Оптимальное наблюдение за динамическими системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Бесплатно

АЗЭРБЛЛЧАН РЕСПУШИКАСЫ ШЮР АКЛДЭСЫЛСЫ

Ю1ВЕРНЕГ11КА ИНСТ1ГЕУТУ

Зла озимы Ь\'г;,тунде

ГАГ-исО» СОРДА? аУСУБ ому

ГЮРИСТАСШНА? Ч0Х®ш1 ГЬРИХЭТШ СЮШЭ ПРОСЕЗЮВДЩ ЭДЯМ К0Д£ЯЛЭ1!ЩКРЖ9СЙ

01.01.0? - Ьс<4.5л£Д!а ризазн^¿*у?ы *

¿аг слчвэри кюшээди елимлик дрроч-эси алмаг *ч*н •¿'•згдйм олунауш дчсеерт&сиощ&м

АВТОРЕФЕРАТЫ

•мл.-' ■ 1УА4

У ¿7 я я ')

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСи'ВД!'

на правах рукописи

НГУЕН ДНК ХИЕ7

ОПТИМАЛЬНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ ЗА ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ О*.01.0"1 - дифференциальнне уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1992

Работа выполнена на кафедре методов оптимального унравлеш" Белорусского государственного университета

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор ГАБАСОВ Р.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор МАРЧЕНКО В.И.

кандидат физико-математических наук ПРИЩЕПОВА C.B.

Ведущая организация : Одесский государственный университет

Защита состоится 26 Июня 1992 года в 10 часов на заседании специализированного Совета К 056.03.10 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Белорусском государственной университете по адресу : 220080 , г. Минск, проспект Ф. Скорины, 4 , главный корпус, ауц. 206 .

»

С диссертацией монно'ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного , -

Совета, доцент . /,'"' K0P3DKP.!!.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При управлении динамическими системами то сталкиваг)тся с ситуацией, когда нельзя заранее знать все действувщие на управляемые системы факторы. Поэтому выбор ювлений в этих ситуациях может оказаться не лучшим, особенно •да управления строятся в виде некоторой функции фазовых коор-[ат. Одним из способов улучшения результата управления являет-использование по ходу процесса дополнительной информации. Та-i-информацией иогут служить результаты измерения текущего по-юиия системы. Способы оценки положения системы по данным из-зения составляот предмет теории наблсдеиия. В настоящее время эблема наблюдения наряду с несомненным самостоятельным значе-зм играет большую роль при-управляй« динамическими системами условиях неопределенности. С различными подходами к этой проеме можно ознакомиться по работам Красовского H.H., Куржан-эго А.Б., Черноусько Ф.Л., Леондеса_А.Т. и др. В последнее емя на базе Минского семинара по конструктивным методам опти-зации развивается новый подход к решение экстремальных задач, здание адаптивного метода положило начало исследованиям новых тодов решения широкого класса экстремальных задач, среди ко-рых выделявтея задачи оптимального управления непрерывными си-емами. Основным инструментом адаптивного метода является опора обобщение классического базиса сииплек-метода. В работе I) изложен новый взгляд на связь между задачами уп-

' Габасов Р., Кириллова Ф.М. ДАН БССР, (1990), том 34 , К» 9 , С. ?77-78'4.

равления и наблюдения н предложена новая математическая постя .новка задачи оптимального наблюдения. Таи же указан конструктивный метод решения поставленной задачи для линейного варкан' В приложениях особый интерес представляет случай, когда изиер< иия текущего положения управляемой системы ведутся с помочьи нелинейного устройства. В этой случае обработка результатов и: мерения позволяет более точно оценить положение управляемой с1 о темы, что влечет улучшение результатов управления системой в условиях неопределенности. Этим определяется актуальность темь диссертации.

ШЬ РАБОТЫ. Исследуются задачи оптимального наблюдения за дискретными и непрерывными динамическими системами с помоцьс двух типов нелинейных измерительных устройств : кусочно-линейных и устройств с монотонной характеристикой. Цельо работы является получение критериев глобальной или локальной оптимальности для допустимого начального состояния.

