Слабо примитивные суперкольца

Лимаренко, Сергей Владиславович

Слабо примитивные суперкольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Лимаренко, Сергей Владиславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Слабо примитивные суперкольца»

Автореферат диссертации на тему "Слабо примитивные суперкольца"

На правах рукописи УДК 512.55

Лимаренко Сергей Владиславович

СЛАБО ПРИМИТИВНЫЕ СУПЕРКОЛЫДА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория

чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

и,

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Михалев

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Туганбаев

доктор физико-математических наук, доцент И. Б. Кожухов

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 сентября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

tPPYf

Общая характеристика работы Актуальность темы

Теорема плотности является одним из центральных результатов теории примитивных колец и имеет большое количество приложений. В классических монографиях Джекобсона1, Ламбека2 и Херстейна3 эта теория подробно изложена, а теорема плотности приведена в нескольких вариантах. Важную роль в исследовании данного вопроса играют кольца эндоморфизмов неприводимых (простых) модулей над произвольным телом. В теории ассоциативных колец вопросу об изоморфизме колец эндоморфизмов модулей уделено большое внимание (см. работу А.В.Михалева4). Помимо самих колец эндоморфизмов интерес представляют их плотные подкольца. Данная теория имеет и топологическую интерпретацию, где термин "плотный"приобретает привычное значение. Точнее, теорема плотности дает описание примитивных колец как плотных подколец колец эндоморфизмов векторных пространств над телами, где само понятие плотности фигурирует как в алгебраическом, так и в топологическом смысле.

Огромное значение теории примитивных колец привело к многочисленным попыткам обобщения теоремы плотности. Большинство подходов основано на изучении более широкого класса модулей (в классической теории - это класс неприводимых модулей). Особое внимание уделяется свойствам колец эндоморфизмов таких модулей. Также было обобщенно понятие примитивного кольца.

Стоит отметить, что большинство исследований в этой области не были выведены за рамки теории первичных колец. Так, Джонсон и Вонг5 рассматривали первичные кольца с нетриви-

1Н.Джекобсон, "Строение колец", Издательство иностранной литературы, Москва, 1961.

2И.Ламбек, Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.

3И.Херстейн, Некоммутативные кольца", Москва, Мир, 1972.

4А.В.Михалев, Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным // Вестник МГУ, 1989, N 2, 20-27.

5R.E.Johnson, E.T.Wong, "Quasi-injective modules and irreducible rings", J. London Math. Soc., 36 (1961), 260-268.

альными минимальными правым и левым первичными идеалами, а Кох и Мьюборн6 распространили результат Джонсона на еще более широкий класс колец - первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом, а также кольца с правым почти максимальным идеалом.

Самый широкий подкласс первичных колец был исследован в работах Зельмановица7, где он ввел понятие критически сжимаемого модуля, а кольцо, обладающее точным критически сжимаемым модулем, назвал слабо примитивным. Также им была доказана расширенная теорема плотности.

В работе Амицура8 используется понятие несингулярного униформного (однородного) модуля, которое, как выясняется, тесно связано с понятием критически сжимаемого модуля.

О.Д.Авраамова9 доказала теорему плотности для обобщенных слабо примитивных ортогональных полных колец.

Следующим шагом в этом направлении стало исследование аналогичных градуированных объектов. Общая теория градуированных колец и модулей подробно изложена в классической монографии Настасеску и Ойстайна10. Теорема плотности для градуированных примитивных колец была доказана в работе Лиу, Бити и Фанга11. В работе Гомеса и Настасеску12 рассматривались gr-полупростые модули. И.Н.Балаба13 в свою очередь

eK.Koh, A.C.Mewborn, "Prime rings with maximal annihilator and maximal complement right ideals"// Proc. Amer. Soc., 1965, Vol.16, N 5, 1073-1076.

7J.Zelmanowitz, "Weakly primitive rings", Comm.Algebra, 1981, v.9, N1, 2345.

8 S.A.Amitsur, "Rings of quotients and Morita context", J. Algebra 17, 273298 (1971).

'О.Д.Авраамова, "Обобщенная теорема плотности"// Абелевы группы и модули, Вып.8, Томск, Издательство Томского Университета, 1989, 3-16.

10C.Nàstàsescu, F.V.Oystayen, "Graded ring theory", Mathematical Library, Vol. 28, Amsterdam, North-Holland, 1982

11 Liu Shaoxue, M.Beatie, Fang Honjin, Graded division rings and the Jacobson density theorem // Journal of Beijing Normal University (Natural Science), 1991, Vol. 27, N 2, 129-134.

12 J.L. Gomez Pardo, C.Nastasescu. Topological aspect of graded rings // Comm. Alg, 1993, vol. 21, N 12, p.4481-4493.

13И.Н.Балаба, "Градуированные слабо-примитивные кольца"// Тезисы докладов III Международно»конференции "Современные проблемы теории

>./ >• >«;.»*« j j<, ¡

• i !■**»».»*»: , Î < ' 0

». » ' - <. ; л

провела исследование градуированных слабо-примитивных колец. С.В.Зеленов14 доказал обобщенную теорему плотности для колец, градуированных по полугруппе, и модулей, градуированных по полигонам над этими полугруппами.

В совместной работе А.В.Михалева15 с уже упомянутыми авторами и автором данной диссертации собраны несколько последних вариантов теоремы плотности для градуированных объектов, а также разработан подход к этой проблеме для суперколец и супермодулей.

