Cm-продолжение субголоморфных функций с замкнутых областей в С тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.5

Зорина Ольга Александровна

С^-ПРОДОЛЖЕНИЕ СУБГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЕЙ В С

Специальность 01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выполнена на кафедре Теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В .Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор П.В. Парамонов. Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.И. Данченко, кандидат физико-математических наук, с.н.с. В.И. Буслаев. Ведущая организация: Московский государственный

строительный университет (МГСУ).

Защита диссертации состоится " 21 " апреля 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 21" марта 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор { 1.1 /у/ ''Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вначале приведем результат Дж. Вердеры, М.С. Мельникова и П.В. Парамонова Ш, позволяющий понять: какой тип задач рассматривается в диссертации.

Теорема ВМП (см. W). Пусть В — открытый шар в Тогда всякую субгармоническую в шаре В функцию g 6 С1{В) можно продолжить до субгармонической функции G € C1(RAr) с оценкой равномерной нормы ее градиента: ||VG||r* < где с е (0, +оо) зависит только от N.

Перейдем к общей постановке задач нашей тематики И. Пусть L — однородный эллиптический дифференциальный оператор в в частных производных с постоянными комплексными коэффициентами. Обобщенная функция / называется L-субаналитической на открытом множестве Ü С если всюду в Q выполняется неравенство Lf > 0 в обобщенном смысле. Через L+(Q) обозначим класс L-субаналитических на О, (обобщенных) функций, причем, если L имеет вещественные коэффициенты, то будем считать, что класс состоит из

вещественнозначных обобщенных функций. Так, при L = А (оператор Лапласа) получаем: L+(il) = SH(£i) — класс субгармонических функций, а при L = d/dz (оператор Коши-Рймана в R2) = Л+(Г2) — класс субголоморфных функ-

ций (последний термин введен в работе автора И).

w Вердера Дж., Мельников М.С., Парамонов П.В. (^^аппроксимация и продолжение субгармонических функций // Матем. сборник. 2001. Т. 192. JV»4. С.37-58.

и Парамонов П.В. О Ст-продолжении решений однородных эллиптических неравенств.//Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2002. С.149-150.

и Зорина O.A. О непрерывном продолжени^^бн»адЙ?йФ|)Щ| функ-

i библиотека |

При га € {0,1,...} через BCm(Q) обозначается класс всех комплекснозначных функций /, имеющих непрерывные ограниченные частные производные (по вещественным переменным) в П до порядка т включительно. При нецелых положительных т — [т] + ¡1 (где [га] — целая часть га) через ВСт(&) обозначается класс функций / G ВСН(П), у которых все частные производные порядка [га] принадлежат замыканию в ВЫр^{{Т) пространства Нормы ||/||m,n в пространствах BCm {VI) определяются стандартным образом. Для произвольного га > 0 обозначим через Cm(Q) класс всех функций / в fi таких, что / £ ВСт(Е) для любого ограниченного открытого множества Е с условием Е С il Пространства Cm(Q) стандартным образом наделяются топологиями Фре-ше. Пусть X — компакт в , через Ст(Х) обозначим класс функций / на X, которые допускают продолжения до функций класса BCm{RN). Норма ||/|jm)x в пространстве Ст(Х) равна inf{||-F||mRjv}, где указанный infimum берется по всем возможным продолжениям F £ BCm(RN), F\x = f ■ Подробные определения всех перечисленных пространств и их норм приведены в §2.1 (главы 2) диссертации.

Задача 1. Каковы условия на компакт X (с внутренностью Х°) в RN и функцию f £ Ь+{Х°) П Ст(Х), необходимые и 'достаточные для существования функции F £ L+{RN) П Cm(RN) такой, что F\x = /.

Задача 2. Каковы условия на компакт X в R^ необходимые и достаточные для того, чтобы для всякой функциии / £ Ь+(Х°)Г\Ст(Х) нашлась F £ L+(RN)nCm{RN) такая, что F\x = /•

ций.//Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. №4. С.30-36.

Отметим, что задачи 1 и 2 существенно упрощаются, если ограничиться функциями / G L+(U) П Cm(U), где U — зависящая от / окрестность компакта X М.

