Программная и позиционная оптимизация линейных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК "ЕЛАРУСИ

РГ6 0,1

На правах рукописи

БАЛАШЕВИЧ НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

ПРОГРАММНАЯ И ПОЗИЦИОННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ШЕЖЫХ ДИНАШЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.09 - иатеиатическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико-иатеиатичесюа наук

Минск - 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном .университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор КИРИЛЛОВА Фаина Михайловна

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор МШЧЕНКО Леонид Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент РАШЩКИЙ Валерий Михайлович

Ведущая организация - Московский институт электроники и

математики (технический университет)

Защита диссертации состоится 01 1994 г. в

часов на заседании специализированного совета К 006.19.01. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г.Минск, ул.Сурганова, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Автореферат разослан О / 1993^1

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

А.И.Аотровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^У^У'ьность теш. Проблема разработка! численных методов решения задач оптимального управления, стимулируемая возшнсно-ением как новых классов задач в различных областях техшпси так и новых идей в самой теории, сохраняет свою актуальность с момента выделения теории оптимального управления в самостоятельную научную дисциплину в 50-е годы. При атом понятие оптимального управления охватывает два типа управлений:

1) программное оптимальное управление, которое формально является функцией времени и вычисляется до начала процесса управления ;

2) позиционное оптимальное управление, являющееся функцией состояния динамической систему и изменяющееся в ходе процесса в зависимости от реализующихся состояний.

Основу теории оптимального управления составляет принцип максимума Л.С.Понтрягина, открытие которого привело к созданию целого ряда методов решения задач оптимального управления. Параллельно с принципом максимума развивалось второе фундаментальное направление, связанное с динамическим программированием Р.Беллмана. Эти направления в некотором смысле дополняют друг друга, ибо принцип максимума представляет наиболее, сильное необходимое условие оптимальности для программных управлений, а динамическое программирование доставляет достаточные условия оптимальности для управления типа обратной связи.

Наиболее значимые результаты к настоящему времени достигнуты в теории программного оптимального управления. Исследования в области построения оптимальных позиционных управлений.

если не считать отдельных примеров, увенчались успехом лишь в задаче об аналитическом конструировании регулятора (задаче Летова-Калмана). Поэтому проблема синтеза оптимальных систем остается актуальной проблемой математической теории оптимального управления.

В середине 70-х годов в Минске на базе семинара по конструктивным методам оптимизации был разработан адаптивный метод решения задач линейного программирования, использующий понятие опоры как естественное обобщение понятия базиса в симплекс-методе и предусматривающий операции по улучшению как плана, так и опоры задачи. Идеи адаптивного метода получили развитие в алгоритмах решения различных задач математического программирования и оптимального управления. Они легли в основу разработанного Р.Габасовым, Ф.М.Кирилловой, О.И.Костюковой метода опорных задач, который также был обобщен на различные талы экстремальных задач. Следующим этапом в развитии идей метода явилось создание алгоритма синтеза оптимального управления в режиме реального времени. Данная диссертация продолжает работы, выполненные в этом направлении.

Цель работы. . Целью работы является разработка метода программного решения линейной дискретной задачи управления и методов синтеза оптимальных управлений в режиме реального времени для некоторых непрерывных линейных задач оптимального управления.

Научная новизна и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы построения оптимальных программных и пози-

циошшх управлений доведены до численных алгоритмов, работа которых иллюстрируется примерами. Для линейной дискретной задачи оптимального управления разработан метод • построения оптимального программного управления. Для линейной непрерывной задачи разработаны алгоритмы работы программно-позиционного, субоптимального и адаптивного регуляторов. Метод построения оптимального позиционного регулятора переносится на линейные задачи оптимального управления с терминальными ограничениями-неравенствами, с многомерным управлением и на задачу оптимального управления группой объектов. Полученные результаты могут найти применение при управлении сложными движениями, в частности, при прооктпрсюнии роботов-манипуляторов.

