Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высшего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СМОЛЯКОВА ЛАРИСА БОРИСОВНА

МНОГООБРАЗИЯ С ИНТЕГРИРУЕМЫМИ ПОЧТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМИ СТРУКТУРАМИ ВЫСШЕГО

ПОРЯДКА

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань — 2006

Работа выполнена на кафедре геометрии механико-математического факультета Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Шурыгин Вадим Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Евтушик Леонид Евгеньевич

кандидат физико-математических наук, профессор Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация:

Московский государственный педагогический университет

Защита состоится 21 декабря 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ГОУ ВПО «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина» по адресу: 420008 Казань, ул. Кремлевская, 18, в ауд.; конференц.зал научной библиотеки

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке нм, Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И, Ульянова-Ленина

Автореферат разослан « > ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами принадлежат к классу гладкихмно-гообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами Вен-ля. Теория многообразий над ассоциативными коммутативными алгебрами тесно связана, с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков на многообразиях, геометрией и топологией слоений.

Структуры гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами в смысле А. Вейля [20], [16] естественно возникают на различных расслоениях струй над вещественными гладкими многообразиями. В частности, структуры многообразий над алгебрами несут на себе касательные расслоения [10], расслоения го-лономных, неголономных и попуголоыомных (ТУ, д)-скоростей Ш. Эрес-мана, расслоения реперов высших порядков [14], [6]. В.В.Вагнером [2] локальные алгебры применялись для описания строения касательных пространств и дифференциальных групп высших порядков. В.В.Вишневским [3] были построены полукасательные расслоения высших порядков, ассоциированные со ступенчато расслоенными многообразиями [8], являющиеся реализациями многообразий над алгебрами К(ег) плюральных чисел, моделируемых Л(£г)-модулями общего вида.

Теории расслоений Вейля и функторов Вейля посвящено много исследований. Укажем, кроме упомянутых выше, работы А. Мори-мото, Л. Паттерсона, П. Юэна, А. П. Широкова, И. Коларжа, Э. Ока-ссы, А.Я. Султанова, В.В. Шурыгина, Г.Н. Бушуевой(см. [5],[6],[9-13], [16]). Детальное изложение различных подходов к определению функторов Вейля и их связи с функторами, сохраняющими произведение,

содержится в монографии И. Коларжа, П. Михора и Я. Словака [16].

*

В. Микульским' [17] была получена классификация расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории расслоенных многообразий. Всякий такой функтор определяется гомоморфизмом (I : А —»• В локальных алгебр и относит расслоению р : М —» N расслоенное произведение Т»р : Т»М = ТКЫ хтвм TAN.

I

И. Томашем изучались лифты проектируемых векторных полей с расслоенного многообразия р : М N на В случае, когда

: А —»• В — эпиморфизм, расслоение Т^М несет на себе структуру гладкого многообразия над. алгеброй А, моделируемого А-моду-лем вида АпфВ'л. Расслоение ТММ, соответствующее эпиморфизму алгебр плюральных чисел, эквивалентно полукасательному расслоению второго порядка, изучавшемуся В.В. Вишневским и Т.А. Пантелеевой [4].

Расслоение ТММ, соответствующее эпиморфизму локальных алгебр (I : А -+ В, можно определить и для слоеного многообразия (М,.?*) произвольного вида. Прп этом расслоение Т^М, соответствующее эпиморфизму ¡1: А —► Н, эквивалентно расслоению трансверсальных А-скоростей Т£М на (М, Т). Для различных локальных алгебр А строение и геометрия расслоений трансверсальных А-скоростей изучались Т.В. Дуком, Р. Волаком, 3. Погодой, В.В. Шурыги-ным (см. [10], [12], [16]).

Многообразия над локальными алгебрами и, в частности, многообразия с интегрируемыми почти касательными и почти трансвер-сальными структурами, несут на себе канонические слоения. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений исследовались в работах Ф.Брикелла и Р.Кларка, М.Крэмпина и Дж.Томпсона, Дж.Томпсо-на и У.Швардмана, С.Де Филиппо, Дж.Ланди, Дж.Мармо, Дж.Ви-ласси, М.де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо, В.В. Шурыгина (см.

обзорные работы [10],[12]). Проблема эквивалентности симплекти-ческой структуры стандартной структуре кокасательного расслоения исследовалась М.К.Фамом. Геометрия многообразий с почти комплексными структурами, структурами почти произведения, /структурами и другими полиаффинорньади структурами изучалась многими авторами. В связи с этим отметим монографию К.Яно [21] и обзорную работу В.Ф.Кириченко [7], где можно найти ссылки на литературу по теории указанных структур.

Таким образом, изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков и, в частности, многообразий, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида А" ф В™, является актуальной задачей дифференциальной геометрии многообразий с интегрируемой структурой представления коммутативной ассоциативной алгебры.

Целью диссертационной работы является изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида А" ® В™, где В = А/1 — факторалгебра алгебры А по некоторому идеалу I, и расслоений УМ над слоеными многообразиями (М,Т), определяемых эпиморфизмами локальных алгебр р : А -Э- В.

Методы исследования. В исследованиях диссертации применяются методы изучения естественных расслоений и функторов, сохраняющих произведения ([16]), методы теории многообразий над алгебрами ([3],[5],[10],[12]), а также методы теории слоений и теории (X,С?)-мнообразий ([1], [19]). При исследовании вопросов, относящихся к геометрии расслоений Вейля, используются методы теории дифференциально-геометрических структур на многообразиях

(И,[18]).

Научная новизна. Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты,

1. Получены общие формулы для локального представления дифференцируемого над локальной алгеброй А отображения из области А-модуля А" в В"1 в А-модуль А"' ф Вт'.

2. Построено расслоение Т^М /¿-скоростей слоеного многообразия (М, Т) и исследована структура многообразия над алгеброй А, моделируемого А-модулем А™ ф В™, возникающая на этом расслоении. Исследованы свойства функтора ^-продолжения У на категория слоеных многообразий. В частности, доказано, что функторы Т^ о Т1*1 и Т^1 о Т1*1 естественно эквивалентны. С использованием этого результата построены лифты функций, векторных полей и линейных связностей с многообразия на расслоение Т"М.

3. Построена категория слоеных А-гладких многообразий Мь, моделируемых А-модулями вида Ь = А"фВт. Построены представления голономии слоев канонического слоения многообразия Мь, обобщающие одновременно представления голономии слоев в смысле теории слоений и представления голономии слоев как (ЛГ, (^-многообразий.

4. Понятие радиантного А-гладкого многообразия распространено на категорию многообразий, моделируемых А-модулем Ь = А" ф В"*. Доказано, что всякое полное радиантное. многообразие Мь изоморфно расслоению ТРМ некоторого вещественного слоеного многообразия (М,^),

5. Доказано, что всякое полное слоеное многообразие Мь, допускающее сюръективную слоеную субмерсию с односвязными слоями на (п + т)-мерное многообразие М со слоением коразмерности п, изоморфно расслоению ТММ.

