Неголономные и изопериметрические задачи на однородных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Ленинградский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет

На правах рукописи УДК 514.763

ГРАНИЧИНД

Ольга Александровна-

НЕГОЛОНОМНЫЕ И ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.09 — математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград 1991

Работа выполнена в Ленинградском ордена Лэнппа л ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научннй руководитель -

доктор Физико-математических наук 1.-ЙРШЙК Анатолий Моисеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зомкн Владимир Николаевич, старашй научшй сотрудник ГеЯм-чн Алоксей Георгиевич, кандидат физико-математических наук

Ведущая организаций - Институт кибернетики имэпи . В.Н. Глушкова АН УССР.

Защита состоится 1991 г. в ^5 чао.

на заседании специализированного совета Д 063.67.49 по зандате диссертаций ня соисяатте ученой стетгакя доктора физяко-матема-тическиА наук при Ленинградском ордона Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете по адресу! 199904, Ленинград, Ст*рчй Петергоф, Библиотечная пл., д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Ленинградского государственного университета.

Автореферат разослан * /5* 199(/г.

Ученый секретарь специализированного совета Л 063.57.49 доцент Л.И.Иепелявай

ОБЩАЯ XAPAKTRFliCTtK& РАБОТУ

Актуальность темы. Нэголономшв варнацаонннэ задач;!, как и теория яэгаионокииг. многообразий, в наотояг^о вр^мя привлекаю вникания многих специаяистоь у нао в страло н ?п руЗэжои. "хи вопроси интенсивно изучалась в 30-40 года в основном в рилках координатной даф&ронцдвлыюВ геометрии и с с р&шподя цршюздеияш к мохшчаю и {коим. Начиная о конца 70-% годоч im'i'opcc к «егожчюмш«! палачам и-юэь войой'окыгоя, пошшеь иоачо проблем, иницт^ованнчо ^AMosnm&u в сопрзм-яяой гедм-?трии, I,««анике, тоорм! оптимального упрайлоши (см. обзори Верши« A.M., Гер'лкошч В.Я. ТЬголэнсмшв даатрмстсиэ сие?«.«». Геометрия pr.ici:p'.tA'?j!'^r/r, я варшщжкшо ¡задачи. Итоги паута п TtfXhiaoi. Сор. Ошр^шш щибя^я иатоматшш. Яуодашггольтшо ньпр-влешм, t Л 5, tö37, стр. 1-Я5. , Перши* A.M., Фаддеев Л.Я. Дй||&зр*нц»1альная гзомятхяя и лаграшкзва ьчхашса со связями, доклады АН СССР, IS72, 20?,, КЗ, Е55-СБ7. Barnten J.3., O'ltally 0.!L, v?ici:l]ji P.J., Zorikro T).V. Synptttry, Stability,1 Cactratric Phases, and fe'eclienlcal integrators. Preprint, July 0. 1950. ISp.').

Нвголономшм вариациотшэ задачи составляют новый и взяшЯ класс задач оптимального управления, в нзучэши которых существенно используются геометричоскич матодц (см. обзор. Вахрамееь С.А., Оаричьв A.B. Гзоматрич&ская теория управлэтая. Итога науки и 1пшшяи. ßrai'iTiT АН СССР, т.ЯЗ. Москва, 19-35, с .137-230, БгоскэИ П.Т1. Control тгЬэсту And Singular Rieminian Gsomalry, Springer- Verla/;- H-T-ilaldolbsrg- Barlin, 1Э31, [ 1-27 p.). Их иослвдопшшс» о 8той точки зрепая начато .'¡ишь из давно. Модельный класс таких проблем, как и в даф&зрэнцналыю- геометрических проблемах, образуют групповцэ зечачи, т.о. задачи о симметрия^.

