Изотропность маломерных форм над полями функций квадрик тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Изотропность 6-мерных форм над полями функций квадрик

§1. Введение

§2. Терминология и обозначения

§3. Изотропность виртуальных форм Алберта

§4. Группа Н3(Р(р1, р2)/-Р) для пары форм

§5. Группа 13(.Р{р,ф)/Р) для пары форм

§6. Группа Н3(Р(р,ф)/Р) в случае шс!Со(р) С0(ф) =

§7. Стандартная изотропность 6-мерных виртуальных соседей

§8. Нестандартная изотропность

Глава 2. Изотропность 8-мерных форм над полями функций квадрик

§1. Введение

§2. Группа Тоге (7*.ЙГ(Х) для гладкого однородного многообразйя 52у

§3. Кольцо Чжоу произведения X хУ

§4. Группа Тогз СН2 (Хф х Хв) для формы ф и алгебры Б

§5. Группа Н3(Р(ф,П)/Р) для формы ф и алгебры Б

§6. Изотропность форм индекса ^

§7. Обобщения

§8. Вычисление группы Н3(Р(Хф х Хо)/Р)

§9. Восьмимерные квадратичные формы индекса

§10. Группы Н3(Р(ф,0)/Е) и

§11. Л-стандартная изотропность (общие результаты)

§12. Л-стандартная изотропность в случае ТогзСН2(Х^ х Хр) =

§13. Группа Н3(Р(ф,0)/Р) в случае тй {С0(ф)®Р Б) =

§14. Изотропность 8-мерных форм индекса

Глава 3. Изотропность 7-мерных форм над полями функций квадрик

§1. Введение

§2. Основные факты и обозначения

§3. Гомоморфизмы алгебр

§4. (/-формы

§5. Обобщение теоремы Тиньеля

§6. Семимерные формы

§7. Восьмимерные формы

Глава 4. Поле с [/-инвариантом

§1. Введение

§2. Квадратичные формы

§3. Градуированная группа Гротендика квадрик

§4. Группы Чжоу квадрик

§5. Когомологии Галуа

§6. Hepазветвленные когомологии квадрик

§7. Соседи форм Пфистера над полями функций

§8. Построение поля с и-инвариантом

§9. 10-мерные формы с максимальным расщеплением

Глава 5. Сильное расщепление

§1. Введение

§2. Формы размерности 2n+l — 5 с максимальным расщеплением

§3. Формы размерности 2n+1 — 6 с максимальным расщеплением

§4. Условие iw^F^)) ^ 2 для форм ср размерности ^

§5. Случай 8-мерной формы € I2(F)

§6. Случай 8-мерной формы ip ^ I2(F)

§7. Следствия. Классификация квазисоседей

§8. Изотропность некоторых виртуальных соседей

§9. Почти соседи

§10. Доказательство теоремы 8.

Глава 6. Превосходность расширений

§1. Введение

§2. Критерий универсальной превосходности

§3. Нестандартная изотропность

§4. Поля функций многообразий Севери-Брауэра

§5. Специальные тройки

§.6. Критерий универсальной превосходности

§7. Пять-превосходность расширения ^(БВ (А))/Г

§8. Примеры непревосходных расширений 206 Приложение А. Сюръективность гомоморфизма £2 для некоторых однородных многообразий 210 Приложение Б. Критерий универсальной превосходности общих полей расщепления квадратичных форм

Пусть F — поле характеристики, отличной от 2 и пусть ср — невырожденная квадратичная форма на ^-векторном пространстве V. Всегда в дальнейшем будет предполагаться, что соответствующая структура квадратичного пространства на V является невырожденной. Выбрав ортогональный базис в V, мы можем записать форму <р в виде а\х\ + ••• + апхВ такой ситуации мы будем использовать обозначение ip = {а\,. ,ап). Невырожденность формы, очевидно, означает, что все элементы а\,.,ап -—ненулевые.

Квадратичная форма ср (или пространство (V, </?)) называется изотропным если ip{v) = 0 для некоторого ненулевого вектора v G V. Иначе говоря, изотропность формы \р означает, что однородное уравнение а\х\-\-----\-апХп = 0 имеет нетривиальное решение. В противном случае мы скажем, что форма (р — анизотропна. С точностью до изометрии существует ровно одно двумерное изотропное пространство, а именно гиперболичная плоскость Н, задающаяся формой (1,—1). Квадратичное пространство называется гиперболичным, если оно изометрично ортогональной сумме гиперболичных плоскостей пН = В I ••• 1 Н. Соответствующая квадратичная форма называется гиперболичной и имеет вид (1,-1,1,-1,., 1,-1).

Согласно основной теореме Витта, любое невырожденное квадратичное пространство V может быть разложено в ортогональную сумму V = Van J- Vh, где пространство Van — анизотропно, а пространство Vh — пИ —; гиперболичное. Мы используем знак ~ для обозначения изометрии квадратичных форм или пространств. Пространство Van определено однозначно с точностью до изометрии. Ограничение <р\уап называется анизотропной частью (или анизотропным ядром) формы ip и обозначается через Число п = ^ dim Vh называется индексом Витта формы (р.

Для любого квадратичного пространства V и расширения полей L/F на линейном пространстве Vl — V L естественным образом вводится структура квадратичного пространства. Соответствующая квадратичная форма обозначается через (рь- Мы будем говорить, что квадратичная L-форма <р является определенной над F, если существует квадратичная форма £ над F такая, что ip-=

Важнейшей задачей в теории квадратичных форм является задача исследования анизотропной части .F-форм в результате расширения полей L/F. Иногда анизотроцные F-формы остаются анизотропными над L (например, если L/F — нечетное расширение). В этом случае 7 для любой квадратичной F-формы ip, анизотропная часть (<рь)ап формы </? над L совпадает с (<рап)ь и, значит, является определенной над F. Однако, гораздо более важные вопросы возникают именно тогда, когда форма (р оказывается изотропной над L. При этом анизотропная часть формы ср над L уже не обязана быть определенной над F.

Расширение полей L/F называется превосходным (excellent), если для любой квадратичной F-формы анизотропная часть (<р>ь)ап формы ip над L будет определена над F (т.е., существует F-форма £ такая, что (^ь)ап — C-l)- Если L = F(X) — поле функций некоторого гладкого многообразия, то расширение F(X)/F называется универсально превосходным, если расширение К(Х)/К является превосходным для любого расширения базового поля K/F.

Хорошо известно, что любое квадратичное расширение — превосходно. Так как анизотропная квадратичная Р-форма ip остается анизотропной над полем ратсиональных функций F(t), то и любое чисто трансцендентное расширение полей является превосходным.

При исследовании вопросов превосходности расширений L/F и изотропности форм (рь, особая роль принадлежит полям функций L = F(X) на гладких многообразиях X. Среди всех многообразий особая роль принадлежит проективным квадрикам. А именно, квадратичным гиперповерхностям в проективном пространстве Pn1, заданным однородным уравнением а\х\ +-•■• + апх2п — 0. В такой ситуации мы говорим, что X— проективная квадрика, заданная квадратичной формой (р = (ai,.,an). Мы будем использовать обозначение Xv для данной квадрики, а соответствующее поле функций F(XV) мы будем обозначать F((p). Очевидно, что размерности квадрики X^ и квадратичной формы (р связаны равенством dimX^ = dim <р — 2. В частности, 3-мерной форме соответствует проективная кривая, называемая коникой. Так как для произвольных гладких проективных кривых X структура поля функций ¥{Х) хорошо описывается классической теоремой Римана—Роха, то исследование расширения Р(ср)/Г в случае 3-мерной формы занимает особое место. Именно в данной ситуации Дж. Арасону удалось доказать превосходность расширения Р((р)/Р (см. [15]). Ключевым обстоятельством здесь явилось то, что коника — это кривая рода ноль.

