Обратная задача для дискретного периодического оператора Шрёдингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

КУЦЕНКО Антон Анатольевич

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИСКРЕТНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА

01.01.01- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа математи-ко-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Каргаев Павел Петрович

НАУЧНЫЙ СОРУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, доцент Коротяев Евгений Леонидович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Александров Алексей Борисович,

кандидат физико-математических наук, доцент Федотов Александр Александрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена

Защита состоится часов на заседа-

нии Диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, наб. р. Фонтанки, д. 27, к.ЗИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стекло-

ва РАН.

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

А.Ю.Зайцев

ftP/S

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертации изучается обратная спектральная задача для дискретного одномерного оператора Шрё-дингера, возмущённого периодическим потенциалом. История обратных спектральных задач восходит к середине XX века к работам таких авторов, как G. Borg, N. Levinson, И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан, В.А. Марченко, М.Г. Крейн и др.. Первыми начались исследования обратных задач для некоторых дифференциальных операторов. Так, для обратной задачи рассеяния на полупрямой, в 1955г. М.Г. Крейн и В.А. Марченко получили необходимые и достаточные условия на спектральную функцию, соответствующую потенциалу.

Так же хорошо известна'обратная задача для дифференциального оператора Шредингера с периодическим потенциалом (оператора Хилла): В 1975г. Марченко и Островский [1] рассмотрели квазиимпульс, как конформное отображение и доказали, что между спектральными данными (высоты разрезов квазиимпульса с нужными знаками) и потенциалом существует взаимно-однозначное соответствие. Там же получены двусторонние оценки нормы высот квазиимпульса через норму потенциала, но одна из оценок экспоненциально завышена. В 1984г. J. Garnet и Е. Trubowitz [2], опираясь на работу [1], показали, что отображения h : Н —► 1\ и L : Н —► I2 есть вещественные аналитические изоморфизмы, здесь h и L это соответствующие спектральные параметры: высоты квазиимпульса и длины спектральных лакун, все параметры со знаками, а Н это пространство чётных потенциалов с £2-нормой. Там же указаны оценки ||G|| через ||Л||, но важная задача о двусторонних оценках нормы потенциала через ||L|| ещё долгое время оставалась нерешённой. Позже (1997i.) П.П. Каргаев и E.JI. Коротяев [3] существенно упростили доказательство изоморфизмов из [2], отчасти благодаря применению общих теорем нелинейного функционального анализа к отображению между потенциалом и спектральными данными. Впоследствии Коротяеву [4] удалось найти двусторонние оценки нормы высот квазиимпульса и длин спектральных лакун через норму потенциала. К сожалению вопрос о точности большинства оценок остаётся открытым.

Отметим, что получение оценок и вопросы о взаимно - однозначном соответствии различных спектральных параметров приводят К задачам О конформных птпйражептге ГНС'™" т--'""'" КИПЯ МНОГО-

РОС. НАЦИОНАЛЬНА БИБЛИОТЕКА,

связных областей, см. например препринт Каргаева и Коротяева [5]. Эти задачи напрямую не связаны со спектральной теорией и интересны сами но себе.

Параллельно с обратными задачами для дифференциальных операторов изучались обратные задачи и для так называемых дискретных операторов. Одна из таких известных задач есть обратная задача для периодической матрицы Якоби. Так в 1976г. Р. van Moerbeke [6] показал, что в общем случае одного спектра для восстановления потенциала недостаточно, и построил набор спектральных данных по которым потенциал определяется однозначно. В работе не было характеризации спектральных данных, она получена позже другими авторами. В 1993г. D. Bâttig, В. Grebert; J.-C. Guillot и T. Rappeler [7] нашли изоморфизм между пространством потенциалов матрицы Якоби и пространством спектральных данных, связанных с длинами спектральных лакун. Следует отметить, что связь со спектральными лакунами не совсем явная. В препринте [8] Коротяевым построен явный изоморфизм между потенциалами матрицы Якоби и спектральными данными, непосредственно связанными с длинами спектральных лакун. И в препринте [9] автором и Коротяевым построен явный изоморфизм между потенциалами матрицы Якоби и спектральными данными, непосредственно связанными с высотами квазиимнульса. Наконец, в работе автора [14] получены точные двусторонние оценки различных спектральных данных через потенциал.

Дискретные операторы Шрёдингера есть важный частный случай матриц Якоби. Важность также состоит в том, что эти операторы есть дискретный аналог дифференциальных операторов Шрёдингера. Следует отметить, что результаты обратной задачи для матриц Якоби не дают решения обратной задачи для дискретных операторов Шрёдингера, происходит это по нескольким причинам: 1) спектральные данные для матриц Якоби содержат много лишней информации, если их использовать для оператора Шрёдингера; 2) не удаётся получить характеризацию таких спектральных данных. Оказалось эффективным начинать исследование обратной задачи для оператора Шрёдингера, взяв в качестве спектральных данных минимальный набор параметров, т. е. спектр или изоспектральные данные. Здесь нужно упомянуть две работы, в которых были найдены асимптотики спектра при больших и малых потенциалах, авторы этих сталей Y. Last [10] (1992) и P. van Mouche [11] (1995). В

диссертации также найдены аналогичные асимптотики, но использовался другой подход, т.к. основная цель была обратная задача.

Цель работы. Целью диссертации является изучение следующих вопросов, которые ставит обратная задача, и некоторых общих вопросов комплексного анализа:

1) Единственность. Найти области в пространстве потенциалов, в которых потенциал восстанавливается однозначно по заданному спектру.

2) Характеризация. Найти условия на набор величин, чтобы они соответствовали спектральным данным при некотором потенциале.

3) Получить точные двусторонние оценки спектральных данных через потенциал.

4) Обобщить результаты о взаимно-однозначном соответствии геометрических параметров при конформном отображении специального вида многосвязных областей на широкий класс многосвязных областей.

Методика исследований. Для выявления областей изоморфизма спектральной функции проводится непосредственное изучение функции Ляпунова с использованием различных комбинаторных методов и некоторых общих топологических и аналитических приёмов. Для получения точных оценок решаются соответствующие экстремальные задачи. Также используется техника комплексного анализа в сочетании с методами конечномерной топологии (Т. Брауэра о сохранении области и т.д.).

