Особенности локальной управляемости семейств полисистем на поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Комаров Михаил Анатольевич

003487702

Особенности локальной управляемости

семейств полисистем на поверхностях

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степепи кандидата физико-математических наук

1 о ДЕК 2009

Белгород — 2009

003487702

Работа выполнена во Владимирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов А. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Закалюкин В.М.

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Ю. И.

Ведущая организация: Институт программных систем РАН

Защита диссертации состоится 23 декабря 2009 г. в 16 ч 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212.015.08 при Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан "¿9" ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.015.08

Прядисв В. Л.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Активное изучение локальной управлясмостгш систем - возможности перевести систему в заданное состояние из любого близкого к нему за конечное время - началось в середине прошлого века вслед за возникновением математической теории оптимального управления. К примеру, локальная управляемость в нуле есть необходимое условие существования решения вблизи нуля задачи синтеза оптимального быстродействия в нуль, а более жёсткое требование нормально-локальной управляемости1 в нуле, т.е. существование по любому Т > О окрестности нуля, из каждой точки которой можно попасть в нуль за время, меньшее Т, - необходимое условие корректности2 постановки этой задачи синтеза для автономной системы.

Управляемые системы с конечным набором U значений управляющего параметра, каждому из которых соответствует гладкое поле допустимых скоростей движения, называют динамическими полисистема-лш3 (или полисистсмами, или, в случае |t/| = к, к-системами). Этот класс систем тесно связан с классом аффинных по управлению систем, имеющим многочисленные приложения.

К первым классическим результатам о локальной управляемости относится теорема Лассаля о локальной управляемости в нуле в М", п > 1, линейной системы х = Ах + Ви с постоянными матрицами А, В и управлением и из множества в линейном пространстве, содержащем нуль внутри себя, при условии, что ранг матрицы (В,АВ,...,Ап~1В) равен п. Калман доказал этот результат для общей дифференцируемой системы х = f(x,u), /(0,0) = 0, при условии, что её линеаризация в нуле удовлетворяет условию Лассаля, и показал, что такая система локально управляема в нуле с помощью непрерывных управлений. В цикле статей H.H.Петрова1'4 получен ряд достаточных условий локальной и нормально-локальной управляемости для систем общего вида, уста-

1 Петров H.H. О непрерывности обобщенной функции Беллмаиа // Дифф. уранн. 1970. Т. 6, №2. С. 373-374.

2Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования // Изв. вузов. Матсм. 1958. -V' 4 (5). С. 113-126; Её же. О непрерывной зависимости решении одной задачи оптимального (мч'улировамии от начальных данных и параметр)!! // УМ11. 1902. 'Г. 17, № 4 (106). С. 141-140.

3Bnshaw D. Dynamical polysystcms and optimization // R.IAS Tcch. Report. 1963. P. G3-10.

''ГЬпчнш H.H. Of» управляемости автономных систем // Дифф. уранн. 1968. Т. 4, №4. С. ШШ-617; Его же. Локальная управляемость автономных систем // Дис|к]>. уравн. ¡908. Т. 4, №7. С. 1218-1232 ; Его же. Решение одной задачи теории управляемости // Дифф. уравн. 19G9. Т. 5, №5. С. 962-963; Его же. Некоторые вопросы теории управления в плоскости // Дифф. уранн. 1973. Т. 9, №6. С. 1058-1067; Его же. Замечание о плоских аналитических системах управлении // Дифф. уравн. 1979. Т. 15, №4. С. 743-744.

новлена связь нормально-локальной управляемости с непрерывностью и липшицевостью функции Беллмана задачи оптимального быстродействия, а для двумерных аналитических полисистем найдены необходимые и достаточные условия нормально-локальной управляемости и показано, что это свойство может быть установлено по конечному отрезку тейлоровского разложения полей скоростей в изучаемой точке. В работах А.А.Давыдова5 изучены типичные особенности локальной управляемости общих гладких систем и динамических неравенств на поверхностях.