6. Построено обобщение конструкции П. Молино ко гомологии

тензориальных форм на слоеном главном расслоении на случай тен-зориалъных форм на расслоении расслоенных А-линейных

реперов на многообразии Мъ. В терминах построенных ¿-когомоло-гий тензориальных форм построено препятствие (класс Атьи-Мо-лино многообразия Мъ) к существованию А-гладкой линейной связности на Мь.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях в трансверсальной геометрии слоений, геометрии и топологии многообразий, моделируемых модулями над алгебрами Вей л«, теории дифференциально-геометрических структур высшего порядка.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Международной летней школе-семинаре Волга—2001, Казань, 22 июня—3 июля 2001 года;

Научной конференции, посвященной 125-леТию Казанского государственного педагогического университета. Казань, 22—24 октября 2001 года;

Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 28 ноября—1 декабря 2001 года;

Международной конференции по геометрии и анализу. Пенза, 9— 11 октября 2002 года;

Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова "Колмогоров и современная математика". Москва, 16—21 июня 2003 года;

Международной молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 16—18 декабря 2005 года;

Геометрическом семинаре Пензенского государственного педаго-

гического университета, 5 октября 2006 года.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 116 страниц и состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Список литературы насчитывает 114 названий. Нумерация предложений, теорем и формул в главах изолированная.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

Глава 1 посвящена описанию категории многообразий над алгеброй Вейля А, моделируемых А-модулями вида А"фВт, и действию функтора ц-продолжения, определяемого для эпиморфизма локальных алгебр ц : А —V В, на категории многообразий со слоениями.

В начале главы приведены необходимые определения из теории локальных алгебр Вейля и расслоений Вейля. §1.3 посвящен доказательству теорем о локальном строении А-гладких отображений между А-модулями некоторых типов, обощающих теорему о локальном виде А-гладких отображений из области А-модуля строк А" в А-модуль А* [12]. В этом параграфе найдены локальные выражения для А-гладких отображений вида Ап —* Ь и В" —» Ь, где Ь — некоторый А-модуль, а В = А/1 — фактор ал гебра(теоремы 1.3.1, 1.3.2). Основным результатом параграфа является

Теорема 1.3.3 Пусть « Ф \У2 С Ап ® Вга — открытый

координатный параллелипипед по отношению к вещественным, координатам в АпфВт, определяемым базисом {еа} = {е$ = 1, е А таким, что {еа., е^} — базис максимального идеала А алгебры А, а {е^} — базис идеала I. Отображение Ф : W —^ А"' ф В*"' является А-гладким тогда и только тогда, когда оно имеет вид;

. f 1 ^

... »1 Ои+1,ц>в' в о

где ut v up — мультииндексы, q — высота алгебры А, а функции ^/(г*), <ра'{х\уа), и-ф''(х1,уа) принимают значения соответственно в А, Ш и Ann (I).

В §1.4 вводится понятие д-скорости на слоеном многообразии (М, JT), где fi : А —► В — эпиморфизм локальных алгебр:

Определение. Лее А-скор ости и в точке х 6 М называются /¿-эквивалентными, если они определяют одну « ту же трансеерсалъную А-скорость j£xf = и одну и ту же В-скорость j®/ = jfg в х € М. Класс fi-эквивалентности jgf А-скорости называется ¡х-скор остью в х € М.

Далее в этом параграфе определяется функтор Тм, относящий слоеному многообразию (Af, J?7) расслоение р-скоростей Т"М над (М, JF), а морфизму слоений — морфизм расслоений ^-скоростей. Доказано

Предложение 1.4.3 Расслоение Т^М несет на себе естественную структуру А-гладкого многообразия, моделируемого А-моду-лем А" ф В™.

В §1.5 в ведена'категория (А, В)/—Мап слоеных А-гладких многообразий, моделируемых А-модулями вида Ь = А" ф Вт. Многообразие Мь, моделируемое А-модулем Ь, называется слоеным, если на нем задан Ь-атлас с функциями склейки, сохраняющими слоение на А" ф Вт, определяемое проекцией Ап ф Вт —»• Ап. Слоеное многообразие Мь несет на себе каноническое слоение слои которого являются Вт-многообразиями. Многообразия из категории (А, В)/—М.а.п называются слоеными Ь-многообразиями.

Показано (предложение 1.5.1), что функтор Т^ может рассматриваться как функтор из категории слоений Уо\ в категорию (А, В )/-Мап.

В главе 2 изучаются аналитические продолжения морфизмов слоений <р : М Т^М' и лифты геометрических структур со слоеного многообразия М на расслоение Т^М.

В §2.1 доказано следующее

Предложение 2.1.1 Пусть и (М', З7') — слоеные много-

образия « у> : М Т^М' — морфизм слоений. Тогда существует единственное слоеное А-гладкое отображение у* : Т^М —► УМ', ограничение которого «а многообразие М, отождествляемое с образом нулевого сечения, совпадает с (р. В частности, сечение з : М —► Т^М, являющееся морфизмом слоений, единственным образом продолжается до изоморфизма з1*: ТЦМ —+ ТММ в категории (А, В )/-Мап.

В §2.2 изучается действие функтора Т" на категории расслоенных векторных пространств. Показано (предложение 2.2.3), что применение функтора Г" к расслоенному векторному пространству дает расслоенный А-модуль, изоморфный А-модулю А" ф Вт,

В §2.3 доказана (предложение 2.3.2) естественная эквивалентность функторов Т« оТм , Т^ оТ" и Г"1®'1*, рассматриваемых

как фукторы из категории слоений Ро1 в себя, и показано (предложение 2.3.4), что эта естественная эквивалентность определяет на многообразии Т^Т^АГ) естественную структуру многообразия над алгеброй Аз, моделируемого Аг-модулем ф В™*, где пз = псЦта А1, тп^ = т,сИтд В1. В этом параграфе рассмотрены также некоторые частные случаи вышеуказанных эквивалентностей.

В §2.4 с использованием результатов предыдущего параграфа построены лифты функций и векторных полей с многообразия (М,Т) на расслоение Т^М и исследованы их свойства.

В §2.5 (предложения 2.5.1, 2.5.2) доказано, что применение функтора Тм к главному расслоению расслоенных реперов В^М(М, Су(Кя+'71)) слоеного многообразия (М, Т) приводит к главному расслоению над Т^ЛГ, которое естественно эквивалентно главному расслоению В^А^Т^М^М, СГ^Ь, А)) слоеных А-гладких реперов многообразия Т*М. Использование этого результата позволяет получить (предложение 2.5.3) лифт слоеной линейной связности с многообразия (М, Т) на расслоение Т^М.

Следующие две главы посвящены изучению слоеных А-гладких многообразий Мь, моделируемых А-модулями вида Ь = Ап ф Вт.

В главе 3 рассмотрены некоторые специальные классы слоеных многообразий Мь и найдены условия, при которых многообразие, принадлежащее одному из этих классов, эквивалентно расслоению Т^М некоторого слоеного многообразия

В §3.1 вводится понятие радиантного слоеного Ь-многообразия Мь как Ь-многообразия с Ь-атласом, функции склейки которого принадлежат псевдогруппе локальных А-диффеоморфизмов А-мо-дуля Ь, порождаемой ^-продолжениями вещественных диффеоморфизмов. Введенное понятие радиантности является обобщением ана-

логичного понятий теории аффинных многообразий, использовавшегося в работе В. Гольдмана и М. Хирша([15]). Для А-гладких многообразий, моделируемых А-модулями А", приведенное выше определение радиантности совпадает с определением, использовавшимся В.В. Шурыгиным.

Основным результатом §3,1 является теорема 3.1.1, утверждающая, что радиантное А-гладкое многообразие Мь, слои которого являются полными многообразиями (в смысле теории (X, С)-многообразий [1]), изоморфно в категории (А, В)/— Мап расслоению Т^М для некоторого слоеного многообразия (М, Т).