Научная новизна и значимость работы. Представленные в диссертации результаты получены в период с 2002 по 2005 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер, помимо конкретных результатов по обратной спектральной задаче для дискретного периодического оператора Шрёдингера, она содержит в себе также общую схему исследования, которая может быть применена к другим задачам.

Практическая значимость работы определяется возможностью применения разработанных методов к другим обратным задачам и задачам комплексного анализа, и также потребностями физических исследований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В. А. Стеклова (2004), семинаре Потсдамского Университета (Германия), и на ЩТАЭ кон-

ференции "Spectral problems for Schrodinger-type operators II" в Университете им. Гумбольдта в Берлине (2003).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три печатные работы [12], [13], [14], еще одна работа подготовлена к печати [15].

Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 81 страницу, состоит из пяти глав, разбитых на 21 параграф и списка литературы, содержащего 68 наименований.

Содержание работы

Первая глава содержит исторический очерк, постановку задачи и изложение основных результатов работы. Рассмотрим периодический оператор Шредингера

(Ly)„ = уп-i + Уп+i + ЧпУп, п 6 Z, у е l2(Z).

Здесь потенциал {//„}* _00 есть вещественная N +1 периодическая последовательность, 'jn i N {i — qn■ ft f Z. Введём пространство потенциалов

( N+1 Ч N I 1

вМьГей^ beR"'1: 5>„ = о|, ||#=£<£. (1)

1 ' га= 1

Хорошо известно, что спектр оператора L абсолютно непреррлвен и состоит из N + 1-ой зоны

I

оп = crn(q) = [А+, An_, j], п = О,1,..., N,

А^ < Aj ^ А^" < . . < ^ А^ < Ajy^j,

где А+ = Аft(q) края зон. Эти зоны отделены друг от друга лакунами 7«. = тп(я) = (Ай",А+) длины ^ 0. Лакуны могут быть вырожденными |7„| = 0.

Опишем процедуру получения спектра по заданному потенциалу. Введём фундаментальные решения ^„(А, q) и i?„(A,q), п£ Z уравнения

Уп-1 + 2/n-f 1 + 9ni/n = Ay«, A G С, те 6 Z, (2)

с начальными условиями

ЫА,д) = i?i(A,g) = О, ^(А ,д) = МКя) = 1-

Функция Д(А,д) = Улч 2(А,д) + (А,?) называется функцией Ляпунова для оператора Ь. Видно, что Д. :рп и Ип , п >, 1 являются полиномами от (А,д) е 1. Спектр Ь находится по формуле а(д) = {А € К : |Д(А,д)| < 2} и заметим что (-1)гу+1-"Д(А^.д) = 2,п = 0,...,ЛГ + 1.

Определим отображение, которое сопоставляет каждому потенциалу набор спектральных данных. Для каждого п - 1...,ЛГ найдётся точка Ап = КЛч) 6 [А~. А+], такая что

Д'(Ап,д) = 0, Д"(Аи.д)/0, (-1)л,+1_пД(А„,д) ^ 2. (3)

Здесь и ниже мы будем использовать обозначение (') — д/дХ. Определим отображение Л : 2 —> /1(<?) = (</)}["' по формуле

Д(А„,д) = 2(-1)"+1-псо8Ь/^, Л„ > 0. (4)

По данным Л однозначно восстанавливается функция Ляпунова Д, которая определяет спектр а. Это значит, что к, А, а находятся друг с другом во взаимно однозначном соответствии, то есть

а(д) = а(р) & %) = Л(р) о Д(-,д) = Д(-,р). (5)

Отображение к есть некоторый аналог отображения Марченко -Островского в случае непрерывного оператора Шрёдингера. Ввиду такой тесной связи со спектром, важным вопросом представляется изучение 'особенностей' и областей локального и глобального изоморфизма отображения И, которые как раз и будут областями в которых потенциал однозначно восстанавливается по спектру.

Дополнение к множеству 'особенностей' отображения Ь, то есть множество точек, где АекйцЬ ф 0 допускает явное описание. Полином Д имеет разложение

Д(А,д) = А^1 + + Ыя)^ ~2 + - + <Ы<7), (6)

<%) = {ФпШг, ФМ = -ЛГ - 1 - М

для некоторых полиномов фп(ч)- Ч С б- Тогда определитель производной Фреше (1еЫ9Ф(д) тоже полином. Введём

5 = {д€2: АеХйд Ф(д) = 0}. (7)

Оказывается, что поверхность Я состоит из 'особенностей' отображения Л.

Предложение 1.1. Определитель йчЬ. ф 0 тогда и только тогда, когда д $ Б. Более того, если <] ^ 5. то Ь.п(</) > 0 для всех п, это означает, что все спектральные лакуны невырождены.

Для удобства изложения определим ЛЛп, как представление группы перестановок размерности те в пространстве г? х п матриц:

Мп = {Мш : МшЯ = {^о)}^!, а)£5П, д€ М"}, (8)

заметим что МаМр = Мра.

Основная задача состоит в нахождении областей локального и глобального изоморфизма отображения к. Предварительный анализ показывает, что при любом N ^ 2 почти все потенциалы восстанавливается по своим спектральным данным неоднозначно, так как существуют перестановки компонент вектора потенциала, которые не меняют спектр оператора.

Пусть Глг+1 =< М„,МТ >С Мц+\ есть подгруппа группы .Млг+1, порождённая матрицами М1/, МТ, где перестановки

и = (2,.., N + 1,1), т=(М + (9)

Тогда Ь,(МШ-) = /).(•) при любой Мш € Г/у | \, более того, других перестановок с подобным свойством не существует. Эта подгруппа " разбивает "пространство потенциалов на 2Лг+2 непересекающихся инвариантных множества. Подробнее, пусть к = -щ^, определим два вектора

а = (1, сое х,.., соя Nк)т, Ь = (М„ + 1)а. Тогда верно представление

2 = £2ф£г, С2 = {х:8а + М,8,ЬеЩсЯ, (10)

где С\ есть ортогональное дополнение к подпространству в пространстве 0, (скалярное произведение в (2 стандартное, индуцированное из К^ 1-1). Далее, пусть £0 = {х = Ьа + $Ь, в > 0} ф С\ и £2п+1 ее М?М1Т£о, п = 0..., N,1 = 0,1, тогда

2N+l

£„П£т = 0, пфтп, й= и £п. (11)

п=0

Так как = /»,(■) при любом Мш е Гдг+ь то поведение к на

разных множествах £п, п =0.... 2 Л' -| 1 "будет одинаковым "тем самым почти все потенциалт>1 имеют не меньше 2М + 2 "спектральных близнецов"то есть потенциалов с одинаковым спектром. В случае N = 2 получаем, что Н есть глобальный изоморфизм на множествах £„, п — 0,.., 5. то есть обратная задача полностью решается приведённым выше рассуждением. В случае N > 2 ситуация становится заметно сложнее, это касается областей локального и глобального изоморфизмов для отображения /г, а так же числа потенциалов с одинаковым спектром, которое заметно больше чем 2N + 2 и отличается при больших и малых г/.

