Геометрия многообразия направлений физического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЯ НАПРАВЛЕНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

I

I

I

' 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003 год

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор КОЗЛОВ Сергей Емельянович.

ОФФИЦИАЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор БИБИКОВ Юрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент КОБЕЛЬСКИЙ Виктор Леонидович.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургское (Ленинградское) отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Защита состоится «<? » г. в

- - —т-

■7 т часов на заседании диссертационного совета

Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в СПбГУ. Адрес: 198940, Санкт-Петербург, Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механичекий факультет .

Защита состоится по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. Фонтанки, 27(ПОМИ), зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной Библиотеке им. Горького по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ^ » 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Нежинский В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Математической моделью пространства-времени в «■ специальной теории относительности служит точечное

псевдоевклидово пространство Минковского М с сигнатурой (+,-,-,-). Соответствующее четырехмерное векторное пространство обозначим мо • Естественно считать, что двумерное псевдоевклидово пространство М1 с сигнатурой (+,-) является математической моделью пространства-времени на прямой. Это замечание поясняет смысл введенного Г. Минковским [8] определения :

Направлением физического пространства называется двумерное ориентированное, времениподобное(т.е. содержащее вектор с положительным скалярным квадратом) подпространство пространства мо •

Некоторые геометрические вопросы, связанные с этим понятием, рассмотрены в [9] . По определению, совокупность С1 направлений физического пространства является подмножеством грассманиана 01(Ма) • В

работе [5] показано, что подмножество С1 открыто в вЦМ0) и гомеоморфно многообразию (52 xS2)\diag(Sг х52) •

Там же построено каноническое плюккерово вложение Р многообразия б1 в пространство бивекторов А2(М0) I позволяющее отождествить б1 с образом рцэ') • Скалярное произведение в мо индуцирует на шестимерном пространстве д2(М0) структуру псевдоевклидова пространства с сигнатурой (+>+>+___).

Подмногообразие Р(<51) с Л2(А/0), с индуцированной на нем псевдоримановой метрикой (+,+,-,-), является одно-связным псевдоримановым глобально симметрическим неприводимым пространством.

В римановом случае, изометрическая классификация симметрических односвязных пространств принадлежит Э. Картану. Основным инструментом в этой классифи-

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ} БИБЛИОТЕКА | С.Пе«р6ур? Г и Л 09 тооЗ »»У

кации является сопоставление симметрическим пространствам компактной полупростой алгебры Ли, снабженной инволютивным автоморфизмом.

В псевдоримановом случае каждому симметрическому пространству приходится сопоставлять тройку: __

(G,cr,B), где G - алгебра Ли (не обязательно полупростая) , ет - инволютивный автоморфизм на этой алгебре, В - квадратичная форма на G, инвариантная [ относительно а. В работах [10] и [11] дана классификация односвязных псевдоримановых симметрических пространств с невырожденной формой метрики.

В [5] найдена явная формула для произвольной геодезической кривой псевдориманова многообразия G1 • В работе [6] построено гауссово отображение произвольной мировой линии ус.М в многообразии G1 и доказан аналог известной теоремы Фенхеля для замкнутых кривых в R3.

В книгах [4] и [7] бивекторы пространства Л2(М0)

выступают в виде кососимметрических тензоров второго ранга. Эти тензоры физически можно интерпретировать как постоянные электромагнитные поля в пространстве Минковского. При этом подмногообразие G1 cAj(M0) играет роль «комплексной сферы» в естественной комплексной структуре пространства Аг(М0) (см.[7], глава III, п.25). В силу вышесказанного, геометрия многообразия G1 может рассматриваться как математическая модель важных в релятивистской физике объектов.

Цель работы состоит в изучении внутренней (псев-доримановой) и внешней (при плюккеровом вложении) геометрии многообразия G' направлений физического пространства. Одним из вопросов является описание всех двумерных вполне геодезических поверхностей многообразия G' .

I

Методы. Основные результаты получены при помощи методов полилинейной алгебры, теории погруженных

поверхностей, римановой и псевдоримановой геометрии.

Научная новизна. Все результаты данной работы являются новыми. Выделим следующие основные:

1. Найдены пять типов вполне геодезических, связных, геодезически полных двумерных подмногообразий многообразия б1, среди которых есть неодно-связные и с вырожденной метрикой. Многообразия одного типа Лоренц-совместимы, значит изометричны, а разных типов - не изометричны. Доказано отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий б1 . Эти результаты вместе с работой [6] дают полное описание вполне геодезических подмногообразий в б1.

2. Вычислена вторая основная форма плюккерова вложения р: в1 -» Л2(ЖГ0) •

3. Найдены представления тензора и преобразования кривизны многообразия С1 .

4. Описаны явные представления для полей Яко-би, а также сопряженные точки вдоль произвольной геодезической многообразия С1.

Теоретическая и практическая Значимость работы.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для развития математического формализма в релятивистской физике.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на общегородском геометрическом семинаре в П0-МИ и научных семинарах кафедры высшей геометрии.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-3], перечисленных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 88 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав, предметного указателя и списка литературы из 39 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор результатов, полученных диссертантом. Основные результаты работы содержаться в теоремах: 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4, 3.1.12, 3.1.14, 3.2.3.