Цель работы. Состоит в изучении и резании кеголопостк вариационных задач с симмэтрляш, сведение га к изоиерим&тричвеким задачам на однородных пространствах, в частности, в редукция задач в главном расслоении со связностью к изошриматричэоним задачам на базе этого расслоения, а такие в решении н&голономинх вариационных радач для некоторых групп

Ля И шзучожш структуры неголоцомгах геодезических, допустимых относительно подасчстем иля распределит®, «а которых, задана фкишрова метрика.

Метода исследования. Нзголоно;-.«ые вариационные задачи е главном рас слое тш со связностью в диссертации раошатриваютсл наряду с иэопэрийтричешш задачами на базе этого расслоения. Устанавливает 1 сеязь между е'пши классами задач, которая может попользоваться в оба отороан - и для сведения неголономша задач к изсшзршэтричвским в наоборот. Для решения иаодориметрическпх задач - используются методы классического варкационьл'о исчисления, • в частности метод множителей Лагранжа, а танка интегрирование даФХорвнцнальи« уравнений с помощью специальных функций.

Научная кортша. В работе сформулирована и доказана тоореыа об вкьивалентноста неголономных вариационных задач изоцвряттраческим при условии задания связности в главном расслоении, выведены изопериыэ тричв с кие условия для произвольного группового случая, решены соответстеушде задачи для груши типа <э,з), группы Зягеля, произвольной контактной структура в ж3 с римаковой или фаислеровоЯ метрикой, (¡формулирована н доказана теорема о конечности числа переключений для геодезической на трехмерной и гп+ »-мерной груше ГеЯзеиСэрга в случае финслерэЕоП метрики, проведано исследование области достииидасти для трехмерной груп.л Гейзенберга и решена неголономнчя вариационная задача для иятишрной группы Гейзенберга.

Практическая ценность. Результаты и метода диссертации могут бить использованы в дальнейших исследованиях специалистов, занимающихоя вопросами механики, термодинамики и оитшшьного управления. Полученнъе решения конкретных примеров могут Сыть использованы для исследования задач оптимального управления и вариационного исчисления.

Апробация работы. Результаты работы допродавались и обсувдалиеь на семинарах кафедрн исследования операций иатематнио-мвханического факультета Ленгосуииьвроитбта а также на конференций Молоднх учены* в Киевском государственном

универсигитэ (мгчй IЭ90г.). Изложения« в диссертации результаты были использованы при работе по госбюджетной томе В.ог. 14 "Разработка асимптотических . мэтодов в вероятностных, алгебраических и геометрических задачах большой размерности".

По теме диссертации опубликованы работа 11-3] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, каздая из которых разбита на три пункта, а некоторые из пунктов - на подпункта, заключения и списка литератур!. Объем диссертации составляет 106 страниц. Список литератур! содержит 5! название.

солгиодт РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации и оггисырагесй постановки задач и полученные автором результаты.

В первс-й гл^ье даосэртацки описаны два класса задач I вариационные неголономннэ задачи в главном расслоении со связностью и кзоперимотряческие задали на базе этого расслоения . Устанавливается связь мржду от® классами задач, которая мотет «нть использовала в обо стороны - и для сведения ь^гоЖ'Но!«ых пацач к изоцериметрическим и наоборот. Этот подход к описанным классам задач был нрэдложен А.М.Зершиком.

Неголономной вариационно?. задачей на многообразии с звданн им распределением, т.е. на неголономном м...)Гообразии называется вариационная задача на класса кривых, касащяхся распределения. Если распределение интегрируемо, то задача сводится к обычной вариацпошп-Л проблеме с теми или иными начально-краевыми условиями. Воля кэ распределение неинтегрируомо, нщ.-.мвр, абсолютно неголономно, то мы имеем обвдю задачу Лагранжа, в которой множители Лагранжа , вообще говоря, зависят от времени. Попытки свести оту задачу к безусловной вариационной задаче неоднократно предпринимались (в основном в прикладах работах), по точных формулировок до

сих пор как будто бы не было. В диссертации показано, как для некоторых цеголономных распределений, г именно горизонтальных распределений связности в главном или присоединенном расслоениях, проблему можно свести к изогтериметрической задача, тем самым сократив число условий до конечного числа. При этом классические изопериметрические задачи приобретают новый смысл.

