Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Пыркова Мария Сергеевна

МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ И НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01 - математический авалю

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент У скова Наталия Борисовна

Ведущая организация: Белгородский государственный

университет.

Защита состоится 23. декабря 2006 г. в 15 часов минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек« Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глнклих Ю.Е.

Актуальность темы.

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов. Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.

В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова.

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А—Во, где Во имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невоэ-мущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Цель работы. Целью работы является дальнейшая разработка метода подобных операторов и его приложение к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов, получение новых вариантов метода подобных операторов, удобных для данных исследований.

Общая методика исследования. В работе используются ме-

тоды спектральной теории линейных операторов и дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе получены новые варианты метода подобных операторов, приспособленные к исследованию некоторых классов дифференциальных операторов, построены допустимые тройки, получены ряд спектральных характеристик возмущенного оператора и спектральные оценки для трех классов дифференциальных операторов. Результаты являются новыми.

Научная.и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и строго обоснованы широким использованием методов спектральной теории операторов и дифференциальных уравнений, методов теории функций действительной переменной.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1) Восьмой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование. Пущино, 2001;

2) международной научной конференции "ТВМНА-2005". - Воронеж, 2005;

а (также на семинарах проф. Баскакова Л.Г. в Воронежском государственном университете.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, включающих 10 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 110 страниц. Библиографический список содержит 60 наименований.

Краткое содержание работы

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения и теоремы из метода подобных операторов, приспособленные к исследуемым во второй главе дифференциальным операторам, строятся допустимые тройки, а также излагаются некоторые определения и теоремы из теории отношений, используемые далее.

Пусть Н - комплексное гильбертово пространство.

Определение 1. Два линейных оператора А{ : с В —¥

Н, » = 1,2 называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор II € ЕпйН, такой что = 0{А\) и

А^их= иАъя, для любого х € D(A2)^

Такой оператор 17 называется оператором преобразования оператора А\ в оператор А?.

Подобные операторы обладают рядом одинаковых свойств.

Множество 2,а{Н) - множество операторов, подчиненных Л.

Определение 2.Пусть Я - линейное многообразие операторов из £>а{Н) ЕпйН - трансформаторы (т.е. ли-

нейные операторы е пространствах операторов). Тройку назовем допустимой для оператора А, а XI - допустимым пространством возмущений, если выполнены, следующие условия:

1)1I - банахово пространство (со своей нормой || ■ непрерывно вложенное в £,а(Н);

2)3 «Г - непрерывные операторы;

3){ТХ)х € 0{А), для любого х € ЩА) о имеет место равенство

АГХ - (ГХ)А = Х- ЗХ, для любого X е ¡Л

(равенство понимается как равенство элементов из И);

4)ХГУ,(ГУ)Х € Я, УХ, У 6Я и существуют постоянные 71 > О « т* > 0, что

|| Г ||< 71 « тах{|| ХГУ || (ГУ)* ||.} <ъ\\Х |Ц У ||«;

5)выполнено одно из условий

а)1тГХ С П{А) « АГХ е ЕпйН;

6)для любого X € 11 и любого е > 0 существует число А*- € р{А), такое что ¡{ ХЩ^А) |[оо< е.

Пусть (II, Г) - допустимая для оператора А тройка.

Теорема 1. Если выполнено условие го = 4 || В |||[ Г ||]| 3 ||< 1, то оператор А — В подобен оператору А — ЗХ°, где - решение нелинейного уравнения

X = ВТХ - (ГХ)ЗХ + в.

Его можно найти методом простых итераций.

Пусть А : В{А) с Я —> Я самосопряженный оператор, т.е. А = А*. Спектр оператора представим в виде <т(А) = {А1, Ла,• ■•}, А,- > О, Н{ = А) - собственное подпространство, возможно беско-

нечномерное. Пусть = Р? - ортогональные проекторы Рисса с ЛапР( = Е(\иА) = Н{, г= 1,2,... Таким образом, Я = - ортогональная прямая сумма, I = ^и гДе ^ " тождественный оператор и сходимость ряда понимается в сильной операторной топологии.

В качестве возмущения будем рассматривать оператор В : В(В) С я -+ Я, такой что В {В) Э И (А).

Строится такая допустимая для А тройка (Я, «/,Г), чтобы оператор В принадлежал пространству Я- Пусть Я - пространство допустимых возмущений состоит из операторов X € ЕпйН со свойством

II х ц,= Е5=1 II р*хр> Иа<

Трансформатор J определим с помощью формулы вида

Трансформатор Г : Я —+ ЕпйН для любого X е И задается следующим образом ТХ — А^-а^' ПРИ условии а(А) =

А< ~ I : А^ е о {А)} > о'

Теорема 2. Тройка является допустимой для опера-

тора А, причем постоянная 7 «з определения допустимой тройки имеет вид 7 = а-1.

Для построенной тройки (Я, J^ Г) справедлива

Теорема 3. Если возмущение В принадлежит пространству Я и удовлетворяет оценке 4 || В (|»< а(Л), то оператор А — В подобен оператору вида А — = Л — Р^ХоРк, где Хо е Я является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1 ы его можно «айт« методом простых итераций.

При рассмотрении операторов с частными производными может случиться так, что условие разделенное™ спектра (а(Л) > 0) не будет выполненым для собственных значений самосопряженного оператора А, но существует представление его' спектра сг(А) в виде и (А) = ий=-ео объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств <?к> к € Ъ, для которых выполнено условие =

infjjez,,-;^ dist(<Ji, <7j) > 0, где dist(<TU<7j) = minAeffii(tl€<rj | Л - p | -расстояние между множествами <т; и а у При этом всюду далее будет считаться выполненным условие Aj < Aj+i VAj ё <У{ VA,-+i € ffi+i-

Символом Рк обозначим проектор Рисса, состроенный по множеству «г*. Теперь по полученной ортогональной системе проекторов (Р„) введем в рассмотрение допустимое пространство возмущений Я, которое, как и ранее, состоит из операторов X б EndH, для которых конечна величина [| X ||J= || РтХРп ||2, при-

нимаемая за квадрат нормы оператора X в линейном пространстве Я. В качестве трансформатора 3 будем использовать построенный ранее, а трансформатор Г : Я —> EndH определим следующим образом. Через Ац обозначим самосопряженный ограниченный оператор из EndH к, равный сужению оператора А на подпространство Я*. Его спектр совпадает с множеством «г*. Через [а*, ßt] обозначим-наименьший отрезок, содержащий множество аРассмотрим два множества е^,^-,» ф j, для определенности считая i < j. Таким образом, ßi < ^.Трансформатор Г в начале определим на каждом операторе Х^ — PiXPj, X € Я следующей формулой

Г(ЛГу) = - f°° eÄitPiXPje-Äitdt, X € Я, Jо

где Ai - оператор из EndH, совпадающий с А/ на Щ и равный нулевому на подпространстве Н(1 являющимся ортогональным дополнением к Hi, и следовательно, Н = Щ $ Hi.