Большие по норме потенциалы. Первая теорема будет показывать поведение границ зон спектра и асимптотику длин этих зон при больших по норме потенциалах.

Теорема 1.2. Пусть р £ Q и р\ < р-2 ^ ... < РЛЧ1 ■ Предположим, чторп-1 <рп < Рп+1 для некоторого 2 ^ п ^ N или р\ < р2, п = 1 или рм < Рм {1, п = N + 1. Тогда при любом q = Мр, М € где рп = верны следующие асимптотики при £ —> +оо

А+_1(«9) = Рп* - -+ —--) Г1 + 0(Г% (12)

\Рп - <?т-1 Рп - Ят f 1 /

\аМ| = = 4Г" П \Р7 ~Рп\~Л +0(ГМ~1). (13)

Теперь посмотрим на поведение поверхности 5 при больших по норме потенциалах.

Теорема 1.3. Предположим, что ||</||оо ^ 1 и £ — ш£ |</т —Чп\ > 0

п^т

3 гя

для некоторого у 6 О,. Тогда точка ^ 5 для любого £ > (§) , где гдт = " если N нечётное и Гдг = (-у)!2, если Ж

чётное.

Тем самым найдены достаточно широкие области локального изоморфизма для отображения /г. Далее будем искать области глобального изоморфизма для отображения Л. Введём множества

= ||0||2 < 1, н* \дп - Ят\ > е}, (14)

пфт

2е = {<1 е 2е < - < <1Ы+\}, £>0.

Тогда = и Щи), где 2е{ш) = Мш £ М лг+1 (см. (8)).

Множества 2е(ш) открыты, выпуклы и непусты при 0 < е < и П 2£(со2) -- 0 при ф и>2- Кроме того Ее почти что

совпадает с единичным шаром 5(0,1) при достаточно малых е, в том смысле что ЯЕ С В(0,1) и мера Лебега |В(0,1) \ 2е\ —> 0, когда £ —> 0. Также введём множество

= {р=щ-. д е а > *}. (15)

Эти множества также дизъюнктны при различных ш, и тех больших по норме потенциалов, которые не попали в множества е)(и)) в каком-то смысле не очень много. Следующая Теорема показывает, что введённые множества есть области глобального изоморфизма для отображения Л.

Теорема 1.4. г) Для любого и 6 Здг-ц, любого 0 < е < су-

ществует такое I = t(s, М) > 0, что отображение Н : (и) —» /г(Л( е(о;)) является вещественным аналитическим изоморфизмом, гг) Для любого к* € М^ существует такое / > 0, что полупрямая {Н* + в • 1о, 8 > £} С Ь(0) и каждая точка этой полупрямой имеет в точности (ЛГ + 1)! прообразов в <2 (точнее найдутся I и е, что каждый из прообразов попадёт в при некотором

ш € ¿>N+1). Здесь 1о = (1,1).

На основании изложенных фактов и их доказательств можно показать, что при больших потенциалах вся поверхность 5 асимптотически сосредоточена в конической окрестности каждой из плоскостей {д £ 2 : дг = gJ. г ф ]}. На бесконечности эти окрестности разбивают Q на (ТУ + 1)! областей глобального изоморфизма для отображения И. При этом образ каждой из этих областей примерно один и тот же, в том смысле что а(д) и ег(Мд), М £ Мы+1 для <7 е и> € 6'д, 11 при больших I. В пункте И) последней

теоремы даётся частичное описание образа.

Малые по норме нечётные потенциалы. Пусть N +1 = 2к ик€П. Определим пространство нечётных потенциалов

0м = {д е м^1: дп+2-п = -«», п = 1,..., Л^}. (16)

Введём ортонормированный базис ет и координаты (¡т в пространстве О?**

( ^ _ 12к к ет = |й1п " 2к } ' 4 = 9 £

(17)

здесь <5 символ Кронекера. В случае <[ е 20<и мы имеем /?а: (д) = Л, а- ) „ ((/), п = 1,.., к — 1. По-этому можно считать /? : —>

взяв к = {/(„}|'- Далее при м € все ф2п = 0 и можно считать ф • —> Взяв производную Фреше такого отображения (1ЧФ положим 5 = 6 Я"'1'1 : <1еЫдФ(д) = 0} (см. (7)). В игоге для таких к и 5 в случае д е остаются верными утверждение (5) и Предложение 1.1.

Первая Теорема даёт асимптотику Л и границ спектральных лакун оператора Ь при малых <1 € Результат записан для первых к лакун, для остальных всё также ввиду чётности функции Ляпунова.

Теорема 1.5. При 1 ^ п ^ к имеют место асимптотики

+ = ^д1+0(\\Я\\% |Ы| 0, (18)

О¡с

= м% №11-О, (19)

4 8Ш 2к

здесь 5 символ Кронекера.

Замечательно то, что каждая координата спектральных данных в отдельности асимптотически ведёт себя независимо и позволяет примерно "найти"соответствующую координату потенциала. Введём множество потенциалов с одинаковым спектром

М?) = {р € Я"М : о(я) = <?(}>)}■ (20)

Теорема 1.6. Пусть <1 б (2°м и <}п -ф 0 для всех п — 1,..., к. Тогда существует такое to = ¿о(<7) > 0, что р $ 5 и #1жэ(р) = 2к для каждого р 6 (0, ¿о(/) •

То есть можно показать, что около точки 0 листы поверхности S асимптотически ведут себя как ортогональные друг другу плоскости {q € Qodd : q„ — 0}, т> — 1..../,:. На бесконечности же в случае нечётных потенциалов верны результаты, аналогичные Теореме 1.4. Различие в поведении наблюдается и в количестве элементов множества Iso, около точки 0 оно в основном состоит из 2к элементов, а на оо в основном из 2кк\ элементов.

