Методы решения задач оптимального управления с кусочно-линейными элементами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

1 " (РУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВСГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

2 6 АПР ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГАО СЮЭДУН

ЫьТцЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТШАДЬНСГО УПРАВЛЕНИЯ С КУьОЧНО-ЛИНЕЯНШИ ЭЛЕМЕНТАМ

01.(Л .09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИ1СК. 1993

Работа выполнена в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете

Научны? руководитель - доктор Физико-математическиг нз.ук,

.профессор КирилтоЕЯ <*\ М. Официальные опоненто - доктор Физико-математических наук,

профессор В.М Марченко - доктор физико-математических наук, профессор Jl.k. Мииченко Ведущая организация - 1«ститут кибернетики АН Украины

им. В.М. Глуикова

16 Си ф+'^Я

Защита диссертации состоится ' 1993 года

1^:00

в часов на. заседании специализированного совета К 006.19.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики АН Беларуси по

адресу: 220604, г.Минск, ул. Сурганова, д.II. »

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан •/Г JMajim^ 1993 г

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук-

сг^го]А.ь. Астровский

СБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Задачи оптимального управления возникли в современной технике, экономике и других сферах человеческой деятельности, где развитие связано с затратами, выбором и с использованием предельных возможностей. Принцип максимума Л.С. Понтрягина^, с которого началось развитие математической теории оптимальных процессов, и динамическое программиро-2)

вание Р. Беллмана резко увеличили интенсивность исследований в этой области.

Практическая значимость результатов была и остается главной причиной бурного развития теории оптимального управления. С другой стороны, в промессе развития математическая теория оптимальных процессов постоянно обогащается новыми моделями, которые учитывают те.или иные особенности новых прикладных задач. Так в последние годы проявляется повышенный интерес к негладким задачам оптимального управления. Задачи с негладкими элементами широко распространены в приложениях (экономика, электротехника, управление движущимися объектами). Однако основные усилия исследований здесь были направлены на обобщение понятия классической производной и применение новых понятий к формулировке необходимых условий оптимальности. Отметим работы В.$. Демьянова, В.В. Федорова, Н.З.Шора, Ф.Кларка, Б.Н.Ше-

1. Понтрягин Л.С. и другие. Математическая теория оптимальных процессов.М.: Наука,' 1976 , 392с.

2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: И1, 1960, 400с.

яичного, В.В.Гороховика, БЛ.Мордуховича. Вместе с тем в этой области оптимального управления отсутствуют элективные алгоритмы построение оптимальных управлений, что затрудняет использование полученных результатов и решение прикладных задач.

В середине 70-х годов.в Минске на базе семинара по конструктивным методам оптимизации был предложен новый подход к решению экстремальных задач. Решающим моментом было создание

3)

адаптивного метода решения задач линейного программирования . Основным инструментом исследования в адаптивном методе является опора, которая представляет естественное обобщение класси-

4)

ческого понятия базиса . Сохраняя все достоинства симплекс-метода, опорный метод позволяет максимальным образом использовать специфику решаемой задачи, опыт, накопленный специалистами л дает возможность использовать критерий субоптимальности.

Принципы адаптивного метода были обобщены на разнообразные за-

5)

дачи оптимального управления , что позволило построить элективные алгоритмы решения разнообрааных задач оптимального управления для дискретных, непрерывных систем и разработать комплексы программных средств.

3. Габасов Р, Кириллова Ф.М. Методы линейного программирование. 4.1-3, Минск: изд. Университетское, 1977-1980.

4. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

5. Габасов Р,, Кириллова Ф.М. и др. Конструктивные метода оптимизации, чЛ-4, Минск: изд. Университетское, 1984-1987.

Данная диссертационная работа посвящена задачам оптимального управления с кусочно-линейными элементами. Она является в определенном сшсле продолжением и дополнением упомянутых работ по конструктиной теории оптимального управления.