Теорема 4. Построенная тройка (Я, J, Г) является допустимой для А. Если оператор В принадлежит допустимому пространству возмущений Я и удовлетворяет оценке 4 Ц В ||< а (А) = inf^ dist(ai, crj), то оператор А — В подобен оператору вида А - JX° = А - ¿Х-» PkX°Pk, где X0 € Я является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1 и его можно найти методом простых итераций. Кроме того, имеет место равенство

(Л - В) (J + ГХ°) = (/ + - JX0),

где || ГХ° ||< 1 (то есть оператор I + ТХ° обратим).

Вначале рассмотрим асимптотику спектра оператора А — В, считая, что оператор В удовлетворяет условиям теоремы 4.

Теорема 5. Пусть А = А* : £>(А) С Я Я - самосопряженный оператор, спектр которого можно представить в виде объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств и выполнено условие разделенносши спектральных компонент с*, к > 1, из спектра <7(А) оператора А. Если для оператора В е Я выполнено условие из теоремы 1.4, то спектр оператора А~В представим в виде объединения <т(А — В) = взаимно непересекающихся

множеств а ¡с, к 6 2, обладающих свойствами разбиения спектра оператора А, а также свойством ¿^{^к^к)2 <

Теорема в. Пусть в дополнение к условиям теоремы 5 оператор А имеет компактную резольвенту. Тогда для спектра оператора А — В имеет место представление из теоремы 5, где а к = а{А1с — РкХ°Рк), к £ Ъ являются конечными множествами и для них выполняется свойство из теоремы 5.

Замечание 1. Пусть спектр самосопряженного оператора А имеет вид <7(А) = {Ль Аз,..,}, где его собственные значения удовлетворяют; условию ИгПп^сд ¿¿^¿(Ап, <7 (А) \ {А„}) — оо, и, значит, автоматически выполнено условие а(А) > 0. Считая для определенности выполненным условие А1 < Лг < рассмотрим произвольный оператор В С И и построим представление множества &{А) вида а(А) = 1Л>1 где сг1 = {А1,...,Ат},(Г2 = {Ат+1},<г3 = {Ат+.г}> — Тогда существует достаточно большое число т, при котором постоянная а (А), построенная по новому разбиению спектра, достаточно велика и такова, что выполнено условие на оператор В из теоремы 3. При этом следует отметить, что если первоначальные проекторы РЬР3,... удовлетворяли условию АР{ — \iPi.i = 1,2,то построенному разбиению спектра отвечает система проекторов вида

-Р: = А + + Рт>Р2 = Рт+1) — —

Теперь этой укрупненной системе проекторов отвечает уже другое допустимое пространство возмущений П. Однако, очевидно, что и ей и поэтому В € 11 ив условии 4 || В ||, а-1 (А) < 1 норма В бралась в IX. Следовательно, для оператора А — В выполняются

условия теоремы 5.

Непосредственно из сделанного замечания и предыдущих теорем следует

Теорема 7. Пусть спектр самосопряженного оператора А :' О (А) с Н -ь Н имеет вид сг{А) — {А1, Аа,...}, допускает описанное в замечании 1 разбиение, Pi,i > 1 - проектора Рисса, построенные по одноточечным множествам {А„}, п > 1, к оператор В 6 ЕпйН принадлежит допустимому пространству возмущений Ц, построенному по этой системе проекторов. Тогда существует такое натуральное число т, что оператор А — В будет подобен оператору вида

А = А-(Р1 + ...+Рт)Х°(Р1 + ... + Рт) + £

4>(т+1)

где Х° - решение нелинейного уравнения из теоремы 1, которое рассматривается е допустимом пространстве возмущений Я, построенному по укрупненной системе проекторов (Рп)- Спектр оператора А—В допускает представление в виде взаимно непересекающихся замкнутых множеств со свойством ^^еЙа^АьЗъ)® < оо.

Пусть А : О (А) линейный оператор (не обязательно

самосопряженный). Предположим, что его спектр <т(А) представим в виде <7 (А) ~ <Т1 и <72 ( где <Т1 = {А1} - одноточечное множество, (Т2 -замкнутое множество и А1&Т2, то есть <Т\ П = 0. Кроме того, предполагается, что проектор Рисса СЬ, построенный по <71 облаг-дает свойством (ИтВапС^х = 2. Это означает, что А1 - собственное значение оператора Л, и далее также предполагается, что наряду с собственным вектором е\, отвечающим Аь существует присоединенный вектор ец то есть (Л — А^е! = С1. Таким образом, ег -базис в двумерном пространстве Н\ = КапС^. Если Яг — I ~ Р\ -дополнительный проектор (то есть (¿2 -проектор Рисса, отвечающий <72 и #2 = /т£?а,) то имеет место разложение Н в прямую сумму Я = #1 ф Я2.

Будем в этом частном случае разбиения спектра строить допустимую для А тройку (Д, Г), полагая И = ЕпйН и трансформатор I:

Еп<Ш ЕтиШ определим формулой 7Х — РгХР^ + Р^ХР^Х € ЕпЛН.

Оператор Г : ЕпйН —ь Ети1Н определяется формулой ГХ = -Р1ХР2Б + (Лх - А17)Р1ХР252+

+ЗР2ХР1 - 32РгХР1{А1 - А!/).

Доказывается, что построенная {ЕпйН, Г) является допустимой.

Далее приводится некоторая сводка используемых во второй главе понятий из теории линейных отношений (многозначных линейных операторов), сопряженных операторов и отношений.

Во второй главе исследуются спектральные свойства трех классов дифференциальных операторов и на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов.

В первом параграфе рассматривается гильбертово пространство ¿2 = тг] х [—я-,0]), элементами которого служат классы эквивалентных между собой измеримых комплексных функций с суммируемым квадратом их модули, определенные на квадрате [0,7г] х [—тг, 6], со скалярным произведением

(х,у)= [ [ а)<Ийа,

где х,у€ Ь2,* € [0,тг],ст е [-тг,0].

Гильбертово пространство ¿2 5=5 7г] х [—л"(0]) изометриче-

ски изоморфно гильбертову пространству — £г([0,тг], ?г, 0]). Изометрический изоморфизм между этими пространствами задает линейный оператор ((Ф/)ф) = =/((,»), || Ф/ Ц2= 1а II ||а Л = /о I Ж«) |г Л<*в. Таким образом, каждой

функции х € £г([0,7г] х [—тг, 0]) ставится в соответствие функция £ : [0, тг] тг, 0], х(Ь)(<7) = х{1, <т). В дальнейшем пространства

¿2 = £з([0,7г] х [—тг, 0]) и ¿2 = £а([0, тг], яг, 0]) часто будут отождествляться.

