Автополярные нормализации квадрик и геометрия проективных прямых над алгебрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Г- ли

И ••

Петропавловская Светлана Юрьевна

АВТОПОЛЯРНЫЕ НОРМАЛИЗАЦИИ КВАДРИК И ГЕОМЕТРИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ПРЯМЫХ НАД АЛГЕБРАМИ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1995

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.П. Широков.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Вишневский, кандидат физико-математических наук, Е.М. Комиссарова.

Ведущая организация: Российский государственный университет Дружбы народов.

дании Диссертационного Совета по математике К.053.29.05 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан "Н.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

кандидат физико-математических наук,

Защита состоится

ФУ 1996г. в Й.

час. на засе-

доцент

В.В.Шурыгин.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Неевклидовы геометрии - интереснейший раздел геометрии, который имеет большие приложения как в самой математике, так и в теоретической физике. Несмотря на то, что неевклидовы геометрии сейчас являются уже классической областью математики, они по-прежнему служат источником большого числа интересных задач.

В последние десятилетия большое место отведено исследованиям по применению в геометрии различных алгебр. Начало применениям алгебр в неевклидовых геометриях положили А.П.Котельников и Э-Штудк.

Они (одновременно и независимо друг от друга) показали, что многообразия прямых трехмерных пространств постоянной кривизны могут быть отождествлены со сферами евклидовых пространств над комплексными, двойными или дуальными числами. Таким образом, был создан так называемый принцип перенесения, до сих пор используемый в линейчатой геометрии.

Большой вклад в развитие этого принципа внесли работы представителей Казанских и Московских геометрических школ (А. П. Котельников, Л. Н. Зейлигер, П. А. Широков, А. П. Норден, В. В. Вишневский, М. Е. Цыпкин, Б. А. Розен-фельд, И. П. Белкин и др.).

Ряд приложений геометрии пространств над алгебрами был осуществлен в рамках метода нормализации Нордена.

Так, А. ГГ. Норден, А. П. Широков, А. С. Подковырин, Н. В. Талантова, В. В. Шурыгин, Э. Г. Нейфельд получили новые результаты в биаксиальной геометрии, линейчатой геометрии многомерных неевклидовых и аффинных пространств, пользуясь идеями метода нормализации.

Теория нормализации подробно изложена в монографии [3], где излагается общая теория нормализованных поверхностей многомерного проективного пространства и их внутрен-

них аффинных связностей, а также нормализованного пространства и поверхностей аффинного и центроаффшшого пространств.

Общей теории дробно-линейных преобразований посвящено много работ Б.А.Розенфельда, И.М.Яглома, З.А.Скопеца и их совместных работ.

В работе [5] И.М.Яглом подробно изучает девять геометрий на плоскости. Рассматриваются интерпретации Пуанкаре собственной плоскости Лобачевского, эллиптической плоскости, идеальной области плоскости Лобачевского, ко-евклидовой и копсевдоевклидовой плоскостей и показывается, что во всех случаях движения изображаются дробно-линейными подстановками переменной из алгебры комплексных, двойных или дуальных чисел. В работе рассмотрено, что представляют собой прямые и циклы соответствующих плоскостей.

В работе [2] М.А.Микенберг рассматривает плоскость Лобачевского в модели Пуанкаре. В многообразии орициклов плоскости Лобачевского строится аналог группы Лагерра, при действии которой длина дуги орицикла (дуга заключена между двумя характеристическими точками), сохраняется.

В работе [1] Мелентьев А.И. для алгебр Н{г,е),11{Е,е), Я[у},е) (алгебры комплексно-двойных, бидвойных и дуально-двойных чисел) рассматривает двойную сферу и с помощью "точечного" соответствия, заданного в алгебре, проводит нормализацию соответствующей двойной сферы. Показывается, что геометрия "точечного" соответствия рассматриваемой алгебры совпадает с внутренней геометрией нормализованной двойной сферы.