Публикации-и апробация работы. По теме диссертации опубликованы 11 научных работ. Материалы диссертации докладывались на Межреспубликанских конференциях творческой молодежи (Минск, 1990, 1992), 71 Симпозиуме 1РАС по большим системам (Пекин, Китай, 1992), IX Семинаре 1РА0 по применениям оптимизации и управления (Мюнхен, Германия, 1992), VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), II Международном семинаре по негладким и разрывным задачам управления и оптимизации (Челябинск, 1993).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (135 наименований). Объем работы 152 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по теме

диссертации и кратко излагается содержание глав диссертации.

В первой главе диссертации разрабатывается метод опорных задач для решения линейной дискретной задачи оптимального управления.

В § 1 рассматривается связь между линейными задачами оптимального управления и зг-дачей линейного программирования

с'х-» шах, Ах = Ъ, йж s х s d*, (1)

f с, х, d. a* е R", А € RmXn, rank А = т < п,

Ь е Rm, I = {1.....и), J = {1......п} },

приводятся основные определения и показывается, что рассматриваемые в работе задачи удовлетворяют условиям применения метода опорных задач.

Определение 1. Совокупность Jonc J такую, что IJ0JJI = яг, назовем опорой задачи (1), если не вырождена матрица Р = = A(I,Jon) - (otj, i е I, J € ^оп)» называемая опорной.

Определение 2. Вектор я назовем планом задачи (1), если он удовлетворяет ее ограничениям. Пара {х, Jon) - опорный план задачи (1).

Введем вектор потенциалов у' = у'(1) = с'(JQn)P"i и вектор оценок Д' = Л'(«7) = у'А-с'.

Метод опорных задач применяется для решешя задач - (1), у которых:

1) при небольшом количество основных ограничений имеется много перемешшх: т « п;

2) столбцы матрицы условий А упорядочены таким образом, что для любой опоры J количество перемен знака, у компонент

bj, J £ J, вектора оценок Д при последовательном переборе значений J = 1, 2,...,л, не превосходит некоторого числа р и р < п. ■

Задачи ЛП, удовлетворяющие условиям 1), 2), возникают при решении, например, следующих задач оптимального управления:

1) задача оптимального управления дискретной системой

J(u) = c'x(t*) -> max,

x(t+1) = Ax(t) + bu(t), x(0) = xQ,

Hx(t*) =g, (2)

/, * u(t) s /*, t € 2* =• {0, 1,....t*-1},

г e Rn, u e R, g € RM, rank H = m < n:

2) задача оптимального добавления непрерывной системой J(u) = c'x(t*) ——♦ max,

x — Лх + ba, x(0) = x„,

(3)

Hx(t') = g, f„*u(t)£f*. t€T=[0,t*),

x 6 Rn, u e R, g € Rm, rank H = m < n.

Описывается связь между задачами (1), (2), (3). для задачи (2) вводятся понятия опоры, опорного управления, формулируются критерии оптимальности и субоптимальности.

- В § 2 описывается процедура решения задачи (2) методом опорных задач. Она состоит из двух частей:

1) процедура формирования, решения и коррекции последовательности задач ЛП;

2) процедура доводки.

В результате работы первой процедуры определяются малые

отрезки, на которых расположены оптимальные точки переключения задачи (2). Процедура доводки строит оптимальное управление с любой заданной точностью.

Метод имеет следующие особенности:

1) при выполнении первой процедуры решается последовательность задач ЛП малого размера;

2) кавдая опорная задача решается с начальной опорой, полученной из оптимальной опоры предыдущей опорной задачи, что сокращает время ее решения;

3) проверка условий оптимальности в задаче (2) происходит только после процедур доводки;'

4) требуемая точность построения оптимального опорного управления не влияет на размер опорных задач.

