат. об-ва, I97I, т.25,15-58.

32. Лейбензон З.Л., ^^цинственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка ЦУ 2 и преобразования таких операторов, Докл. АН СССР, 1962,т.142, Ш 3, 534-537.

33. Лейбензон З.Л., Обратная за.цача спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков, Труды Московс. дгатем. об-ва, 1966, т. 15, 70-144.

34. Баранова Е.А., О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по системе их спектров, Докл. АН СССР, т.205, Ш 6, 1972, I27I-I273.

35. Страхов В,А., О некоторых вопросах теории обратных задач для дифференциальных операторов, Матем. зам., 1977, т.21, В 2, -Ill-I5I-I60.

36. Хачатрян И.Г., О восстановяении дифференциального уравнения по спектру, Препринт II 73, М., ШЁЛ Ш СССР.

37. Хачатрян И.Г., О восстановлении дифференциального уравнения по спектру, Функц. анал. и его прилож., 1976, т. 10, в.1, 93-94.

38. Садовничий В.А., Дубровский Б.В., О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром, Диф. уравн., 1979, т.15, В 7, I206-I2II.

39. Кангужин Б.Е., Некоторые вопросы теории обратных задач. Диссертация к.ф.-м.н., М., 1982.

40. Юрко В.А,, О восстановлении дифференциальных операторов четвертого порядка, Диф.уравн., 1983, т. 19, В II, 20I0-20I2. 49. 1У- a^oKolon, Он Ш ^luiim в| inbw>t Ш^ьоЛмл ргеЙет^

41. IK Ъ(ХШЬ)У1. Oft ihx U/fti^ltHtM Q| LnWAt U(pl'b(Uwi \эХдШШ^

42. Ч. dit^LYim, Oft ifte. iaivud ITLkatccm. е( Cmiical УЬаи,

44. Маркус A.С, Мацаев В.И., Об асимптотике спектра операторов, близких к нормальным, Функц. анализ и его прилож., 1973, т.13, в. 3, 93-94.

45. Маркус А.С, Мацаев В.И., Теоремы рравнения спектров линейных операторов и спектральные асимптотики. Труды Моск.мат.об-ва, 1982, т. 45, I3I-I8IC.

46. Костюченко А.Г., Саргсян И.Г., Распределение собственных значений. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы, М., Наука, 1979, 400£.

47. Бирман М.Ш., Сологляк М.З., Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Итоги науки и техники. Сер.: математический анализ, ВИНИТИ, 1977, т. 14, 5-58.

49. Садовничий В,A., Дубровский В.В., Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формуле регуляризованных следов и о дзета-функции операторов, Диф. уравн., I977,T.I3,JS7,I264-I27I.

50. Данфорд Н., Шварц Д Е . Т., Линейные операторы, т. 3, М., Мир, 1974, 661с.

51. Садовничий В.А., Дубровский В.В., О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов -из-для дифференциальных операторов в частных производных, Диф. уравн., 1977, т.13, 3 II, 2033-2042.

52. Като Т., Теория возмущений линейных операторов, М., "Мир", 1972, 7401.

53. Рисе. Р., СекефальБИ-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, М., "Ivfep", 1979, 587 л.

54. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы, М.,"Наука", 1969, 526 £.

55. Сахнович Л.А,, Асимптотика спектра ангармонического осцилля- • тора, Теорет и матем. физ., I98I, T.47,JJ3 2, 266-276.

56. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Т., Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля, Матем сб., 1979, т.ПО, М , 135-149. 69. 5loo(£ia ^ %.•&; Sokz- una ^шпиМ di CkMtijid ,„^ £лг. mU-topctm^.'','(960, U). тх-ъ, '^H-XL

57. Градштейн И.О., Рыжик И.М,, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., Физматгиз, 1963, НООс,

58. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Элементыы функционального анализа, М., ГИТТЛ, I95I, 360с.

59. Станкевич М.И., Об одной обратной задаче спектрального анаш^- за для обыкновенного дифференциального оператора четного порядка, Вестник МГУ, серия: мат., мех, I98I, I 4, 24-28.

60. Станкевич М.И., Восстановление операторов некоторого класса по одному и двум спектрам, Вестн. МГУ, серия:мат.,мех., 1984, |й 5,15-^7..

61. Станкевич М.И., Восстановление обыкновенного дифференциального уравнения 2\я -ого порядка по двум спектрам, Диф.уравн., 1984, т.20, В 5, 895-897.