Изучается дифференциальный оператор Т = : £(Т) С Lj Ч ¿2 = ¿2 ([0, тг], ¿2['-Я') 0]) с областью определения D(T), состоящей из непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, jt] функции х : [0, тг] —► Lï[—тг,0], имеющих абсолютно непрерывную производную х' : [0, тг] —► тг,0], причем х" S ¿2 (множество таких функций обозначим через W% (0, тг) = (Уд )а удовлетворяющих следующим нелокальным краевым условиям

а/(0, а) = а:(0, + j b(tt a)x(t, fo + cr)dtda,

х'^к, <7) = 0.

Здесь îq > 0 - фиксированное число из R = (—00,00), Ь - ограниченная измеримая функция на квадрате [0,зг] х [—тг.О], причем x(t, îd + а) = x(t, ¿0 + с — тгп), где n € Z таково, что fо + tr — 7гп € [-7Г.0).

Такого рода линейные операторы возникают при изучении процессов диффузии в химической кинетике.

Наряду с оператором Т рассматривается интегро-дифференциальный оператор F : D(F) С ¿2 ¿2 вида

(Fy)(t, а) « ^^ - у{0, r)dr)b(t,а - i0)

с областью определения -Df-F), состоящей из функций, принадлежащих Wj 1 удовлетворяющих следующим краевым условиям

В формуле для оператора F полагается 6(i, q—to) = b(t,<7—to+irn), где n e S таково, что <7 — io + тгп € [—7r, 0], то есть функция Ь ; [0, jt] х [—тг,0] —С рассматривается по второй переменной на R периодической периода тг.

Вначале изучается оператор -F, который представим в виде F = А — В, где оператор А определяется дифференциальным выражением ly = и £>(Л) = D(F), то есть его область определения задается описанными выше краевыми условиями. Оператор

В : D(Ä) — D(F) cij-tij определяется формулой

(£y)(f, о-) = b(t, <T-ta) f y(0, r)dT, у e D(A) J-it

и, вообще говоря, не допускает ограниченное расширение на L2.

Оператор В не принадлежит ни одному из рассматриваемых в первой главе допустимых пространств. Поэтому делается предварительное преобразование подобия оператора А—В к оператору А—Ви где В\ S EndLi и будет принадлежать допустимому пространству возмущений из §1.2, выписываются условия подобия. Далее доказывается, что оператор F является сопряженным к оператору Т и изучение спектральных свойств оператора Т сводится к изучению соответствующих двойств оператора F = А — В, В свою очередь, при условии «о = 2supfc^i J е*(0) ||| to l!f,< 1 изучение оператора А — В сводится к изучению оператора А — В\, где оператор Вг - JB + (I + rs)_1(srs - ТВ J В) принадлежит допустимому пространству возмущений Я из §1.2.

Теорема 8. Пусть выполнена оценка «о < 1 «

4(11 Ьо Иг, + 2 sup I ek(0) |) || t* < 1.

Тогда оператор Т* = А — В подобен оператору А — JXй, где

<г) = У2 Ьт(<7)( Г ( Х{(Х, а)ет(р)^«)ет(0)ет(^+

+ / ¡с(/1,а)еп(^)й;иЬ)еп(*),а; € £2,

где (у„) - некоторая последовательность из 1%.

Теорема 9. Если выполнены условия теоремы 8, то спектр оператора Т дискретный и допускает представление вида

<т(Г) = о{А) и {"Цп,п > 1} = {А„, Д,, п > 1},

где ({!„) - последовательность комплексных чисел вида

= K + J 6»Со)4(д)й^а)(ел(0) + й,),п> 1.

В формуле (уп) - некоторая последовательность ив 1%, причем

I й, - Ап - 0) 1= \,п>1.

Во втором параграфе в гильбертовом пространстве 1*2 = 1) рассматривается дифференциальный оператор А : D(A) С 1/2 »порожденный .дифференциальным выражением lx = — g¡r и краевыми условиями ж{0) = 0, x(t)dt = 0.

Особенностью рассматриваемой задачи является тот факт, что область определения D(A) оператора А не плотна вЯ = ¿2 (0,1).

Далее ищутся проекторы Pn, n > 1 на собственные и присоединенные функции оператора А, отвечающие собственному значению Л„, n > 1, для этого находится сопряженное отношение А* к А и его собственные и присоединенные функции. В качестве допустимой тройки используется тройка {ЕпйЬг, построенная в §1.5.

Далее получаем, существует такое nj g N, что при всех п > по выполнена оценка е„ =|| q ||„i|j Гп |||| Л Ц< j- Для таких п справедлива

Теорема 10. Пусть {EndLz, Jn, Гп) - построенная допустимая тройка. Тогда собственные значения оператора А — В имеют следующую асимптотику

дЮ = 4jtV + Г g(r)( 1 - т)dr + o(¿), Jo n

Ai2? = 4тг2п2 + Г q(r)rdT + o(i).

J o "

В третьем параграфе рассматривается гильбертово пространство вектор-функций L? = L¡((—1,1),Сг), определенных на отрезке [1,1] со значениями в С2 суммируемых с квадратом нормы. При этом

скалярное произведение имеет вид

{и, V) - £

если и = (ии Щ, V = (И, Ц) е £2.

Основным объектом изучения является дифференциальный оператор С,: £>(£) с Ьа —► Ьз = ¿а((—1,1), С2),определяемый дифференциальным выражением

IV = +С(х)Ц+«Ш, Ц+С(хЩ+ад.

С{Х)-\С2, «€[0,1]. Его область определения !)(£) задается краевыми условиями VI (-1) = пЩ-1), I ВД = г2Ц(1),

где Г1,Г2,С1,С?2,йь£г2 е с.

Исследуемый оператор £ преобразуется в другой подобный ему оператор Со, который представим в виде £о = А — В, где дифференциальный оператор А : £)(А) = D{C(¡) С ¿2 —> Ь% имеет вид

¿V(ИЛ»

и В - ограниченный оператор умножения на матричную функцию

( С{х) ф1хфг^ \ а С(х) )•

- проектор Рисса, построенный по одноточечному спектральному множеству {А;} оператора А и Р{Х — (х,а)а,х е Тройка {ЕпйЬ2,.7, Г), из §1.2 является допустимой тройкой. Имеет место

Теорема 11. Если выполнено условие

т*2 |

«ксц+- «(^^«йй^^ма,

и^т 'г*

то оператор Л—В подобен оператору диагональной структуры А— JXI где X решение нелинейного уравнения из теоремы 1 и может быть найден методом последовательных приближений, начиная с Х0 = 0,

Теорема 12. В условиях теоремы Н собственные значения {А„, п € Й} оператора С допускают оценки вида

В четвергом параграфе на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов.

