Неголономные вариационные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава I. АБСОЛЮТНО НЕШЯОНОМНЫЕ РАСПРЕДЕКЕНИЯ НА РИМАЮВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

§ I. Краткое содержание главы и исторический обзор

§ 2ш Основные определения.

§ 3. Теорема о приведении струи регулярного распределения к кваз и нормаль ной форме.

§ Верхние оценки множества достижимости для распределений на римановых многообразиях.

§ 5. Теорема о параллелепипеде

§ б. Нормальные формы распределений общего положения и максимальный рост

§ 7. Симметричные полисистемы общего положения

§ 8. Функционал действия.

§ Примеры

Глава П. ШЛЯ КОНУСОВ НА РИМАНОВОМ Ш0Г00БРАЗИИ

§ I, Краткое содержание главы и исторический обзор

§ 2. Определения и простейшие свойства полей конусов.

§ 3, Оценки множества достижимости для полей конусов.

§ Случай общего положения для полей конусов и полисистем.И

§ 5. Оценки множества достижимости для полисистем.

Точные показатели КБазигельдероЕости границы области достижимости для полисистем общего положения

§ 6Ш Оценки множества точек, достижимых по кривым данной длины.Д

Глава Ш. ЛЕВОИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРУППАХ ЛИ

§ I» Краткое содержание и исторический обзор, . . * . ¿

§ 2. ЛеЕоинвариантные распределения на полупростых группах Ли .¿

§ 3. Лемма о квазидопустимых геодезических треугольниках. .••.•.*.•*. ¿

§ Теорема об эллипсоиде. .¿

§ 5« Теорема об аппроксимации вариационных геодезических.«

§ б. Вычисление геодезических на $0(з) с двусторонне инвариантной метрикой.

Диссертация посвящена теории неголономных распределений, полей конусов и полисистем на римановых многообразиях и группах Ли и их применениям к вариационным задачам. Работа продолжает исследования А.Д,Александрова, А.М,Вершика-Л.Д.$аддеева, Х.Зуссмана, К.Лобри и других.

Неголономные распределения, поля конусов и полисистемы естественно возникают во многих задачах механики [12,13,21,24,32, 45] , дифференциальной геометрии [ 10,14,21,28,39,53 ] , вариационном исчислении [34,51,52~| , теории дифференциальных уравнений [1-3,27,44] и других областях, они имеют многочисленные приложения в прикладных задачах [15,16,35,42,4б] .

ЬйзвиЕаемый в диссертации подход к таким задачам несколько отличается от имевшихся, он связан с методами теории особенностей и существенно использует алгебраическую технику.

Основные результаты диссертации состоят в получении двусторонних оценок множества достижимости (функций Беллмана) для абсолютно неголономных распределений, полей конусов и полисистем общего положения на римановых многообразиях. Эти оценки основаны на полученных в работе квазинормальных формах струй конечных наборов векторных полей общего положения на гладких многообразиях,

Пэказано, что длина кратчайшей допустимой кривой, соединяющей данную точку х с точками £ - сферы (с центром ос ) есть, с точностью до мультипликативной константы и малых высшего порядка, дробная степень Е г причем показатель степени как функция направления определяется фильтрацией , заданной на касательном пространстве в точке ос. последовательностью степеней распределения относительно операции езятия скобки Ли, Кроме того, в диссертации получены точные показатели квазигельдероЕости ростка границы множества достижимости. Показатели квазигельдеровости по различным направлениям определяются той же фильтрацией ^ .

Актуальность изучаемых вопросов обуслоЕлена нуждами теории регулирования, теории управления и теории систем. Развитые в данной работе методы позволили получить значительно более глубокую информацию об абсолютно неголономных распределениях, множествах достижимости и свойствах решений вариационных задач*

В механике абсолютно не интегрируемые распределения возникают в теории неголономных задач (характерный пример - задачи о качении) и изучаются уже давно. Механиками рассмотрено большое число конкретных примеров, однако удовлетворительное построение лагран-жевой механики в современных математических терминах дано лишь недавно в работах [12,13] . Это дало возможность прояснить пока еще недостаточно изученные связи между неголономными механическими системами и вариационными принципами. В диссертации разобран пример Еариационной задачи на группе Ли.

