Метод инвариантных многообразий в задачах кинетики тема автореферата и диссертации по , 01.00.00 ВАК РФ

1 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ

МНОГООБРАЗИЙ ДЛЯ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ

1 Динамическая инвариантность и термодинамичность

2 Термодинамическая параметризация

2.1 Итерационные методы решения уравнения инвариантности.

2.2 Метод инвариантного многообразия.

2.3 Физическая и геометрическая интерпретации

2 ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ И СОКРАЩЕНИЕ ОПИСАНИЯ В ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКЕ

3 Построение динамически инвариантных многообразий для уравнения Больцмана

4 Уравнения первой поправки к локально-максвелловскому многообразию

3 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

5 Разложение параметрикса

6 Конечномерные аппроксимации интегральных уравнений

7 Уравнения гидродинамики

8 Уравнение инвариантности и ряд Чепмена-Энскога

9 Самосопряженность и принцип Онсагера

10 Метод инвариантного многообразия в химической кинетике

10.1 Формальная схема диссипативной химической кинетики.

10.2 Построение динамически инвариантных многообразий для конечномерных систем

10.3 Самосопряженная линеаризация.

10.4 Примеры.

10.5 Реакция изомеризации.

Постановка проблемы и ее актуальность.

В настоящей диссертации представлен новый метод решения проблемы сокращения описания для кинетических уравнений больцмановского типа. Метод основан на ньютоновских итерациях и обеспечивает согласование сокращенного описания с Я—теоремой на каждой итерации. В отличие от классических подходов этот метод не требует малых параметров и существенных ограничений на выбор начальных приближений.

Настоящий метод, применимый к любым диссипативным системам, имеющим глобально-выпуклую функцию Ляпунова. Примерами таких систем являются больц-мановские газы, описываемые уравнением Больцмана с подходящими граничными условиями, химически реагирующие замкнутые системы, изучаемые в химической кинетике, а также множество систем, описываемых стохастическими кинетическими уравнениями (например уравнениями Паули и Фоккера-Планка).

Обсудим кратко основные недостатки классических методов сокращения описания в теории уравнения Больцмана.

Основная трудность метода Чепмена-Энскога [1] — нефизические особенности приближений выше первого порядка (барнеттовские и супербарнеттовские). Это отмечалось многими авторами, а подробное обсуждение можно найти в [2]. В частности, как было показано в [4], барнеттовские приближения имеют коротковолновую неустойчивость звуковых волн, что противоречит Я—теореме.

Гильбертовские разложения содержат секулярные члены, что также противоречит Я—теореме.

К другим недостаткам методов Гильберта и Чепмена-Энскога относятся: ограничения на выбор начального приближения (локально-равновесное распределения), необходимость явного использования малого параметра и медленно сходящихся тейлоровских рядов. Указанные трудности являются препятствием для использования этих методов в существенно неравновесных задачах.

Основной недостаток метода Грэда [5] — неконтролируемость используемой аппроксимации. Расширение списка моментов может улучшать, а может и не улучшать качество приближения. Обсуждение трудностей моментных методов читатель может найти в [2].

Известно множество попыток улучшения упомянутых методов. Для методов Гильберта и Чепмена-Энскога такие попытки заключались в основном в "перегруппировке" разложения (например исключение высших производных [2], переразложении [2], Паде аппроксимации и частичном суммировании). Такого типа работа с формальными рядами широко распространена в физике. Иногда удается получить удивительно хороший результат — от калибровочных теорий в квантованных полях до уравнения Перкуса-Йевика и кольцевого оператора в статистической механике. Однако, не следует забывать, что хороший результат не всегда гарантирован. Кроме того, перегруппировкой невозможно устранить ограничение на выбор начального локально-равновесного приближения.

Попытки улучшения метода Грэда базировались на квази-равновесных приближениях [6, 7]. Как было показано в [8] Грэдовские распределения есть линеаризованные версии соответствующих квазиравновесных распределений. В работах [9] предложен метод, в котором потоки (например, моменты интеграла столкновений) используются как независимые переменные в квазиравновесном описании.

Важным достоинством квазиравновееных приближений является то, что они всегда термодинамичны, т.е. согласованы по-построению с if—теоремой. Эти вопросы подробно обсуждались в [10, 11]. Однако, квазиравновесные приближения не избавлены от неконтролируемости метода Грэда. Развернутую критику квази-равновесных приближений содержится в [12]. Эта критика верна и для метода Грэда.