Публикации по теме диссертации

[1] Гуровская М.С. Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов / М.С. Гуровская // Тезисы докл. Седьмой международной конф. "Математика. Компьютер. Образование. "Дубна. - 2000, №7. - С. 105.

[2] Гуровская М.С- Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса дифференциальных операторов / М.С. Гуровская // Тезисы докл. Восьмой международной конф.. "Математика. Компьютер. Образование. "Пущино. - 2001, №8. - С.152.

[3] Гуровская М.С. Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов / М.С. Гуровская // Межвузовский сборник научных трудов, "Мат. обеспечение ЭВМ". - Воронеж: ВГУ, 2001. - С. 25-29.

[4] Гуровская М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов / М.С. Гуровская // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2003, №1. - С, 115117.

[5] Пыркова М.С. Применение метода подобных операторов к исследованию спектра одного класса дифференциальных операторов / М.С, Пыркова // Материалы междун. науч. конф. "ТВМНА-2005", Воронеж. - 2005. С. 95-96.

. [6] Пыркова М.С. Метод подобных операторов и спектральный анализ линейных дифференциальных операторов. / М.С. Пыркова // Препринт НИИ математики ВГУ. - 2006, №20.

Работа [4] опубликована в ведущем рецензируемом издании, соответствующем перечню ВАК РФ.

Подписано а печать 23.11.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 938. Издательско-полнграфическгй центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов возмущенных линейных операторов.

§1 Метод подобных операторов. Теорема о расщеплении.

§2 Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки.

§3 Блочная диагонализация возмущенных операторов.

§4 Спектральные свойства возмущенных операторов.

§5 К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение трансформатора Г в частном случае.

§ О сопряженных операторах и отношениях.

В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов.

Такого рода операторы возникают, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [58]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. статьи А.Л.Скубачевского [47], В.В. Власова [17], Л.С.Пулькиной [43], Ю.Т.Сильченко [48]). Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [25]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.

В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24] , абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [5], [8].

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А—Во, где Bq имеет несложную по отношению к А структуру.

Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [54] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [60] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [8] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данной главе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия, определения и теоремы из метода подобных операторов, приспособленные к исследуемым во второй главе дифференциальным операторам, строятся допустимые тройки, а также излагаются некоторые определения и теоремы из теории отношений, используемые далее.

Пусть Я - комплексное гильбертово пространство.

Определение 1.1. Два линейных оператора Д- : D(A) С Я Н, г = 1,2 называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U € EndH, такой что UD{Aq) = D{A\) и

A\Ux = UA2X, для любого х € D(A?).

Такой оператор U называется оператором преобразования оператора А\ в оператор А2.

Подобные операторы обладают рядом одинаковых свойств.

Лемма 1.1. Пусть А{ : D(Ai) С Я Я, i = 1,2 подобные операторы uU G EndH - оператор преобразования оператора А\ в оператор A<i. Тогда имеют место следующие свойства: 1) <т(Ах) = а(А2), °d(A 1) = <Td{A2), crc(Ai) = сгс(Л2), где o"d(A') и « = 1,2 дискретный и непрерывный спектры оператора Д-.

Определение 1.2. Оператор В : D(B) С Н -ь Н называется подчиненным оператору А, если D(B) D D(A) и существует такая постоянная С > О, что Вх ||< С(\\ х || + || Ах ||),xeD(A).

Множество £л(Я) операторов, подчиненных А, образует линейное пространство, которое можно нормировать В ||=|| В \\а= inf С, где "инфинум"берется по по всем постоянным С > О, удовлетворяющим записанному выше неравенству.

Определение 1.3.Пусть Н - линейное многообразие операторов из £а{Н) и J : Н Н, Г : 11 -> EndH - трансформаторы (т.е. линейные операторы в пространствах операторов). Тройку (Н, J,Г) назовем допустимой для оператора A, ail - допустимым пространством возмущений, если выполнены следующие условия:

1)И - банахово пространство (со своей нормой || • ||*,); непрерывно вложенное в £д(#);

2)J и Г - непрерывные операторы;

3)(ГХ)х G D(A), для любого х G D(A) и имеет место равенство

АГХ - (ТХ)А = X - JX, для любого X G И равенство понимается как равенство элементов из 11);

4JXTY, (ГУ)Х G И ,VX,Y Ей и существуют постоянные 71 > О и 72 > 0, что Г ||< 71 и тах{|| XVY ||„ || (ГY)X ||,} < 72 || X Н Y

5)выполнено одно из условий a)RanTX С D(A) и АГХ G EndH;

6)для любого X G 11 и любого е > 0 существует число \£ G р(А), такое что || XR(X£, А) ||оо< е.

Пусть (И, J, Г) - допустимая для оператора А тройка. Теорема 1.1. Если выполнено условие о = 4 || В IIIJ Г ЦП J ||< 1, то оператор А — В подобен оператору А — JX0, где Х° - решение нелинейного уравнения

X = BTX-(rX)JX + B.

Его можно найти методом простых итераций.

Пусть А : D(A) С Н -t Н самосопряженный оператор, т.е. А = А*. Спектр оператора представим в виде а(А) = {Ai, Л2,.}, Аг- > О, Н{ = Е(Хг,А) - собственное подпространство, возможно бесконечномерное. Пусть Рг = Р* - ортогональные проекторы Рисса с

RanPt = E(\i,A) = Hi, i — 1,2,. Таким образом, H = 0i=1#i - ортогональная прямая сумма, I = ^^ 1Р1, где / - тождественный оператор и сходимость ряда понимается в сильной операторной топологии.

В качестве возмущения будем рассматривать оператор В : D(B) С Н -> Я, такой что D(B) D D(A).

Построим такую допустимую для А тройку (И, J, Г), чтобы оператор В принадлежал пространству 11. Пусть it - пространство допустимых возмущений состоит из операторов X £ EndH со свойством

00 и р*хр> ii2< tj=l

Норму || • ||* в пространстве допустимых возмущений 11 зададим следующим образом:

X|L=

00 II II2

J=1

Трансформатор J : 11 -> 11 определим с помощью формулы вида

00 i=l

Трансформатор Г : 11 -»• EndH для любого X е Я задается следующим образом при условии а(А) = inf{| А,- - АЛ: A;, A, е > 0. гф]

Теорема 1.3. Тройка (iiявляется допустимой для оператора А, причем постоянная у из определения допустимой тройки имеет вид j = аГ1.

Для построенной тройки (И, J, Г) справедлива Теорема 1.4. Если возмущение В принадлежит пространству Н и удовлетворяет оценке

4 || В < а{А), то оператор А — В подобен оператору вида

A-JX0 = A-Y^PkX0Pk, k> i где Хо G Я является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и его можно найти методом простых итераций.