Теория суперколец и супермодулей, являясь частным случаем общей теории градуированных объектов, достойна отдельного ( внимания. В частности, многие результаты для супер-объектов имеют более точный или даже несколько иной вид. Так, в работе Расина16 изложены некоторые результаты для примитивных ' суперколец. Автором данной диссертации были проведены дополнительные исследования в этой области.

Цель Работы

Данная диссертация посвящена исследованию сжимаемых модулей и супермодулей, а также слабо примитивных суперколец. Основная цель данной работы - доказательство расширенной теоремы плотности, а также подробное исследование всех объектов, связанных с теорией слабо примитивных суперколец. Большое внимание уделено неградуированным структурам (слабо примитивным кольцам и сжимаемым модулям), а также отдельно изучена специфика расширенной теоремы плотности для колец, градуированыых по коммутативной группе.

чисел и ее приложения", Тула, 1996, С.12

14 С.В.Зеленов, "Теорема плотности Зельмановича для колец, градуиро-

ванных по полугруппам", Фундаментальная и прикладная математика, 2001, Т.7, вып.2, стр. 373-385.

16И.Н.Балаба, С.В.Зеленов, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев, "Теоремы плотности для градуированных колец", Фундаментальная и прикладная математика, 2003, Т.9, В.1, стр. 27-49

leM.L.Racine, "Primitive superalgebras with superinvolution", Journal of Algebra 206, 588-614, 1998.

Научная новизна

В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.

|1] Исследованы свойства сжимаемых модулей, среди которых выделены критически сжимаемые и изоморфно сжимаемые модули, изучена связь между несингулярными однородными (униформными) модулями и критически сжимаемыми, найдены принципиальные отличия между ними.

[2] Исследованы свойства слабо примитивных колец, уделено особое внимание слабо примитивным кольцам с точными критическими сжимаемыми правыми идеалами. Изучена связь между областями Ope и слабо примитивными кольцами, являющимися точными критически сжимаемыми модулями над собой.

[3] Доказана расширенная теорема плотности для суперколец. Теорема сформулирована в терминах ровной однородности, что привело к ослаблению одного из условий теоремы и дополнительному исследованиям данной проблемы. Изучена специфика всех задействованных суперструктур, включая сжимаемые супермодули, слабо примитивные суперкольца и суперкольца частных. Также представлен аналог классической теоремы плотности для суперколец в алгебраической и геометрической формах.

[4] Доказана расширенная теорема плотности для колец, градуированных по коммутативной группе. Теорема также сформулирована в терминах ровной однородности, как и в суперслучае.

Основные методы исследования

В работе использованы методы и результаты теории колец и модулей, а также теории градуированных и суперструктур.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы как в теории первичных колец, так и в теории суперколец и супермодулей. В частности, применение могут найти различные варианты теоремы плотности, доказанные в работе.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации многократно (май 2000 г., апрель 2001 г., октябрь 2002 г., ноябрь 2003 г., октябрь 2004 г., апрель 2005 г.) докладывались на семинаре "Кольца и модули "кафедры высшей алгебры МГУ, а также на следующих конференциях:

[1] Международный алгебраический семинар, Москва, МГУ, 2000.

[2] IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 2001.

[3] 63-th International Workshop in Algebra (AAA63) and Conference of Young Algebraists (CYA), Kaiserslautern University, 2002.

[4] 65-th International Workshop in Algebra (AAA65) and Conference of Young Algebraists (CYA), Potsdam University, 2003.

[5] Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета, Москва, МГУ, 2004.

Публикации

Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Структура диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы, который включает 40 наименований.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена изучению свойств сжимаемых модулей и слабо примитивных колец. В параграфе 2.1 даются все необходимые определения и приводятся основные примеры, а также изучаются свойства сжимаемых модулей.

Определения 1.1.1, 1.1.2 и 1.1.3. Я-модуль М называется сжимаемым, если он может быть вложен в каждый из своих ненулевых подмодулей. Сжимаемый Я-модуль называется критически сжимаемым, если он не может быть вложен ни в какой из своих собственных фактор-модулей. Модуль, который одновременно и критически сжимаем, и изоморфно сжимаем, мы будем называть критически изоморфно сжимаемым.

Для слабо примитивных колец с точными критически сжимаемыми правыми идеалами доказывается следующая

Теорема 1.1.1 Пусть Я — кольцо с точным критически сжимаемым правым идеалом /, тогда любые два точных несингулярных критически сжимаемых модуля над Я могут быть вложены друг в друга.

Исследуется несингулярность сжимаемых модулей.

Предложение 1.1.4 Точный сжимаемый правый модуль Мд над кольцом Я несингулярен в каждом из следующих случаев: М конечен, Я конечно, Я имеет конечное число правых идеалов (в частности, не имеет собственных), Я имеет конечное число существенных правых идеалов (в частности, не имеет собственных), Я артиново справа, пересечение всех существенных правых идеалов в Я нетривиально, Я коммутативно.

Вводится класс колец, который является основным объектом исследования всей главы.

Определение 1.1.9 Кольцо Я называется слабо примитивным, если оно обладает точным критически сжимаемым модулем.

Изучается связь между критически сжимаемыми модулями и несингулярными униформными модулями.

