Разрывная граничная задача линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой кривой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СКАЛЯРНАЯ РАЗРЫВНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В СЛУЧАЕ ОБЩЕЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ

КРИВОЙ

§ I. Основные обозначения и термины

§ 2. Вспомогательные результаты и постановка задачи

§ 3. Факторизация непрерывной функции, заданной на гладкой дуге .4

§ Ц-. Факторизация кусочно-непрерывной функции, заданной на общей кусочно-гладкой кривой.

§ 5. Факторизация кусочно-непрерывной функции в различных -классах

§ 6. Решение скалярной разрывной задачи линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова в случае общей кусочно-гладкой кривой

§ 7. Обобщение А -классов Н.И.Мусхелишвили и связь между кусочно-непрерывной и разрывной задачами.

ГЛАВА П. ВЕКТОРНАЯ РАЗРЫВНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

§ 8. Вспомогательные результаты

§ 9. Сведение кусочно-непрерывной матрицы-функции к непрерывной

§ 10.Факторизация кусочно-непрерывных матрицфункций

§ II. Факторизация кусочно-непрерывных матрицфункций в различных УС -классах.

§ 12. Векторная разрывная задача линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова

ГЛАВА Ш. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ В СЛУЧАЕ ОБЩЕЙ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КЭДВОЙ

§ 13. Некоторые термины и обозначения

§ 14. Решение характеристических сингулярных интегральных уравнений

§ 15. Метод регуляризации Т.Карлемана-И.Н.Векуа.

§ 16. Системы характеристических сингулярных интегральных уравнений. Об одном свойстве решений задачи линейного сопряжения.

Среди линейных граничных задач теории функций комплексного переменного особую роль играет задача линейного сопряжения

Она является важным модельным случаем в группе двухсторонних граничных задач теории функций комплексного перемениого,часто встречается при решении плоских граничных задач механики и математической физики. В частности, она играет существенную роль при построении теории одномерных сингулярных интегральных уравнений. Наконец, повышенный интерес к этой задаче,особенно с прикладной точки зрения, вызван и тем обстоятельством, что ее полное решение, при определенных предположениях, удается построить эффективно с помощью интегралов типа Коши. Поэтому вот уже четыре с лишним десятилетия, как эта задача является объектом многочисленных исследований.

Изучение задачи (0.1) , как и других граничных задач теории функций комплексного переменного, весьма чувствительно зависит от предположений, которым мы подчиняем заданные и искомые элементы задачи. Для корректной постановки задачи требуется оговорить три группы предположений: I) предположения о граничной кривой Г ; 2) предположения о заданных функциях в граничном условии; 3) предположения о граничных свойствах искомых голоморфных функций. В связи с этим последним предположением, следуя Б.В.Хведелидзе, граничные задачи можно разделить на три класса: I) непрерывные, если искомая функция с^ непрерывна вплоть до граничной кривой Г ; 2) кусочно-непрерывные, если допустимо нарушение этого условия только в конечном числе точек границы Г ; 3) разрывные - во всех остальных случаях.

Основополагающие исследования для изучения задачи (0.1) были опубликованы в 1908 г. И .Племелемр] ,[2]и в 1922г.Т.Карле маном[з] . И.Племель в некоторых частных предположениях рассмотрел однородную задачу (0.1) в векторном случае (т.е. когда вектор-функция и (0.1) представляет собой систему равенств) как в непрерывной, так и в кусочно-непрерывной постановках и в скалярном случае в непрерывной постановке.Т.Карле-ман рассмотрел неоднородную скалярную задачу в кусочно-непрерывной постановке. При этом он обнаружил тесную связь,которая существует между задачей (0.1) и сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши.

В отмеченных работах задача (0.1) рассмотрена при весьма жестких предположениях относительно элементов задачи, а также, как впоследствии выяснилось, ряд результатов, установленных и в этих предположениях, требовал дальнейших уточнений*^. Так что упомянутые работы в смысле установления конкретных результатов относительно задачи (0.1) не столь важны, но они явились весьма важными исследованиями в идейном отношении.

Первое полное решение скалярной задачи (0.1) в непрерывной постановке развитием'идей вышеуказанных работ было получено в 1937 г. Ф.Д.Гаховым[4]. Им был рассмотрен случай, когда/"7 одна замкнутая простая гладкая кривая, а функции £ ^ удовлетворяют условию Гёльдера. Здесь впервые были установлены Следует отметить, что в работах [1]-[з] граничная задача (0.1) рассмотрена как вспомогательная при исследовании других задач. необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (0.1) и дана явная формула для представления общего решения.

Развитие идей Т.Карлемана в связи с сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши было дано И.Н.Векуа[5], [б]в начале сороковых годов. Ему тогда удалось разработать этим путем законченную теорию упомянутых уравнений.