Во всех этих работах, равно как и в недавних статьях В.М.Закалкжина и А.Н.Курбацкого6 о типичных особенностях множества точек с локальной управляемостью для систем в R3, зависимость локальной управляемости от параметра не изучалась, за исключением работ7, в которых анализировалась непрерывность зависимости от параметра нормально-локальной управляемости.

Первые результаты в важной для приложений задаче анализа бифуркаций локальной управляемости семейств систем были получены Л.Азеведо8, которая классифицировала такие бифуркации для типичных однопараметрических семейств 2-систсм на поверхностях. С этой классификацией связаны результаты об инвариантах семейств аффинных по управлению систем относительно гладких замен координат и аффинных замен управления, полученные недавно польскими математиками Б.Якубчиком и В.Респондеком9 и М.Рупниевским10, однако, прямого отношения к локальной управляемости они не имеют.

Используемое в диссертации определение локальной управляемости (коротко - л.у.) отличается от классического тем, что для любой окрестности изучаемого состояния системы мы требуем существование не только перехода в него из любой точки его некоторой окрестности за конечное время без выхода из первой окрестности, но и такого же возвращения обратно. Если это возможно для любого положительного времени за счёт уменьшения второй окрестности, то мы говорим о локальной управля-

5Давыдов A.A. Особенности полей продольных направлений двумерных управляемых систем // Матсм. сб. 1988. Т. 136 (178), вып. 4. С. 478-499; Его же. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Труды МИАН. 1995. Т. 209. С. 84-123.

63акалюкип D.M., Ку]>бацкий Л.II. Особенности огибающих <ч;мейсти шшсрхи<мт?й в Т1Ч>] 1Ии управления // Труды МИАН. 2008. Т. 262. С. 73-86] Их же. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в R3 // Совре м. проблемы матсм. и механ. М-: МГУ, 2009.

. 7См. сноски 1,а.

8Azevedo L. TYansitividade Local de Sistemas Polidinamicos: MS Thes. Porto, 2006.

9Jakubczyk В., Respondek W. Bifurcations of 1-parametcr families of control-affine systems in the plane // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 44, .V* 6. P. 2038-2062.

ulRupmewski M. Local bifurcations of control-affine systems in the plane // Journal of Dynamical and Control Systems. 2007. Vol. 13, № 1. P. 135-159.

емостпи за малое время. Такое определение представляется разумным для приложений, и наши результаты косвенно устанавливают его эквивалентность классическому для изучаемых в диссертации классов систем, однако, равносильность определений для общих гладких систем не доказана.

Множеством локальной г/правляемости семейства систем называется объединение всех точек из пространства семейства (произведении фазового пространства систем на пространство параметра семейства), в которых системы семейства локально управляемы.

Цель работы - решение следующих основных задач:

1) классифицировать типичные случаи локальной управляемости (за малое время) в семействах нолисистем с параметром малой размерности на поверхностях; ••

2) изучить типичные особенности множества локальной управляемости для семейств нолисистем с параметром малой размерности на поверхностях.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории нормальных форм векторных полей, теории особенностей дифференцируемых отображений.

Научная новизна. В диссертации изучены бифуркации локальной управляемости в типичных семействах полисистем с маломерным параметром на поверхностях. Перечисленные ниже основные научные результаты являются новыми:

1) классификация типичных случаев локальной управляемости (за. малое время) дли однопарамегрических семейств полисистем и двупара-метрических семейств 2-систсм на плоскости;

2) классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для семейств полисистсм на плоскости с параметром конечной размерности вне особых точек полей скоростей системы;

3) классификация типичных особенностей множества локальной управляемости однопарамстричсских семейств полисистсм на плоскости, а также двупараметрических семейств 2-систем на плоскости вне общих особых точек полей скоростей системы;

4) описание структуры множества локальной управляемости типичного двупараметрического семейства 2-систем на плоскости вблизи общей особой точки полей скоростей системы.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы при

