Некоторые вопросы спектральной теорииоператора дирака с конечнозоннымпотенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

Р Г Б ОД

/ 1Г.0П да

МАМА ТОО Абдуганп Эриаматовяч

Некоторые вопросы спектральной теории оператора дирака с конечнозонным потенциалом

01. 01. 01.—Математический анализ

Авторефераа"'

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент—1994

Работа выполнена на математическом факультете Ташкентского государственного педагогического института им.Низами.

НАУЧШЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - кандидат физико-математических наук, -

доцент А.Б.ХАСАНОВ.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ 01Ш0НЕИГЫ : доктор физико-математических наук,

профессор С.Н.ЛАКАЕВ,

кандидат физико-математических наук, доцент А.ХАИТОВ.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЙ - Институт математики с ВЦ Академии наук

Республики Таджикистан.

.Защита диссертации состоится " к? " 'С(4р,.1994 г. в : часов на заседании специализированного совета

Д 015.17.21 в Институте математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент-143, улица Ф.Ходжаеза, 29.

С диссертацией иокво ознакомиться в библиотеке'Института математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан,-

Автореферат разослан " " 1994'!?.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

Ш.А.ХАШШОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. В последнее время возрос интерес к оператору Дирака с конечнозонным потенциалом. Изучение опера-юра Дирака с копочнозоннш потенциалом предотанляет интерес . пэ только часто математический, по и в силу ого приложений к нелинейному уравнению Шредингера = + 2IUI2 U , уравнению Bin - Gordon 4xX+ SUt4^0 И ДРУГИМ НОЛИ-

яейным уравнениям математической физики. Подробному изложении связей оператора Дирака-с нелинейными уравнениями математической физики посвящены монографии В.Е.Захарова, С.В.Манакоза, С.П.Новикова, Л.П.Пятаевского (1980), Л.Д.Фаддеова, Л.А.Тахта-джява (1986), М.Абловнца, Х.Сягура (1987).

Обратная задача Штурма-Ляувялля иеследовалаоб в работах*

B.А.Амбарцумяна, Г.Борга, М.Ш.Блоха, М;Г.Гясымова, Г.Ш.Гуоей--нова, И.М.Гельфэнда, М.Г.Крвйяа, И.Квя, Б.М.Левжтана, Н.Лввви-" свна, В.Э.Лянцв, В.А.Марченко, X.Мозеса, Л.Н.Нджпяка, Ф.С.Рофе-Бекотова, В.А.Садовничего, А.Н.Тихонова, Л.Д.Фаддевва, Фаы Лей By, Л.Л.Чудова а других.

Прямая а обратная задача для уравпешя Штурма-Лвуввлля •" " яа воей oci в случае конечиоаояных д бесконочяозонишс потенциалов изучена в работах" Н.И.Ахиезера, Б.А;Дубровина, С.П.Новикова," А.Р.Итса, В.Б.Матвеева, В.А.Марченко, И.В.Островского,

Е.Трубовпгц8, ГДохттада и других. ■ - -..............

Ввашм атапом в теории обратных зидач явилось перенесение методов, разработанных для уравнения Штургла-Лиувилля на системы уравнений Дпрака. - ....... ......- ........

Обратная задача вв полупряной для системы Дирака- по спектральной функции изучена в-работе М;Г.Гасымова-Б.М.Левитана, а на всей прямой по спектральной матрице-функции - в работе

C.Г.Велпева. .....-....... ........

В работе А.БДасанова-М.З.Замонова изучена обратная задача на всей прямой для системы Дирака в случае непериодических

кояечнозонных потенциалов. • ...... " у......

Обратная задача на полупрямой в случае конечяозогных потенциалов при общем граничном условии в нулевой точка для' ' уравнения Штурма-Лиувшшс изучена в работа Б.М.Левитана-А.В.Савина, а дом сисгеш Дирака исследована в первой главе настоящей диссертации.

