Движения на касательных расслоениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАКТВЕНННЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМКНИ В.Я.УЛЫШОВА-1БШНА

' На правах рукописи

ИБРАГИМОВА ЯВЙХАНБЗВИ. ШЖЖЗШ

ДВИЖЕНИЯ НА КАСАТЕЛЬНЫХ РАССоЮЕНЖ. 01.01,0'ь - геометрия- и гопалоги»

А в т о. р а ф е р а т

диссертации- на; соискание ученой стелвки кандидата физико-математических наук

Казань - 1992

Работа выполнена на кафедра геометрии Казанского государственного университета имени В.И. Ульянова-Ленина

Научные руководители: Заслуженный деятель науки КЖЗР и ТССР

доктор физико-математических паук, профессор }Б.1.Лаптев!

Доктор физико-математических наук, профессор Б.Н.Шапуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Вишневский, кандидат физико-магматических наук, сгариий п раподаватель' В. Н. Сое ов

Ведущая .организация: Одесски?! государственный университет

ии. И.И.Мечникова

Завита состоится " " ^уШх^&О 199Д.г. вчасов

на заседании специализированного совета по математике'К 053.29.05 Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул.Ленина,18, корпус "2, аудитория 217.

С диссертацией .можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Казань, ул.Ленина,13/

Автореферат разослан " $Л " 199./ г.

' Ученый секретарь специализированного Совета___ /

профессор Б.Н.Шапуков

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАНТВРЖТЕНА РАБОТЫ

Актуальность теми. Наскальные р-сслоенля циффо ротируемых многообразий вгн рвые стали нзуэться японскими математиками (Сасаки, Йио, Илихара, Кобаяси, Моримото и др.). Появление работы Сзсао[1*3 положило начало язуче"чо дифференциальной геометрии касательного рзсоло-знез ринановых многообразий. Он ввёл л касательном расслоении ркманового многообразия Романову метрику, получившую в дальнейшем его имя. рассмотрел ря,\ вопросов, связанных с группой изометрий в касательном расслоении, мёл понятия вертикального и полного лифта векторных полей с базы в 'касательное расслоение.

Общая теория продолжения тензорных, полей и аффинных спяэ-костая с дифференцируемого многообразия в эго касательно расслоение построена Йчо и Кобакои . В этой работе автора изучили полный, вертгсальннй Л!"'ггы тензорных поязй к сг хзноо-тей в .касательном -ассдоенчн, ввел:; полный лафг метрики базы. Понятие гориэоцтального ли^та тензорных полей и оаяакоотеа в касательном расслоении взели Яна и йиихара [3] , Нно и Довно

[>3 изучили касательное раоолеаки» как пространство со турой почти произведения, рассмотрели различило типы кзтр^к :: с огдаосвч,нн;;е с гсшн связности, которце возникает при это», выделили случай, когда база является флнсле рокам пространством. Что кпоаегоя теории евязиссгеи I.-» адсителышх раоолоэаяях, то в зтои направлении с-моткм раб'.;, а Яно К., Леджера А., /исо М,, Мацумото М,, ИорямогоА.., Кагана 5,й,, Рахула Под^зьоко-

го В.Г. и др.

Большое не 'то в по следованиях з-личавт запрос об яифинито-зкмаяишх п^ зоб раз ол гаях хзсатэльно^о рзесховг I н-од ц.1руомш ..^зиэм о заданной связностью. Яио п Кобаясн С';3

изучили икфинлге'зинальшэ аффинные преобразования в каоатзлл-ном расслоении со связностью полного лифта аффинной связности баз« в каслгедькоэ расслоение. Тайно £б! изучил векторы Киллкн-га и векторы геодезических потоков на касательном расслоения ркманового . я ого об разня с метрикой Сасаки, дал описание полей Кшшшга б обцеы :: некоторых специальных случаях. Сато ¡7] изучил инфиннтозишдьнце преобразования е касательном расслоении римановых многообразий с метрикой Сасаки. А.П.Широков [&] рассмотрел обобщвгшс-оинектичбскиэ инфинитаэикалыше преобразования, явллаашеся одновременно голоморфно ;роективнами огне сите ¿но построоиной в касательном расслоении синектической связности. В.Г.Подольский в своих работах изучил двикенич в касательном расслоении римановых многообразий с метрикой Саоаки и полного лифта. Им рассмотрены ржакавы пространства размерности