Полученные результаты представляют интерес также для задач экономической динамики, где естественно возникают ограничения в виде полей конусов (см. напр. П5,16] ). Неголономные распределения встречаются тавж е в теории гипоэллиптических операторов (см. [1-3] йли С^З и теорема Л.Хермандера о сумме квадратов). Особо выделены задачи на группах Ли, представляющие стандартную модель общей ситуации.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации, Диссертация состоит из трех глав. В начале каждой мы приво

- б дим краткое содержание и исторический обзор.

Первую главу мы начинаем с изучения распределений с особенностями на гладких многообразиях (определены впервые в СЗЗЗ ). Важную роль во Есех рассмотрениях играет понятие роста распределения, Ростом распределения ^ в данной точке называется последовательность натуральных чисел ^ , где ^-размерность линейного пространства, порожденного значениями скобок Ли длины ^ I гладких векторных полей ^ таких, что е при всех у «

Напомним (теорема З^обениуса), что распределение интегрируемо, если последовательность П\. постоянна ((а^п^ во всех точках многообразия. Распределения называется абсолютно неголо-номным в данной точке ас, , если, начиная с некоторого номера Ьо , все аь равны размерности многообразия« Распределение называется регулярным, если ростки в точке^, для всех I . Хорошо известно, что почти все, в естественном смысле, распределения абсолютно неголономны. Следующая теорема дает значительно более точную информацию.

ТЕОРЕМА 1,6,1*

1) Распределения максимального роста образуют открытое всюду плотное подмножество в множестве всех распределений в -топологии Уитни.

2) Всякое распределение максимального роста регулярно и абсолютно неголономно,

3) Все распределения (данной размерности) максимального роста имеют один и тот же рост (а значит одну и ту же степень неголономности).

• I £| ^ ( К - степень неголономности распределения ^ максимального роста) п^ в сЦ,т ^ 0*0 равно размерности ^ - линейного пространства в свободной алгебре Ли с П1 образующими, натянутого на слова длины ^ ^

Кроме того, оказывается, что в струях малого порядка г., где а - размерность многообразия, п1- размерность распределения) существует Есюду плотная орбита относительно действия группы струй диффеомор<1измов многообразия. Это утверждение получается построением квазинормальной формы струй конечного набора векторных полей - базиса векторных полей распределения» Построение квазинормальной формы является результатом исследования связей между распределениями максимального роста и свободными алгебрами Ли. Квазинормальная форма описывается в терминах семейства Холла и приводится в следующей теореме

ГЕОРЕМА 1*6.2. Пусть ^ - росток распределения максимального роста, размерности в Я- , )-) - семейство Холла е свободной алгебре Ли с образующими, ^ базис векторных полей распределения, занумерованный элементами семейства Холла*

Тогда в некоторой окрестности нуля 1А<^{1П найдется система координат 0£и : И—Ч <£• Н такая, что к - струи векторных полей имеют следующий вид: к Э V ^ +

7 ?и0~ "" 4-осчп - «ч эо^; г/о $1 ^ .«1.«.°^« ' где УП

К- степень неголономности распределения \) •

Построенные квазинормальные формы (см. также, теорему 1,3.1, где получена квазинормальная форма в более общем случае - для произвольного регулярного распределения) позволили получить двустороннюю оценку (<х) - множества точек, достижимых из данной по допустимым кривым длины •

Показано, что заключено между двумя параллелепипедами, длины стороны которых определяются ростом распределения. Оценка получена в предположении регулярности распределения, это предположение, как уже было сказано, выполняется в случае общего положения для распределений максимального рост. Оценка дается следующей теоремой«

ТЕОРЕМА. 1.5.1. Пусть М - риманово многообразие, ос е М регулярное, абсолютно неголономное в точке ос распределение на (V) ^ £ ~ базис векторных полей распределения^ - согласованная с базисом система координат.