Оценки. Здесь предполагаем q g Q, отметим только, что в случае q £ Qodd можно получить аналогичные оценки. Напомним, что IMIp = Yl\xn\P Д-1151 х € IRm- Цель, которую мы перед собой ставим и которая является важной составляющей обратной задачи, это получить оценки норм изоспектральных параметров \\h{q)\\ через норму потенциала ||г/||. В качестве норм берём ||/i(g)||oo и 1Ы|2-Ясно, что самые точные оценки

^l(ll^||oo)<||#2<Ml(||/l||oo), (21)

(здесь h = h{q)) будут тогда, когда функции

mi(r)= inf ||g||2, Mi (г) = sup ||g||2, r ^ 0, (22)

К сожалению, не удаётся найти явных формул для всех функций. Но можно указать асимптотически близкие к ним функции, которые имеют явное представление. Определим

А = (2N)*TT, с (Г) = cosh^TT (г), (23)

mi (г) = л/тах{2(N + 1) Ас(г) - 2N, ()},

М\{г) = у/2ф + 1 )с(г) -2Ы-2, (24)

Тогда нововведённые функции будут близки к нужным, как показано в следующей

Теорема 1.7. Верны следующие соотношения

т\{г) = тгц(г) + о(1), г—> оо, М\{г) = М\{г), г > г0, (25)

здесь го ^ 0 некоторое число (интересно найти минимальное такое го). Кроме того верны оценки

гпЛ (г) > Ш1 (г), М, (г) < Мх (г). (26)

По-этому мы получаем оценки

т1(||Л||оо)^||«||2<М1(||Л||оо), (27)

здесь /г = /1(5)- Эти оценки (по (25)) нельзя сухцественно улучшить при больших д.

Спектральные лакуны и общие результаты о специальных конформных отображениях.

В случае оператора Хила рассматривались конформные отображения с асимптотикой /(г) = г + О(-), г —» ос, которые переводят плоскость с бесконечным числом симметричных (относительно К) вертикальных разрезов на плоскость с бесконечным числом горизонтальных разрезов, лежащих на вещественной оси. Оба набора разрезов соответствовали различным спектральным данным для оператора Хила: первые спектральным высотам, вторые спектральным лакунам. Удалось установить (см. [5]), что если вектор длин вертикальных разрезов пробегает всё I2 (знаки вводили формально), то соответствующий вектор длин горизонтальных разрезов также пробегает всё I2, и соответствие между этими векторами взаимно-однозначное. Там же получены взаимные оценки норм этих векторов. Тем самым, рассматривая абстрактную аналитическую задачу, напрямую не связанную со спектральной теорией, можно получить результаты о соответствии между собой различных спектральных данных для конкретных операторов.

Похожа ситуация в случае матрицы Якоби и дискретного оператора Шрёдингера. Только здесь плоскость без конечного числа симметричных гиперболических разрезов конформно отображается на плоскость без конечного числа горизонтальных разрезов, лежащих на вещественной оси. Высоты гиперболических разрезов соответствуют спектральным высотам, длины горизонтальных разрезов -спектральным лакунам. И, аналогично, если вектор высот гиперболических разрезов пробегает всё то соответствующий вектор длин горизонтальных разрезов также пробегает всё и соответствие между этими векторами взаимно-однозначное.

Возникает естественный вопрос, какие ещё разрезы можно удалять из плоскости, чтобы было подобное взаимно-однозначное соответствие с длинами соответствующих горизонтальных разрезов. В диссертации удалось получить достаточно общий ответ на этот вопрос. Отметим также, что этот вопрос тесно связан ещё с одной известной проблемой: когда между двумя многосвязными областя-

ми существует конформное отображение?

Теперь подробнее. Введем понятие "конформной эквивалентности". Будем говорить, что компакты К\ и К2 эквивалентны и обозначать Ki ~ К2, если между областями С \ К\ и С \ К2 существует конформное отображение / с асимптотикой f(z) = z + ü(z~l), 2 —> 00.

Континуумом будем называть связный компакт в С дополнение к которому также связно. Континуум будем называть симметричным, если под действием оператора комплексного сопряжения он переходит в себя. Если дан конечный набор симметричных дизъюнктных континуумов (коротко с.д.к.) Кп, п = l,..,iV, то будем говорить, что он упорядочен по возрастанию, если найдутся точки кп € Кп ПК, что ki < ... < fc/v- Мы будем рассматривать области вида С \ IJ К„, где Кп. п = 1, ... N конечный набор с.д.к., нетрудно заметить, что в этом случае можно так изменить порядок нумерации, что набор станет упорядоченным по возрастанию набором с.д.к. (коротко у.с.д.к.).

По известной Теореме Гильберта имеем, что для любого конечного набора у.с.д.к. Кп, п = 1, ..,N существует единственный, упорядоченный по возрастанию набор отрезков [ап, Ьп\ С К, v — 1,.., N. такой что IJK„ ~ U[«„, Ьп\, определим вектор-функцию длин этих отрезков

i(UK„) = • 1, = = b3- av (28)

Пусть M есть подпространство метрического пространства всех компактных подмножеств из С со стандартной метрикой

р(Кг,К2)= Ые, А={е>0: Кх С (J B(s,e), К2 С (J B(s,e)},

эек2 seKi

здесь В(.ч, г) открытый тар с центром в точке s и радиуса е.

Будем говорить, что М есть пространство вложенных симметричных континуумов, если каждый его элемент есть симметричный континуум, и для любых К\ еМя К2 € М будет либо К] С К2, либо К2 С К\. Так же назовём пространства вложенных симметричных континуумов Мп, п = 1,.., Л* упорядоченными по возрастанию, если любой набор Кп € Мп, п — 1,N будет набором у.с.д.к.

nycib Мп, п = 1, ..,N упорядоченные по возрастанию пространства вложенных симметричных континуумов (коротко у.п.в.с.к.).