Изотропность формы ср означает наличие рациональной точки точки) на квадрике Х^, что в свою очередь равносильно рациональности многообразия XПоэтому вопрос о том, является ли форма </? изотропной над полем функций Р(Х) гладкого многообразия X можно переформулировать в алгебро-геометрических терминах: существует ли рациональное отображение из многообразия X в квадрику Хг ? Таким образом, в особенно важном и интересном случае, когда многообразие X само является квадрикой, мы имеем возможность сформулировать данный вопрос в двух различных (но эквивалентных) формах:

1) При каких условиях форма <р изотропна над полем функций формы ф ? Иначе говоря, когда форма (рр(ф) является изотропной ?

2) При каких условиях на формы (риф существует рациональное отображение из квадрики Хф в квадрику Х^ ?

Второй из поставленных вопросов делает естественным введение от-" ношения порядка на множестве всех квадрик (или всех квадратичных форм). А именно, мы полагаем ф -< (р, если существует рациональное отображение из квадрики Хф в квадрику Х^. Учитывая ранее сказанное, неравенство ф -< (р означает, что форма <рр{-ф) является изотропной. В этой ситуации мы будем говорить, что форма ^ расщепляет (делает изотропной) форму ср. Данное отношение порядка впервые было введено Р. Элманом, Т. Лэмом и А. Вадсворсом в 1977 году в [26]. Данная статья явилась стартовой точкой для современных исследований вопросов изотропности одной формы над полями функций других форм. Наиболее пристальное внимание уделялось случаям маломерных форм (см, например [29, 31, 36, 35, 80, 81, 84]) а также формам Пфистера (см. [27, 42, 44, 48, 67, 88, 99]). Пару, форм ср, ф, удовлетворяющую "неравенству" ф -< (р, мы будем называть "расщепляющей парой", ибо форма ср в данной ситуации изотропна (расщепляется) над полем функций формы ф. К настоящему моменту было известно несколько типов расщепляющих пар (см. §3 в главе 6). Наиболее простой пример — это пара (</?, ф), где ф является подформой в \р. В этой ситуации квадрика Хф естественным образом вкладывается в квадрику Х9. Таким образом, существование рационального (и даже регулярного) отображения из Хф в Х^ в данном случае — очевидно. Другой, гораздо более содержательный пример — это формы ср = (1 ,а,Ь) и ф = (1,а,Ь,аЬ). В данной ситуации Х^ — кривая, а, Хф — поверхность. Существование вложения Х<р <—> Хф очевидно, ибо (р — подформа в ф. Значит, ср -< ф. С другой стороны, нетрудно доказать, что Хф ~ Х^ х Х^. Поэтому существует рациональное (и даже регулярное) отображение Хф —* Х(р. Таким образом, ф -< (р. Итак, для форм (риф мы одновременно имеем два "неравенства" Хр -< ф и ф -< (р. Рассмотренный пример можно обобщить, например, следующим образом: <р> = (1,а\) 0 • ■ ■ 0 (1,ап1) ! (ап) и ф.= (1,-01) 0 • • • 0 (1 ,ап). В данной ситуации наличие неравенства ф -< <р следует из результатов А. Пфистера. Этот результат Пфистера является весьма содержательным, ибо в данном примере возможно лишь гарантировать наличие рационального морфизма Хф —> Х^, а не регулярного, как было в предыдущих примерах. Есть случаи, когда отношение порядка на анизотропных ^-формах полностью известно. Например, в случае М-форм все анизотропные формы (с точности до подобия и изоморфизма) имеют вид (1,1,., 1,1) . В данном случае неравенство

4-—V-' 4-V-' т 1 т 2 выполняется тогда и только тогда, когда т1 ^ 2П, где п — минимальное натуральное число, удовлетворяющее неравенству т? ^ 2П.

Для произвольного поля -Р проблема исследования расщепления ) является значительно более сложной. Расщепляющие пары </?, ф всех известных на данный момент типов1 принято было называть "элементарными расщепляющими парами". При этом принято говорить^ что "расщепление (ррщ — элементарно". Вопрос, который долгое время стоял открытым - порождается ли отношение порядка "-<" элементарными расщепляющими парами? Этот вопрос тесным образом гсм., например, [48, 67] или §3 главы б данной диссертации связан с вопросом о "стандартности расщеплений. Расщепление мы называем "стандартным" (соотв. расщепляющую пару ф, ^ назовем "стандартной парой?'), если данное расщепление возможно получить при помощи цепочки элементарных расщеплений. Говоря формально, это означает, что существует последовательность форм ■— (ро, <¿>1,., фп = ф таких, что все расщепления (<Рг).р(<^+1) — элементарные. Таким образом, вопрос принимает следующую форму - любое ли расщепление является стандартным? В последние годы появился цикл работ по исследованию стандартности изотропии ([27, 28, 33, 3540, 50, 66, 67, 80-84 ]). Во всех этих работах исследовался случай маломерных форм и доказывалось, что при некоторых условиях изотропность обязана быть стандартной. Получить ответ о классификации расщепляющих пар в общем случае сейчас представляется невыполнимой задачей. Даже для форм небольшой размерности многие вопросы остаются открытыми. Исчерпывающие результаты были получены только в случае, когда размерность формы ц> не превышает пяти [36, 105, 109]. Недавно были получены существенные продвижения в исследовании 6-мерных форм [ 7, 35, 84, 81]. В данных исследованиях был использован мощный математический аппарат, включающий алгебраическую АТ-теорию и когомологии Галуа. О сложности вопроса говорит например то, что результаты, касающиеся 6-мерной формы Алберта, оказались весьма неожиданными и весьма важными ввиду их связи с гипотезой Капланского об [/"-инварианте (см. [7, 8] или Главу 4 настоы-ашей диссертатции). Напомним, что [/"-инвариант поля ^ определяется как максимальная размерность анизотропных квадратичных форм над F. Данный инвариант цоля был определен Капланским в 1953 и исследовался в множестве работ (см., например, [7, 8, 22, 24, 25, 45, 54, 64, 86]). Хорошо известно, что п-инвариант никогда не равен 3, 5 или 7 (см. [85,Ргор, 4.8]). Теоремы Шпрингера и Лема-Тзена показывают, что ад-инварианты полей С(хг,. ;хп) и С((жх)). ((хп)) равны 2П. Вплоть до 1989 года не было известно никаких конечных значений ад-инварианта кроме степеней двойки. Первый нетривиальный пример был построен А. С. Меркурьевым. А именно, в ([8], 1989) был построен пример поля с и-инвариантом, равным шестй (см. также [86]), тем самым опровергнув гипотезу Капланского. Несколько позже Меркурьев доказал, что и-инвариант поля может быть произвольный четным числом ([7], 1991). Однако, вопрос о том, может ли. «-инвариант принимать нечетные значения, отличные от 1, по прежнему оставался открытым с момента постановки гипотезы Капланского (1953). Главный результат главы 4 (и один из основных результатов данной диссертации) - построение первого примера поля с нечетным инвариантом, ф 1.