МЕТОДИКА'ИССЛЕДОВАНИЙ. После введения понятия опори и опорного начального состояния основным методом, применяемым ь работе является адапт! зный метод.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Диссертация содержит результаты исслецовэ-ния сепарвбельннх задач кусочно-линейного программирования,гцс кусочно-линейные ограничения наложены на все или на часть переменных. Получены критерии оптимальности и локальной оптималь иости для допустимого плана. Построен конечный метод нахоядени: локального максимума общей задачи и в сочетании с методом решения задачи альтернативного линейного программирования построен конечный метод решения поставленной задачи в случае,когда

'сочно-линейные ограничения наложены на часть переменных. Эти ."зультаты применены для решения задачи оптимального наблоде-[я за динамическими системами при повощи кусочно-линейных из-¡рительных устройств. Приведены критерий и пример сравнения шейных и кусочно-линейных измерительных устройств.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы состоит в том, что основные ;зультаты могут быть использованы при решении разнообразных »дач оптимизации динамических систем, функционируощих в усло-тх неопределенности.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ, Результаты диссертации докладывались j Минском городском семинаре по конструктивным методам опти-1зации ( под рук, пооф. Р.Габасова и Ф.М. Кирилловой ).

ПУБЛИКАЦИЯ. По результата» выполненных исследований написаны научные статьи, которие сданы в печать [i] - [#] .

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТУ. Диссертация состоит из введения, рех глав, списка литературы, вюшчавщего 65 назв., изложена i III страницах машинописного текста. %

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, приточим к теме диссертации, излогавтся методика исследований и ювные результаты.

Глава I посвящена методам решения сепарабельных задач кусочно дейного программирования. Пусть в Rm, с , d* , d* £ R.u . усмотрим задачу

с'х = /> ■ . С; X; -> УПОХ. (I)

J=i J J

'п,

2ZZZ а.Сх.) = 4, (

j= i J J

d* £ я £ d* , (

где

[«/ -i + «о/ , если А > 0COJ- ;

aj Ш = < . - С

I O.J ъ -h a'ej , если Л < oc0j ;

О.} xaj t Qoj = a]xtj t aZj, aj , cl*cj , a'j , a'oj -заданные пъ-в тора, JC.=r (XojJZl), € (eUj , dj), у e i - } n] .

Ограничение (2) задается сепарабельной кусочно линейной ф кцией, удовлетворяющей условии (4). Поэтому задача (1)-(3) н зывается сепарабельной задачей кусочно линейного программиро нкк.

Определение I.I. Планом задачи (1)-(3) назовём лпбой вект х ^ К"' . удовлетворяющий ограничениям (2)-(3).

Множество всех планов задачи (1)~(3) обозначим через X Из-за кусочно линейного ограничения (г) множество X не все выпукло и может быть несвязным множеством. Пусть X L X , о значим : 3*= = {j е 1: oCj > oc0j j, Л"= Т(х) = {j € 5: Xj С

3°(эс) = i j е а ocj = jtoj з.

Определение 1.2, Подмножество индексов

JonS 3 назовём кальной опорой в точке х t X , если для лпбого Jöfs найдется такое подмножество Je = Зв(Э0+) c30iv , что не выро дена матрица

где Je"= 3°\30+ , I в U,4,...,m} .

Подмножество 3g = назовём суб-опорой, а матрицу А

из (5) - субопорной матрицей.

lapa ÍJC., из плана X. и локальной опоры называет-

эпорным планом для задачи (1)-(3).

1усть имеется некоторый опорный план 1эс,Зоа} , У*с 3°(х) , - 3s(í!ot) -суб-опора. По суб-опоре Зе вычислим вектор подпалов

Л' = c'(ls) А'б

ценки

й) = A'aJ - Cj , j € 3t, == CH\ít)n (з*'изв*),

Ду = л' а] - су , j € = Са\сгв)я (г и а»-).

