Задачи интегральной геометрии вольтерровского типа и преобразование Радона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Задача интегральной геометрии с возмущением в трехмерном слое

§1.1. Задача интегральной геометрии на семействе параболоидов. Формула обращения.

§ 1.2. Постановка задачи интегральной геометрии с возмущением. Вспомогательные сведения.

§1.3. Вспомогательные утверждения.

§ 1.4. Теорема единственности решения задачи с возмущением 1.2.

Глава 2. Задачи интегральной геометрии вольтерровского типа

§2.1. Постановка задачи интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости.

Канонический вид.

§ 2.2. Единственность решения задачи на плоскости.

§ 2.3. Задача интегральной геометрии вольтерровского типа {f в трехмерном слое.

Глава 3. Задача Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением

§ 3.1. Постановка задачи Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением на плоскости.

§ 3.2. Задача интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости и задача Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением.

§ 3.3. Единственность решения задачи III.1.

§ 3.4. Полисингулярные интегральные уравнения с возмущением в трехмерном пространстве.

§3.5. Преобразование Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением в трехмерном пространстве

Глава 4. Восстановление поверхностей по контурам теней

§4.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения.

Восстановление поверхности типа шапки.

§ 4.2. Совместное восстановление двух поверхностей.

Интегральная геометрия занимается изучением преобразований, ставящих в соответствие функциям на многообразии X их интегралы по подмногообразиям некоторого семейства М [28]. Эта актуальная и бурно развивающаяся область современной математики тесно связана с теорией дифференциальных уравнений и математической физикой, геометрическим анализом и имеет многочисленные приложения при математическом исследовании проблем сейсморазведки, интерпретации данных геофизических и аэрокосмических наблюдений, при решении обратных задач астрофизики и гидроакустики [30, 32, 53, 70, 72, 114]. Разработанные здесь методы являются основой для решения проблем из области медицинской и промышленной томографии [60, 61, 79, 109, 120, 122, 123].

Интегральная геометрия является одним из крупных направлений в теории некорректных задач математической физики и анализа. Основы теории некорректных задач были заложены в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [35, 53, 77, 78]). С ее дальнейшим развитием и многочисленными приложениями можно ознакомиться по монографиям и статьям Ю. Е. Аниконова, В. Я. Арсенина, A. JI. Бухгейма, В. В. Васина, В. И. Дмитриева, В. К. Иванова, С. И. Кабанихина, М. М. Лаврентьева, И. В. Мельниковой, В. А. Морозова, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. П. Тананы,

A. Н. Тихонова, А. М. Федотова, В. Г. Чередниченко, А. Г. Яголы,

B. Г. Яхно и др. [4, 23, 25, 35, 36, 53, 56, 64, 67, ТО, 80, 81, 89, 105].

К задачам восстановления функции по известным интегралам от нее сводится ряд обратных задач фотометрии, т.е. определения некоторых характеристик источника по результатам оптических измерений [38, 54]. Укажем также на связь задач интегральной геометрии с задачами геометрической томографии — восстановления поверхности по заданному набору ее проекций [112].

Обратные задачи для кинетических уравнений как по постановке, так и по методам исследования близки к задачам интегральной геометрии, в частности к задаче обращения преобразования Радона (см., например, [2, 5, 71]).

Задача восстановления функции по известным интегралам от нее вдоль всевозможных гиперплоскостей в евклидовом пространстве рассматривалась в статье Радона [124]. В этой ставшей классической работе были получены явные формулы обращения для четно- и нечетномерных пространств, разработаны методы решения задачи, а также было указано на возможность рассмотрения различных аналогов этого интегрального преобразования. В вышедшей за год до этого работе Функа [111] изучалась проблема восстановления четной функции на сфере, если известны ее интегралы по большим кругам.

Связь задач интегральной геометрии с дифференциальными уравнениями исследовалась в работах Ф. Йона [115, 116] (см. также [37]). В статье [116] рассматривалось преобразование (впоследствии названное лучевым), которое функции в трехмерном пространстве ставило в соответствие ее интегралы по всевозможным прямым.

Отправляясь от теории представлений групп Ли, И. М. Гельфанд с соавторами в цикле работ рассмотрел задачи интегральной геометрии на линейных многообразиях. Это стало толчком для изучения интегральной геометрии на широких классах однородных пространств, здесь были получены интересные явные формулы обращения (см. [26, 28-30, 41, 74, 75, 86, 87]).

Особый интерес к задачам интегральной геометрии вызвало обнаружение их важности для решения задач компьютерной томографии. Работы Кормака [106, 107] положили начало применению методов компьютерной томографии в медицине. На основе полученных результатов по задачам интегральной геометрии, в том числе для семейств прямых и fc-мерных плоскостей в n-мерном пространстве были созданы эффективные с вычислительной точки зрения алгоритмы решения соответствующих задач томографии (см. [60, 122]).

