Нахождение субдифференциала кларка с помощью квазидифференциала тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■й и

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукопвев

АХУНДОВ ИКМЕТ САТТАР оглы

УДК 519.853.62

НАХОЖДЕНИЕ СУБДИФФЕРЕНЦИДЛА КЛАРКА С ПОМОЩЬЮ К Б А 3 И Д И Ф Ф Е Р Е К Ц11А Л А

(01.01.01 — математический аш ииз)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку — 19 92

Работа выполнена в Институте математики н механики АН Азербайджана.

Научный руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор

А. М. Рубинов.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических паук, профессор

В. Ф. Демьянов (Санкт-Петербургский государственный университет);

— кандидат физико-математических наук, доцент М. А. Ягубов (БГУ им. М. Э. Расул-заде).

Ведущая организация — Институт математики АН Республики Беларусь.

Защита состоится «Л/6 » МхХрЪуЦ 199 Д. года в ¡г часов на заседании специализированного совета К 004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Институте математики и механики АН Азербайджана по адресу:

370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9, квартал 553.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Автореферат разослан года.

¡я>

Ученый секретарь специализированного совета, д. ф.-м. н., проф.

Б. Р. НУРИЕВ

тшт

- з

1.-ТДМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

ъность тема. В последнее _время появились разлигч -

не подходы к аппроксимации негладких функций. Один из них,.';

анкой точке элементами некоторого выпуклого компакта - суб -яфференциала-Кларка.

Второй подход, предложенный В.Ф.Демьяновым и А.М.Рубино -юл, заключается в аппроксимации, функции парой выпуклых ком -актов - квазидаф£еренциалоы. Для субдифференциала Хларка на уществует точного аналога в дифференциальном исчислении. По -Тому вычислить -этот .субдифференциал или, дать его достаточно ;/'. эчные оценки для многих функций затруднительно. В то г.е ремя вычисление квазидифференциала осуществляется достаточно ,. эосто с помощью правил квазидифференциаяьного исчислеяйя. Потому весьма.актуальным является в'ойрос об оценка субяиффэ->нциала.Кларка или, если это возможно, его вычисления с по;-мцыэ элементов квазидаф£брэнциала С субдифференцлала и супвр-[фференциала ) Этот вопрос" исследовался В. Ф.Демьяновым, ко—. >рый предложил для его решения специальную конструкцию, по -юляющую по каждой паре непустых внпуклых компактов построить

который непустой выпуклый компакт. Позднее в книге В.Ф.Демь-0 ... . :ова и АЛЛ. Рубинов а было показано,, что эту конструкцию можно

осматривать как операцию взятия разности в совокупности не-

стых выпуклых компактов, наделенной сложением по Кчтжовскоуу

ринадлежацнй Ф.Кларку, основан на аппроксимации функции в.

Демьянов В.Ф.-, Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и азидкфферекпкальное исчисление. - Москва: Наука. - 1S90. -71 - 179.

В дальнейшем мы .называем эту операцию разностью в смысле В.Ф.Демьянова ( или разностью по Демьянову ) « Оказывается, что при описания связэй между квазидиффореициалом и субдиф -. ференциалом Уларка наряду с разностью по Демьянову представ-" ляет интерес рассмотрет некоторую связанную с ней операцию, которую ш называем квазиразностью. Указанию две операции порождают соответствующие операции сложения: сумму по Демьянову и квазисумму.

Исследование упомянутых выше операций, а такие установление с кх помощью связей между субди$ференциалом Кларка и -КЕазидифференциалом и составляет содержание данной диссер -тации. Из сказанного выше вытекает актуальность теш дас -сертации. " ■

Рель работы состояла' в выяснении свойств ряда операций в совокупности выпуклых компактов - разности и суммы по ' Демьянову, квазиразности и квазисушы; построить с помощью элементов квазидифферешгаала. суб- и супердифференциала множество, содержащее субдифференциал Кларка , й указать условия , при которых оно в'точности совпадает с субдифференциалом Кларка." - î.',j- - '

Научная новизна. Еведены в рассмотрение операции ква -зиразности, суммы по Демьянову и квазисумш. Выяснены не -которые свойства этих операций,'а также разности по Демьянову. В частности, исследованы свойства этих операций в совокупности сишетричных множеств. Приведены условия, при которых разность пс Демьянову совпадает с квазиразностью. Указан класс функций для которых субдифференциал Кларка оценивается сшгу суммой по Демьянову, а сверху квазису>?/оЗ &ло -ментоЕ кзгзидайерокплала. Показано, что этот класс весьма

широк и выяснены некоторые его свойства.

Общая методика гсследовалия. В р"бото используются мет о -да выпуклого анализа и негладкого анализа (в частности, ква -зидкфференггаалъное исчислетте и теория субдифференциала Кларка).