Эта теорема является обобщением аналогичных результатов работ В.В. Шурыгика, Ф.Брикелла и Р.Кларка, Т.В. Дука, а также работы М.де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо, относящихся, соответственно, к случаям полных радиантных А-гладких многообразий, моделируемых А-модулем А", полных близко касательных, полных квазитрансверсальных и полных близко р-касательных структур на многообразиях(см. [11]).

Поскольку функции склейки слоеного многообразия Мь сохраняют слоение на А" ф Вт, определяемое проекцией Ап ф Вт И™4™, то, кроме слоения Р1*, слоеное многообразие несет на себе еще

о

одно каноническое слоение Т, вдоль слоев которого постоянны вещественные части координат на Мь.

В §3.2 вводится представление голономии слоя канонического сяо-ения Т на М , обобщающее одновременно представления голономии слоя в смысле теории слоений и в смысле теории (X, С)-многообразий. Для многообразий с тривиальной голономией доказана следу-щая

Теорема 3.2.1 Пусть Мь — полное слоеное А-гладкое многообразие, — вещественное слоеное многообразие, р : Мь М

— сюръективная субмерсия, удовлетворяющая условиям.*

1) слои субмерсии р односвязны « являются слоями каноякчес-

о

кого слоения Т,

2) субмерсия р является морфизмом слоений по отношению к каноническому слоению J-^ на многообразии ML.

Тогда многообразие ML А-диффеоморфно расслоению ВейляТ^М.

Заключительная глава 4 посвящена обобщению конструкции П. Mo-лино ¿^-когомологий тензориальных форм на слоеном главном расслоении на случай тензориальных форм на расслоении B\ML расслоенных А-линейных реперов на слоеном многообразии ML.

В §4.1 рассматриваются два А-модуля L — А" ф Bm, L' = А"' Ф Вт' и расслоение L' ® A1ML всех L'-значных 1-форм на ML. Это расслоение можно разложить в сумму Уитни расслоений

L' ® А1МЬ = A'(L')l_UnML ф KiVfM^,

где A'(L')Jf д.и^М1, — А-модуль расслоенных L'-значных А-линейных форм на ТхМь. Внешние произведения f i Л ... Л (Г А щ Л ... Л г}„} где T)i,... ,г), — расслоенные А-линейные 1-формы, a ,..., Çr £ A(L')yAÎL, образуют подмодуль A(L')^*Ml в модуле V @ Aj^JML. Построен оператор

d = ârj : ÎÏ(L')r,i(t/) fi{L')r+M(l/),

где символом П(1/)Г,,(У) обозначен А-модуль гладких сечений расслоения

A(L')r,*A/L CL'® Ar+*iWL ML.

над открытым множеством U С Мь. Доказано

Предложение 4.1.11) dod — 0, и, таким образом, для каждого з слоеному многообразию ML относится комплекс дифференциалъ-

ных форм:

2) Грз/ппы когомологий Нт>"{и)Мь этого комплекса не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора подрасслоения

В §4.2 в терминах ¿-когомологий тензориальных форм построено препятствие (класс а(ВхМ^) Атьи-Молино слоеного многообразия Мь) к существованию А-гладкой линейной связности на Мь:

Теорема 4.2,1 а(ВдМь) = 0 тогда и только тогда, когда существует слоеная А-гладкая связность в расслоении ВаМь.

ЛИТЕРАТУРА

1. Апанасов, Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий. / Б. Н. Апанасов // — М.: Наука, 1991. — 432 с.

2. Вагнер, В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. / В. В. Вагнер // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 10. — МГУ, 1956. — С. 31-88.

3. Вишневский, В. В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры. / В. В. Вишневский // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 20: Проблемы геометрии. — М.,1988. — С. 35-75.

4. Вишневский, В. В. Голоморфные продолжения объектов в полукасательное расслоение второго порядка. / В. В. Вишневский, Т. А. Пантелеева // Известия вузов. Математика. — 1985. — N 9. — С. 3-10.

5. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами. / В. В. Вишневский, А. П. Широков, В. В. Шурыгкн. — Казань: изд-во Казанского университета, 1984. — 264 с.

6. Евтушик, JI. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. / JI. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, H. М. Ости-ану, А. П. Широков // Итоги науки и техники,/ВИНИТИ — Т, 9: Проблемы геометрии. — М.,1979. — 247 с.

7. Кириченко, В, Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств. / В. Ф. Кириченко // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 8: Проблемы геометрии. — М.,1977. — С. 95-126.

8. Остиану, H. М. Ступенчато-расслоенные пространства. / H. М. Ос-тиану // Труды геом. семин./ВИНИТИ АН СССР — Т. 5. — М-, 1974. — С. 259-309.

9. Султанов, А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля. / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика.

— 1999. — N 9. — С. 81-90.

10. Широков, А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. / А. П. Широков // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 12: Проблемы геометрии. — М.,1981. ~ С. 61-95.

11. Шурыгин, В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй. / В. В. Шурыгин // Успехи мат. наук. — Т. 48, вып. 2 (290). — 1993. — С. 75-106.

12. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля. / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М.,2002. — С. 162-236.

13. Bushueva, G. N. On the higher order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent manifolds. / G. N. Bushueva, V. V. Shurygin // Lobachevskii J. of Math. — 2005. — Vol. 18,

— Pp. 53-105.

14. Ehresmann, С. Les prolongements d'une variété différentiable. I.

Calcul des jets, prùlongement principal. / C. Ebresmann // C. R. Acad. Sci. — 1951. — T. 233, N 11. — Pp. 598-600.

15. Goldman, W. The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds, / W. Goldman, M. W. Hirsch // Trans. Amer. Math. Soc. — 1984. — Vol. 26, no. 2. — Pp. 629-649.

16. Kolâr, I. Natural operations in differential geometry. / I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak. — Springer. — 1993. — 434 pp.

17. Mikulski, W. M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds. / W. M. Mikulski // Archiv. Math. — Vol 32. — 1996. — Pp. 307-316.

18. Molino, P. Théorie des G-structure: le problème d'equivalence. / P. Molino // Lecture Notes in Mathematics, vol. 588, Springer. — 1977.

19. Molino, P. Riemannian foliations. / P. Molino. — Birkhauser. — 1988. — 339 pp.

20. Weil, A. Théorie des points proches sur les variététes différentables. / A. Weil // Colloque internat, centre nat. rech. sci. — Vol 52, — Strasbourg, 1953. — Pp. 111-117.

21. Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. / K. Yano// N.Y. — 1965.

Публикации автора по теме диссертации

1. Смолякова JI. Б. О линейных связностях на многообразии, моделируемом R(s)-модулем Rfe)" ф Rm. / JI. Б. Смолякова // Новейшие проблемы теории поля, 1999-2000: Труды 11 и 12 Междунар. лет. шк.-семин. "Волга" по соврем, пробл. теор. и мат. физ., преходящ. в рамках Петров, чтений. — Казань, 2000. — С. 368 - 372.

2. Смолякова J1. Б. Препятствие к существованию голоморфных связностей на многообразиях над локальными алгебрами. / Л. Б. Смолякова // Петровские чтения. Волга XIII: материалы междунар.

летней школы-сем:, по теорет. и математ. физике, — Казань, 2001.

— С. 118-119.

3. Смолякова JI. Б. Функторы Вейля на категории расслоенных многообразий. / Л. Б. Смолякова, В. В. Шурыгин // Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского т.11. Проблемы современной математики. Материалы науч. конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 22 - 24 октября 2001 г.) — Казань, 2001. — С. 245-248.