Скалярное произведение в пространстве Минковско-го естественным образом индуцирует структуру псевдоевклидова пространства во внешней алгебре Л(Л/0) •

Первая глава посвящена изучению исходных вопросов псевдоевклидовой геометрии пространства Л(М0)• При

этом некоторые чисто алгебраические факты приобретают наглядное геометрическое освещение. Кроме того, при естественных требованиях ортогональности ряд изучаемых объектов приобретает свойство единственности. Эту главу можно рассматривать, как разработку и удобную для применения формулировку алгебраического аппарата, используемого в дальнейшем для изучения внутренней и внешней геометрии многообразия С1 ■

Определение: Билинейное отображение

называется операцией внутреннего умножения, если для любых и,6ЛДЛ/0)/ т е АЯ(М0) / ф е Кр_ч(М0) справедливо <ю1_Г , <р>-<V*, Т Л<р>.

При р — <1 операция внутреннего умножения совпадает со скалярным произведением.

Зафиксируем временную ориентацию четырехмерного пространства Минковского. В одномерном пространстве Л4(Л/0) выберем один из двух возможных единичных

4-векторов Е, Е1 =-1. При фиксированной временной ориентации Ч* этот выбор эквивалентен выбору пространственной ориентации. Если фиксировать какую-

нибудь допустимую тетраду Минковского е = (е0,е1,е2,е3) / то Е = е0 ле, ле2 ле3 •

Определение: Линейный оператор называется оператором Ходжа.

Для любых и>,йеЛ2(М0) выполняются равенства:

(♦ = -(и», й) ! (* {?) = {и»,*>5) I * = -и» ■

При помощи оператора , Ходжа в пространстве Л2(Л/0)

можно ввести структуру комплексного линейного пространства, определив умножение вектора на комплексное число следующим образом:

Пространство А2(М„) с операцией комплексного умножения является трехмерным комплексным векторным пространством, обозначим его СЪ(М0) • Комплексная структура на А2(М0) вводится канонически, в том смысле, что не зависит от выбора базиса пространства Л2(М0)г причем преобразование Лоренца пространства Минковского индуцирует изоморфизм комплексного векторного пространства с3(А/0) •

Определение: Конусом простых бивекторов назовем множество кг :={и>еА2(М0):-и>=ел/} •

Справедлива эквивалентность:

■№еК2 <=> (*»-,и) = (*',*»»'} = 0 •

Каждой ориентированной плоскости пространства Минковского аес' однозначно соответствует простой мнимо единичный бивектор р(а) := м/ • Таким образом, имеем отображение

Р-.в1 ->К2пБ- :=<3', где ={^еЛ2(М0)| м-2 =-1} •

Из свойств скалярного произведения и оператора Ходжа следует

Теорема 1.3.1: Подмногообразие с1 пространства А2(М0) можно задать системой из двух уравнений

<М,\1>>=—1 г <М','*>С>=0'

Отображение Р осуществляет канонический диффеоморфизм между многообразием С1 и подмногообразием и' с. А2(М0) (см. [5] ) , что позволяет отождествить эти

многообразия. Многообразие Б1 (отождествленное с с?1) лежит в псевдоевклидовом пространстве А2(М0) > поэтому оно несет на себе индуцированную псевдориманову метрику сигнатуры (+,+,--).

В пространстве д2(М0) (как в аффинном псевдоевклидовом пространстве е') имеется абсолютное параллельное перенесение векторов. Оно порождает в пространстве е6 связность Леви-Чивита V псевдорима-нова многообразия £® • Геодезическими в этой связности являются прямые, а преобразование кривизны тождественно равно нулю.

При помощи отображения вложения б1 с А2/ на многообразии б1 индуцируется структура псевдориманова многообразия. В силу невырожденности псевдоримано-вой метрики на > индуцированная из Л2(М0) связность V также является связностью Леви-Чивита.

Далее, в зависимости от контекста, под элементом усеО1 мы будем понимать либо двумерное подпространство пространства Минковского ма > либо бивектор из внешней алгебры А(М0) ■

Вторая глава посвящена общим вопросам геометрии вложения С,сА2- В ней найдены: явная формула для второй основной формы вложения, преобразование и тензор кривизны, секционная кривизна и кривизна Риччи. Доказана симметрическая структура многообразия б1, приведены примеры трансвекций и их связь с

преобразованием Лоренца исходного пространства Мин-ковского. Найдены явные представления для полей Якоби вдоль произвольной геодезической. А также, классифицированы фокальные и сопряженные точки вдоль любой геодезической.