Прямая и обратная задачи теории рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля изучены в работах Я.Д.Фаддезва, П.ДвЙ$та-Е.Трубовица. В самосопряженном случае прямая и обратная задачи рассеяния для'системы Дирака были решена в работах И.С.Фролова, Фам Лой Бу.

Ф.С.Ро<$е-Бе1<егов, Н.Е.Фирсова получили равномерную оценку для функции Коши невозмущенного оператора Хилла. Эта оценка позволила упомянутым Еыше авторам развить прямую, а впоследствии Н.Е.Фирсовой - и обратлуа задачу ддя возмущенного оператора Хилла.

В связи с решением задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в классе потенциалов с конечнозонныы поведением при' X ± лз прямая и обратная задачи теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Штурма-Лиувиляя рассматривались в работе Р0Ф.Бикбаева-Р,А".Шарипова.

В работе Б.М.Левитана-А.Б.Хасанова получена равномерная оценка для' функции Коши для конечнозонного оператора Штурма-Лиувилля.'Эта оценка была использована А.Б.Хасановш при решении прямой и обратной задач теории рассеяния возмущенного конечнозонного-оператора Штурма-^иувилля.

■ Прямая и обратная задачи теории рассеяния для возмущен-' ного конечнозонного оператора Дирака, в связи с исследованием асимптотики решения нелинейного уравнения Шредингеря и модифицированного КдФ, изучена в работах Р.Ф.Бикбаева, В.М. Котлярова-Е.Я.Хруслоьа.

В настоящей диссертации, во второй главе получена равномерная оценка матрицы-функции Коши и изучена прямая задача теории рассеяния для возмущенного конечнозонного оператора Дирака на всей прямой.

Цель работы. Изучение на полупрямой оператора Дирака с конечнозонным потенциалом при общем граничном условии в нулевой точке и решение прямой задачи'теории рассеяния возмущенного конечнозонного оператора Дирака. ' '

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертационной работе получены следую- . щие результаты; '■' • ........... •

I. Решается обратная задача на полупрямой дай оператора Дирака с конечнозонным потенциалом при общем граничном условии в нулевой точке.

2. Получены системч рволюционных уравнений для спектральных параметров.

3. Выводится: формула следов для спвктралъшх параметров.

4. Получена равномерная оценка матрицы-функции Коши для конечнозонного оператора Дирака.

5. Построено решение йоста и определены коэффициенты рассеяния. ........

6. Доказана теорема разложения по собственным функциям возмущенного конечнозонного оператора Дирака.

Мотоды исследования. Работа основана на применении методов спектральной теории дифференциальных операторов, теории функций комплексного переменного и теории дифференциальных уравнений. ......

Практическая и теоретическая ценность; ' Работа носит т°о-ретический характер. Результата п методы могут быть полезны в исследованиях по спектральной теории дифференциальных операторов и в математической физике. - -

на Международной научной кон|ерентши "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г.), Всесоюзной школе молодых ученых: "Функциональные метода в прикладной математике и математической физике" (г.Ташкент, 1988 г.), конференциях профессорско-преподавательского состава ГулЕСтан- " ского государственного университета (г.Гулистан, 1990-93 гг.), семинаре по обратным задачам и семинаре по спектральной тьориа линейных операторов на механико-математическом факультете МГУ, семинаре по функциональным методам в математической физика на математическом'факультете ТашГУ. - -

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях, список которых.призодигся в конце'автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 102 страницах и состоит из "ведения, двух глав и

.■ Результаты диссертации докладывались

списка литературы из 52 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержатся постановка задачи,.краткая история вопроса и точная формулировка результатов диссертации.

В § I главы I решена обратная задача на полупрямой для одномерного оцератора Дирака с коначнозонннм потенциалом с общим граничным условием в нулевой точке. Решение основано на теории обратной задачи для квнечнозонного оператора Дирака на всей прямой.