На декартовом произведении М = Пп=1 определим вектор-функцию

1(х) = /(иКп), х = (Кп)%=1 е М. (29)

Отметим, что на М можно задать много эквивалентных метрик, используя уже указанное стандартное расстояние между компактами. В диссертации доказано, что так определённое отображение I : М —► Е^ будет непрерывным и инъективным. Отсюда сразу следует, что если х = (хп) € М, у = (уп) 6 М и х ф у, то соответствующие компакты не будут конформно эквивалентными, то есть ихп </ иуп. Приведём Теоремы, которые обобщают результа-1Ы о взаимно-однозначном соответствии, которые были в случае гиперболических разрезов (матрица Якоби и дискретный оператор Шрёдингера).

Теорема 1.8. 1) Если М компактно, то отображение I есть гомеоморфизм между М и некоторым компактным подмножеством

2) Если М гомеоморфно открытому подмножеству в К^. Тогда отображение I также будет гомеоморфизмом между М и некоторым открытым подмножеством Ж^.

3) Пусть 7 = (7п)п' 1 € М, тогда верны оценки

N

4сНат(уп) > /„(7), Уп е [1..АЧ, У"%(7)> тах сПат(7„). (30)

п- 1

В некоторых случаях можно точно описать образ 1{М).

Теорема 1.9. Пусть существует гомеоморфизм (р = (<рп)п= 1 МРЖ-~ ду замкнутым множеством — [0, Ч-оо)^ и пространством М со следующими свойствами:

1) Если (р(х) = (7п)„=1 для некоторого х € (граница Ш.1^), то

хотя бы один из симметричных континуумов 7„ вырождается в точку (то есть имеет нулевой диаметр и лежит на вещественной оси).

2) Большим аргументам х соответствуют большие -р(^), или строго сНат(и<^„(а;)) —> оо, х —> оо.

—N

Тогда I будет, гомеоморфизмом между М и М_| .

Вторая глава посвящена изучению спектрального отображения к при больших по норме потенциалах. Первым делом, исходя из рекуррентных соотношений, получаем представление фундаментальных решений ф, $ и функции Ляпунова Д в виде суммы произведений полиномов 1-ой степени. Затем идёт непосредственный анализ этого представления для Д(А, д). Выясняем, что

ЛГ+1 __

Д(А,д)= П(А-0») + ф(А'в)'

П = 1

здесь Ф(Л, (¡) мало по сравнению с первым слагаемым при д —* оо. Откуда, преодолевая многочисленные технические трудности, получаем теоремы об областях локального и глобального изоморфизма спектрального отображения и асимптотики зон спектра при больших по норме потенциалах. Важную роль играли оценки остатка Ф(А, <[) и его производных.

Третья глава посвящена изучению спектрального отображения Л при малых по норме нечётных потенциалах. Здесь также используем представление для Д(А,д) в виде суммы полиномов из предыдущей главы. Но при малых потенциалах заметно сложнее выделить главные слагаемые, которые существенно отличаются от главных слагаемых в случае больших потенциалов. Получаем

Д(А,д) = Д(А, 0) + (£7/(9), А( А)) + (Ф2(<7),Л(А)), ЬАЕф 0, /(<?) = (<??,•Л(А) = (А2*-2,...,1),

где (¡п это координаты вектора ч € в специальном базисе ёп. п = 1,..., к в пространстве нечётных потенциалов 0'-"м. и (Ф2(д), Л(А)) мало по сравнению со вторым слагаемым при д^О. Далее, преодолевая многочисленные технические трудности, получаем теоремы об областях локального и глобального изоморфизма спектрального отображения и асимптотики зон спектра при малых нечётных потенциалах. Снова важную роль играла детальная информация об остатке (Ф2(д), Л(А)).

В четвёртой главе мы приводим точные оценки нормы спектральных данных через норму потенциала. Грубо говоря, метод состоит в поиске экстремальных точек некоторых многомерных функций, "близких"к норме спектральных данных. Вначале получаем точные оценки в случае матрицы Якоби. откуда, используя результаты 2-ой главы об описании образа спектрального отображения, получаем точные оценки в случае оператора Шрёдингера.

Пятая глава обобщает результаты о конформных отображениях, связанных с матрицей Якоби и оператором Шрёдингера на достаточно широкий класс конформных отображений.

Список цитированной литературы

[1] Марченко В.А., Островский И.В.: Характеристика спектра оператора Хилла, Мат. сборник 197 (1975), вып. 4, 540-606.

[2] Garnett J., Trubowitz Е.: Gaps and bands of one dimensional periodic Schrodmger operator, Comment. Math. Helv., 159 (1984), 258-312.

[3] Karagev P., Korotyaev E.: The inverse problem for the Hill operator, a direct approach, Invent. Math., 129 (1997), no. 3, 567-593, Errartum, Invent. Math. , 138 (1999), 227.

[4] Korotyaev, E.: Estimates for the Hill operator, I. J. Differential Equations 162 (2000), no. 1, 126.

[5] Kargaev P. and Korotyaev E.: Inverse problems generated by conformal mappings on complex plane with parallel slits, Sfb 288 Preprint No. 458, (2000).'

[6] P. van Moerbeke: The spectrum of Jacobi matrices, Invent. Math. 37 (1976), no. 1, 45-81.

[7] Battig, D., Grebert, В., Guillot, J.-C., Kappcler, Т.: Fibration of the phase space of the periodic Toda lattice, J. Math. Pures Appl. (9) 72 (1993), no. 6, 553-565.

[8] Korotyaev E.: Gap-length mapping for periodic Jacobi matrices. Preprint.

[9] E. Korotyaev and A. Kutsenko: Inverse problem for periodic Jacobi matrices. Preprint.

[10] Last, Y.: On the measure of gaps and spectra for discrete ID Schrodmger operators, Commun. Math. Phys., 149(1992), 347 360

[11] P. van Mouche: Spectral asymptotics of periodic discrete Shrddinger operators, I., Asymptotic Analysis 11, 263-287, (1995).

Список работ по теме диссертации

[12] Е. Коротяев и А. Куценко: Обрат,ная задача для, дискретного периодического оператора Шрёдингера, Записки Научных Семинаров ПОМИ, т. 315 (2004), стр. 96-101.

[13] Е. Korotyaev and A. Kutsenko: Inverse problem for the discrete ID Schrodmger operator with small periodic potentials, Commun. Math. Phys (2005).

[14] А. Куценко, Оценки параметров конформных отображений, связанных с периодической матрицей Якоби, Записки Научных Семинаров ПОМИ, т. 315 (2004), стр. 102-121.