Дальнейшее развитие и уточнение исследований И.Племеля непрерывной задачи (0.1) в векторном случае было дано в 1941г. в совместной работе Н.И.Мусхелишвили и Н.П.Векуа[7]. В этой работе были установлены необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи (0.1) в векторном случае и найдена явная формула для вычисления индекса задачи.

Полное решение скалярной кусочно-непрерывной задачи (0.1) было дано Н.И.Мусхелишвили[8] ,[9]• Здесь впервые появилась общая корректная постановка кусочно-непрерывной задачи (0.1). В этой постановке классом функций, определенных на граничной кривой Г , которому должны принадлежать заданные функции, а также граничные значения искомых функций, является (введенный для этой цели Н.И.Мусхелишвили) функциональный класс и различные его подклассы, в частности, так называемые 'L --классы. Классом аналитических функций на разрезанной вдоль/7 комплексной плоскости, которому должны принадлежать искомые функции - класс кусочно-голоморфных функций (понятие, также введенное Н.И.Мусхелишвили). Далее, введя соответствующим образом понятие индекса для кусочно-непрерывной задачи,Н.И.Мусхелишвили было показано, что в предложенной им постановке все —

Определение терминов, упомянутых во введении, дано в § I первой главы. решения кусочно-непрерывной задачи (0.1) строятся эффективно в квадратурах и имеет место теорема разрешимости, аналогичная непрерывному случаю.

В одной частной кусочно-непрерывной постановке векторная задача (0.1) была рассмотрена И .Племелемр]. Им был рассмотрен случай, когда коэффициенты задачи кусочно-постоянны.Полное исследование кусочно-непрерывной векторной задачи (0.1) в постановке Н.И.Мусхелишвили было дано Н.П.ВекуарО] , [п] в первой половине сороковых годов.

Вышеотмеченные исследования Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахова, И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, оказали большое влияние на дальнейшее развитие исследований по граничным задачам теории функций комплексного переменного и тесно с ними связанным одномерным сингулярным интегральным уравнениям. В исследованиях упомянутых авторов Г - простая замкнутая или разомкнутая кривая (или конечная совокупность взаимнонепересекающихся таких кривых), функции, рассматриваемые на Г , непрерывны или кусочно-непрерывны в смысле Гёльдера ( в частности, принадлежат классу Н* )» а искомые функции в граничных задачах - кусочно-голоморфны. Эти предположения в настоящее время обычно называют классическими предположениями. В такой постановке изучение граничной задачи (0.1) было в основном завершено в сороковые годы. Эти результаты с соответствующими историческими справками собраны в монографиях[9], [il] - [l5] .

Основным аппаратом изучения граничных задач теории функций комплексного переменного является интеграл типа Коши.Условие кусочно-голоморфности есть достаточное условие для представимости голоморфной функции интегралом типа Коши.Кусочно-голоморфные функции являются узким подклассом класса функций,представимых интегралами типа Коши. Поэтому естественно должен был встать вопрос: для искомых функций в граничных задачах рассмотреть в качестве допустимого класса более широкое множество, чем множество кусочно-голоморфных функций.

В связи с этим вопросом в монографии Н.И.Мусхелишвили [9]( стр.405) сказано: "Дело в том, что налагая заранее те или иные условия на искомые функции, мы не можем без дополнительных исследований поручиться, что этим самым мы не потеряем решений, представляющих интерес для данного вопроса. Поэтоцу всегда желательно, чтобы ограничения, налагаемые на искомые решения, были как можно менее стеснительны".

Так как граничные задачи теории функций комплексного переменного, как правило, исследуются методом интегралов типа Коши, то самый широкий класс для искомых функций, который в этом случае потенциально допустим, это класс функций, предс-тавимых интегралами типа Коши. Это требование выделяет важный разрывный класс задачи (0.1).

Впервые в сходной постановке задача (0.1) была сфорцулиц) рована И.И.Приваловым на П Всесоюзном математическом съезде'' в 1934 г. А именно, им было предложено рассмотреть задачу (0.1) в следующих предположениях: Г -простая замкнутая спрямляемая кривая; Q} интегрируемые на Г по Лебегу функции, причем 0<Ci<\Q(i) ,где С^С^ — константы, мыми интегралами Коши соответственно в конечной и бесконечной

-угловые граничные значения искомых функций ^ (z ) «которые предполагаются представ» о) Содержание доклада опубликовано в Матем.сб., т.41, № 4

1934. областях^ с общей границей /7

В предположении, что Q удовлетворяет условию Липшица, И.И.Привалову удалось тогда высказать некоторые общие соображения о разрешимости этой задачи.