В связи с необходимостью изучения разнообразных схем сканирования в компьютерной томографии (веерной, конусной и др.) были получены различные формулы обращения для преобразования Радона, а также лучевого преобразования (см. [60, 87, 109, 122]).

Связь задач интегральной геометрии с многомерными обратными задачами для дифференциальных уравнений с частными производными была выявлена в работе М.М.Лаврентьева и В.Г.Романова [51]. Многообразия, которые возникают при сведении обратных задач к задачам интегральной геометрии, являются либо сечениями характеристических коноидов исходного дифференциального уравнения, либо проекциями бихарактеристик на пространство, ортогональное временной координате [53]. В случае обратных задач для уравнения с переменными коэффициентами соответствующие задачи интегральной геометрии рассматриваются на геометрически достаточно сложных многообразиях.

Задачами интегральной геометрии вольтерровского типа называются задачи, которые могут быть сведены к исследованию операторных уравнений Вольтерра [53].

В.Г.Романов исследовал вопросы единственности и устойчивости решения задач интегральной геометрии в случае, когда многообразия инвариантны относительно группы всех движений, параллельных (п — 1)- мерной гиперплоскости [67,70]. Все весовые функции также предполагались инвариантными относительно данной группы.

Достаточно общие результаты по единственности и устойчивости решения получены в работах А.Ю. Аниконова и A.JI. Бухгей-ма для следующих классов задач интегральной геометрии: решение ищется в классах кусочно-аналитических по части переменных функций; многообразия, по которым ведется интегрирование, и весовые функции аналитическим образом зависят от части переменных (параметров) [4, 23].

Важные результаты по теории задач интегральной геометрии были получены также в работах [1, 3, 21, 24, 88, 90].

Следует отметить работы [1, 57-59]), в которых были получены значимые результаты по единственности и устойчивости задач не вольтерровского типа на плоских кривых в ограниченной области и на геодезических римановой метрики в n-мерном пространстве, а также работу [49] , в которой изучались вопросы единственности и устойчивости "в малом" задач интегральной геометрии не вольтерровского типа в ограниченной области в n-мерном пространстве.

Отметим также группу результатов по интересной и имеющей важные приложения в томографии постановке задачи интегральной геометрии на различных семействах прямых, пересекающих некоторое заданное множество точек в пространстве (кривую) [19, 27, 39, 110, 126].

Значительный прогресс достигнут в изучении классической задачи Радона по семействам гиперплоскостей с постоянной весовой функцией, а также для задачи Радона с полными данными. Однако даже в случае восстановления функции на плоскости по ее интегралам на прямых с весовой функцией, монотонной вдоль прямых (плоская задача Радона с поглощением) еще многие вопросы остаются невыясненными. Это показывает и построенный в работе [104] важный пример неединственности. Некоторые существенные результаты для задачи Радона с поглощением были получены в самое последнее время [91, 117, 118].

Таким образом, все большее значение приобретает исследование задач интегральной геометрии для более широких классов многообразий, по которым ведется интегрирование, и весовых функций (см. также [108], сборник трудов [125]). Не меньшее теоретическое и практическое значение имеют задачи интегральной геометрии с неполными данными [60]. В такой постановке наиболее принципиальным, как указано в [53], является вопрос об однозначности определения искомой функции по интегралам от нее.

Приведем краткое изложение основных результатов работы.

В первой главе изучается задача восстановления функции в трехмерном слое, если известны суммы интегралов от нее по поверхности параболоидов, опирающихся на плоскость = 0, и по объемам, ограниченным параболоидами и плоскостью = 0, с заданной весовой функцией.

Введем обозначения: х € R3, С € R3; х — I = (&,&); A е R2;

5 = {х е R+ : о < Хз < h, h < оо};

5 = {х € R*: 0 < хг < h}. «

В первом параграфе рассматривается задача интегральной геометрии в слое S на семействе параболоидов {"Р(х)} с вершинами в точ

Кс13С ОС •

V(x) = {£ : - 6 = I* ~£|2; 0 < & < h}; р(х) — проекция параболоида V(x) на плоскость х% = 0.

Задача 1.1. Восстановить функцию и, если известны интегралы от нее по поверхностям семейства {V(x)} : ««)<£=/(*). pi')

Пусть < • > — скалярное произведение в R2; й(А, хъ) = -L J ei<x,i>u(x) dx;

R2 f(\,x3) = ±- J ei<X''x>f{x)dx. r2

Получено аналитическое представление для образа Фурье искомой функции по переменным (х\,х2). Из вида этой формулы вытекает сильная неустойчивость решения сформулированной задачи.

Теорема 1.1. Пусть функция f(x) известна для всех х Е S.

Тогда решение задачи 1.1 в классе Cq(S) единственно, и имеет место представление о

Здесь /о — функция Бесселя мнимого аргумента.

В §1.2 приводится постановка задачи интегральной геометрии на семействе параболоидов с возмущением, а также некоторые вспомогательные сведения.

В слое S рассмотрим семейство параболоидов {V(x)} с вершинами в точках х и обозначим: Р{х) — часть слоя S , ограниченная поверхностью параболоида V{x) и плоскостью #3 = 0.