В заключение обратим внимание на тот факт, что существуют приближения, выбираемые ad hoc, которые не включены ни в какие процедуры последовательных приближений. Наиболее известное из этих приближений — приближения Тамма-Мотт-Смита в задачах об ударной волне [2].

Сформулируем в общем виде проблему сокращения описания. Пусть выбрано некоторое приближенное сокращенное описание. Это означает, что в пространстве функций распределения фиксировано некоторое многообразие ("поверхность"). Мы выделяем две основные проблемы сокращения описания:

1. Термодинамичность. Мы должны определить макроскопическую динамику на многообразии. Для этого необходимо спроектировать уравнение Больцмана на некоторые макроскопические параметры. Первая задача состоит в определении как и на какие макропараметры следует совершать проекцию? Какой из проекторов имеет физический смысл и сохраняет термодинамичность (согласование с Я—теоремой) на выбранном макроскопическом уровне?

2.Динамическая инвариантность. Как правило выбранное многообразие не является динамически инвариантным многообразием уравнения Больцмана. Понятие "динамически инвариантных многообразий" возникает во многих динамических теориях: многообразие называется динамически инвариантным если векторное поле динамической системы касательно к многообразию в каждой его точке. Следовательно, возникает задача уточнения выбранного многообразия в смысле построения "более инвариантного приближения". Итак, вторая задача состоит в ответе на вопрос: как строить поправки в самом общем случае (например, когда нет никаких малых параметров и каких-либо упрощений). Наиболее оптимальным решением второй задачи был-бы метод последовательных приближений, который не требовал-бы сильных ограничений на выбор начального многообразия.

Общая проблема классических методов состоит в том, что ни один из них не содержит способов последовательного исправления динамической неинвариантности сокращенного описания с сохранением его термодинамичности. Метод Грэда-и его обобщения дают термодинамические приближения. Однако, если взять грэдов-ские распределения в качестве начальных данных (t = 0) для уравнения Больцмана, то при t > 0 траектория кинетического уравнения выйдет за пределы начального многообразия, при этом в методе отсутствуют оценки и способы исправления неинвариантности этого многообразия. С другой стороны, методы Чепмена-Энскога и Гильберта не гарантируют согласование с термодинамикой. Вопрос об исправлении неинвариантности для этих методов также до конца не ясен.

В классической механике проблемы инвариантных многообразий наиболее успешно разработана в известной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) [13, 14, 15]. Наиболее важными, по нашему мнению, являются две идеи КАМ-теории: 1) построение инвариантных многообразий раньше, чем решений; 2) использование быстро-сходящегося метода Ньютона вместо тейлоровских разложений.

Итак, будем понимать проблему сокращения описания для уравнения Больцмана как проблему построения динамически инвариантного многообразия, стартуя с данного начального многообразия.

Однако, прямое перенесение подходов КАМ-теории на диссипативные системы имеет множество препятствий. Наиболее существенным препятствием является требование согласования приближений на каждой итерации с Н—теоремой. Если это требование не выполнено, то неясен практический смысл таких приближений.

Далее мы покажем какие именно трудности встречаются на этом пути и как их преодолевать. В результате мы сведем сокращения описания к последовательности линейных однотипных задач.

В первой главе мы представим общий метод построения динамически инвариантных многообразий для диссипативных систем с глобально-выпуклой функцией Ляпунова.

Во второй главе обсуждается приложение этого метода к уравнению Больц-мана. Этот раздел служит промежуточным звеном между главой 1 и главой 3, где описано применение метода к задаче вывода уравнений гидродинамики из уравнения Больцмана.

В третьей главе мы используем технику псевдо-дифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье для решения уравнения, получаемого на первой - ньютоновской итерации. В частности, мы рассмотрим задачу о спектре! акустических волн. Как мы уже упоминали, типичный недостаток методов Чепмена-Энскога — коротковолновая неустойчивость акустического спектра. Обычные методы борьбы с этим недостатком основаны на некоторых предположениях, выдвигаемых ad hoc, и имеют лишь характер рецептов. Независимость от априорных предположений требует более общего подхода к проблеме. Метод инвариантного многообразия свободен от привлечения каких-либо дополнительных предположений. Результаты, полученные нашим методом мы сравним с барнеттовскими приближениями и методами частичного суммирования.