изучении управляемости конкретных систем, в частности, аффинных но управлению.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях: "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", по-свящённой иамяти И.Г.Петровского (Москва, 2007); "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008); "Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам" (Суздаль, 2008); IV межотраслевой научно-технической конференции аспирантов и молодых учёных "Вооружение. Технология. Безопасность. Управление" (Ковров, 2009). Они также обсуждались на научных семинарах профессоров А.А.Давыдова и В.И.Данченко по нелинейному анализу и его приложениям во Владимирском государственном университете и профессора А.П.Солдатова по дифференциальным уравнениям и их приложениям в Белгородском государственном университете.

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Статьи [1,4] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие соискателю.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 33 наименований. Объём диссертации составляет 120 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, в частности, объясняется связь полисистем с системами, аффинными по управлению11, вводятся основные понятия и формулируются основные результаты. Все результаты работы справедливы и для систем на поверхностях, однако, ввиду локального характера исследований, всюду фазовое пространство считаем вещественной плоскостью.

Первая глава посвящена изучению особенностей локальной управляемости типичных двупараметрических семейств 2-систем. В первом параграфе получена классификация случаев локальной управляемости (за малое время) 2-систем из типичного двупараметричсского семейства.

пЛобри К. Динамические полисистемы и теория управления // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 134-173.

Известно12, что для 2-систсм локальная управляемость за малое время есть в тех и только тех точках с локальной управляемостью, где оба поля ненулевые. В силу отсутствия локальной управляемости в общей особой точке полей системы, достаточно классифицировать случаи локальной управляемости для семейств 2-систем с одним выпрямленным полем:

{« = (0; 1), и; = (ш1;гц2)}. (1)

Теорема 1. В типичном двупарометрическом семействе 2-систем (1) на плоскости локальная управляемость в точке Р есть в одном и только одном из следующих четырёх случаев:

{Ль) вектор ги(Р) направлен противоположно вектору (0; 1); и траектории полей V, ги касаются между собой в точке Р с порядком к, равным 1 или 3;

(Р) Р - особая точка поля ю, в которой линеаризация поля определяет фокус или центр;

(Ь) Р - особая точка поля IV, в которой семейство гладко орбитально эквивалентно семейству систем (1) с ш = (у;шг), ¿гиг(Р) = О, < 0.

Гладкая орбитальная эквивалентность семейств - это эквивалентность относительно диффеоморфизмов пространства семейства, расслоенных над параметром, и умножения нолей на гладкие, вообще говоря, различные функции одного знака, не зануляюгциеся в изучаемой точке. Классифицированы также и типичные случаи отсутствия л.у. Во втором параграфе получена классификация типичных бифуркаций множества локальной управляемости относительно диффеоморфизмов пространства семейства вида (1), сохраняющих слои расслоений (х,у,е) > (ж, б) >-> е. Сначала классифицируются типичные особенности поверхности коллинеарности полей семейства, на которой и лежит множество локальной управляемости, и описываются бифуркации управляемости в точках, нсособых для второго ноля семейства, а затем - бифуркации в остальных точках этой поверхности. Наконец, в третьем параграфе исследуется структура множества локальной управляемости вблизи общей особой точки полей 2-системы из двупараметрического семейства на плоскости. Появление такой точки типично для семейств с параметром размерности

12Петров II. Н. Локальная упранлнсмость антопомных систем // Дифф. уранн. 1968. Т. 4, К!7. С. 1218-1232.

не ниже 2. Здесь мы вводим класс двунараметрических семейств, регулярных в особой для обоих полей точке, который оказывается инвариантным относительно гладкой орбитальной эквивалентности. Типичное семейство систем регулярно. Для проверки семейства на регулярность, кроме невырожденности матрицы Якоби отображения (у, и>) в изучаемой особой точке в координатах х,у,е и невырожденности этой точки для полей семейства, необходимо и достаточно проверки четырёх квадратных трёхчленов на попарное несовпадение их корней.