Насколько известно автору, задачи 1 и 2 пока рассматривались только для классов субгармонических функций (см. работы M ИМ и для классов субголоморфных функций

В работе М.С. Мельникова и П.В. Парамонова ^ получен аналог теоремы ВМП для двумерных областей типа Дини-Ляпунова. Напомним, что жорданова область D С С называется областью типа Дини-Ляпунов а, если некоторое (а, значит, любое) конформное отображение к области D на единичный круг В удовлетворяет следующим свойствам: функция к продолжается до С1-диффеоморфизма Dm* В, причем модуль непрерывности x{t) функции k'(z) в D (t > 0) удовлетворяет условию Дини: f^(>c(t)/t)dt < +оо.

Теорема МП (см. f5'). Пусть D — область типа Дини-Ляпунова. Тогда найдется константа с = c(D) > 0 такая, что для любой функции g 6 SH(D) П C1(D) существует G € S H (С) П С1 (С) с условиями G\jj = g и \\VG\\c<c\\Vg\\ä. ^

В случае m G (1,3) теорема о Ст-продолжении субгармонических функций установлена П.В. Парамоновым для более широкого класса плоских областей — так называемых В-

м Gauthier P.M. Subharmonic extentiori and approximation. // Canadian Math. Bull. 1994. V.37. P 46-53

и Мельников M.C., Парамонов П.В. С1-продоллсение субгармонических функций с замкнутых жордановых областей в К2.//Известия РАН (Сер. матем.). 2004. Т.68. №6. С. 105-118.

м Парамонов П.В. О Ст-продолжении субгармонических функций.// Известия РАН (Сер. матем.). 2005. Т.69. №6. С. 139-152. м Зорина O.A. О ¿""-продолжении субголоморфных функций с плоских жордановых областей. //Известия РАН (Сер. матем.). 2005. Т.69. №6. С. 21-34.

»

областей. Напомним что жорданова область Г) в С называется В-областью, если конформное отображение к внешности области Б на внешность единичного круга с условиями к(оо) = оо и Нт (к(г)/г) > 0 является билипшицевым, т.е.

г—Юо

существует константа со > 1 такая, что

¿о- г2\ < \к(гг) - к{г2)\ < с0- г2\ при всех г\, € С\И.

Теорема П (см. Пусть Б - произвольная В-область, т € (1)3). Тогда найдется константа с = с(0,т) > 0 такая, что для любой функции д <Е £#(£>) П Ст(5) существует в € 5Я(С) П Ст{С) с условиями = д и || \7<3||т_1,с < с

В работе приведены примеры, показывающие, что случаи т £ [0,1)и [3,оо) в контексте задачи 2 интереса не представляют. Точность теоремы МП (случай т = 1) подтверждена в И соответствующим примером. Точность теоремы П не обсуждалась. Кроме того, в ^ доказывается локализационная теорема о Сш-продолжении субгармонических функций с произвольных плоских жордановых областей и рассматривается задача о 1дрт-продолжении субгармонических функций.

Цель работы. Целью настоящей работы является исследование условий возможности С'"-продолжения субголоморфных функций с замкнутых жордановых областей на всю плоскость с сохранением свойства субголоморфности, а также условий сохранения Ст-гладкости функций при гармоническом сопряжении.

Методы исследования. В диссертации используются: методы теории обобщенных функций и теории сингулярных интегралов типа Кальдерона-Зигмунда, результаты

О'Фаррелла'8!, Вердеры^, Парамонова^10' по теории Ст-аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями (где основной является локализационная техника А.Г. Витуш-кина'11!), теоремы Уитни о "внутреннем" описании класса Ст(Х) через полиномы типа Тейлора.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказана возможность непрерывного субголоморфного продолжения всякой непрерывной субголоморфной функции из круга на всю плоскость с оценкой (равномерной) нормы продолжения (теорема 1.1).

2. Установлено свойство сохранения Ст-гл ад кости при действии оператора гармонического сопряжения для всех m ^ 1 в произвольной области Лаврентьева (теорема 2.2).

3. Получена теорема (теорема 2.1) о возможности Ст-субголоморфного продожения при любом 0 < m < 2 с так называемых В-областей Жордана на всю плоскость с оценкой нормы продолжения. Аналогичные результаты получены и для Lipm-продолжений при 0 < m ^ 2 (теорема 2.4).