При рассмотрении операторов с частными производными может случиться так, что условие разделенности спектра > 0) не будет выполненым для собственных значений самосопряженного оператора А, но существует представление его спектра а(А) в виде

00 а(А)= (J ак к=-оо объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств а*;, к G Z, для которых выполнено условие а{А) = inf dist{oi, а,-) > О, где dist(ai, aj) = \ X — fi \ - расстояние между множествами аг и o-j. При этом всюду далее будет считаться выполненным условие

Аг < Аг-+1УАг G сггУАг+1 G СП+1

Символом обозначим проектор Рисса, построенный по множеству £7£. Его можно, например, построить по формуле

Ъ = R(X,A)d\,k > 1, где 7^- жорданов контур, окружающий множество ориентированный в положительном направлении, и такой, что множество сг(Л.)\сг^ • находится вне контура.

Теперь по полученной ортогональной системе проекторов (Рп) введем в рассмотрение допустимое пространство возмущений 11, которое, как и ранее, состоит из операторов X 6 EndH, для которых конечна величина

00

11*11?= Е Wp"xp« II2' n,m=-оо принимаемая за квадрат нормы оператора X в линейном пространстве 11. В качестве трансформатора J будем использовать построенный ранее, а трансформатор Г : И —> EndH определим следующим образом. Через Aj~ обозначим самосопряженный ограниченный one-' ратор из EndHk, равный сужению оператора А на подпространство Hk. Его спектр совпадает с множеством crjt. Через обозначимнаименыпий отрезок, содержащий множество сг&. Рассмотрим два множества at,aj,i ф j, для определенности считая г < j. Таким образом, Д < ay.Трансформатор Г в начале определим на каждом операторе Х{3 = PtXPJ}X € Н следующей формулой

С оо

Г(ХЦ) = - e^KXPje'^dt,X ей, Jo где А{ - оператор из EndH, совпадающий с Аг на Нг и равный нулевому на подпространстве Я-, являющимся ортогональным дополнением к Hi, и следовательно, Н = Яг- ф Нг.

Теорема 1.5. Построенная тройка (It, J, Г) является допустимой для А. Если оператор В принадлежит допустимому пространству возмущений Н и удовлетворяет оценке

4 || В ||< а(А) = inf dist(at,aj), то оператор А — В подобен оператору вида

00

A - JX° = А— £ PkX°Pk, к=-оо где Х° € И является единственным решением нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и его мооюно найти методом простых итераций. Кроме того, имеет место равенство

А -В)(1 + ГХ°) = (/ + - JX0), где || ГХ° ||< 1 (то есть оператор I + ГА"0 обратим).

Вначале рассмотрим асимптотику спектра оператора А — В, считая, что оператор В удовлетворяет условиям теоремы 1.5.

Теорема 1.6. Пусть А = А* : D(A) С Я -> Я - самосопряженный оператор, спектр которого можно представить в виде объединения взаимно непересекающихся замкнутых множеств и выполнено условие разделенности спектральных компонент сгк, k> 1, из спектра а (А) оператора А. Если для оператора В Е 11 выполнено условие из теоремы 1.4, то спектр оператора А—В представим в виде объединения

00 а(А-В)= (J Эк к--оо взаимно непересекающихся множеств k Е Z, обладающих свойствами разбиения спектра оператора А, а также свойством оо

У^ dist(cTkt Ok)2 < оо. k=-оо

Теорема 1.7. Пусть в дополнение к условиям теоремы 1.6 оператор А имеет компактную резольвенту. Тогда для спектра оператора А — В имеет место представление из теоремы 1.6, где <7jfc = u{Ak — РкХ°Рк), к G Z являются конечными множествами и для них выполняется свойство из теоремы 1.6.

Фактически следствием теоремы 1.6 является также

Теорема 1.8. Пусть А = А* : D(A) С Я —> Я - самосопряже-ный оператор со спектром cr(A) = {Ai, Л2, удовлетворяющим условию а(А) > 0, с компактной резольвентой и все собственные значения Ai, А2,. оператора А просты (то есть dimHk = I.) Тогда для любого оператора В 6 EndH, удовлетворяющего условию из теоремы 1.4 оператор А — В имеет спектр вида а(А — В) =

Lti,/i2,—}, для которого выполнено свойство

00

- \)2 < 00. г=1

При этом все собственные значения //i,/Z2> ••• оператора А —В просты.

Сделаем следующее важное

Замечание 1.6. Пусть спектр самосопряженного оператора А имеет вид а(А) = {Ль Аг,.}, где его собственные значения удовлетворяют условию lim dist(Xn, а(А) \ {Ап}) = оо, п-юо и, значит, автоматически выполнено условие а(А) > 0. Считая для определенности выполненным условие Ai < А2 < рассмотрим произвольный оператор В € И и построим представление множества сг(А) вида а{А) = (J ак, к> 1 где <7i = {Ai,Лт},о-2 = {Am+i},t73 = {Ат+2},. Тогда существует достаточно большое число ш, при котором постоянная а(А), построенная по новому разбиению спектра, достаточно велика и такова, что выполнено условие на оператор В из теоремы 1.4. При этом следует отметить, что если первоначальные проекторы Р\, Р2,. удовлетворяли условию АРг = AiP^i = 1,2,., то построенному разбиению спектра отвечает система проекторов вида

Р\ = Р\ + ••• + Pmi А = Pm+h Ръ = Ртп+2, ••■

Теперь этой укрупненной системе проекторов отвечает уже другое допустимое пространство возмущений 11. Однако, очевидно, что 11 С Н и поэтому Be it и в условии 4 || Я ||* а-1(Л) < 1 норма В бралась в Д. Следовательно, для оператора А — В выполняются условия теоремы 1.6.

Непосредственно из сделанного замечания и предыдущих теорем следует

Теорема 1.9. Пусть спектр самосопряэюенного оператора А : D(A) С Я 4 Я имеет вид а(А) = {Ai, Л2,.}, допускает описанное в замечании 1.6 разбиение, Pui > 1 - проекторы Рисса, построенные по одноточечным множествам {An},n > 1, и оператор В € EndH принадлежит допустимому пространству возмущений И, построенному по этой системе проекторов. Тогда существует такое натуральное число т, что оператор А — В будет подобен оператору вида

А = А-(Р1 + . + Рт)Х0{Р1 + . + Рт)+ Pk&Pk, k>{m+1) где Х° - решение нелинейного уравнения из теоремы 1.1, которое рассматривается в допустимом пространстве возмущений И, построенному по укрупненной системе проекторов (Рп). Спектр оператора А — В допускает представление в виде взаимно непересекающихся замкнутых множеств со свойством

00 у^ dist(Afc, dk)2 < оо-к=1

Пусть А : D(A) G Н Н - линейный оператор (не обязательно самосопряженный). Предположим, что его спектр а (А) представим в виде а(А) = а\ U (72, где <j 1 = {Ai} - одноточечное множество, 02 -замкнутое множество и А16СГ2, то есть <Tin<72 = 0. Кроме того, предполагается, что проектор Рисса Pi, построенный по oi обладает свойством dimRanPi = 2. Это означает, что Ai - собственное значение оператора А, и далее также предполагается, что наряду с собственным вектором ei, отвечающим Ai, существует присоединенный вектор е\, то есть

А - Xil)e'i = ei.