Теорема 2. Для регулярного в точке Р семейства 2-систем поверхность коллинеарности вблизи Р локально диффеоморфна трёхмерному конусу нулевой сигнатуры с вершиной в образе Р и разделена трансвер-сальпо пересекающимися гладкими поверхностями особых точек полей на два связных куска, в одном из которых, Д+, локальной управляемости нет в силу сонаправленности полей, а в другом, Д_, поля противоположно направлены. На поверхности особых точек любого из полей семейства вне Р локальная управляемость (тип (Т7)) есть в том и только том случае, когда для этого поля характеристический многочлен имеет комплексные корни.

На поверхности коллинеарности есть множество К, локально диф-феоморфное двумерному конусу с вершиной в нуле, - замыкание множества точек с порядком касания траекторий не ниже 2, - вне которого всюду на Д_ есть локальная управляемость типа (Л]). На К либо есть множество К\, состоящее из двух гладких кривых, трансверсалъ-но пересекающихся в нуле и не касающихся поверхностей особых точек, либо во всех точках К, неособых для каждого из полей, порядок касания траекторий равен 2; во втором случае К\ :— {Р}. На К{\{Р} сечения поверхности коллинеарности локально гладкие, траектории полей касаются между собой с порядком 3, и локальная управляемость (тип (Аз)) есть лишь в случае противоположной направленности полей.

На К\К\ локальная управляемость возможна лишь в точках, особых для одного из полей, причём для каждого из полей пересечение поверхности его особых точек с К\К 1 непусто тогда, и только тогда, когда1 корни соответствующего характеристического многочлена вещественны, и в этом случае особые точки поля заполняют на К две гладкие кривые, трансверсально пересекающиеся в точке Р.

Во второй главе исследуются особенности локальной управляемости типичных однопараметрических семейств полисистем на плоскости. Основным результатом первого параграфа является классификация слу-

чаев локальной управляемости (за малое время) в типичных семействах полисистсм на плоскости с параметром произвольной конечной размерности в точках, неособых для каждого из полей. В частности, доказана Теорема 3. Полисистема не менее чем с тремя полями на плоскости локально управляема (за малое время) в точке, неособой для её полей, и в которой порядок касания траекторий полей между собой конечен, если, и только если, найдётся 3-подсистема, локально управляемая в этой точке.

(Для двумерных аналитических полисистем с нормально-локальной управляемостью возможность выбора нормально-локально управляемой 2-, 3-или 4-подсистемы была доказана Н.Н.Петровым13.) Следствие этой теоремы - классификация для одномерного параметра (здесь случаев оказывается 4, причем случаи (/Ii), (Лз) тс же, что у Л.Азеведо). Во втором параграфе получена классификация случаев локальной управляемости в типичном однопараметрическом семействе полисистсм на плоскости в точке, особой для одного ил полей, завершающая полную классификация типичных случаев для одномерного параметра, поскольку одновременное обращение в нуль двух полей в таких семействах нетипично; к случаям из 1-го параграфа эта классификация добавляет ещё 5, и в каждом из них также оказывается достаточным для локальной управляемости использования 3-х полей семейства. Доказано, что для типичного семейства с одним параметром локальная управляемость за малое время имеет место в каждом из 4-х случаев, полученных в 1-м параграфе, и не имеет места в других случаях, - тех, где необходимо использование зануляющегося поля. Заключительные два параграфа главы посвящены исследованию локальных особенностей множества локальной управляемости типичного однопарамстричсского семейства двумерных полисистем, причём сначала все результаты получены для семейства 3-систем, - в частности, ввиду последней части в следующем утверждении:

Теорема 4. Для типичного однопараметрического семейства полисистем па плоскости граница множества л.у. вблизи каждой точки последнего либо пуста, либо является кусочно гладкой поверхностью, замыкание которой склеено из всех тех кусков поверхностей коллинеарности пар полей, на которых почти всюду есть л.у. типа (/Ii). Вблизи каждой точки, замыкание множества л.у. такого семейства полисистем есть объединение замыканий мноэ/сеств л.у. всех семейств

гзЛивсроиский А. А., Петров H.H. Нормальная локальная управляемость // Дифф. урашь 1988. Т. 24, №9. С. 1520-1528.