Теорема 1.1.2 Пусть Mr — несингулярный униформный модуль, в котором Нотпц(М, N) ф 0 для каждого ненулевого подмодуля Nr е Mr. Тогда Mr критически сжимаем.

Инересными объектами оказываются точные критически сжимаемые идеалы в слабо примитивных кольцах.

Предложение 1.2.3 Следующие условия на слабо примитивное кольцо эквивалентны: (i) оно обладает точным несингулярным критически сжимаемым (правым) модулем; (ii) оно обладает точным критически сжимаемым правым идеалом.

Теорема 1.2.1 Пусть R — первичное кольцо, тогда следующие условия на правый идеал I равносильны: (i) I — несингулярный униформный правый идеал в Я; (ii) I — точный критически сжимаемый правый идеал в R.

Исследуется связь между слабо примитивными кольцами и областями Ope.

Предложение 1.2.4 Следующие условия на кольцо R равносильны: (i) R — правая область Ope; (ii) Rr — точный критически сжимаемый модуль.

Одним из важнейших результатов теории слабо примитивных колец является доказанная Зельмановицем расширенная теорема плотности.

Теорема 1.3.2 Следующие условия на кольцо R равносильны: (i) R — слабо примитивное кольцо; (ii) R — слабо плотное подкольцо в кольце End^(M), где M r — квази-инъективная оболочка некоторого модуля Mr, а Д = EtuIr(M) является телом; (iii) R — локальный порядок в кольце End^(M), где M r — квази-инъективная оболочка некоторого модуля Мд, а А = End,R(M) является телом.

В параграфе 1.3 представлены некоторые интересные следствия и переформулировки этой теоремы.

В дальнейшем (в главе 2) речь идет о суперструктурах, а именно суперкольцах и супермодулях.

Параграф 2.1 содержит необходимые определения и результаты общей теории суперколец и супермодулей. Доказывается так

называемая теорема слабой плотности для суперколец.

Параграф 2.2 посвящен суперкольцам частных. Вводятся понятия максимального правого суперкольца частных Qmr(R) и двустороннего правого суперкольца частных Qr(R)- Также описывается связь между ними.

Предложение 2.2.5 Пусть R полупервично, тогда существует единственный тождественный на R супермономорфизм суперколец а : Qr(R) Qmr{R) со свойством 1т(а) = 1т(а)0 + /т(<г)ь

где 1т(е)а = {qa € Qmr(R) | qnJ С R для некоторого J £ X}.

В следующем параграфе исследуется расширенный центроид полупервичного суперкольца. А для центрально замкнутых первичных колец доказывается следующая

Теорема 2.3.6 Пусть А = A<¡ + А\ — центрально замкнутое первичное суперкольцо, С = Со + С\ — его расширенный центроид, А0" — антиизоморфное суперкольцо. Тогда А®с0 А = А<»г)А(г) С Endc0{A), где Л(г) — правые умножения на элементы из А.

Параграф 2.4 посвящен изучению примитивных суперколец. Основным результатом является аналог теоремы плотности для суперслучая.

Теорема 2.4.1 [Теорема плотности Джекобсона для суперколец] Пусть R = Ro 4- Ri — левое примитивное суперкольцо, V = V0 + Vi — точный неприводимый левый Д-супермодуль, Сеп = Сещ + Сещ — его централизатор, xiQ,..., хпа линейно независимые над Сещ элементы Va, у\р,...,упр ~~ произвольные элементы Vp. Тогда существует такой га+р € Ra+0, что

Га+pXia = уцз, ГДв i = 1 . . . П.

Также изучен топологический аспект теоремы, для чего построена так называемая конечная топология для суперколец. Доказано несколько следствий из теоремы плотности.

В параграфе 2.5 изучаются слабо примитивные суперкольца. Основными результатами являются три расширенных теоремы плотности для суперколец.

Теорема 2.5.1 [Первая расширенная теорема плотности для суперколец] Следующие условия на суперкольцо R — Rq -Н R\ эквивалентны.

(1) Я слабо примитивно.

(2) Существует точный супермодуль Л/д = М0 + Мх с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = Епё^М), такой что для произвольного Д-независимого набора ..., Ук,ц>к € М (здесь 9?,- могут быть разными для разных г, поэтому такой набор будем называть неровным однородным, хотя он может быть и ровным) найдется такой О Ф аа £ Да, что для произвольного неровного однородного набора пг)ф1+р,..., п*1фк+р € М существует такой Гр+а е Яр+а, ЧТО ааЩт+р = Уг1<р1га+р € М г = 1,..., к.

(3) Существует точный супермодуль Мд = М0 + М1 с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = Епй^М), такой что для произвольного /т € -Епйд(Мд) и произвольного неровного однородного Д-независимого набора т^,..., гщфк € М найдутся такие гр, вг+р € Я, что mi|íl|/rгp = т^гзт+р и 0 / тг^Гр в Артгц<1Н Уг.

Вторая расширенная теорема плотности для суперколец отличается тем, что во втором и третьем условиях однородные элементы из одного набора имеют один и тот же индекс. Такие наборы элементов мы называем "ровными". Это свойство выполняется только внутри каждого отдельного набора в то время, как индексы в разных наборах никак не связаны. Новые условия вместо прежних (2) и (3) представляют из себя следующее.

(2') Существует точный супермодуль Мц = + М\ с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = Епйц{М), такой что для произвольного До-независимого набора ь^,..., у^ € М найдется такой О Ф аа € Да, что для произвольного однородного набора П1„,..., пки € М существует такой га+|/+¥> 6 Яа+1/+¥,, что аащи = е Ма+1/ г = 1,..., к.