Рассмотрим систему уравнений Дирака:

(-1 ). (I)

в которой р(З-) и С} (X) суть действительные непрерывные в каждом конечном интервале функции. Обозначим через 9(х,Я) и Л.) решение уравнения (I), удовлетворяющего начальным

условиям

Известно1, что для любой системы вида (I) существует хотя бы одна неубывающая матрица-функция

. = I ¡(Л) ) .

такая, что для произвольной финитной гладкой вектор-функции $(%)- (/¿С?.), имеет место разложение Фурье

7

I [гсл) т,м с1^л) < (ГЙ * ,

~оо

I, Левитан Б.М., Саргснн И.С. Введения в спектральную теорию.-М.: Наука.- 1970,- 672 с.

где

СЮ ОО

Г (Л)= | / (X, 1)9(х,л)с1х , | {ТЫ) ЩХ,Л) с1х.

-оа ~<*>

Матрица-функция Ни) называется спектральной матрицей-функцией уравнения (I). Обратная задача на всей нрямой по спектральной матрице-функции ставится следующим образом: задается неубывающая действительная матрица-функция и ищутся необходимые и достаточные условия, при которых она является спектральной матрицей на прямой некоторой системы вида (I). Эта задача для системы (I) была исследована С.Г.Беляевым1.

Рассмотрим спектральную задачу для уравнения (I) на полупрямой (о,+ ) с граничным условием

• 'у (0) Щ. а1 - ^ (0) ¿¿П. б . (2)

Зададим на вещественной оси 2 У точек

* - < - .

Интервалы ) будем называть лакунами, их объединение

обозначим Через бу . Объединение остальных интервалов вещественной оси назовем спектром в обозначим через £у . Определим многочлены

' Ш* (Л-А{ )(Л-Д) ... (Л-) (1-Д ) ,

. ап-Р1л)£ ,

......- -

где числа £ /с= д/ . берутся дгчизвольно нз соответст-

I. Велиев С.Г. Дед. в ВИНИТИ, Л 4917 - 72.

вуадих отрезков Г-Л^у'^-] (^-ёП^Д])» знвки задаются произвольно. Полином ¿(л) определяется равенством

В формуле для О.(А) берется арифметическое значение корня.

Выбор чисел. ^ £ [Я^ , у?^. ] и злаков ^ = 1" 4 , АГ= однозначно определяет выбор чисел £ Е , ] и знаков

Знак перед корнем (во всех равенствах) выбираем так,чтобы на цервой интервала спектра было > О .На следующих ин-

тервалах спектра и в лакунах знак корня определяется аналитическим продолкеиием.

К этому классу спектральных матриц-функций М.Э.Замонов и А.БДасанов применили теоремы о разрешимости обратной задачи для системы Дирака ао спектральной матрице-функции. Они показали, что выполнение тождества (3) является необходимым и достаточным условием для разрешимости обратной задачи для системы Дирака. При решении обратной задачи по спектральной матрице-функции, имеющей алгебраическую структуру (4), был получен потенциал = ^ » К0'10Р11Й называется

конечнозошшм.

Рш$(А) - а\л) = тгиу.

' (3)

(4)

I. Замонов М.З..Хасанов А.Б. Вестник МГУ.-Сер.1.-1985,№ 6.-С, 3-7.

Обозначим-через , решения уравнения (I),

удовлетворяющие нечалымм условиям

Тогда решение Г.Вейля Ч:'^ (я, А) для системы уравнений (I) на полупрямой (о,+ <*> ), соответствующее граничному условию (2), имеет вид

* л) ч- .

Функция Вейля-Титчмарша (Л) , соответствующая условию

(2), имеет вид

ее

(5)

где

Ш* Ы2с1 Р(Л) -¿ой<1 Ш+ ¿1*1 с[ ¿(Л), (6)

К этим равенствам добавим еще одно-

5, (Л) = ЛиЛ/ Ри) + 2 Я иг с1 № о1 а (Л) + $(Л) .

