Распределение собственных значений эллиптических дифференциальных операторов в предельно-цилиндрических областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г г р. о Ч

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 065.01.02

На правах рукоппсн УДК 517.945

ОЛИМОВ Мулоканд Иноятович

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРЕДЕЛЬНО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ — 1993

Работа выполнена в Душанбинском Ордена Дружбы Народов государственном педагогическом университете им. К. Ш. Джураева.

Научные руководители: чл.-к. АН Республики Таджикистан, доктор физико-математических паук, профессор К. X. Бойматов,

доцент, к. ф.-м. и. Н. У. Усмонов.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

академик АН Республики Таджикистан Л. Г. Михайлов,

с. н. е., к. ф.-м. н. С. А. Исхаков.

Ведущая организация: Механико-математический факультет МГУ им. Ломоносова.

Защита состоится « 1993 г. в

час. на заседании Специализированного совета К. 065.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском госунивсрситете (734025, г. Душанбе, проспект Рудаки, 17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

Автореферат разослан « ¿.¿3 » УС^А^-^ 1993 г.

Ученый секретарь: Специализированного совета

к. ф.-м. н., доцент

ХОСАБЕКОВ

'ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тет. Важным разделом спектральной теории дифференциальных операторов (ДО) и псевдодафференпиальных (ВДО) является распределение их собственных значений (РСЗ).

Этог.у вопросу в литературе посвящено много работ; подробную их библиографию гдолшо наЗг' в работах С.Кларка (1957), М.Ш.13ир-кэиз, М.З.Соломяка (1977), ..Х.БсСиатова (1979-1991), Ю.М.Бере-занского (1970), С.З.Левендорского (1982-1988), Л.Г.Костачекко (1954-1964), К.Т.М;:нбаева, Ы.О.Отелбаева (1970-1587). Спектральная асимптотика вырокдаккахся операторов изучалась в работах Х.Х.Бойматовз (1981-1993 ">; И.А.Соломеша (1962-1903), М.З.Солоют-ка (1972-1973), И.Л.Зуллса (1976-1977), Г.НЛ'ашияна (1979-1581), М.Г.Гэсыт/оао, М.Бэйрэмоглы а других авторов. Данной проблемой 38 рубэком занимались Фам Тхе Лай (1974-1975), Эль Колли, Гай-:.:о-?1!сье (1971), Пнмакуро (1971-1974), Ларсон Е. (1968) и другие математика.

3 настоящее время имеются отдельные работы посвященные РСЗ эллиптических операторов в пребольно-цилиндрических областях. Наиболее существенные р-зультэты получены Г.В.Розенбламом (1972- 1976) и К.Х.Бойг.мтоекл (1984-1989). Из последних работ от!.:от;;м :с:юту Бергера Гюнтера (1986).

Настоящая работа посвя:цэнэ РСЗ вырождающихся эллиптических дн-этеранциольных операторов в пределыю-нил'лздрлчеснтгх областях. В отллчле от работ КЛ.Бой.'/атовэ, Г.В.Розенблша а Бергера- Гюк-тера здесь эы^слена точная спектральная асимптотика выро.:-саэк>-^огося ДО з предельно-цилиндрической области. В работе Г.Розен-блхгэ исследован случай оператора ' ^ ~ опера-

тор Лапласа.

3 рзбото К.Х.Бо2:.:зтоза, хотя рассматривается выроззтактайся эллиптически;: ДО, получены липь двустороннее опенки спектра. К 70-у .~е, р?сс::этрпвзе:..це здесь классы ДО могут н:.:егь негладка» коптите еклк и soort.se говоря не являются сакосопрянепныгя опе-

рятэрягл!.

?!еоо:со.-:;"ость псслэдования РСЗ ДО возникает в математической -"-нзпке, крястпл.юграсп;!, квантовой механике и ряде других облаете-!? естестБозг:л.^!я. Например, для квантовой ишк.пкя особенно интересна ДО, заданных в неограниченных областях

ilCR 11 ямещих дискретный спектр. •

Цель г>абс ru. I. Вычисление спектральной есимптотяки эллип-.' тических дифференциальных операторов с переменными коэффициентами ззданных в предельно-цилиндрических областях конечной ые- ■" pu. ' -

2i вычисление спектральной асимптотики эллиптических ДО в предельнэ-нллиндрических областях с матричными коэффициентами.