Таким образом, е\, е\ - базис в двумерном пространстве Hi = RanPi. Если Р2 = / — Pi - дополнительный проектор (то есть Р2 -проектор •

Рисса, отвечающий а2 и #2 = RanP2,) то имеет место разложение Я в прямую сумму

Я = Hi Ф Я2.

Будем в этом частном случае разбиения спектра строить допустимую для А тройку (И, J, Г), полагая Я = EndH и трансформатор J : EndH EndH определим формулой

JX = Р1ХР1 + Р2ХР2,Х е EndH.

Оператор Г : EndH EndH определяется формулой ГХ = -PlXP2S + (Л1 - AiI)P1XP2S2+

SP2XPl - S2P2XP\(A\ - XJ).

Теорема 1.11. Построенная тройка (EndH, J, Г) является допустимой расщепляющей тройкой для оператора А и постоянные ' 71,72 из определения 1.3 допускают оценку max{7i, 72} < (|| 5 || + || 5 ||2|| А\ - X\I \\)W

Далее приводится некоторая сводка используемых во второй главе понятий из теории линейных отношений (многозначных линейных операторов), сопряженных операторов и отношений.

Во второй главе исследуются спектральные свойства трех классов дифференциальных операторов и на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных # операторов.

В первом параграфе рассматривается гильбертово пространство ь2 = ь2{[0, тг] х [—7г,0]), элементами которого служат классы эквивалентных между собой измеримых комплексных функций с суммируемым квадратом их модуля, определенные на квадрате [0,7г] X [—7г, 0], со скалярным произведением

7Г />0

У)=/ / x(t,a)y(t,a)dtda, J о J-1г где x,y€L2,t£ [0,7г], а G [-7г, О].

Гильбертово пространство Ь2 = ^([0,7г] х [—7г, 0]) изометрически изоморфно гильбертову пространству Ь2 = Ь2([0,7г], —тг, 0]). Изометрический изоморфизм между этими пространствами задает линейный оператор ((Ф/)(£)) = f(t, s), || Ф/ ||2= Jq Ц Ф f(t) ||2 dt = | f(t, s) |2 dtds. Таким образом, каждой функции х G L2([0,7r] х [—7г, 0]) ставится в соответствие функция х : [0,7г] L2[—tt, 0], ж(^)(сг) = x(t,a). В дальнейшем пространства Ь2 = Ь2([0,7г] х [-7Г, 0]) и Ь2 = L2([0, 7г], L2[-7t, 0]) часто будут отождествляться.

Изучается дифференциальный оператор Т = J? : D(T) С L2 -ь L2 = L2([0,7r],L2[-7r, 0]). с областью определения D(T), состоящей из непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,7г] функции х : [0,7г] L2[—7Г, 0], имеющих абсолютно непрерывную производную х' : [0,7г] —L2[—7г, 0], причем 5" G Ь2 (множество таких функций обозначим через W2(0,k) = W2)w удовлетворяющих следующим нелокальным краевым условиям piг р0 ж'(0, сг) =х(0,а)+ / / &(*, <т)ж(Мо +

Л J-7Г ж'(7г,а) = 0.

Здесь io > 0 - фиксированное число из Е = (—оо,оо), b - ограниченная измеримая функция на квадрате [0,7г] х [—7Г, 0], причем x(t, to + a) = x(t, io + <7 — 7ггг)j где n G Z таково, что to + cr — irn £ [-7Г, 0). Краевые условия удобно записывать в виде ж'(тг) = 0, где ip : L2([0,7r], Ь2{—7Г, 0]) € - линейный функционал вида

7Г /«0 = / / &(£, сг)ж(£, + cr)dtda.

Jo J-n

Такого рода линейные операторы возникают при изучении процессов диффузии в химической кинетике.

Наряду с оператором Т рассматривается интегро-дифференциальный оператор F : D(F) С L2 вида

Fy)(t, а) = - (£ у(0, r)dr)b(t, а - t0) с областью определения D(F), состоящей из функций, принадлежащих удовлетворяющих следующим краевым условиям у'(0, a) = y{0,o),y(ir,a) = 0.

В формуле для оператора F полагается b(t,a — to) = b(t,a — tQ+i:n), где п Е Z таково, что а — to + 7гп G [—7г, 0], то есть функция 6 : [0,7г] х [—7г, 0] —> С рассматривается по второй переменной на Е периодической периода тг.

Вначале изучается оператор F, который представим в виде

F = А- В, где оператор А определяется дифференциальным выражением 1у = и D(A) = D(F), то есть его область определения задается описанными выше краевыми условиями. Оператор В : D(A) = D(F) С 1>ч -> Li определяется формулой

By){t, а) = b(t, а - t0) [ у(0, r)dr, у € £>(А)

J —7Г и, вообще говоря, не допускает ограниченное расширение на

Оператор А является самосопряженным и его собственные значения \п,п > 1 имеют асимптотику: и собственными функциями (собственными подпространствами Н„, отвечающими собственному значению Ап) являются функции из L2 вида

Нп = {епМ = f{(r)en(t) : / G L2[-n,0]},n > 1 где en(t) = t/-(cosnf + ^sin nt) + 0(^),P(t) = -- + 1.

V 7г n 71* 7г

Ясно, что все собственные подпространства Нп,п > 1, бесконечномерны и Н является их ортогональной прямой суммой. Проектор Рисса на подпространство Нп (он отвечает собственному значению Л„) имеет вид рп

Pnx)(t,а) = ( / х(т,а)еп(т)с1т)еп(1), Jo где t Е [0,7г], а Е [—7Г, 0]ж Е Ь2.

Оператор В не принадлежит ни одному из рассматриваемых в первой главе допустимых пространств. Поэтому делаем предварительное преобразование подобия оператора А—В к оператору А—В\,' где Si Е EndL,2 и будет принадлежать допустимому пространству возмущений из §1.2.

Лемма 2.3. Если выполнено условие а0 = 2sup | е*(0) ||| b0 h < 1, *>i то оператор F = А — В подобен оператору А — В\ : D(A) С Z/2, где оператор В\: D(A) С L2 L2 имеет вид

Bi = JB + {I + Г В)-1 (ВТ В - (TB)JB).