Теорема 1. Существует поле с и-инвариантом 9.

Доказательство данной теоремы напрямую связано с исследованием вопросов об изотропности одних форм (в данном случае — 9-мерных) над полями функций других форм. При доказательстве данного результата мы проводим вычисления неразветвленных когомологий и в третьей группы Чжоу квадрик. Данные вычисления представляют и самостоятельный интерес, обобщая результаты статей [4, 68, 69, 74].

Вернемся к формам меньшей размерности. Несмотря на значительные результаты последних лет, вопрос о стандартности расщепления 6-мерных форм оставался открытым (как уже упоминалось, формы меньшей размерности были исследованы ранее). Не было ничего известно о расщеплении 7-мерных форм (за исключением ряда тривиальных случаев). Было несколько работ о 8-мерных формах с тривиальным дискриминантом [37, 39, 80, 81]. В главах 1-3 данной диссертации будут исследоваться вопросы изотропности форм размерностей 6, 7 и 8. В главе 1 будет окончательно и полностью разобран вопрос об изотропности шестимерных форм. Основные результаты данной главы показывают, что изотропность 6-мерных форм почти всегда стандартна. Говоря более точно, будет доказано, что изотропность может быть (и бывает) нестандартной только в одном специальном случае, который характеризуется некоторыми численными инвариантами форм. Среди результатов, касающихся 6-мерных форм, наиболее важной является следующая теорема (доказанная в главе 1):

Теорема 2. Пусть — анизотропная квадратичная форма размерности ^ б и пусть форма ф такова, что форма ~ изотропна. Тогда изотропность является стандартной за исключением (возможно) следующего случая: dim</> = 6, <Мтф - 4, 1 Ф dety? ф 6.еЬф Ф 1, и ind Со (<£>.) = 2 = indCo(<^) (8>.f Co(#.

При этом доказано, что нестандартное расщепление, действительно бывает в указанном в теореме случае. Кроме того, в случае 6-мерных форм условие "стандартности расщепления" имеет весьма простое описание: изотропность 6-мерной формы tp над полем функций формы ф — стандартна, если выполнено одно из трех условий:

1) форма ф подобна некоторой подформе в' ip,

2) форма ф подобна форме вида (1, a, b, аЪ), а форма ip содержит под-форму, подобную форме (1 ,а,Ь).

3) форма ^.подобна подформе в 8-мерной форме вида (1, а) <g> (1, Ъ) 0 (1,с), а форма ср содержит подформу, подобную 5-мерной форме (l,a.b, ab,c).

При доказательстве основного результата о 6-мерных формах существенную роль играют вычисления во второй группе Чжоу СН2(Х) некоторых однородных многообразий X, а также вычисление некоторых относительных групп когомологий H3(F(X)/F,Q/Z(2)). Среди результатов данной главы следует отметить теорему 1.4 и следствие 4.13, в которых данные группы полностью вычислены в нескольких важных случаях.

В главе 2 данной диссертации будет окончательно и полностью разобран вопрос о стандартности изотропности форм размерности 8, имеющих тривиальный дискриминант. Тут, как и в случае 6-мерных форм, удалось доказать, что изотропность является стандартной, за исключением некоторого специального случая. В частности, впервые возник пример нестандартности расщепления 8-мерной формы тривиального определителя. Среди результатов о расщеплении 8-мерных форм особую роль играет следующая теорема

Теорема 3. Пусть <р — анизотропная 8-мерная квадратичная форма с тривиальным дискриминантом (det ip = 1), и пусть квадратичная форма ф такова, что форма — изотропна. Тогда изотропность формы

PF(i>) является стандартной, за (возможным) исключением случая, при котором . dimф = 4, det V indC(y>) = ind(C(.y>) ®F С0{ф)) = 4.

Как и в случае 6-мерных форм, исключение в данной теореме является существенным — в указанном исключительном случае существует пример нестандартного расщепления. Кроме того, есть простое описание "стандартности расщепления" для рассматриваемого случая 8-мерных форм (см. введение к главе 2). При доказательстве основных результатов о 8-мерных формах существенную роль играют вычисления второй группы Чжоу СН2(Х) и группы когомологий H3(F(X)/F1 Q/Z(2)), где многообразие X является произведением квадрики и многообразия Се-вери-Брауэра. Следует отметить, что вычисление группы когомологий H3(F(X)/F, Q/Z(2)) является весьма важным и для многих других задач. Ряд применений продемонстрирован в §6 главы 2 и в §6 главы 5.

В главе 3 в основном исследуется проблема изотропности 7-мерных форм. Этот случай является существенно более сложным, чем случай

6-ти и 8-ми мерных форм. Методы, которые были использованы при исследовании 6-мерных и 8-мерных форм оказываются принципиально Неприменимыми. Новые существенные трудности возникают ввиду не-четномерности (см. также введение к главе 3). К настоящему моменту не было известно никаких специфических результатов, относящихся к изотропности 7-мерных форм. В главе 3 данной диссертации найдены несколько новых необходимых условий изотропности 7-мерных форм. В частности, удалось дать исчерпывающий ответ на вопрос о том, когда

7-мерная форма (или 8-мерная) может расщепляться над полем функций некоторой формы Пфистера. .

Теорема 4. Пусть (р — квадратичная форма* над F размерности, не превышающей 8. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) существует 3-форма Пфистера ф такая, что форма tpF(ip) изотропна,

2) форма (р содержит 5-мерного соседа (т.е., dim«/? >4 и форма ¡р> содержит 4-мерную подформу с тривиальным дискриминантом).

В случае, когда dim (р ^ 6, данный результат является легким следствием теорем Хоффманна [35, 36, 37]. Однако, уже при dim<p = 7, все раннее известные критерии изотропности (а точнее - известные препятствия к изотропности) не давали возможности доказать теорему в полной общности (см. введение к главе 3). В данной ситуации была очевидна необходимость поиска новых критериев изотропности. Важным результатом, позволяющим проводить исследование изотропности 7-мерных форм является следующая теорема, доказанная в главе 3.

Теорема 5. Пусть (риф — анизотропные квадратичные формы над F. Предположим, что dim<p ^ 8 и ip не содержит 4-мерных подформ с тривиальным дискриминантом. Тогда из изотропности формы <PF(i>) следует существование гомоморфизма четных алгебр Клиффорда Со(ф)

Данная теорема является ключевым средством при доказательстве предыдущей теоремы. Она также позволяет получить новую информацию о расщеплении 8-мерных форм (см. последний параграф в главе 3).

Другой важной задачей (поставленной также еще в статье Р. Элмана, Т. Лэма и А. Вадсворса в 1977 году в [26]) является вопрос о том, когда расширение полей F((p)/F является, превосходным. Вопросы о превосходности расширений F((p)/F напрямую связаны с вопросами о стандартности расщеплений (см. §3 в главе 6). В ряде статей исследовались частные случаи данной проблемы (см., например, [27, 35, 88, 99]). Однако, окончательный ответ на данный вопрос оставался неизвестным. В главе 6 данной диссертации мы дадим окончательный ответ на вопрос о превосходности расщеплений F((p)/F. Важным шагом здесь является конструкция, описанная в §2 данной главы. А именно, для любого п ^ 3 мы построим поле F и n-форму Пфистера такие, что расширение полей F((p)/F не является превосходным. Основным результатом о превосходности полей функций квадрик является следующая теорема, доказанная в главе 6.