л

Из этих равенств следует, что $(Л) и

суть' многочлены степени У со старшими коэффициентами, равныыи еда- " нице. О/(А) есть многочлен степени . Ддя"этих много-

членов при произвольном и справедливо равенство

Лемма_IЛ. Р^(^) имеет по одному нули '

в каждой лакуне [Л^./Ч^] , К- = ...3 У.

Резольвента оператора, порожденная уравнением (I) на иолу-прямой (о,+ оо ) с граничным условием (2), определяется ядром

х ¿у,

&1Х.1/.А)*

Собственные значения оператора (1)-(2) (Л ^ 0) совпадают с полюсами функции >ч"/ (Л) , т.е. с теми нулями

__ с УС

полинома ^ (Л) , для которых числитель выражения (5) отличен от нуля. Спектральная функция на полупрямой (о,+ ) определяв ется равенством

л л

По спектральной функции мы можем восстановить нраейую

задачу (1)-(2) при помощи интегрального уравнения типа

Гельфанда-Левитана, полученного Ы.Г.Гасшловым и Б.М.Левитаном*.

Полученные в § I результаты скорму лиру ём в виде следующей теоремы:

Теорема__1Л. Пусть симметрическая, вещественная,

неубывающая матрица-функция 21 ГД) > элементы которой определены равенствами (4),

I, Гасыыов Ы.Г., Левитан Б.М. // ДАН СССР.- 1966.- Т.167.-И 5.- С.967-970.

есть спектральная ыатргца- функция для системы вида (I). Пусть полиномы ^(Л) и С/Ш определяются равенством 16) и (7). ..Тогда функция Вейля-Титчмараа (Л) , соответствующая сдо-гдао уравнений (I) (я > 0) а граничному условию (2), имеет ЙИД ■

т) сл) = 4-----------

В § 2 главы I получены эволвдйоннне уравнения ддя спектральных параметров.

ТЕОРЕМА__1Л. Если и (X) = ^ (х) - ¿р^ (X).

коночноэопный потенциал, имеющий спектр Е^ и споктрольные

параметры ^ ), , задачи ( I ) -

-( 2 ) , то для любого £ потенциал тоже явля-

ется КОН8ЧНОЗОННЫМ со спектром Еу и спектральными параметрами

(¿1

Последние удовлетворяют системам дифференциальных уравнений

■2 и- I в (8)

~

п

¡*К

О)

- 12 -

В § 3 главы I получены формулы следов для конечнозонньк потенциалов оператора Дирака.

ТЕОРЕМА 1.3. Элементы конечнозонной потенциальной

матрицы О^С*) , т.е. функции и * принадаекат

классу в имеют место формулы следов;

£ (^Ф- ГЧ'И))-- * ;

I +

. . - Спектральные параметра ^

удойно рассматривать как точки на римановой поверхности квад- .

ратного корня т/ЯРд , а системы (8) и (9) - как закон эзо-люции этих точек. Эти системы являются аналогом хорошо известной системы уравнений Б.А.Дубровина-Е.Трубовица, описывающей эволюцию спектральных параметров конэчнозонного потенциала оператора Шредипгера.

Вторая часть диссертации посвящена изучению прямой задачи теории рассеяния для возмущенного конвчновонного оператора Дирака. 2 1 Рассмотрим в пространстве вектор-функций

пару

самосопряженных операторов

д у - 3/ + СОу(Х) + Осху)у = Л.у, (II)

где

- конечнозошшй (на обязательно периодический) потенциал, а функции р(Х) и С}СХУ удовлетворяют условию

00

1 (и-№(\р{*)\+ Н)ех)1)с1х ¿-«0 . (12)

-со

Известно, что. каждой .конечнозонный потенциал =

=0 (Х)-Ср(Х) , где У - число зон спектра - однозначно опре-

Э

деляется заданием границ зон спектра оператора ^ ■* (%), Хе. , т.е. заданием чисел ^ <^ су^ с ... < Лу «¿у^, а заданием спектральшга параметров . = » ГД0

[л*./1*], Ш-

Для невозмущенного уравнения (10) решение Вейля имеет вид

± . ■ { {ЩР-ЯГ&Щ'^Х .