В первой половине сороковых годов в связи с ИССЛеДОВаНИсЛ ем вопросов Н.И.Мусхелишвили ' в работах Б.В.Хведелидзе естественно возникла необходимость построить решения задачи (0.1) в классе функций, представимых интегралами типа Коши ( с полиномиальной главной частью на бесконечности) с замкнутой или разомкнутой граничной кривой Г . Это предположение об искомой функции является подчас более общим и более удобным (в случае разомкнутой кривой), чем указанное выше предположение И .И.Привалова.

Разрывную задачу (0.1), в которой от искомой функции требуется представимость интегралом типа Коши с полиномиальной главной частью на бесконечности, Б.В.Хведелидзе называет задачей сопряжения в постановке И.И .Привалова. В такой постановке в первых исследованиях упомянутого автора [17], [18] обобщением методов, разработанных в случае непрерывной задачи (0.1),была исследована эта задача,когда простая замкнутая кривая Г удовлетворяет условию Ляпунова, коэффициент Q условию Гельдера^ а искомая функция представима интегралом типа Коши с плотностью из класса Lp(r) и полиномиальной главной частью на бесконечности. В дальнейшем была рассмотрена[19] , [20] задача (0.1) в разрывной постановке,которая естественно обобщала кусочно-непрерывную задачу (0.1) в В этом последнем случае с постоянной главной частью на бесконечности

Об этом более подробно см.[1б], стр.8. постановке Н.И.Мусхелишвили. А именно, задача (0.1) была рассмотрена в такой редакции: Г -простая замкнутая или разомкнутая кривая Ляпунова или же конечная совокупность взаимно-непересекающихся таких кривых, коэффициент Q кусочно-непрерывен в смысле Гельдера, взамен функционального класса введенного Н.И.Мусхелишвили, был рассмотрен весовой функциональный класс Лебега , так, что в задаче (0.1) Cjs £ Lp ([]и)) ; класс кусочно-голоморфных функций был заменен классом функций, представимых интегралами типа Коши с граничной кривой Г , полиномиальной главной частью на бесконечности и плотностью из класса -классом ТСр(Г^и)).

Вышеотмеченные работы Б.В.Хведелидзе стимулировали многочисленные исследования по разрывным задачам теории функций комплексного переменного в постановке И.И.Привалова. Эти результаты с соответствующими историческими справками можно найти в [14] , [16] ,[20]-[гб] .

Особый интерес для задач механики и математической физики представляет случай, когда в задаче (0.1) кривая Г кусочно-гладкая, коэффициент Q кусочно-непрерывен,а решение требуется найти в классах.

Впервые скалярная разрывная задача (0.1), когда коэффициент Q- кусочно-непрерывен, а Г - простая кривая Ляпунова, была изучена Б.В.Хведелидзе [27] , [28] . Этот результат был обобщен на случай простой кусочно-ляпуновской кривой Э.Г.Гордадзе [29] . В этих результатах на кривую Г условие Ляпунова налагалось потому, что долгое время не удавалось выяснить вопрос: ограничен ли сингулярный интегральный оператор с ядром Коши в пространстве Lp(r>)i/ ,когда Г— гладкая кривая. В 1977 г. утвердительный ответ на этот вопрос дал А.Кальдерон[30] , в силу чего указанные выше результаты автоматически остались справедливыми при замене условия Ляпунова условием гладкости. Эти результаты, кроме самостоятельного интереса, имеют важное значение в том смысле, что показывают: решения кусочно-непрерывной задачи (0.1), построенные в классе кусочно-голоморфных функций, представляют , оказывается, все решения в гораздо более широком УСр -классе. А класс этот, как было выше сказано, есть естественный и максимально допустимый класс для искомой функции, когда задача исследуется методом интегралов типа Коши.

Для задач механики и математической физики часто существенно выяснить поведение решения задачи в некоторых отдельных точках граничной кривой. Такими точками обычно являются концевые или угловые точки граничной кривой, а также точки, в которых терпят разрыв функции, участвующие в граничных условиях. Поэтоцу представляет интерес выяснение связи, которая должна существовать в данной точке между параметрами, характеризующими заданные и искомые функции, чтобы задача была разрешима.

В работе [31] , когда граничная кривая простая кусочно-гладкая, такая связь указана в случае скалярной задачи (0.1) в постановке И.И.Привалова.