Теорема 6. Пусть ip — анизотропная форма над полем F. Тогда расширение F((p)/F — универсально превосходно тогда и только тогда, когда (р — сосед п-формы Пфистера, где п < 2 (т.е., либо dim<р < 3 либо (р — 4-мерная форма с тривиальным детерминантом det(<p) = 1).

Данная теорема дает окончательный ответ на вопрос о превосходности для расширения F((p)/F. Тем самым задача, стоявшая с 1977 года, получила окончательное решение. В §3 главы 6 мы применим данную теорему для изучения пар расщепления ф квадратичных форм. Говоря более точно, мы построим пример нестандартной расщепляющей пары 8-мерных форм (р, ф такой, что одновременно форма \р изотропна над полем функций формы ф, а форма ф — изотропна над полем функций формы (р. Отметим, что данный пример был самым первым примером нестандартного расщепления ([48, 67]). Далее, для большого класса однородных многообразий X (а именно, для квадрик, многообразий Севери-Брауэра, многообразий изотропных пространств) мы найдем критерий универсальной превосходности. В случае многообразий Севери-Брауэра будет доказан следующий критерий универсальной превосходности.

Теорема 7. Пусть А — центральная простая алгебра над полем Р и пусть X = 8В(Л) — многообразие Севери-Брауэра алгебры А. Тогда следующие условия равносильны:

1) расширение Р(Х)/Р универсально превосходно,

2) индекс тс1(.А) алгебры А не делится на 4.

Говоря иначе, расширение полей Р(вВ(А))/Р универсально превосходно только в следующих двух случаях: 1) индекс алгебры А нечетен; 2) алгебра А имеет вид <5 И, где ф — кватернионная алгебра, а И — алгебра нечетного индекса.

Ранее мы в основном обсуждали вопрос о стандартности изотропий. Инач:е говоря, речь шла об изотропности форм вида (рр(ф)• Заметим, что квадратичная форма ц>р(Ф) изотропна тогда и только тогда, когда индекс Витта '1цг(<Рр(Ф)) больше или равен 1. Часто бывает необходимо знать точное значение индекса Витта ¿иЧ^О))- В параграфах §2-4 мы исследуем следующую задачу: найти все пары форм <р, ф такие, что щ/(фр(Ф)) > 1- В такой ситуации естественно говорить о "сильном расщеплений. Особое место в данном вопросе занимает случай, когда <р = ф. Число л\у{ц>р(<р)) называется первым индексом Витта и обозначается через ъ\(ф). Классификация форм размерности < 7, удовлетворяющих условию ¿1(93) > 1, была получена У. Реманом и Ю. Хурелбринком ([47]). В главе 5 данной диссертации мы полностью исследовали 8-мерные и 10-мерные формы, удовлетворяющие условию ч(р) > 1- Классификация форм большей размерности, удовлетворяющих условию %\(<р) > 1, в данный момент расценивается, как абсолютно безнадежная задача. Однако, есть весьма близкий вопрос: найти анизотропные формы данной размерности (I, имеющие максимально возможное (для данной размерности й формы (р) значение числа 1\ {<р). Формы с указанным свойством называются формами с максимальным расщеплением (см. [37]). Величина "максимального возможного значения числа ¿1 (</?)" была вычислена Д. Хоффманном. Им же было доказано, что все соседи форм Пфистера имеют максимальное расщепление. Кроме того, при некоторых условиях на размерность формы (р было доказано, что наличие максимального расщепления возможно только при условии, что форма (р является соседом формы Пфистера. В главе 5 будет доказан следующий результат.

Теорема 8. Пусть форма (р имеет размерность 2п+1 — т, где п ^ 3, О < га < 6. При условии т = 6 мы дополнительно будем предполагать, что форма <р имеет тривиальный дискриминант. Тогда форма (р имеет максимальное расщепление только в случае, когда (р является соседом формы Пфистера.

Следует отметить, что ограничение, наложенное на число т (а именно, т ^ 6), а также ограничение на форму (р (в случае, когда т = 6) являются весьма существенными, ибо без любого из этих ограничений теорема перестает быть верной. В главе 5 мы даем исчерпывающее описание форм с максимальным расщеплением размерности ^ 17.

Теорема 9. Пусть <р - анизотропная квадратичная форма такая, что 2 ^ сЦйк/? ^ 17. Форма ¡р имеет максимальное расщепление тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условии: a) размерность формы <р> равна одному из чисел 2, 3/5, 9 или 17, b) форма <р является соседом в форме Пфистера, c) форма (р имеет вид ср = ((а))д, где д некоторая 5-мерная квадратичная форма, а е Р* (в частности, размерность формы <р равна десяти).

Далее в главе 5 мы возвращаемся к вопросу о "сильном расщеплении" одной формы над полем функций другой формы. Иначе говоря, мы исследуем пары форм удовлетворяющие условию "сильного расщепления" ^(<Ре('Ф)) >1- В главе 5 мы даем полную классификацию таких пар в следующих случаях: a) dim<£> < 7 (теорема 4.1); b) dim (f — 8, (p € I2(F) (теорема 5.3); c) dim <,2 = 8, jp I2(F): dimф ^ 5 (теорема 6.1).

Среди перечисленных трех случаев, случай (с) является наиболее трудным. Здесь при доказательстве привлекаются результаты, касающиеся групп H3(F(X)/F) (доказанные в предыдущей главе). Основным результатом, покрывающим случай (с), является следующая теорема.

Теорема 10. Пусть <р — 8-мерная квадратичная форма, имеющая нетривиальный дискриминант, и пусть ф — квадратичная форма размерности >5. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) iw(jpF(ip)) > 1; (2) существует 6-мерный сосед q такой, что q С у? и форма qp(ф) — изотропна. В частности, ф — сосед 3-формы Пфистера.

Следует отметить, что обсуждаемая ранее задача о классификации 8-мерных форм, удовлетворяющих условию ii(ip) > 1, является тривиальным следствием данной теоремы. В параграфе 7 главы 5 мы получаем ряд следствий данной теоремы, относящихся к проблемам изотропности. Например, мы описываем все формы размерности ^ 9 такие, что форма (<PF(ip))an определена над полем F с точностью до подобия (см. теорему 7.6). Данный результат тесно связан с вопросами превосходности алгебраических групп ([76]). В параграфах 8-10 главы 5 мы демонстрируем другие приложения полученных результатов. Мы исследуем изотропность форм (р, которые мало отличаются от форм Пфистера, а именно, мы рассматриваем те формы ср, которые удовлетворяют условию dim(<^ L — 7r)an < 2, где 7Г — некоторая форма Пфистера. Основная цель параграфов 8-10 главы 5 — найти все формы ф такие, .что dim^> > dim<£ и форма <рр(ф) изотропна, Основным результатом здесь является теорема 8.5. Например, для формы вида (р .= ((а, 6, с)) L (d,e) нам удается описать все формы ^ размерности большей 11, такие, что форма (Pf(^) изотропна (см. следствие 8.6).

Структура диссертации и основные обозначения.