[15] Е. Korotyaev and A. Kutsenko: Inverse problem for the discrete ID Schrodinger operator with large periodic potentials. Preprint.

ЛР № 040815 ОТ 22,05.97

Подписано к печати г Формат бумаги 60X84 1/16 Бумага офсетаая.

Печать ризографическая Объем 1 уел п л Тираж 100 экз. Заказ 3700 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»2 2 081

РНБ Русский фонд

2006^4 17783

и \ 4\ ^оо

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Куценко Антон Анатольевич

Обратная задача для дискретного периодического оператора Шрёдингера

Специальность 01.01.01 -математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Каргаев Павел Петрович Научный соруководитель: доктор физико-математических наук Коротяев Евгений Леонидович

Санкт-Петербург - 2005

Содержание

1 Введение 3

1.1 Предмет исследования ..........................................................3

1.2 Обзор литературы................................................................5

1.3 Основные результаты............................................................12

2 Большие по норме потенциалы 19

2.1 Асимптотики........................................................................19

2.2 Локальный изоморфизм ........................................................21

2.3 Глобальный изоморфизм........................................................24

2.4 Большие нечётные потенциалы..................................................27

2.5 Перестановки, которые сохраняют спектр......................................29

2.6 Пример N = 2......................................................................32

2.7 Доказательства вспомогательных утверждений..............................34

3 Малые по норме потенциалы 44

3.1 Асимптотики......................................................................44

3.2 Изоспектральное множество....................................................49

3.3 Доказательства некоторых утверждений......................................52

4 Оценки 54

4.1 Краткое содержание..............................................................54

4.2 Отображение г(к, к)..............................................................56

4.3 Зависимость между корнями полинома и его высотами ....................58

4.4 Оценки и асимптотики..........................................................59

4.5 Лакуны............................................................................62

4.6 Оценки спектральных данных..................................................67

5 Общие результаты о конформных отображениях 68

5.1 Конформная эквивалентность континуумов..................................68

5.2 Гомеоморфизм пространства вложенных континуумов......................72

6 Литература 77

1 Введение

1.1 Предмет исследования

Рассмотрим периодический оператор Шрёдингера (Ьду)п = уп_г + уп+1 + <7„у„, п £ у £ 12(Ъ). Здесь потенциал {<7п}^-оо есть вещественная N + 1 периодическая последовательность, <7п+лг+1 = <7п> й. Введём пространство потенциалов

УУ+1 ЛГ+1

9 = : £ Чп = о}, ||д||2 = £ & (1.1)

1 П=1

Прямая задача для данного оператора Шрёдингера состоит в нахождении спектра оператора Ьд по заданному потенциалу д. Эта задача решена достаточно давно (см. [уМ]). Что касается обратной задачи, то есть нахождения потенциалов по заданному спектру (или заданным спектральным данным), то, несмотря на большое количество работ по этой теме, полного решения до сих пор нет.

Вообще говоря, обратная задача состоит из следующих подзадач:

1) Единственность. Доказательство того, что спектральные данные однозначно определяют потенциал.

2) Описание множества спектральных данных или Характеризация.

3) Восстановление. Алгоритм, который находит потенциал по заданным спектральным данным.

4) Оценки. То есть оценки спектральных данных через потенциал.

В диссертации мы попытаемся дать ответы на некоторые вопросы обратной задачи в случае когда спектральные данные есть спектр сг(Ьч) или изоспектральные параметры Д(д), которые однозначно определяются спектром и однозначно этот спектр определяют. В нашем случае /г : Я —► Е" (см. (1.10) и (1.11)) это аналог отображения Марченко -Островского для оператора Хилла.

Мы будем изучать поведение изоспектральной функции /1:2—+ поскольку обратная задача в нашем случае фактически сводится к изучению свойств отображения между потенциалами и спектральными данными. Например, описание областей локального и глобального изоморфизма функции Н отвечает на вопрос обратной задачи, в каких случаях потенциал однозначно восстанавливается по спектру. Описание образа /1 (2) отвечает на вопрос, какие спектры вообще возможны у операторов Ьд. Наконец описание прообразов отображения Л, отвечает на вопрос обратной задачи о том, какие потенциалы имеют одинаковый спектр и сколько таких потенциалов.

Работы [ККи1-3), [Ки] на которых базируется данная диссертация являются первыми работами, посвящёнными обратной задаче для дискретного периодического оператора Шрёдингера в такой общей формулировке (пункты 1)-4) выше). В частности, даны ответы на вопросы характеризации, и описания множества потенциалов с одинаковым спектром при больших и малых по норме потенциалах. Фактически, в этих работах впервые более менее полно изучена обратная задача в случае больших и малых по норме потенциалов.

Также отметим, что для получения оценок и изучения зависимости между различными спектральными данными исследуются специальные конформные отображения, что приводит к другому классу задач, не связанных напрямую с обратными задачами. Это оценки геометрических параметров конформных отображений; взаимнооднозначное соответствие между геометрическими параметрами многосвязных областей, между которыми установлено конформное отображение; оценки аналитической ёмкости. В диссертации найдены точные двусторонние оценки геометрических параметров конформных отображений, соответствующих оператору Шрёдингера (это даёт точные двусторонние оценки спектральных данных через потенциал) и обобщены результаты о взаимнооднозначном соответствии геометрических параметров на очень широкий класс многосвязных областей.

Далее кратко приведём сведения о других обратных задачах. Существует обширная литература по скалярному оператору Хилла, включая обратную задачу. В работах [GaTrl], [КК], [К1-3], [МО] авторы показали, что отображение: {potential} —> {spectral data} есть изоморфизм. В частности это даёт единственность и характеризацию.

Существует много работ посвящённых периодической матрице Якоби (см. обзор в [Те]). Но соответствующая обратная задача для этого оператора изучена только в [BGGK], [ККи1],[К4]. Заметим, что известная работа [vM] не затрагивает в полной мере вопросы характеризации спектральных данных для периодической матрицы Якоби. Несмотря на важность обобщения результатов, касающихся непрерывных операторов, на случай дискретного одномерного оператора Шрёдингера, до сих пор не было существенных продвижений (за исключением той информации которую можно получить из результатов, касающихся периодической матрицы Якоби). Заметим, что об обратной спектральной задаче для двумерного оператора Шрёдингера существует книга [GKT].