Теоретическая и практическая ценность. Представленная работа является исследованием в области комплексной теории потенциала и теории приближений аналитически-

м O'Farrell A.G. Rational approximations in Lipschitz norms. П.// Proc. Royal Irish Acad. 1979. V. 79A. P. 104-114.

и Verdera J. Cra-approximations by solutions of elliptic equationsand Calderon-Zygmund operators. // Duke Math J. 1987. V.55. №1. P. 157187.

l10l Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С1 -норме. // Матем. сборник. 1990. Т.181. №10. С.1341-1365.

[и] Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений.// УМН. 1967. Т.22. №6. С.141-199.

ми функциями. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации относятся к теории продолжения субаналитических функций и теории гармонических функций (теорема о сопряженной гармонической функции). В дальнейшем эти результаты могут быть полезны специалистам по теории функций, работающим в МГУ, С-ПГУ, МИ АН, МИРЭА.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах кафедры Теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ:

- На семинаре " Многомерный комплексный анализ" под руководством чл. корр. Е.М. Чирки и профессоров В.К. Бело-шапки и А.Г. Сергеева (в декабре 2004 года);

- На семинаре "Теория приближений и граничные свойства функций" под руководством академика ВШ Е.П. Долженко (в ноябре 2005 года);

- На семинаре "Теория приближений аналитическими функциями" под руководством профессора П.В. Парамонова (неоднократно в период с 2001 по 2005 год).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 2-х работах, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, и списка цитированной литературы. Общий объем текста - 49 страниц. Список литературы содержит 22 наименования.

Содержание диссертации

Во введении дается обзор работ, близких к теме диссертации,

б

формулируются основные задачи и кратко излагаются результаты работы.

Основной результат первой главы состоит в следующем.

Теорема 1.1. Пусть В — произвольный открытый круг в С и / € А+(В) П С (В). Тогда для любого т > О найдется функция Р 6 А+(С) П С (С) такая, что = / и

Теорема 1.1 является естественным аналогом теоремы ВМП, но при ее доказательстве возникает ряд дополнительных трудностей, связанных, например, с тем, что класс (в отличие от класса неинвариантен относительно

конформных отображений множества П. Подробнее этот факт поясняется в конце главы 1 в предложении 2.1 диссертации. Кроме того, в теореме 1.1 указано (в отличие от теоремы ВМП) конкретное значение постоянной с (с = 3 + т, т > 0).

Всюду в дальнейшем В (го, Я) - открытый круг в С с центром го и радиусом Я > 0. Для произвольного открытого множества О, через будем обозначать пространство голоморфных на функций.

Из доказательства теоремы 1.1 вытекает следующее утверждение о представлении голоморфных функций в кругах в виде потенциала Коши.

Следствие 1.1. Пусть В = B(z0,R) ufe Н(В) П С{В).

Тогда для любого е > 0 существует неотрицатель-нал конечная борелевская мера ц с носителем в кольце 7£е = {Я < \г — го\ < Я(1 +е)} такая, что для функции Р, определяемой формулой

1И1с<(3 + т)||/Ь.

выполняются условия F е Л+(С) П С(С), = / и

1№<(з +г)||/Ь.

Отметим, что аналог теоремы МП для непрерывных субголоморфных функций пока доказать не удается. Существенная трудность здесь снова возникает в связи с упомянутым выше свойством неинвариантности.

В теореме 5.1 работы ^ указывается широкий класс жор-дановых областей с С1-гладкой границей, для которых утверждение теоремы МП не верно. Предложенная конструкция легко переносится на случай субголоморфных функций, поэтому субголоморфный аналог теоремы МП также не будет иметь места на указанном классе С1-областей.

В начале первой главы диссертации (§1.1) устанавливается ряд свойств субголоморфных функций, необходимых для дальнейшего изложения. В §1.3 приводится пример, показывающий, что аналог теоремы 1.1 для Ст-продолжений субголоморфных функций из круга не имеет места при т > 2.

Основным результатом второй главы диссертации является следующая теорема, в которой получен полный аналог теоремы П.