В § 3 метод опорных задач иллюстрируется на четырех задачах оптимального управления:

- задача управления колебательной системой;

- задача управления двумя колебательными системами;

- задача управления неколебательной системой;

- задача одновременного управления колебательной и неколебательной системами.

Вторая глава посвящена позиционному и программно-позиционному решению линейных задач оптимального управления .

В § 1 дается постановка задачи.

В классе кусочно-непрерывных управлений и(г), ( е Т ~ - [0,1*], рассмотрим терминальную задачу

I(u) - c'xit*) -> max, x = Ax + oa, x(0) = xQ,

Bx{t*) = g, | u(t) | s 1, til, (4)

I u с R, i e Rn, g « R", rank Я = m < n J.

Для введения оптимального управления типа обратной связи погрузим задачу (4) в семейство задач

Ir(u) = Cxlt") —» max, х = Аг + bu, х(г) = z,

(5)

■Н®(Г) = g. |u(t)| s 1, î с Гт= It, Г],

зависящее от скаляра X и n-вектора z.

Через Q обозначим множество позиций U, z), для которых существует решение u°(t\x,z), x°(.t\x,z), t е Т^ задачи (5).

..Кусочно-непрерывная функция u°(t,x), (t,x) е 0, удовлетворяющая неравенству lu°ft,x)l s 1, (t,x) е ft, называется оптимальным управлением типа обратной связи, если для всех позиций (г,г) € й решение x(t), te Г, уравнения

г = Ar + bti°(t,x), x(t) = z, (6)

совпадает с оптимальной траекторией x°(t\x,z), t е 2*г, задачи (5).

В реальных условиях при действии неучтенных в математической модели (4) возмущений поведение динамической, системы (4), замкнутой оптимальной обратной связью u°(t,x), (t,x) е Q, описывается не уравнением (6), а уравнением

х — Ах + bu°(t,x) + u>(t), х(0) = xQ, (7)

где ш({), t е Т, - неизвестная кусочно-непрерывная л-вектор-функция возмущений.

Обозначим через х*(1), г € Г, реальное поведение системы, замкнутой оптимальной обратной связью. Тогда функция u*(t)= = и°и,х*(г)), I € Г, будет представлять управление, циркулирующее в замкнутой оптимизируемой системе в рассматриваемом процессе.

Определение 3. Устройство, которое в каздом конкретном процессе функционирования динамической системы способно в режиме реального времени вычислять функцию и"(г), 1 е Т, назовем оптимальным регулятором.

Задача состоит в построении алгоритма работы оптимального регулятора.

В '§ 2 вводятся определяющие уравнения оптимального регулятора, приводится численный метод их решения на участках с постоянной структурой уравнений и указываются правила перехода мезду соседними участками.

Оптимальное программное управление задачи (5) полностью определяется поведением совокупности

состоящей из нулей ^(г) < £а(Т) < ... < коуправления

д°и), г с Тх, и вектора потенциалов.

Элементы совокупности (8) удовлетворяют системе уравнений

/(г; 1еР; г) = о, (9)

<7,и{(т),. ир; у(х)) = 0, 3 € Р,

*4(т). е € Р = {1,2,...,р}, у(г)

(8)

где

/(г; г., 1еР', г)

+ ¡/?(1*-1>г - г,

1»0

¿Л

V т' *Р*Г = W-t)b . í" = АР, F(0) = Е,

fc{ = Sign b°(tj+0);

feP; y) = (C- y'H)F(t*-t j)b. Je?. Определение Ч. Уравнения системы (9) назовем определяющими

уравнениями оптимального регулятора.

Обозначим К~= { i е {0,...,р>: й,=-1 1, Х+= {О,

1 j .

,р)\Г.

Совокупность 3(г) = 1 р(т), Я (г), Я+(г) назовем струк-

V. )

турой определяющих уравнений.