Задача 1.2. Решить операторное уравнение относительно функции и: р(х) Р(х) где W — заданная весовая функция.

В параграфе §1.3 содержатся формулировки и доказательства вспомогательных утверждений — лемм 1.2-1.6, которые также использо-вуются при доказательстве основного результата главы — теоремы единственности решения задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном слое.

В параграфе §1.4 приводятся формулировка и доказательство теоремы единственности решения задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном слое при достаточно общих предположениях о весовой функции возмущения.

Теорема 1.2. Пусть f(x) известна для всех х Е S; весовая функция W имеет все непрерывные производные до второго порядка включительно и обращается в 0 вместе со своими производными на поверхности параболоида V{x).

Тогда решение задачи 1.2 в классе Cq(S) единственно.

Во второй главе исследуются задачи интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида по кривым на плоскости и поверхностям в трехмерном пространстве.

В параграфе 2.1 приводится постановка плоской задачи.

Пусть f = х = (xi,x2), R+ = {х = (хъх2) : х2 > 0},

L = {х € R+ : 0 < х2 < 1,1 < оо}.

Рассмотрим семейство кривых {Г(ат)} в полосе

L = {х е R+ : 0 < х2 < /}.

Кривая семейства Г (я) определяется уравнением f2 = Ф(х,х1 - hi) = ф(х,х 1 + Л2) = О, где = hi(x), hi =

Задача II. 1. Восстановить функцию двух переменных и(х), если известны интегралы от нее с заданной весовой функцией р(х, по кривым семейства {Г(аг)}:

Приведены условия, при которых сформулированная задача приводится к каноническому виду, и описана процедура такой редукции.

Во втором параграфе главы приводятся формулировка и доказательство теоремы единственности решения задачи II.1.

Условие А. Для любого х из L и любого угла a G а^], где —7г/2 < c*i < 0 < с*2 < тг/2, существует единственная кривая семейства Г(дг) , проходящая через точку х под углом а с осью OXi.

Предположим также, что произвольная кривая семейства симметрична относительно прямой, проходящей через вершину кривой перпендикулярно оси OXi.

При этих предположениях исследуем задачу ПЛ.

1) г(х)

Теорема 2.2. Пусть функция f(x) — правая часть уравнения (1) — известна для всех х из полосы L; функции р Е СS(L), ф Е С9(L) и удовлетворяют условиям: х2 пря^ ф хи ф(х,х{] = х2;

2) (3)

-оо <5Ъ< <S2< -2, где 5i, 62, ($3 < S2) — постоянные.

Тогда решение задачи II.1 в классе Cq(X) единственно.

4)

Таким образом, условия (2)-(4) вместе с естественным условием отделенности весовой функции от 0, условиями на гладкость весовой функции и функции, описывающей структуру кривой семейства, приводят к единственности решения задачи интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида на плоскости.

В параграфе §2.3 рассматривается задача интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида на семействе поверхностей в трехмерном слое

L = {х Е R3 : о < хг < /, / < оо}.

Пусть {Г(я)} — семейство поверхностей, гладко заполняющих слой L и однозначно параметризующихся с помощью своих вершин х е L.

Задача II.2. Определить функцию и(х), если известны ее интегралы по поверхностям Г(х) с заданной весовой функцией д(х,£) 9(x,ZMQd8 = f(x) г(«) для всех х из слоя L.

Здесь также получена аналогичная теорема единственности решения задачи.

В третьей главе рассматривается задача обращения преобразования Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением на плоскости и в трехмерном пространстве.

В параграфе 3.1 приводятся постановка задачи на плоскости и некоторые вспомогательные сведения.

Введем обозначения: х € R2, у € R2;

L = {х е R2 : 0 < х2 < I, I < сю}; l(x,a) — прямая, проходящая через точку х € L под углом а к оси OXh a е А, Л С [0; тг].

Задача III. 1.

Восстановить функцию v, если при всех х Е L и а Е А известны суммы интегралов от нее по прямой 1(х, а) и по R2 с заданной весовой функцией W

J v(y)ds + J W(x,y,a)v(y)dy = V(x,a). (5) l(x,a) R2

Первое слагаемое в левой части уравнения (5)

J v(y)ds = V0(x:a) l(x,a) представляет собой оператор Радона на плоскости с ограниченным диапазоном углов.

В параграфе 3.2 устанавливается связь между задачей интегральной геометрии вольтерровского типа общего вида на плоскости и плоской задачей Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением.

Пусть = (&,&)» У = Ы,У2), х = (хих2), r2 = {х = (хх, х2) : Х2 > 0}.