Й-»3,4, в которые оуществуцт преобразования, индуцироэщие в касательном расслоении о метрикой полного ли<*та преобразо-: лния, перемешивавшие слои. З.ИЛаныхейский (92 рассматривая три группы движений в касательном расслоении со специальной метрикой типа -Сасаки: двияени , сохраняющие расслоенную структуру; движения, состоящие из продолженных преобразований, и произвольные движения, йааёл максимальнув размерность групгш стих 'движений. Одноврменна в касательном расслоении изучались различные структуры, порождаемые структурами или связн-отями, заданными на базе. Было выяснено, что в касатедьнг" расслоениях возникает много Аиффаренциально~геометрич&ских структур, тесно связанных с алгебрами специального вида - так называемыми локальными' алгебрами.

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифф<. анцируомых. многообразий, онабжв! ых

ргхглпчиами (J-структурами. К структура;! а--кого тша относится, в частности, кссательг i структура, структура no«--ii произведения, почти комплексная структура и др. Такко структура естественным образок появляется па гсгсатольных расслоениях.

Вакцую рпдь играют вопросы прядожоная геометрии касательных расслоений к некоторая .допросам физики!, механики, теории относительности. Например, Гажхпро [l<fj изучас вопроси приложения геометрии касательных расслоений г ньютоновским, релятивистским, дигаиичоса:« системам. М.Ако fll} изучил теорию неоднородных связностей на дифференцируемом многообразии, которая применяется пр:: исследовании фикслзровых многообразий и механических систем. Кромо этого, геометрия касательних расслоений даёт наиболее еотеотвонну» основу длч геоиетвий пространства Зчнслври, обцегэ пространстве, пугай Дугласа к, вообщэ, для геометрий пространств линейна элементов.

Послоднео время в этих пространствах'усиленно изучаются автоморфизмы - преобразования, сохранявшие метрику иди связность пространства. Сродзг работ в этом направлении отметки работу А.Й.Егсровз [22] . Основные результаты о полных группах двгакений в фнисдвровых пространствах максимального порядка яр'/.-'надлежащ Ванху [13] и АД.Ьгорову £й} .

П-л рассмотрении вопросов, езязаннлх с автоморфизмами различных пространств эфхзкткг'О используется аппар. : дифференцирования Ли, конструкция которой для произвольного диОфо-рэнцпалино—гвомотри .емкого объекта Ui.r.b.) Элгнер^м £15}. Обобщение производной T*t на случай геомь^р зских объектов, являющихся функциями не .адмш точки, но к направления, то «с-r.s постр ение производной Ли -в пространстве л:ше;;ных эдомг тоа л то of;o6i',erat= . было выполнено Б,i.Лаптевы« [l6j .

За последние десятилетия операция дифференцирования Ли нашла многочисленные применения в ли$^ренцлальн1. . геометрии расслоенных пространств, В.К.иапуков показал, как исходя из понятия производной Ли ка дифференцируемом многообразии, можно построит проиозоднуо Ли в расслоенных пространствах.рзз-личного типа, специализируя классическув формулу производной Ля од д.г.о. к структура соогтзетсгвуадэго расслоения.

Из сказанного виде следует, что иссяодоэйнкя автоморфизмов расслоенных многообразий с заданным:! на них структурами, является актуальной задачей, прдставляап;еД нэу<-'-цй интерес.

''ельн__настоящей работы являете,, изучение двнкэний ка

метрических касатедькнх расслоениях, сохраняющих метрику я различные дополнительные структура, установление сх-..зи между движениями на- касательном расслоении и индуцированными ими движениями на базе, а также с движениями в метрических пространствах линейных элементов.