Цель работы. Целью работы являлось обоснование конструктивных методов решения задач оптимального управления с кусочно-линейными элементами и исследование проблемы синтеза.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе предлагается метод построения оптимального программного управления для задачи оптимального управления с кусочно-линейным входом. Доказываются условия оптимальности для выше указанной задачи и задачи с кусочно-линейным выходом, а также для задачи с кусочно-линейным критерием качества. Описываются алгоритм работы оптимального регулятора для задачи с кусочно-^ линейным входом и алгоритм работы экстремального регулятора для задачи с кусочно-линейной динамикой. Полученные результаты могут быть использованы для решения задач оптимального управления с кусочно-линейными элементами, возникающие в экономике и технике.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации написаны 12 научных работ. Сделаны доклады на Научной конференции творческой молодежи (г.Минск, 1992), Международном семинаре по негладким и разрывнам задачам управления и оптимизации (г.Владивосток, 199Т), 9-ом семинаре ИФАК по применениям оптимизации и управление (г.Мюнхен, Германия, Т992), 6-ом симпозиуме МАК по теории больших задач управления и ее применениям (г.Пекин, Т992).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (106 наименований). Объем работы 120 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНЬЕ ДИСС1АЦИШН0Й РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор в области теории оптимального управления и излагают идеи, реализованные в диссертации.

В первой главе исследуется задача оптимального управление линейной динамической системой с кусочно-линейным входом:

J(U.) = c'X(t*) (т>

Х = Аэс -t ос(о) = эс„,

H*(t*)=3, (3)

IlLlt^Ui; t еТ=['о, t*]. (4)

(xCR* u.6R, AeR™ HeR™ qtRm, rwik H= m с n ).

Относительно вектор-функции > U-^R .предложим,

что она непрерывна, кусочно-линейна и имеет вид:

(Ь.и. + М, М-^., . Ь2ц + v2, H4U.,

где Ц , \)z , V,. Уг-а-векторы^ |U0|<1 , b.Kc+V^M^. Определение I. Кусочно-непрерывную функцию U.(-fc) , t£T (Назовем допустимым управлением задачи (Т-)-(4), если она удовлетворяет неравенству (4) и порождает траекторию 3C(t) , t€Т ,

. -6-

которая в конечный момент попадает на терминальное множе-

ство : Их. = $ У • Оптимальным управлением будем

называть допустимое управление Ы°а) , ¿¿Т , на котором критерий качество (I) достигает максимального значения.

По аналогии с работой^ можно доказать, что оптимальное управление задачи (1)-(4) принадлежит классу функций, принимающих лишь три значения: -1 , Ц.в , 1 , если выполняется условие :

Ни* (рк , , • • • =-1 , 1=1,2.

Обозначим через и множество всех таких функций, которые принимают лишь тр^ значения -1 , Ц.„, 1 • Задачу (1)-(4) будем исследовать в классе

Пусть и.<.')~1и.Ц))Ь€Т] е и — допустимое управление задачи (Т)-(4). Множество его точек переключения *={£)', J£X} ряпобт.ем на подмножества:

1

Т% [ЫТ: и«-о)=1, и(Ь0)=«0}='{^ , ¡е?**}, .

Т= и^Т: = ¿ер*],

Т ={±еТ'- \х\.Ь-о)=а.,1ИШ=4}=1Ъ, jeJ0-j>

Обозначим . .

Н3ю = Н?П*Л) С Шо)1

-7-

где ^ , 'Х.е^О, Ь] — фундаментальная матрица реше-

ний однородной систем* эЬ = Ах.

Пусть Цп^^Ь "¿т} — совокупность из ш момен-

тов переключения допустимого управленич и.({:) , 1 6 Т ;

То^ТопПГ; Тсп^ТепОГ"! т.п+=т0Ппт0+,

ТсГ=ТопПТ+0, Топ"°=ТопПТ"°, ТсГ-ТопЛТ0-.

Определение 2. Совокупность ^ ~Ьг, •• • "£т| назовем

и. С • ) —опорой задачи "(1)-(4), если не вырождена матрипа

Определение 3. Пару {. 4.(0, Топ} из допустимого управления и. С*) £ 17 и —опоры Цп назовем . опорным управле-

нием задачи (1)-(4).

Введем обозначения:

с, с>т*л)Ь1, с2 а)=с ь)Ьг, с3 ю=t;(Ь, и-и*) ■+ Ьг (Шо)], ыт. Оп=[с,а)МК?игС •: а^)ДеГ.й0иГ*; С3 ].

