Внешнее строение минимальных поверхностей параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5 3 0

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

сибирское отделение

институт математики

На правах рукописи УДК 517.95

ТКАЧЕВ Владимир Геннадьевич

ВНЕШНЕЕ СТРОЕНИЕ ШПШШЫШ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - т990

Работа выполнена ка к&фздра геометрия и анализа Волгоградского государственного ушгаерслтвта.

Научный руководитель - доктор физако-гатегь-нчвсиа

щук, профаееер В.У.132К£ш:св

Ортдагшьш сшеиента - даетор §лззко-ьата.атетесаш.

щук А.Д.Кшвшш,

«аук, додай С.К.Водтаьдаов.

Ведучазя ортгшгзшда - йветвтут пракяадаой математика

н механики АН УССР,

Защита состоится " "_ 1990 г. в час,

на заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР ( 630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан " "_ 1990 г.

" » / Ученый секретарь / / / специализированного совета / / / У! В.В.Иванов к.ф.-м.н..доцент ^____

А

„з^пта.".

о и (> - 3-

м .-<гпаЕа|

л ( ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В исследованиях последам десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций и внешней геометрией римановых многообразий, погруженных в евклидово пространство. Один из основных классов задач относится к минимальным поверхностям и поверхностям заданно* сродней кривизны и рассматривается в работах Ю.А.Аминова, А.А.Борисенко, Э.^-таби, В.Миияса, В^М.Миклюкова, Р.Оссермана, И.Х.Сабитова, Р.Финна, А.Т.Фоменко и других советских л зарубежных математиков. Ключевым вопросом во многих исследованиях является задача определения конформного тана погружаемого многообразия я тесно связанная с ним проблема описания пространства субгармонических функций на многообразии.

Дд.Милнором поставлена проблема определения конформного типа поверхности чере- её внешние и внутренние характеристики. Хорошо известно, что односвлзная открытая двумерная поверхность кс..$ормно эквивалентна либо плоскости, либо открытому кругу, т.о. имеет параболический или гиперболический конформный тап соответственно. В многомерном случае подобная классификация представляется затруднительной, но понятие типа поверхности лежат быть продолжено посредством введения таких понятий как о^ -емкость или о^.-модуль. Изучению емкостных методов по-звящени работы Ю.Г.Решвтняка, С.К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна, 1.А.Григорьяна, В.А.Зорича, А.П.Копылова, Л.Сарио и других ма-

^ Hilnor J. On deciding whether a surfaces are parabolic r hyperbolic// amer.Math.Month. 19??.- I>.45-^6.

тема гиков.

ОЛ

Калаби ' поставил проблему: существуют ли полные двумерные минимальны© поверхности в Р5 , содержащиеся в полупространстве (слое, шаре)? Для внешне полных поверхностей , т.е. поверхностей задаваемых посредством собственного погружения, ответ - лэпцатолен, как следует из недавней работы Миикса и Хоффшна^« С другой стороны, йорге и Ксавье построили пример внутренне полной минимальной поверхности, отличной от плоскости, расположенной в слое между параллельными плоскостями в ¡R5. Тем не менее в размерности три и внше судаствуэт нетривиальные минимальные поверхности вращения, расположенные между параллельными гиперплоскостями. Поэтому в многомерном случае и случае высокой коразмерности погружения, проблема Калаби связана с необходимостью дополнительных ограничений на геометрическое строение таких поверхностей.

Особое место в указанных построениях занимает непараметрический случай. Известная теорема С.Н.Бернщтейна утверждает, что график минимальной поверхности в , заданной над все,, плоскостью есть плоскость. Оказывается ', что в такой форме теорема

■^Kilnor J. On deciding whether a surfaces ore parabolic or hyperbolic// Amer.Kath.Month.- 1977.- V.84, 3?.45-46.

^Hoffaon D., Meeks W.n. 'i'he global theory of properly embedded minimal surfaces// Technical Rep. "-W-"</25015-5/Prepr.

^ Jorge L., Xavier F. A complete miniinql surfaces in between two parallel planes// Ann.Hatb.-1980.-V.112.-3?.205-206.