Методы исследования, В целом в рг 'оте используется класс)'« чвекий аппарат тензорного аналлза. Исследования '^оят локальный характер. Как правило, исп'"гьзуетоя кегодономноа поле рзперов.

Теоретическое и практическое значение настоящей работы состоит в том, что полученные ва касательных раселоенпкх однородные объекты, индуцируит.некоторые объекты в пространстве линейных элементов. Такой подход позволяет пространство линейных элементов, а в частности, финалерово пространство получить из теории касательно расслоений. Д_кжешя метрических прост^.нств линейных элементов можно связать о движениями в касательных расслоениях со специальной метрикой.

Апробация работы. Основные результаты диссертации до -лады-валксь и обсуждались ка сешнаре кафедры геометрии Каза; кого

унииэрситэта Г руководитель проб, Л.П.Нордеи) 1?03~1992 годах; на итоговых нггчдах конферв.:.;лях КГУ, КазГУ, КоШИ; ль УЗ «оязной научт.Д ког'чрзвции по соггеиенным проблемен диОфорзнци--. альной геометрии (г.Одесса, 1934 г.); па УШ-1Х Республиканской межвузовской .сонференцил по математике и механике (г.Алма-Ата, 19№г., Б69г.); иа Ньзду народной геометрической конференции "Лобачевский и современная геометрия" (г.Казань, 1992г.).

Публикации. Содержание диссертаций отражается л работ х [12 - [10]. При атом в [б] автору принадлежит материал, относящийся к касательному расслоен®, а в [9] § 4,

Структура и объок работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 19 параграфов, Текст работы лзлегхен на 137 страницах.. Список литература зклвчаот 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЧВГГАЦИЙ .

Во введении обоснована актуальность темы, новизна, ,, казана цель работы и изл<"-еш основные результаты•диссертации. Даётся краткий обзор исследований по дифференциальной геометрии касательно расслоений, автоморфизма^ обобщенных пространств, дифференцированно Дн.

В первой главе расомат- '.ваятея вопросы дифференциальной геометрии касательных расслоений. Она к£>с.ит частично рМ-орагиз-ннИ характер. Далее специализируются результаты Б'.Н.Ыапукоза [1в] для случая касательного расслозния с учётом рассматриваема*: структур.

В § I даётся лоньгие касательного расслоения ТМ. Определьпч касательная структура I/ Рассматриваются вертикальныз

„екторные подл и •оризонгальнао 1-фирмы на та. Даёт*" * опреде.; нис- полного л вертикального лифга функции, вектор;!'»'« полл, к*-

- "О -

векторного поля, тензорного поля и типа (0,2), произвольного тензорного подл Т. Знписанк компоненты этих яг тов в натуральном репере. Вводятся проектируемые векторные поля и гор1зоя-таЯьнне 1-фориы.

В § 2 гётся определение инфинитеэимальной связности на ТК, горизонта „чих векторных полой и вертикальных 1-форм. Рассматривается структура почти произведения, задание которой сводится к заданию аффинора f~ . Даётся определение

адаптированного базиса.

2 § 3 рассматривается тензорные поля ?'< касательном ре -слоен'"'. Даётся определение проектируем jc тензорных, полей. Выписаны «.оппоненты полного, горд зонта ль ного и вергикального

листов векторного поля, коаекторного поля и тенз(¿ного поля типе (0,2)- относительно адаптированного репера,'структурные уравнения поля адаптированных реперов.. Рассмотрены различные типы мотрик: полного ,-.ифта, Сасаки и согласованные с ними с дз~ 1)0"тя относительно Е.чаптироэанногп реп?~а,. Дано определение^-проектируемой метрики.

В § Ч рассматриваются внешние связности с кручением. Приведены различные типы связностей: приводимо,!, вполне приводи- ■ мой, касательной. Записаны формулы для' вычисления тензоров кривизны и кручения в адаптированном репере.

В § 5 получен« формулы для вычисления коварие. ..тшх производных I и Л рода для различных объектов, тождества Риччи и Бланки.