Согласно теореме 2.1.1 (из параграфа 2.1), вторая основная форма вложения С'сЛ2 в точке

где угУ ~ связность в л2, у^У - связность в в1, Х,¥еТкС'1 выражается через оператор Ходжа и скалярное произведение

В„(Х, У) =< X, У >„ мч- < Х,*У >„ ** •

Также в параграфе 2.1, найдены формулы для преобразования и тензора кривизны

Теорема 2.1.4: Тензор и преобразование кривизны многообразия б' соответственно равны

(Щи, ч)м>, г)=(и, и'){у, г) - (у, м)(и, г) - («,*н'){* V, г)+(у,*н>)(* и, г) Я(и, v)■w = (u, м^у - (у, \vjti* и ■

Для пары бивекторов Х^еТС'г удовлетворяющих

Д(Л\У) :=< Х,Х >< У,У > - < Х,У >г* О,

по аналогии с римановым случаем, можно вычислить секционную кривизну в направлении двумерной площадки а = Пп{Х, У)

Г) ■

' А(Х,У)

Из теоремы 2.1.2 следует, что секционная кривизна равна

, <Х*ХхУ*У>-<Х,*Г>г

К =-1 +-5-г—г—-^-'

ЛГ2У2-<*,У>2

и принимает всевозможные вещественные значения (т.е. не ограничена).

Многообразие С1 является многообразием постоянной нулевой кривизны Риччи, это непосредственно следует из утверждения 2.1.7.

В параграфе 2.2, доказана симметрическая структура С', а также показана связь трансвекций вдоль любой геодезической с преобразованием Лоренца исходного пространства Минковского.

Содержанием последней третьей главы является (независимая от работ [10] и [11]) классификация вполне геодезических подмногообразий многообразия в1. Найдено пять типов вполне геодезических подмногообразий, причем многообразия разных типов неизо-метричны, а одного типа Лоренц-совместимы. Доказано, что любое двумерное геодезически полное связное вполне геодезическое подмногообразие многообразия С1 Лоренц-совместимо с многообразием одного из пяти типов. Для всех пяти типов подмногообразий найдены их явные параметризации и наглядное представление в модели Кэли-Клейна. В параграфе 3.2 доказывается отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий многообразия С1 •

Для произвольного вектора ее.М0 определены линейное пространство

Ще) :={м'еЛ2(Л/0)|м>ле = 0,е*0}с Л2(М0) и множества Ф(е):=Ж(е)глС' и ф'(е)^*Ще)пО' ■ Из определения множеств ф(е) и Ф'(е) следует, что они однозначно определяеются выбором прямой содержащей вектор ееМ0 ■ Строение множеств зависит

от типа вектора е (времениподобный, пространственно подобный или световой), так любые два направления одного типа Лоренц-совместимы, а значит и

изометричны. Из утверждения 3.1.6 следует, что ф(е)

и Ф'(е) являются двумерными подмногообразия многообразя с1, причем,

- если вектор е - времениподобный, то многообразие ф(е) - сфера с сигнатурой (-,-), а

Ф' (е) = 0 ;

- если е пространственноподобный, то ф(е) -двуполостный гиперболоид с сигнатурой ( + ,+), Ф'(е) ~ однополостный гиперболоид с сигнатурой (+,-);

- если е изотропный, то ф(е) и Ф*(е) - пара плоскостей с вырожденой метрикой.

Фиксируем допустимую тетраду Минковского

Подмногообразия Ф(е1) и ф(е0±е,) состоят из двух

диффеоморфных между собой компонент связности. Этот диффеоморфизм есть умножение на (-1) в пространстве д2(М0) • Компоненты связности, содержащие н> = е01/ обозначим соответственно Ф+(е,) и ф+(е0±е,), а компоненты связности, содержащие (->с) = (-е01) ~ Ф'(е,) и Ф'(е0±е,)-

По аналогии с многообразиями ф(е) и Ф*(е) * Для произвольного простого мнимо единичного бивектора шеб' определим множество

фа (и-) (/.¡«(и^и-))1 •

Из леммы 3.1.9 следует, что множество ф (е„)

<7V 02/

представимо в виде

ФЛе<а) = ехр«., (1/п(е02, е31)) г а из теоремы 3.1.8, что Фст(е02) является плоским

вполне геодезическим цилиндром (геодезически полным связным двумерным подмногообразием с сигнатурой (_>+)) в многообразии б1. Так как множество преобразований Лоренца транзитивно действует на многообразии в1, то любые два многообразия Фа(у/) и Фа(уг) Лоренц-совместимы, а значит и изометричны.

Теорема 3.1.12: Любое полное вполне геодезическое связное двумерное подмногообразие ФсС' Лоренц-совместимо с одной из пяти поверхностей: Ф(е0)~ сфера с антиевклидовой метрикой;

2 • Ф*(е1) ~ полость двуполостного гиперболоида вращения;

3. Ф'(е3)~ однополостный гиперболоид вращения; 4- Ф*(е„±е1)~ плоскость с вырожденной метрикой; 5. ф^(ею)- плоский вполне геодезический цилиндр.

Для всех пяти типов вполне геодезических многообразий существует их наглядное представление в модели Кэли-Клейна. Это представление дает теорема

Теорема 3.1.14: В модели Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре вполне геодезическому подмногообразию

1 • Ф(е0) соответствует множество направленных

хорд шара £>3, проходящих через центр £>3 ;

2. Ф(е,) соответствуют направленные хорды шара, параллельные (в пространстве Минковского) вектору е\'

3. Ф(е0±е,) соответствуют направленные хорды,

проходящие через точку на границе шара Б3 ;

4- ф*(е3)соответствуют направленные хорды шара,

лежащие в одной плоскости £)3 пЫп(е0,е,,е2)!

