Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053. 2,9 <05

На правах рукописи

ПОПОВИЧ Милакка

ЦИКЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

01. 01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Б.А.Розенфельд. Научный консультант - доктор физико-математических наук

профессор Л.Е.Евтушик. Официальные оппоненты - доктор физико-маиематических нау

Ведущая организация - Белорусский государственный

университет

Защита, состоится Я-Эянваря 1992 г. в 14.00 на заседании

университете по адресу:

420 008, Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд, 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского университета

профессор А.П.Широков, кандидат физико-математических на доцент Н„И.Гусева.

специализированного- совета К 053. 120,05 в Казанском

Автореферат разослан

п

А »

декабря 1991 г.

Учёный секретарь специализированного совета доцакт

ШАЛУНОВ ЕЛ

Неевклидовы геометрии, включая геометрию Лобачевского, является одним из основных геометрических инструментов описания реального физического мира. Этим объясняется неослабевающий интерес к этим геометриям и в настоящее время. Г.Бек в начале века и советский ученый 3.А.Скопец в пятидесятые годы предложили различные способы изображения образов гиперболического пространства /пространства Лобачевского/. Так З.А.Скопец с помощью перпендикуляров, параллельных произвольной плоскости 6 гиперболического пространства и перпендикулярных выбранной плоскости Ж изображает различные плоскости 6 в виде кругов, орициклов или эквидистант плоскости Ж . В другой работе пространство //} проектируется на ори-сферу, в результате чего прямые и плоскости Н^ изображаются парами, точек и кругами на орисфере. Г.Бек предложил другую интерпретацию прямых пространства М, парами точек плоскости комплексного переменного и успешно применил эту модель в линейчатой геометрии пространства •

Ц0ль_^с<сеЕтащонной_работа состоит в продолжении указанных вше исследований и включении их в единую теорию. С этой целью в орбиту исследования включаются циклографические изображения гиперболического пространства //3 многообразиями кругов на евклидовой плоскости Е^ I конфрршюй плоскости Г"! г. и эллиптической плоскости и в виде многообразия циклов /кругов, эквидистант, орициклов/ гиперболической плоскости Нг» а также тесно связанные с этими изображениями изображения прямых пространства парами точек указанных плоскостей. На этой основе продолжено исследование линейчатой дифференциальной геометрии в Н3 »

Актуальность_темы диссертадии подтверждается данной выше кратйбй исторической справкой. Автору этой работы хотелось бы также посвятить ее 200-летию со дня рождения Лобачевского.

Новизна результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов. Содержание основных результатов диссертации будет приведено ниже.

Научная значшюатъ^вз^^татов_щосе£тадши Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях по неевклидовой геометрии, связанных с различными их моделями и их приложениями в исследовании линейчатых образов. Основной материал диссертации может быть использован также при ■чтении специальных курсов в университетах и педагогических вузах, проводящих исследования по близкой тематике.

• Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре то классической дифференциальной геометрии в МГУ, семинаре по геометрии в МПГУ, на Научной конференции в университете дружбы народов.

Публдашяи_по теые_дассе£тациил Основное содержание диссертации отражено в публикациях [ь] , [2] и представлено к депонирова-шш.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, содержащих 13 параграфов. В канце диссертации. приведен список цитированной литературы.

Обзор осно^шх_рез2Дътатов_диссе£ТЩ®ил Первая глава "Циклография пространства Лобачевского" содержит 8 параграфов.. В первом параграфе приводятся основные факты циклографических отображений З.А.Скопеца пространства ^/3 в виде многообразия кругов на орисфере этого пространства и в виде многообразия циклов на плоскости этого пространства. В работах З.А.Скопеца. не рассматривается вопрос об изображениях движений пространства Нз на плоскости Мг. и. на орисфере. Во втором параграфе на основе первой интерпретации З.А.Скопеца строится изображение пространства на евклидовой плоскости и устанавливается,

что это изображение определяет интерпретацию Г.Бека'многообразия прямых пространства в виде многообразия нар точек плоскости комплексного переменного, причем оказывается, что найденный Г.Беком инвариант двух пар точек плоскости комплексного переменного равносилен двойному отношении соответствующих четырех комплексных чисел. Здесь же обнаруживается с новой точки зрения известный еще из "Эрлангенской программы" Ф.Клейна факт изоморфизма группы движений пространства Нъ и группы дробно-линейных преобразований плоскости комплексного переменного, которую можно рассматривать также как группу круговых преобразований конформной /инверсивной мёбиусовой/ плоскости . Б третьем параграфе те же факты доказываются с помощью стереографической проекции абсолюта пространства Нз на плоскость . Здесь же доказывается, что при изображении кругов плоскости точками идеальной области пространства И $ угол между кругами равен расстоянии между изображающими эти круги точками пространства Нц, . В четвертом параграфе рассматривается изображение пучков, и связок прямых плоскости прямыми и плоскостями пространства Н3 и в связи с • этим производится классификация пучков и связок прямых плоскости E¿ . В пятом параграфе рассматриваются образы симметрии плоскости Нг. и их изображение образами симметрии пространства Нъ . Здесь же найдено представление точек и прямых пространства комплексными матрицами второго порядка и. получены формулы, выражающие метрические инварианты этих образов симметрии о помощью произведений соответствующих матриц, при этом как частный случай полученных общих закономерностей получаются формулы из результатов В.Фенхеля и Ч.Доличанина. Б шестом параграфе аналогичное изображение кругов эллиптической плоскости Sg строится также о помощью точек пространства, а в седьмом параграфе -аналогичное изображение многообразия циклов гиперболической