Рассмотрим семейство кривых {Г(я)} в R+, кривая семейства Г(аг) определяется уравнением £2 = Как и во второй главе, рассмотрим задачу нахождения функции двух переменных и(х), если известны интегралы от нее с заданной весовой функцией р(х,£\) на семействе кривых {Г(#)}, т. е. задачу решения операторного уравнения относительно функции и(х): pGr,£i)«KKi = /(*)• (б)

Г(«)

Вместо того, чтобы параметризовать кривую семейства Г(аг) при помощи координат ее вершины (xi,x2), данную кривую можно определить однозначно с помощью трех параметров: yi,y2 и а. Здесь

У1->У2) — координаты некоторой точки кривой Г(я), а = а(х,у) — направление касательной к кривой в точке у.

Исходная задача интегральной геометрии примет вид:

Можно показать, что функция Q(y,a) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1-го порядка, и поэтому задача решения уравнения (6) не является переопределенной.

Через Lh обозначим полосу {х Е R+ : 0 < х2 < h}, где h достаточно

Н{х, а) — полуплоскость, ограниченная прямой 1(х, а) и содержащая вектор v.

Теорема 3.1. Пусть функция f(x) — правая часть уравнения (6) — известна для всех х из полосы Lh; функции риф дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям:

GM мало; v — единичный вектор нормали к прямой l(x,a) в точке х, veS- = {v = {vuv2) : \v\ = < 0}; x2 при ф X\, Ф(х,хi) = x2; где Si, 82, £3 № < ^2) — постоянные. Тогда:

1) Уравнение (6) может быть приведено к виду 9(y)ds+ J B(x,y,a)g(y)dy = C(x,a), (7) l(x,a)

H(x,a) где функция В непрерывно дифференцируема по всем переменным; за собой единственность решения уравнения (6) в том же классе.

В параграфе §3.3 приводятся формулировка и доказательство теоремы единственности решения задачи Радона на плоскости с ограниченным диапазоном углов и возмущением.

Без ограничения общности можно считать, что 0 < a < ж/2. Рассмотрим операторы

2) Единственность решения уравнения (7) в классе С^(Ьь) влечет cos о: + sin о: дх\ дх2 и обозначим

G(x,y) = D[l{W{x,y,a))}.

Пусть е 6 R3, q £ R3, JC(e,q) С R2 x R2 — следующее множество:

2 2 /С(е, q) = {(x,y) : £ eixi + e3 > 0, £ q{yi + q3 < 0}. i= 1 j=1

Допустим, что весовал функция W ограничена и равномерно непрерывна вместе со своими первыми производными по переменным Х\,Х1->У\,Ш и непрерывна по переменной а, а также абсолютно интегрируема по парам переменных и УиУ2 вместе со своими первыми производными. При этих предположениях в работе доказано следующее утверждение о единственности решения задачи Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением на плоскости.

Теорема 3.2. Пусть в уравнении (5) функция V(x,a) известна для всех (x,a) : х € L,a 6 [0,7г/2].

Функция W(x, у, а) удовлетворяет следующим условиям: 1) W(x, у, а) вместе со своими первыми производными обращается в

О на l(x,a);

2j№cosa + gsina = о.

Пусть, далее, найдутся е £ R3 (ef + е\ ф 0) и q £ R3 (q\ + q\ ф 0) та кие, что при (х,у) £ K{e,q) выполняется условие:

G(x, у) = 0.

Тогда решение уравнения (5) в классе Cq(L) единственно.

В параграфе 3.4 рассматриваются особые сингулярные интегральные уравнения с возмущением в трехмерном пространстве. Доказаны теоремы существования и единственности их решения. Отметим, что содержащееся в следующем параграфе доказательство единственности решения задачи Радона с ограниченным диапазоном углов и возмущением в трехмерном пространстве основано на сведении к подобному уравнению. Исследование возмущений таких полисингулярных уравнений, не нарушающих единственности их решения, представляет также самостоятельный интерес.

Обозначим х, £ — элементы R3.

Рассмотрим возмущенные сингулярные интегральные уравнения: t 4(6,*»,*.) ^ + ± / »(«.&,»») d(2 + и{х)+

J G^x^MOd^F^x), (8)

R3 I (*!-&)(*»-6) + MJMJ dM ци(х) + J Ga(ar,0«(0^ = Ж*)- (9) r3 относительно функции u(x). Здесь [i — произвольное комплексное число.

Теорема 3.3. Пусть ядро Gi(x,£) ({G^x,^)) — ограниченная, равномерно непрерывная по всем переменным, финитная по первым трем и абсолютно интегрируемая с квадратом по последним трем переменным функция. Тогда решение уравнения (8) (уравнения (9)) в классе финитных и удовлетворяющих условию Гельдера функций единственно.

В отличие от плоского случая, здесь удалось получить теорему существования решения.

Теорема 3.4. Пусть ц £ {—2,0,2}; функции Fk(x) (к = 1,2) принадлежат L2(R3)> ядра Gk(x,£) удовлетворяют всем условиям теоремы 3.3 и, кроме того, неравенству

J J \Gk(x,£)\2 dxd£ < m, r3 r3 где m = min{|//|2, | - 2 + fi\2, |2 + ц\2}.