Тогда найдутся положительные константы С такие, что ПС)£ О) ^ № с ¡]0 £ (ос) ПрИ £ £ ео ,

Здесь П^ГО = [ ? е М ) < р - функция на множестве натуральных чисел такая, что ^ при < I & .

Показано, что приведенные оценки переносятся на случай симметричных полисистем общего положения (теорема 1,7.1). Таким образом, в этом случае существенно усилены имевшиеся здесь верхние оценки Г34,52] и впервые получены нижние.

Во второй главе мы переходим к изучению полей конусов на гладких многообразиях. Получены двусторонние оценки множества точек, достижимых из данной по кривым длины й £ и по кривым, длина которых равна £ • Показано, что сделанные при доказательстве предположения выпэлняются для полей многогранных конусов общего положения. Указанные выше утверждения содержатся в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА. 2.3,1* Пусть СС - поле конусов на римановом многообразии М,ЗС'6М и выполнены следующие деэ условия: а) ^(х) - выступающий конус в М и ^ £ е < ЗГ в некоторой окрестности точки . ( ( у] - раствор конуса

Щ) ). б) ^определение регулярно и абсолютно неголономно в точке 'эе ,

Пусть ^ ~ система координат, согласованная с базисом поля юнусов. Тогда найдутся положительные константы £0 такие, что ^ £,0 справедливы включения: где Ь^С^) множество точек, достижимых из -зс по допустимым кривым длины £ ав(С = («р м | о " I \ ^ »- п}.

ТЕОРЕМА. 2.4.2. %сть £<с1ип М „ Тогда в множестве полей многогранных конусов с £ образующими открытое и всюду плотное в С -топологии Уитни подмножество составляют поля многогранных конусов, удовлетворяющие следующим двум условиям: а) конус

- выступающий б) с(ауп - ^ и - распределение максимального рос та •

ТЕОРЕМА 2.4.2.' Пусть £ >сЬт М Пусть $ - поданожест-во множества - полей многогранных конусов с & образующими, состоящее из полей многогранных конусов, удовлетворяющих следующим двум условиям а) конус <#С(х) Еыступаюций, б; ; а

2г. - подмножество, состоящее из полей многогранных конусов, для которых

А А А во А А

Тогда открыты в в (I -топологии Уитни, § и 82

А оО всюду плотно в ¿(¡ц в С -топологии Уитни.

Как полученные здесь оценки, так и описание случая общего положения для полей многогранных конусоЕ опираются на теорему о квазинормальных формах струй конечных наборов векторных полей. Оценка множества точек достижимых по допустимым относительно поля конусов кривым длины £. дается в предложении 2.6,1. Для полей конусоЕ здесь не возникает существенных дополнительных трудностей по сравнению с предыдущим случаем.

Теорема 2,5.1 показывает, что для множества точек достижимых по допустимым кривым длины £ £- в случае полисистем общего положения оценки те же, что для полей конусов» Это позволяет существенно усилить результат, полученный в Г22Л , в частности, давая точные показатели квазигильдероЕости границы множества достижимости для полисистем общего положения:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5.2, Для полисистемы общего положения на риманоЕом многообразии М росток границы множества достижимости есть росток квазигельдеровой поверхности, В системе координат, согласованной с базисом поля конусог, порожденного полисистемой, показатели квазигельдеровости определяются ростом распределения ^[Х^ » число показателей квазигельдеровости равных единице есть £-1 , равных есть П--П: 1 при о к ° = ; здесь [^ц^ ~ максимальный рост распределения размерности

-^аким образом точные показатели квазигельдеровости зависят в случае полисистем общего положения лишь от числа векторных полей и определяются ростом в свободной алгебре Ли с числом образующих равным числу векторных полей полисистемы.