(3') Существует точный супермодуль Мд = Мо + Мг с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = Епйц{М), такой что для произвольного /т € Епй^{Мв) и произвольного однородного До-независимого набора тп^,..., тп¡¡ц € М найдутся таг кие гр, зт+р е Я, что тщ/гГр = т^8т+р и 0 ф тп^гр € Дргпщ Уг.

Таким образом вторая теорема выглядит так.

Теорема 2.5.2 [Вторая расширенная теорема плотности для суперколец] Справедливы следующие соотношения между усло-

виями: (1) (2') (3').

Чтобы (3') сделать равносильным (1) и (2') необходимо наложить дополнительные условия на суперкольцо и супермодуль. Рассмотрим следующие условия.

(A) О Ф n„ri = din„ для некоторых пи € М„, гх € i?i, di € Ai.

(B) Существует полностью ненулевая тройка тм+1, тм, rh^+i € М, такая что mM+ifi = тпд, т^гх = тд+1 для некоторых ri, rj € Rl

Всегда выполняется импликации (Л) => (в) => (С). При условии точности на супермодуль Mr имеет место также (с) (в).

Теорема 2.5.4 [Третья расширенная теорема плотности для суперколец] Условия (1), (2'), (3')+(5) и (3')+(С) на суперкольцо R = Rq + Ri эквивалентны.

(i) кольцо R слабо примитивно;

(и) существуют точный градуированный модуль Mr, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = endr^m) такие, что для произвольного Д0-независимого однородного набора ..., v^ 6 М^ найдется такой 0 ф аа € Да, что для произвольного однородного набора rzi„,... ,пки € М„ существует такой ra+t/+¡p G Ra+V+V, что aaniv = G Ма+и i = 1,..., к;

(iii) существуют точный градуированный модуль Mr, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = EndR(M), такие что для произвольного /т € End¿(M) и произвольного однородного До-независимого набора ггг1/4,... ,mfcM € М найдутся такие rp,sT+p € R, что ЛГЧц/тГр = ШщЗт+р И 0 ф ТП^Гр е Ь-рТГЦц Vi

Теорема 2.6.1 Условия (i) и (ii) на градуированное кольцо R равносильны.

Теорема 2.6.2 Из условия (¡) следует условие (Ш) на градуированное кольцо Я.

Также рассмотрены три дополнительных условия.

(a) существует такой О Ф € М^, что для каждого индекса однородности (элемента групппы) и существуют тп„ € Ми и г„_„ € такие, что тпиг^„ = тм, а также г„ € такой, что тдг„ ф 0;

(b) все однородные компоненты любого градуированного подмодуля модуля Л/д нетривиальны;

Теорема 2.6.4 [Расширенная теорема плотности для градуированных по группе колец] Условия (х), (11), (ш)+(Ь) и (Ш)+(с) на градуированное по группе кольцо Я эквивалентны.

Теорема 2.6.5 [Расширенная теорема плотности для градуированных по конечной группе колец] Условия (1), (11), (ш)+(а), (ш)+(Ь) и (ш)+(с) на градуированное по конечной группе кольцо Я эквивалентны.

Благодарности

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю — доктору физико-математических наук профессору Александру Васильевичу Михалеву за постановку задач и детальное обсуждение результатов работы.

Также автор хотел бы поблагодарить за внимание и многочисленные обсуждения доктора физико-математических наук, профессора Латышева Виктора Николаевича, профессора А. Бака, доктора физико-математических наук, профессора Артамонова Вячеслава Александровича, доктора физико-математических наук, профессора Михалева Александра Александровича, кандидата физико-математических наук Маркова Виктора Тимофеевича и доктора физико-математических наук Захарова Валерия Константиновича.

Автор выражает свою отдельную благодарность кандидату физико-математических наук Ирине Николаевне Балабе за внимание и сотрудничество.

Автор очень признателен за помощь Ильиной Наталье Константиновне, а также кандидату физико-математических наук Елене Игоревне Буниной и кандидату физико-математических наук Александру Эмильевичу Гутерману за содействие в научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1] И.Н.Балаба, С.В.Зеленов, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев, "Теоремы плотности для градуированных колец", Фундаментальная и прикладная математика, 2003, Т.9, В.1, с. 2749 В данной работе автору принадлежит раздел, касающийся суперколец, а именно расширенная теорема плотности в терминах ровной однородности. Также автор принял активное участие в разработке общей части статьи.

[2] С.В.Лимаренко, "Расширенная теорема плотности для градуированных по группе колец и модулей", Успехи математических наук, 2002, Т.57, вып.4, с. 181-182

[3] С.В.Лимаренко, "Кольца с критически сжимаемыми идеалами", Успехи математических наук, 2003, Т.58, вып.2, стр.165-166

[4] С.В.Лимаренко, "Сжимаемые модули", Вестник МГУ, N3, 2005, с. 47-50

[5] С.В.Лимаренко, "Слабо примитивные суперкольца", Фундаментальная и прикладная математика, том 10(3), с. 97142, 2004.

»15392

РНБ Русский фонд

2006-4 19944

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать //, Ц$

Формат 60 x 90 1/16. Усл. печ л 0,1 Ь

Тираж 100 экз. Заказ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лимаренко, Сергей Владиславович

Введение

1. Сжимаемые модули и теоремы плотности.

