Асимптотики собственных элементов одномерного оператора Шредингера с потенциалом, локализованным на множестве малой меры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Хуснуллин Ильфат Хамзиевич

АСИМПТОТИКИ СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОДНОМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ПОТЕНЦИАЛОМ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2015

15 НАР 2015

005561238

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы"

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор, Гадылыпин Рустем Рашитович

Чечкин Григорий Александрович доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета ФГБОУ ВПО "МГУ им. М.В.Ломоносова" Валеев Нурмухамет Фуатович кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теории функций ФГБУН "Институт математики с вычислительным центром"УНЦ РАН ФГБУН "Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского" Уральского отделения РАН.

Защита состоится "15." мая 2015 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при ФГБУН "Институт математики с ВЦ"УНЦ РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112, ауд. 24, факс (8-347) 272-59-36, тел. 273-33-42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМВЦ УНЦ РАН и на сайте http://matem.anrb.ru/ru/diss.

Автореферат разослан марта 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.057.01, к.ф.-м.н.

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, химических, биологических процессов, имеют ряд существенных особенностей, которые не позволяют получить точные аналитические решения. Если даже точное решение некоторой задачи явно найден, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Для решения подобных задач вынуждены пользоваться различного рода приближениями, или численными методами, или комбинацией тех и других. Среди приближенных методов основными являются методы возмущений по большим или малыми значениями параметра1. Уравнения с малыми параметрами называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Теория возмущений была создана Рэлеем и Шрёдингером. Рэлей дал формулу для вычислений собственных частот и мод колебаний системы, мало отличающейся от более простой системы, которая допускает полное описание частот и мод колебаний2. С математической точки зрения этот метод эквивалентен приближенному решению задачи на собственные значения для линейного оператора, мало отличающегося от более простого оператора, для которого эта задача полностью решена. Шрёдингер развил аналогичный метод для задачи на собственные значения, возникающих в квантовой механике3,4.

В случаях, которые называются регулярными или регулярно возмущенными, решение возмущенной задачи равномерно переходит к решению невозмущенной задачи при стремление

1 Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений M :Мнр, 1954.

2RayIeigh. The theory of Sound v 1. London. 1927

3Schrödinger E. Quantisierung ab Eigenwertproblem (Dritte Mitteilung: Strörungstheorie, mit Anwendung auf den Starkeffekt der Balmerlinien) // Ann-Physik. - 1926. - V. 80- - Р. 437-490

4Schrödinger E Collected papers on wave mechanics N Y-Toronto-London. McGraw-Hill. 1955.

малого параметра к пулю. На практике, даже для регулярно возмущенных задач актуален вопрос обоснования полученных приближенных решений, оценке погрешности такого приближения. Однако не все задачи возникающие в различных областях науки и техники являются регулярными. Есть большой класс задач, для которых равномерный переход возмущенной задачи к предельной (невозмущенной) задаче оказывается невозможным. Такие задачи называются сингулярно возмущенными или сингулярными. Для таких задач характерна быстрое изменение решения в некоторых узких областях - пограничных и переходных слоях.

Значительный вклад в исследовании сингулярно возмущенных краевых задач висели В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, В. С. Буслаев, М. И. Вишик, Р. Р. Га-дыльшин, Ю. Д. Головатый, JI. А. Дмитриева, В. А. Желудев, В. В. Жиков, А. М. Ильин, JI. А. Калякин, О. А. Ладыженская, Е. Ф. Леликова, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. Н. Набоко, С. А. Назаров, А. X. Найфэ, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, А. А. Пожарский, Б. А. Пламеневский, Ф. С. Рофе-Бекетов, Э. Санчес-Паленсия, Т. С. Соболева, А. Н. Тихонов, Н. Е. Фирсо-ва, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, S. Albeverio, F. Bentosela, R. Blankenbecler, R. M. Cavalcanti, R. Carmona, M. Christ, F. Delyon, P. Exner, F. Gesztesy, M. L. Goldberger, D. Gomez, R. Hempel, D. Hundertmark, I. McGillivary, A. Kiselev, W. Kirsh, M. Klaus, S. Kotani, Y. Last, C. Leal, Sh. Ozawa, C. Remling, J. Sanchez-Hubert, B. Simon, T. Spencer, G. Stolz, P. Stollmann, J. Walter и многие другие.