5. Ф„(е01) соответствуют направленные хорды шара

Б3, ортогонально пересекающие хорду ^ = Б3 п Ш(е0,е3) •

Теорема 3.1.11: Псевдоримановы многообразия ф(е) и Ф'(е) являются пространствами постоянной секционной отрицательной кривизны (-1), а многообразие Фа{ч>) ~ плоское.

Любое изохронное преобразование Ь индуцирует движение Ь пространства Лобачевского Б3 (см.

[13]) . Так как движение Ь переводит хорды в хорды, то поверхность Цф(е0)) будет моделироваться в И3 семейством направленных хорд, проходящих через какую-нибудь точку шара О3.

Поверхности /,(Ф(е0 + е,)) моделируются семейством

направленных хорд, проходящих через какую-либо точку граничной сферы шара /)3.

Поверхность ЦФ(е,)) моделируется семейством направленных хорд, ортогональных (в метрике Лобачевского) к некоторому плоскому сечению шара £)3. Если это сечение не содержит центра шара В3, то все прямые этих хорд пересекаются в одной точке, не принадлежащей с1оя(Е)>) •

Для поверхностей ф(е0 + е,) и ф(е,) выбор направления "входящих" или "исходящих" из соответствующей точки хорд дает разбиение этих поверхностей на две компоненты связности. Для самих многообразий Ф это полости гиперболоида и плоскости соответственно.

Поверхности Ь(Ф(е3)) моделируются семейством направленных хорд, лежащих в некотором плоском сечении шара В3. А поверхностям ЦФа(еп)) соответствуют

направленные хорды шара О3, ортогонально пересекающие (в метрике Лобачевского) некоторую хорду £ шара О3.

В параграфе 3.2 доказывается отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий многообразия б1.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

2. Иванов Д.В., Вполне геодезические подмножества многообразия направлений физического пространства. -Зап. научи, семин. ПОМИ 279 (2001),141-153.

2. Иванов Д. В., Козлов С.Е., Классификация вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. -Зап. научн. семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

3. Иванов Д.В., Отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. - Зап. научн. семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

4. Дубровин Б.А. Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979 г. 760 с.

5. Козлов С.Е., Топология и Лоренц-инвариантная псевдоевклидова метрика многообразия направлений в физическом пространстве. -Зап. Научн. Семин. ПОМИ 246 (1997) , с 141-151.

6. Козлов С.Е., Поворот одномерного направления в физическом пространстве для периодической частицы. -Зап. научн. семин. ПОМИ №252 (1998).

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, Т.2. Теория поля, изд. 4-е испр. И доп. - М. : Наука (1973).

8. Минковский Г., Пространство-время. Физика, СПб (1991).

9. Пименов Р. И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства времени). - Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 6 (1968), 496 с.

10. Cahen M, Parker M, Pseudo-riemannian symmetric spaces, Memois of AMS, vol. 24, 1980, 109p.

11. Berger M., Les espaces symmëtriques non compacts, Ann. Ecole Norm., 74, 1957, 85-177.

ЛР№ 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 01.21.2002 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №340. НИИ химии СПбГУ. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

Бесплатно. _______—•

¡

i

J

i

\

f t

введение.

глава 1. модель многообразия направлений физического пространства во внешней алгебре.

1.1. Топологическая структура.

1.1.1. Многообразие направлений физического пространства.

1.1.2. Модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского (в шаре).

-1.1.3. Функции пространственной и временной ориентации тетрад Минковского.

1.1.4. Преобразования Лоренца. Тетрады Минковского. 22 1.1.5.Топологическая структура многообразия направлений физического пространства.

1.2. Некоторые сведения из внешней алгебры.

1.2.1. Евклидова структура на внешней алгебре над четырехмерным пространством Минковского.

1.2.2. Псевдоевклидово скалярное произведение на внешней алгебре.•.

1.2.3. Оператор Ходжа в пространстве бивекторов

1.2.4. Специальное представление бивектора.

1.2.5. Комплексная структура в пространстве бивекторов.

1.3. Геометрия вложения многообразия G1 в пространство бивекторов.

1.3.1. Модель многообразия G1 в пространстве бивекторов.

1.3.2. Специальное представление пары (W,X)е TG}

1.3.3. Геодезические кривые в &.

1.3.4. Комплексная структура на G1.

глава 2. внутреняя и внешняя геометрия многообразия G1.

2.1. Преобразование кривизны и вторая основная форма.

2.1.1. Вторая основная форма вложения многообразия

G'CA2.

2.1.2. Секционная кривизна многообразия G

2.1.3. Преобразование кривизны.

2-1.4. Кривизна Риччи многообразия

2.2. Симметрическая структура.

2.2.1. G как симметрическое пространство.

2.2.2. Примеры трансвекций и их связь с преобразованием Лоренца.,.

2.3. Поля Якоби в &

2.3.1. Явное представление полей Якоби.