Подсчитаем вектор потенциалов

у'^Гопр:1, (5)

и построим (^ункиии

,(1-ИвнЬ,(1+К«)], <г€гТ. (6) -8-

Теорема I. (критерий оптимальности): Для оптимальности опорного управления {«■со, т,Л необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

Ai(t) ¿0, при W-(t) =r 1 t

Дз(Ю>о при W_lt;=--1 j

ДгМ^о при u.(t)=it,/ teT. (7)

Пусть UV) = f U.°Ci),téj1) GTJ—оптимальное управление задачи (I)-(4).

Определение 4. Допустимое управление К (t) , t éf , задачи (1)-(4) назовем субоптимальным ( £ -оптимальным), если выполняется неравенстзо

JCU-0) - J[tL) <j£.

Определение 5. Функцию — ( w 16 T ) G17 будем

называть [И(-)} rj]n }—квазиуправлением задачи (l)-(4), если сна удовлетворяет условию

^itjtcwto) = тал ?'(Ы M, ,

Число (1(и,Топ) = ffy<i£b(U(t))- Ь(иЛ))] Jt называется оценкой субоптимальности управления ¿¿i-fcj , té J1 . вдоль

U-l') —опоры rf,0n. Достаточное условие субоптимальности: Пусть { МАО, Топ} -опорное управление задачи (1)-(4). При . ¿>0 для ¿-оптимальности управления Щ£) , tб^Р , достаточно, чтобы его оценка субоптимальности fi(Lll'jlrt) не превышала £ .

С помощью функций Д (t) , Аг Ct) » Л} Ct) . t6T » пос"

троим множества: Л, (<:) ¿0, Л3 о} >

так, чтобы выполнялись условия:

т+пт = $. т+пт°= $, т пт - $* т=т+^т"ит<:

Тогда, если построить функцию со (-{-) , ttT » пледую-• щим образом

С0«0 = <-л, -Ьет~

* 1 » (8) то функция СоМ;) , 1: € Т1 , будет {.1ШД^]-квазиуправлени-ем задачи (1)-(4).

В §3 предлагается процедура доводки. Главная идея ее состоит в следующем:

Пусть и.Чо» (и'(ЬЛеТ)€и-

оптимальное управление задачи Ш-(4) с вектором $ =

Предположим, что пг-вектор удовлетворяет неравенству

с достаточно малым > о .

Цель процедуры доводки - скорректировать ^ункпию IIе(Ь) , Ь 6 Т ».так> чтобы она с заданной точностью обеспечила выполнение терминального ограничения и критерия оптимальности в задаче (1)-(4) с вектором

С помощью процедуры.доводки опишем метод построения оптимального программного управления'для задачи (1)-(4).

Возьмем любой щ-вектор у . Следуя (6), подсчитаем функции Д^ {£) , Л2. (¿) » Лз "Ь^Т • По'(8) вычислим функцию соШ> ЬеТ-

Пусть д£(Ь) , t<¿T - решение систеш (2) при Ц-Ю-ЬиН), Ье Т . Обозначим = . Тогда си «г) . .

- оптимальное управление задачи (1)-(4) с терминальным ограничением Цх(.Ь*)-$°.

Зададим достаточно большое число /V . Построим вектор

сцм)= , -

Пусть для вектора известно оптимальное управле-

ние ¿Iм (-£:) , б^Р » задачи (1)-(4) с терминальным ограничением = | (/г).

С помощью процедуры доводки построим оптимальное управление и*+,(£) , Ь£Т > задачи СI)-С4) с терминальным ограничением Нэса*) <* + ') .Продолжая этот процесс, через N шагов построим оптимальное управление ЦЩ , задачи (1)-(4) с терминальным ограничением —

Б ?4 рассматривается задача построения регулятора, который в режиме реального времени вырабатывает оптимальное управления для задачи (1)-(4). Погрузим задачу (1)-(4) в семейство задач:

с'ха?) —> т&эс , (9)

х = Ах + Ь(и-), х(г) = а, (10)

Ц-ха*)~$, (Ш

1иш141, = , (12)

-и-

зависящее от скаляра Т£ Т и п.-вектора . Пару 5={туг] будем называть допустимой позицией системы (2), если для нее существует решение задачи (9)-(12) Пусть 5 -множество всех допустимых позиций.

Оптимальные программные управление и траекторию задачи (9)-(12) для допустимой позиции б обозначим через 1Д-°(

х°а|5),-иТт.