1.1 Сжимаемые модули.

1.2 Слабо примитивные кольца с точными критически сжимаемыми правыми идеалами.

1.3 Расширенная теорема плотности.

2. Слабо примитивные суперкольца.

2.1 Суперкольца и супермодули.

2.2 Суперкольца частных.

2.3 Расширенный центроид суперкольца.

2.4 Теорема плотности Джекобсона для суперколец.

2.5 Расширенная теорема плотности для суперколец.

2.6 Расширенная теорема плотности для градуированных колец

Введение диссертация по математике, на тему "Слабо примитивные суперкольца"

Теорема плотности является одним из центральных результатов теории примитивных колец и имеет большое количество приложений. В классических монографиях Джекобсона ([27]), Ламбека ([ 31]) и Херстейна ([40]) эта теория подробно изложена, а теорема плотности приведена в нескольких вариантах. Важную роль в исследовании данного вопроса играют кольца эндоморфизмов неприводимых (простых) модулей над произвольным телом. В теории ассоциативных колец вопросу об изоморфизме колец эндоморфизмов модулей уделено большое внимание (см. работу А.В.Михалева [39]). Помимо самих колец эндоморфизмов интерес представляют их плотные подкольца. Данная теория имеет и топологическую интерпретацию, где термин "плотный"приобретает привычное значение. Точнее, теорема плотности дает описание примитивных колец как плотных подколец колец эндоморфизмов векторных пространств над телами, где само понятие плотности фигурирует как в алгебраическом, так и в топологическом смысле.

Стоит отметить, что большинство исследований в этой области не были выведены за рамки теории первичных колец. Так, Джонсон и Вонг ([8]) рассматривали первичные кольца с нетривиальными минимальными правым и левым первичными идеалами, а Кох и Мьюборн ([9]) распространили результат Джонсона на еще более широкий класс колец - первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом, а также кольца с правым почти максимальным идеалом.

Самый широкий подкласс первичных колец был исследован в работах Зельмановица ([19],[20],[21] и [22]), где он ввел понятие критически сжимаемого модуля, а кольцо, обладающее точным критически сжимаемым модулем, назвал слабо примитивным. Также им была доказана расширенная теорема плотности.

В работе Амицура ([1]) используется понятие несингулярного униформного (однородного) модуля, которое, как выясняется, тесно связано с понятием критически сжимаемого модуля.

О.Д.Авраамова ([24]) доказала теорему плотности для обобщенных слабо примитивных ортогональных полных колец.

Следующим шагом в этом направлении стало исследование аналогичных градуированных объектов. Общая теория градуированных колец и модулей подробно изложена в классических монографиях Настасеску и Ойстайна ([13] и [14]). Теорема плотности для градуированных примитивных колец была доказана в работе Лиу, Бити и Фанга ([12]). В работе Гомеса и Настасес-ку ([4]) рассматривались gr-полупростые модули. И.Н.Балаба ([25]) в свою очередь провела исследование градуированных слабо-примитивных колец. С.В.Зеленов ([29]) доказал обобщенную теорему плотности для колец, градуированных по полугруппе, и модулей, градуированных по полигонам над этими полугруппами.

В совместной работе А.В.Михалева ([26]) с уже упомянутыми авторами и автором данной диссертации собраны несколько последних вариантов теоремы плотности для градуированных объектов, а также разработан подход к этой проблеме для суперколец и супермодулей.

Теория суперколец и супермодулей, являясь частным случаем общей теории градуированных объектов, достойна отдельного внимания. В частности, многие результаты для супер-объектов имеют более точный или даже несколько иной вид. Так, в работе Расина ([15] и [16]) изложены некоторые результаты для примитивных суперколец. Автором данной диссертации были проведены дополнительные исследования в этой области.

В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.

1] Исследованы свойства сжимаемых модулей, среди которых выделены критически сжимаемые и изоморфно сжимаемые модули, изучена связь между несингулярными однородными (униформными) модулями и критически сжимаемыми, найдены принципиальные отличия между ними.

2] Исследованы свойства слабо примитивных колец, уделено особое внимание слабо примитивным кольцам с точными критическими сжимаемыми правыми идеалами. Изучена связь между областями Оре и слабо примитивными кольцами, являющимися точными критически сжимаемыми модулями над собой.

3] Доказана расширенная теорема плотности для суперколец. Теорема сформулирована в терминах ровной однородности, что привело к ослаблению одного из условий теоремы и дополнительному исследованиям данной проблемы. Изучена специфика всех задействованных суперструктур, включая сжимаемые супермодули, слабо примитивные суперкольца и суперкольца частных. Также представлен аналог классической теоремы плотности для суперколец в алгебраической и геометрической формах.

4] Доказана расширенная теорема плотности для колец, градуированных по коммутативной группе. Теорема также сформулирована в терминах ровной однородности, как и в суперслучае.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена изучению свойств сжимаемых модулей и слабо примитивных колец. В параграфе 1.1 даются все необходимые определения и приводятся основные примеры, а также изучаются свойства сжимаемых модулей.

Определения 1.1.1, 1.1.2 и 1.1.3. Д-модуль М называется сжимаемым, если он может быть вложен в каждый из своих ненулевых подмодулей. Сжимаемый Д-модуль называется критически сжимаемым, если он не может быть вложен ни в какой из своих собственных фактор-модулей. Модуль, который одновременно и критически сжимаем, и изоморфно сжимаем, мы будем называть критически изоморфно сжимаемым.

