Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Попович, Миланка АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ
1991 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.04 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства»
 
Автореферат диссертации на тему "Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства"

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053. 2,9 <05

На правах рукописи

ПОПОВИЧ Милакка

ЦИКЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

01. 01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1991

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Б.А.Розенфельд. Научный консультант - доктор физико-математических наук

профессор Л.Е.Евтушик. Официальные оппоненты - доктор физико-маиематических нау

Ведущая организация - Белорусский государственный

университет

Защита, состоится Я-Эянваря 1992 г. в 14.00 на заседании

университете по адресу:

420 008, Казань, ул.Ленина, 18, корпус 2, ауд, 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского университета

профессор А.П.Широков, кандидат физико-математических на доцент Н„И.Гусева.

специализированного- совета К 053. 120,05 в Казанском

Автореферат разослан

п

А »

декабря 1991 г.

Учёный секретарь специализированного совета доцакт

ШАЛУНОВ ЕЛ

Неевклидовы геометрии, включая геометрию Лобачевского, является одним из основных геометрических инструментов описания реального физического мира. Этим объясняется неослабевающий интерес к этим геометриям и в настоящее время. Г.Бек в начале века и советский ученый 3.А.Скопец в пятидесятые годы предложили различные способы изображения образов гиперболического пространства /пространства Лобачевского/. Так З.А.Скопец с помощью перпендикуляров, параллельных произвольной плоскости 6 гиперболического пространства и перпендикулярных выбранной плоскости Ж изображает различные плоскости 6 в виде кругов, орициклов или эквидистант плоскости Ж . В другой работе пространство //} проектируется на ори-сферу, в результате чего прямые и плоскости Н^ изображаются парами, точек и кругами на орисфере. Г.Бек предложил другую интерпретацию прямых пространства М, парами точек плоскости комплексного переменного и успешно применил эту модель в линейчатой геометрии пространства •

Ц0ль_^с<сеЕтащонной_работа состоит в продолжении указанных вше исследований и включении их в единую теорию. С этой целью в орбиту исследования включаются циклографические изображения гиперболического пространства //3 многообразиями кругов на евклидовой плоскости Е^ I конфрршюй плоскости Г"! г. и эллиптической плоскости и в виде многообразия циклов /кругов, эквидистант, орициклов/ гиперболической плоскости Нг» а также тесно связанные с этими изображениями изображения прямых пространства парами точек указанных плоскостей. На этой основе продолжено исследование линейчатой дифференциальной геометрии в Н3 »

Актуальность_темы диссертадии подтверждается данной выше кратйбй исторической справкой. Автору этой работы хотелось бы также посвятить ее 200-летию со дня рождения Лобачевского.

Новизна результатов диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов. Содержание основных результатов диссертации будет приведено ниже.

Научная значшюатъ^вз^^татов_щосе£тадши Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях по неевклидовой геометрии, связанных с различными их моделями и их приложениями в исследовании линейчатых образов. Основной материал диссертации может быть использован также при ■чтении специальных курсов в университетах и педагогических вузах, проводящих исследования по близкой тематике.

• Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре то классической дифференциальной геометрии в МГУ, семинаре по геометрии в МПГУ, на Научной конференции в университете дружбы народов.

Публдашяи_по теые_дассе£тациил Основное содержание диссертации отражено в публикациях [ь] , [2] и представлено к депонирова-шш.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав, содержащих 13 параграфов. В канце диссертации. приведен список цитированной литературы.

Обзор осно^шх_рез2Дътатов_диссе£ТЩ®ил Первая глава "Циклография пространства Лобачевского" содержит 8 параграфов.. В первом параграфе приводятся основные факты циклографических отображений З.А.Скопеца пространства ^/3 в виде многообразия кругов на орисфере этого пространства и в виде многообразия циклов на плоскости этого пространства. В работах З.А.Скопеца. не рассматривается вопрос об изображениях движений пространства Нз на плоскости Мг. и. на орисфере. Во втором параграфе на основе первой интерпретации З.А.Скопеца строится изображение пространства на евклидовой плоскости и устанавливается,

что это изображение определяет интерпретацию Г.Бека'многообразия прямых пространства в виде многообразия нар точек плоскости комплексного переменного, причем оказывается, что найденный Г.Беком инвариант двух пар точек плоскости комплексного переменного равносилен двойному отношении соответствующих четырех комплексных чисел. Здесь же обнаруживается с новой точки зрения известный еще из "Эрлангенской программы" Ф.Клейна факт изоморфизма группы движений пространства Нъ и группы дробно-линейных преобразований плоскости комплексного переменного, которую можно рассматривать также как группу круговых преобразований конформной /инверсивной мёбиусовой/ плоскости . Б третьем параграфе те же факты доказываются с помощью стереографической проекции абсолюта пространства Нз на плоскость . Здесь же доказывается, что при изображении кругов плоскости точками идеальной области пространства И $ угол между кругами равен расстоянии между изображающими эти круги точками пространства Нц, . В четвертом параграфе рассматривается изображение пучков, и связок прямых плоскости прямыми и плоскостями пространства Н3 и в связи с • этим производится классификация пучков и связок прямых плоскости E¿ . В пятом параграфе рассматриваются образы симметрии плоскости Нг. и их изображение образами симметрии пространства Нъ . Здесь же найдено представление точек и прямых пространства комплексными матрицами второго порядка и. получены формулы, выражающие метрические инварианты этих образов симметрии о помощью произведений соответствующих матриц, при этом как частный случай полученных общих закономерностей получаются формулы из результатов В.Фенхеля и Ч.Доличанина. Б шестом параграфе аналогичное изображение кругов эллиптической плоскости Sg строится также о помощью точек пространства, а в седьмом параграфе -аналогичное изображение многообразия циклов гиперболической