Определение 6. Кусочно-непрерывную функцию Цв(5), 5 б 5 назовем оптимальным управлвнием типа обратной связи для задачи (1)-(4), если она удовлетворяет неравенству | Ы-'Сб) , 5 € ^ I и порождает траекторию Х(£|$) , 1:€ Ттг .уравнения:

ЭС= АэС+ Ь( ИМ,*)), Х(Ъ)=Ъ,

которая для всех позиций 5^5 совпадаете ЭС . "ЬбТъ

Согласно полученному в §2 критерию оптимальности, оптимальное управление = , t6rГг задачи (9)-(12) полностью определяется совокупностью

Т^П:), УСС) (тз)

состоящей из р точек переключения управления Ц0, ¿бТ, И пл.-вектора потенциалов, которые удовлетворяют уравнениям:

Т, У1Х), 1)=0,

где

/(г, Ьч Ш), 1) - X 6) (V

Leclt)

+ 1 fb*'h№t.va,u.+4Ui + HfrtSvz ~§}

UK'tt) 1

rAiCtjCu), j6T+0uToi, ( tiW, ¿г ftjnfy Jej-u у-»

U3 (tjinlje

= 2, ••• Pit)}/ fc-Vj = [iejitt): Li(i)=L/ U J t¿n), tivlví},,

— [Се К ft): «.«0--Í, tej^tr^^t^cj

|/0(г)= [¿elect): t¿(V=и*, юс},

t0(T) = r/ tpilnj = t*

Уравнения (13) назовем определяющими уравнениями оптимального регулятора, а совокупность ?(1)}-структурой оптимального регулятора.

Будем считать, что в реальных: условиях, система (2) испытывает действие неизвестных кусочно-непрерывных возмущений Wit) , t б[о , t°J; iv (У = о, te ]t° t*J# Пусть

из-за этого движение замкнутой системы происходит не- согласно (2), а согласно уравнению

±=Ах-f + X(O;=jc0 {I5)

Допустим, что в конкретном процессе управления реализовалось возмущение U/*(íJ , "t É-T7 > Обозначим через X tfc) ,

¿¿Т7 » соответствующую траекторию уравнения (15).

В этом параграфе предпалагается метод решения определяющих уравнений (14) в режиме реального времени. Описывается алгоритм решения определяющих уравнений оптимального регулятора, который для любого конкретного процесса управления в режиме реального времени вырабатывает управления, циркулирующие в системах",замкнутых оптимальной связью.

В процессах построения оптимального программного управления и оптимального регулятора для задачи (1)-(4) важным является анализ структуры И), Г<Т) } _ Это описано в п.5 §4.

Во второй главе исследуется задача оптимального управления системами с кусочно-линейной собственной динамикой:

'Лги.) = с'х.(Ь*) —>гпссх) (16)-

0С = Ах-+Ьм.+ а^Сс/'х), х(о)=х0^ (т7)

Нха*)=$, (те)

|и.<*:)| ЬеТ; ч(тд)

где скалярная непрерывная функция -^Ы) , с, кусочно-линейна:

и + V ; }

fi, у*, V", о(0 - заданные числа, f'''Ы0■^V'h=fы0■i■¡/~

Допустимое и оптимальное управление задачи (1б)-(19) определяется стандартно.

Пусть Ц(Ь) , Ь^Т > ~ допустимое управление задачи

С16)—С19). Рассмотрим случай, когда под действием управления

и.Ш , ¿¿Т , траектория ХЩ , , системы (17)

пересекает гиперплоскость <1'Х — с<о один раз (в момент Ь1 ) и

при этом выполняется условие

{/'¿С^+о; • ¿'эс(Ь1-о) > О. - (см. Рис Л)

Рис. 1.

Обозначим через 1), ТбСо^Ь]-фундаменталь-

ные матрицы решений однородных систем:

£ = А*х., х = А~х, г*е А+=А+Г^', А"= А+ {~Л(Л\

Пусть ^ = [и^г • •• Ьт] С Т — произвольное множество изолированных моментов времени,

Определение 7.Совокупность моментов Топ ~ I Ьг "¿Гпг] назовем Ц.(•; - опорой задачи '*Гб) — (19), если не ньгоождена мат-

£ = ( Н (^} ,

Определение 8. Пару {LU.-), Ttn} из допустимого управления U(t) > £6^ ' и №) - опоры Т^п назовем опорным управлением задачи (I6)-(J9). Опорное управление {.U.6), 7on] называется невырожденным, если

I {U(tj+0) + U.(ty-0))/2 I <1, tjCTon. Подсчитаем вектор потенциалов

У'= CP"'

и кооуправление

Д(Ъ) =(У'Й -С) te т.