Для слабо примитивных колец с точными критически сжимаемыми правыми идеалами доказывается следующая

Теорема 1.1.1. Пусть R — кольцо с точным критически сжимаемым правым идеалом /, тогда любые два точных несингулярных критически сжимаемых модуля над Д могут быть вложены друг в друга.

Исследуется несингулярность сжимаемых модулей.

Предложение 1.1.4. Точный сжимаемый правый модуль Mr над кольцом R несингулярен в каждом из следующих случаев: М конечен, R конечно, R имеет конечное число правых идеалов (в частности, не имеет собственных), R имеет конечное число существенных правых идеалов (в частности, не имеет собственных), R артиново справа, пересечение всех существенных правых идеалов в R нетривиально, R коммутативно.

Вводится класс колец, который является основным объектом исследования всей главы.

Определение 1.1.9. Кольцо R называется слабо примитивным, если оно обладает точным критически сжимаемым модулем.

Изучается связь между критически сжимаемыми модулями и несингулярными униформными модулями.

Теорема 1.1.2. Пусть Mr — несингулярный униформный модуль, в котором Яотд(М, N) 0 для каждого ненулевого подмодуля Nr £ Mr. Тогда MR критически сжимаем.

Инересными объектами оказываются точные критически сжимаемые идеалы в слабо примитивных кольцах.

Предложение 1.2.3. Следующие условия на слабо примитивное кольцо эквивалентны: (i) оно обладает точным несингулярным критически сжимаемым (правым) модулем; (ii) оно обладает точным критически сжимаемым правым идеалом.

Теорема 1.2.1. Пусть R — первичное кольцо, тогда следующие условия на правый идеал / равносильны: (i) I — несингулярный униформный правый идеал в R; (ii) / — точный критически сжимаемый правый идеал в R.

Исследуется связь между слабо примитивными кольцами и областями Оре.

Предложение 1.2.4. Следующие условия на кольцо R равносильны: (i) R — правая область Ope; (ii) Rr — точный критически сжимаемый модуль.

Теорема 1.3.2. Следующие условия на кольцо R равносильны: (i) R — слабо примитивное кольцо; (ii) R — слабо плотное подкольцо в кольце Endj\(M), где Mr — квази-инъективная оболочка некоторого модуля Mr, а Д = Endn(M) является телом; (iii) R — локальный порядок в кольце End^M), где Mr — квази-инъективная оболочка некоторого модуля Mr, а Д = EndR(M) является телом.

В параграфе 1.3 представлены некоторые интересные следствия и переформулировки этой теоремы.

В дальнейшем (в главе 2) речь идет о суперструктурах, а именно суперкольцах и супермодулях.

Параграф 2.1 содержит необходимые определения и результаты общей теории суперколец и супермодулей. Доказывается так называемая теорема слабой плотности для суперколец.

Параграф 2.2 посвящен суперкольцам частных. Вводятся понятия максимального правого суперкольца частных Qmr(R) и двустороннего правого суперкольца частных Qr(R). Также описывается связь между ними.

Предложение 2.2.5. Пусть R полупервично, тогда существует единственный тождественный на R супермономорфизм суперколец а : Qr(R) —> Qmr{R) со свойством ira(cr) = /m(<j)o + Im(a)\, где Im(<j)a = {qa G Qmr{R) | 4aJ QR для некоторого J £ X).

Теорема 2.3.6. Пусть А = Aq + А\ — центрально замкнутое первичное суперкольцо, С = Со + С\ — его расширенный центроид, А?9 — антиизоморфное суперкольцо. Тогда А®с0 А = С Endc0{A), где Л(г) — правые умножения на элементы из А.

Теорема 2.4.1. [Теорема плотности Джекобсона для суперколец] Пусть R = Rq + Rx — левое примитивное суперкольцо, V = Vo + Vi — точный неприводимый левый Я-супермодуль, Сеп = Сепо + Сепi — его централизатор, х\а, .,хпа линейно независимые над Сеп о элементы Va, г/1/3, • • • > Уп/з — произвольные элементы Vp. Тогда существует такой ra+p G Ra+p, что ra+0Xia = yip, где г = 1. п.

В параграфе 2.5 изучаются слабо примитивные супер кольца. Основными результатами являются три расширенных теоремы плотности для суперколец.

Теорема 2.5.1. [Первая расширенная теорема плотности для суперколец] Следующие условия на суперкольцо R = jRo + R\ эквивалентны.

1) R слабо примитивно.

2) Существует точный супермодуль Mr = Mq + Mi с квази-инъективной оболочкой М и супертелом А = Endn(M), такой что для произвольного Д-независимого набора vii<Pl,. ,Vkf(pk G М (здесь (pi могут быть разными для разных г, поэтому такой набор будем называть неровным однородным, хотя он может быть и ровным) найдется такой 0 ф аа € Да, что для произвольного неровного однородного набора п\т+р,щ^+р € М существует такой Гр+а е Rp+a, что aaniiipi+p = viiipira+p € М г = 1,., к.

3) Существует точный супермодуль Mr = Mo + Mi с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = EndR(M), такой что для произвольного fT Е

End&{Mд) и произвольного неровного однородного Д-независимого набора mi)Ml,. G М найдутся такие rp,sT+p G R, что т^/тгр = mi)/Xisr+p и

О ^ G Apmi>fii Vi.