плоскости Н* в пространстве" //з . В обоих случаях найдены изображения прямых плоскостей Нг и 4 и абсолютов этих плоскостей в пространстве , а в случае Нг - также изображение многообразий кругов, эквидистант и орициклов. Так же как в пятом параграфе в шестом и седьмом параграфах проводится классификация пучков и связок кругов и циклов на плоскостях Б2. и Иг • В восьмом параграфе найдена связь между изображением циклов плоскости Н2. в пространстве со второй интерпретацией З.А.Скопеца: изображения циклов плоскости Н1 плоскостями, пространства. Из полярными плоскостями точек, изображающих эти циклы, совпадает с изображением циклов плоскости. Мг в циклографии З.А.Скопеца»

Вторая глава диссертации "Изображение прямых гиперболического пространства //} на конформной плоскости Нг, и эллиптической плоскости ¿2. " составляет одна параграф. В ней прежде всего изучаются циклографические изображения прямых гиперболического пространства //3 на конформной плоскости М^, найдены выражения координат точек, определяющих прямую пространства //3 и плшеровых координат этой прямой через комплексные числа, соответствующие паре точек плоскости Н^ > изображающих эту прямую. Найдены также выражения комплексных координат прямых, которые можно рассматривать как координаты точек комплексной сферы, изображающих прямые пространства //3 , черег комплексные числа, изображающие эти прямые. Полученная интерпретация многообразия прямых пространства Нь эквивалентна классической интерпретации А.П.Котельникова-Э.Штуди многообразия прямых пространства на комплексной сфере. Далее, на основании изображения прямых и плоскостей пространства //3 параш точек и кругами на орисфере пространства указана

возможность изображать прямые и плоскости пространства И3 парами точек и кругами на плоскости . Это отображение можно, получить также, проектируя ори сферу в Нг ее осями на абсолют пространства Я3 и рассматривая этот абсолют как сферу Римана комплексного переменного.

Третья, заключительная глава диссертации - "Применение циклографических методов изображения к дифференциальной геометрии гиперболического пространства И3 ".В первом параграфе указана возможность с помощью комплексной метрики многообразия трямюс гиперболического пространства, данной Г.Беком , шределения вещественной метрики многообразия прямых как 1-мерного симметрического пространства Картана / метрика псев-юевклидова/. Во втором параграфе главы изложенная теория фименяется к построению геометрии линейчатых поверхностей. !десь,в частности, находится геометрический смысл в интерпретации [а М^ параметра распределения линейчатой поверхности и на-:одится условие того, что линейчатая поверхность является азвертывающейся.В третьем параграфе дано применение изложен--ой теории к дифференциальной геометрии прямолинейных, конгру-нп.ий. Здесь найдено выражение тензора Куммера конгруенции ерез комплексные числа, изображающие прямые конгруенции,и оказано приведенное Г.Беком без доказательства утверждение, то в случае конгруенции нормалей к поверхности функция, ста-шцая в соответствие одной из точек плоскости комплекс -ого переменного, изображающих прямые конгруенции, вторую из этих эчек, является аналитической функцией. Б частности, в случае энгруенции перпендикуляров к "эквидистантной бочке" /поверх-эсги. вращения эквидастанты вокруг её базы - замечательной эверхности с локально евклидовой метрикой/ указанная функция эжет быть приведена к вздуО^ ' . В заключительном четвертом

параграфе главы изложенная теория применяется к дифференциальной геометрии комплексов прямых гиперболического пространства. Здесь, в частности, найден, геометрический смысл в интерпретации на плоскости кривизны комплекса и найдено условие того, что комплекс является специальным, то есть представляет собой совокупность касательных к поверхности. Устанавливается причина сходства теории линейчатой поверхности и комплекса прямых, состоящая в том, что с каждой прямой комплекса связаш линейчатая поверхность, проходящая через эту прямую, причём в метрике 4-мерного симметрического пространства в многообразии прямых эти комплекс и линейчатая поверхность изображаются гиперповерхностью и ортогональной кривой /в этом случае параметр распределения линейчатой поверхности определяет кривизну комплекса/.

Дубликации по теме диссертации:

1. Попович М. Приложения циклографических методов изображения к дифференциальной линейчатой геометрии гиперболического пространства //Тезисы докладов ХХУП научной конференции факультета физико-математических наук, Москва,, Издательство Университета дружбы народов, 1991. - С.148.

2. Попович М. Циклографические методы начертательной геометрии гиперболического пространства //3 //Труда геометрического семинара, Издательство КГУ, Казань, 1991 г. - С.

Сданы, в печать: I. Попович М. Изображение прямых гиперболического пространг-ства пъ на конформной плоскости Нг и эллиптической плоскости • Деп. в ВИНИТИ. 1991 г.

2. Попович М. Классификация пучков и связок кругов и циклов на плоскостях 5г. и Нг . Деп в ВИНИТИ. г.

3. Попович М. Применение к дифференциальной геометрии гиперболического пространства г13 циклографических методов изображения. Деп. в ВИН/ГГИ. г.-