Практическая неннссть. Результаты диссертации позволяют дать достаточно точные оценки сверху и снизу субдифференциала Кларка, а г. ряда случаев точно вычислить его.

Апробация работа . Основные результаты работы докладывались на семинаре факультета прикладной математики - процессов управления С.-ПТУ (руководитель - В.Ф.Демьянов ) , на семинаре Института математики и механики АН Азербайджана (руководитель - А.М.Рубинов ), на Всесоюзной конференции "Негладкий ана -лиз и его приложения х математической экономике " (Баку, 1991)

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах [1]- - [3] .

Структура и объем -работы. Диссертация объемом 87 'страниц

(

малжнописного текста состоит из введения и трех глав.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из двух параграфов. В первом из них кратко излагается история вопроса, дается мотивировка и постановка решаемых задач, приводится краткое изложение содер -жания работы. Во втором параграфе приводятся формулировки определений и результатов, используемых в основной части работы.

Ниже используются следующие обозначения.

\К/ - совокупность непустых выпуклых кожактных подмножеств

Рп

П. - мерного пространства с ; .•

Р - опорная функция компакта

Л __ л

т- множество^точек хсс , в которых существует гредиехг?

б

vP опорной функции Р ; ' !¡ *

J+B - {я->■ é: aej, ¿c-Bj _ сумма Ш0Кеств J,&e\%

по Минковскому;

В петаой главе "Разность и сумма по Демьянову в сово купности выпуклых компактов" рассматриваются упомянутые вы шв операции.

В различных разделах анализа и геометрии -используется разные подходы к определению разности множеств. Прежде всего упомянем о разности в смысле Минковского

Рассматривается такке разность в смысле Понтрягина:

и разность в пространстве выпук -лых множеств. В последнем случае под разностью множеств и £> понимается пара множеств ( точнее говоря, класс пар, эквивалентных в смысле некоторого отношения эквива лентности ). .

В данной работе лод операцией разности на • пони -маэтся отображение f: х]Х/п —■ 1Х/Н. , обладающее, следующим свойством:

если J + С - то

Обозначим IffJfy.-J-l3 так: .

ffJte>) --С (*)

Тогда условие (■*■) перепишется (**)

Л =5+С С А

' Из {**) следует, в ■частности, что,

Отметим, что разность по Минковскому не удовлетворяет условию С* *); разность по Поктрягину и разность а прострая

_ 7 -

I •

геэ выпуклых шюжеств не обязательно являются элементами % потому не удовлетворяют нашему определение».

Основным объектом исследования-в первой главе является азность в сьисле В.Ф. Демьянова.

Пусть \Х(, и Т некоторое множество по-ной меры эдаршцееся в Л . Замкнутая выпуклая оболочка «ножест-а ^ ^ " '7Ра м: :x^TJ называется разностью компактов Л

Л в смысле Демьякоза и обозначается Л-8 . (Эта

А

зерация определена в книге В.Ф,Демьянова и А.М.Рубиновау.

Известно (см.книгу ), что это определение корректно,

.9, Л—В не'зависит от выбора множества Т .

Легко-доказывается, что операция — является разностью,

.е. справедливо следуюшее утверждение (ск.шшгу^).

Птеяло-.ение 1.1. Если , то Л-В -С.

§ 1.1. выясняются свойства опорной функции и на их

снове свойства операция — . ;

В частности, приводятся следующие утверждения.

Лемма 1.2. Значение опорной функции:. Р выпуклого , " и

змпакта Л в точке (~х) , совпадает с значением опор -

эй функции множества (-Л) з точке -г .т.е. ■ р (-х) =/> Г*).

л

Демма_-1«_3. Если Л выпуклый кошакт и -х с , тс. гс и справедливо равенство

= -т?Р Гх). ,

•Л

Если Л ж 3 спыметргчныа множества

J~3=3-J.

Леша 1. 5. Если У и. в симметричны, то У - В симметрично, т.е. ■•

У-в = - (У-в) , .

Наряду с операцией вычитания — вводится в рассмотрение операция сложения, которая обозначается символом :

J +& - сХео ( */> Г*> + % : Х с Г/

где Т - множество полной меры, содержащееся в 7} Л % ■ Предложение 1.3.Если У,В е ¡М, , то (здесь J + B сложение по' Минковскому ) .

Это предложение показывает, что определение суммы, данное по аналогии о операцией разности по Демьянову, приводит к сумма по Минковскому. Мы дадим определение суммы па Демьянову + следующим образом

Именно операция 4- , определенная таким образом, находит применение в негладком анализе.

В § 1.2. изучаются свойства операции: + .В частности, доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.2. Справедливо равенство

. Л+В с£с* + ^ ¿-'X) ■■ * * ту

(здесь Т-Ъ«Тй).