Апробация. Работа докладывалась на семинарах в ЛГУ (кафедра математической физики, профессор Баранцев), ЦАГИ (г. Жуковский, профессор Галкин), Институте Прикладной Механики АН СССР (г. Москва, профессор Колесниченко), ВЦ АН СССР (г. Москва, профессор Рыков), Институте металлов УАН (г. Киев, профессор Барьяхтар), VIII Всесоюзном симпозиуме по горению и взрыву (Ташкент, 1986), семинарах ВЦ СО АН СССР в г. Красноярске, Института физики СО АН СССР (г. Красноярск), Красноярского государственного университета.

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 10 публикациях [70-79], в том числе, 6 статей в рецензируемых журналах и одна монография.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели две основных проблемы сокращенного описания диссипативных систем: проблему термодинамичности (Проблема 1 из раздела 2.1) и проблема ди

1. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.- М.: Изд-во иностр. лит. I960.- 510 с.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. Пер. с англ. М.: Мир. 1978.- 495 с.

3. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир. 1973.- 245с.

4. Бобылев А.В. О методах Чепмена-Энскога и Грэда решения уравнения Больцмана // ДАН СССР.- 1982. Т.262 1. С.71-75.

5. Grad Н. On the Kinetic Theory of Rarefied Gases // Comm. Pure and Appl Math.-1949. Vol. 2. No. 4- P.331-407.

6. Коган A.M., Розоноэр Л.И. О макроскопическом описании кинетических процессов //ДАН СССР.- 1964. Т. 158.- 3.- С.566-569.

7. Розоноэр Л.И. Термодинамика необратимых процессов вдали от равновесия //Термодинамика и кинетика биологических процессов./Прц. ред. Зотина А. И.-М.: Наука,- 1980.-С.169-186.

8. Коган A.M. Вывод уравнений грэдовского типа и изучение их релаксационных свойств методом максимизации энтропии. // Прикл. мат. и механика.- 1965. Т.29. Вып.1,- С.122-133. , .

9. Карлин И.В. О релаксации скорости химической реакции в газовых смесях // Сб. Математические проблемы химической ки- нетики.- Новосибирск: Наука. 1989. С. 7-42.

10. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ.- Новосибирск: Наука.- 1984.- 224 с.

11. Горбань А.Н., Быков В.И. Яблонский Г.С. Очерки о химической релаксации. Новосибирск. Наука.- 1986.- 320 с.

12. Коган М. Н. Динамика разреженных газов. М.: Наука.- 1967.- 440 с.

13. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. // ДАН СССР.- 1954. Т. 98. 4,- С. 527-530.

14. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике.// Усп. мат. наук.- 1963. Т.18.- 6.- С. 91-192.

15. Moser J. Convergent series expansions for quasiperiodic motions.// Math. Ann.-1967. V. 169.- P. 136-176.

16. M. Lampis, Meccanica, 12, 171 (1977).

17. A.N.Gorban and I.V.Karlin Thermodynamic parameterization. // Physica A.- 1992. Vol. 190.- P.393-404.

18. I. Hosokawa and S. Inage, J.Phys.Jap., 55, 3402 (1986).

19. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, "Функциональный анализ", Наука, Москва,1977).

20. Е. Farrow and D. Edelson, Int.J.Chem.Kinet., 6, 787 (1974).

21. Яблонский Г. С., Быков В. И., Горбань А. Н. Кинетические модели каталитических реакций.- Новосибирск: Наука.- 1983.- 254 с.

22. F. Treves, "Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators", Plenum, NY, (1982).

23. M. A. Shubin, "Pseudodifferential Operators and Spectral Theory", Nauka, Moscow,1978).

24. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes I. II. // Phys. Rev.- 1931. Vol. 37.- P. 405-409;

25. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат.- 1956.- 554с.

26. Кэфлиш Р. Э. Газовая динамика и уравнение Больцмана. // Сб. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана: пер. с англ. /Под ред. Дж. Л. Либовица, Е. У. Монтролла.- М.: Мир.- 1986.- С. 204-234.

27. Гринберг У., Полевчак Я., Цвайфель П. Ф. Теоремы существования в целом решения уравнения Больцмана. // Сб. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана: пер. с англ./Под ред. Дж. Л. Либовица, Е. У. Монтролла.- М: Мир.- 1986.- С. 29-59.