На участках с постоянной структурой матрица Якоби

' 2tf(í{)feí_1, UP 0

aiagl ly'H-C )FÍ't*-itÜb, 1 € P) -H'(tt),teP

GUr íeP; у)

системы (9) не вырождена, поэтому на них существует единственное непрерывное решение (8) уравнений (9) .

В момент г < структура определяющих уравнений может" измениться в силу одной из следующих причин:

1. В точке г зарождается новый нуль коуправления из стационарной точки: л£ (7) = 0, эь°(г)/аг\ _ = 0.

х

| t=t .о

2. Слипаются два соседних нуля коуправления & (t), t с Т :

Г г

te(t) = з е Р\{р}.

3. Нуль коуправления исчезает на краю отрезка Т_.

i

4. На краю отрезка Т возникает новый нуль коуправления.

г

• Для каждой из ситуаций 1-4 приводятся правила определения новой структуры определяющих уравнений при X = х.

В § 3 описывается алгоритм работы позиционного оптимального регулятора, который по результатом численного решения определяющие уравнений (9) вырабатывает релейное управление с ограниченной частотой переключений, предотвращая возникновение скользящих режимов. В качестве иллюстрации работы регулятора рассматривается задача успокоения двух осцилляторов при действии различных возмущений.

Алгоритм работы программно-позиционного регулятора описан в § 4. Этому регулятору задается совокупность моментов, когда он может вносить коррекцию в закон управления. В каждый из этих моментов регулятор строит управления типа обратной Ьвязи в соответствии с состоянием системы в этот момент и использует построенное управление в качестве программного до следующего указанного момента. При такой тактике' в системах, замкнутых . программно-позиционными обратными связями, никогда не возникает скользящие режимы. Относительно информации о текущем состоянии системы рассматриваются'две возможности:

1) измерения состояния системы ведутся непрерывно;

2) информация о состоянии доступна лишь в отдельные моменты.

В качестве иллюстративного примера рассматривается задача об оптимальном успокоении осциллятора, которая решается как с помощью программно-позиционного, так и с помощью позиционного регуляторов.

В § 5 описывается алгоритм работы субоптимального регулятора, вырабатывающего на участке скольжения непрерывное управление. При физической реализации часто стремятся избежать больших колебаний управления/вызванных возмущениями. В предлагав-■

мом подходе имеется возможность выбора значения параметра регулятора, что позволяет получить сглаженные управления за счет некоторых потерь в значениях критерия качества. Описывается специальный способ фильтрации высокочастотных возмущений на участке скольжения. Приводятся примеры, иллюстрирующие работу регулятора при различных значениях параметров.

В § 6 исследуется ситуация, когда в процессе управления под действием неизвестных возмущений изменяются параметры объекта, точные значения которых становятся известны только в текущий момент времени.

В классе кусочно-непрерывных управлений u(t), t е Т = = [0,t*], рассматривается семейство задач

c'x(t*) -» max, (10)

x = Ах + bu + w, x(t) = z, (11)

Hx(t') = g, (12)

d s u(t) s <3, UT =lX,t*], (13)

£ x € R", u e R, g € Rm, rank Я = m < n j,

зависящее от совокупности s = {A,b,c,d,d,g,E,t,w,z).

Совокупность з назовем допустимой ситуацией, кусочно-непрерывную функцию u(ils), te T.J., и непрерывную функцию x(t|s), t e соответствующие ситуации s, - допустимыми управлением и траекторией соответственно, если для них выполняются соотношения (11)-(13). Множество допустимых ситуаций обозначим через S. Допустимые управление u°(t|3), t <? и траекторию х°( ils), t € Т^, назовем оптимальными программными ¿травлением. и траекторией для ситуации з g S, если на них

критерий качества (10) достигает максимального значения.