4. Смолякова Л. Б. О многообразиях над алгебрами Вейля, моделируемых модулями специального вида. / Л. Б. Смолякова // Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского. Т.12, Лобачевские чтения - 2001: Материалы междунар. молодеж. науч. шк.-конф. (Казань, 28 ноября

- 1 декабря 2001 г.) — Казань, 2001. — С. 59.

5. Smolyakova Ь. В, An analog of the Vaisman-Molino cohomology for manifolds modelled on some types of modules over Weil algebras and its application. / V. V, Shurygin, L. B. Smolyakova // Lobachevskii J. of Math., vol. 9. — 2001. — Pp. 55 - 75.

6. Smolyakova L. B. The Atiyah-Molino classes for some types of manifolds modelled on modules over Weil algebras./ V. V. Shurygin. L. B. Smolyakova // Труды участников междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 5 -11 сентября 2002г.) — Ростов- на^-Дону, 2002. — С, 89 - 90.

7. Smolyakova L. В. On the structure of complete radiant manifolds modelled on modules over algebras. / International conference Kolmo-gorov and Contemporary Mathematics (Moscow, June 16 - 21, 2003), Abstracts. — Moscow, 2003. — P.856.

8. Смолякова Л. Б. Препятствие к существованию А-гладких связностей в расслоениях реперов на многообразиях, моделируемых модулями некоторого типа над алгеброй Вейля А. / Л. Б. Смоляко-

ва // Международная конференция по геометрии и анализу: Сборник трудов. — Пенза, 2003. — С. 94 - 100.

9. Смолякова JI. Б. О представлениях голОномии многообразий, моделируемых модулями над алгеброй Вейля. / JI. Б. Смолякова // Труды геометр, семинара. Казанск. ун-т., вып. 24. — 2003. — С. 129 - 138. . .

10. Смолякова Л. Б. Строение полных радиантных многообразий моделируемых модулями над алгебрами Вейля. / Л. Б. Смолякова // Известия вузов. Математика. — 2004. — N 5. — С. 76-83.

■ 11. SmolyakovaL. В. Weil bundles over foliated manifolds and foliated manifolds over Weil algebras./ V. V. Shurygin, L. B. Smolyakova // Труды участников междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 5 -11 сентября 2006г.) — Ростов-на-Дону, 2006. — С. 101 - 103.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета и м .В .И .Ульянова-Ле нина Тираж 100 экз. Заказ 11/25

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59,292-65-60

1 Категория многообразий над алгеброй Вейля А, моделируемых А-модулями вида А" © В'"

1.1 Категория многообразий над алгебрами

1.2 Расслоение Вейля.

1.3 А-гладкие отображения между А-модулями вида А"ф

1.4 Расслоение /х-скоростей.

1.5 Категория (А, В)f-Man слоеных АпфВш-многообразий

2 Аналитические продолжения и лифты геометрических структур на расслоения Т,1М

2.1 Аналитические продолжения морфизмов слоений ip :

М -> Т'1М'.

2.2 Действие функтора Т'1 на категории расслоенных векторных пространств.

2.3 Естественная эквивалентность функторов Т1Н о T/t2 и

Т''2 о Т'п.

2.4 Лифты функций и векторных полей на расслоение Т11М

2.5 Лифт проектируемой линейной связности на Т,1М

3 Специальные классы многообразий, моделируемых А-модулями вида А" ® Вт

3.1 Радиантные А" ф Вт-многообразия

3.2 А" ф Вт-многообразия, каноническое L-слоение которых порождается субмерсией.

Препятствия к существованию А-гладких связностей на многообразии ML

4.1 rf-когомологии слоеного многообразия ML

4.2 А-гладкие связности и классы Атьи-Молино.

Актуальность темы. Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами принадлежат к классу гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами Вей-ля. Теория многообразий над ассоциативными коммутативными алгебрами тесно связана с геометрией расслоений струй и теорией дифференциально-геометрических объектов высших порядков на многообразиях, геометрией и топологией слоений.

Коммутативные ассоциативные алгебры начали широко применяться в дифференциальной геометрии начиная с работ А.П.Ко-тельникова [21], Э.Штуди [103], В. Бляшке [3], П.А.Широкова [45].

A.П. Норденом [31], [32], [33] алгебры комплексных, двойных и дуальных чисел применялись при изучении биаксиальных, биаффин-ных и бипланарных пространств, линейчатой геометрии неевклидовых пространств. Неевклидовы пространства над алгебрами изучались Б.А.Розенфельдом [37]. Геометрии и топологии многообразий над различными коммутативными ассоциативными алгебрами и реализующих их вещественных многообразий посвящены работы А.П.Широкова [40], [42], [43], В.В.Вишневского [9], [10], [12], Г.И. Кручковича [22], [24], И.Ванжуры [107], А.С.Подковырина [35],

B.В. Шурыгина [49], [54], М.А. Малахальцева [28], [29], А.В. Боярши-новой [4], Т.Н. Гайсина [15] и других авторов (см. библиографию в [42], [12], [43], [54] а также в [13]).

Структуры гладких многообразий, моделируемых модулями над локальными алгебрами в смысле А. Вейля [108], [76] естественно возникают на различных расслоениях струй над вещественными гладкими многообразиями. А.П. Широковым [42] было установлено, что расслоение А-скоростей (А-близких точек) Вейля ТАМп п-мерного гладкого многообразия Мп, определяемое локальной алгеброй Вейля А обладает структурой n-мерного гладкого многообразия над алгеброй А. В частности, структуры многообразий над алгебрами несут на себе касательные расслоения [41] и расслоения голоном-ных, неголономных и полуголономных (N,q)-cкоростей Ш.Эресмана [65], [66], расслоения реперов высших порядков [64], [18]. В.В. Вагнером [6], [7] локальные алгебры применялись для описания строения касательных пространств и дифференциальных групп высших порядков. В.В.Вишневским [10], [11] были построены полукасательные расслоения высших порядков, ассоциированные со ступенчато расслоенными многообразиями [34], являющиеся реализациями многообразий над алгебрами R(£r) плюральных чисел, моделируемых Щб^-модулями общего вида.

Теория расслоений Вейля и функторов Вейля является активно развивающимся направлением исследований. Различным аспектам этой теории посвящены работы А. Моримото [89], JI. Паттерсо-на [93], исследования П.Юэна [113], [114], Э.Окассы [91], [92], И.Ко-ларжа [74], [75], Я. Словака [102], В. Микульского [82], А.Я. Султанова [38], Р.Алонсо [56], X. Муньоса, X. Родригеса и Ф. Муриела [90], Г.Н.Бушуевой и В.В. Шурыгина [57] и других авторов. В работах Г. Кайнца и П. Михора [72], Д. Эка [63], О. Лучиано [81] было получено полное описание функторов, сохраняющих произведение, в терминах расслоений Вейля. Геометрические аспекты теории функторов, сохраняющих произведение, исследовались в работах Я. Ганкарзе-вича, В. Микульского и З.Погоды [69], Я. Ганкарзевича, Н.Рахма-ни и М. Сальгадо [70]. Геометрии касательных расслоений посвящена монография К.Яно и Ш.Ишихары [112]. Детальное изложение различных подходов к определению функторов Вейля и их связи с функторами, сохраняющими произведение, содержится в монографии И.Коларжа, П. Михора и Я. Словака [76].