3 § 6 дан^ определение канонической связности,для которой

И V

¿¿^приведена теорема Б.Й,!2апукова существования и единственности такой, свяэнооти на касательном расслоении с рямаиавой. »етрикой и выя "¡саны коэффициенты ? ком-

поиенты тензора кручения для этой связности.

Глава вторая посвдщбни изучения "азличних дв!иаг..,л на касательном расслоен!!., с различными :етриками.

В § 7 вэодится операция днЛферэнцирования -in щ касательном расслоении. Получоны формулы для зичиг *ешя производной Лг для различных д.г.о. в актированном поло реперов, в ч'.сгиых и :сова-риантиых прочэводних. Найдена производная Ли от аффиноров f~ структуры почти произведения и касательной структуры 7' и ¿¡иле-кен их геометрически!! смысд.

В §§ 8-Ю изучаются движения на касатояышх расслоениях соответственно' с произвольной метрикой, о метрикой полного .лифта и метрикой Сасаки. Рассмагрлваэтся различим типы в.п. и наход:--?-ся необходимее и достаточны© условия, при которых эта векторные поля определят? явк*лниж заданных м-.тркк.

В § II записан!' уравнения Шиллинга ~0 D ^овари-

антшх производных: ДЩьа) ~ + Щ& = О,

VAVe, + йвлб1Ге, Vе,

Глава третья посвящена иаксимально-подвшхним касательным расслоениям.

В § 12 изучаются произвольные движения на касательно.". рс-олоеиия с. метрикой общего вида. С использованием метрической связности с кручением: ^ ' каЙ11еии mi инте-

грируемости уравнений Киллинга.,

Выяснен о*1аол получб.г'х условий интегрируемости. Установлена отруктура тензора криви:- -ч и крупния, тензор Риччи для л рост-оанств, допускающих максимальную гругпу движений, а также максимальна порядок rpjimit таких движений, который равен чи<* у

- 10 -

В § 13 изучаются движения на касательное расолоенли с произвольной метрикой, относительно ксторых иа дриантна заданная ортогональная £//Т -структура; . в предположении, что метрическая связность с заданным кручением является канонической. НаГг н максимальный порядок группы таких движений

установлена структура тензора кривизны и кручения, тензора йгччи для максш-гально-подзгашых касательных расслоений.

В § К- изучаются движения, относительно которых инвариантна также и касательная структура: ^^а 85 0 в предположения, что распределения £ и 7 С/ -изокетричны, а "чданная 'метричес я овязк'оть является канонической. Нг:йде.. максимальный порядок группы двшений *?)- н установлена структура тензора .

кривизны и кручения, тензора Риччи для максимально-подвижных.-касательных' расслоений этого типа. '

В § 15 изучаются движения, определяемые полными лифтами и сохраняющие ортогональную ^-структуру и касательнуи структу*» р., Найден максимальный порядок группы таких движений К^У^М! и установлена структура тензора кривизны и кручения» тензора Риччи для максимально-подвк ных касательных расслоения данного типа. ' , ■ '

Глава четвертая посвящна однородным объектам на касательных расслоениях.

В § 16 введен* понятие однородного д.г.о., как д.г.о. инвариантного относительно группы олоевых гомотетий:

С помощь» производной Ли условие однородности записывается в виде ФО^-О > где ЩО. се2)-поле олоовсй гомотетии. Для таких •гя' '

д.г.f\ как тензор произвольного ранга, объект аффинной связности это условие получено в натуральном и адаптированном репере. Введено понятие обобщенного измерения Ър-З-^Ь , где £ -число кон",разирианткь!х, а -чиоло ковариантных слоз-внх индексов д.г.о. Sh .

В § 17 найдены необходимые и достаточные условия, при коа-рых производная Ли от однородного д.г.о. является однородным объектом того же обобщенного измерания. Зыяснен смысл полученных уоловкй. '

3 § 18 дани приложения полеченных результатов к пространствам линейных элементов. Рассматривается отображение

Л'- 7о(Н^"^Р/И)-главноэ -расслоение о оператором

группы Od" » где 'JlfM) -расслоение ненулевых, векторов,

(Л^, -группа Ли положительных веществе час чисел, которая действует ^а То (И) как группа слоевых гомотетий, а f"(M) ^ТКМ)/^^ -eavb пространство линейных элементов.