Справедлив следувщий

Критерий локальной оптимальности. Для локальной оптимальности на эСбХ необходимо и достаточно существование такой ло-ьной опоры Jon , что для любого s 3°(Х.) найдётся такая -опора Jy = Jjr(J0+) я Jon, что выполняется соотношения :

1. Aj- > 0 при Xj = Xoj ; Л) < 0 при Ху = dj А} - 0 при Xoj < Xj < dj , / £ 3» ;

2. » о при ЭСу = d»j ; Aj >/ 0 при = X0j ; Д/ = 0 при < Xj < Xoj , у jf« .

Пусть J0+ s 3°<X) , Js = 3e(3ot~) -суб-опора. Вычислим оценки

Д/ = X'aJ-Cj- , /6 tí UJ'(X);

А/ = TCaj-Cj > J€ Jh U Г ix).

Справедливо следующее

Утверждение С достаточное условие локальной оптимальности ) Для локальной оптимальности плана х£ X достаточно существо вание такой суб-опоры h= ЗгС^К У*с 3°(х) ), что выполняв ся условия :

1. й/ £ 0 при Xj = dj ; А/ = О . при Xj < dj ,

Jb

2. Aj О при = ; A'j = 0 при Xj > d*j , J 6 Jh\ Г(Х);

3. Д/ ><• 0' , Д) <0 при je J°(X). .

На основе Понятия опорного плана и критерия локальной оптимальности в § I построен конечный метод нахождения локально оптимального плана для задачи (1)-(3). Там же приведен численный пример для иллос'грации предложенного алгоритма.

В §2 рассматривается случай, когда кусочно линейное ограничение наложено на часть переменных. На основе результатов, полученных в я предложенной в 2) схемы решения задачи альтер

нативного линейного программирования, построен конечный алго-

«

ритм решения поставленной задачи.

Глава 2 посвящейа исследование двух задач оптимального наб-лодения за лкнеЯными дискретными динамическими системами с помощью кусочно-линейных измерительных устройств и устройств с

2) Габвсов Р., Кириллова Ф:М., Костина Е.А. I. вычисл. матем. ' матем. физ. 1990, Т.ЗО,» В, C.II50-II56.

монотонной характеристикой.

Пусть на множестве Т= { 0,4,..., 1*-4} поведение динамичес-, кой системы описывается уравнением

(6)

где ХШ £П/-вектор состояния системы в момент

X , А - Пхгъ -матрица постоянных.

Предполагается, что начальное состояние х(о)=ос0 системы (б) известно неточно. Известно лииь, что её движение начинается

' V

из некоторой точки заданного множества Хо £ Я*1'

у

Множество Х0 назовем априорным распределением начального состояния. Неопределенность начального состояния может ухудшить результаты гарантированной оптимизации системы. Поэтому целесообразно её уменьшить. С цельо уточнения априорного распределения начального состояния х„ введём процедуру наблюдения с по-мощьв измерительного устройства

у<*>= /Оси»+ ?(*), *£Т+= и,Г} (уб^). (7)

Величина в модели (7) обозначает ошибку измерения.

Предположим, что в процессе измерений в качестве функции ошибок ^(О , + , может реализоваться любая функция, удовлетворяющая неравенствам < <£С*) £ %*, 1€ Т+ Я* ). Пусть в процессе наблюдения за системой (б) устройство (7)

А

записало сигнал Множество Х0 начальг;\'.'-' сос-

тояний х0 е.Х0 , которые вместе с некоторыми допустимыми <* *н-кцияни ошибок , -££Т+, способны породить наблюдаемый

сигнал £ называется апостериорным распределением

начального состояния. Множество Х0 в задачах управления це-

ликом используется очень .редко, Нуины как правило, лишь его специальные числовые характеристики (оценки), вид (суть) которых зависит от поставленной цели оптимизации. В задачах оптимизации динамических систем по линейному критерии качества с учётом линейных терминальных ограничений достаточно знать протяжённость множества Х0 в определенных направлениях. В связи с этим рас-

л - л

смотрим задачу вычисления протяженности множества X 0 в заданном направлении 6 Rn , Ц ^эИ = 1 :

à = max f I , 2 6 Хо . (8)

Задача (8) называется задачей оптимального наблюдения за динамической системой (б) при помощи измерительного устройства (7).