Расслоения Вейля ассоциированы с расслоениями реперов высших порядков, и геометрия расслоений Вейля является частью дифференциальной геометрии высшего порядка. Различным аспектам дифференциальной геометрии высшего порядка — теории связнос-тей высших порядков, геометрии дифференциальных уравнений, теории дифференциально-геометрических объектов — посвящены исследования Ш.Эресмана [67], Г.Ф.Лаптева [25], В.В.Вагнера [5], А.М.Васильева [8], П. Либерман [79], [80], У.Пола [97], Н.М.Остиану [34], Л.Е.Евтушика [16], [17], Ю.Г.Лумисте [27], А.Моримото [88], и других авторов. Библиографию работ, посвященных различным проблемам дифференциальной геометрии высшего порядка можно найти в монографиях Л.Е.Евтушика, Ю.Г.Лумисте, Н.М.Остиану и А.П. Широкова [18], Б.Л. Рейнхарта [99], П. Молино [86], И. Колар-жа, П. Михора и Я. Словака [76].

В.Микульским [83] была получена классификация расслоенных функторов, сохраняющих произведение, на категории расслоенных многообразий. Всякий такой функтор определяется гомоморфизмом /г : А —> В локальных алгебр и относит расслоению р : М N расслоенное произведение Т'1р : Т/гМ = TAN хтвNTBM TAN. И. Томашем [106] изучались лифты проектируемых векторных полей с расслоенного многообразия р : М -» N на Т'1М. В случае, когда ji \ А -» В — эпиморфизм, расслоение Т^М несет на себе структуру гладкого многообразия над алгеброй А, моделируемого А-модулем вида Ап © Вш. Расслоение ТЯМ, соответствующее эпиморфизму алгебр плюральных чисел эквивалентно полукасательному расслоению второго порядка, изучавшемуся В.В. Вишневским и Т.А. Пантелеевой [14].

Расслоение Т''М, соответствующее эпиморфизму локальных алгебр ц : А В, можно определить и для слоеного многообразия

М,Т) произвольного вида. Расслоение Т,1М, соответствующее эпиморфизму ц : А R, эквивалентно расслоению трансверсальных А-скоростей Т^М на (М,^7). Для различных локальных алгебр А строение и геометрия расслоений трансверсальных А-скоростей изучались Т.В.Дуком [62], Р. Волаком [109], 3. Погодой [96], В.В.Шу-рыгиным [47], [49]. Трансверсальная геометрия слоений изучалась в работах Б.Рейнхарта [98], П. Молино [84], [85], [87], Л.Кордеро и Р. Волака [59] и других авторов. При построении лифтов геометрических объектов на трансверсальные и полукасательные расслоения существенным является требование проектируемости этого объекта [11], [109]. Проектируемость полей геометрических объектов в расслоениях изучалась в работах К.Яно и Ш.Ишихары [111], А.Н.Широкова и К.М. Егиазаряна [44], Б.Н. Шапукова [39] и других авторов.

Многообразия над локальными алгебрами и, в частности, многообразия с интегрируемыми почти касательными и почти трансвер-сальными структурами, несут на себе канонические слоения. Вопросы эквивалентности таких структур стандартным структурам касательных и трансверсальных расслоений исследовались в работах Ф.Брикелла и Р.Кларка [58], М.Крэмпина и Дж.Томпсона [60], С.Де Филиппо, Дж.Ланди, Дж.Мармо, Дж.Виласси [61], Дж.Томпсона и У.Швардмана [104], М. де Леона, И.Мендеса и М.Сальгадо [78], В.В. Шу-рыгина [48], [55]. Проблема эквивалентности симплектической структуры стандартной структуре кокасательного расслоения исследовалась М.К.Фамом [94].

Геометрия многообразий с почти комплексными структурами, структурами почти произведения, /-структурами и другими полиаффи-норными структурами изучалась многими авторами. В связи с этим отметим монографию К.Яно [110] и обзорную работу В.Ф.Кириченко [19], где можно найти ссылки на литературу по теории указанных структур.

Таким образом, изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков и, в частности, многообразий, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида АпфВт является актуальной задачей дифференциальной геометрии многообразий с интегрируемой структурой представления коммутативной ассоциативной алгебры.

Целью диссертационной работы является изучение геометрии многообразий с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высших порядков, моделируемых модулями над локальной алгеброй А вида А" ф ВГГ!, где В = А/1 — факторалгебра алгебры А по некоторому идеалу I, и расслоений Т'1М над слоеными многообразиями (М, Т), определяемых эпиморфизмами локальных алгебр fi: А -> В.

Методы исследования. В исследованиях диссертации применяются методы теории естественных расслоений и теории многообразий над алгебрами (см. монографию И. Коларжа, П. Михора, Я. Словака [76], книгу В.В.Вишневского, А.П.Широкова, В.В.Шурыгина [13], обзорные работы А.П.Широкова [42], В.В.Шурыгина [54]), а также теории слоений и теории (X, 6')-мнообразий (см. монографии Б.Рейнхарта [99], П.Молино [87], Б.Н. Апанасова [1]).

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, заключается в следующем:

1. Получены общие формулы для локального представления дифференцируемого над локальной алгеброй А отображения из области А-модуля Ап $ В"1 в А-модуль Ап' ф В"1'.

2. Построено расслоение T'lM }i-cкоростей слоеного многообразия (М,Т) и исследована структура многообразия над алгеброй А, моделируемого А-модулем А" ф Вт, возникающая на этом расслоении. Исследованы свойства функтора /^-продолжения Т'1 на категории слоеных многообразий. В частности, доказано, что функторы 71/'2 0 J44 и о jv'2 естественно эквивалентны. С использованием этого результата построены лифты функций, векторных полей и линейных связностей с многообразия (М,Т) на расслоение Т>1М.

3. Построена категория слоеных А-гладких многообразий ML, моделируемых А-модулями видаЬ = А"фВш. Построены представления голономии слоев канонического слоения многообразия ML, обобщающие одновременно представления голономии слоев в смысле теории слоений и представления голономии слоев как (X, G)-MHoro-образий.

4. Понятие радиантного А-гладкого многообразия распространено на категорию многообразий, моделируемых А-модулем L = А" ф Вт. Доказано, что всякое полное радиантное многообразие ML изоморфно расслоению Т,1М некоторого вещественного слоеного многообразия (M,F).

5. Доказано, что всякое полное слоеное многообразие ML, допускающее сюръективную слоеную субмерсию с односвязными слоями на (п + ш)-мерное многообразие М со слоением коразмерности п, изоморфно расслоению Т,1М.

6. Построено обобщение конструкции П. Молино с/^-когомологий тензориальных форм на слоеном главном расслоении на случай тен-зориальных форм на расслоении Bj^ML расслоенных А-линейных

I л реперов на многообразии М . В терминах построенных d-когомоло-гий тензориальных форм построено препятствие (класс Атьи-Мо-лино многообразия ML) к существованию А-гладкой линейной связности на ML.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при дальнейших исследованиях в трансверсальной геометрии слоений, геометрии и топологии многообразий, моделируемых модулями над алгебрами Вейля, теории дифференциально-геометрических структур высшего порядка.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

Международной летней школе-семинаре Волга—2001. Казань, 22 июня—3 июля 2001 года;

Научной конференции, посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета. Казань, 22—24 октября 2001 года;

Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 28 ноября—1 декабря 2001 года;

Межународной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В.Ефимова. Ростов-на-Дону, 5—11 сентября 2002 года;

Международной конференции по геометрии и анализу. Пенза, 9— 11 октября 2002 года;

Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова "Колмогоров и современная математика". Москва, 16—21 июня 2003 года;

Международной молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения". Казань, 16—18 декабря 2005 года;

Геометрическом семинаре Пензенского государственного педагогического университета, 5 октября 2006 года.