Simons J. Minimal varieties in Hiemannian manifolds// Ann.Math.- 1968,- V.88, H1. - P. 62-105.

остается верной лишь до размерности Kl=7^ и при Уь> & существуют отличные от гиперплоскости минимальные гипе-юверхности, однозначно определенные над BcetiJP^. В случае же когда поверхность имеет отличную от нуля постоянную среднюю кривизну Н> О, известно, например, что поверхность не тет лежать над крут, радиуса более чем .

Цель работы - исследование проблемы параболичности типа поверхностей предписанной средней кривизны в IR*", применение найденных признаков к изучению строения в целом минимальных поверхностей и их гауссова' отображения.

Методика исследования. В работе применяется модульно-ёмко-стная техника оценок решений эллиптических уравнений, обобщающих уравнение средней кривизны. Широко используется аппарат ковариантной производной для вычисления геометрических характеристик погружения.

Научная новизна. Следующие результата диссертаций являются новыми.

I. Доказаны различные достаточные условия параболично,сти и

гиперболичнс ги типа погруженного в IR'1 многообразия заданной

средне"' кривизны в терминах роста функции кратности проекция

О tv.

поверхности на фиксированнио подмножества «V .

II. Доказаны утверждения о строении предельного множества гауссова образа минимальной поверхности параболического типа. Приведены таюш некоторые оценки для протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности.

III. Определен класс целых решений уравнения типа средней кривизны и доказаны точные коли- -ствекные оценки роста средней

, е -

/

кривизны таких решений в различных областях из К .

Апробатая работа. Основные результаты диссертации докладывались на XXII Всесоюзной научной студенческой конференции (г. Новосибирск, 1984 г.), Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (г, Новосибирск, 1988 г.), на научных семинарах МГУ к Харьковского госуниверс тета ( январь, апрель 1989 г.), Новосибирского госуниверситета (ноябрь 1989 г.), Всесоюзной научной конференции по геометрическим методам в теории функций (г. Новосибирск, 1989 г.). Все результаты докладывались на сешнаре по нелинейному анализу Волгоградского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [.б] .

Содеокание диссертации. В главе I излагаются необходимые определения и предварительные утверждения. Особое место занимают предложения 1.3, 1.5 и 1.6, связывающие конформные характеристики погруженного многообразия со свойствами класса субгармонических функций на нем. Дадим необходимые определения.

Для двух замкнутых непересекающихся подмножеств Р аО. из и с!ч?г { определим о(.-емкость конденсатора (,Р .О.")

полагая я

м

где УЧ5 - градиент функции в метрике многообразия М и инфимум берется по всевозможным лишшцевым на М функциям Ч3 с компактным носителем, равным 1 на \г и и на

О. . Многообразие М называется -параболическим, если для любого компакта РеМ существует исчерпание {К Д ГГ, многообразия м открытыми мнокесгва: г-. ^ К Р с компактными

Оо

зашкаш.'j.O!, т.ч. м-и ^ и выполнено

W ооь^ Ср, М\ А О - 0. (I)

В случае oL-2 у ловимся говорить просто о параболичности типа многообразия. Если же соотношение CI) не имеет места, то M имеет гиперболический тип.

В главе приводятся основные утверждения, устанавливающие достаточные признак периодичности и гиперболичности типа погруженного в многообразия со слабо тастущей средней кривизной и некоторые геометрические следствия для минимальных поверхностей.

Пусть ОС: M-^R. - погружение класса С . Тогда затеет

место

Теорема 2.1. Пусть

(Мэх)_ |э-мерная поверхность в R^ с вектором средней кривизны 14(Л^О и р^ 2> . Тогда, если

SUD l<cc(m^HtntÎ>l-c ^ ^ (г)

me. M

то поверхнок . (_M-.CC?) имеег гиперболический тип.

Пр" iep, обсувдаемый в следующем пункте, показывает, что приводимое утверждение является точным, А именно, в случае равенства в (2) существуют отличные от плоского (и*-1") -мерные вложенные в многообразия, имеющие параболический тип.