Пункт I посвящен формулировке предаете диссертации. В пл.1.1 даны основные определа. ля, сформулирована теорема т Рааевского-Чиоу и приведено одно из ее современных доказательств. Подпункт !,2 устанавливает связь между реголоно№"'стью распределения и транзитивностью (теоремы 2 и 3). В ип.1.3 приводится описание постановки неголономной вариационной и изоперимьтрической задач, исследуомых в работе.

Пусть г»в - главное расслоение, слой которого нпд каждой

точкой из в изомор1*>н группе Ли я, Зададим связность в этом расслоении с помощью 1-формы О в тр. Считаем, что связность полна, т.е. ее группа голономии совпадает с я или , что то же самое, горизонтальное распределение связности гегр является абсолютно неголономным. Г>сть на г задана некоторая финслерова метрика Тем самым ми находимся в условиях теоремы

Раиевского-Чаоу и леммы (йииппова , а вто внячит, что любые две точки из р можно соединить кратчайшей горизонтальной кривой.

а а ч ^ | (неголономная вариационная задача).

В классе горизонтальных кривых найти кратчайшую в сшсле метрики Кврно-Наратеодори, поронянной метрикой д-д. кривую, соеданяиду» заданные точки.

В етой вадаче фактически требуется, чтобы вектор скорости искомой кривой принадлежал некоторому подмногообразию и в этом смысле описанная задача имеет бесконечное число условий.

Задала П (изоголономная).

Найти--^атчайшую в смысле метрики 1 кусочно-гладкую кривую, параллельный перенос вдоль которой переводит заданным образом слой над начальной точкой кривой в слой над ее конечной

точкой, т.е. оператор ио\(-]):Ну(0)—} - фйссировая.

В пункте 2 устанавливается связь между этими задачами.

Теорема 4. Множество лифтов экстремалей в изопердоетрической задаче П совпадает с множеством экстремалей ьариационной неголокомной задачи I .

Здесь под экстремаль» задачи подразумевается решение уравнений Зйлера-Лагранжа.

Важную роль играет то обстоятельство, что из-за наличия связности на расслоении р множители Лагракжа в задаче 1 хотя и зависят от времени, тем не менее фактически определяются лишь конечным числом значений множителей в начальной точке.

'Георема 4 для случая рим&новой метрики была доказана независимо Р.Нчктгочври ( Montgomery П. iBoltoloncnic Problems And Sow* Applications, Preprint, Berkley, California, 1990).

Наря у с оггисчнньми вчше задарил! в п.З рассматриваются соотьетствущи« задачи Коши.

Результаты первой главы опубликованы s [1].

Вторая глава диссертации посещена применению теоретического аппарата , описанного в первой главе , для решения неголономны/ вариационных задач па грушах Ли и изопериметрическж: задач на однородных пространствах.

В пункте I формулируются задачи I и П на группе Ли и однородном пространстве ' соответствешо, а также конкретизируются применительно к этому случаю условия, при которых эти иад^и эквивалентны.

Пункт 2 посвящен изучению неголонокных вариационных задач на нильпотентшх группах .л. В пл.2.1 рассматриваются метаабелевые группы. Изоперимятрическое условие ь задаче П является по сути своей условием на сохранение некоторых площадей. Решение соответствующих задич иллюстрируется двумя примерами: группа Гейзенберга и группа с-3 типа <э,э), Неголономная вариационная задача на группе Гейзеиберга, хорошо изученная ранее, решатся в соответствии о теоремой 4 глава !. Для группы о3 полностью решена задача П и с помощь») теорема 4 решена и задача I. Кроме этого уделено внимание описанию нзголономного геодезического потока и е-сфэры для группы о3.