Результаты работы регулярно докладывались на заседаниях Казанского городского геометрического семинара и итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [115] - [125].

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности выбранной темы и краткое содержание работы.

1. Апанасов, Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий. / Б. Н. Апанасов // — М.: Наука, 1991. — 432 с.

2. Белько, И. В. Класс Атья-Молино слоеного алгеброида Ли. / И. В. Белько // Докл. АН Беларуси. — Т. 37, N 5. — 1993. — С. 16-18.

3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия. / В. Бляшке // -М.-Л., ОНТИ-НКТП СССР. — 1935.

4. Бояршинова, А. В. О пространстве существенных инфинитези-мальных деформаций. / А. В. Бояршинова // Известия вузов. Математика. — 1997. — N 8. — С. 3-12.

5. Вагнер, В. В. Теория составного многообразия. / В. В. Вагнер // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 8. — МГУ, 1950.— С. 11-72.

6. Вагнер, В. В. Алгебраическая теория дифференциальных групп. / В. В. Вагнер // ДАН СССР. — Т. 80, N 6. — 1951. — С. 845-848.

7. Вагнер, В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. / В. В. Вагнер // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 10. — МГУ, 1956. — С. 31-88.

8. Васильев, А. М. Теория дифференциально-геометрических структур. / А. М. Васильев // М.: Изд-во МГУ, 1987. — 190 с.

9. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами.: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / В. В. Вишневский. — Казанский университет, 1972.

10. Вишневский, В. В. Многообразия над плюральными числами и полукасательные структуры. / В. В. Вишневский // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 20: Проблемы геометрии. — М.,1988. — С. 35-75.

11. Вишневский, В. В. Лифты дифференциально-геометрических структур в полукасательные расслоения высших порядков. / В. В. Вишневский // Известия вузов. Математика. — 1995. — N 5. — С. 16-24.

12. Вишневский, В. В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации. / В. В. Вишневский // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М.,2002. — С. 5-64.

13. Вишневский, В. В. Пространства над алгебрами. / В. В. Вишневский, А. П. Широков, В. В. Шурыгин. — Казань: изд-во Казанского университета, 1984. — 264 с.

14. Вишневский, В. В. Голоморфные продолжения объектов в полукасательное расслоение второго порядка. / В. В. Вишневский, Т. А. Пантелеева // Известия вузов. Математика. — 1985. — N 9. — С. 3-10.

15. Гайсин, Т. И. К вопросу о принципе максимума для многообразий над локальными алгебрами. / Т. И. Гайсин // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, N 1. — С. 79-89.

16. Евтушик, Jl. Е. Нелинейные связности в метрических пространствах высших порядков. / Л. Е. Евтушик // Известия вузов. Математика. — 1970. — N 1. — С. 48-60.

17. Евтушик, Л. Е. Нелинейные тр-связности в главных расслоениях. / Л. Е. Евтушик // Матем. заметки. — 1972. — Т. 11, N 3. — С. 341-351.

18. Евтушик, Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. / Л. Е. Евтушик, Ю. Г. Лумисте, Н. М. Ос-тиану, А. П. Широков // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 9: Проблемы геометрии. — М.,1979. — 247 с.

19. Кириченко, В. Ф. Дифференциальная геометрия Я"-про-странств. / В. Ф. Кириченко // Итоги науки и техни-ки./ВИНИТИ — Т. 8: Проблемы геометрии. — М.,1977. — С. 95-126.

20. Кобаяси, Ш. Основания дифференциальной геометрии. В 2 т. Т. 1. / Ш. Кобаяси, К. Номидзу — М.: Наука, 1981. — 344 с.

21. Котельников, А. П. Винтовое счисление и некоторые его приложения к геометрии и механике. / А. П. Котельников — Казань, 1895. — 216 с.

22. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I. / Г. И. Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 16. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — С. 174-201.

23. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные геодезические и их вещественные реализации. / Г. И. Кручкович // Труды МИРЭА. — Вып. 67. — 1973. — С. 3-11.

24. Кручкович, Г. И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, II. / Г. И. Кручкович // Труды семин. по вект. и тенз. анализу. — Вып. 17. — М.: Изд-во МГУ, 1974. — С. 218-227.

25. Лаптев, Г. Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. / Г. Ф. Лаптев // Труды геом. семин. — Т. 1. — М.: Институт науч. инф. АН СССР, 1966. — С. 139-189.

26. Ленг, С. Алгебра. / С. Ленг. — М.: Мир. — 1968. — 564 с.

27. Лумисте, Ю. Г. Матричное представление полуголономной дифференциальной группы и структурные уравнения расслоения р-кореперов. / Ю. Г. Лумисте // Труды геом. се-мин./ВИНИТИ АН СССР — Т. 5. — М., 1974. — С. 239-257.

28. Малахальцев, М. А. Аналог когомологий Дольбо для многообразий над алгеброй дуальных чисел. / М. А. Малахальцев // Известия вузов. Математика. — 1990. — N 11. — С. 82-84.

29. Малахальцев, М. А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. / М. А. Малахальцев // Труды геом. семин. — Вып. 22. — Изд-во Казанск. ун-та, 1994. — С. 47-62.

30. Малахальцев, М. А. (X, (7)-слоения. / М. А. Малахальцев // Известия вузов. Математика. — 1996. — N 7 — С. 55-65.

31. Норден, А. П. О параллельном перенесении дуальных векторов. / А. П. Норден // Учен. зап. Казанск. ун-та. - 1950. -Т. 110. - Вып. 3. - С. 95-103.

32. Норден, А. П. О комплексном представлении тензоров бипла-нарного пространства. / А. П. Норден // Учен. зап. Казанск. ун-та. - 1954. - Т. 114. - Вып. 8. - С. 45-53.

33. Норден, А. П. О структуре связности на многообразии прямых неевклидова пространства. / А. П. Норден // Известия вузов. Математика. 1972. - N 12. - С. 84-94.

34. Остиану, Н. М. Ступенчато-расслоенные пространства. / Н. М. Остиану // Труды геом. семин./ВИНИТИ АН СССР — Т. 5. — М., 1974. — С. 259-309.

35. Подковырин, А. С. Гиперповерхности унитарного пространства. I. / А. С. Подковырин // Известия вузов. Математика. — 1967. — N 8. — С. 41-52.

36. Пирс, Р. Ассоциативные алгебры. / Р. Пирс. — М.: Мир. — 1986. — 544 с.

37. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы геометрии. / Б. А. Розенфельд. — ГИТТЛ, М.-Л. — 1955. — 744 с.

38. Султанов, А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей на расслоения Вейля. / А. Я. Султанов // Известия вузов. Математика. — 1999. — N 9. — С. 81-90.

39. Шапуков, Б. Н. Проектируемость тензорных нолей и связностей в расслоении. / Б. Н. Шапуков // Труды геом. семин. — Вып. 17. — Казанский ун-т, 1983. — С. 84-100.

40. Широков, А. П. Пространства определяемые алгебрами.: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.04. / А. П. Широков. — Казанский университет, 1965.