Анализ дискретного оператора Шрёдингера даёт новые интересные задачи: 1) построить отображение q —► S (спектральные данные) и решить соответствующую обратную задачу (т.е. найти такие спектральные данные S по которым однозначно восстановится потенциал, поскольку одного спектра, как показано в диссертации, недостаточно для восстановления потенциала), 2) изучить квазимомент (вещественная часть квазимомента есть "интегральная плотность состояний") как конформное отображение, 3) получить оценки потенциала в терминах спектральных данных, 4) восстановить потенциал по спектральным данным.

Основные результаты диссертации следующие:

Если в качестве спектральных данных взять спектр оператора Lq, то потенциал восстанавливается неоднозначно. Точнее, количество больших по норме потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет (N + 1)!; количество малых по норме нечётных потенциалов, имеющих одинаковый спектр, в основном будет

Получены асимптотики спектральных данных при больших и малых по норме потенциалах, которые позволяют восстановить потенциалы с хорошей точностью.

Получены точные двусторонние оценки нормы спектральных данных через норму потенциала.

Обобщены результаты о конформных отображениях, которые использовались в изучении данного оператора Шрёдингера.

1.2 Обзор литературы

Дискретные периодические операторы Шрёдингера являются подмножеством более общего класса операторов, так называемых периодических матриц Якоби. Однако, несмотря на то что обратную задачу для матриц Якоби можно считать решённой, имеются серьёзные трудности в решении обратной задачи для дискретного периодического оператора Шрёдингера.

Рассмотрим периодическую матрицу Якоби 3 заданную на 12{Ъ) следующим образом

Ыу)п = Яп-хУп-х + апуп+1 + Ьпуп, пеЪ, (1.2)

где ап = ап+н > 0, Ьп = Ьп+м е М есть вещественные ^-периодические последовательности, не умаляя общности можно считать, что = 0 и []а„ = 1. Вектор с = (Ь, а), где а = {ап}^=1, Ъ = {6„}^=1) будем называть потенциалом матрицы Якоби 3, а саму матрицу обозначать иногда Зс. Прямая задача для этого оператора, то есть задача о нахождении спектра по заданным а„, Ьп была решена достаточно давно и хорошо известно, что спектр 3 абсолютно непрерывный и состоит из N интервалов ап = ст„(с) = [А+_ж, А~], п = 1,..., ЛГ, где Л± = А±(с) и А£ = А+ < ЛГ ^ А+ < ... < ^ А+_г < А^. Эти интервалы разделены лакунами 7„ = 7„(с) = (А~, А+) длины \уп\ ^ 0. Если лакуны 7„ вырождаются, то есть |7„| = 0, тогда соответствующие сегменты сгп, ег„+1 сливаются. Теперь опишем, как получить эти спектральные сегменты. Определим фундаментальные решения у? = {у,»(А,с)}пе2 и 1? = {$п(А,с)}п€2 уравнения

ап-хУп-х + апУп+х + Ьпуп = Ауп, А € С, п е 2, (1.3)

с начальными условиями = = 0, = до = 1. Функция Д(А,с) = у!дг+1(А, с) + $лг(А,с) называется функцией Ляпунова для оператора 3. Функции Д, у?„ и 1?„,п ^ 1 есть полиномы по переменным (А, с) 6 С2ЛГ+1. Спектром оператора Зс будет множество а (с) = {А 6 Е : | Д(А, с)| ^ 2} и более того (-1)Я"ПД(А±, с) = 2, п = 1,..., N.

Теперь опишем краткую историю обратной задачи для периодической матрицы Якоби. По ходу описания мы будем пользоваться обозначениями, которые определили в начале этого параграфа. Одним из первых значительных продвижений в этой области был результат из [уМ]. Там говорилось, что для данной последовательности (А~(с), А+(с)}^=1 и для любой последовательности {[¿п}п=х такой что

А"(с) ^ /х„ ^ А+(с), п=1,..,ЛГ-1,

найдётся ровно 2Г различных потенциалов {с|'}£11, таких что спектр соответствующих матриц Якоби 3^ совпадает со спектром исходной матрицы Зс, то есть сг{Зс») = а{Зс) и таких что 1?лг+1(/*т с") = 0 при всех п и при всех и. При этом г определяется как число строгих попаданий цп в лакуны, то есть

г = #{п : А-(с) < Цп < А+(с)}.

Этот результат показывает, что одного спектра матрицы Якоби Зс недостаточно для восстановления потенциала с, нужно задать ещё дополнительные параметры, после чего восстановление потенциала становится возможным.

Перейдём теперь к работе [BGGKj. Здесь рассматриваются пространство потенциалов для периодической матрицы Якоби

n n

м = {с = (Ь, а) eR™ : bj = 0, aj > О, Д сц = 1} (1.4)

з=1 3=1

и изоспектральные множества

Iso(c) = {deM: a{Jd) = a(Jc)}. Вводится модельное пространство

M = {R = (Rj)fjl1},

где Rj это симметричные вещественные 2x2 матрицы с нулевым следом. Так же определяется Iso(tf) = {S е М : cr(Sj) = a(Rj), 1 ^ j ^ N— 1}. Основной результат работы [BGGK] есть существование вещественного аналитического изоморфизма Ф : М —» М, такого что Ф-1 так же вещественно-аполитично и Ф(1зо(с)) = ]5о(Ф(с)). Поскольку само пространство М и его изоспектральные множества допускают явное описание, то этот результат фактически является решением обратной задачи для периодической матрицы Якоби, которая "сведена" (с помощью нелинейного изоморфизма Ф) к задаче, имеющей простое и явное решение, но конечно вся сложность кроется в отображении Ф. Несмотря на то что отображение Ф строится достаточно непросто, оно всё же допускает представление в виде

л /ч А+(с) - А"(с) ( cos0„ smdn \ „

=---_cos0nJ, епек,

откуда там же как следствие получено, что отображение 7, которое ставит каждому потенциалу с в соответствие длины спектральных лакун оператора Jc, то есть

7 : Л/ —+ [0,+оо)"-\ 7п(с) = |7п(с)| = А+(с) - Л~(с),

является сюрьекцией на всё [0,+оо)^-1 и если 7(c) = ^(с1), то a(Jc) = a(Jc 1). То есть длины спектральных лакун являются хорошими изоспектральными параметрами, в том смысле что они однозначно определяют спектр и множество всех возможных длин спектральных лакун легко описывается (это всё [0, +oo)jV-1). В качестве замечания к данному факту говорится, что в случае оператора Хилла это хорошо известный результат (см. например [GaTr]), и в случае матрицы Якоби он так же может быть получен непосредственно, как для оператора Хилла в [GaTr 1-2], с использованием отображения между потенциалами и спектральными лакунами с выбранными специальным образом знаками.