Известно, что Н.И.Мусхелишвили во втором издании своей монографии "Сингулярные интегральные уравнения" построил решения кусочно-непрерывной задачи (0.1) в скалярном случае,когда граничная линия Г является общей кусочно-гладкой кривой^)

Разрывная скалярная задача (0.1) ,когда граничная кривая Г является общей кусочно-гладкой кривой, не была до сих пор рассмотрена. Поэтому, в частности, оставался открытым вопрос: Определение см. § I п.16 интегральное представление всех решений в классе кусочно-голоморфных функций в случае кусочно-непрерывной задачи (0.1), построенное Н.И .Мусхелишвили, когда Г общая кусочно-гладкая кривая, представляет ли все решения задачи и в более широком классе Ответ на этот вопрос в силу приведенного выше мнения Н.И.Мусхелишвили является существенным при решении прикладных задач, когда граничная кривая имеет точки самопересечения.

В первой главе настоящей диссертации с помощью обобщения результатов работы [31] мы изучаем разрывную задачу (0.1) в постановке И.И.Привалова, когда Г -общая кусочно-гладкая кривая. Приведем краткое содержание этой главы.

В § I приведены основные обозначения и термины.

В § 2 изложены вспомогательные результаты, а также дана постановка задачи. Здесь собраны все нужные для дальнейшего , в основном хорошо известные в случае простого контура интегрирования результаты об интегралах типа Коши. Мы даем формулировку этих результатов в случае общей кусочно-гладкой кривой с доказательством или краткими указаниями на их обоснования.

В $ 3, который является вспомогательным для § 4-, дается построение факторфункции для непрерывной,всюду отличной от нуля, функции Q ,определенной на простой разомкнутой дуге/7

Функцию X называем факторфункцией для Q ,если X и X ' принадлежат классу УС (Г), т.е. представимы интегралами типа Коши с полиномиальной главной частью на бесконечности и почти всюду на / имеет место равенство -угловые граничные значения X на Г . Если, кроме того, Х€ЗСр(Г;С0) , X 1 £ 7Cpi , тогда говорим,что X является факторфункцией для Q в классе Жр(Г,а>).

В § 4 дается построение факторфункции для кусочно-непрерывной и отличной от нуля функции Q , заданной на общей кусочно-гладкой кривой. Доказано, что факторфункция представляется формулой (4.15), а ее порядок на бесконечности - формулой (4.16).

В § 5 с помощью анализа формулы (4.15) выяснена возможность факторизации кусочно-непрерывной функции на общей кусочно-гладкой кривой в различных % -классах.

В § б на основе результатов, установленных в §§ 4,5 с помощью метода факторизации ^ построено решение неоднородной задачи линейного сопряжения (0.1) в классе в случае общей кусочно-гладкой кривой Г ,когда Q кусочно-непрерывна в смысле Гельдера, т.е. QGН0(Г) • Далее, рассмотрен случай, когда коэффициент Q кусочно-непрерывен,т.е.

0(Г) • В этом случае, по сравнению с предыдущим,метод факторизации дает возможность утверждать, что соответствующая формула представляет решение, вообще говоря, в более широком классе » где Е(>0) сколь угодно малое число. В § 16 третьей главы показано, что в этом результате£ можно убрать.

В § 7 дано обобщение А -классов Н.И.Мусхелишвили в случае лебеговых функциональных пространств и показано,что формула, представляющая общее решение кусочно-непрерывной задачи линейного сопряжения, построенная Н.И.Мусхелишвили в случае общей кусочно-гладкой кривой, дает общее решение задачи в более обширных ТС - классах функций.

J Определение этого метода см. стр.

Во второй главе рассматривается векторная граничная задача линейного сопряжения (0.1). Задача эта в однородном случае впервые была сформулирована Б.Риманом в связи с построением системы линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами и регулярными особыми точками с заранее заданной группой монодромии. Эту задачу Риман свел к однородной задаче, соответствующей (0.1), когда коэффициенты этой задачи кусочно-постоянны, но ее исследованием не занимался. Первая попытка решения этой задачи принадлежит Д.Гильберту (1905г.). Впоследствии более простое и полное решение упомянутой задачи было дано учеником Д.Гильберта И.Племелемр] , который рассмотрел задачу как в непрерывном, так и в кусочно-непрерывном (когда коэффициенты кусочно-постоянны) случаях. Эти результаты, как отмечено выше, были существенно пополнены и развиты Н.И.Мусхелишвили, Н.П.Векуа[7]и Н.П.Векуа [II] • В дальнейшем было опубликовано большое число работ,которые в том или ином направлении обобщали и дополняли отмеченные выше результаты ( см. [20]-[24] , [32] и указанную там литературу). Исследования эти продолжаются по сей день ( см., напр., [26] , [33] .