41. Широков, А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях. / А. П. Широков // Труды геом. семин./ВИНИТИ АН СССР — Т. 5. — М., 1974. — С. 311-318.

42. Широков, А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. / А. П. Широков // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 12: Проблемы геометрии. — М.,1981.С. 61-95.

43. Широков, А. П. Пространства над алгебрами и их применение. / А. П. Широков // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М.,2002. — С. 135-161.

44. Широков, А. П. Проектирование связностей в расслоениях и его приложения к геометрии пространств над алгебрами. / А. П. Широков, К. М. Егиазарян //В сб. Дифференциальная геометрия. — Вып. 4. — Саратовск. ун-т, 1979. — С. 132-140.

45. Широков, П. А. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в римановых пространствах. / П. А. Широков // Изв. Казанск. физ.-мат. об-ва. 1925. - Сер. 2. - Т. 25. - С. 48-55.

46. Шурыгин, В. В. Структурные уравнения расслоения А-аффин-ных реперов. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика.1989. — N 12. — С. 78-80.

47. Шурыгин, В. В. Применение теории многообразий над алгебрами в трансверсальной геометрии слоений. / В. В. Шурыгин // В сб. Памяти Лобачевского посвящается. — Вып. 2. — Изд-во Казанск. ун-та, 1992. — С. 119-140.

48. Шурыгин, В. В. Многообразия над локальными алгебрами эквивалентные расслоениям струй. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика. — 1992. — N 10. — С. 68-79.

49. Шурыгин, В. В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй. / В. В. Шурыгин // Успехи мат. наук. — Т. 48, вып. 2 (290). — 1993. — С. 75-106.

50. Шурыгин, В. В. О категории многообразий над алгебрами. / В. В. Шурыгин // Труды геом. семин. — Вып. 22. — Изд-во Казанск. ун-та, 1994. — С. 107-122.

51. Шурыгин, В. В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика.1996. — N 9. — С. 74-88.

52. Шурыгин, В. В. Классы Атьи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй А как препятствия к продолжению трансверсальных связностей до А-гладких. / В. В. Шурыгин // Труды геом. семин. — Вып. 23. — Изд-во Казанск. ун-та, 1997. — С. 199-210.

53. Шурыгин, В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля. / В. В. Шурыгин // Итоги науки и техники./ВИНИТИ — Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. — М.,2002. — С. 162-236.

54. Шурыгин, В. В. О строении полных многообразий над алгебрами Вейля. / В. В. Шурыгин // Известия вузов. Математика.2003.—N11. —С. 88-97.

55. Alonso, R. J. Jet manifolds associated to a Weil bundle. / R. J. Alonso // Arch. Math. — 2000. — Vol. 36. — Pp. 195-199.

56. Bushueva, G. N. On the higher order geometry of Weil bundles over smooth manifolds and over parameter-dependent manifolds. / G. N. Bushueva, V. V. Shurygin // Lobachevskii J. of Math. — 2005. — Vol. 18. — Pp. 53-105.

57. Brickell, F. Integrable almost tangent structures. / F. Brickell, R. S. Clark // J. Different. Geom. — 1974. — Vol. 9. — No. 4. — Pp. 557-563.

58. Cordero, L. A. Examples of foliations with foliated geometrical structures. / L. A. Cordero, R. A. Wolak // Pacif. J. Math. — 1990. — Vol. 142. — No. 2. — Pp. 265-276.

59. Crampin, M. Affine bundles and integrable almost tangent structures. / M. Crampin, G. Thompson // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1985. — Vol. 98. — Pp. 61-71.

60. De Filippo, S. Tensor fields defining a tangent bundles structure. / S. De Filippo, G. Landi, G. Marmo, G. Vilasi // Ann. Inst. Henri Poincare. — 1989. — Vol. 50. — N 2. — Pp. 205-218.

61. Due, Т. V. Structures presque-transverse. / Т. V. Due //J. Different. Geom. — 1979. — Vol. 14. — No. 2. — Pp. 215-219.

62. Eck, D. J. Product-preserving functors on smooth manifolds. / D. J. Eck // J. Pure Appl. Algebra. — 1986. — Vol. 42. — Pp. 133-140.

63. Ehresmann, C. Les prolongements d'une variete differentiable. I. Calcul des jets, prolongement principal. / C. Ehresmann // C. R. Acad. Sci. — 1951. — T. 233, N 11. — Pp. 598-600.

64. Ehresmann, С. Les prolongements d'une variete differentiable. II. L'espace des jets d'ordre r de Vn dans Vm. / C. Ehresmann // C. R. Acad. Sci. — 1951. — T. 233, N 15. — Pp. 777-779.

65. Ehresmann, C. Extension du calcul des jets aux jets non holono-mes. / C. Ehresmann // C. R. Acad. Sci. — 1954. — T. 239, N 25. — Pp. 1762-1764.

66. Ehresmann, C. Sur les connexions d'ordre superior. / C. Ehresmann // Atti del V Congresso dell'Unione Math. Italiana. — Roma, 1955. — Pp. 326-328.

67. Fried, D. Affine manifolds with nilpotent holonomy. / D. Fried, W. Goldman, M. W. Hirsch // Comm. Math. Helv. — 1981. — Vol. 56, no. 4. — Pp. 487-523.

68. Gancarzewicz, J. Lifts of some tensor fields and connections to product preserving functors. / J. Gancarzewicz, W. Mikulski, Z. Pogoda // Nagoya Math. J. — 1994. — Vol. 135. — Pp. 141.

69. Gancarzewicz,J. Connections of higher order and product preserving functors. / J. Gancarzewicz, N. Rahmani, M. Salgado // Czech. Math. J. — 2002. — Vol. 92. — Pp. 889-896.

70. Goldman, W. The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds. / W. Goldman, M. W. Hirsch // Trans. Amer. Math. Soc. — 1984. — Vol. 26, no. 2. — Pp. 629-649.

71. Kainz, G. Natural transformations in differential geometry. / G. Kainz, P. Michor // Czech. Math. J. — 1987. — Vol. 37. — Pp. 584-607.

72. Kodaira, К. Complex manifolds and deformations of complex structures. / K. Kodaira. — Springer. — 1986. — 465 pp.

73. Kolar, I. Affine structures on Weil bundles. / I. Kolar // Nagoya Math. J. — 2000. — Vol. 158. — Pp. 99-106.

74. Kolar, I. On the geometry of fiber product preserving bundle functors. / 1. Kolar // Proceedings of the Conference on differentia! geometry and applications. Opava, Czech Republic, August 27-31, 2001. / Silesian University — Opava, 2001. — Pp. 85-92.

75. Kolar, I. Natural operations in differential geometry. / I. Kolar, P. W. Michor, J. Slovak. — Springer. — 1993. — 434 pp.

76. Kolar, I. On the fiber product preserving bundle functors. / I. Kolar, W. M. Mikulski // Differ. Geom. and Appl. — 1999. — Vol. 11. —Pp. 105-115.

77. Leon, M. de Integrable p-almost tangent manifolds and tangent bundles of ^-velocities. / M. Leon de, I. Mendes, M. Salgado // Acta Math. Hung. — 1991. — Vol. 58, no. 1-2. — Pp. 45-54.

78. Liberman, P. On sprays and higher order connections. / P. Liber-man // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1963. — Vol. 49, no. 4. — Pp. 459-462.