2.3.2. Сопряженные и фокальные точки многообразия . .;.

глава 3. вполне геодезические подмногообразия многообразия g

3.1. Двумерные вполне геодезические подмногообразия.

3.1.1. Необходимое условие вполне геодезично.сти.

3.1.2. Сечение многообразия G1 линейными подпространствами.

3.1.3. Классификация простых площадок.

3.1.4. Вполне геодезические сфера, плоскость, однополостный и двуполостный гиперболоиды. 65;

3.1.5. Плоский вполне геодезический цилиндр.

3.1.6. Кривизна вполне геодезических подмногообразий.

3.1.7. Классификационная теорема.,.

3.1.8. Вполне геодезические подмногообразия в модели Кэли. . . .-.

3.2. Трехмерные вполне геодезические подмногообразия.

3-2.1. Ортогональное дополнение гиперплоскости.

3.2.2. Теорема об отсутствии трехмерных вполне геодезических подмногообразий.

3.3. О полноте многообразия &

3.3.1. Факт из геометрии Лобачевского.

3-3.2-. О полноте многообразия предметный указатель . . . . . литератора

Математической моделью пространства-времени в специальной теории относительности служит . четырехмерное псевдоевклидово пространство Минковского М с сигнатурой (+»-,-,-)• Каждая точка х&М физически интерпретируется как событие - нечто произошедшее "здесь и сейчас". Времениподобная кривая х : x(tj , (х'(0)2 = const > 0 моделирует движение частицы в трехмерном "физическом пространстве"(см.например, [11])• Если изучать релятивистскую кинематику на фиксированной прямой этого пространства, то множество соответствующих событий в пространстве Минковского помещается в двумерной плоскости, содержащей некоторое времениподобное направление е, е2>0. Ясно, что параллельным прямым'физического пространства соответствуют параллельные плоскости пространства М . Поэтому система одинаково направленных прямых физического пространства (направлений) может быть задана двумерной ориентированной времени-подобной плоскостью, проходящей через начало четырехмерного пространства Минковского (см. [13] ) .

В фундаментальной работе Р.И. Пименова [19], 1968 г., посвященной аксиоматике наиболее общих пространственно-временных структур, приведен словарь, дающий различным понятиям релятивистской кинематики их математическую модель в рамках пространства М . Следуя Г. Минковскому [16], направление физического пространства моделируется как двумерная ориентированная времениподобная плоскость пространства М, в [19] рассмотрен ряд вопросов, связанных с этим объектом.

Таким образом, совокупность G1 направлений физического пространства можно рассматривать как подмножество грассманиана G^ 4, состоящее из плоскостей, задевающих временной конус Кт ={хеМ|х2 >0} . Каждому единичному вре-мениподобному вектору f0, /02=1 сопоставляется геодезическая модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре

D^{xgKt\<x,/0>=1} см. [11]). Каждой плоскости TgGx взаимно однозначно соответствует хорда £^=ИглТ, направленная в соответствии с ориентацией Т (см. [13]) .

Тем самым множество G1 приобретает структуру гладкого многообразия, диффеоморфного многообразию

S2 xSz\diag(S2xS2) .

Скалярное произведение - в псевдоевклидовом пространстве М стандартным образом распространяется на всю внешнюю алгебру А(М) . При этом подпространство бивекторов А2(М)аА(М) приобретает структуру шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (+,+,+,-,-,—) • В каждой плоскости TgG1 выберем положительно ориентированный ор-тонормированный базис е^ = = 1 , <е0,е1>=0 м сопоставим ему простой бивектор е0 г\ех - e0l = we Аг(М0) который не зависит от способа выбора базиса {е0,е,}. Этим описано каноническое плюккерово вложение P:Gl->Az(M). Отождествим многообразие G1 с P(GA) с AZ(M) - Это подмногообразие является однородным пространством группы Лоренца L(M) , естественно действующей изометриями на всей внешней алгебре А(М). Псевдориманова метрика на G1 , индуцированная плюк-керовым вложением, имеет сигнатуру (+,+,-,-) (подробнее см. [13]). В этой работе, в частности, полностью описаны геодезические многообразия G1 . В [36] построено "гауссово" отображение произвольной времениподобной кривой пространства Минковского в б многообразие G1 . Для мировых линий, описывающих периодическое движение частицы по замкнутому контуру, сформулировано и доказано неравенство, которое можно рассматривать в качестве аналога неравенства Фенхеля для поворота по замкнутой кривой в Л3.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изучению геометрии многообразия G1 . Основным результатом работы автор считает предложенную классификацию двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразий G1

Кроме того, в работе доказано отсутствие в G1 трехмерных вполне геодезических подмногообразий, что вместе с работой [13] завершает классификацию всех вполне . геодезических подмногообразий многообразия направлений физического пространства G1 . .

Элементы пространства бивекторов А2(М) могут быть интерпретированы как постоянные электромагнитные поля (см. [7], [29-32] , [39]) . Это пространство наделено естественной структурой трехмерного комплексного пространства, в котором задано некоторое комплексно значимое "скалярное произведение". В этих терминах подмногообразие G1 <z AZ(M) можно рассматривать как единичную сферу в пространстве бивекторов. В силу сказанного автор полагает, что изучение . геометрии многообразия G1 представляет определенный интерес для релятивистской физики.