Тогда решение уравнения (8) (уравнения (9)) существует в классе функций L/2 (R3).

Замечание. При ц £ {—2,0,2} обратный оператор в уравнениях (8) и (9) сильно неустойчив, и поэтому в указанном случае не удается получить аналог теоремы 3.4.

В последнем параграфе главы содержатся постановка задачи Радона с неполными данными и возмущением в трехмерном пространстве. Обсуждается ее связь с задачей интегральной геометрии вольтерров-ского типа в трехмерном пространстве. Приводятся формулировка и доказательство теоремы единственности решения задачи.

В четвертой главе рассматривается задача восстановления поверхностей, опирающихся на заданную плоскость, по контурам их теней.

В параграфе 4.1 вводятся понятия оптической проекции точки поверхности, а также контуров теней, отвечающих перпендикулярным и оптическим проекциям. Приводятся постановка задачи и некоторые вспомогательные утверждения.

Поверхностью типа шапки назовем строго выпуклую поверхность, которая пересекается с любой прямой, перпендикулярной плоскости хз = 0, не более чем в одной точке. Получен результат по единственности решения задачи в случае гладкой поверхности типа шапки (гладкость в данной главе понимается в смысле С1).

В §4.2 рассматривается задача совместного восстановления двух кусочно-гладких поверхностей типа шапки Hi и Н2, опирающихся на заданную плоскость. Для простоты предпологается, что поверхности лежат в R+ и опираются на плоскость OXiX2.

Здесь также приводятся определения контуров теней поверхности, а также понятия взаимно обозримых поверхностей. Сформулирована и доказана теорема единственности решения задачи в классе взаимно обозримых кусочно-гладких поверхностей типа шапки.

Предположим, что поверхности Hi и Н2 являются гладкими поверхностями типа шапки. В этом случае даже по полному набору контуров теней не удается однозначно восстановить определенные участки как на поверхности Hi, так и на поверхности Н2. Этот факт демонстрирует существенность условия взаимной обозримости поверхностей.

В тексте диссертации содержатся указания по возможным обобщениям постановок задач четвертой главы. Так, можно рассмотреть задачу восстановления по контурам теней поверхности (поверхностей) в трехмерном пространстве, опирающейся (опирающихся) не на плоскость, а на заданную поверхность.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры теории функций НГУ под руководством академика М. М. Лаврентьева, в МГУ на семинаре кафедры общей математики факультета ВМК под руководством академика В. А. Ильина, чл.-корр. РАН Е.И. Моисеева и проф. А.А. Дезина и объединенном семинаре физического факультета и НИВЦ "Обратные задачи математической физики" под руководством проф. А.Б. Бакушин-ского, проф. А.В. Тихонравова и проф. А.Г. Яголы, в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН на семинаре под руководством проф. Т. И. Зеленяка и семинаре под руководством проф. Ю. Е. Аниконова, в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. Н. Монахова и чл.-корр. РАН П. И. Плотникова, в СибУПК на семинаре под руководством проф. В. Г. Чередниченко, на Международном симпозиуме по компьютерной томографии (Новосибирск, 1993), на Международной конференции " Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (Ташкент, 1993), Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики (АМСА-95)" (Новосибирск, 1995), на втором (Новосибирск, 1996) и третьем (Новосибирск, 1998) Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике (ИНПРИМ-96 и ИНПРИМ-98), на Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (IIPP-96) (Москва, 1996), Всероссийской конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1998), на втором Конгрессе ISAAC (International Society of Analysis, Applications and Computation) (USA, University of Delaware, 1997), на пятой международной конференции "Integral methods in science and engineering" (USA, Michigan Technical University, 1998), на третьем Конгрессе ISAAC (Japan, Fukuoka Institute of Technology, 1999), на Международной конференции "Ill-Posed and Inverse Problems" (Новосибирск, 2002).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7, 8, 10, 12-15, 98-100, 102, 103]. Из совместных работ [102, 103] в диссертации приведены только результаты, принадлежащие ее автору.

Кроме того, по теме диссертации опубликованы тезисы докладов автора на перечисленных выше конференциях, среди которых отметим [И, 93-97, 101].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на четырнадцать параграфов, и списка литературы. Нумерация параграфов, теорем, лемм и замечаний состоит из двух индексов, разделенных точкой (номера главы и номера параграфа, теоремы, леммы и замечания в данной главе). Нумерация формул состоит из трех индексов, разделенных точками (номера главы, номера параграфа в главе, номера формулы в данном параграфе). Диссертация изложена на 152 страницах текста, набранного с использованием l^TjrjX. Список литературы содержит 126 наименований.

1. Амиров А.Х. Интегральная геометрия и задача восстановления римановой метрики // Докл. АН СССР, 1990. Т. 312, № 6. С. 1289-1291.

2. Аниконов Д. С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000.

3. Аниконов Ю. Е. О разрешимости задачи интегральной геометрии // Мат. сб., 1976. Вып. 101 (143), № 2. С. 271-279.

4. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

5. Аниконов Ю. Е., Амиров А. X. Теорема единственности решения обратной задачи для кинетического уравнения // Докл. АН СССР, 1983. Т. 272, № 2. С. 1292-1293.

6. Бегматов Акбар X. Приведение задачи интегральной геометрии в пространстве к каноническому виду // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. — Новосибирск: Новосибирский гос.ун-т, 1991. — С. 19-22.

7. Бегматов Акбар X. Об одном классе задач интегральной геометрии на плоскости // Доклады РАН, 1993. Т. 331, № 3. С. 261262.

8. Бегматов Акбар X. О некоторых классах полисингулярных интегральных уравнений // Сиб. мат. журн.,1994. Т. 35, № 3. С. 515-519.

9. Бегматов Акбар X. Об одной задаче интегральной геометрии в трехмерном пространстве //Уравнения неклассического типа. — Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1997. С. 126-131.

10. Бегматов Акбар X. Редукция задачи интегральной геометрии в трехмерном пространстве к полисингулярному интегральному уравнению с возмущением //Доклады РАН, 1998. Т. 360, № 5. С. 583-585.

11. Бегматов Акбар X. Задачи интегральной геометрии вольтер-ровского типа // Обратные и некорректно поставленные задачи. Тез.докл. науч. конф., 16 -17 июня 1998 г. Москва: МГУ, 1998, с. 30.

12. Бегматов Акбар X. Об одной задаче интегральной геометрии, связанной с преобразованием Радона // Сиб. журн. инд. мат.,1999. Т. 2, № 2. С. 8-14.

13. Бегматов Акбар X. Задача интегральной геометрии с возмущением в трехмерном пространстве // Сиб. мат. журн., 2000. Т. 41, № 1. С. 3-14.

14. Бегматов Акбар X. Об одной задаче интегральной геометрии с возмущением в трехмерном пространстве //Доклады РАН, 2000. Т. 371, № 2. С. 155-158.

15. Бегматов Акбар X. Задачи интегральной геометрии вольтер-ровского типа и преобразование Радона с неполными данными. Новосибирск, 2002, 13 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 104).

16. Бегматов Акрам X. Задачи интегральной геометрии для семейства конусов в га-мерном пространстве// Сиб. мат. журн., 1996. Т. 37, № 3. С. 500-505.

17. Бегматов Акрам X. Вольтерровские задачи интегральной геометрии на плоскости для кривых с особенностями // Сиб. мат. журн., 1997. Т. 38, № 4. С. 723-737.

18. Бегматов Акрам X. Об одной задаче обращения лучевого преобразования с неполными данными // Сиб. мат. журн., 2001. Т. 42, N°. 3. С. 507-514.

19. Благовещенский А. С. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий // Матем. заметки, 1986. Т. 39, № 6. С. 841-849.

20. Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений Воль-терра первого рода // Функц. анализ и его прил., 1972. Т. 6, вып. 1. С. 1-9.

21. Бухгейм А. Л. О некоторых задачах интегральной геометрии // Сиб. мат. журн., 1972. Т. 13, № 1. С. 34-42.

22. Бухгейм А. Л. Об одной задаче интегральной геометрии // Мат. проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Вып. 4. С. 69-73.

23. Бухгейм A. JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

24. Бухгейм A. JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

25. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993.

26. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г. Нелокальные формулы обращения в вещественной интегральной геометрии // Функц. анализ и его прил., 1977.Вып. 3. С. 12-19.

27. Гельфанд И. М., Гончаров А. Б. Восстановление финитной функции, исходя из ее интегралов по прямым, пересекающим данное множество точек в пространстве // Докл. АН СССР, 1986. Т. 290. С. 1037-1040.

28. Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Я. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. Сер. Обобщенные функции. М.: Физматгиз, 1962. Вып. 5.

29. Гельфанд И. М., Граев М. И., Шапиро Н. Я. Интегральная геометрия на многообразиях ^-мерных плоскостей // Докл. АН СССР, 1966. Т. 168, № 6. С. 1236-1238.

30. Гельфанд И. М., Гиндикин С.Г., Граев М. И. Некоторые задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000.

31. Голубятников В.П. Об однозначной восстановимости выпуклых и обозримых компактов по их проекциям // Мат. Сб., 1991. Т. 182, № 5. С. 611-621.

32. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики. М.: Наука, 1985.

33. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

34. Залгаллер В.А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975.

35. Иванов В. КВасин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

36. Иванов В. К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально- операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1994.

37. Ион Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

38. Кирейтов В. Р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.

39. Кириллов А. А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Докл. АН СССР, 1961. Т. 137, № 2. С. 276-277.

40. Клибанов М. В. Об одной задаче интегральной геометрии и обратной задаче для параболического уравнения // Сиб. мат. журн., 1976. Т. 17, № 1. с. 75-84.

41. Костелянец П. О., Решетняк Ю. Г. Определение вполне аддитивной функции ее значениями на полупространствах // Успехи мат. наук, 1954. Т. 9, № 3. С. 135-140.

42. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

43. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

44. Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода //В кн.: Междунар. мат. конгресс, в Ницце, 1970. М.: Наука, 1972.

45. Лаврентьев М. М. Об одном классе операторных уравнений на плоскости // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 52-57.

46. Лаврентьев М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений //Сиб. мат. журн., 1980. Т.21, No 3. С. 225-228.

47. Лаврентьев М. М. Интегральная геометрия и обратные задачи // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск.: Наука, 1984. С. 81-86.

48. Лаврентьев М. М. Задача интегральной геометрии на плоскости с возмущением // Сиб. мат. журн., 1996. Т.37, N° 4. С. 851-857.

49. Лаврентьев М. М., Бухгейм А. Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода // Функциональный анализ и его приложения. 1973. Т. 7, Вып. 4. С. 44-53.

50. Лаврентьев М. М., Клибанов М. В. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Диф. уравнения, 1975. Т. 11, № 9. С. 1647-1651.

51. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР, 1966. Т. 171, № 6. С. 1279-1281.

52. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991.

53. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

54. Лаврентьев М. М., Деревцов Е. Ю., Шарафутдинов В.А. Об определении оптического тела, находящегося в однородной среде, по его изображениям // Докл. АН СССР, 1982. Т. 260, N°. 4. С. 799-803.

55. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

56. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

57. Мухометов Р. Г. О задаче интегральной геометрии // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. Вып. 6, ч. 2. С. 212-242.

58. Мухометов P. F. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. АН СССР, 1977. Т. 232, № 1. С. 32-35.

59. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в го-мерном пространстве // Докл. АН СССР, 1978. Т. 243, № 1. С. 41-44.

60. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.

61. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. Новосибирск: Наука, 1987.

62. Плаксин Г. И. О выражении функции через ее интегралы по эллипсоидам // Докл. АН СССР, 1966. Т. 166, № 3. с. 548-550.

63. Плаксин Г. И. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Докл. АН СССР, 1966. Т. 170, № 4. С. 783-785.

64. Прилепко А. ИЧередниченко В. Г. Об одном классе обратных краевых задач для аналитических функций // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 10. С. 1900-1907.

65. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

66. Романов В. Г. О восстановлении функции через интегралы по эллипсоидам вращения, у которых фокус неподвижен // Докл. АН СССР, 1967. Т. 173, № 4. С. 766-769.

67. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

68. Романов В. Г. О некоторых классах единственности решения задач интегральной геометрии // Мат. заметки, 1974. Т. 16, № 4. С. 657-668.

69. Романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики // Докл. АН СССР, 1978. Т. 241, № 2. С. 290-293.

70. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

71. Романов В. Г. Оценка устойчивости в задаче об определении коэффициента ослабления и индикатрисы рассеяния для уравнения переноса // Сиб. мат. журн., 1996. Т. 37, № 2. С. 361-377.

72. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991.

73. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

74. Семянистый В. И. О некоторых интегральных преобразованиях в евклидовом пространстве. // Докл. АН СССР, 1960. Т. 134, № 3. С. 536-539.

75. Семянистый В. И. Однородные функции и некоторые задачи интегральной геометрии в пространствах постоянной кривизны // Докл. АН СССР, 1961. Т. 136, № 2. С. 288-291.

76. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979.

77. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР, 1943. Т. 39, Nа 5. С. 195-198.

78. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

79. Тихонов А. Я, Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

80. Тихонов А. Я, Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

81. Тихонов А. Н., Леонов А.С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

82. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству эллипсоидов // Сиб. мат. журн., 1972. Т. 13, № 6. С. 1374-1382.

83. Успенский С. В. О восстановлении функции, заданной интегралами по одному семейству конических поверхностей // Сиб. мат. журн., 1977. Т. 18, № 3. С. 675-684.

84. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

85. Функциональный анализ. Под ред. С. Г. Крейна. Справочная математическая библиотека. М.: Наука, 1972.

86. Хачатуров А.А. Определение меры для области га-мерного пространства по ее значениям для всех полупространств // УМЖ, 1954. Т. 9, N2 3. С. 205-212.

87. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

88. Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, 1993.

89. Яхно В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск: Наука, 1990.

90. Anikonov, Yu. Е. Formulas in inverse and ill-posed problems, VSP, Utrecht, The Netherlands, 1997.

91. Arbuzov, E.V., Bukhgeim, A.L., Kazantsev, S.G. Two-dimensional tomography problems and the theory of A-analytic functions, Sib. Advances in Math., 8 (1998), № 4, pp. 1-20.

92. Ball, K.M. Shadows of convex bodies, Trans. Amer. Math. Soc. 327 (1991), pp. 891-901.

93. Begmatov Akbar H. Problems of integral geometry reducing to the Radon problem with perturbation //International Symposium on Computerized Tomography. Novosibirsk, Russia, August 1014,1993. Abstracts. Novosibirsk: Institute of Mathematics, 1993, p. 27.