у

В §3 рассматривается случай, когда Х0= {.хб Rn: -6-,< Foc i и |(X(t)) , i 6 T ,-сепарабельная кусочно-линейная функция :

f(oc(t))= ZIZ {¡(ял*)), ter* •

fi à + -foi • если 4 * x°j ;

1iM =

. fs * * foj > если ^ < x°j •

(oj , fi > fc , fi € Я * i f/Xoj t f* . fj x»j + faj ,у€7; x0=x00)€ Rn.

Введем обозначения : 4*(t) « yCi) - y, = <f* , ¿€Tt

Тогда задача (8) равносильна следувдей сепарабельной задаче кусочно-линейного программирования

f' г-max (9)

, п.

ЪМ * XZ fj(Xj(t)) Ç ^(¿)J îsт*о{о}j (10)

x-dt) e A* z , t 6Г, (II)

где 4,(0) 4'<в) =. sr, fj (Xj (0)) = fj. Zf >¿63.

Начальные состоять из апостериорного распределения Х0 (1а_ знваотся допустимыми. После введения понятия опоры и опорного начального состояния доказан критерий локальной оптимальности допустимого начального состояния.

В §4 рассматриваемся случай, когда где , & ,-монотонно возрасттощая функция. Доказано,

что апостериорное распределение начального состояния Х0 является выпуклым многогргчь.ипм в . После введения опоры доказан критерий оптимальности для дстустимого начального состояния.

В третьей главе результаты, полученные в главе 2, развивается на случай непрерывных систем :

%(*) = АШ ХЦ) , ¿бП-.^О,*^,

где А(£), ¿6Т,- п*п -матричная кусочно непрерывная функция.

В непрерывном случае задача оптимального каблодения сведена к экстремальной задаче с континуумом ограничений типа неравенств.

В §5 рассматривается случай с кусочно-линейным измерительным _ устройством = <^Сх(ШЬ 15Т,

. если Х;«)

I ет ,

зс.СЗГ) 6 К71.

И; хз(*)+<г«/'если Х'а> <

<й > % > %' % 6 ^ Я + й = Ъ +Гн >'€Л

Из Т выделим некоторое конечное множество изолированных точек бТ, 1,2,...,-ъ].Множество Той назовём множеством

т ®

опорных моментов. С помощьо 1ап введены понятия опоры и опорного

начального состояния, которые сходны с дискретным случаем. Доказан критерий локальной оптимальности допустимого начального состояния.

3 рассматривается случай.нелинейного измерительного уст-

_ П -

ройства с монотонной характеристикой. Доказана выпуклость мно-

Л

кества апостериорного распределения начального состояния Х0 . С помощью множества опорных моментов введены понятия опоры и опорного начального состояния и доказан критерий оптимальности допустимого начального состояния.

В §7. введен критерий сравнения двух измерительных устройств, который основывается на понятии индекса качества. Приведен пример кусочно-линейного измерительного устройства, который имеет меньший индекс качества, чем лобое измерительное устройство из семейства линейных измерительных устройств, хотя в каждый момент времени i работает как одно из них.

Основные результаты диссертации содержатся в следуощих работах :

1. Нгуен Дык Хиеу. Адаптивный метод решения сепарабельных задач кусочно-линейного программирования. Вестник БГУ, Сер. I Физ. Мат. Мех., Т. , № 1 , 1993 . С В печати ).

2. Габасов Р., Нгуен Дык Хиеу. Оптимальное наблодение за дискретными системами с помощьо кусочно-линейного измерительного устройства. Вести АН РБ, Т.. , № 1 , 1993 • ( В печати )

3. Нгуен Дык Хиеу. Критерий оптимальности для задачи оптимального наблвдения за непрерывными системами при помощи монотонного измерительного устройства. Тезисы докладов Конф. "Информатика 92", Минск, Май 1992.

Нгуен Дык Хиеу. Оптимальное наблодение за непрерывными динамическими системами при помощи монотонного измерительного устройства. Докл. АН РБ,, Т. , 1М& , 199Л ,С. - .(В печати)