Раздел 2.3 посвящен двумерным минимальным поверхностям в R3 и ¡R , для которых вводится понятие кратности проекции относительно фиксированных множеств: плоскости сфе-

ры - jÎJQ) - соответственно. я плоскости

Yc R3

и произвольной тг -ж обозначим через J\i^(v)-число точек пересечения ( с учетом кратности) прямой, трс. гтгпцей рез

ортогонально V . Справедлива

Теорема 2,2, Пусть (М ^х) - внешне полная минимальная поверхность в iR^ . Предположил, что для фиксированной плоско сти множествоХ(М)не пересекается с поверхностью, за

даваемой графиком некоторой непрерывной функции относительно V и выполнено условие

w ^ (3)

Й.-*»

Тогда (М^оа4) имеет параболический тип.

Пусть (э!^, - грассманово многобразие |< -мерных плоскостей в К*1" , проходящих через начало координат и -единственная мера Хаара на ^ , нормированная условием

Пусть СМ

- двумерная внешне полная поверхн- ть в . Для фиксированной (.УХ-^-мерной плоскости и произ-

вольного £>0 , обозначил через ело точек пересе-

чения 0( с частью образа ОЦМ"}, лежащей внутри шара радиуса с центром в нуле. Положим

&кг

В сдела1гшас прадпсяозкнниях тлеет место

Теорема 2.3. Пусть (_М.,о£) - двумерная внешне полная по ворхность в К с вектором средней кривизны , удовлетворяющим неравенств"'

Г>г£ М

для некоторого . Пусть также выполнено

гъ^ - о.

(4)

ил N. ^

То1ма (М имеет параболический тип.

В па 2.3 расс;,;атривг..этся непосредственные следствия из сформулированных выше утверждений и результатов главы I. Приведем

Следствие I. Пусть двумерная минимальная по-

верхность в для которой выполнено условие (4). Если су-

ществует гипернлос :ость П такая, чтоVI пХ(МУ-0 , то ОС(М) содержится в некоторой гиперплоскости П^ , параллельной П .

В п. 2.4 вводится характеристика ЗСО,?"4), определенная для (Х> 0 ,2 еЛ/ ддд дщмерных минимальных поверхностей в К"- , в предположении, что отображение проекции поверхности на некоторую . .вумерную плоское. ь\[~ ^ является собственным. Для так^х поверхностей величина /2) естественным образом обобщает понятие кратности проекции для гиперслучая, введенное выше и удовлетворяет неравенству, из которого вытекает, что порядок роста , по 2- на самом деле не зависит от значений параметра й- . В соответствии со сказанным, назовем (М,32) поверхностью с характеристикой слабого роста, если дая некоторого 0Ц> 0 (а значит и для любого > О ) дат функции

имеет место рас-одамо гь интеграла

-i-CNo

С cit

\ 1—лГ\ - + ^ -t f? (t)

20o С

Справедлива

Теорема 2.4. Двумерная минимальная поверхность в IR*1 С/ характеристикой слабого роста имеет хграболкческий тип.

В п. 2.5 обсуждается пример двумерной внешне полной минимальной поверхности в имеющей гиперболический конформный тип. Простым следствием этого примера является тот факт, что в существуют внешне полные минимальные поверхности, заключенные мезду двумя параллельными гиперплоскостями,и отличные от двумерной плоскости. Из наличия таких поверхностей вы-текас недостаточность требования внешней полноты для распространения теореш Миикса и Хоффмана на случай большой коразмерности.

Глава 3 посвящена минимальным поверхностям трубчатого типа и строению гауссова образа таких поверхностей. Г черхность (М^Х4) называется трубчатой ^ , если существует прямая в \Rh для которой сечение любой гиперплоскостью П^ ,

t £ ортогональной L , образа ОССМ4) является компактным или пустым множеством. Положил - полный интервал проек-

ции поверхности (И т ^с.4) на прямую L , т.е. множество тех

i для которых ^(."0 не пусто. Будем также всегда предполагать, что всякая часть множества СС(М") , заключенная между двумя параллельными гиперплоскостями, проходящими через интервал ортогонально , является компактной. Введем

Веденяшш Л.Д., Мяклюков В.М. 0 некоторых свойствах трубчатых минимальных гиперповерхностей// Матем.сборник -1986.- Т.131, № 2( It ). - С.240-250.