Исследование дискретного спектра стационарного оператора Шредингер, возмущенного малым потенциалом, на оси является классической задачей математической физики. В частности, для случая возмущения интегрируемой, достаточно быстро убывающей на бесконечности вещественной функцией (В. Simon, М. Klaus, R. Blankenbecler, М. L. Goldberger), методом Бирмана -

Швингера были получены условия, при которых из края непрерывного спектра возникает собственное значение и построена его асимптотика. Так же были рассмотрены различные случаи поведения потенциала на бесконечности (М. Christ, A. Kiselev, W. Kirsh, S. Kotani, Y. Last, C. Remling, B. Simon, G. Stolz, J. Walter).

Оператор Хилла с вещественным потенциалом стал объектом интенсивного исследования в физической литературе начиная с 50-х годов. Структура спектра оператора была изучена для различных случаев гладкости периодического коэффициента и для различного случая поведения вещественного потенциала на бесконечности (В. С. Буслаев, Л. А. Дмитриева, В. А. Желу-дев, Ф. С. Рофе-Векетов, Н. Е. Фирсова, F. Gesztesy, В. Simon). В частности, было установлено (F. Gesztesy, В. Simon), что при возмущения малым вещественным потенциалом, в каждой лакуне содержится не более двух собственных значений, и приведены необходимые и достаточные условия, точно определяющие количество собственных значений в заданной лакуне.

В диссертации исследуется поведения собственных значений одномерных операторов второго порядка, возмущенных потенциалами, зависящими от двух малых параметров. Один из этих параметров описывает длину носителя потенциала, а обратная величина второго соответствует максимальному значению модуля потенциала.

Далее (для краткости изложения) такой иотенциат будем называть растущим потенциалом со сжимающимся носителем.

Цель работы. Целью диссертации является построение и обоснование асимптотик собственных значений оператора второго порядка на отрезке и оператора Хилла на оси, возмущенных растущим потенциалом со сжимающимся носителем.

Для оператора Шредингера на оси, возмущенного суммой растущего потенциала со сжимающимся носителем и малого локализованного потенциала, целью так же является построение и

обоснование асимптотик собственных значений, возникающих с края непрерывного спектра.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказана сходимость собственных значений и соответствующих собственных функций краевой задачи Дирихле для дифференциального оператора второго порядка на отрезке, возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем. Построены и обоснованы полные асимптотические разложения собственных значений и соответствующих собственных функций.

2. Получены достаточные условия возникновения собственного значения из края непрерывного спектра для оператора Шрёдингера на оси, возмущенного суммой растущего потенциала со сжимающимся носителем и малого локализованного потенциала. В случае возникновения, построена его асимптотика.

3. Получены достаточные условия возникновения собственных значений из краев лакун непрерывного спектра для оператора Хилла, возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем. В случае, когда собственные значения возникают, построены их асимптотики.

Методика исследования. В краевой задаче Дирихле для дифференциального оператора второго порядка на отрезке, возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем, рассмотренной в первой главе диссертации, построение асимптотик собственного значения и соответствующей собственной функции проводилось методом согласования асимптотических разложений6.

6Ильин А М Согласование асимптотических разложений решений краевых задач М.: Наука, 1989.

Результаты второй главы, в которой был рассмотрен оператор Шрёдингера на оси, возмущенного суммой растущего потенциала со сжимающимся носителем и малого локализованного потенциала, получены на основе метода, предложенной Р. Р. Гадылынином7, который является несамосопряженной модификацией метода Бирмана-Швингера.

Результаты третей главы диссертации, где было рассмотрено возмущение растущим потенциалом со сжимающимся носителем оператора Хилла, основаны на результатах полученных в совместной статье Р. Р. Гадыльшина и Д. И. Борисова8, являющейся обобщением работы Р. Р. Гадыльшина7 на случай периодических коэффициентов предельного оператора.