В статье [4] А.П.Широков возвращается к идее работы [1]. Найдены значения компонент связности, которая возникает в результате автополярной нормализации вещественной сферы. Определены условия, при которых полученная связность будет квазиевклидовой, аквиаффшшой, иметь нулевую кри-

визну.

Цель работы. Применить метод нормализации Норде-на к изучению двумерных и трехмерных неевклидовых пространств с невырожденным и вырожденным абсолютами.

Основными задачами данного исследования являются следующие:

1. Изучение связностей, которые возникают в результате автополярной нормализации абсолютов трехмерных неевклидовых пространств.

2. Изучение свойств конгруэнций прямых автополяр-но нормализованных абсолютов трехмерных неевклидовых пространств.

3. Изучение свойств операторов инфинитезимальных движений и конформных преобразований неевклидовых плоскостей.

Методы исследования. Используется метод нормализации Нордена, метод тензорного анализа, аппарат дифференцирования Ли. Исследование ведется локально.

Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и выносимые на защиту. Положив в основу изучения неевклидовых пространств метод нормализации Нордена, в работе удалось получить следующие основные новые результаты:

1. Показано, что автополярная нормализация линей-

чатой сферы пространства определяемая отображением точек г и в плоскости двойного пе-

ременного, индуцирует на этой сфере связность,

определяемую законом перенесения двойной величины. Установлены условия, при которых полученная связность будет эквиаффинной, квазиевклидовой и иметь нулевую кривизну.

2. Показано, что автопоиярная нормализация вырожденного абсолюта пространства 2Щ, определяемая отображением точек г-»«в плоскости дуального переменного, индуцирует на абсолюте связность, которая подчиняется закону перенесения дуальной величины. Определены свойства полученной связности.

3. Установлено, что если соответствие между точками г, и, принадлежащими плоскости дуального переменного, синектическое, то конгруэнция нормалей первого рода автополярно нормализованного абсолюта нормальна к семейству поверхностей нулевой кривизны.

4. Для трехмерных неевклидовых пространств с- невырожденными абсолютами установлен следующий факт:

Пусть конгруэнция нормалей первого рода поверхности М трехмерного неевклидова пространства нормальна к поверхности М. Если конгруэнция нормалей второго рода автополярно нормализованной поверхности М нормальна, то поверхность М имеет нулевую кривизну.

5. Рассматривая конформные интерпретации Пуанкаре двумерных неевклидовых пространств с вырожденными абсолютами на плоскости дуального переменного, мы нашли операторы, представляющие инфинитезимальные движения и конформные преобразования моделей неевклидовых плоскостей [0,-1-1!, [0,-1] (обозначения введены И.М.Ягломом в работе [5]). Определили, что свойства указанных выше операторов аналогичны свойствам операторов, представляющих инфинитезимальные движения и кон-

. формные преобразования плоскостей IIz и 1S2.

б. Обозначим через L - множество орициклов плоскости lSi в модели Пуанкаре. Опираясь на результаты работы [2], где изучался аналог геометрии Ла-герра в многообразии орициклов плоскости Яг, мы получили, что в многообразии L тоже возникает аналог геометрии Лагерра.

Научное и прикладное значение. Работа содержит богатый геометрический материал. Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где изучаются основания геометрии, ри-мановы пространства и пространства аффинной связности, проводятся исследования по дифференциальной и неевклидовой геометрии.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

На итоговой научной конференции преподавателей и сотрудников Казанского университета 1993 г.. На научном семинаре кафедры геометрии Казанского университета /рук. профессор А.П.Широков, сентябрь 1995г./. На семинаре, посвященном столетию со дня рождения П.А. Широкова/г. Казань, февраль 1995г./. На XXXI научной конференции, посвященной 35-летию Российского государственного университета Дружбы народов /г.Москва, май 1995/.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 19 параграфов, и списка использованной литературы. Содержание работы изложено на 129 страницах машинописного текста, список литературы включает 41 названий.

II.Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность, новизна, теоретическая значимость исследования, дается обзор литературы, формулируются задачи диссертационной работы.