где

ИМ?

Р(и,А)

¿11,

л-р/иу

У

П (¿-2 (X)) , 1(0)^1

1Сг4 1С С *■

О

Обозначим через

А спектральную поверхность оператора . Последняя получается склеиванием двух экземпляров спектральной плоскости С | Еу » разрезанной по зонам спектра

Е оператора 2в .

Решения Б ей ля (х,Л) мероморфны на А и вещественны в лакунах. .

Обозначим через {'(2,Л) ревшме возмущенного уравнения (II)» удовлетворяющее условию

1ш1 - У*(Х.Л)] =0, Я£-£у . (13)

Я.— ±СХ>

Уравнение (II) с условием (13) эквивалентно интегральному уравнению

'/ч. 4- . >» Г\/1\ 11

(14)

/ (х,а) * т+ ] №*; л) ОбУ ,

я:

где

Гсг,Л) = Щ-

матрицы-функции Коши уравнения (10),

У < % - У?*; ■

Для элементов матрицы-функции Коши -(^ ^ )

справедливы формулы:

{т,\)Рш) .

н

Глг^.,» ут.мпх.А) . | г. - ( /

л:

УШ

Рс^лл:

^чт I ® ^

«МШ

■+

Р(и,А)

¿и).

Для доказательства существования и единственности, а также исследования решения интегрального уравнения нам необходимо иметь оценки матрицы-функции Коши р(х,~Ь-,Х) . В первом параграфе главы II получена равномерная оценка матрицы-функции Коши для системы уравнений (10). Основным результатом § I главы II является следующая теорема. ^

ТЕОРЕМА 2.1. Для любых х^еИ , Еу справедли- . ва оценка

/

II - Ц С, , (К)

<-,¿-1 Ч 4

где ^ и С-г постоянные.

В силу условия (12) и оценки (15) решение интегрального уравнения (14) дм Л £ существует, единственно и может бит; найдено по методу последовательных Приближений.

В § 2 главы II построено решение йоста н определены коэ$1 циенты рассачиия. ' +

Лемма_2Л, Для решения { справедливо пред-

ставление ±<Х) ■

X

где 1(2(Х^ ;А)- матрица-функция Кошиуравнения (II).

При кавдом X. функции мероморфны и непрерывна

до разрезов включительно.

При Л* Л^Д ,Л1 ,пары вектор-функций

образуют фундаментальные системы решений системы уравяейий(П' Поэтому •

Функции и называются коэффициентами рассеяния.

Лемма 3.3. Имеют место равенства (Л Е. )

р = йТт * I <*

2) *сл) е дат ^ ^

3) \а(Х)\г- 1£(Л)12 = 4 . (в

- г/ -

Функция (X (Л) является предельный ^значением ыероморфной функции на верхнем листе поверхности Л , причем а(л*) = а(Лн) при ЛЕ Е^ (здесь , Я^ - точки верхнего и нижнего берега разреза'соответственно).

Лемма 2.4. Функции &(Л) и ¿(Л) , определенные равенствами (16), (Г7), допускают следующие представления:

-аз се

(и он) Га,

в справедливы следующие асимптотические равенства:

а(л), и0(± ), к^О(у),

Известно, что при условии (12) непрерывные спектры п Ъ совпадают и имеют зонную структуру, кроме того, оператор $ имеет дискретный спектр п лакунах (в каждой не более чем конечное число собственных значений), т.е.

. Нули функции Л(Л) соответствуют дискретному спектру оператора (II). В силу соотношения (18) эти пули могут лажать строго в лакунах ,и в нулях выполнено соотношение

• - ■ I рф Г <1т - ~ ,

аф ) *

*

Пусть

+ р + -

"гЧ'^кя*) ■ у

Тогда пг*. тГ = - ГКЦ.) [.

J в я а У

Откутэ следует, что СС(Л-)ФО , т.е. корни функции (2('Л) простое. ^

Л е м м а_2^5. Оператор имеет конечное число простых собственных значений , /'= , лежащих в лакунах, т.е.