Диссертация состоит из данного введения, шести глав и списка литературы. Главы 1-3 посвящены вопросам изотропности форм размерностей 6, 7 и 8 над полями функций квадрик. В главе 4 рассматривается случай 9-мерных форм и строится поле с ¿/-инвариантом 9. В главе 5 изучается "сильное расщепление". В главе 6 исследуются вопросы пре-восходности расширений Р(Х)/Р. Каждая из глав снабжена отдельным введением. Все необходимые термины,и обозначения содержатся либо в данном введении, либо в ведениях к главам.

Нумерация утверждений является отдельной для каждой главы. Каждое утверждение имеет двойной номер (теорема 2.9, лемма 4.5, предложение 5.12 и.т.д.). Если мы ссылаемся, например, на теорему 2.9, то ее нужно искать в §2 в качестве 9-того пронумерованного утверждения данного параграфа. Если специально не оговаривается номер главы, то ссылка на пронумерованное утверждение всегда означает ссылку в рамках текущей главы. В ином случае, всегда говорятся фразы типа — теорема 2.9 из главы 3.

Во всех главах мы будем в основном использовать стандартную терминологию и обозначения, относящиеся к квадратичным формам и центральным простым алгебрам. К сожалению, в настоящий момент отсутствует современная монография, включающая все необходимые нам термины. Классические книги Лэма [85] и Шарлау [103] по теории квадратичных форм не содержат ряда важных понятий, которые понадобятся в данной диссертации. К тому же, в литературе существует некоторые разночтения в использовании некоторых терминов и обозначений. Это, например, относится к определению форм Пфистера (¿а\,., ап)), использованию значков типа , понятию полусоседей, и т.д. Чтобы избежать двусмысленности, мы приведем фактически все необходимые термины и обозначения.

Квадратичные формы. Здесь и в дальнейшем будет использоваться обозначение .Р для поля характеристики отличной от двойки. Термин "квадратичная форма над Р" всегда будет означать наличие некоторого конечномерного линейного пространства V над полем Р вместе с невырожденной квадратичной формой (р : V —> Р. Формально говоря, квадратичная форма над Р — это пара (У, ср). Однако, в большинстве случаев принято опускать в обозначениях само пространство V. Об-\ щепринятым является использование фраз типа: </? —- квадратичная форма над F. При этом неявно предполагается, что зафиксировано некое пространство V. В частности, можно говорить о размерности dim<^ квадратичной формы — это размерность пространства V. Так как характеристика поля отлична от двух, то квадратичная форма ip задает скалярное произведение в пространстве V по формуле (u,v) = |(</?(t¿ -+- v) — ip(u) — <fi{v)). В частности, имеет смысл понятие "ортогональный базис пространства V". Если (р — квадратичная форма на векторном пространстве V, то мы будем писать <р = (ai,ü2, ■. ■ ,ап), если

V(xiei +ж2е2 + • • • + хпеп) = а\х\ +.a2xl Н-----h апж2, где ei, в2, ■. ■, еп некоторый ортогональный базис в пространстве V.

При этом, очевидно, п = dime/?. Условие невырожденности формы означает, что все элементы ai,.,an — ненулевые. Для квадратичных форм, как правило, используются буквы греческого алфавита ip, ф, 7г, т,. Единственная буква латинского алфавита, используемая для обозначения квадратичной формы, — это буква q, которая традиционно служит обозначением для форм Алберта (т.е., для 6-мерных форм, с определителем равным —1).

Мы используем обозначения (р L ф л ср = ф для ортогональной суммы форм и изометрии форм. Класс формы <р-& кольце Витта W(F) мы обозначаем через [</?].' Для упрощения обозначений мы будем писать ipi =Ь (f2 вместо [í^i] ± [</?2] для обозначения бинарных операций в кольце Витта. Также, мы будем тензорное произведение форм у? и ф записывать в виде цуф вместо ip ®f Ф- Как правило, вместо <р = ф мы будем использовать обозначение ср — ф, если это не приводит к двусмысленности. Мы пишем ф С <£>, если форма ф изоморфна подформе в ср. Кроме того, фразу "форма ф изоморфна подформе в </?" мы всегда будем говорить в сокращенном варианте: ф — подформа в <р. Мы используем обозначение Ы для гиперболической плоскости (1, — 1). Прямая сумма п гиперболических плоскостей Н L ■•• L Н обозначается через пН. Форма называется гиперболичной, если она изоморфна форме вида пШ. По основной теореме Витта, любую форму ip можно записать в виде (р ~ ipan L ml, где форма <рап — анизотропна. В данном разложении форма <рап (называемая анизотропной частью формы <р) определена однозначно с точностью до изоморфизма. Число т называется индексом Витта формы <р и обозначается через гуу[<р)- Мы будем пользовать обозначение сИта ^р для размерности анизотропной части формы ср. Определитель формы <р мы обозначаем через Ясно, что определитель формы ър = (ах,.■ ,ап) равен det<р = а\ •. • ап. Мы всегда рассматриваем с^ (р как элемент факторгруппы р*/р*2\ Отсюда, в частности, следует, что запись вида с1е1~,(р = 1 для формы (р = (ах,. ,ап) означает, что произведение а\ • . ■ ап является квадратом в поле Р. Знаковым определителем (или дискриминантом) формы (р называется элемент с1±((р) факторгруппы вычисляемый по формуле й±(р =

1)п(п-1)/2 где п размерность формы <р>.

Запись ф ~ <р означает, что формы ср и ф подобны, т.е. кф ~ <р при некотором к в Р*. Мы будем писать ф 9-> <р, если форма ф подобна некоторой подформе формы (р.

Для любого расширения полей Ь/Р мы полагаем <рь = <р®Ь, ]¥(Ь/Р) = кег(Ж(^) и ^n(L/F) = кег(/п(^). —> 1п{Ь)). Для квадратичной формы (р и для расширения полей Ь/Р, мы обозначим через Ас,^) множество ненулевых значений квадратичной формы Иначе говоря, Оь{<р) = {х е Ь* | (х) С <рь}. Через мы обозначаем группу множителей формы (р^. Иначе говоря, = {х € Ь*\ (х) (рь = <рь}

Формы Пфистера, соседи форм Пфистера и полусоседи. Посредством ((ах,. ,ап)) мы обозначаем форму (1,—ах) ® . . . <£> (1,— ап). Данная 2п-мерная форма называется п-формой Пфистера. Множество всех п-форм Пфистера над полем F мы обозначаем через Рп(Р). Через ОРп(Р) мы обозначаем множество форм, подобных п-формам Пфистера. Для любого расширения Ь/Р, мы обозначаем через Рп(Ь/Р) множество форм из множества Рп(Р), которые гиперболичны над Ь\ аналогично ОРп(Ь/Р) — это множество форм подобных формам из множества Рп(Ь/Р). Классы п-форм Пфистера! порождают п-ую степень 1п(Р) идеала 1(Р) четно-мерных форм в Ш(Р). Мы пишем (р е 1п(Р), если [<р] ё 1п(Р).