94. Begmatov Akbar H. Some inverse problems of photometry //Advanced Mathematics, Computations and Applications. International Conference AMCA-95, Novosibirsk, Russia, June 20-24, 1995, Abstracts. Novosibirsk, 1995. Vol. 1 (A-Kor), p. 39.

95. Begmatov Akbar H. Integral geometry problems of Volterra type //Abstracts of the 5th International conference on integral methodsin science and engineering (IMSE'98). August 10-13, 1998. Michigan Tech, Houghton, MI, USA, p.7.

96. Begmatov Akbar H. General Volterra type problems of integral geometry: uniqueness and stability questions //Abstracts of the Second Congress ISAAC 1999. Fukuoka, Japan, August 16-21,1999, pp.20-21.

97. Begmatov Akbar H. Volterra-type integral geometry problems, in Integral methods in science and engineering, B.Bertram, C. Constanda and A. Struthers, Eds., Research Notes in Mathematics Series, 418, Chapman&Hall/CRC, Boka Raton, Fl, 2000, pp. 46-50.

98. Begmatov Akbar H. Problem of integral geometry on paraboloids with perturbation, Proceedings of the Second ISAAC Congress, Vol. 1, Begehr et al., Eds. Kluwer, Dordrecht, 2000, pp. 97-103.

99. Begmatov Akbar H. On reconstruction of surfaces by shadow contours, J. of Inv. Ill-Posed Problems, 10 (2002), № 3, pp. 213-220.

100. Begmatov Akbar H. Iniqueness of the solution of a general problem of integral geometry//Abstracts of the International Conference on ill-posed and inverse problems, Novosibirsk, Russia, August 5-9, 2002, p.24.

101. Boman, J. An example of non-uniqueness for a generalized Radon transform, J. Anal. Math., 61 (1993), pp. 395-401.

102. Cherednichenko V. G. Inverse logarithmic potential problem. VSP: Utrecht, the Netherlands, 1996.

103. Соттаск, A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications, J. Appl. Phys., 1963. 34, 27222727.

104. Согтаск, A. M. Representation of a function by its line integrals, with some radiological applications II, J. Appl. Phys., 1964. 35, 2908-2912.

105. Ehrenpreis, L. Some nonlinear aspects of the Radon transform, in: Quinto et al. (eds): Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry, AMS, Providence, 1994, pp. 69-81.

106. Faridani, A. Results, old and new, in computed tomography, in Inverse problems in wave propagation, G. Chavent et al. (Eds.), The IMA volumes in mathematics and its Applications, 90, Springer Verlag, New Yorl, 1997, pp. 167-193.

107. Finch, D. V. Cone beam reconstruction with sources on a curve, SI AM J. Appl. Math., 1985. 45, 665-673.

108. Funk P. Uber eine geometrische Anwendung der Abelschen Integral-gleichung, Math. Ann.,77 (1916), 129-135.

109. Gardner, R. J. Geometric tomography, Cambridge Univ. Press, New York, 1995.

110. Gardner, R. J. and Volcic, A. Tomography of convex and star bodies, Adv. Math. 108 (1994), pp. 367-399.

111. Goncharov, A. B. Differntial equations and integral geometry, Adv. Math. 131 (1997), pp. 279-343.

112. John, F. Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen iiber gewisse Mannigfaltigkeiten, Math. Ann., 109 (1934), pp. 488-520.

113. John, F. The ultrahyperbolic differential equation with 4 independent variables, Duke Math. J., 4 (1938), pp. 300-322.

114. Natterer, F. Inversion of the attenuated Radon transform, Inverse Problems, 17 (2001), pp. 113-119.

115. Novikov, R. G. On the range characterization for the two-dimensional attenuated X-ray transformation, Inverse Problems, 18 (2002), pp. 677-700.

116. Prilepko, A. I., Orlovsky, D.G., and Vasin, I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New-York, Marcel Dekker, 2000.

117. Palamodov, V. P. Some mathematical aspects of 3 D X-ray tomography, in: Quinto et al. (eds): Tomography, Impedance Imaging, and Integral Geometry, AMS 1994.

118. Quinto E. Т. The dependence of the generalized Radon transform on defining measures J J Trans. Amer. Math. Soc., 1980. 257, pp. 331-346.

119. Quinto, E. T. Singularities of the X-ray transform and limited data tomography in R2 and R3, SIAM J. Math. Anal. 24 (1993), pp. 1215-1225.

120. Quinto, E. T. Exterior and limited-angle tomography in nondestructive evaluation, Inverse Problems 14 (1998), pp. 339-353.

121. Radon J. Uber die Bestimmung vor Functionen durch ihre Inte-gralwarte langs gewisser Maannigfritigkeiten // Ber. Verh. Sachs. Akad., 1917. 69, S. 262-277.

122. Radon Transforms and Tomography, Quinto et a 1. (eds): AMS, Providence, 2001.

123. Tuy, H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction, SIAM J. Appl. Math., 1983. 43. 546-552.