Теорема 2.1. Пусть В - произвольная В-областъ, т £ (0,2). Тогда найдется константа с = с(0,т)' > 0 такая, что для любой функции / 6 А+(Б) П Ст{0) существует .Р € А+(С) П ВСт(С) с условиями = / и 1Икс£с||/]|гад,

Основой доказательства этой теоремы является сведение при т 6 (0,2) (как оказалось, далеко не простое) задачи о Ст-продолжении субголоморфных функций к задаче Ст+1-продолжения субгармонических функций (т.е. сведение к теореме П). В случае нецелых т существенным моментом здесь

является локальная непрерывность в пространстве Ст(С) оператора Кальдерона-Зигмунда с ядром 1/z2 (по мере Лебега в С). Еще одним важным моментом доказательства теоремы 2.1 является третий основной результат диссертации - теорема 2.2 об инвариантности оператора гармонического сопряжения в пространствах Ст (и Lip™) при т > 1 на областях Лаврентьева. Напомним, что жорданова область D со спрямляемой границей 3D называется областью Лаврентьева (коротко: Л-областью, а 3D - кривой Лаврентьева, коротко Л-кривой), если найдется такая константа с\ = ci(D) 6 [1, +оо), что для любых zi и Z2 на 3D имеет место оценка ¿od(z 1^2) < с\\z\ — 221, где ¿düi^i, Zci) ~ минимальная из длин дуг на 3D, соединяющих z\ и z-i- Очевидно, что всякая .B-область является Л-областью. Обозначим через H(Q) класс (вещественных) гармонических функций на открытом множестве 11

Теорема 2.2. Пусть D является JI-областью, т> 1. Тогда найдется константа с = c(D,m) > 0 такая, что для любой и G H(D) П Cm(D) гармонически сопряженная с и функция V в D принадлежит классу Cm{D), причем выполнена оценка |М|тд < с\\и\\т$.

Доказательство теоремы 2.2 опирается на результаты работ О'Фаррелла И, Дж. Вердеры ^ и П.В. Парамонова ^ о гармонических аппроксимациях в Ст-нормах.

Теорема 2.2 представляет собой Ст-аналог (при т > 1) на Л-областях классической теоремы Харди-Литтлвуда, которая формулируется следующим образом.

Теорема HL. № Пусть В - открытый круг в С,

ll2JHardy G.H. Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals.//Il. Math. Z. 1932. V.34. P.403-439.

т е (0,1], и е Н(В) П Lipm(B). Тогда гармонически сопряженная с и функция v в В (при естественном продолжении на В) принадлежит классу Lipm(B).

Как известно, С°-аналог (т.е. непрерывный аналог) предыдущей теоремы не верен (даже в круге). В конце §2.2 диссертации приводятся результаты о Ьфт-инвариантности оператора гармонического сопряжения при т 6 (0,1) в квазидисках (автору не удалось найти в литературе их непосредственных формулировок), вытекающие из результатов относительно недавних работ №ЩЩ.

В §2.4 диссертации приводятся следствия из теоремы 2.1, которые представляют самостоятельный интерес и могут быть полезными в приложениях. Кроме того, доказывается аналог теоремы 2.1 для классов Lip™ и приводится пример, отсутствия С1-продолжения субголоморфных функций с Л-области с кусочно-гладкой границей. Автору известны примеры отсутствия Ст-субголоморфного продолжения с жордановых областей и для т £ (0,1) U (1,2), но они не относятся к числу точных и поэтому не приводятся.

Пользуюсь случаем выразить благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Петру Владимировичу Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе. Также хочу поблагодарить к.ф.-м.н, доцента Константина Юрьевича Федоровского за полезные обсуждения и предоставленные материалы по теме диссертации.

Gehring F.W., Martio О. Lipschitz classes and quasiconformal mappings.// Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I Math. 1985. V.10. P. 203-219. [|4l Dyakonov K.M. Holomorphic functions and quasiconformal mappings with smoth moduli.//Adv. Math. 2004. V.187. P. 146-172

i15)Dyakonov K.M. Strong Hardy-Littlewood theorems for analythic functions and mappings of finite distortion. //Math. Z. 2005. V 249. P. 597-611.

Публикации по теме диссертации

-[1] Зорина O.A. О непрерывном продолжении субголоморфных функций.//Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. №4. С.30-36.

[2] Зорина O.A. О Ст-продолжении субголоморфных функций с плоских жордановых областей. //Известия РАН (Сер. матем.). 2005. Т.69. №6. С. 21-34.