Предложение I. Пусть в - г-сфера в группе я3

относительно распределения г с центром в нуле. Обозначил ее

проекцию на базу 3=рг -(В).

к

1). Если х«з , тогда их*в , где и - произвольная ортогональная матрица.

2). Нэголоцомаая • е-сфера в имеет особенности только в точках го.о.о.^ , где э>«®3 •

В лп.2.2 рассматриваю ¡я неголояомныб задачи на иильпотентных группах со степенью нильпотентности 3, В качестве примера разбираются задачи на группе Энгеля типа (г, ¡.о. Отметим, что изопериметрические условия в задачу П можно разделать на две группы. Парная - это условия на сохранение некоторых шющвдвй, вторая - это условия на сохранение некоторых объемов. Для группы Энгеля получены решения задач I и П в аналитическом виде в терминах эллиптических функций.

В п.З изучаются контактные структура на трехмерных группах Ли, раснотрение которых имеет важное практическое значение, в частности, для изучения процессов, входящих в сферу интересов термодинамики. Левоинвариантная неголономиая структура на трехмерной группе Ли П ьадается плоскостью г в алгебре Ли а • точнее любим двумерным подпространством г , не являющимся подалгеброй. Множество левог ¡вариантных неголономннх структур является открытым подмножеством грассманова многообразия агг в-двумерных плоскостей в алгебре Ли е. Пара ш,г> навивается нэголономной алгеброй Ли.

Если горизонтальное распределение связности является контагной структурой на группе Ли, то понятие параллельного переноса тесно свяь^но с формой кривизны связности П.

Теорема Б. Пусть 7 - замкнутая кривая на базе в, ограничивающая площадь а. Тогда изоголономное условие • с. задаче П сводится к обычному изопериметрическому условию для кривой 7 :

//О-сете I. 3

Заметим, что теорема Б. верна также и в Солее общем случав при условии, что я - абелева группа. При этом

аинх. г .> , г >=<4, <!>.) (п.

Следствие. Пусть в - двумерная поверхность в к3 с постоянно? гауссовой кривизной к. Тогда изогтершетрича скоо условие е задаче П эквивалентно условии на сохранение площади а с точностью до постоянной к. -

Говорят, что изоморфно <а?лг) , если существует

изоморфизм ф?о,->ог такой, что фсг, >=?.г. Классификация

трехмерных алгебр Ли хорошо известна. Это коммутативная алгебра, нильпотентная алгебра - алгебра Гейзенберга, полупростне алгебры Ли : алгебра во о) и алгебра с®), разрешимая алгеба Ли.

Коммутативные алгебры в силу простоты соответствующих задач в данной работе не рассматриваются. Алгебра Гейзенберга рассмотрена в пп.2.1.

В пп.3.1 рассматривается специальная ортогональная группа (и соответствующая ей алгебра Ли) - вращение трехмерного тела с закрепленной точкой и нулевой линейной скоростью в другой точке. Используя следствие из теоремн 5, в диссертации получено, что решением изолериштрической задачи на сфэре аг являются дуги плоских окружностей, ограничивают ¡я заданную площадь. Гоиение соответствующей задачи I получено в соутветотвин с теоремой

Подпункт 3.2 посвящен гпяциальной линейной группе аIе<-сг;. Иэнеотно, чтг' множество веголлноыних левоинвариантннх распр-делений нч вг?(Г> распадается в объединение двух орбит ОТНиСИ'Ге^'ЬНО ДЕЙСТВИЯ Груштн ЙВТОМОрфИЗШВ В1г<К>. В подпункте 3.2 формулируется задачи в главном расслоении, где горизонтальным распределением является сначала одна из орбит, а потом другая. Фазовое пространство этого расслоения - группа а12(К>, база - плоскость Лобачевского. Слоем над каждой точкой из базы является окружность. Для этого случая суть изопериметрического условия задачи П заключается в том, что

угол мезду касательным вектором в крайней точке иокоыой кривой и вектором, полученным в результате параллельного переноса начального вектора скорости вдоль кривой,- фиксирован. Решением иэонеркметрической задачи являются дуги окружностей, которые в соответствии с теоремой Б ограничивают заданную площадь. Решением соответствующей неголокомной задачи является лифт решения задачи П.