При этом

А -В){1 + ТВ) = (I + ТВ){А - Si).

Лемма 2.4. Оператор В\ принадлежит допустимому пространству возмущений И (построенному в §1.2j и оператор В\ допускает оценку

II Вг И,<|| bo ||~b2 +-^-(^ + 2sup I efc(0) |) || bQ ||| .

1 - a0 3 ь>1 L2

Далее доказывается

Лемма 2.6. Оператор F является сопряженным к оператору

Т.

Эта лемма позволяет во многом свести изучение спектральных свойств оператора Т к изучению соответствующих свойств оператора F = А — В. В частности, имеет место равенство ст(Т) = а(А — В).

В свою очередь, из леммы 2.3 при условии ао < 1 из той же леммы изучение оператора А — В сводится к изучению оператора А — В\, где оператор В\ = J В + (I + Г В)'1 (ВТ В - Г В J В) принадлежит допустимому пространству возмущений И из §1.2. Теорема 2.1. Пусть выполнена оценка (2.14) и

И ь° liz, +2sup I I) II 6° IIU < L

2 1 - ао о k> 1 2

Тогда оператор Т* = А — В подобен оператору А — JX0, где

По x(fi, oc)etn(fj)diida)eTn(0)em(t)+

УпЬп{(?){ / x([i,a)en(n)d[i,da)en(t),x G i Jo J-'r где (yn) - некоторая последовательность из 12.

Теорема 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то спектр оператора Т дискретный и допускает представление вида а{Т) = о(А) U {рюп> 1} = {\n,Jin,n > 1}, где (цп) - последовательность комплексных чисел вида (2.27). В формуле (2.27) (уп) - некоторая последовательность из 12, причем

По 1 bn(a)el{fi)dfjLda)en(0) |= о(—) \у„\,п>1.

JT п

Во втором параграфе в гильбертовом пространстве Ь2 = £2(0,1) рассматривается дифференциальный оператор Л : D(A) С Ь2 Ь2,порожденный дифференциальным выражением ъ — *dfi и краевыми условиями ж(0) = О, [ x(t)dt = О,

Jo то есть

D(A) = {хе Wi[0,1] : х(0) = О, [ x(r)dr = 0}.

Jo

Изучается асимптотика собственных значений оператора А—В = ~ Ч : D{A) С Ь2 Ь2, где q G С[0,1], то есть Вх = qx,x G L2 - ограниченное возмущение оператора А. Ю.Т. Сильченко показал, что спектр а(А) оператора А состоит из собственных значений вида п = 4А2, п > 1, причем соответствующие собственные функции определяются равенствами en(t) = sin2imt,n > 1.

Лемма 2.7. Спектр оператора А имеет вид а(А) = {Ап = 47г2п2,гг > 1}, собственными функциями являются функции en(t) = sin27rn^, п > 1, причем Аеп = \пеп, а функции еп = ^fcos27rn£ являются присоединенными к ним, то есть (Л — \п1)еп = еп,л > 1. Присоединенных функций более высокого порядка нет.

Далее для нахождения проекторов Рп,п > 1 на собственные и присоединенные функции, отвечающие собственному значению А„,п > 1, ищется сопряженное отношение Л* к Л и его собственные и присоединенные функции. Особенностью рассматриваемой задачи является тот факт, что область определения D(A) оператора Л не плотна в Я = L2(0,1). Это объясняется наличием краевого условия

Jq1 x{t)dt = 0, которое ведет к равенствам (х,ео) = 0, х G D(A), где ео(t) = 1 и, значит, (ж,ео) = 0 Ух G D(A). Таким образом,е0 6 Щ)1 = D(A)1.

Итак, отношение А* будет иметь вид

А*7] = -г?" -al = -TJ" - С1, п'т=0, где а - любое число из С.

Следствие 2.1. Спектр а (А) оператора А совпадает со спектром отношения А*.

Проекторы Рп,п > 1 определяются формулой

Pnx){t) = 4( / х(т)( 1 - г) sin27rnrc?r) sin27rnH

J о щСх(т)( Jo cos27ГПГ — l)c?r)icos27mi, n > 1, t G [0,1]).

Полученная система проекторов равномерно ограничена.

Для исследования возмущенного оператора А — В применим метод подобных операторов. Причем в качестве допустимой тройки будем использовать тройку (EndL2, Jn, Гп), построенную в §1.5.

Для того чтобы воспользоваться теоремой о расщеплении, нужно оценить норму оператора Гп. Сначала найдем вид оператора Sn, присутствующего в формуле, определяющей трансформатор Г„. Значит, искомый оператор Sn имеет вид

S"x = Ё { + + ^3(^2)2 ) Sin 2Ш~ л—l^rl^n

Х° t cos 2-кЫ+ тг2(к2 - п2) к тг3(fc2 - п2)2

Н—Т77п~—^т J х(т)(соБ2жкт - l)dr • sin27r&ij .

Так как система проекторов Pjt равномерно ограничена, то справедлива оценка

00 ^ причем || Sn 0 при п оо, а значит и lim^oo || Гп ||= 0. Таким образом, существует такое щ G N, что при всех п > по выполнена оценка гпНЫМ Гп ни J„||<i

Далее рассматриваются именно такие п>щ.

Теорема 2.4.Пусть (EndL2, Jn^n) - построенная допустимая тройка. Тогда собственные значения оператора А — В имеют следующую асимптотику

Д(1) = 4ttV + I' q(r)( 1 - r)dr + o{-), Jo n

X® = 4A2 + jl q(T)rdT + оф.

В третьем параграфе рассматривается гильбертово пространство вектор-функций L2 = Ь2{{—\,1), С2), определенных на отрезке [-1,1] со значениями в С2 суммируемых с квадратом нормы. При этом скалярное произведение имеет вид

ЕМ0 = fi(Ui(t)W+u2(t)V2(i))dt, если U = (Uh U2), V = (Vu V2) е L2.

Основным объектом изучения является дифференциальный оператор £ : D(C)-C Ь2 —> L2 = L2((-l, 1),С2),определяемый дифференциальным выражением

IV = + C{x)Vi + dM, ^ + C(x)V2 + tkVi), где V = (Vh V2) eb2 и

4 ic2, are[0,1].

Его область определения D(C) задается краевыми условиями

Vri(-l) = riVr2(-l)> Vr2(l) = r2Vi(l)l где rhr2,ChC2,dhd2 £ С.

Исследуемый оператор С преобразуется в другой подобный ему оператор Со с помощью обратимого оператора U £ EndL2 вида где функции ф\,ф2: [—1,1] —С имеют вид

С1 -С2 r a±ib фх(х) = е^Ч-^у/т^-^ х G [0,1], л (пЛ / е^^^гз, я; € [-1,0], № = [ я 6 [0, ч, где г\г2 = еа+гЬ.