Задача (0.1), когда коэффициент Q имеет в конечном множестве точек границы Г разрывы первого рода, следуя Д.Гильберту и И.Племелю , обычно изучается с помощью сведения к случаю непрерывного коэффициента. Это сведение достигается путем подбора соответствующих множителей, которые довольно просто угадываются в скалярном случае. Для векторной задачи (0.1) упомянутое сведение в частном случае (когда коэффициенты кусочно-постоянны) было осуществлено И.Племелем, не пользуясь матричными обозначениями, а в общем случае

Н.П.Веку а с помощью определенных подстановок, основываясь на приведении матриц в точках разрыва к жордановой нормальной форме ( см. [i^ 1 стр.96-109). Следует отметить, что соответствующие выкладки в векторном случае гораздо более сложные, чем в скалярном.

Результат Н.П.Векуа установлен в предположении, что м.-ф. Г простая гладкая или кусочно-гладкая кривая, причем в окрестностях точек разрыва JJi-'i > в работе Л.Г.Маг-нарадзе[32] было показано, что в отмеченном результате класс /У^ можно заменить более широким подклассом непрерывных функций, оставив условие Uojjl в окрестностях точек разрыва, где 0<(d<JjL^ 1 , & -некоторое число.

В шестидесятые годы Г.Ф.Манджавидзе [23] исследовал векторную задачу (0.1) в случае кусочно-гельдеровых (без ограничения на показатель Гельдера), а также[24] кусочно-непрерывных неособенных м.-ф. привлечением результатов Н.П.Векуа и метода последовательных приближений, используя аппроксимацию непрерывных м.-ф. с помощью рациональных.

В начале пятидесятых годов Ф.Д.Гахов [34) наметил схематично путь некоторого упрощения изложения Н.П.Векуа с помощью более широкого привлечения теории функций от матриц, опираясь на результаты И.А.Лаппо-Данилевского.

Ввиду того, что в работе[34| не изложена более или менее подробно реализация предложенной схемы, а также из-за вкраво) шейся в ней одной неточности , трудно было сделать заключение, на каком уровне происходит упрощение изложения соответствующих результатов монографии [jl] . см. [34] , с тр.29-30, вычисление A1(iifO)J A^i^O)

Во второй главе настоящей диссертации мы реализуем схематично намеченный Ф.Д.Гаховым путь изложения сведения кусочно-непрерывной м.-ф. к непрерывной. Далее, опираясь на результаты первой главы диссертации и работу Л.Ф.Зверович[35], исследуем векторную разрывную задачу линейного сопряжения в случае как простой, так и общей кусочно-гладкой кривой.

Приведем краткое содержание второй главы.

В § 8 этой главы приводятся нужные для дальнейшего результаты теории функций от матриц и устанавливаются некоторые вспомогательные предложения.

В § 9 сведение кусочно-непрерывной м.-ф. Q к непрерывной реализуется в той последовательности, которую предложил Ф.Д.Гахов, привлекая спектральное разложение функций от матриц. Отмеченные результаты устанавливаются в следующих предположениях: Г -простая гладкая кривая, м.-ф. Q непрерывна на Г , кроме конечного числа точек разрыва первси го рода, в окрестностях которых QeHqj^j 0<Jbo<Jb^1 -некоторое число, определяемое граничными значениями м.-ф.£ в точках разрыва. Реализуемые нами в этих предположениях рассуждения вполне схожи со скалярным случаем.

В первой части § 10 дано доказательство существования факторматрицы ^ для Q в предположениях, принятых в предыдущем параграфе и вычислен индекс Q.

Во второй части § 10, опираясь на работу Л.Ф.Зверович[В5], обобщающую результаты Н.П.Векуа на случай общей кусочно-гладкой кривой Г , мы заключаемого фактор-матрица,построенная в работе [35J в классе кусочно-голоморфных м.-ф.,является вмес

Факторматрица определяется аналогично факторфункции. те с тем факторматрицей в классе м.-ф., представимых интегралами типа Коши.

Поведение факторматрицы в окрестности узлов ^ как в случае простой кусочно-гладкой кривой Г , так и в случае, когда Г общая кусочно-гладкая кривая, описывается, как оказалось, аналогичными формулами. Поэтому при дальнейшем исследовании параллельно рассматриваются следующие две постановки:

A. Граничная кривая Г представляет собой конечную совокупность взаимно непересекающихся простых гладких кривых, неособенная м.-ф. Q кусочно-непрерывна на Г ,причем в односторонних окрестностях точек разрыва Q^Hji, jji0<jji^/,где JJL0 упомянутое выше число.

B. Граничная кривая Г является общей кусочно-гладкой кривой, а неособенная м.-ф. QgHj^ на каждой простой гладкой дуге, на которые разбивается Г , причем в окрестностях узлов опять-таки Jt0 <.jUL^;i,

В § II, аналогично скалярному случаю ( § 5), в постановках А и В выявлены те связи, которые должны существовать между граничными значениями м.-ф. Q в узлах кривой Г степенями весовой функции со в этих точках и показателем р функционального пространства Лебега Lp^u)) ,чтобы фактор-матрица принадлежала классу Хр(Г,(л>).