В 52 доказывается Теорема 2. (необходимые условия оптимальности). Для оптимальности невырожденного опорного управления [U-i'K Tön} необходимо, чтобы выполнялись соотношения:

Ait) ¿0 при U. tt) = i ,

Ait)J>0 при LLlt) = -dj

4(fc) = 0 при ~i^U.(t)<i, ¿€Т. (20) Определение 9. Опорное управление ¿¿¿"(') , Torj } задачи СТ6)-(19) назовем экстремальным, если на нем выполняются необходимые условия оптимальности (2С).

В ?3 подход Ç4 главы I развивается на задачу (Т6)-(19). Описывается алгоритм работы экстремального регулятора для задачи (16)-(19).

Глава Ж посвящена задаче оптимизации динамической системой с кусочно-линейцым выходом и задаче оптимального управления с'кусочно-линейным критерием качества. :

В ÇI предварительно рассматривается задача оптимального

управления с терминальными ограничениями типа равенства и неравенства:

JCWj^Cxrt*) ->ГПАХ, (gl)

± = Ах-ь Ьи, ЭС(.0) = Хв} (22)

HX(fc*)=$, (fc*J>, (23)

¡U.(i)l <J, t 6 т. . (24)

Пусть Uli) , i 6Т , - допустимое управление задачи (21)-(24). Исследуем случай, когда допустимая траектория 3C(-t) » 16 Т » попадает на плоскость ¿'х.= Ы0 в конечны? момент

Обозначим через "J- (t, "с), t] фундаментальную

матрицу решений однородной системы АХ . Пусть

H' = (HW), Hit)=H<?tt*t)b; ш=с'?а*±1Ь,-ьет,

и Топ = tt,, tz , • tntmH} С Т - совокупность из т+1 изолированного момента.

Определение 10. Совокупность Топ НЭЭ0В6М ОПОрНОЙ 38ДЭЧИ (21)-(24), если не вырождена матрица:

Р = ( H<tj)j tj€T0n).

Определение II. Пару {№.(•), Топ} из допустимого управления

LL(b) > t6T и ОПОРН Ion назовем опорным управлением ладачи (2Т)-(24). Опорное управление { U.М, Топ) считается невырожденным, если'

l(U(ijto)+ U-(-bf-c))/2/<i, tjtTon. Обозначим Сап — с C(tj)J -tj Ton) .

Подсчитаем вектор потенциалов у~ ,

и коуправление

Act^C Р'Н -c'mt*,t)b, teТ.

Теорема 3 (критерий оптимальности): Для оптимальности опорного управления 1Ш-), Топ } задачи (21)-(24) достаточно, а в случае его невырожденности и необходимо, чтобы выполнялись соотношения:

1) A(t) ¿0 при =

при tUt) = -l,

4(t)=<? при -i < W.(tj< i, tfcT;

2) ynti ¿0 (Ym+i>o,ecju J'oat*) <U0),

В §2 полученный в §1 результат применен к задаче оптимального управления с кусочно-линейным выводом:

a"(u.) = c/Jxft*) -»mcue, (25)

Х= Ах-+ bU. j ЭСЮ) = Х0, (26)

lUHalCi, (,8)

где — щ- вектор, непрерывная скалярная функция -j-{oi) , oitR » определяется как в главе II.

Исследуем оптимальность допустимого управления U_(.t) ,

"ti-T f которому соответствует траектория XCtJ , tfeT1 ,nona-«

дающая.в конечный, момент t* на плоскость 4'х~Ы0 .

Обозначения Н J ff(t) , C(t) ^(i, t). Ton , Con, ?*iyt itw) ,

-18-

и определения опоры, опорного управления совпадают с аналогичными понятиями из §1.

Теорема 4. Для оптимальности опорного управления TJn} задачи (25)-(28) достаточно, а в случае его невырожденности и необходимо, чтобы выполнялись соотношения:

1) при U.tt)=i,

¿ut при mt) = --í,

Aít)=0 при -1 <«.«:>< 1, t€T.