3-систем, заданных полями этого семейства.

В третьем параграфе построены нормальные формы особенностей множества локальной управляемости типичного однопараметричсского семейства 3-систем на плоскости. Вблизи граничной точки множества л.у., семейство с точностью до гладкой орбитальной эквивалентности имеет вид

{« = (0;1), ш = (ш,; и*), Л}, и»^) = 0 > и*(Р), Л(Р) ф 0. (2)

Справедлива

Теорема 5. С точностью до С1-диффеоморфизма пространства переменных х, у, е, расслоенного над параметром и сохраняющего ось ординат на каждом слое параметра, множество локальной управляемости типичного однопараметричсского семейства (2) вблизи каждой точки своей границы имеет особенность в нуле одного и только одного из сорока множеств. Все особенности реализуются для типичных семейств и устойчивы к малому шевелению последних. Наконец, в четвёртом параграфе результаты третьего обобщены на полисистемы - построены нормальные формы особенностей множества л.у. типичного однопараметрического семейства вида

(и = (0; 1), го = (ич;ги2), /г, ..., <?}, т(Р) = 0>ги2(Р), к(Р), ..., д{Р)*0.

Оказалось, что особенности стабилизируются на семействах 5-систем.

Теорема 6. С точностью до С1-диффеоморфизма пространства переменных х, у, е, расслоенного над параметром и сохраняющего ось ординат на каждом слое параметра, множество локальной управляемости типичного однопараметрического семейства (3) вблизи каждой точки своей границы имеет либо одну из сорока особенностей, построенных для семейств 3-систем, либо особенность в нуле одного и только одного из 33 новых множеств. Особенности устойчивы к малому шевелению такого семейства и реализуются уже для типичных семейств к-систем с к <5.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору А.А.Давыдову за постановку задачи и внимание к работе.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ 06-01-00661-а и НШ-709.2008.1, а также программы АВЦП 2.1.1/5568.

Публикации автора по теме диссертации

1. Давыдов Л. Л., Комаров М. Л. Бифуркации локальной управляемости и ссмсйстах бидипшнчсских систем на плоскости // Труды МИАН. - М., 2008. - Т. 261. - С. 87-96.

2. Комаров М. А. Локальная управляемость в семействах полисистсм на плоскости // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Поптрягина : тезисы докладов. - М.: ВМиК МГУ : МАКС Пресс, 2008. - С. 143.

3. Комаров М. А. Локальная управляемость в типичных двупарамет-рических семействах бидинамичсских систем на плоскости // Труды В л ГУ. - Владимир, 2007. - Выи. 3. - С. 66-75.

4. Комаров М. А. Локальная управляемость в типичных двупарамст-рических семействах бидинампческих систем па плоскости // Успехи матем. наук. - 2008. - Т. 63, вып. 2. - С. 173-174.

5. Комаров М. А. Множества локальной управляемости однонарамет-рических семейств двумерных полисистем // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 3-7 июля 2009 : тезисы докладов. - М.: МИАН, 2009. - С. 95-96.

6. Комаров М.А. Нормальные формы и локальная управляемость в типичных семействах двумерных полисистсм // Вооружение. Технология. Безопасность. Управление : материалы IV межотраслевой конференции аспирантов и молодых учёных. В 3 ч. - Ковров, 2009. - Ч. 1. - С. 190-198.

Подписано в печать 17.11.09. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,70. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Владимирского государственного университета. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

Введение

1. Локальная управляемость в типичных двупараметриче-ских семействах 2-систем на плоскости

1.1. Классификация случаев локальной управляемости.