В § 12 исследуется векторная граничная задача (0.1) методом факторизации. Вначале рассмотрена однородная задача,общее решение которой,естественно,легко строится в тех же Ж -классах, в которых произведена факторизация м.-ф. £

К узлам причисляются в случае простой кривой Г точки разрыва £ и концевые точки Г ,если она разомкнута,

Неоднородная задача (0.1) сначала рассмотрена в предположении, что Cj, интегрируема в любой степени (т.е. C^GzLooif1) ) и построено общее решение задачи в возможно более широком классе ТСр(Г). Этот результат дает возможность сделать важное заключение, что в классических предположениях от заданных функций кусочно-непрерывная задача (0.1) имеет одно и то же множество решений в классе кусочно-голоморфных в.-ф. и в более широком классе Ж^Г),

Когда свободный член задачи (O.l) Lplf,vd),тогда методом факторизации при некоторых ограничениях на параметры удается построить решение задачи не в классе JCptfcd) а,вообще говоря, в более широком классе TCplC^* В § 16 третьей главы с помощью некоторых дополнительных рассуждений показано,что построенное решение в классе ТСр представляет, оказывается, все решения задачи в классе Хр(^од).

В заключительной третьей главе результаты, установленные в предыдущих главах, применяются для изучения некоторых вопросов теории сингулярных интегральных уравнений

Г Г в функциональных пространствах Лебега Lpifj^) в случае общей кусочно-гладкой кривой.

Известно, что вслед за исследованиями И.Фредгольма(Зб] в начале нашего века в работах А .Пуанкаре [З'З в связи с изучением задач теории приливов и Д.Гильберта[38] в связи с решением некоторых граничных задач теории функций комплексного переменного, была начата разработка теории сингулярных интегральных уравнений. Основополагающие работы для построения современной теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши были выполнены в начале 20-х годов Ф.Нетером[39] и Т.Карле-маном[3]. В этой последней работе для одного частного случая уравнения (0.2) была указана схематично идея сведения этого уравнения к задаче линейного сопряжения. Как было отмечено выше, в начале 40-х годов эта идея была развита И.Н.Векуа[5], [б]и положена в основу построения общей теории уравнения (0.2), где Г -простая замкнутая гладкая кривая, заданные функции dj-Oji так же как искомая функция (f удовлетворяют условию Гельдераи V(ieD CLzU)-£4i)*0.

Упомянутый метод, разработанный И.Н.Векуа для построения общей теории уравнения (0.2), в настоящее время называют методом Т.Карлемана-И.Н.Векуа. Метод этот состоит из трех этапов: I) привлечением задачи линейного сопряжения строятся явные решения ( с помощью сингулярных интегралов Коши) характеристического сингулярного интегрального уравнения (т.е. уравнения (0.2), в котором &-0 ) и союзного с ним уравнения; 2) с помощью этих решений производится регуляризация полного сингулярного интегрального уравнения (0.2) и союзного с ним уравнения; 3) с помощью построенных регулярных уравнений Фред-гольма дается доказательство теорем Нетера для полного сингулярного интегрального уравнения (0.2).

Метод Т.Карлемана-И.Н.Векуа был обобщен: когда Г -совокупность простых разомкнутых гладких дуг, а правая часть уравнения (0.2) и искомая функция ^ принадлежит классу// (Н.И.Мусхелишвили[9] , Н.И.Мусхелишвили и Д.А.Квеселава [40] ); когда, при аналогичных предположениях, рассматриваются системы сингулярных интегральных уравнений вида (0.2) (Н.П.Векуа [II]); когда Г -общая кусочно-гладкая кривая (Н.И.Мусхелишвили[9]); когда Г -совокупность простых замкнутых или разомкнутых взаимно-непересекающихся кривых Ляпунова, а ^ и <f принадлежат функциональным пространствам Лебега (Б.В.Хведелидзе [20] ).

В третьей главе, пользуясь результатами предыдущих глав в связи с решением задачи линейного сопряжения в JC- классах, мы обобщаем метод Т.Карлемана-И.Н.Векуа на случай, когда решение уравнения (0.2) отыскивается в функциональном классе Z^/Jo;) ,где Г- общая кусочно-гладкая кривая.

В § 13 этой главы введены некоторые термины и обозначения.

В § 14 в терминах характеристических сингулярных интегральных уравнений сформулированы результаты, установленные в первой главе ( § б) при исследовании задачи линейного сопряжения в скалярном случае Из этих результатов в качестве важного следствия получаем (теорема 14.4), что решения характеристического сингулярного интегрального уравнения,которые построены Н.И.Мусхелишвили в случае общей кусочно-гладкой кривой ( см.[9] , формула (97.II))в классе функций, кусочно-непрерывных в смысле Гельдера (точнее, в классе ) ),представляют, оказывается, все решения в более широком функциональном классе Лебега (Lp^u); . • 76$)).