2) fy'L ¿fy't.

В §3 исследуется задача оптимального управления с кусочно-линейным критерием качества:

0"(i¿)= c'xit*) + f (d'jcct*))mcLXj X = A¿Cf bit, CCíO)=Xo,

|U.Ct)Ul/ t€T, (29)

где непрерывная скалярная функция /(«О , € R , определяется как в главе II.

Как в §1, §2 этой главы исследуем оптимальность допустимого управления UAt) , t&T1 , задачи (29), которому соответствует траектория X (t) , te1]-1 , попадающая в момент t* на плоскость c/'x = o¿0-

Введем новые обозначения:

Теорема 5. Для оптимальности опорного управления {¿¿И, задачи (29) достаточно, а в случае его невырожденности и необ-

-\<ШЪ< 1, ¿6Т;

Все результаты работы проиллюстрированы на примерах (§5 главы I, §4 главы II, §4 главы Ш).

На защиту выносятся следующие результаты:

I. Разработка метода решения терминальной задачи оптималь ного управления динамической системой с кусочно-линейным входом:

- доказательство условий оптимальности и субоптимальности ,

- метод построения оптимального программного управления ,

- метод синтеза оптимального управления.

2.4 Разработка метода решения задачи оптимизации систем с кусочно-линейной динамикой:

- опорный принцип максимума (необходимое условие оптимальности) ,

- синтез экстремального управления.

3. Разработка метода решения двух специальных задач теории оптимальных процессов:

- необходимое и достаточное условие оптимальности для задачи оптимального управления с кусочно-линейным выходом ,

ходимо, чтобы выполнялись соотношения: АМ^Л-ИХО при

Ш+^^О, Ш + fh.it)>0 ПрИ

= 0 при

2) -ГЧпн'^Ум .

- необходимое и достаточное условие оптимальности для задачи оптимального управления с кусочно-линейным критерием качества.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

I. Гоо Сюэдун. Оптимизация негладких систем управления.//Тезисы докладов И'АК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации, 1991, Владивосток, С. 35-3 6.

?.. Гао Сюэдун. Оптимизация дискретных систем с-кусочно-линейным входом. //Вестник БГУ, Сер.1. физ.,мат.,мех., деп. в ВШИТЬ, № 63-В92, 1992, 34с.

3. Гао Сюэдун, Кириллова ?'.М. Об одном методе оптимизации линейной динамической системы с кусочно-линейным входом. //Дифференц. уравнения, 1992, Jf.II, С. 1882-1890.

4. Габэсов Р., Гао Сюздун, Кириллова Синтез оптимальной системы управления с кусочно-линейным входом. //А и Т., Москва, 1992 (в печать).

I. Гао Сюэдун. Оптимизация в режиме реального времени систем управление с кусочно-линейным входом. //Тезисы докладов межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи, т8-22 мая Т992, Минск, С. 8-9. Гао Сюэдун. Оптимизация систем управления с нелинейной динамикой . 'Денисы докладов УТ конференции математиков Беларуси, Гродно, 29 сентября- 2 октября 1992, П8с.

7. Кириллова '".'<1., Гао Сюэдун. Оптимизация систем управления

с кусочно-линейной динамикой. //Дифференц. уравнения (в печать).

8. Кириллова Гао Сюэдун. Экстремальный синтез для систем управление с кусочно-линейной динамикой. //Дифференц. урав-

-21-

нения (в печать).

9. Кириллова (Г.М., Гао Сюэдун. Оптимизация систем управления с кусочно-линейным выходом. //Дифференц. уравнения (в печать).

10.Гао Сюэдун. Решение двух кусочно-линейных задач оптимально го управления с помощью линейной задачи. //Вестник БГУ (в печать).

11. Gao Xue-Dong Open-loop and closed-loop control for dynamical systems with non-linear input//Abstracts of the 9th IFAC Worshop on Control Applications of Optimization, 1992, Munchen, Germany,pp.99-100.

12. R.Gabacov,F.M.Kiri11 ova, X.D.Gao. N. V.Balashvich Algorithm for Soving Large Problems of Discrete System of Optimal Control//Prints of 6th IFAC/IFORS/IMACS Symposium on Large Scale Systems: Theory and Application (LSS'92).Bei-jing, China, August 23-25,1992,pp.360-365.