функцию радиуса обхвата трубчатой поверхности, положив Г * z \ —

p(-tb sup ( loetriAt- <эс(гй},1\ у ,

и - наименьший радиус обхвата: д1^^ ^ '

Класс трубчатых минимальных поверхностей введен В.М.Мик-люковым ( см. ' ) и является самым простым в конструктивном отношении, дая которого вычислены точные конформные характеристики. Ш распространяем некоторые утверждения из ^ на случай высокой коразмерности.

Теорема 3.2. Пусть

(М }х)

- трубчатая )р -мерная минимальная поверхность в к с интервалом проекции ММ) и S , Тогда - конечный интервал (р; b) длины

где - наименьший радиус обхвата.

Установлены такта количественные оценки скорости роста функции радиуса обхвата ^ОЛ для двумерных минимяльвдх поверхностей произвольной коразмерности. В предложениях 2.2 и 2.3 доказывается, что функция радиуса обхвата

логорифмически

выпукла, т.еЛп. ^С"^ иявляются выпуклыми дяя1п=5 и соответственно. Для поверхностей трубчатых в целом, т.е. когда [и1 выполнено соотношение

где Л = { , 1 5 - некоторая постоянн ая не зависящая от М- .

В данном пункте затрагивается также близкое к понятию трубчатости, понятие лент:• А именно, лентой называется тр>„-чатая относительно прямой С поверхность с непустым краем оМ

вдоль которого выполнено дополнительное условие:

— О , vv^^M . '

Для минимальных лент остаются справедливыми некоторые утверждения верные для трубчатых поверхностей. Так нацример, минимальная лэнта в целом имеет параболический тип.

В п. 3.3 вводится понятие гауссова отображения поверхности в R11", как соответствие, ставящее каждой точке Г>1- касательное пространство*"^^!, отождествленное с элементом Pt* грас-сманиана triy^ • Обозначим через вех да - угся мевду двумя плоскостями-^ ^^и определим экватор с полюсом 'Y^

как множество ^ 'Xr.i.Gtn '• öC^i \ .

Справедлива

Теорема 3.4. Пусть (М ^^ - двумерная минимальная повэр- . хнооть в параболического типа. Тогда замыкание гауссова образа М* пересекается с любым экватором , или

¿4 ьир есъд^ х.

. Пусть % - неограниченное открытое связное подмножество многообразия М , такое что'^'Й - компакт. Назовем такое множество кольцевым концом, если оно гомеоморфно проколотому кругу и рассмотрим произвольно исчерпание {АД конца семейством множеств K^A^.U к^'М с компактными замыканиями. Тогда

A(<DW К О^4 АкУ -

не зависит от выбора исчэрпг'шя и называется предельным множеством конца в грассма^иане. Имеет место

Теорема 3.5. Пусть двумерная минимальная поверх-

i .усть и - конец парабол!: некого типа. Тогда

(а) либо Апересекается с любым экватором Qn, ;

(Oy либо СОСТОИТ ИЗ едянет JHHOii ТОЧКИ ^ .

Если кроме того ГЪ является трубчатой поверхностью относительно прямой ^ , то в случае (б) имеет место равенство

f •

Глава 4 посвящена случаю гг ларамотрического задания поверхности', т.е. когда поверхность (Мимеет вид графика функции

i^i )••• > = -fC^ • Предположим, что^.(аЛ удовлетворяет уравнению

где . - область в R и 14(~М - непрерывная неубывающая функция одного переменного. Известны различные' результаты, касающиеся частных случаев (5), когда !4W=<X"L+{> и - постоянные чясла, т.ч. Ченг и Яу s' доказали, что при условии

знакопостоянства

Ш) и при выполнении не* О, любое решение уравнения (5) определенное в целой плоскости 1R1 должно быть линейной функцией. В п.4.1 доказывается белее общее утверждение, справедливое для целого класса уравнений типа сродней кривизны. А тленно, пусть ^ ^(^З^-е^ть Сг-век-

тор-функция, определенная HaQ* IP"", для которой выполнено

i=i

Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности,- М.: Мир, 1989.- 264 с.