Ле;лла 1,6. Если множество '.В симметричное, то

. у + в *у-а.

Приведены конкретные .примеры, на которых можно увидеть разницу между операциями 4- и, + .

Во второЗ гяавэ "Квазиразность еыщгклнх компактов" (§ 2.1, § 2.2) определяется еще одна операция в совокупности выпуклых компактов - квазиразность. С помощью 'квазиразности определяется квазисумма множеств. Выясняются свойства квазиразности и квазисуммы.

В дальнейшем понадобятся следующие определения. Пусть К . Для хе£ положим

Лножество Сх О?) называется . шх -гранью компакта ^ ■

В совокупности - Ш„ операция — определяется следующим;.-образом. Ъъш Л,&е\ХС , то

у^ (еГю-еГО»).

I сожалению, операция — не является разностью, т.е. из

ч

А-8 + С не всегда следует Л—В - С . Приводится при-эр, подтверждающий это обстоятельство. ;

Из определений операций — и — следует, что

л-в => J-з

Леша 2.2. Если Л и В симметричные множества, то

Лемма 2.3.Справедливо равенство -(Л-&) -У?- • 1еша 2.4. Если и 5 симметричные, то J~B 5же симметричное.

Далее определяются ^операции +■ ц + :

Л^В= с&о и С;°Ъу) ,1;

■гсЕуХтО х '

Л ± 5 --(-в) .

Выясняются некоторые свойства этих оперший. Лейла 2.6. Справедливо равенство

J+&

,Лй№ла 2.7. Если Ь симметричное гаожество, то

J+ß =J-ß. V

Основное внимание в гл.II уделено выяснению условий, при которых можно гарантировать совпадение разности по Демьянову и квазиразности.

Т^отсма 2.1, Если множества J и В строго выпуклые ■ (C™Xfj) и СГ7в) состоят из одной точка, при х?о) , ¡тогда '

J! —В = J — В .

Эта теорема сразу следует из определений.

Теорема 2.2. Пусть J,6- - выпуклые многогранники, причем для каздого х*о хотя бы одно из множеств Сх

состоит из одной точки.. Тогда ..."

Для доказательства теоремы 2.2 потребовались некоторые леммы. Сформулируем основную из них. . "■)'■-' Лемма 2.12.Пусть

J - выпуклый компакт. Тогда, если то ffJ.

Здесь

- нормальный конус к мн

кеству J в точке f •..'-■■Условия теоремы 2.2 заведомо выполнены, если много -гранники Л vl Ö не имеют параллельных граней. Отсюда следует, что совокупность пар Jß для которых J-Л - J-c весьма, широка. ■ ••' ' "■-;

Условия теоремы могут быть выполнены и в том случае,

-11 -

"когда многогранники• У., и 3 имеют параллельные грани.

Теотэема 2.3. Если У - выпуклый многогранник, 8 - строго выпуклое МНОЖ8СТВО, то

в т-ратъе-й главе "Связи мзкду квазидифференциалом и субди$ференидалом Кларка" с помощью суммы по Демьянову л

кзазисуммы для одного достаточно широкого класса функций устанавливается связи между квазидифференциалом и субдафферэнциалом Кларка. Напотшим, что функция _/ называ -ется квазидифферзвдирувмой,. если дифференцируема по напрввлениям з точке х и ее производная может быть

представлена в-виде

где Jt в . - выпуклые компактные множества в £ Обозначим У > В ~ Ъ/^с} ■

■ Пара

выпуклых компактов обладающих указанным выпе свойством называется квазидиффаренпиалом ■ и обозначается ^Ь/Гх)

• 2)//^ - Сд/гхК . • • '

Пусть у' определена на открытом множество -У а локально удовлетворяет условию Липшица (если хе X , то., при некотором /<«=-? выполняется неравенство

У*',*'* Ух \ гдэ Ух -

некоторая окрестность точки . х). ' Величина

а' V . ^

у % 9) I ¿в* -.

называет, соответственно верхней и нижней производными Кларка.

Пусть некоторое множество полной меры, в точках которого У имеет градиент.

Допустим, что / квазидиффервнцируеш в точке -г и

Цв)=С2/г*>,

^/м) - один из квазидифференциалов / в этой точке. Рассмотрим множество £* . Будем говорить, что это множество обладает свойством (б) относительно пары в) если:

1) лебегова мера £ IТ равна нулю;

2) при Т линейная функция [у,?] достигает максимума на множестве Л и минимума на множестве

в единственной точке.Эти точки обозначим через

^ и соответствеыно'

Пусть х - некоторая точка открытого множества Хе Е" * J определена на X . Говорят, что ^¿¿//х) если:

а) у удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки а: . Множество . тех точек у^В^г-где существует градиент , имеет полную меру;

б) У кьазидифференцируема в точке -г ;

в) найдутся такие подмножества , имеющие в .окрестности полную меру, квазидифферекциал (Л,5) -- (д/(г), Э/м) функции / в точке т , множество Т обладающее свойством {£) относительно :,ары /С4,.$) , что из соотношений ®>9еТ следует

Класс Лм введен в рассмотрение в книге З.Ф.Демья -й

нова и А.М;Рубинова.