• .Изучается метрическая финслброва связность. Найдены условия, при которых всякая каноническая связность на расслоении(tf) J-J -проектируется в аффинную связность пространства линейных элементов. -,

В § 19 найдены необходимые и достаточные условия, при которых из уравнений Киллинга на каортельном ¿дсслоении мокно получить уравнения Ниллишч в пространство линейных элементов.

Научная новизна и основные результаты дк сертации, выносимые на, защиту.В данной работэ:

1. Построена операция дифференцирования Ли на касательном расслоении.

2. Получены необходимые и достаточные условия, при которых

- 12 -

различные векторные поля определяют движения произвольной метрики, метеки йодного лифта и метрики Сасаки на касательном рас с л ос № л:,

3. Изучены следующие види движений на касательном расслоении: произвольные движения, движения, сохраняющие ортогональную -структуру;'движения, относительно которих инвариантна также касательная структура; движения, определяемые полными лифтами векторных полей. Найдены условия ин. грируемостл уравнения Киллинга, Определена структура тензора кривизны и кручения и установлен м1 .пмальшй порядок группы указанных движении.

4. Введено понятие однородного д.г.о. а на ТМ; обобщенного измерения . Дани приложения к пространствам линейных элементов. Установлена связь между движениями на касательном расслоении к движениями в прост^нстве ..лнейных элементов.

Работа выполнялась в рамках открытой научно-исследовательской теки кафвдрн геометрии Казанского государственного университета "Изучение сбобщеншх пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", номер государственной регистрации Ё 0186.0123456.

Приношу свои глубокую благодарность научным руководителям д.ф.м.н., профессор- Б.Л.Лаптеву и д.ф.м.н,, профессору Бл1. Шалукову за постоянное пвимание и помощь при выполнении настоящей работы.

- 13 -Литература

1. Sasaki Sh. On the diferoniial goотоtry of tangent bundlea of Hiemnnnion manifolds 1// 2ohoku Math. J. - 1950.-K-, и з. - p. 33S--T4.

2. Уопо К., Jiobayaohi Sh. Pxolonci.tioae of .enaor flolda find coimeatioao to toacent; bundleo, 1 Consrnl tteory//

J.Math.Sou.Jap em. - 19<5£. - 13, if 2. - P.194-210.

3. 1'ano K., Jchir.ara Sh. KoTioontal lifts of tenaor fields and oo:moctiona to tangent bundles // J.Ka,th. and 3>>ech.. - 19b.. - 16, II 9. -i.IOi5.-w29.

4 Уапо К., DaviQ3 2.*ji. lie tile з end connections in the toncsnt bundle/7 Kodai Uath.Sesij^.r-uts.- 1971. - 23, И 4.- B.493-504.

5^ Тало К., Kobayanhi Sh. Prolongations of tensor fields

елй connactios to tangent bundles, II. Infinitesimal

automorphisms ' // J.t'.ath.Sos.Japan.-1966. - 18, N 3.2. 236-246.

6. Г anno Sh.Killing vectors end goods sic flow vcc1;ora on. tangent bund" a // J.reine tmd angow. ilath.- 1976. -282. - P.162-171.

7. Sato K. Jnfiniteoinal ffinno transformations on tho tan gent bundles with Sasaki raetriJk // lob xu Math.J.-1974. - 26, W 3. - P. 353-361.

3. Широков А.П, 0 голоморгано-проектнвшх преобразованиях в касательном расслоении //Гр.гепматр. семинара.- Казанок.ун-т, 1979, - вып.II.- С.Ш-т.

- Il, -

9. Паньжонекий B.iL .0 движениях в касательном расслоении о

метрикой Саоики. Пнз.гос,пед. ин-т— Пенза,1989— Юс.- Деп. в

ВЙН:ГГИ 10.02.89, К 115*1-369.