Далее опишем вкратце содержание трех глав диссертации. В первой главе приведен ряд основных определений и фактов из теории псевдоевклидова пространства Л2(М) . Описаны комплексные структуры в пространстве бивекторов Л2(М) и на многообразии G'c:A2(M).

Определение: Базис {е0,е^,е2,е3} пространства Минков-ского М = R*з, для которого е\ = —е\ = —е\ = -е* = 1 > < >= О для у, называется тетрадой Минковского.

Тетрада Минковского называется допустимой, если она имеет положительную пространственную и временную ориентации. л *

Каждой тетраде Минковского е0,е^,е2,е3 соответствует ортонормированный базис ie0\ » е02 » ®03 » е\2 » » ®23 } пространства бивекторов Л2(М0) . Из утверждения 1.2.1 следует, что вектора епопарно ортогональны и

-2 2 2 2 2 2

Определение: Билинейное отображение

L : Ар(М0)х Ag(M0) —> Apq(M0) , р> q >0 называется операцией внутреннего умножения, если для любых we Ар(М0), r6A?(¥0),?>eAM(M0) справедливо w Lr f ТЛ(р>.

Зафиксируем временную ориентацию четырехмерного пространства Минковского. В одномерном пространстве

Л4(Л/"0) выберем один из двух возможных единичных 4-векторов Е, Е2 = — 1. При фиксированной временной ориентации ^ этот выбор эквивалентен выбору пространственной ориентации. Рассмотрим какую-нибудь тетраду Минковского е = {е0,ех,ег,е3), для которой х^г(ео) = ^(е) = 1. Тогда

Е — е0 а ех ле2ле3,

Определение: Линейный оператор *:Л2(Л/0)->Лг(Л/0), называется оператором Ходжа. .

Определение: Конусом простых бивекторов назовем множество Kz ;= {we Л2(Л/0): w = ел/} .

Для любых w>w€A2(M0) выполняются равенства:

• (*w,*w) = -(w, w) f (*w,w)= (w,*w) f

• **w = -wr

• we K2 <=> (*w,w) = (w,*w) = 0

Теорема 1.3.1: Подмногообразие Gl пространства Л-2(№оУ можно задать системой из двух уравнений w,w>=-l, <w,*w>=0.

Изучение геометрии многообразия G1 во многом опирается на специальное представление элемента .касательного расслоения TGl : ч

Теорема 1.3.2:

1. Если для пары (yv,X)e TG\ выполнено условие^ & KQ r\K2 ( К0 := {X е Л2 :< Х,Х >- 0} - конус световых бивекторов), то найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и числа что w=e01f X = a0e02 + a,e3l;

2. Если для пары (w,X)e TGU. выполнено услото найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и число А. е R, A*0f что yv = eoi, X = Л(е0±е,)/\е3 .

Теорема 1.3.3: Пусть w = e0l , Х = а0- е02 + ах - e3l е T^G1 , тогда справедлива формула где (ео(0>е1(0>е2(0>ез(0) является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: eQ(t) = e0ch{a^t)+e3sh(a,t) , е,(/) = е, cos(o:00 + е2 sin(ar0r) , ег(?) = -ех sin(a0/) + ег cos(a0t) f е3(t) = e0sh(a{t) + e3ch{axt) .

Теорема. 1.3.4: Пусть w = eo\, X = Л(е0±ех)ле3, X^R t Л*0, тогда w(t) = exp„(tX)=w+tX = e0(t)/\ex(t) , является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: ео (О = (1+ ± Ц-+ , е, (t)=+~-e0 + (1 - Ц-)ех + ,

2(0= «а, в3(0 = ТЛ/е0-Ле,+е3. ■

В пространстве бивекторов А.2(М0) рассмотрим операцию умножения на комплексное число zX=Rqz-X + lmz(*X).

Пространство Л2(М0) с операцией комплексного умножения является трехмерным комплексным векторным пространством. Обозначим его С3(М0). Всякое преобразование Лоренца пространства Минковского индуцирует изоморфизм комплексного векторного пространства С3(М0) .

Утверждение 1.2.6: Для билинейной квадратичной формы A(X,Y)=<X,Y >+/<X,*Y > справедливо:

1. A(X,Y) = A(Y,X)

2. A(X,Y + Z) = A(X,Y) + A(X,Z)

3. A(X,zY)=zA(X,Y)

4. A(X,Y) - Лоренц-Инвариантна.

Комплексно линейные преобразования пространства С3(М0), сохраняющие форму A(X,F), называют, по аналогии с вещественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С) (ее не следует смешивать с U{3) ) . Итак, введение комплексной структуры в пространстве Аг(М0) определяет гомоморфизм группы Лоренца А в 0(3,С).