28. Carleman Т. Sur la theorie de 1'equation integrodifferentielle de Boltzmann. // Acta Math.- Vol.60.- 1933.- P. 91-146.

29. Arkeryd L. On the Boltzmann equation. I: Existence.// Arch. rat. Mech. Anal-Vol. 45.- 1972.- C.l-16.

30. Arkeryd L. On the Boltzmann equation. II: The full initial value problem. // Arch, rat. Mech. Anal.- Vol.45.- 1972,- C.17-34.

31. Arkeryd L. Intermolecular Forces of Infinite Range and the Boltzmann Equation. // Preprint.- Chalmers Univ. of Technology- Sweden.- 1980.- 30 p.

32. Бобылев А. В. О томных решениях уравнения Больцмана. // ДАН СССР.- 1975.Т. 225.- 6. С.1296-1299

33. Бобылев А. В. Об одном классе инвариантных решений уравнения Больцмана. // ДАН СССР.- 1976.- Т. 231.- 3.- С.571-574.

34. Krook М., Wu Т. Т. Exact solutions of the Boltzmann equation. // Phys. Fluids, Vol. 20, 1977.- P.1589-1595.

35. Бобылев А. В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа.// ТМФ.- Т. 60.- 2.- 1984.- С. 280-311.

36. Бобылев А. В. О некоторых свойствах уравнения Больцмана для максвеллов-ских молекул. Препринт 51. М.: ИПМ АН СССР.- 1975.- 29 с.

37. Ernst М. Н., Hendriks Е. М., An exactly solvable non-linear Boltzmann equation // Phys. Lett.- 1979.- Vol. 70A.- P. 183-185.

38. M. X. Эрнст Точные решения нелинейные уравнения Больцмана и близких кинетических уравнений. //Сб. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана: пер. с англ./Под ред. Дж. Л. Либовица, Е. У. Монтролла. М.: Мир. 1986.-С.60-131.

39. Aizenman М., Bak Т. A. Convergence to equilibrium in a system of reacting polymers. // Commun. Math. Phys.- Vol.65.- 1979.- C. 203-230.

40. Hilbert D. Grundzuge einer Allgemeinen Theorie der Linearen Intergalgleichungen. // Chelsea.- Publishing Co. New York.- 1953.- 245 p.

41. Enskog D. Kinetische Theorie der Vorgange in massig verdiinnten Gasen. Dissertation // Uppsala.- 1917.- 162 pp.

42. Горбань A.H., Карлин И.В. Структура и аппроксимации разложения Чепмепа-Энскога для линеаризованных уравнений Трэда // ЖЭТФ.- 1991. Т.100. 4 (10).-С.1153-1161.

43. Grad Н. On the Kinetic Theory of Rarefied Gases // Comm. Pure and Appl Math.-1949. Vol. 2. No. 4.- P.331-407.

44. Маслова H. Б. О решении уравнения Больцмана для случая пространственно-однородного газа из максвелловских молекул. // Вестник ЛГУ.- 13.- 1968.- С. 88-95.

45. Huang А. В., Hwang P. F. Test of statistical models for gases with and without internal energy. // Phys. Fluids.- 1973. Vol. 16.- P. 466-575.

46. Huang А.В., Giddens D.P., Bagnal, C.W. Rarefied gas flow between parallel plates based on the discrete ordinate method. // Phys. Fluids.- 1967. Vol. 10.- P. 498-502.

47. Huang А. В., Hartley D. L. Nonlinear rarefied Cauette flow with heat transfer. // Phys. Fluids.- 1968. Vol. 11.- P. 1321-1326.

48. Чандрасекра Ш. Перенос лучистой энергии.- М.: ИЛ. 1953.- 432 с.

49. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука.-1982.- 269 с.

50. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир,- 1981. 320 с.

51. Bird G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation. // Phys. Fluids.- 1970. Vol. 13.- No. 13.- P. 2676-2681.

52. Рогазинский С. В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана. Препринт 617. ВЦ СО АН СССР.- Новосибирск. 1985.- 25 с.

53. Королев А. Е., Яницкий В.Е., Прямое статистическое моделирование столкно-вительной релаксации в смесях газов с большим различием в концентрациях.// ЖВМ и МФ.- 1983. Т. 23.- 3.- С. 674-680.

54. Кондюрин Ю.Н. Об одной процедуре Монте-Карло решения уравнения Больцмана, связанной с методом Метрополиса. // В кн.: Приближенные методы решения краевых задач механики сплошной среды Свердловск.- 1985.- С. 32-45.

55. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа. // ЖВМиМФ.- 1975. Т.15.-5.- С. 1195-1208; Т.15.- 6.- С.1553-1567.

56. Повзнер А. Я. Об одном уравнении Больцмана кинетической теории газов. // Мат. сб.- 1962. Т. 58 (100).- 1.- С. 65-86.

57. Goertzel G., Kalos М. Н. Monter Carlo in transport problems. In "Progress in nuclear energy". Sect. I: Physics and Mathematics.- London. Pergamon Press.-1958.- 120p.

58. Spanier J., Gelbard E. M. Monter Carlo principles and neutron transport problems.-Reading. Addison-Wesley. 1969.- 231 p.

59. Рыков В. А. Релаксация газа, описываемого кинетическим уравнением Больцмана.// Прикладная математика и механика.- 1967. Т. 31. Вып. 4.- С. 756-762.

60. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике.-М.: Наука.- 1972,- 232 с.

61. Саясов Ю. С., Васильева А. Б. Обоснование и условие применимости метода квазистационарных концентраций Семенова-Боденштейна.// Журн. физ. химии.- 1955. Т. 29.- 5.- С. 802-810.

62. Найфэ А. Введение в методы возмущений.- М.: Мир. 1984.- 535 с.

63. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973.- 272 с.

64. Васильев В. М., Вольперт А. И., Худяев С. И. О методе квазистационарных концентраций для урвнений химической кинетики.// Журн. вычисл. мат. и мат. физики.- 1973. Т. 13.- 3.- С. 682-697.

65. Li G. and Rabitz Н. A general analysis of exact lumping in chemical kinetics // Chem. Eng. Sci.- 1989. Vol. 44.- P. 1413-1430.

66. Де Донде Т., Ван Риссельберг П. Термодинамическая теория сродства (книга принципов).- М.: Металлургия. 1984.- 136 с.

67. Исихара А. Статистическая физика- М.: "Мир11.- 1973.- 472с.

68. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана. // Сб. Неравновесные явления: Уравнение Больцмана: пер. с англ./Под ред. Дж. Л. Либовица, Е. У. Монтролла, М.: Мир.- 1986.- С-132-203.

69. Tjon J. A. On the approach to Maxwellian distribution.// Phys. Lett.- 1979. V.70 A.- P.390-392.

70. Карлин И. В. Построение уравнений химической кинетики методом максимума энтропии, информационно-оперативный материал. Математическое .моделирование. -Красноярск, 1986. С.19-21.-(Препринт АН СССР, Сиб. отд-ие ВЦ; Ж1).

71. Карлин И. В. Релаксация скорости химической реакции в условиях поступательной неравновесности. Кинетика и горение: Материалы VIII Всесоюзного симпозиума по горению и взрыву. -Черноголовка, 1986. С.97-99.

72. Карлин И.В. О релаксации скорости химической реакции в газовых смесях // Сб. Математические проблемы химической кинетики.- Новосибирск: Наука. 1989. С. 7-42.

73. Горбань А.Н., Карлин И.В. Структура и аппроксимации разложения Чепмепа-Энскога для линеаризованных уравнений Грэда // ЖЭТФ.- 1991. Т.100. 4 (10).-С.1153-1161.

74. A.N.Gorban and I.V.Karlin, Thermodynamic parameterization, Physica A, 190, (1992). P.393-404.

75. A.N.Gorban and I.V.Karlin, H-theorem for generalized models of the boltzmann equation, Adv.Model.& Analysis C, V.33, No.3, (1992). P.33-38.

76. A.N.Gorban and I.V.Karlin, Structure of thermodynamic parameterization, Modelling, Measurment & Control A, V.46, No.4, (1992). P. 1-8.

77. A.N.Gorban and I.V.Karlin, Coarse-grained quasi-equilibrium approximations for kinetic equations, Adv.Model.& Analysis C, V.35, No.l, (1992). P.17-27.

78. A.N.Gorban, I.V.Karlin and N.N.Bugaenko, Universal expansion in the problem of closure, Modelling, Measurements к Control, A, Vol.47, No.4, 1992, pp.25-43.

79. Iliya V. Ivarlin, Method of invariant manifold in kinetic theory. AMSE Press, Tassin, Fiance, 1992. ISBN: 2-909214-06-0. 150 pp.f