В первой главе диссертации мы рассматриваем автополярную нормализацию овальной и линейчатой квадрик (используя основные положения теории нормализации Нордепа) пространства Р3, которая приводит к известным конформным интерпретациям Пуанкаре плоскости Лобачевского Я2 и неевклидовой плоскости !а$2 на плоскостях комплексного и двойного переменного.

В §1 рассматривается пространство Е3 с: овальной квадрикой, (сферой) уравнение которой в декартовых координатах имеет вид

. и1)2+ {£г)2+{?)'= 1.

Эта сфера берется за абсолют неевклидова мероопределения. Плоскость £2 = 0 пересекает наш абсолют по кривой второго порядка, которая представляет собой единичную окружность. Отождествим плоскость 0 с плоскостью комплексного переменного. Стереографически спроектируем плоскость комплексного переменного на абсолют (используя понятие стереографической проекции; за центр стереографической проекции выберем точку N(0,0,1)). Рассматриваем частный случай автополярной нормализации абсолюта, когда центр стереографической проекции лежит в поляре центра связки нормалей первого рода. В этом параграфе отмечается, что связность, возникшая в результате такой нормализации абсолюта, совпадает со связностью на плоскости = 0. Связность на плоскости порождается полярным соответствием, которое точке этой плоскости относит поляру относительно кривой пересечения абсолюта с плоскостью (г — 0. Таким образом, достаточно определить геометрию, которая реализуется на плоскости = 0, В итоге получаем следующие результаты:

1. Связность, которая возникает в результате нашей нормализации, определяется законом перенесения комплексной величины.

2. Геометрия, реализующаяся на плоскости = О,

имеет линейный элемент ^ =

у1

В §2 рассматриваем группу проективных преобразований, сохраняющих пашу квадрику. Записываем независимые ин-финитезимальные операторы, которые порождают инфините-зимальные преобразования плоскости Лобачевского и плоскости комплексного переменного. Находим базисные операторы указанных выше инфинитезимальных преобразований. Они определяют шестипараметрическую группу Ли, которая представляется в виде дробно-линейных подстановок комплексного переменного с комплексными коэффициентами.

В §3, с помощью производной Ли от метрического тензора вдоль векторных полей, определяемых базисными инфини-тезималъными операторами, устанавливаем, какие из операторов представляют инфинитезимальные движения, а какие — конформные преобразования. Находим производные Ли от объекта связности вдоль векторных полей, определяемых базисными операторами. Находим ковариантные производные от векторных полей, соответствующих нашим базисным операторам. Оказалось, что ковариантная производная от вышеуказанных векторных полей, представляющих собой ин-финитезимальное движение, пропорциональна структурному аффинору.. Ковариантная производная от векторных полей, определяемых инфинитезимальпыми конформными преобразованиями, пропорциональна единичному аффинору. Отметим, что функции, стоящие в виде множителей при аффинорах (с точностью до постоянной и знака), совпадают. В этом

параграфе рассматриваются свойства полученных функций. Имеем, что вторая ковариантная производная от этих функций пропорциональна произведению самой функции и метрического тензора. Значение оператора Лапласа от вышеуказанных функций пропорционально самой функции.

В параграфах §4, §5, §6 проводим аналогичные рассуждения, что и в §1, §2, §3, но для линейчатой квадрики, в качестве которой взята сфера пространства гЛз. Автополярная нормализация квадрики с помощью связки нормалей первого рода, когда центр стереографической проекции лежит в поляре центра связки нормалей первого рода, приводит к известной конформной интерпретации Пуанкаре неевклидовой плоскости '¿'г.

В §5 рассматриваем группу проективных преобразований, сохраняющих нашу квадрику. Записываем независимые ин-фшштезималыше операторы, которые порождают инфини-тезимальные преобразования неевклидовой плоскости и плоскости двойного переменного. Находим базисные операторы указанных выше инфинитезимальных преобразований. Они определяют шестипараметрическую группу Ли, которая представляется в виде дробно-линейных подстановок двойного переменного с двойными коэффициентами.