1.1.1. Основная теорема

1.1.2. Доказательства вспомогательных утверждений

1.1.3. Локальная управляемость за малое время.

1.2. Бифуркации локальной управляемости: неособый случай.

1.3. Локальная управляемость вблизи точки, особой для обоих полей.

2. Локальная управляемость в типичных однопараметриче-ских семействах полисистем на плоскости

2.1. Классификация случаев локальной управляемости полней- j стем в точке, неособой для каждого из полей.

2.2. Классификация случаев локальной управляемости в типичных однопараметрических семействах полисистем.

2.3. Множества локальной управляемости типичных однопараметрических семейств 3-систем.

2.3.1. Нормальные формы семейства 3-систем.

2.3.2. Нормальные формы множества локальной управля- т емости семейства 3-систем.

2.4. Обобщение на полисистемы.Ill |

Активное изучение локальной управляемости систем - возможности перевести систему в заданное состояние из любого близкого к нему за конечное время - началось в середине прошлого века вслед за возникновением математической теории оптимального управления. К примеру, локальная управляемость в нуле есть необходимое условие существования решения вблизи нуля задачи синтеза оптимального быстродействия в нуль, а более жёсткое требование нормально-локальной управляемости [23] в нуле, т.е. существование по любому Т > 0 окрестности нуля, из каждой точки которой можно попасть в нуль за время, меньшее Т, - необходимое условие корректности [9, 10, 16] постановки этой задачи синтеза для автономной системы.

Управляемые системы с конечным набором С/ значений управляющего параметра, каждому из которых соответствует гладкое поле допустимых скоростей движения, называют динамическими полисистемами [31] (или полисистемами, или, в случае \и\ = к, к-системами). Этот класс систем тесно связан с классом аффинных по управлению систем, имеющим многочисленные приложения. Именно, рассмотрим систему

X = Мх) + тЬ{х) +. + щ/к{х), X е ]Г\ (5) с к входами, гладкими функциями fj и областью управления и = {и — (щ,.,щ) £ : 0 < из < 1,з = 1,2,., к}. Для этой системы определены так называемые управления типа „плюс, минус, нуль" - нулевое и — 0 и все управления вида (0,., 0,1, 0,., 0), где одно из и^ равно 1, а остальные равны 0. Оказывается [18], внутренность множества достижимости (относительно измеримых управлений) типичной системы (»5) достижима при помощи управлений типа „плюс, минус, нуль" (здесь и далее типичными мы называем объекты из некоторого открытого всюду плотного подмножества в пространстве объектов в подходящей топологии). Очевидно, система (б*), ограниченная на управления типа „плюс, минус, нуль", является (£;+ 1)-системой, следовательно, локальная управляемость (5) равносильна локальной управляемости некоторой (к + 1)-системы.

К первым классическим результатам о локальной управляемости относится теорема Лассаля о локальной управляемости в нуле в1", п > 1, линейной системы х = Ах+Ви с постоянными матрицами А, В и управлением и из множества в линейном пространстве, содержащем нуль внутри себя, при условии, что ранг матрицы (В: АВ,., Ап~1В) равен п. Калман доказал локальную управляемость в нуле общей дифференцируемой системы х = /(х,и), /(0,0) = 0, линеаризация которой в нуле удовлетворяет условию Лассаля. В цикле статей Н.Н.Петрова [25, 22, 26, 23, 21, 20] получен ряд достаточных условий локальной и нормально-локальной управляемости для систем общего вида, установлена связь нормально-локальной управляемости с непрерывностью и липшицевостыо функции Беллмана задачи оптимального быстродействия, а для двумерных аналитических полисистем найдены необходимые и достаточные условия нормально-локальной управляемости и показано, что это свойство может быть установлено по конечному отрезку тейлоровского разложения полей скоростей в изучаемой точке. В частности, в статье [25] доказана

Теорема 0.1. Для локальной управляемости полисистемы в некоторой точке необходимо, чтобы нулевая скорость лежала в выпуклой оболочке скоростей системы в этой точке, и достаточно, чтобы скорости образовывали в ней положительный базис, т.е. чтобы любой другой вектор мог быть записан как их положительная линейная комбинация.