Аналогичными методами, но технически сложнее, получаются нижние оценки множества точек, достижимых по кривым данной длины для полисистем общего положения (лемма 2,6,1). Оценки здесь отличаются от аналогичных оценок для полей конусов. Предположения, сделанные при выводе оценок, также более жесткие, однако и эти предположения также выполняются для почти всех полисистем,

В третьей главе мы рассматриваем левоинвариантные распределения на полупростых вещественных группах Ли. Доказана лемма 3.1 о квазидопустимых геодезических треугольниках, использующая наличие формального группового закона и формулы Кэмпбелла-Хаусдор-фа и позволяющая для групп Ли получить двусторонние оценки множества достижимости существенно проще и в беекоординат ной форме (теорема 4,1 об эллипсоиде)*

Показано, теорема 5,1, что решение вариационной задачи на минимум длины для пары точек на полупрост ой вещественной группе Ли с абсолютно неголономной сеязью можно аппроксимировать последовательностью кратчайших геодезических (соединяющих те же точки) однопараметрического семейства римановых метрик на той же группе. Семейство метрик устроено так, что движение в запрещенном направлении становится все "дороже" при возрастании параметра.

В последнем параграфе мы вычисляем вариационные геодезические на 20(а) о двусторонне инвариантной метрикой. Связь при этом задана левойивариантным двумерным распределением,

ТЕОРЕМА 3.5,1. Для каждой пары точзк 300) найдется соединяющая их геодезическая одного из следующих двух видов: а) левый сдвиг однопараметрической группы, идущей в допустимом направлении

Этот пример интересен своими связями с механикой. Он также демонстрирует некоторые неклассические эффекты, возникающие в неголономных задачах.

Po ft , 50(3), | € S). б) равномерная обмотка тора, лежащего в 90(3^ , ось кото poro есть леЕый сдвиг однопара метрической группы -'¿акой тор есть образ отображения Фа) ~ ^Р Vi |з М COS Фг + fcSÜn ,

Заметим еще, что в шрвой главе рассмотрен пример, позволяющий понять общий характер поведения решений неголономных вариационных задач в случае, когда связь задается неголономным распределением, степень неголономности которого равна двум, Конфигурационное пространство здесь £ 2 , связь задана

2п -мерным распределением, ¿-струя которого находится в общем положении. Точные решения вариационных задач здесь получаются с использованием техники рядов Зурье,

1. Алексеев В.М,, Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1У79.

2. Александров А.Д. Исследования о принципе максимума X. -Изв.высш.уч.зав., 1958, № 5, с.126-157.

3. Александров А.Д. Исследования о принципе максимума П. -Изв.высш.уч.зав., 1959, I 3, с.3-12.

4. Александров А.Д. Исследования о принципе максимума Ш,-Изв.высш.уч.зав., 1959, £ 5, с. 16-32.

5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука, 1979, с.431.

6. Арнольд В.И,, Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982, с.304.

7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, с.

8. Брекер Г., Ландер Л. Дифференциальные ростки и катастрофы. -М.: Мир, 1977, с.207.

9. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: ФМ, 1962, с.

10. Вершик A.M., Фаддеев Л,Д. Дифференциальная геометрия и лаг-ранжева механика со связями. ДАН СССР, т.202, №3, с.555-537

11. Милнор Дж. Теория Морса. М,: Мир, 1965, с, 182,

12. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровских пространств М.: Наука, 1981, с.502.

13. CeppS.II. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1959, с.375,

14. Смолянинов В.В, Математические модели биологических тканей.-М.: Наука, 1980, с.

15. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М,; Мир, 1970, с.412.

16. Трев Ф. Введение е теорию псевдодифференциальных операторов. -М.: Мир, 1984, т•I, с. 359 ; т.2, с.398.

17. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. -М.-Л.: ОНГИ, 1937, с.

18. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964, 168 с.

19. Хелгасон 0. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964, с.468.

20. Холл М. Теория групп. М.: Щ, 1962, с.468.

21. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970, с.442.