г »

Ч

t V

81 в

г;

У

<1

с

с

г

,1 ы

Подписано в печать 10.03.2006 Формат 60 х 90/16 Тираж 100 экз. Условно-печатных листов 0,5 Заказ № 06-012

Отпечатано в рекламно-издательском центре "Медиа Формат"

Введение.

Глава 1. Непрерывное продолжение субголоморфных функций с замкнутых кругов

§1.1. Субголоморфные функции и их свойства.

§1,2. Формулировка и доказательство теоремы 1.

§1.3. Замечания.

Глава 2. Ст-продолжение субголоморфных функций # с замкнутых жордановых областей

§2.1. Формулировка теоремы 2.

§2.2. Теорема о сопряженной гармонической функции.

§2.3. Доказательство теоремы 2.

§2.4. Примеры и следствия теоремы 2.

Вначале приведем результат Дж. Вердеры, М.С. Мельникова и П.В. Парамонова, позволяющий понять: какой тип задач рассматривается в диссертации.

Теорема ВМП ([1]). Пусть В — открытый шар в M.N. Тогда всякую субгармоническую в шаре В функцию g (Е С1 (В) можно продолжить до субгармонической функции G £ С1(ШМ) с оценкой равномерной нормы ее градиента: ||VG||rjv < где с € (0,+оо) зависит только от N.

Перейдем к общей постановке задач нашей тематики (см. [2]). Пусть L — однородный эллиптический дифференциальный оператор в в частных производных с постоянными комплексными коэффициентами. Обобщенная функция / называется L-субаналитической на открытом множестве Q С М^, если всюду в Q выполняется неравенство Lf > 0 в обобщенном смысле. Через L+(Q) обозначим класс L-субаналитических на О (обобщенных) функций, причем, если L имеет вещественные коэффициенты, то будем считать, что класс L+(Q) состоит из вещественнозначных обобщенных функций. Так, при L = Д (оператор Лапласа) получаем: L+(fi) = SH(Q) — класс субгармонических функций, а при L = d/dz (оператор Коши-Римана в R2) L+(Q) = Л+(0) — класс субголоморфных функций (последний термин введен в работе автора [Z1]).

При m £ {0,1,. } через BCm(Q) обозначается класс всех комплексно-значных функций /, имеющих непрерывные ограниченные частные производные (по вещественным переменным) в Q до порядка т включительно. При нецелых положительных т = [т] + р, (где [т] — целая часть тп) через BCm(Q) обозначается класс функций / G у которых все

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №00-01-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект IIIII-2040.2003.1). частные производные порядка [т] принадлежат замыканию в BLip»(Q) пространства C°°(Rn)\q. Нормы ||/||т,п в пространствах BCm(Q) определяются стандартным образом. Для произвольного т > О обозначим через Cm(Q) класс всех функций / в Г) таких, что / £ ВСт(Е) для любого ограниченного открытого множества Е с условием ЕсП. Пространства стандартным образом наделяются топологиями Фреше. Пусть X — компакт в через Ст(Х) обозначим класс функций / на X, которые допускают продолжения до функций класса Норма ||/||т,л: в пространстве Ст(Х) равна inf{||F||miKJv}, где указанный infimum берется по всем возможным продолжениям F G ВСт(Шм), F\x = /■ Подробные определения всех перечисленных пространств и их норм приведены в §2.1 (главы 2) диссертации.

Задача 1. Каковы условия на компакт X (с внутренностью Х°) в WN и функцию / £ L+(X°) П Ст(Х), необходимые и достаточные для существования функции F G L+(RN) П Cm(RN) такой, что F\х = /.

Задача 2. Каковы условия на компакт X в необходимые и достаточные для того, чтобы для всякой функциии f G L+(X°) П Ст(Х) нашлась F е L+(Rn) П Cm(RN) такая, что F\х = /.

Отметим, что задачи 1 и 2 существенно упрощаются, если ограничиться функциями / G L+(U) П Cm(U), где U — зависящая от / окрестность компактаХ (см. [3]).

Насколько известно автору, задачи 1 и 2 пока рассматривались только для классов субгармонических функций (см. работы [1], [4], [5] и литературу в них) и для классов субголоморфных функций (см. [Z1] и [Z2]).