79. Liberman, P. Calcul tensoriel et connexions d'ordre superieur. / P. Liberman // An. Acad, brasil. cienc. — 1965. — T. 37, N 1. — Pp. 17-29.

80. Luciano, О. O. Categories of multiplicative functors and Weil's infinitely near points. / О. O. Luciano // Nagoya Math. J. — 1988. — Vol. 109. — Pp. 67-108.

81. Mikulski, W. M. Natural transformations of Weil functors into bundle functors / W. M. Mikulski // Rend. Circ. mat. Palermo, Ser 2. — 1989. — Vol. 22. — Pp. 177-191.

82. Mikulski, W. M. Product preserving bundle functors on fibered manifolds. / W. M. Mikulski // Archiv. Math. — Vol 32. — 1996. — Pp. 307-316.

83. Molino, P. Proprietes cohomologiques et proprietes topologiques des feuilletages a connexion transverse projectable. / P. Molino // Topology. — 1973. — Vol. 12. — Pp. 317-325.

84. Molino, P. Sur la geometrie transverse des feuilletages. / P. Molino // Ann. Inst. Fourier. — 1975. — Vol. 25. — Pp. 279284.

85. Molino, P. Theorie des G-structure: le probleme d'equivalence. / P. Molino // Lecture Notes in Mathematics, vol. 588, Springer. — 1977.

86. Molino, P. Riemannian foliations. / P. Molino. — Birkhauser. — 1988. — 339 pp.

87. Morimoto, A. Prolongation of connections to tangent bundles of higher order. / A. Morimoto // Nagoya Math. J. — 1970. — Vol. 40. — Pp. 99-120.

88. Morimoto, A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. / A. Morimoto //J. Different. Geom. — 1976. — Vol. 11, no. 4.— Pp. 479-498.

89. Munoz, J. Weil bundles and jet spaces. / J. Munoz, J. Rodriguez, F. Muriel // Czech. Math. J. — Vol 50, no. 4. — 2000. — Pp. 721-748.

90. Okassa, E. Prolongements des champs de vecteur a des varietes de points proches. / E. Okassa // C. R. Acad. Sci. ser 1. — 1985. — T. 300, N 6. — Pp. 173-176.

91. Okassa, E. Relevements des structures symplectiques et pseudo-Riemanniennes a des varietes de points proches. / E. Okassa // Nagoya Math. J. — 1989. — No. 115. — Pp. 63-71.

92. Patterson, L.-N. Connexions and prolongations. / L.-N. Patterson // Canad. J. Math. — 1975. — Vol. 27, no. 4. — Pp. 766-791.

93. Pharn, M. Q. Sur la linearisation du champ de vecteurs fonda-mental sur une variete symplectique exacte et la caracterisation des fibres cotangents. / M. Q. Pham // C. R. Acad. Sci. — 1986. — Ser 1, t. 303. — Pp. 139-142.

94. Pierce, R. S. Associative Algebras. / R. S. Pierce. — Springer.,1982.

95. Pogoda, Z. Horizontal lifts and foliations. / Z. Pogoda // Rend. Circ. mat. Palermo. Ser. 2. — 1989. — Vol. 38. suppl. no. 21. — Pp. 279-289.

96. Pohl, W. F. Differential geometry of higher order. / W. F. Pohl // Topology. — 1962. — Vol. 1. — Pp. 169-211.

97. Reinhart, B. L. Foliated manifolds with bundle-like metrics. / B. L. Reinhart // Ann. Math. — 1959. — Vol. 69, no. 2. — Pp. 119-132.

98. Reinhart, B. L. Differential geometry of foliations. The fundamental integrability problem. / B. L. Reinhart. — Springer. —1983. — 195 pp.

99. Scheffers, G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komplexen Funktionen. / G. Scheffers // Berichte Sachs. Akad. Wiss. — 1893. — Bd. 45. — S. 828-842.

100. Shurygin, V. V., The structure of smooth mappings over Weil algebras and the category of manifolds over algebras. / V. V. Shurygin // Lobachevskii J. of Math. — Vol. 5. — 1999.Pp. 29-55.

101. Slovak, J. Prolongations of connections and sprays with respect to Weil functors. / J. Slovak // Rend. Circ. mat. Palermo. — 1987.Vol. 36, Suppl. N 14. — Pp. 143-156.

102. Study, E. Geometrie der Dymamen. / E. Study. — Leipzig, 1902.603 S.

103. Thompson, G. Almost tangent and cotangent structures in the large. / G. Thompson, U. Schwardmann // Trans. Amer. Math. Soc. — 1991. — Vol. 327, no. 1. — Pp. 313-327.

104. Thurston, W. P. The geometry and topology of 3-manifolds. / W. P. Thurston. — Princeton Univ. Lecture Notes. — 1978/1979.

105. Tomas, J. V., Natural operators transforming projectable vector fields to product preserving bundles. / J. Tomas // Rendiconti circ mat. Palermo. — Ser. II, Suppl. — Vol. 59. — 1999. — Pp. 181-187.

106. Vanzura, J. On the geometry and topology of manifolds over algebras. / J. Vanzura // Weiterbildungszentr. Math. Kybern. und Rechentechn. Sect. Math. — Vol 28. — 1978. — Pp. 133-136.

107. Weil, A. Theorie des points proches sur les varietetes differenti-ables. / A. Weil // Colloque internat. centre nat. rech. sci. — Vol 52. — Strasbourg, 1953. — Pp. 111-117.

108. Wolak, R., Normal bundles of foliations of order r. / R. Wolak // Demonstratio Math. — 1985. — Vol. 18, no. 4. — Pp. 977-994.

109. Yano, K. Differential geometry on complex and almost complex spaces. / K. Yano// N.Y. — 1965.

110. Yano, K. Fibered spaces and projectable tensor fields. / K. Yano, S. Ishihara // Perspectives geom. and relativity. Blooniington— London, Indiana Univ. Press. — 1966. — Pp. 468-481.

111. Yano, K. Tangent and cotangent bundles. / K. Yano, S. Ishihara // Marcel Dekker, N.Y. — 1973.

112. Yuen, P. C. Prolongements de (^-structures aux espaces de pro-longement. / P. C. Yuen // C. r. Acad. sci. — 1970. — Vol. 270, N 3. — Pp. A538-A540.

113. Yuen, P. C. Sur la notion d'une G'-structure deometrique et les A-prolongements de G-structures. / P. C. Yuen // C. R. Acad. Sci. — 1970. — Vol. 270, N 24. — Pp. A1589-A1592.Список работ автора по теме диссертации

114. Smolyakova L. В. An analog of the Vaisman-Molino cohomology for manifolds modelled on some types of modules over Weil algebras and its application. / V. V. Shurygin, L. B. Smolyakova // Lobachevskii J. of Math., vol. 9. — 2001. — Pp. 55 -75.

115. Smolyakova L. В. On the structure of complete radiant manifolds modelled on modules over algebras. / International conference Kol-mogorov and Contemporary Mathematics (Moscow, June 16 21, 2003), Abstracts. — Moscow, 2003. — P.856.

116. Смолякова Л. Б. О представлениях голономии многообразий, моделируемых модулями над алгеброй Вейля. / Л. Б. Смолякова // Труды геометр, семинара. Казанск. ун-т., вып. 24. —2003. — С. 129 138.

117. Смолякова Л. Б. Строение полных радиантных многообразий моделируемых модулями над алгебрами Вейля. / Л. Б. Смолякова // Известия вузов. Математика. — 2004. — N 5. — С. 76-83.