Следующая теорема, полезная в дальнейшем, в явном виде есть в статье

20] для аналитического случая и может быть получена из результатов [25] для гладкого случая:

Теорема 0.2. Если в некоторой точке скорости 2-системы на плоскости ненулевые, и их фазовые кривые касаются друг друга с конечным порядком, то локальная управляемость в этой точке есть тогда, и только тогда, когда скорости в ней противоположно направлены, а порядок касания их фазовых кривых нечётный.

В работах А.А.Давыдова [3, 4] изучены типичные особенности локальной управляемости общих гладких систем и динамических неравенств на поверхностях.

Во всех этих работах, равно как и в недавних статьях В.М.Закалюкина и А.Н.Курбацкого [6, 7] о типичных особенностях множества точек с локальной управляемостью для систем в К3, зависимость локальной управляемости от параметра не изучалась, за исключением работ, в которых анализировалась непрерывность зависимости от параметра нормально-локальной управляемости [9, 10, 23].

Первые результаты в важной для приложений задаче анализа бифуркаций локальной управляемости семейств систем были получены Л.Азе-ведо [30], которая классифицировала такие бифуркации для типичных од-нопараметрических семейств 2-систем на поверхностях. С этой классификацией связаны результаты об инвариантах семейств аффинных по управлению систем относительно гладких замен координат и аффинных замен управления, полученные недавно польскими математиками Б.Якубчиком и В.Респондеком [32] и М.Рупниевским [33], однако, прямого отношения к локальной управляемости они не имеют.

Используемое в диссертации определение локальной управляемости (коротко - л.у.) отличается от классического, а именно:

Определение 1. Полисистема называется локально управляемой в точке Р фазового пространства, если для любой окрестности II этой точки найдутся меньшая окрестность V С и и время Т > 0, такие что через каждую точку V проходит допустимое движение, переводящее Р в себя за время, меньшее Т, и не покидающее II. Это движение будем называть циклом.

Такое определение представляется разумным для приложений, и наши результаты косвенно устанавливают его эквивалентность классическому для изучаемых в диссертации классов систем, однако, равносильность определений для общих гладких систем не доказана. Мы рассматриваем и аналог нормально-локальной управляемости:

Определение 2. Полисистема локально управляема за малое время в точке Р фазового пространства, если для любого Т > 0 найдутся окрестность и этой точки и меньшая окрестность V С С/, такие что через каждую точку окрестности V проходит некоторое двио/сение, I переводящее Р в себя за время, меньшее Т, и не покидающее II.

Отметим, что из результатов [22] легко вытекает полезное

Следствие'0.1. 2-система не может быть локально управляема за малое время в точке, особой для одного из её полей.

Определение 3. Множеством локальной управляемости семейства систем называется объединение всех точек из пространства семейства (произведения фазового пространства систем на пространство параметра семейства), в которых системы семейства локально управляемы.

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для однопараметрических семейств полисистем и двупарамет-рических семейств 2-систем на плоскости;

2) классификация типичных случаев локальной управляемости (за малое время) для семейств полисистем с параметром конечной размерности на плоскости вне особых точек полей скоростей;

3) классификация типичных особенностей множества локальной управляемости однопараметрических семейств полисистем на плоскости, а также двупараметрических семейств 2-систем на плоскости вне общих особых точек полей скоростей;

4) описание структуры множества локальной управляемости типичного двупараметрического семейства 2-систем на плоскости вблизи общей особой точки полей скоростей системы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы. Теоремы, следствия, предложения, леммы и формулы нумеруются по главам; нумерация определений, примеров и таблиц сквозная.