Мы говорим, что <р является соседом в форме тг, если форма (р подобна некоторой подформе в 7Г и существует натуральное п такое, что 2п~1 < сНт</?< 2П и 7г € СРп(Р). Мы говорим, что <р — сосед, если существует форма 7г такая, что (р — сосед в тг. Ясно, что если (р — сосед в 7Г, то <р — сосед в кж при любом А; € F*. Поэтому для любого соседа ^ существует форма Пфистера 7г такая, что <р — сосед в тг. Мы напомним, что в данном случае форма 7г определяется однозначно с точностью до изоморфизма и называется ассоциированной формой Пфистера для формы <р ([78, Опр. 7.4]). Ключевое свойство "соседства" формы (р в форме 7г заключается в том, что для любого расширения L/F изотропность формы (pL равносильна гиперболичности формы 7гь

Две квадратичные формы <р и ф называются (взаимными) полусоседями, если dimy? = (Итф и существует элемент s € F* такой, что форма (р ± вф подобна форме Пфистера. Ясно, что в данном случае размерности, форм <р и ф являются степенями двойки dim^ = dim^ = 2П, а условие "полусоседства" равносильно следующему: ip = — вф (mod In+1(F)). При этом мы говорим, что ф является полусоседом для формы <£>,

Поля функций квадратичных форм. Для квадратичной формы <р размерности п ^ 3, мы будем обозначать через Х^ проективное подмногообразие в Рп-1, заданное уравнением ср = 0. Мы полагаем F(tp) = F(X(p) если dim<p ^ 3. Если dim<£> = 2 и d = d±(p Ф 1, мы полагаем F(<p) = F(\/d). В оставшихся случаях (т.е. если <р ~ Н или dim^ = 1), мы полагаем F(<p) = F. Для квадратичных форм ip и ф мы обозначаем через F(ip, ф) свободный композит F((p)F(tf>).' Иначе говоря, для квадратичных форм (pi,., (рк размерности > 3, мы полагаем F(<pi <pk) = F{X.V1 х ■ • -xl^;)

Алгебры. Мы рассматриваем только конечно-мерные F-алгебры. Если А — простая алгебра над F, то ее центр Е = Z{A) является подполем в А, а сама алгебра А является центральной простая алгеброй над полем Е. Степень простой алгебры А это число ^ЗппеА, которое всегда является целым и обозначается через deg(A).

По основной теореме Ведербарна, каждая простая алгебра над F имеет вид Mm(D), где D — тело. Кроме того, теорема Ведербарна утверждает, что алгебра А определяет целое число т и алгебру D однозначно (с точностью до изоморфизма). Для числа m мы используем обозначение Coind А. Индекс Шура алгебры А — это ind(^) = deg(Z?). Ясно, что deg(yl) = Coind^) ind(A). Если А - простая алгебра, а В = А х • • • х А то мы полагаем indi? = ind А.

Класс центральной простой Р-алгебры А в группе Брауэра Вг(Р) мы обозначаем через [А]. Экспонента алгебры ехр(Л) — это порядка элемента [А] в группе Брауэра. Если [А] Е Вг2(Р), то т<1(А) является точной степенью двух.

Пусть <р — квадратичная форма. Мы обозначим через С((р) алгебру Клиффорда формы (р. Через Со((р) мы обозначим четную часть алгебры см. ;

Для квадратичной формы (р ф /2(Р) мы обозначаем через т<1 ср индекс Шура алгебры Со (</?). Если ср Е /2(Р), то мы полагаем тдир = т6.С(ср). Если размерность <Нт<р нечетна, мы полагаем с(ср) = [Со(</?)]' € Вг2(Р). Если ср Е /2(Р), то с(<р) = [С(</?)] Е Вг2(Р). Если же Шту? четно и с1 = <1±<р ф Р*2, то С((р) является центральной простой Р-алгеброй, а алгебра Со (У) является центральной простой над полем Ь = Р(л/5). Кроме того, .[Со (</>)]■ = \С(ф)ь] £ Вг2(Ь). В данном случае мы полагаем с(<р) = \С{ф)] Е Вг2(Р). Ясно, что [Со(<р)] = с(ср)ь-.

Для любого набора рь . ,рт квадратичных форм, алгебра Со(/?1) ■ ■ ■ 0р Со (рт) имеет вид А х • ■ • х А, где А — простая алгебра. Следовательно, корректно определен индекс этой алгебры тс1 Со(рг) <8>р • Со(Рт)- Заметим также, что для любой Р-формы ф и любой центральной простой Р-алгебры И корректно определен индекс алгебры С0{ф)®РП.

Пусть И — центральная простая алгебра. Мы обозначим через 8В{Б) (или Хр) многообразие Севери-Брауэра алгебры £), а через Рф) — поле функций Р(ХВ). Для другой центральной простой Р-алгебры V и для квадратичной Р-формы ф размерности > 3, мы положим Р(£>',£>) Р(Хп> х.ЗД и Р(^>,Г>) Р{ХФ х Хв).

Группы когомологий. Через Я*(Р) мы обозначим градуированное кольцо когомологий Галуа #*(Р, Z/2Z) Я*(Оа1(Р8ер/Р), Ъ/2Ъ). Для любого расширения полей £/Р, мы положим Н*(Ь/Р) = кег (Я*(Р) —► Н*(Ь)). Мы будем использовать стандартные канонические изоморфизмы

Я°(Р) = %/2%, Я^Р^Р*/^*2, и Я2(Р) = Вг2(Р).

При этом отождествлении, каждый элемент а Е Р* определяет элемент в группе который мы будем обозначать через (о). Чашечное произведение (ах) и • • • и (ап) мы будем обозначать через (аь ап).

22

При п = 0,1,2 существует гомоморфизм еп : In(F) —> Hn(F), определенный следующим образом: е°((р) = dim<^ (mod 2), е1{ф) = d±cp, и е2((р) = с(у). Кроме того, существует гомоморфизм е3 : I3(F) —> H3(,F), который однозначно определяется условием en(((ai, а^, аз))) = (а1, а2,аз) (см. [14]). Гомоморфизм еп сюръективен, и keren =, In+1(F) при п = 0,1,2,3 (см. [6], [10], и [98]).

Мы работаем с группами когомологий Hn(F,Q/Z(i)), определенными, например,. Бруно Каном в [65] в случаях i = 0,1,2. Для любого расширения полей L/F мы полагаем

Я*(L/F, Q/Z(*)) =. ker (H%F, Q/Z(г)) H*(L, Q/Z(»)))\

При n = 1,2,3, группа Hn(F) естественным образом отождествляется с подгруппой элементов экспоненты 2 в группе Hn(F, Q/Z(n — 1)) .

Относительные группы. Пусть Ф — произвольный функтор на категории полей (фиксированной характеристики ф 2) со значениями в категории абелевых групп. Для любого расширения полей L/F мы будем использовать обозначения §{L/F) для ker($(F) —> Ф(L)). В дальнейшем мы будем использовать, например, Следующие частные случаи данного обозначения: W(L/F), In(L/F), Hn(L/F) и Hn(L/F,Q/Z(i)).

1. Ижболдин, О. Т., Квадратичные формы с максимальным расщеплением // Алгебра и Анализ 9 (1997), 51-57.

2. Ижболдин О. Т., О изотропности квадратичных форм над полями функций квадрик //Алгебра и Анализ 10 (1998), 32-57.

3. Карпенко, Н. А., Кольцо Чжоу проективных квадрик // Диссертация, Ленинград (1990), 80 с.

4. Карпенко Н. А., Алгебро-геометрические инварианты квадратичных форм // Алгебра и Анализ 2 (1991), 141-162.

5. Карпенко Н. А., Меркурьев А. С., Группы Чжоу проективных квадрик //Алгебра и Анализ 2 (1990), 218-235.

6. Меркурьев А. С., О гомоморфизме норменного вычета степени 2 //Докл. Акад. Наук СССР 261 (1981), 542-547.