^ Cheng G.Y., Yau Li.Т. Differential equatiom on Rieraanni-an ir.anifolds and their geometric applications // Comm.Pure &

Appl. Xath. - 1975.- V.T3, N3. - P. 333-354.

И' X ** АгСос^У^ О. 1=1

Тогда справедливо

Следствие 4.1. Пусть - решение уравнения

X НОМ,

1 =1 ^^

определенное всюду в К , за исключением, быть может, множества Р , шаадего И- -емкость нуль. Тогда

всюду в

. В частности,

(а) если - строго возрастает, то 1 а есг^ щщ любом значении П-^ 0- и произвольном виде оператора

(б) в специальном случае, когда •

А • - ' у ^ Г — » 1с г « Л- _

и выполнено 2. ^ ^ ^ 1 - линейная функция.

В п. 4.2 рассматриваются вопросы поведения решений (5) и средней кривизны

мси

в различных областях

е>с кг.

Определим от рытый слой

где Ч - (и.-р")-морная плоскость в к< и К^О , Теорема 4.3. Пусть

совпадает с некоторой из областей ГЦ р . Тхзгда, + л решения ^ СХ\ уравнения (5) в области О.

выполнено

я раво. ,гво достигается, например, г "да имеет вид

В п. 4.3 приводится пример, показывающий, что даже в случае компактной области

.О- , имеющей вид единичного шара 2> в 11^. существует решение уравнения (5) для которого (ЦС^С^!-^ при произвольном приближении СС к границе области^1 Ь . Приводимое далее утверздение показывает, что изолированная особенность устранима в слабом смысле. А именно, если - некоторая точка произвольной области С^!. и

- решение (5) в области

ч , то - ограничена

в окрестности С^ , причем выполнено неравенство

асьгСа , ) В заключительном пункте рассматриваются вопросы о целых т.е. определенных всюду,в , решениях (5) без предположения монотонности функции НО^ в правой части и в случае двух независимых переменных, Нетрудно заметить, что тогда существует обширное множество решений (5), например, произвольные радашсьяо-симметрические функции или функции, описывающие цилиндрические поверхности. Из доказываемого в раб те утверждения вытекает, в частности, что если поле вектор-градиентаV4 решения уравнения (5) во всей плоскости выпускает одно направление и средняя кривизна графика решения не меняет знака, то сам график является цилиндрической поверхностью.

Пользуясь случаем, приношу глубокую благодарность моему научному руководителю профессору В.М.Шклюкову за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения*

IG -

Работы автора по теме диссертации

1. Ткачев В.Г. Об одной теореме Ченга и Яо // XXII Всесо-юзн.научн.студ.конф,, Новосибирск, май 1984 г.: Новосибирск, 1984.- С. 66-68.

2. Миклнжов В.М., Ткачев В.Г. О строении в целом внешне полных минималь не поверхностей bIR5// Изв.вузов. Математика.-19(37.- М 7. - С. 30-36.

3. Ткачев В.Г. Условие параболичности типа двумерных минимальных поверхностей в IRa// Всесоюзн.конф. по геом.теории функций, г. Новосибирск, 18-20 окт. 1988. - Новосибирск, 1988.-

v. 101.

4. Миклшсв В.Ы., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности// Матем. сборник. - Т. 180, » 9. - С. I278-1295.

5с Ткачев В.Г, Признак параболичности конформного типа • двумерных минималы:^: поверхностей в IR'V/ Всесоюзн.конф. по гэоы."в целом", Новосибирск, 1987 г.: Новосибирск, 1987.-С. 119.

6. Ткачев В.Г. Некоторые свойства решений уравнения типа :сапиллярности в областях из IRV/ Тез. докл. УТ научн.конф. ВолГУ, г.Волгоград, 1989 г.: Волгоград, 1989.- 0.65.

ГУ

(9?