2') Существует точный супермодуль Mr = Mq + М\ с квази-инъективной оболочкой М и супертелом А = Endfi(M), такой что для произвольного До-независимого набора v\<p,., Vk<p G М найдется такой 0 ф аа € Да, что для произвольного однородного набора щ»,., rikv G М существует такой ra+v+(p G Ra+v+y, что aaniv = ttyre+„+v, G Ma+V i = 1

3') Существует точный супермодуль Mr — Mo + M\ с квази-инъективной оболочкой М и супертелом Д = £Wr(M), такой что для произвольного /г G End&(Mr) и произвольного однородного До-независимого набора 7TfciM,., ткц G М найдутся такие rp,sT+p Е Я, что т^/ггр = mi/xsr+<!, и о ф тгццГр G АрТПщ V».

Таким образом вторая теорема выглядит так.

Теорема 2.5.2. [Вторая расширенная теорема плотности для суперколец] Справедливы следующие соотношения между условиями: (1) (2') =>• (3').

A) 0 ф nuri = d\nv для некоторых n„ G М„, r\ G R\, d\ G Дь

B) Существует полностью ненулевая тройка mM+i, га^, ra^+i G M, такая что тпц+ifi = гам, m^ri = m^+i для некоторых fi, п G

C) Л? ф 0.

Всегда выполняется импликации (Л) =>• (Б) (С). При условии точности на супермодуль Mr имеет место также (С) (В).

Теорема 2.5.4. [Третья расширенная теорема плотности для суперколец] Условия (1), (2'), (3') + (В) и (3') + (С) на суперкольцо R = Rq + R\ эквивалентны.

Заключительный параграф посвящен расширенной тереме плотности для колец и модулей, градуированных по коммутативной группе. По аналогии с суперслучаем сформулированы три основных условия. i) кольцо R слабо примитивно; ii) существуют точный градуированный модуль Mr, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = End,r{M) такие, что для произвольного До-независимого однородного набора ., v^ G Mv найдется такой 0 ф аа G Да> что для произвольного однородного набора П1„,., rikv G Mv существует такой ra+l/+<p G Ra+l/+ip, что аатци = VitpTa+v+tp G Ma+V i = 1,., к; iii) существуют точный градуированный модуль Mr, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = EndR(M), такие что для произвольного /г G End&{M) и произвольного однородного До-независимого набора т^,., m^ G М найдутся такие тр, sT+p G .R, что mi^fTrp = m^Sr+p и 0 ^ гПщГр G ДрШ^ Vi.

Теорема 2.6.1. Условия (i) и (ii) на градуированное кольцо R равносильны.

Теорема 2.6.2. Из условия (i) следует условие (iii) на градуированное кольцо R.

Также рассмотрены три дополнительных условия. a) существует такой 0 ф тд G что для каждого индекса однородности (элемента групппы) v существуют fhv G Mv и Гц-» G R^-v такие, что т^Гц-г, = а также r„ Е Rv такой, что т^г,, ф 0; b) все однородные компоненты любого градуированного подмодуля модуля Mr нетривиальны; c) все однородные компоненты любого градуированного циклического подмодуля модуля Mr нетривиальны;

Теорема 2.6.4. [Расширенная теорема плотности для градуированных по группе колец] Условия (i), (ii), (iii)+(b) и (iii)+(c) на градуированное по группе кольцо R эквивалентны.

Теорема 2.6.5. [Расширенная теорема плотности для градуированных по конечной группе колец] Условия (i), (ii), (iii)+(a), (iii)+(b) и (iii)4-(с) на градуированное по конечной группе кольцо R эквивалентны.

Результаты диссертации могут быть использованы как в теории первичных колец, так и в теории суперколец и супермодулей. В частности, применение могут найти различные варианты теоремы плотности, доказанные в работе.

Основные результаты диссертации многократно докладывались на семинаре "Кольца и модули "кафедры высшей алгебры МГУ в 2000-2005 гг. , а также на следующих конференциях:

1. Международный алгебраический семинар, Москва, МГУ, 2000.

2. IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 2001.

3. 63-th International Workshop in Algebra (AAA63) and Conference of Young Algebraists (CYA), Kaiserslautern University, 2002.

4. 65-th International Workshop in Algebra (AAA65) and Conference of Young Algebraists (CYA), Potsdam University, 2003.

5. Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета, Москва, МГУ, 2004.

Основные результаты опубликованы в 5 работах (см. [26],[32],[33], [34] и [35]). В совместной работе [26] автору диссертации принадлежит часть, относящаяся к суперкольцам, в частности, расширенная теорема плотности в терминах ровной однородности.

Основные результаты также опубликованы в сборниках тезисов докладов на международных конференциях (см. [11], [36], [37] и [38]).

Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы, который включает 40 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Лимаренко, Сергей Владиславович, Москва

1. S.A.Amitsur, "Rings of quotients and Morita context", J. Algebra 17, 273298 (1971).

2. K.I.Beidar, W.S.Martindale III, A.V.Mikhalev, "Rings with generalized identities", New York, Marcel Dekker, INC, 1996.

3. C.Faith, "Lectures on injective modules and quotient rings", Berlin, Springer-Verlag, 1967, /Lecture notes in mathematics, N49/.