3. исследование спектральной асимптотики и несамосопрякен-ных виро.чдзющихсн эллиптических дифференциальных операторов.

4. Исследование некоторых классов параболических шгМерен-цпздьных операторов s'предельно-цилиндрических областях.

Методвкз исследования. Исследование проведено методом "пара-, метрикса" в сочетании с использованием метода возмущения сиигу-' лярным потенциалом ВСП К.Х.Бойматовэ и современных методов.урзв-' нений в частите производных ! функционального анализа. '.

Научшш новизна. I. Получена асимптотика спектра несамосопряженных эллиптических вырождающихся дифференциальных операторов с негладкими матричными коэффициентами в предельяо-цилпндричес-ких областях конечной меры.

2. Исследовано соответствующее вспомогательное пзраболичес- . кое уравнение,

Все полученные результаты являются новыми и обоснованы дос-. тозершгл! математическими выкладками.

Теоретическая >т практическая'ценность работы. Результаты • диссертаций носят теоретический характер. Они расширяют возмок- . ность применения методов пар-зметг.пксз и ВСП при дальнейшем исследовании спектральных асимптотик других классов,несзмосокря- . г.ониых эллиптических ДО в различных областях. ...

Апробация Работы. Основные результаты диссертации докла- " дивалпсь на ноучном семинаре. проф.А.Г.КостюЧенко, про?.'А.А.¡.ка-лкковэ по несзиосопрякенным операторам в MIT им.Ломоносова, нз семинара отдела .тутшиопального внчлизо ,?'Л -с'-ВЦ АН Роепубли- ' «к Таджикистан (рук. пго р.Боймотов К.л.) и» объединенном.зясо- ''• Дании кяфодр аягобрц и теории чисел и },»5тй?'йтичоского.;8язлхаг#"'/'-'' ДПБГии.К.Е.Д*ураозя, па Рэспублигьяйских.конл-орёнппях.молодых-.'.1; учета Республики Таджикистан '(I9S9-I90I): г-.г» Ягапнбо,1\у.ляЬ' Кургли-Tnde ».но. Республиканской,научной гоигорзш'.а .гСэт.чгад- ■

■ далекого-17 (1991).. . „.

Публикации. Оснэвныо результаты работы опубликованы з 7-:,гл статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения. 3-х глав, 14 параграфов и списка литературы.

Работа изложена на 105 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 82 наименования отечественных и зару-бе;;шых авторов. . . '

ССДЕКМШ ДИССЕРТАЦИ

Во заеяаяиз к диссертационной работе дастся лрзткяЯ исторический ос'зор по затрг.?:."взе:жм проблемам, обосновывается ак~ туалъкссть тег ль Приводится тпкяа крзткоо содерязрнэ диссертации с укэзанле;л основных результатов.

В диссертации аспользовзна двойная нумерация, причем пер~ 31я цийра означает номер глава, вторая - номер в главо.

Пзрзяа глэпо посвя;цо;,а геследоззпио спектральной йсимйтс-тикл г-ллипти-гес-ких операторов с гладкими коэсТхрнцизнтэми, заданна в* предельно-цилиндрических областях .

3 5 I.I. 'фГЕо;:::тся основные обозначения и формулировка основного результата.' 4

. - Введем следующие-определения. Цусть UJ5) с. - ограниченная область, Fií) ^ С-^^о)-- положительная непрерывная функция, такая, что

FUÍ—*о. \ C"t

Область виде •

XL ~ ^ = с сс', ос,„у: ос' ¡ F (ос^ еи*}

называется предель^о-цплипдрпчсской областью с нулевые рэдпу-co:.í нэ бесконечности. .

В гильбертовой пространства рассмотрим даф$а-ренпиэльпнй оператор

РДА - 21 (cu* 9%) ito), ue crea).