Также были применены методы теории функций комплексной переменной и функционального анализа. При доказательстве основных неравенств был применен одномерный аналог неравенства Фридрихса.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может быть использована при изучении задач математической физики. Результаты второй и третей главы диссертации могут быть использованы в квантовой физике твердого тела или наноэлектронике. В частном случае, задача рассмотренная в третьей главе описывает одномерную модель блоховского электрона в кристалле, помещенного во внешнее электрическое поле. Возмущающий потенциал описывает внешнее поле или поле примесей. Результаты полученные в этой главе диссертации могут быть полезны для специалистов работающих в этих или смежных областях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре дифференциальных уравнений и математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН,

7Гадыльшин Р Р О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теор и магем физика - 2002 - Т 132, N0 1.- 0 97-104

8Борисов ДИ , Гадыльщин РР О спектре периодического оператора с малым локализованным возмущением // Известия АН Сер магем. - 2008. - Т 72, N0 4. - С. 37-66,

на семинаре кафедры математики и статистики БашГПУ им. М. Акмуллы, на VI региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, БашГУ, 2006), на Всероссийской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, БашГУ, 2007), на XVII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010), на Международной конференции "Дни дифракции-2011"(СПб, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2011 ), на Всероссийской конференции "Асимптотические методы теории дифференциальных уравнений" ( Челябинск, ЧелГУ, 2011), на Международной конференции "Спектральная теория операторов и ее приложения посвященной памяти А.Г. Костюченко, (Уфа, БашГУ. 2011), на Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании "(Уфа, БашГУ, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[13].

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором. Из тринадцати опубликованных статей три написаны в соавторстве с научным руководителем Р. Р. Гадыль-шином. Научному руководителю принадлежит общий замысел работы, постановка задачи, выбор пути и методов их решения и оценка достоверности и согласованности с предполагаемым результатом.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в совокупности на 15 параграфов и списка литературы, содержащего 77 наименований. Общий объем диссертации - 99 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

В первой главе рассматривается краевая задача Дирихле для дифференциального оператора второго порядка на отрезке, возмущенного растущим потенциалом со сжимающимся носителем.

Рассмотрим симметричные дифференциальные выражения

¿X

У, и и . х

нм = - — Р— +1' хе !)•

+ are (0,1),

Здесь V е C§°(R),p(a;), д(х) € С°°[0,1], р(х),д(х) > 0 на [0,1], х0 € (0,1), р(хо) = 1, 0 < ц,е <€. 1, предполагается существование числа S > 0 такого, что

Efi-1 = о(е5). (1)

о

Обозначим через HPtQ и операторы, соответствующие диф-

о

фереициальным выражениям Нрл и Н^ соответственно, определенных на функциях из 1) и обращающихся в нуль на концах отрезка [0,1]. Хорошо известно, что такие операторы самосопряжены и ограничены снизу, а собственные значения (при любых фиксированных fj,,e) являются простыми9.

Изучается структура асимптотики собственного значения возмущенного оператора W^, в случае, когда выполнено условие (1), а также сходимость собственных элементов оператора

о

к собственным элементам невозмущенного оператора T~Lvq при

£ -» 0.__

ЭТихонов А Н. Дифференциальные уравнения. M ; Наука, 1980.

Всюду далее будем использовать следующие обозначения:

Основными результатами главы являются доказательство следующих теорем.

Теорема 1. Пусть Ао - собственное значение оператора Нрл и выполнено условие (2). Тогда к нему сходится единственное и, к тому оке, простое собственное значение \>1е оператора Щ'д, а для соответствующей собственной функции у'''£ имеет сходимость по норме в Ь2(0,1) к собственной функции уо, соответствующему собственному значению Ао-

Теорема 2. Собственное значение оператора сходя-

о

щийся к собственному значению А0 оператора ИРЛ при е ->■ О имеет асиптотику:

Пусть

(2)

О

оо г

= А0 + ]Г £ Кг = У1Ы (V) ■

Если

УоЫ (V) = о,

то

А и - 0.