Определение; комплексным скалярным квадратом бивектора назовем комплексное число

Утверждение 1.2.7: Справедливы эквивалентности:

1. Х^Кг (простой) <=> Im//(X) = 0 ;

2. ХеК0 (изотропный) <=> Re//(w) = 0 ;

3. X&К0Г\Кг<=> //(-$') = 0 .

Пусть {е0,ех,е2,е3} - допустимая " тетрада Минковского, тогда бивекторы em,e0Z,e01 образуют базис комплексного пространства С3(А/0) . Из- свойств квадратичной формы A(X,Y) следует

Утверждение 1.2.8: Комплексный квадрат бивектора X - zxeol+zzeoz + z3e03 равен

Аналогично тому, как скалярный квадрат вектора определяет класс векторов, которые можно перевести друг в друга при помощи пространственного движения (изометрии), комплексный скалярный квадрат бивектора определяет класс бивекторов, совместимых друг с другом при помощи преобразования Лоренца. Более точно этот факт сформулирован в теореме 1.2.9.

Теорема 1.2.9: Пусть для бивекторов J,7eA2(M0) fi{X) = fi(Y) * О, тогда найдется такое изохронное преобразование Лоренца L, что L(X) = Y .

Благодоря свойству Лоренц-инвариантности, в релятивистской физике Re/j(X) и Iт/ДХ) получили название "инварианты электромагнитных полей"(см. [7,31]) .

Согласно теореме 1.3.1, многообразие G1 может быть задано системой уравнений w,w>--\l < w, *w >= 0 , или, что тоже самое, в комплексной форме fl{w) = -1.

В комплексном базисе {еорео2>еоз} уравнение примет вид z\ + Zj + z\ = 1 f где 2\ - координата при „бивекторе eoi . А в силу аналитичности и невырожденности этого уравнения, множество

G1 = {w = + z2e02 + z2em€ С3 (М0 ) : z\ + z\ + z] = 1} является комплексно аналитическим многообразием. Касательное к G1 пространство можно канонически отождествить с двумерным векторным комплексным подпространством пространства .

Используя комплексную структуру & , можно переформулировать теоремы 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4.' Также в параграфе

1.3, выведена формула для разложения геодезической ехР<01 ^ в ряд Тейлора, независимо от типа вектора X .

Вторая глава посвящена вопросам внешней и внутренней геометрии вложения G1 сЛ2. в ней найдены: явная формула для второй основной формы вложения, преобразование и тензор кривизны, секционная кривизна и кривизна Риччи.

Доказана симметрическая структура многообразия Gx , приведены примеры трансвекций и их связь с преобразованием Лоренца исходного пространства Минковского. Найдены явные представления для полей Якоби вдоль произвольной геодезической. А также, классифицированы фокальные и сопряженные точки вдоль любой геодезической.

Основным результатом работы по мнению автора является классификация двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразия & . Это и является содержанием последней третьей главы. Найдено пять типов вполне геодезических подмногообразий, причем многообразия разных типов неизометричны, а одного типа - Лоренц-совместимы. Доказано, что любое двумерное геодезически полное связное вполне геодезическое подмногообразие многообразия G1 Лоренц-совместимо с многообразием одного из пяти типов. Для всех пяти типов подмногообразий найдено их наглядное представление в модели Кэли-Клейна. Напомним, что каждая точка многообразия & в шаре% D1 моделируется направленной хордой. В теореме 3.1.14 перечислены все пять типов вполне геодезических поверхностей в G1 : .

1. Множество направленных хорд шара D3 , проходящих через его центр;

2. Множество направленных хорд шара D2 t параллельных фиксированной прямой;

3. ' Множество направленных хорд шара, один из концов которых совпадает с фиксированной точкой на границе шара D* .

4. Множество направленных хорд шара, лежащих в некоторой фиксированной плоскости;

5. Множество направленных хорд шара ортогонально пересекающих некоторый фиксированный диаметр.

Все пять типов поверхностей являются сечениями многообразия G1 линейными подпространствами из Л2(М0). В 3 и

4 случае с трехмерным линейным пространством Л2

13 в 1, 2 и 3 случае с *Л2(е'1) . А в пятом случае с четырехмерным пространством Lin(w,*w)L, где weG1 .

Таким образом, многообразия 1-4 типа однозначно оп^ ределяются выбором прямой пространства Минковского, содержащей вектор sgM0f а многообразие пятого типа - выбором времениподобной плоскости.

В параграфе 3.2 доказывается отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий многообразия G1 .

Многообразие G1 является псевдоримановым многообразием, поэтому (в отличие от риманова случая) приходится различать различные виды полноты многообразия. Так, в геодезически полном многообразии G1 есть точки, которые нельзя соединить геодезической. Подробнее этот факт описывает утверждение 3.3^3, последнего параграфа данной работы.

Для облегчения работы с материалом автором использована тройная нумерация разделов. При этом первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -номер подраздела. Ссылки на литературу даны в квадратных скобках. Библиографический список литературы, а также предметный указатель приведены в конце работы. Логическое окончание каждого фрагмента (доказательства, примера и т.д.) обозначается знаком «И». В круглых скобках даны номера формул. Названия подразделов, утверждения, леммы, теоремы и т.д. выделяются жирным курсивом. В названиях глав и параграфов используются прописные и малые ' прописные буквы. Нумерация формул также тройная, где первые две цифры означают номер параграфа, а последняя - порядковый номер формулы в этом параграфе.