Оператор С переводится преобразованием подобия U в оператор Со, определяемый дифференциальным выражением loV = + ffW* ^ + ФгФ^Уг), V = (Vь К2) с краевыми условиями

Vi(—1) =

Оператор Со представим в виде Cq = А —В, где дифференциальный оператор А : D(A) = D(Cq) С L2-t L2 имеет вид и В - ограниченный оператор умножения на матричную функцию с(х) 1 \

ФгФ2% С(х) )•

21

Тогда i~lA является самосопряженным оператором (А - кососа-мосопряженный) с дискретным спектром (с компактной резольвентой). Его собственными значениями являются числа An = n€Z и соответствующими собственными функциями являются следующие нормированные пары функций ек(х) = {е~Ькх,еМх)/2, п = 2к ек{х) = (-e~nkx~lei7rb+JW2)/2, п = 2к + 1.

Таким образом, все собственные значения оператора А простые и указанные собственные функции образуют ортонормированный базис в Ь2.

Пусть Рг - проектор Рисса, построенный по одноточечному спектральному множеству {А;} оператора А и Ргх = (х,ег)ег,х 6 Ь2. • Тройка (EndL2,7, Г), где оператор J : EndL2 —EndL2, имеет вид

00

JX = ]Г ргхрг, г—~оо и Г : EndH EndH, определен следующим образом

00 является допустимой тройкой. Имеет место Теорема 2.5 Если выполнено условие шах

Ле(С0+ max

V ' --el-i,0] vTn] е[ОД) vTnT

Ы 22 то оператор А — В подобен оператору диагональной структуры А — JX, где X решение нелинейного уравнения из теоремы 1.1 и может быть найден методом последовательных приближений, начиная с Xо = 0.

Теорема 2.6 В условиях теоремы 2.3 собственные значения {Ля, n G Z} оператора С допускают оценки вида

1Л г?Ш| ^ IL I.I V^ Zbnjbjn I . 1

2 ^ , г7г( ? — тг) 16

J = -00

В четвертом параграфе на основе метода подобных операторов строится модификация метода Галеркина для вычисления собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов.

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображении окружности на себя / В.И. Арнольд // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1961. - Т.25, вып. I. - С.21-86.

2. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. -М. :Наука, 1966. -543 с.

3. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. 1991. - Т.27, М. - С.2162- 2164.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 1995. - Т.343, №3. - С.295-298.

5. Баскаков А.Г. Замена Крылова-Боголюбова в теории нелинейных возмущений линейных операторов / А.Г. Баскаков. -Препринт №80 -19. Киев, 1981.

6. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. зам. -1996. Т.59, М. - С.811-820.

7. Баскаков А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А.Г. Баскаков, Т.К.Кацаран // Дифференц. уравнения. 1988. - Т.24, №8. - С.1424-1433.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов: Учеб. пособие / А.Г. Баскаков. Воронеж :Изд-во Воронеж, унта, 1987. - 164 с.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, II / А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37, №1. -С.3-11.

10. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа оператора в теории возмущений линейных операторов/ А.Г. Баскаков // Сибирский математический журнал 1983 - Т.24, т - С.21-39.

11. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, Ml. - С.3-42.

12. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы и ре-гуляризованных следов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. - №3. - С.3-12.

13. Баскаков А.Г. Спектральный анализ неквазианалитических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. Mai ем. 1994. - Т.58, М. - С.3-32.

14. Баскаков А.Г. Спектральный анализ относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. М. - С.3-11.

15. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Ростов-на Дону : Феникс. 1998. - 512 с.

16. Будак Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. -512 с.

17. Власов В.В. О некоторых спекральных вопросах, возникающих в теории дифференциально-разностных операторов / В.В. Власов // Успехи матем. наук. 1998. - Т. 53, №4. - С. 217-218.

18. Войтович Н.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. /Н.Н. Войтович, Б.З. Кацеленбаум, А.В. Си-вов / М., 1997. -С.289-416.

19. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1965. -448 с.

20. Гуровская М.С. Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов / М.С. Гуровская // Межвузовский сборник научных трудов. "Мат. обеспечение ЭВМ". Воронеж : ВГУ, 2001. - С. 115-117.

21. Гуровская М.С. Метод подобных операторов в спектральном анализе одного класса дифференциальных операторов / М.С. Гуровская // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2003, №1. - С.59-62.

22. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука. - 1970.I106

23. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

24. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АННССР. сер. ма-тем. 1976. - Т.40. С. 1380-1408.

25. Иосида К. Функциональный анализ. / К. Иосида. М. : Мир, 1967. -624 с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. СПб. : Лань. 2003. - 576 с.

27. Канторович JI.B. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. -М.: Наука. 1984. 750 с.

28. Кахан Ж.П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.П. Ка-хан. М.: Мир, 1976. - 204 с.

29. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

30. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 623 с.

31. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Е.М. Семенов, Ю.И. Петунин М: Наука. - 1978.

32. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука. - 1972.

33. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

34. Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргсян. М.: Наука, - 1988.

35. Сильченко Ю.Т. Резольвента оператора дифференцирования второго порядка с параметром в нелокальных условиях. / Ю.Т. Сильченко // Труды математического факультета ВГУ. 2005. -Т.9. - С.51-56.

36. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. -М.: Наука, 1980. 495 с.

37. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. Матем. журн. 1991. - Т.32, №3. - С.160-165.

38. Ульянова E.JI. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дисс. канд. физ.- мат. наук / E.JI. Ульянова. Воронеж, 1998. -100 с.

39. Ускова Н.Б. Метод подобных операторов в проблеме собственных значений и собственных векторов линейных операторов: дисс. канд. физ- мат. наук / Н.Б. Ускова. Воронеж, 1994. -131 с.

40. Ускова Н.Б. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов / Н.Б. Ускова // Сибирский математический журнал 2000 - Т.41, №3 - С.712-721.

41. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / К.О. Фридрихе. М. : Мир, 1969. - 232 с.

42. Шелковой А.Н. Спектральный анализ дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями: дисс. канд. физ.-мат. наук / А.Н. Шелковой. Воронеж. 2004. - 144 с.

43. Эдварде Р.Э. Ряды Фурье в современном изложении: в 2-х томах / Р.Э. Эдварде. -М.: Наука, 2000. Т.1 260 с

44. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

45. Cardanobile S. Semigroup methods for population equation with delayed birth process / S.Cardanobile, G.Fragnelli, E.Galdino, K.Leicht, L.Scardia // final Workshop of the 6th TULKA Internet Seminar. -2003. P. 46.

46. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

47. Turner R.E. Perturbations of compact spectral operators / R.E. Turner // Communications on pure and appeied mathematics. -1965. V. 18. - P. 519-541.j110