Б § 3 главы II доказана теорема разложения по собственным функциям для оператора (II).

ТЕОРЕМА 2.2. Если коэффициенты р(х) и диф-

ференциального оператора В удовлетворяют условию (12), то каждая вектор-функция Е(-•*?,<*>) имеет следующее

спектральное разложение

1

^ж)

ао>

Г(А)

-г

л а)

р)с!(х)

У

У

где

+ г: кп' (х,1) У а),

¿-I / л /"

Р(М

Р+ 1цТ } 4 11^ . -

Гсх,^-) - • И*

В заключение выражаю глубокую благодарность профессору МГУ Б.М.Левитану и мошу научному руководителю А.Б.Хасанову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Осношшо результаты диссертации.опубликованы в работах:

1. Маматоа А.Э. Обратная задача на полупрямой и формулы следов

для. оператора Дирака с конечлоэонишл потенциалом. Деп. > УзШШТИ 11.12.90, Л 1360-У3.90. 23 с.

2. Шматов А.Э. Обратная задача на полупрямой доя оператора

Дирака в случае копечнозонных потенциалов // Узб-матем. журнал.- 1991, № 5.- С.44-49.

3. Левитан Б.М., Мвыэтов А.Э. Оценки матрицы-функции Коши для

. системы Дирака в случав яоначноэошшх иелериодичвснпх потенциалов.// Матом.заметки.- 1993.- Т.53.- Вып.4.-С.62-76.

4. Хасанов А.Б., Манатов А.Э. Вырождение конечнозонных потен-

циалов а задача рассеяния для системы Дирака. Деп. в ВИНИТИ 16.07.93, » 20I0-B93, 24 с.

5. Хасанов А.Б,, Маматоа А.Э. Разложение по собственным функциям

для возмущенного конечнозонного оператора Дирака. // ДАН РУз., - 1993,- » 7С.16-19.

.го А.Э.Маматов

ЧЕКЛИ 30й/иШ ПОГЙЩНЛШШ ДИРАК ОПЕРАТОРИ ашктрм ИЛЗАРШСШШЬГ БАЪЗИ БИР МЛСМЛЛАРИ

Ушбу диосортацияда ярим увда ноль нуцтида умумий чегаравий шартдз чекли зонали потенциалли Дирак олератори урганилган ва бутун увда силкитнлган чекли зонали Дирак оператора учун сочи-ллш нвзаридсининг турри масалнси ечилган.

Биринчи бобда ярим уциинг ноль нуутасида умумий чегаравий шарада чекли зонали Дирак оператора учун твскари масала ечилган, спектрал параметрдар учун излар ^орглулалари ва эволщиои тенгла-глалар систомаларк олинган.

Пккинчи бобда чекли зонели Дирак операторинкнг Коши матрк-цг-функцияси учун теки с баз^олаш олинган. Силвитилхан чекли зонали Дирак операторшлшг Йоста ечимлари уурилган, сочилиы жоэ^фициентлари виицлаягсн ва хос ^ункциялэри буйинча ёйилш теоремаси лсботланган.

¿y

A.E.Msmatov

SOME PROBLEMS OP'SPECTRAL THE OH V 0? DIRAC OPERATOR WITH PIMITE-ZONE POTENTIAL

The Dirac operator in half-lino with finite-zone potential and with a general boubdary condition in Zero point is studied. The direct problem of scattering theory for perturbed finite-zone Dirac operator is solved.

The solution of the inverse problem in half-line for Dirac operator with finite-zone potential and général boundary condition in Zero point, trace formulas and the system of evolution equations for epectral paraneters are given in chapter I.

• An uniform estimation of the Caushy matrix-function for the finite-zone Dirac operator is obtained in chapter II. The solution of Jocta la constructed. The scattering coefficients are defined and decomposition theorem on eigenfunctions ia proved for the perturbed finite-zone Dirac operator.