- 13- -

Предложение 3.1. (см. книгу7^ Если /<£Л/{х) , то 1>а /Гх) => Ъ/Сх) ¿ Э/hr) .

В диссертации вводится в рассмотрение класс функций J/M , для элементов которого удается оценить субдифферен-пиал Кларка сверху. Множество Mfe) определяется следующим образом. В jllfx) входят функции , обладающие свойст -

ваш: а) , б) , а такке следующим свойством:

г) Найдутся:

1) такое множество Q^Vf, . имеющее в окрестности полную меру;

2) такой квазидифферешщал функции у в точке х , что из соотношений

= х £?, Zr {сл&дует

Здесь G-j - wat -грань компакта ^ , ¿g, (р -rtJñ -грань компакта В . Можно показать, что

ч/

J/fX) С. J/M .

Предложение 3.2. Пусть /^¿C/fa) и квазидафферонциал, о котором идет речь в формулировка свойства г) . Тогда

3/Г*) + Ъ/fz) .

Teopewa 3.1. Пусть jeMfx) и {J,li) = Q/гх^Э/гх)) кваэидифференциал участвуюпдай в формулировке свойства г)-., Тогда

Э/íx) ¿ d/fx) с Э^/Гх) сЭ/Сх) + Э/Гх) .

Сладстпта 3.1. Пусть ¿Gj/fx) и для квазидкф^эрен -стала QJík), д/сх)) этой функции, участвукцего п тгнатс

.1.4 -

г), выполнено равенство

+ о>/Гх) - Эу?^ + оу/,"х) у

тогда

Есле 'Э/М и удовлетворяют условиям одной из теорем

2.1 ,1.2 , или 2.3, то

д/гх) + Э/гх) = + Э/гх).

Эти теоремы могут служить для оценки, а в некоторых случая?: для точного вычисления субдафференпиала Кларка. Например, пусть ^Сх) = , где

/{ {х) гЦхД ¡¡'I/ - евклидова норма,

> У- - гладкие функции <¿-/,г ,- ■,»>) Здесь является единичным варом , чл.д^гх) строго вы-

пуклое множество, Множество (-Ъ^м), как известно, выпуклый многогреняих. Тогда по условиям теоремы 2.3 множества

'2>/;'г) + с>/{х) и V-' должны совпадать.

По теореме 3.1 в этом случае субдафференциал Кларка Ц^/М вычисляется следующим образом

2/Сх) 4- д/ъ) = ^ //>; . Известно необходимое условие минимума локально, лиши-пеБОй фушсши ^ на открытом множестве : если / достигает минимума е точке и" , то * ■

ое '

Р раОсте показано, что для квазидафференцкруемоЗ функции/ справедливо следующее необходимое условие минимума: если у достигает минимума в.точке х , то

Ое= Э/Гх) .

Это условие точнее, чем предыдущее, потому, что,

+ Ъ/(X) с. •

С помощью нижеследующих утверждений показывается, что класс <М(х) достаточно широк.

Предложение 3.4. Если функция У .выпукла в некоторой выпуклой окрестности х , то у^ ^К(х).

Теорема 3;3. Пусть £ С*¿„а^ё.Е"

и функция У непрерывно дифференцируема в точке ' у ' . Тог -да функция Г , где входит в

А*

множество У/р).

Теорема 3.4. Пусть -----е. М/х) .Тогда

функции / и Ь ., где . - '•■ . '

содержатся в . •

Из теорем 3.3 и- 3.4 вытекает, что Мм -линейное пространство, содержащее произведение любых двух своих элэ -лентов, а также их поточечный г*юх и ....

* ■

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕКЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. РУБИНОВ A.M., АХУНДОВ И.О. О свойствах разности выпуклых

компактов в смысла З.Ф.Демьянова // Известия АН Аззрбай -днанской ССР. Серия физико - технические и математических

наук. - 1988. - И 6. - с.7 - 10.

2. АХУНДОВ И.С. О связи мекду квазидиффоренциалом и субдиффе ■ ренциало:/ Кларка // Доклады АН Азербайджанской ССР. - 1989, - № И. - с.12 - 14.

3. АХУНДОВ И.С. Нахождения субдиффереициала Кларка с помощью

квазидифференциала // В кн: Всесоюзная кс-\.;-зрэншя " Не -

гладкий анализ и его приложения к математической эконоки -К9П, - Тезисы докладов. - Баку,- Элм- 1931. - с.8.