-r4 '

здзсь oC—(oi^ct^.,.,^) , ^

мультиндоксыд + .e^o^ez),

Функция рс зс-) £ я удовлетворяет неравенствам

Gt pc^e) ^ у сое;, (cu,ct>o),

Сформируем условия на коэффициент оператора :

I. СЦ» С00-) = €

П. I С»0\ ^ для всех 1*16 Ш+1,

^и^и^^и ™ м

не зависит от

а набора комплексных чисел 1 I V .. Долее потребуем, что: «С^

1У. Существует число такое, чго сходится интеграл

При выполнении перечисленных вы^е^условий опэратор является неотрапате.шиет симметрическим оператором в Д^СД»») Обозначим через Р - расширение по йридрихсу оператора ^ . ",з область ХЬ накладывав!; следующие условия: Условие 1.1. Область удовлетворяет условию конуса

Условие 1.2. Для всех ССг: выполняется

неравенство

[СУ, 1);

Пусть . & - обозначает расширение по Фридрихсу в ^-¿(¡Л^) оператора

Мозие_ы. 6 ^С-Е ,(С>о).

Обозначим через число собственных значений Фрид-

рихсова расширения Р оператор? ^ , не превосходящих Х .

. При выполнении условий, сформулированных выше, имеет место ■следующая

Теорема I. Справедлива асимптотическая форДула

ЛЧЛ.) ^С-ЛГ"1 СЛ-^^00)/ ГДвС =а"гтП$ О^б '

Замечание 1.1. Анализ условий'1.1 - 1.3 имеется в рабо -тз С I] , где получены двусторонние опенки йувкцнн л/(л). Условие 1.3 выполняется, например при 1. Условие 1.2 зыголня-ется в частности з то:.; случае, если ^ — (.К-!) - кврякИ шар с> центров з нуле, а р £С* С Я) ~ четная 'Тунктхип,

[II Боймятов К.а. О- собственных значениях з^шиптическ^х дп'Ггюотшпзльных операторов в предельно-гшллндгачес-■ ких областях. ДАЛ ССОР, 1989. -Т.ЗС8, В I. -.С.- П-14.

"удовлетзорлгозя при "t^O неравенством

F'ttV^o, F"ct) >о.

В § 1.2 доказан ряд вспомогательных утверждений, необходимых для дальнейшего, в частности доказано неравенство типа Хар-

ди: г

- Ml ffiOvtfdxfi yeCCQ).

; eJ\ — ГМ v '

wi=« r

На основании этого неравенства устанавливается неравенство типа Хзрди для предельно-цпляндркческой области.

Легдта 1.1. Существует число М>0такое, что для всех йтуиший ц(.ос)€ с0°° (л) выполняется неравенство

ос ^ МХу^^с/!^^!^ 1Ги л

к

где 1С - компактное подмножество в ; бедная функция класса С^СЛ) Удовлетворяющая условию

положзтель-

JjLm Su^p 1У<оСас.)1УСос) . Ж*.)

Пусть Q_ — Р -V $ сое) ДО реализованный в ¿/¿(Л) как минимальный оператор. В у I.3-I.4 вычисляется асимптотика функции к

Spc? -

f4*

при малых OJ7/Q )С>0 2 выводятся асшштоткческие $орвдули

/V(Jl,P) (Jvr^i—х

где C^C5-nih CioCLois , a

о

6

Зо зторой главе диссертации исследуется спектральная асимптотика 'выроядакшхся эллиптических дифференциальных операторов с матричными коэффициентами заданных в предельно-цилиндрических областях Л, . Основной результат П главы сформулируется в ? 2.1. Рассмотрим в гильбертовом пространство

40

ДО вида

А.Ц - Г £*( си* сое.) Р V)сх))

с областью определения А»)— Со (ДЬ) > где ЛсЯ*1

такая не область как выяе,

- £■ - маркое комплексное пространство

СЦ с^) ес"1^ (Л, БиЛС^Си^и«).