В §6 проводим рассуждения такие же как и в §3. В итоге получаем аналогичные результаты.

В §7 рассматриваем множество Ь, состоящее из орициклов плоскости * 5*2 (плоскость 1 в-} рассматривается в модели Пуанкаре на псевдоевклидовой плоскости). Опираясь на рассуждения, проведенные для эллиптического случал в работе [2] (а именно, указывая шестипараметрическую группу Ли преобразований, при которых длина дуги, заключенная между двумя характеристическими точками на орицикле, сохраняется) строим аналог группы преобразований Лагерра в многообразии орициклов Ь.

В §8 рассматриваем автополярнуго нормализацию оваль-

ной квадрики пространства Р3, когда нормали первого рода образуют связку с центром во внутренней точке. Получаем, что связность, которая возникает в результате такой нормализации, определяется законом перенесения комплексных величин. Находим операторы инфшпгтезимальных движений и конформных преобразований на эллиптической плоскости. Изучаем свойства этих операторов.

Во второй главе диссертационной работы рассматриваем такие автополярные нормализации вырожденной квадрики пространства Р3, которые ведут к известным конформным интерпретациям Пуанкаре двумерных неевклидовых геометрий с вырожденными метриками.

В §9 вводим пространство 7И*3, абсолютом которого является вещественный конус. Рассматриваем частный случай автополярной нормализации абсолюта, когда конгруэнция нормалей первого рода представляет связку с центром во внешней точке. Изучаем связность, которая возникает в результате такой нормализации абсолюта. Определяем вырожденный метрический тензор. В итоге приходим к выводу, что на абсолюте реализуется плоская геометрия [0,+1] ([5]).

В §10 определяем инфтоштезимальные преобразования группы проективных преобразований, сохраняющих абсолют. Записываем базисные операторы инфинитезимальных преобразований.

В §11 определяем операторы инфинитезимальных движений и конформных преобразований модели плоскости [0,+1]. Изучаем свойства этих операторов. Отметим, что полученные результаты напоминают результаты параграфов §3, §5, §8.

В §12 рассматривается другой случай автополярной нормализации вырожденного абсолюта пространства 2И*3, когда конгруэнция нормалей первого рода представляет связку с центром во внутренней точке. Проводя аналогичные рассуждения, что и в §9, изучаем связность, которая возникает в

П

результате такой нормализации. Получаем, что связность определяется законом перенесения дуальных величин. Определили вырожденный метрический тензор. В итоге получаем, что на абсолюте реализуется плоская геометрия [0,-1] ([5]).

В §13 определяем операторы инфинитезимадьных движений и конформных преобразований модели плоскости [0,-1] в плоскости дуального переменного. Изучаем свойства этих операторов. Получаем результаты, аналогичные результатам §11.

В §14 рассматриваем автополярную нормализацию вырожденного абсолюта, когда центр стереографической проек-' ции лежит в поляре центра связки нормалей первого рода. Изучаем связность, которая возникает в результате такой нормализации. Находим метрический тензор. Получаем линейный элемент двумерного неевклидова пространства [0,+1] с вырожденной метрикой в новой модели Пуанкаре.

В §15 изучаются свойства операторов инфинитезимальных движений и конформных преобразований новой модели плоскости [0,4-1] в плоскости дуального переменного. Проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям в параграфах §11, §13, и получаем результаты, напоминающие результаты параграфов §3, §5, §8, §11, §13.

В третьей главе проводим подробное изучение связностей, которые возникают в результате автополярных нормализаций абсолютов трехмерных неевклидовых пространств. Изучаются свойства конгруэнций прямых этих пространств.

В §16 опираясь на результаты работ [1], [4], рассматриваем связность, которая возникает в результате автополярной нормализации линейчатой квадрики. Находятся условия нормальности конгруэнций нормалей первого рода и конгруэнции нормалей второго рода в пространстве 2S$. Изучаются свойства полученной связности, которые, как оказалось, связаны с условиями нормальности конгруэнций нормалей первого рода и конгруэнции нормалей второго рода.