плоскости Н* в пространстве" //з . В обоих случаях найдены изображения прямых плоскостей Нг и 4 и абсолютов этих плоскостей в пространстве , а в случае Нг - также изображение многообразий кругов, эквидистант и орициклов. Так же как в пятом параграфе в шестом и седьмом параграфах проводится классификация пучков и связок кругов и циклов на плоскостях Б2. и Иг • В восьмом параграфе найдена связь между изображением циклов плоскости Н2. в пространстве со второй интерпретацией З.А.Скопеца: изображения циклов плоскости Н1 плоскостями, пространства. Из полярными плоскостями точек, изображающих эти циклы, совпадает с изображением циклов плоскости. Мг в циклографии З.А.Скопеца»

Вторая глава диссертации "Изображение прямых гиперболического пространства //} на конформной плоскости Нг, и эллиптической плоскости ¿2. " составляет одна параграф. В ней прежде всего изучаются циклографические изображения прямых гиперболического пространства //3 на конформной плоскости М^, найдены выражения координат точек, определяющих прямую пространства //3 и плшеровых координат этой прямой через комплексные числа, соответствующие паре точек плоскости Н^ > изображающих эту прямую. Найдены также выражения комплексных координат прямых, которые можно рассматривать как координаты точек комплексной сферы, изображающих прямые пространства //3 , черег комплексные числа, изображающие эти прямые. Полученная интерпретация многообразия прямых пространства Нь эквивалентна классической интерпретации А.П.Котельникова-Э.Штуди многообразия прямых пространства на комплексной сфере. Далее, на основании изображения прямых и плоскостей пространства //3 параш точек и кругами на орисфере пространства указана

возможность изображать прямые и плоскости пространства И3 парами точек и кругами на плоскости . Это отображение можно, получить также, проектируя ори сферу в Нг ее осями на абсолют пространства Я3 и рассматривая этот абсолют как сферу Римана комплексного переменного.

Третья, заключительная глава диссертации - "Применение циклографических методов изображения к дифференциальной геометрии гиперболического пространства И3 ".В первом параграфе указана возможность с помощью комплексной метрики многообразия трямюс гиперболического пространства, данной Г.Беком , шределения вещественной метрики многообразия прямых как 1-мерного симметрического пространства Картана / метрика псев-юевклидова/. Во втором параграфе главы изложенная теория фименяется к построению геометрии линейчатых поверхностей. !десь,в частности, находится геометрический смысл в интерпретации [а М^ параметра распределения линейчатой поверхности и на-:одится условие того, что линейчатая поверхность является азвертывающейся.В третьем параграфе дано применение изложен--ой теории к дифференциальной геометрии прямолинейных, конгру-нп.ий. Здесь найдено выражение тензора Куммера конгруенции ерез комплексные числа, изображающие прямые конгруенции,и оказано приведенное Г.Беком без доказательства утверждение, то в случае конгруенции нормалей к поверхности функция, ста-шцая в соответствие одной из точек плоскости комплекс -ого переменного, изображающих прямые конгруенции, вторую из этих эчек, является аналитической функцией. Б частности, в случае энгруенции перпендикуляров к "эквидистантной бочке" /поверх-эсги. вращения эквидастанты вокруг её базы - замечательной эверхности с локально евклидовой метрикой/ указанная функция эжет быть приведена к вздуО^ ' . В заключительном четвертом

параграфе главы изложенная теория применяется к дифференциальной геометрии комплексов прямых гиперболического пространства. Здесь, в частности, найден, геометрический смысл в интерпретации на плоскости кривизны комплекса и найдено условие того, что комплекс является специальным, то есть представляет собой совокупность касательных к поверхности. Устанавливается причина сходства теории линейчатой поверхности и комплекса прямых, состоящая в том, что с каждой прямой комплекса связаш линейчатая поверхность, проходящая через эту прямую, причём в метрике 4-мерного симметрического пространства в многообразии прямых эти комплекс и линейчатая поверхность изображаются гиперповерхностью и ортогональной кривой /в этом случае параметр распределения линейчатой поверхности определяет кривизну комплекса/.

Дубликации по теме диссертации:

1. Попович М. Приложения циклографических методов изображения к дифференциальной линейчатой геометрии гиперболического пространства //Тезисы докладов ХХУП научной конференции факультета физико-математических наук, Москва,, Издательство Университета дружбы народов, 1991. - С.148.

2. Попович М. Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства //3 //Труда геометрического семинара, Издательство КГУ, Казань, 1991 г. - С.

Сданы, в печать: I. Попович М. Изображение прямых гиперболического пространг-ства пъ на конформной плоскости Нг и эллиптической плоскости • Деп. в ВИНИТИ. 1991 г.

2. Попович М. Классификация пучков и связок кругов и циклов на плоскостях 5г. и Нг . Деп в ВИНИТИ. г.

3. Попович М. Применение к дифференциальной геометрии гиперболического пространства г13 циклографических методов изображения. Деп. в ВИН/ГГИ. г.-