Предполагается, что выполнены условия 17-У, 1.1-1.3 главы I, а такке следугодив условия

I. Ссс) н ОГ^Ссс) (

XСое) ^л ) ,

где число М>0 не повисит от С . Знак

1 1

обозначает норму матрицы Скалярное произведение в £

Обозначим, через Д расширение по Фридрнхсу в ¿¿(Д', С^) симметрического эллиптического оператора А0 « Обозначим через Л/(Х)4«ело СЗ оператора А пепревосходящих А • При выполнении условий,сформулированных выше, имеет место

—' 0 х-

слодующяя .

Теореме 2, Справедлива 8симпт0""!ческэя ,;Е>ордулз

, л -

где Ц(ж,5)обозначает число СЗ матрицы .

не превосходящих I. . /

Доказательство теоремы 2 приводится в § 2.5. 3 гильбертовом пространстве рассмотрим замыкание ДО вида ;

р( - £>*( а.« сое) + Г&1

с областью определения е&ч А*) ~ СЛ>) * где 1- единичная матрица. Мояно показать, что при

выполнении условий,перечисленных выше, А^- самосопряженный' оператор. '- '

В 5 2.2. получено интегральное представление для операторной Функции ехрСг*М'

Си) = £ ©¿Фул^'ч?-»

где Сс-Л^^ехр^А^, а АС/1

- ДО с символом ■

оис^и £) - 21 с**,) SetSJг-^ 54=4) 1

функции в!•»У. ■) Ф вводятся так ко, как в статье £2] ,точ-<•» Ч> 'и •

ОС/-6 —V

Доказано о::он.':п

Ц ^ м С . где эее СО, 1), .

I 2Зб0Я«8Т08 к.х. Спектральная асимптотика- лп^^етютг/эльных .к псевдоди&Т)01<»яглольннх операторов • . • // В.кн. :. иуды-семинара им.А.Г.Потровского. ;ЬдЛ,!ГУ,' 7,.

' - С. 50-100. - •'...••.•-■ -

9 --ЬА

В 5 2.4 получена асимптотика функции Ч На

основании полученной асимптотической формулы вычислена спект-рзльнэя- асимптотика оператора Д^. Отсюда утверждение теоремы 2 выводится методом ВСП К.Х.Боймэтова.

В третьей главе диссертации исследуется спектральная асимптотика негладких несэмосопрялсенных вырождающихся эллиптических систем ДО, заданных в предельно-цилиндрических областях с нулевым радиусом на бесконечности.

Введем пространство \/\/ с нормой

Q 1

ц . л V ^

^ Через обоз-

начим замыкание £ «(СО в \Д/Д (СЛ. Рассмотрим билинейную форму '

ЫЛ5- € Пространство

является замыканием '

в пространстве ^/У^эС^») которое состоит из вектор-функций

ЫС^) и, сое) ,..», Ые. (ас))

с конечной нормой

1 и \ \л£ сп.)4 $={ф» I Э* и, <х) +

ии л

область Д, удовлетворяет условиям 1.1-1.2, Гл. I. Коэтйнпиенты £ СЦ^ (.°^принимают матричные значения и при

—удовлетворяют условиям теорем! 2. Далее потребуем выполнение следующих условий:

о»

(I) если ЧА/^СЦ) -

полином по

з^.". гх^ порядка <, т , то РСэсн«",

(2) существует число й.?>() тзкоэ, что

^ ?~"Сзс.) с^ог с -г оО

. Л

(3) , & фьь,,,.,

■ (л) © - а. гп ■+ д/ О/ , J = 0,1,.../ (5) Ц СЦ& ^.М , С .'■

При выполнении перечисленных выше условий имеет место следующая , -

Теорема 3. Билинейная ¡йормэ ^Д. Ш >1?1 плотно определена б (л)^ замкнута и секторяэлька, ' •

Секториальность билинейной формы А [11,\?] означает существование чисел ^ 6 (г00)"*00)1. СО) таких, что г,то-

является подмножеством сектора.

Число у называется вершиной билинейной форма, © - полууглом.