В §17 рассматривается трехмерное неевклидово пространство с невырожденным абсолютом. Через М обозначили поверхность, ортогонально секущую конгруэнцию своих нормалей первого рода. Полярно нормализуем нашу поверхность. В этом параграфе доказано, что если конгруэнция нормалей второго рода, полярно нормализованной поверхности М, нормальна, то поверхность имеет нулевую кривизну.

В §18 проводим рассуждения, аналогичные рассуждениям в §16. Автополярная нормализация вырожденпого абсолюта пространства 2Щ индуцирует на абсолюте связность. Изучаем эту связность. Находим условия нормальности конгруэн-roift нормалей. Из-за вырожденности нашего абсолюта прямого аналога результатам §16 не получаем.

В §19 рассматриваем плоскость дуального переменного и на ней задаем синектическое соответствие между ее точками. Изучаем геометрию поверхностей, ортогонально секущих возникающую конгруэнцию прямых в пространстве 2Щ.

Показано, что при выбранном точечном соответствии на плоскости дуальных чисел рассматриваемая конгруэнция нормалей первого рода нормальна к поверхностям нулевой кривизны.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук А.П. Широкову, за постоянное внимание и поддержку при выполнении настоящей работы.

Список литературы

[1] Мелентьев А.И. Нормализованная двойная сфера и вещественная модель связности над алгебрами би-комплексных чисел. - Труды семинара кафедры геометрии, вып. б - Изд. Казан, ун-та, 1971, С.57-69.

[2] Микенберг М.А. Геометрия Лагерра и её аналог. -Диссерт. кан. физ.-мат. наук. - Казань, 1994. - С.38.

[3] Норден А.П. Пространства аффинной связности. - 2-е изд. - М.: Наука, 1976.

[4] Широков А.П. Автополярная нормализация сферы и функции комплексного переменного./ Казан, ун-т, -Казань; - 1994 - Деп.в ВИНИТИ 10.06.94, N 1446-В94.

[5] Ягяом И.М. Проективные мероопределения на плоскости. - М., - Тр. сем. по вект, и тенз. анализу; вып. 7, 1949, С.276-318.

III. РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО

ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Петропавловская С.Ю. Автополярная нормализация сферы псевдоевклидова пространства и функции двойного переменного/ Каз.ун-т. - Казань, 1995. - Юс. - Деп.в ВИНИТИ 03.05.95, N 1210-В95.

2. Петропавловская С.Ю. Автополярная нормализация вырожденной сферы и функции дуального переменного/ Каз.ун-т. - Казань, 1995. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 09.02.95, N 371-В95'.

3. Петропавловска^ С.Ю. О нормальных линейчатых конгруэнциях неевклидовых пространств,для которых нормально секущие поверхности обладают нулевой кривизной/ Каз.ун-т. - Казань, 1995. - 9с. -Деп. в ВИНИТИ 2S.09.95, N 2662-В95.

4. Петропавловская С.Ю. Конформная интерпретация Пуанкаре одной вырожденной геометрии в плоскости дуального переменного и теория нормализации Нордена/Каз.ун-т. - Казань, 1995. - 30с. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.95, N 2663-В95.

5. Петропавловская С.Ю. Модели Пуанкаре на евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях и теория нормализации Нордена. /Каз.ун-т. - Казань, 1995. -25с. - Деп. в ВИНИТИ 27.10.95, N 2872-В95.

6. Петропавловская С.Ю. К вопросу о нормальных конгруэнциях прямых пространства 1Дз/Каз.ун-т. -Казань, 1995. - 11с. - Деп. в ВИНИТИ 27.10.95, N 2871-В95.

7. Петропавловская С.Ю. Автополярная нормализация сферы псевдоевклидова пространства и функции двойного переменного. - Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических наук, посвященной 35-летию Российского университета Дружбы народов. - М.; Изд. ун. Др. нар., 1995, С.67.