В препринте [К4] явным образом построен изоморфизм пространства потенциалов и пространства спектральных данных, связанных с длинами спектральных лакун, при

этом дано достаточно простое доказательство. Точнее, строится отображение гр : M E2JV_2, ф(с) = {Vn(c)}f_1 для с G Ai и (обозначения, принятые выше)

Фы = - /í„, =

Ф2п = |т„ - ^l„|1/2signfelni Тп = (Л" ~Л")2, Л1п = log((-l)S"^(/ln)),

здесь /х„ есть точки Дирихле, то есть корни i?yv+i(A,c) (как в [vM]). Тогда отображение ■ф : M —► R2JV-2 есть вещественно-аналитический изоморфизм между пространством потенциалов M и пространством спектральных данных R2N~2.

В препринте [ККи] так же решена обратная задача для периодической матрицы Яко-би. Там явно строится изоморфизм между пространством потенциалов M (см. (1.4)) и пространством (это будет всё М2ЛГ-2) параметров , связанных со спектральными высотами. А именно: возьмём экстремальные точки функции Ляпунова An = А„(с) G [А~, А+], п — 1,.., N — 1, то есть

л ОО

—Д(Ап,с) = 0, —А(Ап,с)^0, (-1Г"Д(Лп,с)^2, sn = N - п.

Далее пусть ц„ = //„(с) есть нули полинома iïjv+i(Л, с), это так называемый спектр Дирихле (см. [vM]). Хорошо известно, что //„ g [А~, Л^"], гг = 1 ,..,N — 1. Определим h: M —* R2N~2 как h{c) = {/i„(c)}f_1, где hn = (Л1п,h2n) g R2 и

hin = log[(-l)s"i?^(//n, с)], Д2п = \\hn\2 - /ii„|1/2sign(An - fin). Заметим что (— l)Sni?;v(/*n) > 0. Здесь функция |ftn(c)|2,c G M, определена как

2cosh|/ín| = (—l)SnA(A„(c),c), с G M.

Тогда h : M R2N~2 есть вещественный аналитический изоморфизм. Так же получаем, что h = fl/g}^1 : M —»• [0, +oo)7V_1 есть сюрьекция на всё [0,+оо)^-1 и если Л (с) = /¿(с1), то спектры соответствующих матриц Якоби совпадают cr(Jc) = a(Jci). Таким образом спектральные высоты h, как и спектральные лакуны у (см. выше), являются 11 хорошими "изоспектральными параметрами в том смысле что они однозначно определяют спектр, и множество всех возможных спектральных высот легко описывается (это всё [0,+оо)^-1).

Отметим, что отображение h есть некоторый аналог отображения Марченко - Островского в случае непрерывных дифференциальных операторов (см. [М], [К]), и подобные изоспектральные свойства для непрерывного случая так же известны.

На самом деле между спектральными параметрами 7 и h существует непосредственная связь. Возьмём комплексную плоскость и уберём из неё N — 1 симметричных разрезов, идущих вдоль фиксированных гипербол, точнее, для любого вектора h = {K}n=i £ [0,+oo)N-1 определим область

N-1 , fïK + it 1

L{h)=C\(Jyn, уп = <z = —2 eos П7Г 1 : t G [—hn, hn] > .

n=l ^ '

Тогда, по Теореме Гильберта, существует единственное конформное отображение /(г) = г + & + 0(г~2) области на плоскость без N— 1 разреза, лежащего на вещественной оси, то есть на область вида С\и^=Г11[ап(/1), ¿>„(/1)], где ап ^ Ьп < а„+1. Значит мы можем определить отображение 1{Ь) = {/„(Л.)}^1 € [0, +оо)ЛГ~1, где /„(Л) = Ъп{К) — ап{К). Так вот оказывается что 1(Н(с)) = 7(с), то есть определённые выше изоспектральные параметры для матрицы Якоби связаны соотношением, в определении которого не участвуют никакие понятия, связанные с матрицей Якоби, только конформные отображения специального вида областей. Тем самым, если I : [0,+оо)^-1 —> [0, +оо)лг-1 есть гомеоморфизм, то из того что /г (или 7) являются " хорошими "изоспектральными параметрами (см. выше) следует, что и 7 (или /г) также являются "хорошими"изоспектральными параметрами. Ещё раз отметим, что задача о гомеоморфности I напрямую не связана с матрицей Якоби и, вообще говоря, подобные задачи имеют самостоятельный интерес.

Например в [КК] рассматривались конформные отображения из плоскости без счётного числа симметричных вертикальных разрезов, отстоящих друг от друга на расстоянии больше или равном т > 0, в плоскость без горизонтальных разрезов. Эти отображения соответствуют оператору Хилла, для которого И и 1{Ь) являются спектральными параметрами. Обозначим вектор высот вертикальных разрезов Н = {7г.п}„€2, при этом /г е и считаем, что высоты имеют знак (конформное отображение от этих зна-

ков не зависит), а вектор длин соответствующих горизонтальных разрезов обозначим 7(/г) = (7п(Л)}пе2, 7п ^ 0 и введём вектор длин разрезов "со знаком"/(/1) = {£п(/г)}пе2, где 1п = 7nsign/in. Так вот в [КК] доказано, что I : /2(2) —> 12(Ъ) есть вещественный аналитический изоморфизм.

В случае конечного числа разрезов удаётся существенно расширить класс областей для которых отображение типа I (как в примерах выше) будет гомеоморфизмом (подробнее см. в разделе "Спектральные лакуны и общие результаты о специальных конформных отображениях "следующего параграфа и главу 5 "Общие результаты о конформных отображениях"). В частности получаем гомеоморфизм в случае гиперболических разрезов (матрица Якоби). Из-за того что класс областей достаточно широкий, отображение I уже не обязано быть гладким, поэтому методы доказательства гомеоморфности будут отличаться от тех, которые были в [КК], где проводился анализ производной отображения I.