В пп.ЗЛ рассматриваются неголономныэ вариационные задачи на разрешимых трехмерных группах Ли, приводятся эквивалйнткне иэопериметричрские задачи на плоскости, условия их соответствия. В данном случае гауссова кривизна не постоянна и поэтому изогориметричеекое условие в задаче П не являотся условием на сохранение площади. При решении задачи П исиольуоьаны мет. \ч классического вариационного исчисления. Уравнения Эйлера-Лагранла в рассматриваемом случае интегрируются в квадратурах. В диссертации исследоваш некоторые свойства полученного решения.

Результаты второй главы диссертации опубликовали в (I] .

Третья глава посвящена изучению структуры неголономяых геодезических, допустимых относительно полисистем или распределений, на которых введена фияслерова метрика, порожденная некоторым центрально-сише.т^ичкым многогранником. В главе Ш доказываются теоремы 8 и 7 о конечности числа переключений для геодезической в Фин^леровой. метрике, заданной соответственно на трехмерной и многомерной грушах Гейзенберга. Финслерова метрика на гладком многообразии р определяется заданием банахова пространстве в касательных пространствах г^р,

гладко зависящих от точки х. Один из объектов, при изучении которых естественно возникают фянслеровн метрики, симметричные полисистемы, часто встречающиеся в теории управления. Росток симметричной полисистемк на гладком многообразии v задается набором ростков векторных полей ±£(.....±ln 1 кусочно-гладкая кривая 7 .-к—»р называется

допустимой относительно полисистемы cti>*1.i • есЛЙ существует

кусочно-постояная функция jay со значениями в множестве

о.....пУ и кусочно-постоянная функция кь>, принимающая

значения + такие , что 1=1<'1'•

Симметричная полисиотема 4 > задает на гладком

многообразии р неголономнуи фтгслерову метрику ^р, которую

можно определить, например, следущим образ.'.« ¡5<\-г.1/> -минимальное время , за которое можно перейти из точки х в точку V по допустимой кривой. Метрику р можно задать и другим эквивалентным способом, как метрику, определенную произвольным полем выпуклых телесных многогранников кр , удовлетворяющих

условию Сопи( }.

В п.! рассматривается трехмерная группа Гейзенберга н, на которой вьедено двумерное распределение г. Считаем, что на г задана метрика 0* | , порожденная центрально- симметричным относительно нуля ¿«-угольником 0. В этом пункте доказываются следущее утверждения, характеризующие структуру геодезических на группе н.

Предложение 2. Пусть -

геодезическая на группе г/, тогда <чсп.¿а) :<« для тех » ,

для которых j(tj существует.

Следствие. Проекция геодезической в плоскость охг представляет собой ломаную, звенья которой параллельны ребрам

двойственного к 8 многоугольника. Другими словами, ь-сфера В метрике Карно-Каратеодори порожденной метрикой д*| , совпадает с е-сфчрой для полясистема, поля которой параллельны ребрам двойственною к 9 многоугольника.

Теорема Д. Для любых двух точек существует геодезическая, соединяющая их, которая является ломаной из не бо ее, чем 2п-г звена.

Далее в п.2 приводится пример построения и исследования структуры неголономной е-сферы. Рассматривается неголономная

метрика 8т1М*Ыи|. Обозначим ее р(.