В работе М.С. Мельникова и П.В. Парамонова [4] получен аналог теоремы ВМП для двумерных областей типа Дини-Ляпунова. Напомним, что жорданова область D С С называется областью типа Дини-Ляпунова, если некоторое (а, значит, любое) конформное отображение к области

D на единичный круг В удовлетворяет следующим свойствам: функция к продолжается до СЯ-диффеоморфизма D на В, причем модуль непрерывности x(t) функции k'(z) в D (t > 0) удовлетворяет условию Дини:

JoVWAM* <

Теорема МП ([4]). Пусть D — область типа Дини-Ляпунова. Тогда найдется константа с = c(D) > 0 такая, что для любой функции g G SH(D) П Cl(D) существует G G SH(С) П С1 (С) с условиями G\d = g и ||VG||c < c||V^|b.

В случае ш 6 (1,3) теорема о Ст-продолжении субгармонических функций установлена П.В. Парамоновым для более широкого класса плос-ф ких областей — так называемых Б-областей. Напомним [5], что жорданова область D в С называется В-областью, если конформное отображение к внешности области D на внешность единичного круга с условиями Иоо) = оо и lim (k(z)/z) > 0 является билипшицевым, т.е. существует г->оо константа со > 1 такал, что

Cq1\z\ - z21 < \k(z{) - k(z2)| < col^i - z2\ при всех z\,z2 G С\D.

Теорема П ([5]). Пусть D - произвольная В-область, m G (1,3). Тогда найдется константа с = c(D,m) > 0 такая, что для любой функции g G SH{D)nCm(D) существует G G SH(C)nCm(C) с условиями G\s = 9 ||VC7||ralfC <

В работе [5] приведены примеры, показывающие, что случаи т G [0,1) U [3, оо) в контексте задачи 2 интереса не представляют. Точность теоремы МП (случай ш = 1) подтверждена в [4] соответствующим примером. Точность теоремы П не обсуждалась. Кроме того, в [5] доказывается локализационная теорема о Ст-продолжении субгармонических функций с произвольных плоских жордановых областей и рассматривается задача о £(рт-продолжении субгармонических функций.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Вердера Дж., Мельников М.С., Парамонов П.В. ^-аппроксимация и продолжение субгармонических функций // Матем. сборник. 2001. Т.192. т. С.37-58.

2. Парамонов П.В. О Ст-продолжении решений однородных эллиптических неравенств.//Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2002. С.149-150.

3. Gauthier P.M. Subharmonic extention and approximation. // Canadian Math. Bull. 1994. V.3T. P 4G-53

4. Мельников M.C., Парамонов П.В. СЯ-продолжение субгармонических функций с замкнутых жордановых областей в R2.//Известия РАН (Сер. матем.). 2004. Т.68. №6. С. 105-118.

5. Парамонов П.В. О Ст-продолжении субгармонических функций. // Известия РАН (Сер. матем.). 2005. Т.69. №6. С. 139-152.

6. O'Farrell A.G. Rational approximations in Lipschitz norms. П.// Proc. Royal Irish Acad. 1979. V. 79A. P. 104-114.

7. Verdera J. Cm-approximations by solutions of elliptic equationsand Calderon-Zygmund operators. // Duke Math J. 1987. V.55. №1. P. 157187.

8. Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С1 -норме. // Матем. сборник. 1990. Т.181. №10. С.1341-1365.

9. Hardy G.H. Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals.//n. Math. Z. 1932. V.34. P.403-439.

10. Gehring F.W., Martio О. Lipschitz classes and quasiconformal mappings.// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1985. V.10. P. 203-219.

11. Dyakonov K.M. Holomorphic functions and quasiconformal mappings with smoth moduli.//Adv. Math. 2004. V.187. P. 146-172

12. Dyakonov K.M. Strong Hardy-Littlewood theorems for analythic functions and mappings of finite distortion. //Math. Z. 2005. V 249. P. 597611.

13. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Мир, 1976.

14. Garnett J. Analytic capacity and measure. //Lecture Notes in Math. 297. Springer-Verlag. 1972.

15. Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений.// УМН. 1967. Т.22. №6. С.141-199.

16. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.:Мир, 1973.

17. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям. М.:Мир, 1969.

18. Pommerenke С.Н. Boundary behavior of conformal maps. Springer-Verlag. Berlin. 1992.

19. Долженко Е.П. О конформных отображениях жордановых областей. //Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. №4. С.66-68.

20. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

21. Либ Э., JIocc М. Анализ. Новосибирск. Научная книга. 1998.