Согласно известной теореме о-представлении (см. напр.1.3, стр. 404-4053 существует единственны»! № - секторнельиый оператор а в н — ¿¡«(д)*", такой, что

(УиеЗсм , ъ^ечл/^Ш),

где . } обозначает скалярное произведение в /^^оЬ)^

Кьто'Т. Тбооия возмущении линейных операторов, лзн-ве "Мир". М., 1972. - С. 386-543. . .

■'.."''• IX Имеет место следующая - >

Теорег.'п 4. Оператор Д тлеет дискретный спектр. Система собственных и присоединенных вектор-ч5ункци:1 оператора Д полна,в Вне любого сектора 5 вида

: "Б ) &>о,

сояор:хятся лишь коночное число точек спектра оператора Д .

Обозначим через /VС Л.) число СЗ,оперэторз А не превосходящих по модулю А. , с учетом корневых крэтностей.

Для нахождения асимптотики функции /УСЛ.) введен следующие обозначения: г чиато СЗ матрицы

1«ц-1;п = >г1 У ■

не превссхояящих 1.

- л»

При выполнении услови!:, аТормуляровзнных вкае справедлива Теорема 5. Лгтеет косто зсьупггогичосхоя форь?ла

. А/ ( К) С . ( Л— >

Доказательство теорем: 5 для самосопряженного оператора ::рл-взяено з Г 3.3, о «ля общего ату чая з 5 3.4. Крема методов, примененных в Гл. 1-11, здесь применяется также олемкт: тэх-н:;ки теорз;1 возг^дений.

Лчтор благодарит члэг.'э-коррссчгапяенга АЯ Республики Таджикистан, профессора Бо;*гллтовэ К.Х. за постановку задачи а постоянное знлюн'/о язж гсзссерглдаеЯ. а таим к.ф.-м.а., депонта Усг.'сновл Н.У.'сэ полезные советы, консультации и посто-

' .СИчСОК ПУКТГЗДШ ПО "Г2ГДЕ Х-ЮСгГРГАЦПГ

I. Сл;:?.то1з IРаспределение собственных значений вцро:,с:эта',;т1х-о ся элл:чпгкпрс:п:х да 7>*>ореннпзльннх операторов в предельно— . •. цилиндрических областях конечной меры // Докл. АН РТ, 1931,

.. .'. 3. > С. 7.

- 2. Олимов М.И. Распределение собственных значений вырождающихся эллиптических дифференциальш"': операторов второго порядка// Тезисы докл.молодых ученых. Кургантюбинский пединститут, 1991. - С. 57.

3. Олимов М.П. Спектральная асимптотика вырождающихся эллиптических систем дифференциальных операторов,в неограниченных

. областях// Тезисы докл. республ.конф. "Теория приближения и вложения функциональных пространств". КарагандинскиП Госуниверситет. - 1991. - С. 99.

4. Олимов М.К. Спектральная асимптотика несомосопряженных вы-роудаюдихс.! эллиптических дифференциальных уравнений в неограниченных областях// Тезисы докл.респ.нэучн.конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Куляб, 1991. -С. 120.

5. Олимов !,'.,!. Об асимпто'-ко спектра систем выроздакцпхся эллиптических систем диихгеренцнальных операторов в предельно-цилиндрических областях// Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Душанбе, 1991.- - С. 59.

6. Годоев М., Олимов !.:.:'. Асимптотика взвезенного следа, эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка в предельно-цилиндрических областях// Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. - Душанбе, 1993. -С. 12.

7. Гадоев !.!., Олимов М.П. Об асимптотике спектра несамосопря-жонных систем дифференциальных операторов в предельно-цилиндрических областях // ДАН РТ, )ё I, 1993. - С. 7.

ГЬдгтиспня р печать II.11.93г. 5ормпт сОхт "'/16. Еук'-яга тип. >'-2. Пенять о?гетнРЯ.Усл.печ.л.1,0, У л л. . -".тт. I .

"¡ипогрр.^ия Акядемии няук ТвД'З'кской ССР 73-1029 г. Душанбе, ул. Айну 12Г корп.2.