В метрике р, е-сфера - есть сложная кусочно-алгебраическая поверхность. В предложении 3 исследована ее структура, выписаны

уравнения и неравенства, ваяапдио семейство с йцих точек е-сфры, ребра изломов, указаны точки, в которых стыкуются два, три, четыре или восемь ребер сфера, приведены соотношения, задающие касательный конус е-сфэры. 0

В конце пункта приведен рисунок е-сфэры. В третьем пункте обобщается результаты пункта I на случай многомерной группы Гейзеяберга.

Пусть « г-меркэя нильпотентная алгебра Гейзенбэрга, которая задается в базисе <?,,... соотношениями

^■•¿^.Л-п'гт, ,(='..........

В пространстве Усе(1К?пИ алгебра и может быть реализована векторными полями:

с^ л „ о Х1 «э ,, г а

+ 2 А* • ' г аг • ' = '....... Т> •

Зададим левоинвариактное распределение

.....п. В гя-мерном пространстве алгебры Ли п рассмотрим

норму [)• [|, порожденную некоторым це к тр ал ько - глм,:е тркч! шм многогранником 0. С помощью левых сдвигов распространим В-В в касательное пространство труппы ГеЯзенберга N. На группе к определим метрику Карнс-Карателодэри р„.

Если рассмотреть симметричную полисистему 2, поля которой направлены вдоль радиус-векторов вершин 0, то кривая, являющаяся решением задачи П для этого случая, будет кратчайшей кривой, которая допустима относительно полисистемы 13 и соединяет заданные точки.

Теорема 7 (обобщение теоремы С).

Существует кратчайшая - решение задачи I - допустимая относительно пролисистемы 3 кривая с конечным числом

переключения с одного поля полпснсте».« на другое. При стом -

п

ч'лсло переключений нэ болео, чем ^Го^-п. Здесь - тлела

вэрт;ин плоского многоугольника 01=рго1 ^ гб;.

В конце пункта рассмотрена пяпшорная груша Гейтзепберга, для которой решзш) задачи I и П с помощьв метода, пзЛоЕзтгаго в втом пункте.

Результаты третьей главы диссертации опубяпковшш в 12,3}.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

-Творима об эквивалентности неголоношнх вариещютшх задач изонэрш&трическкм при условии задашш связности в главном расслоении,

-вывод изоголономных условий для ПРОИЗВОЛЬНОЙ иэоголономной задачи па однородном пространстве группы Ли, сведение задачи П к стандартной лзопарш&трическоЯ радаче длл коатакт:ШХ структур, инвод изопершиетрачоского условия для ЮШГЮТаНТгШХ групп,

■•решкою ниголономыоЯ ьаряационной 1! изсиеримэтричйскоЛ вадач для ммаабелевой группы типа (л.З), групп; Ошчш, произвольной контактной структуры в к3 с римачовой метрика;: (группы а С1Э), £Л? (1кпроизвольная разрешимая группа), ьлтимерной группы Гейзепберга.

-доказательство тооремн о конечности числа пераключегий для геодезической на трехмерной и г«-и-мерной груггпе Гейзепберга ъ случай фннслеровой нотрики,

-исследование области достижимости дл~ геодезической, допустимой относительно полисистечы, на трехмерной группе Гейзенберга.

Автор глубоко признателен Анатолия Моисеевичу Вершку за достоянную помощь и поддержу при выполнении данной работы.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Верчмк А.М., Граничила O.A. Кеголономныэ вариационные задачи ь расслоениях и изогтерныетри. Рукопись деп. в ВИНИТИ N33103-90 от 12 июня 1990 года, SOc.

2. Граничинэ O.A. Геодезические неголономной фшслеровой метрики на гругшо Гейэенберга. В с<5. Повое в глобальном анализе. Топология и геометрические методы анализа. Вороти. Иэд-во Воропэжского ун-та , 1989, стр.14!-146.

3. Граничит O.A. Кратчайшие па мкогомэряой группе Гейзенберга. Рукопись деп. в ВИНИТИ , KB8G2-B39, 12с.