4. J.L. Gomez Pardo, C.Nastasescu. Topological aspect of graded rings // Comm. Alg, 1993, vol. 21, N 12, p.4481-4493.

5. I.N.Herstein, "Rings with Involution", Chicago Lectures in Math., Univ. of Chicago Press, 1976.

6. I.N.Herstein, "Topics in Ring Theory", Chicago Lectures in Math., The University of Chicago Press, 1969.

7. R.E.Johnson, "Representations of prime rings"// Trans. Amer. Math. Soc., 1953, Vol. 74, N 2, 351-357.

8. R.E.Johnson, E.T.Wong, "Quasi-injective modules and irreducible rings", J. London Math. Soc., 36 (1961), 260-268.

9. K.Koh, A.C.Mewborn, "Prime rings with maximal annihilator and maximal complement right ideals"// Proc. Amer. Soc., 1965, Vol.16, N 5, 1073-1076.

10. K.Koh, A.C.Mewborn, "A class of prime rings"// Canad. Math. Bull. 1966, Vol. 9, N 1, 63-72.

11. S.Limarenko, "Compressible modules", // Proceedings of the 65th Workshop on General Algebra, Potsdam University, Germany

12. Liu Shaoxue, M.Beatie, Fang Honjin, Graded division rings and the Jacobson density theorem // Journal of Beijing Normal University (Natural Science), 1991, Vol. 27, N 2, 129-134.

13. C.Nastasescu, F.V.Oystayen, "Graded and filtered rings and modules", Berlin, Springer-Verlag, 1979, /Lecture notes in mathematics, N758/.

14. C.Nastasescu, F.V.Oystayen, "Graded ring theory", Mathematical Library, Vol. 28, Amsterdam, North-Holland, 1982

15. M.L.Racine, "Primitive superalgebras with superinvolution", Journal of Algebra 206, 588-614, 1998.

16. M.L.Racine, "Associative superalgebras with superinvolution", in Proceedings of the Malaga Conference.

17. M.L.Racine, E.I.Zelmanov "Simple Jordan superalgebras with semisimple even part".

18. L.H.Rowen, "Ring Theory", Vol.1, Academic Press, San Diego/London, 1988.

19. J.Zelmanowitz, "An extension of the Jacobson density theorem", Bull.Amer.Math.Soc., 1976, v.82, N4, 551-553.

20. J.Zelmanowitz, "Weakly primitive rings", Comm.Algebra, 1981, v.9, N1, 2345.

21. J.Zelmanowitz, "Dense rings of linear transformations", in Ring Theory II, Proceedings of the Second Oklahoma Conference, Marcel Dekker, New York, 1977, 281-294.

22. J.Zelmanowitz, "On monoform modules which contain compressibles", Proceedings of the Sixth International Conference on Representations of Algebras, Carleton-Ottawa Math. Lecture Note Ser., 14, Carleton Univ., Ottawa, ON, 1992

23. J.Zelmanowitz, "Ideals of weakly primitive rings", Radical Theory (Eger, 1982), 735-744, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 38, North-Holland, Amsterdam, 1985.

24. О.Д.Авраамова, "Обобщенная теорема плотности"// Абелевы группы и модули, Вып.8, Томск, Издательство Томского Университета, 1989, 3-16.

25. И.Н.Балаба, "Градуированные слабо-примитивные кольца"// Тезисы докладов III Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 1996, С. 12

26. И.Н.Балаба, С.В.Зеленов, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев, "Теоремы плотности для градуированных колец", Фундаментальная и прикладная математика, 2003, Т.9, В.1, стр. 27-49

27. Н.Джекобсон, "Строение колец", Издательство иностранной литературы, Москва, 1961.

28. С.В.Зеленов, "Теорема плотности Зельмановича в градуированном случае", Успехи математических наук, 2001, Т.56, вып.З, стр. 167-168

29. С.В.Зеленов, "Теорема плотности Зельмановича для колец, градуированных по полугруппам", Фундаментальная и прикладная математика, 2001, Т.7, вып.2, стр. 373-385.

30. С.В.Зеленов "Теорема слабой плотности в градуированном случае"// Труды б-х математических чтений МГСУ, Москва, 1999, 107-110.

31. И.Ламбек, Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.

32. С.В.Лимаренко, "Расширенная теорема плотности для градуированных по группе колец и модулей", Успехи математических наук, 2002, Т.57, вып.4, стр 181-182

33. С.В.Лимаренко, "Кольца с критически сжимаемыми идеалами", Успехи математических наук, 2003, Т.58, вып.2, стр. 165-166

34. С.В.Лимаренко, "Сжимаемые модули", Вестник МГУ, N3, 2005, с. 47-50

35. С.В.Лимаренко, "Слабо примитивные суперкольца", Фундаментальная и прикладная математика, том 10(3), 97-142, 2004.

36. С.В.Лимаренко, "Теоремы плотности для суперколец", Международный алгебраический семинар, Москва, МГУ, 2000, Тезисы докладов, 28-29.

37. С.В.Лимаренко, "Расширенная теорема плотности для суперколец", IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула 2001, Тезисы докладов, 78-79.

38. С.В.Лимаренко "Сжимаемые модули"// Труды математических чтений МГСУ, Москва, 2003, стр. 105-107

39. А.В.Михалев, Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным // Вестник МГУ, 1989, N 2, 20-27.

40. И.Херстейн, Некоммутативные кольца", Москва, Мир, 1972.