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1971. - 240 с.

2. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. - 296 с.

3. Давыдов А. А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сборник. 1988. - Т. 136 (178), вып. 4. - С. 478-499.

4. Давыдов А. А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Труды МИАН. 1995. - Т. 209. - С. 84-123.

5. Давыдов А. А., Комаров М. А. Бифуркации локальной управляемости в семействах бидинамических систем на плоскости // Труды МИАН.- 2008.-Т.261.-С. 87-96.

6. Закалюкин В.М., Курбацкий А. Н. Особенности огибающих семейств поверхностей в теории управления // Труды МИАН. 2008. - Т. 262.- С. 73-86.

7. Закалюкин В. М., Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в I3 // Современные проблемы матем. и механ. М.: МГУ, 2009.

8. Ильяшенко Ю.С., Ли В. Нелокальные бифуркации. М.: МЦНМО : ЧеРо, 1999. - 416 с.

9. Кириллова Ф.М. О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования // Изв. вузов. Матем. 1958. - № 4 (5). - С. 113126.

10. Кириллова Ф.М. О непрерывной зависимости решения одной задачи оптимального регулирования от начальных данных и параметров // Успехи матем. наук. 1962. - Т. 17, № 4 (106). - С. 141-146.

11. Комаров М. А. Локальная управляемость в типичных двупарамет-рических семействах бидинамических систем на плоскости / / Труды ВлГУ. Владимир, 2007. - Вып. 3. - С. 66-75.

12. Комаров М.А. Локальная управляемость в типичных двупарамет-рических семействах бидинамических систем на плоскости // Успехи матем. паук. 2008. - Т. 63, вып. 2. - С. 173-174.

13. Комаров М. А. Множества локальной управляемости однопараметри-ческих семейств двумерных полисистем // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 3-7 июля 2009 : тезисы докладов. М.: МИАН, 2009. - С. 95-96.

14. Красовский Н. Н. К проблеме существования оптимальных траекторий // Изв. вузов. Матем. 1959. - № 6 (13). - С. 81-87.

15. Ливеровский A.A., Петров H.H. Нормальная локальная управляемость // Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, №9. - С. 1520-1528.

16. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления // Математические методы в теории систем. М.: Мир, 1979. - С. 134-173.

17. Петров Н. Н. Зависимость функции Беллмана от параметра для двумерных систем управления // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, №5. - С. 664-671.

18. Петров H.H. Замечание о плоских аналитических системах управления // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 4. - С. 743-744.

19. Петров Н. Н. Некоторые вопросы теории управления в плоскости //' Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, №6. - С. 1058-1067.

20. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №7. - С. 1218-1232.

21. Петров Н. Н. О непрерывности обобщённой функции Беллмана // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, №2. - С. 373-374.

22. Петров Н. Н. О функции Беллмана для задачи оптимального быстродействия // Прикладная матем. и мех. 1970. - Т. 34, №5. - С. 820-826.

23. Петров H.H. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 4, №4. - С. 606-617.

24. Петров H.H. Решение одной задачи теории управляемости // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5, №5. - С. 962-963.

25. Петров Н. Н. Управляемые системы, подобные системам с выпуклой вектограммой // Вестник ЛГУ. 1974. - №1. - С. 63-69.

26. Понтрягин JI.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. - 332 с.

27. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

28. Azevedo L. Transitividade Local de Sistemas Polidinamicos: MS Thcs. -Porto, 2006.

29. Bushaw D. Dynamical polysystems and optimization // RIAS Tech. Report. 1963. P. 63-10.

30. Jakubczyk В., Respondek W. Bifurcations of 1-parameter families of control-affine systems in the plane // SIAM J. Control Optim. 2006. Vol. 44, № 6. P. 2038-2062.

31. Rupniewski M. Local bifurcations of control-affine systems in the plane // Journal of Dynamical and Control Systems. 2007. Vol. 13, № 1. P. 135-159.