Если

00 = о,

то

А2д = 2уо(хо)у'о(хо) (F)!.

Если

у0{х0) = О,

то

= О, А3.1 = (у'о(хо)) (V)2 -

Так же построены асимптотики собственных функций оператора Щ*.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1], [4].

Всюду далее, непрерывный спектр определяется в терминах характеристических последовательностей10.

Во второй главе диссертации рассматривается возмущение оператора Шредингера на оси, возмущенного суммой растущего потенциала со сжимающимся носителем и малого локализованного потенциала.

Обозначим через Ui.o и Ti^ операторы в L2(R) с областями определения W2 (R):

(Р

Ui,о := -

< + ^ (¿V, +hW(x))j ,

xgR, 0 < JU, Л 1,

где Xj - произвольные различные числа, Vi (я), ..., Vn(x), W(x) - комплекснозначные функции из причем, не менее двух

из этих функций отличны от нуля. Оператор Hi,о в L2(R) с областью определения W22(M) самосопряжён, его дискретный спектр

ЮГлазман И М. Прямые методы спектрального качественного анализа сингулярных дифференциальных операторов M : Физматлиг, 1963. ; англ. пер : I- M. Glazman, Direct methods of qualitative spectral analysis of singular differential operators, Daniel Davey & Co., Inc , New York, 1966

пуст, непрерывный спектр совпадает с неотрицательной вещественной полуосью11. Так как функции Vj и W - финитные, то непрерывный спектр оператора совпадает с неотрицательной вещественной полуосью11 (для случая комплекснозначных функций см., например8).

Изучается эффект возникновения собственных значений возмущенного оператора из края непрерывного спектра, в предположении существования числа 7 > 0 такого, что

¿Г1 fr1/2 = o(/i7), h-+0. (3)

Обозначим

^ :=£<^> + (W).

Основным результатом второй главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть выполнено условие (3). Тогда, если ReptvjF > О, то оператор "Hiq не имеет собственных значений, сходящихся к нулю.

Если Re t*v,w < 0, то оператор имеет единственное и, к тому же, простое собственных значение Х^, сходящееся к нулю. Оно имеет асимптотику

Так же рассмотрен случай когда

xv,w — о,

как для вещественных потенциалов V\{x),... ,Vn(:г), W{x), так и для потенциалов, вещественные и мнимые части которых тождественно не равны нулю.

ПКаго Т. Теория возмущений линейных операторов М : Мир, 1972

Результат второй главы опубликован в работе [2].

В третей главе диссертации рассматриваете возмущение растущим потенциалом со сжимающимся носителем оператора Хил-ла. Обозначим через самосопряженный оператор в Ь2(К) с областью определения И'! (М):

где р = р{х) > 0 - 1-периодическая кусочно-непрерывно дифференцируемая вещественная функция, а.д = д(х) - 1-периодическая кусочно-непрерывная вещественная функция. Частным случаем такого оператора при р = 1 является оператор Хилла, возмущение которого дополнительным потенциалом соответствует оператору энергии одномерной модели кристалла с примесью, а также описывает блоховский электрон во внешнем электрическом поле12. Функция задает кристаллическую решетку и соответствует эффективному внутреннему полую в кристалле.

Возмущенный оператор в Ь2(К) с областью определения И/|(М) обозпачим через У.^'.

где V(x) - комплекснозначная функция из Co°(R), а малые параметры 8 и h удовлетворяют условию

Не ограничивая общности, всюду далее в главе предпологается, что р(0) = 1, х0 е [0,1).

Известно13, что спектр о(Нт) оператора Нр/1 совпадает с его

12Киттель Ч- Введение в физику твердого тела М-: НаукаД978

13Eastham M.S P. The spectral theory of periodic differential equations. Texts in Mathematics, Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973

о < м < i

6-ih1'2 = o(l), ft 0.