7. Меркурьев А. С., Простые алгебры и квадратичные формы //Изв. Акад. Наук СССР, Мат. 55 (1991), 218-224.

8. Меркурьев А. С., Гипотеза Капланского в теории квадратичных форм // Зап. Научн. Семин, Ленингр. Отд. Мат. Инет. Стеклова 175 (1989), 75-89.

9. Меркурьев А. С., Группа Ях(Х, К2) для проективных однородных многообразий // Алгебра и Анализ 7 (1995), 136-164.

10. Меркурьев А. С., Суслин А. А., Гуппа Kz поля //Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 54, No.3 (1990), 522-545.

11. Суслин А. А., Алгебраическая К-теория и гомоморфизм норменного вычета //Итоги науки и Техники 30 (1985), 2556-2611.

12. Шиевский М., Пятый инвариант квадратичных форм //Алгебра и Анализ 2, No. 1 (1990), 213-234.

13. Albert A. A., Structure of Algebras, Coll. Pub. 24, Amer. Math. Soc.,Providence, R.I. 1961.

14. Arason J, Kr., Cohomologische Invarianten quadratiscker Formen, J. Algebra 36 (1975), 448-491.

15. Arason J. Kr., Excellence of F(tp)/F for 2-fold Pfister forms, Appendix II in 26. (1997), p. 492.

16. Arason J., Elman R., Jacob B., The graded Witt fing and Galois coho-mology. I, Quadratic and Hermitian forms (Hamilton, Ont., 1983), 17-50, CMS Conf. Proc., 4, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1984.

17. Arason, J., Elman, R. and Jacob, B., Fields of cohomological 2-dimension three, Math. Ann. 274 (1986), 649-657.

18. Blanchet A., Function fields of generalized Brauer-Severi varieties, Commun. Algebra 19, Ho.1 (1991), 97-118.

19. Colliot-Thelene J.-L., Birational invariants, purity and the Gersten conjecture, Proc. Sympos. Pure Math. 58.1 (1995), i-64.

20. Draxl P. K., Skew Fields, London Math Soc., Lecture Note Series 81, Cambridge University Press (1983).

21. Elman R., Quadratic forms and the u-invariant. Ill, Proc. Conf. quadratic Forms, Kingston 1976, Queen's Papers. Pure Appl. Math. 46 (1977) 422-444.

22. Elman R., Lam T. Y., Pfister forms and K-theory of fields, J. Algebra 23 (1972), 181-213.

23. Elman R., Lam T. Y., Quadratic forms and the U-invariant. I, Math. Z. 131 (1973), 283-304. 'f 223

24. Elman R., Lam T. Y., Quadratic forms and the u-invariant. II, Invent. Math. 21 (1973), 125-137.

25. Elman R., Lam T. Y., Wadsworth A. R., Amenable fields and Pfister extensions, Proc. of Quadratic Forms Conference (ed. G. Orzech); Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics 46 (1977), 445-491.

26. Elman R., Lam T.Y., Wadsworth A.R., Function fields of Pfister forms, Invent. Math. 51 (1979), 61-75.

27. Esnault H,, Kahn B., Levine M., Viehweg V., The Arason invariant and mod 2 algebraic cycles, J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), 73-118.

28. Fitzgerald R. W., Function fields of quadratic forms, Math. Z, 178 (1981), 63-76.

29. Fulton W., Intersection Theory, Springer-Verlag, 1984. '

30. Geel J., Applications of the Reimann-Roch theorem for curves to quadratic forms and division algebras, Preprint, Universite catholique de Louvain, 1991.

31. Hartshorne R., Springer-Verlag, 1977, Algebraic Geometry.

32. Hoffmann D. W., Minimal quadratic forms and function fields of quadratic forms., Inst, für Experimentalle Math., Essen, Preprint N° 19, 1993.

33. Hoffmann D. W., Addendum to "Minimal quadratic forms and function fields of quadratic forms", Preprint IEM, Universität Essen, 1994.

34. Hoffmann D. W., On 6-dimensional quadratic forms isotropic over the function field of a quadric, Comm. Alg. 22 (1994), 1999-2014.

35. Hoffmann D. W., Isotropy of 5-dimensional quadratic forms over the function field of a quadric, Proc. Symp. Pure Math. 58.2 (1995), 217-225.

36. Hoffmann D. W., Isotropy of quadratic forms over the function field of a quadric, Math. Z. 220 (1995), 461-467.

37. Hoffmann D. W., Twisted Pfister forms, Doc. Math. J. DMV 1 (1996),67.102.

38. Hoffmann D. W., On quadratic forms of height two and a theorem of Wadsworth, Trans, of Amer. Math. Soc. 348 (1996), 3267-3281.

39. Hoffmann D. W., Splitting patterns and invariants of quadratic forms, Math. Nachr. 190 (1998), 149-168.

40. Hoffmann D. W., On the dimensions of anisotropic quadratic forms in 74., Invent. Math. 131 (1998), 185-198.

41. Hoffmann D. W., Lewis D. W., van Geel J., Minimal forms for. function fields of conics, Proc. Sympos. Pure Math. 58.2 (1995), 227-237.

42. Hoffmann D. W., Similarity of quadratic forms and half-neighbors, J. Algebra 204 (1998), 255-280.

43. Hoffmann D. W., van Geel J., Minimal forms with respect to function fields of conics, Manuscripta Math. 86 (1995), 23-48.

44. Hoffmann D. W., Van Geel J., Zeros and norm groups of quadratic forms over function fields in one variable over a local non-dyadic field, J.» Ra-manujan Math. Soc. 13 (1998), 85-110.

45. Hoffmann D. W., Tignol J.-.P., On 14-dimensional forms in I3, 8-dimensional forms in I2, and the common value property, Doc. Math. J. DMV 3 (1998), 189-214.

46. Hurrelbrink J., Rehmann U., Splitting patterns of quadratic forms, Math. Nachr. 176 (1995), 111-127. <

47. Izhboldin O. T., On the Nonexcellence of Field Extensions F(n)/F, Doc. Math. J. DMV 1 (1996), 127-136.

48. Izhboldin O. T., Isbtropy of low dimensional forms over the function fields of quadrics, Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn, Preprint MPI 97-1 (1997), 1-18.

49. Izhboldin Ö. T., Motivic equivalence of quadratic forms, Doc. Math. J. DMV.3 (1998), 341-351.

50. Izhboldin O. T., The groups H3(F(X)/F) and CH2(X) for generic splitting varieties of quadratic forms, Universität Bielefeld, Preprintreihe SFB 478 Diskrete Strukturen in der Mathematik, Heft 99-111, 1-29. Submitted to K-Theory journal.

51. Izhboldin O. T., Motivic equivalence of quadratic forms, II, Preprint, 1999 April, Bielefeld, 1-10. To appear in: Manuscripta Màthematika.

52. Izhboldin O. T., Field with u-invariant 9, Algebraic K-theory conference, Math. Forschungsinstitut Oberwolfach, 1999. Tagungsbericht 39/1999, 23.

53. Izhboldin O.T., Hoffmann D. W., Embeddability of quadratic forms inPfister forms, Prépublications de l'Equipe de Mathématique de Besançon, 99/06, (1999), 1-25. To appear in Inad. Math.

54. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., Isotropy of virtual Albert forms over function fields of quadrics, Prépublications de l'Equipe de Mathématique de Besançon, 97/07, (1997), 1-11; Math. Nachr. 206 (1999), 111-122.

55. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., On the group H3(F(ip,D)/F), Doc. Math. J. DMV 2 (1997), 297-311.

56. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., Some new examples in the theory of quadratic forms., Universität Münster, SFB 478 Geometrische Strukturen in der Mathematik, Heft 9, Februar 1998, 1-44. To appear in Math. Z.

57. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., Isotropy of Six-dimensional quadraticforms over function fields of quadrics, J. Algebra 209 (1998), 65-93.

58. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., Generic splitting fields of central simple algebras: Galois cohomology and non-excellence, Algebras and Representation Theory 2 (1999), 19-59.

59. Izhboldin O. T., Karpenko N. A., Isotropy of 8-dimensional quadratic forms over function fields of quadrics, Comm. Algebra 27 (1999), 18231841.

60. Jacob B., Rost M., Degree four cohomological invariants for quadratic forms, Invent. Math. 96 (1989), 551-570.

61. Jacobson N., Some applications of Jordan norms to involutorial associative algebras. Advances in Math. 48 (1983), 1-15.

62. Kahn B., Quelques remarques sur le U-invariant, Sem. Theor. Nombres Bordeaux (2) 2 (1990), no. 1, 155-161.

63. Kahn B., Descente galoisienne et K2 des corps de nombres, K-Theory 7 (1993), 55-100.

64. Kahn B., A descent problem for quadratic forms., Duke Math. J 80 (1995), 139-155.

65. Kahn B., Quadratic forms isotropic over the function field of a quadric: a survey., Math. Forschungsinstitut Oberwolfach, Tagungsbericht 24/1995 (1995), 6-7,

66. Kahn B., Rost M., Sujatha R., Unramified cohomology of quadrics, I, Amer. J. Math. 120 (1998), 841-891.

67. Kahn B., Sujatha R., Unramified cohomology of quadrics, II, K-theory preprint archives, Preprint 338, 1999 Mar 15.

68. Karpenko, N. A., On topological filtration for Severi-Brauer varieties., Proc. Symp. Pure Math. 58.2 (1995), 275-277.

69. Karpenko, N. A., On topological filtration for Severi-Brauer varieties II,Amer. Math. Soc. Transi. 174 (1996), 45-48.

70. Karpenko N. A., Codimension 2 cycles on Severi-Brauer varieties, K-Theory 13 (1998), 305-330.

71. Karpenko N. A., Codimension 2 cycles on products of Severi-Brauer varieties, Publications Mathématiques de la Faculté des Sciences de Besancon1997).

72. Karpenko N. A., Chow groups of quadrics and index reduction formula, Nova J. of Algebra and Geometry 3 (1995), 357-379.

73. Karpenko N. A., Characterization of minimal Pfister neighbors via Rost Projectors, Universität Münster, Preprintreihe SFB 478 — Geometrische Strukturen in der Mathematik, Heft 65 (1999).

74. Kersten I., Rehmann U., Excellent algebraic groups, I, J. Algebra 2001998), 334-346.

75. Knebusch M., Generic splitting of quadratic forms, I, Proc. London Math. Soc. 33 (1976), 65-93.

76. Knebusch M., Generic splitting of quadratic forms, II, Proc. London Math. Soc. 34 (1977), 1-31.

77. Knus M.-A., Merkurjev A. S., Rost M., Tignol J.-P., The Book of Involutions, American Mathematical Society Colloquium Publications, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

78. Laghribi A., Isotropie de certaines formes quadratiques de dimension 1 et 8 sur le corps des fonctions d'une quadrique, Duke Math. J: 85 No.2 (1996), 397-410.

79. Laghribi A., Isotropie d'une forme quadratique de dimension ^ 8 sur le corps des fonctions d'une quadrique, C. R. Acad. Sei. Paris, t. 323, Série 1 (1996), 495-499.

80. Laghribi A., Isotropie d'une forme quadratique de dimension ^ 8 sur lecorps des fonctions d'une quadrique, Thèse, Université Paris VII (1996), 495-499.

81. Laghribi A., Formes quadratiques en 8 variables dont l'algèbre de Clifford est d'indice 8, K-Theory 12 (1997), 371-383.

82. Laghribi A., Formes quadratiques de dimension 6, Math. Nachr. 204 (1999), 125-135.

83. Lam T. Y., The algebraic Theory of Quadratic Forms, Math. Lecture Notes Ser. Benjamin, Reading, Mass 1973 (revised printing 1980).

84. Lam T. Y., Fields of U-invariant 6 after A. Merkurjev, Ring theory 1989 (Ramat Gan and Jerusalem, 1988/1989), 12-30, Israel Math. Conf. Proc., 1, Weizmann, Jerusalem, 1989.

85. Léep D., Function fields results, notes manuscriptes prises par T. Y. Laiin, 1989.

86. Lewis D. W, van Geel J., Quadratic forms isotropic over the function field of a conic, Indag. Math. 5 (1994), 325-339.

87. Merkurjev, A. S., K-theory of.simple algebras, Proc. Symp. Pure Math. 58.1 (1995), 65-83.

88. Ohm J., The Zariski problem for function fields of quadratic forms, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1679-1685.

89. Panin I. A., On the algebraic K-theory of twisted flag varieties, K-theory 8, No. 6 (1994), 541-585.

90. Parimala R., Suresh V., The u-invariant of the rational function field over cocal fields, Preprint 1998, To appear in Publ. Math. IHES.

91. Peyre E., Products of Severi-Brauer varieties and Galois cohomology, Proc. Symp. Pure Math. 58, Part 2 (1995), 369-401.

92. Peyre E., Corps de fonctions de variétés homogènes et cohomologie ga-loisienne., CR. Acad. Sei. Paris, Série I 321 (1995), 891-896.

93. Pfister A., Quadratische Formen in beliebigen Körpern, Invent. Math. 1 (1966), 116-132.

94. Pirce R. S., Associative Algebras, Springer-Verlag: New York, Heidelberg, Berlin, 1982.

95. Quillen D., Higher algebraic K-theory I, Lect. Notes Math. 341 (1973), 85-147.

96. Rost M., Hilbert 90 for Ks for degree-two extensions, Preprint 1986.

97. Rost M. , Quadratic forms isotropic over the function field of a conic, Math Ann. 288 (1990), 511-513.

98. Rost M., Ön 14-dimensional quadratic forms, their spinors and the difference of two octonion algebras, Preprint, 1994.

99. Rowen L. H., Ring Theory. Volume II, Pure and Applied Math. 128. Academic Press, San Diego 1988.

100. SansuC J.-J., Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. reine angéw. Math. 327 (1981), 12-80.

101. Scharlau W., Quadratic and Hermitian Forms, Springer; Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo (1985).

102. Schofield A., van den Bergh M., The index of a Brauer class on a Brauer-Severi variety, Trans. Am. Math. Soc. 333, No.2 (1992), 729-739.

103. Shapiro D. B., Similarities, quadratic forms, and Clifford algebra, Thesis, Université Californie, Berkley (1974).

104. Swan R., K-theory of quadric hyper surf aces, Ann. Math. 122, No. 1 (1985), 113-154.

105. Tignol J.-P, Algèbres indécomposables d'exposant premier, Adv. Math 65 no 3 (1987), 205-228.