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю, Козлову Сергею

Емельяновичу, замечания и пожелания которого, несомненно, способствовали улучшению рукописи.

1. Бишоп Р., Криттвндвр Р., Геометрия многообразий. М. : Мир, 1961.

2. Борисенко А. А, Николаевский Ю.Н., Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий. Успехи мат. Наук 46, No. 2 (1991) .

3. Бураго Ю.Д. , Залгаллер В. A. , Введение в римано — ву геометрию Наука, СПб. (1994).

4. Вольф Дж., Пространства постоянной кривизны. М. : Наука, 1982.

5. Глушаков А.Н., Два вопроса внешней алгебры плюккеровых вложений многообразия Грассмана. Зап. научи. семин. ПОМИ №246 (1997), с 5-12.

6. Делоне Б.Н.'*, Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского. М. :. ИАН СССР, 1953 г. 126с.

7. Дубровин Б.А. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. : Наука, 1979 г. 760 с.

8. Иванов Д. В., Вполне геодезические подмножества многообразия направлений физического пространства. -Зап. научн. семин. ПОМИ 279 (2001),141-153.

9. Козлов С.Е., Геометрия вещественных грассмано-вых многообразий, части I, II• Зап. научн. сегиин. ПОМИ №246 (1997).

10. Козлов С.Е., Геометрия вещественных грассмано-вых многообразий, часть III. -Зап. научн. семин. ПОМИ №246 (1997), с 84-107.

11. Козлов С.Е., Математические основы специальной теории относительности и пространство Лобачевского. СпбГУ. 1995.

12. Козлов С.Е., Ортогонально совместимые бивекторы. -Укр. Геометр. Сб. Вып. 27. 68-75 с.

13. Козлов С.Е. , Топология и лоренц-инвариантная псевдоевклидова метрика многообразия направлений в физическом пространстве. -Зап. Научн. Семин. ПОМИ 246 (1997) , с 141-151.

14. Коксер Г.С.М. , Введение в геометрию. М. : Наука, 1966 г. 642с.

15. Кострихин А.Н., Манин Ю.А. , Линейная алгебра и геометрия. Изд. МГУ, 1980г.

16. Минковсхии Г., Пространство-время. Физика, СПб (1991) .

17. Осипов В.Ф., Структура пространства-времени: векторная алгебра и анализ, части I и II. Изд. СПбГУ, 1995.

18. Пенроуз Р, Риндлэр В., Спиноры и пространство-время. Часть I. М. : Мир, 1987 г. 528 с.

19. Пименов Р.И., Пространства кинематического типа (математическая теория пространства времени). Зап. Научн. Семин. ЛОМИ 6 (1968), 496 с.

20. Постников М.М. , Риманова гео'мерия. М. : Факториал, 1998.

21. Стренберг С., Лекции по дифференциальной геометрии. М. : Мир, 1970.

22. Федэрегр Г., Геометрическая теория меры. М. : Наука, 1987.

23. Хелгассон С. , Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.

24. Cazrtan Е. , Oeuvres completes. 1. Paris, 1952.

25. Filliman P., Exterior algebra and projections of polytopes. Discrete Comput Geom. 5 (1990), 305-322 с.

26. Letcbxxwaias К. , Zur Riemannschen Geometric in Grassmanschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z. 76, No. 4 (1961) , 334-366 c.

27. Wong Y. —C. , Differential geometry of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA 57, No. 3 (1967).

28. Wong Y.-C., Sectional curvatures of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA 60, No. 1 (1968).

29. Атъя М.Ф. , Хитчен H. , Геометрия и динамика магнитных монополей. М. : Мир, (1991), 146 с.

30. Атья И. И др., Международный конгресс математиков, (Беркли 1986 г). М. : Мир, (1991), 454 с.

31. Лгшдау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, Т.2. Теория поля, изд. 4-е испр. И доп. М. : Наука (1973).

32. Тоянела М.А. , Основы электромагнетизма и теории относительности. М. : Изд. иностр. лит. (1962).

33. Mamm Ю.И. , Калибровочные поля и комплексная геометрия. М. : Наука (1984), 336 с.

34. Пеяроуз Р., Структура пространств а-времени, под ред. Акад. Я.Б. Зельдовича и И. Д. Новикова. М. : Мир,1972).

35. Синх» Дх.Л., Общая теория относительности. М. : Иностр. лит. (1963).

36. Козлов С.Е. , Поворот одномерного направления в физическом пространстве для периодической частицы. -Зап. научн. семин. П0Ш1 №252 (1998).

37. Иваяов Д. В., Козлов С.Е. , Классификация вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. -Зап. научн. семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

38. Иваяов Д.В. , Отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий в многообразии направлений физического пространства. Зап. научи, семин. ПОМИ №280 (2001), с 163-172.

39. Борисова. Я.В. , Рабунекий Д.Д. , Теория негеодезического движения частиц. М. : Мастерская им. М. В. Ломоносова (1999), 416 с.