Ю. Taahihiro Iw&i. Yiitinga о£ tnXinxtasiinal tr&noXoraa.-

tione ci' a RAeracœnian manifold to its taagent bundle

v/iht c.pplio,a.-ticac to diiuunioal syotcns // Censor— 1977— 31, I.T 1. - Ï.98-102»

11. Ако M. нoit l&iear oomaectio„ la vector andloe // Kad-ai Uftth.Semia.Eopts, 19SC—18, M 4. - Р.307-Э16.

12. Ercj,-,a А.И. Максимально-подвижные метрические пространства линейных и гиперплоскостних элементов различных дакунар-ноотей //Дифферэнц.геометрия,- Саратове»,ун-т,1991,- вып.10— С.11-23.

13. Wang Halen-Chiuig. On. S ï'inBler sps,„as with ioccploteljr intâgrttble egu&tlona oi Killing // J.London bïath.Soa— 1947« - 22. - Г. 5-9.

14. Егоров А.И. Максг-адьно-подвижные финсдерови пространства //Уч.зап. Пенз.гос.пед. ин-та— Рязань,- 197^— С.17-21.

15. Вагнер В.В, Теория геометрических объектов и теория конечных'и бесконечных групп-преобразований //ДАН СССР,- 1945.

- Ï.46,» 9.- С,383-386.

16. Лаптев БД, Произв^-ная Ди для объектов, являющихся функцией точки и направления //Изв. КИЮ,- 1938.- Т.10,- С.3-33,

17. Шапукоа Б.Н, Производная ли в в «горных и тензорных расслоениях //Тр.геометр, семинара— К- эенок.ун-т, 1933— вып. 1$.

- G.64-93. '

16. Шапуков Б.Н. Теория кривизны вокторного расслоения //Гр.геометр, семинара.- Казанок.-ун-т, 1976.- вып.9.- СЛ18-137.

19. Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. Метрические рас юения и некоторые их приложения //Тр.геометр, семинара.- Казанок.ун-т, 1990,- вып.гО.- С,44-53.

Публикации автора по томе диссертации.

1. Жрагамова Р.Х. Движения на касательных расслоениях /Да за не к. ун-т.- Казань,1933,- 18с.- Дэп. в ЗИНОТ ЛН СССР 4.03.83.» 1159-33 Деп.

2. Ибрагимова Р.Х, Однородные объекты на касательном расслоении //Когаисх.уи-т.-"Казань,1983.- 18о.- Деп. в ВИНИТИ АН СССР 23.06.83,» 3427-33 Деп.

3. Ибрагимова Р.Х. Движения в касательных расслоениях со специальной метрикой //Казанок.ун-т,- Казань,т983.~9с.~ Деп. в ВИНИТИ ЛН СССР 27.01.84.501-84 Деп.

4. Ибрагимова Р.Х. Однородные объекты на касательном расслоении //Изв.ву зов. Матем.-1984.-}? 2.- С.66-68.

5. Ибрагимова Р.Х. Движения в касательных расслоениях //УШ республ.конЬ. по пат. и мех. Тезисы докладов,- Алма-Ата,

1984.- С.177. .

6. Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. АвтоморГгдзмы рассюенных пространств //УД Воесоозг конф. по созрел, пробл. дифф.гоои. Тезисы докладов.- Одеоса,1984,- С.56.

,7. Ибрагимо*«-Р.Х. Движения в касательных расслоениях оо специальной метрикой //Диффе^нц.геометрия.- Саратовск.ун-т,

1985.- вып.8.- С.17-2?.

- 16 -

8, Ибрагимова Р.Х. Метрические связности на касательном расслоении //IX республ.конф. по нат. и.м»х. Тезисы докладов. - , Алма-Ата,1989.^ С.158. '

9, Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. Метрические расслоения и некоторые их приложения /Др.геометр, семинара.- Хаза но к. ун-т, -1990.- вып.20,- С.<й-58.

10. Ибрагимова Р.Х. Двииения на касательно расслоениях //Международная геометрическая конференция "Лоб? евский и современная геометрия". Тезиоц докладов,- Казань, 1992.- С.З'и