(4)

непрерывным спектром и имеет зонную структуру:

ос

<т{НрЛ) = Vc(UM) =

n=О

где величины

< /"Г ^ Vl < /"2 < (4 < Рз ^ Мз < • • •

являются простыми собственными значениями краевых задач

Нмф± = х е (0,1),

+ (-irvi(i) = 0, ^(0) + (-1Г+1^(1) = 0.

Обозначим через в^х, А) - решения уравнения (НрД-\)у = 0, х ем,

удовлетворяющие начальным условиям

*i(0,A) = l, ^(0,А) = 0, б2(0,А) = 0, ^(0,А) = 1.

Положим D(А) := 6»i(l, Л) + ^?(1,А). Точкой сверху обозначим дифференцирование по А. Было показано8, что, если ^ - один из краев невырожденной лакуны (т.е. ¡х~ ф в спектре оператора "Hp.q, то D(Vn) i 0-

Основным результатом третей главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 4. Пусть ц^ - один из краев невырожденной лакуны в спектре оператора %рл и выполнено условие (4)- Тогда, если

±Re (V) < 0,

то оператор не имеет собственного значения, сходящегося к /j-п при h —» 0.

Если же

±Ие (V) > О,

то оператор И^ имеет единственное, к тому же, простое собственное значение Л^, сходящееся к при ¡1 —>■ 0, и оно имеет асимптотику

Рассмотрены так же случаи, когда (V) = 0 и ф±(хо) = 0.

Результаты третей главы опубликован в работе [3].

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадылышшу Ру-стему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в перечень ВАК:

[1] Хуснуллин И.Х. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера па отрезке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2010. - Т. 50, N0 4. - С. 679698.

[2] Гадылынин Р.Р., Хуснуллин И.Х. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров // Алгебра и анализ. - 2010. - Т. 22, N0 6. - С. 50-66.

[3] Гадылынин Р.Р., Хуснуллин И.Х. Возмущение периодического оператора узким потенциалом // Теор. и матем. физика. - 2012. - Т. 173, N0 1. - С. 1438-1444.

Публикации в других изданиях:

[4] Гадылышш P.P., Хуснуллин И.Х. Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом // Уфимский математический журнал. - 2011. - Т. 3, No 3. - С. 55-66.

[5] Хуснуллин И. X. Двучленная формальная асимптотика собственного значения оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2007. - С. 26-30.

[6] Хуснуллин И. X. Полная асимптотика собственных элементов оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающимся множестве // Труды Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Математика. РИЦ БашГУ. Уфа. - 2008. - Т. 2. - С. 285-297.

[7] Хуснуллин И. X. Двучленная формальная асимптотика собственного значения оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве в критическом случае // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2008. -С. 16-21.

[8] Хуснуллин И. X. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенного оператора Шредингера на оси // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2009. - С. 22-28.

[9] Хуснуллин И. X. О сходимости решений возмущенного оператора Шредингера // Сборник научных статей БГПУ им. М. Акмуллы "Современный педагогический университет

как центр интеграции науки и образования". Уфа. - 2009. -С. 143-146.

[10] Хуснуллин И. X. Об одном возмущении оператора Шредин-гера на оси // Сборник научных статей ФМФ БГГ1У им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2010. - С. 30-33.

[11] Хуснуллин И. X. Возмущение периодического оператора узким потенциалом в критическом случае // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2011. - С. 34-41.

[12] Хуснуллин И. X. Двухпараметрическое возмущение дифференциального оператора второго порядка с периодическими коэффициентами // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2012. - С. 36-41.

[13] Хуснуллин И. X. Возмущение оператора Шредингера на оси с комплекснозначными потенциалами // Сборник научных статей ФМФ БГПУ им. М. Акмуллы "Ученые записки". Уфа. - 2013. - С. 31-34.

Лиц. на издат. деят. Б848421 от 03.11.2000 г. Подписано в печать 05 03.2015 Формат 60X84/16. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. - 1. Уч.-изд. л. - 1.3. Тираж 100 экз. Заказ №515

ИПК БГПУ 450000, г. Уфа, ул. Октябрьской революции, За