В § 15 дана реализация 2) и 3) этапов метода Т.Карлемана-И .Н.Векуа в случае функционального класса Lplflu))^где Г -общая кусочно-гладкая кривая.

В заключительном § 16 аналогично скалярному случаю ( §14) мы в терминах систем характеристических сингулярных интегральных уравнений формулируем результаты, установленные во второй т.е. реализован I) этап метода Т.Карлемана-И.Н.Векуа. главе ( § 12), Затем из этих результатов с помощью метода, который указан в работе [28] показываем, что , опираясь на нормальную разрешимость характеристических сингулярных интегдачи линейного сопряжения соответственно в скалярном и векторном случаях, можно заменить классом

Результаты диссертации докладывались: на семинаре кафедры высшей математики Грузинского института субтропического хозяйства С рук. доц.Г.Н.Хашба); на научном семинаре Тбилисского математического института АН Груз.ССР "Граничные задачи теории функций и интегральные уравнения" ( рук .акад.АН ГССР Б.В.Хведелидзе); на научном семинаре отдела математической физики того же института ( рук. акад. АН ГССР Н.П.Векуа); на IX конференции математиков высших учебных заведений Грузинской ССР (Батуми, 1981г.); на Ш республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1982г.); на школе-конференции "Участие молодых ученых в решении прикладных задач гидромеханики и краевых задач" (Геленджик,1982г.); на республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (Тбилиси,1983г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в [52]-[55] .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю академику АН ГССР Борису Владимировичу Хведе-лидзе за постановку задачи, помощь и постоянное внимание к работе. ралышх уравнений, классы в решении за

1. Plemelj J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiergruppe, Monatsh. fur Math, and Phys., XIX Jahrgang, 1908, 211-245.

2. Plemelj J. Ein Erganzungssatz zur Cauchyschen Integral-darstellung analytischen Funktionen, Randwerte betreffend, Ibid., 205-210.

3. Carleman T. Sur la resolution de certaines equations in-tegrales, Arkiv for mat., astr. och fys., Bd. 16, H-.26, 1922, 1-19.Гахов Ф.Д. 0 краевой задаче Римана. Матем.сб., т.2(44), № 4, 1937, 673-683.

4. Векуа И.Н. О сингулярных линейных интегральных уравнениях, содержащих интегралы в смысле главного значения по Коши. ДАН СССР, т.26, № 4, 1940, 335-338.

5. Векуа И.Н. Интегральные уравнения с особым ядром типа Коши. Тр.Тбилисск.матем.ин-та АН Груз.ССР, т.10, 1941, 45-72.

6. Мусхелишвили Н.И. и Векуа Н.П. Краевая задача Римана для нескольких неизвестных функций и ее приложение к системам сингулярных интегральных уравнений. Тр.Тбилисск.ма-тем.ин-та АН Груз.ССР, т.12, 1943, 1-46.

7. Мусхелишвили Н.И. Приложение интеграла типа Коши к одному классу сингулярных интегральных уравнений. Тр. Тбилиссн.матем.ин-та АН Груз.ССР, т.10, 1941, 1-43.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, Изд. 3-е, М., 1968.

9. Векуа Н.П. Задача Римана с разрывными коэффициентами для нескольких неизвестных функций. Сообщ.АН Груз.ССР, т.5, № I, 1944, 1-10.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. Изд. 2-е, М., 1970.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Изд. 3-е, М., 1977.

12. Чибрикова Л.Д. Основные граничные задачи для аналитических функций. Изд. Казанск.ун-та, 1977.

13. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977.

14. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., 1977.

15. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной, в сб.Современные проблемы математики, т.7, М., 1975, 5-162.

16. Хведелидзе Б.В. Некоторые свойства особых интеграловв смысле главного значения Коши-Лебега. Сообщ.АН Груз .ССР, т.8, № 5, 1947, 283-290.

17. Хведелидзе Б.В. Сингулярные интегральные уравнения в особых интегралах Коши-Лебега. Сообщ.АН Груз.ССР, т.8, № 7, 1947, 427-434.

18. Хведелидзе Б.В. О задаче линейного сопряжения в теории аналитических функций. ДАН СССР, т.76, Ш 2, 1951, 177-180.

19. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр.Тбилисск.матем.ин-та АН Груз.ССР, т.23, 1956, 3-158.

20. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Lpс весом. Изв.АН СССР, Сер.мат., 1964, т.28, № 2,277-306.

21. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975.

22. Манджавидзе Г.Ф. Приближенное решение граничных задач теории аналитических функций. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного ( сб. статей по ред. А.И.Маркушевича), М., I960, 365-370.

23. Манджавидзе Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом. В сб."Мех. сплошной среды и родств. пробл.анализа". М., 1972,297-304.t

24. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. Краевая задача линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами. Тр.Тбилисск. матем.ин-та АН Груз.ССР, т.55, 1977, 59-90.

25. Спитковский И.М. Факторизация измеримых матриц-функций, связанные с ней вопросы теории систем сингулярных интегральных уравнений и векторной краевой задачи Римана. 1,П, Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, № 4,697-709,1982, т.18, № 3, 487-498.

26. Хведелидзе Б.В. Замечание к моей работе "Линейные разрывные граничные задачи." Сообщ.АН Груз.ССР,1958,т.21,№ 2, 129-130.

27. Хведелидзе Б.В. Граничная задача Римана-Привалова с кусочно-непрерывным коэффициентом. Тр.Груз.политехнич.ин-та, 1962, т.81, № I, 11-29.

28. Гордадзе Э.Г. О сингулярном интеграле с ядром Коши.Сообщ. АН Груз.ССР, 1965, т .27, № 3, 521-526.

29. Calderon A.P. Cauchy integrals on Lipschitz curves. Sci. USA, 1977, 74, Ко.4, 1324-1327.

30. Хведелидзе Б.В., Ищенко Е.В. 0 разрывной задаче линейного сопряжения с кусочно-непрерывным коэффициентом. Сообщ.АН Груз.ССР, 1980, т.97, № 3, 529-532.

31. Магнарадзе Л.Г. Об одной линейной граничной задаче теории функций комплексного переменного. ДАН СССР, 1949,т.64, № I, 17-20.

32. Bort Н., Cohberg I., Kaashoek М.А., Minimal factorization of matrix and operator functions, Birkhauser Verlag, Basel. Boston. Stuttgart, 1979.

33. Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для систем гь пар функций. УМН, 1952, т.7, вып.4, 3-54.

34. Зверович Л.Ф. Задача Римана для нескольких неизвестных функций в случае сложного контура. В сб.:Теория функций комплексного переменного и краевые задачи. Вып.2, Чебоксары, 1974.

35. Predholm I., Sur une class d'equations fonctionnelles, Acta Math., 1903, 27, 365-390.

36. Poincare H. Legons de ivlecanique Celeste, t.III, Paris, 19Ю.

37. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linea-ren Integralgleichungen, Leipzig-Berlin, 1912.

38. Noether F. liber eine Klasse singularer Integralgleichungen, Math. Ann., Bd.82, 1920, H.1-2, 42-63.

39. Мусхелишвили Н.И. и Квеселава Д.А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами типа Коши на разомкнутых контурах, Тр.Тбилисск.матем.ин-та АН Груз.ССР, т.II,1942, I4I-I72.

40. Гордадзе Э.Г. О сингулярных интегралах с ядром Коши. Тр.Тбилисск.матем.ин-та АН Груз.ССР, т.42, 1972,5-17.

41. Хавин В.П. Граничные свойства интеграла типа Коши и гармонически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей, Мат.сб., т.68, № 4, 1965, 499-517.

42. Карцивадзе И.Н.гОб одной формуле перестановки интегралов. Сообщ. АН Груз.ССР, т.16, № I, 1955, 3-Ю.

43. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л., 1950.

44. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. M.-JI.,1950.

45. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1978.

46. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.М., 1977.

47. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982.

48. Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах. Мат.сб., т.28, N2 1,1951, 3-14.

49. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973.

50. Гохберг Й.Ц., Крупник Н.Я. О символе сингулярных интегральных операторов на сложном контуре. Тр.симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. (Тбилиси, 23-29.IX.1971), т.1, изд."Мецниереба",Тбилиси, 1973, 46-59.

51. Ищенко Е.В. О задаче линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой линии. В сб.: IX конференция математиков высших учебных заведений Грузинской ССР. Тезисы, г.Батуми, 21-25 декабря, 1981г. Изд."Сабчота Аджара",Батуми, 1981, III.

52. Ищенко Е.В. О факторизации кусочно-непрерывных матриц-функций. Сообщ.АН Груз.ССР, т.106, № 2, 1982, 245-248.

53. Ищенко Е.В. Скалярная разрывная граничная задача линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой граничной кривой. Сообщ. АН Груз.ССР, т.108, № 3, 1982,489492.

54. Ищенко Е.В. Векторная разрывная задача линейного сопряжения. Сообщ. АН Груз.ССР, т.109, № I, 1983, 37-40.