Кусочно-непрерывную функцию и°{з), з с S, назовем адаптивным оптимальным управлением типа обратной связи, если для любой ситуации s е S справедливы неравенства d s и°(з) s 5 и вдоль траектории x(tls), t е Тх, уравнения

х = Ах + bu°U,b,c,d,5,g,H,X,w.x), х{Х) = z,

выполняется равенстве? x(tIs) = x°(tIs), t e

Рассмотрим процесс управления, начинающийся в момент t = О из состояния х(0) = xQ при значениях параметров задачи (10)-(13), заданных совокупностью s(0)' = M0,b0,c0,d ,3 ,g0-,ff0, а Х=0,wQ,z=xQ}. Предположим, что под действием неизвестных возмущений ситуация

s(t) = U(t),b(t).c(t),d(t),d(t>,g(t),tf(t),t,rc(t),a;(t)J

изменяется непрерывно, и для ta 0 реальная траектория oí ?и-мизируемой системы, замкнутой оптимальной обратной связью, описывается уравнением

х = A(t)x + b(t)u°U(í),b(t),c(t).d(t),d(t),g(t), (14)

S(t)Mt).x), x(0)=io,.

[ А(0) = А0. b(0) = Ь0, с(0) = с0. d(0) = dQ, 3(0) = dQ, g(0) = g0, 2f(0) = H0. u>(0) « ш0 ].

Обозначим через x*(t), t e T, фиксированную траекторию уравнения (14),. соответствующую конкретной реализации s*(t),

t«r.

Функция u*(t) = u°U* (t),b*(t),c*(t),d*(t),3*(t),g*(t),H*(t),t,w*(t) ,r*(t)), •

tcT, представляет реализацию адаптивного оптимального управления типа обратной связи в замкнутой системе (14) в конкретном процессе.

Определение 5. Устройство, которое в каждом конкретном процессе способно вырабатывать управление u*(t), teT, в режиме реального времени, назовем адаптивным оптимальным регулятором.

Для адаптивного оптимального регулятора строятся определяющее уравнения и описывается алгоритм работы в случае, когда 1) функция 4*(t), t с Г, имеет вид A*(.t) = + a*(t)A , где a*(i), t е Т, - непрерывная скалярная функция, 2) существует такой момент t°, 0 < t°< t*, что для всех X с [0,t°] выполнено условие '

rank ( H*'(X)Fr(t*-t)b*(.x), t € Т* \ = m, v 1 j

где

Г* = { UTX: u°(t-0!s) * u°(t+0|s) }, it= JT(0) = E,

и для всех t e [t°,t*], имеют место равенства a*(i)«a*(i°),

&"(t)«b*(t°), c"(t)-e"(t°). d*(t)*d*(i0), 5*(i)*a*(i°),

g *(t)-g*(t°). S*(tM*(t°), w(t)*w*(t°), 3) в каждый момент X e T регулятору известны точные значения состояния х*(х) и параметров а*(т), b*(T), с*(Т), cl*(г), d*(x), g*(г), Н* (X), ю"(г).

В третьей главе подход, описаннцй во второй главе, переносится на ряд других задач оптимального управления линейными системами.

В § 1 рассматривается задача

I(u) = c'xft ) -> max,

¿ = Ac + bt¡, r(0) = x„,

0 (15)

x(t*) г gt, t el = {1,...,m},

| u(t) | s 1, í e Г, I u € R, I € R" j,

у которой, в отличие от задачи (4), терминальные ограничения задаются неравенствами. В связи с этим необходимо знать, какие из ограничений являются активными, т.е. требуется следить за множеством

1*(т) = {t € I: h't x°(t"\x,z) = gt). г e T°.

где Г°= [0, t°], í°< í* w{t) ш> 0, t > t°, t°- такой момент, что для всех t е Т° выполняется условие

rank (hí?(t*-í)b, í е TJt), t е 1*(г)\ = Ц*(т) 1, v i * j

Гж(т) - совокупность точек разрыва оптимального управления

u°(t!t,z), t е Гт, задачи (15).

Для идентификации множества 1*(г) в процессе решения

опре-У

деляицих уравнений отслеживаются значения потенциалов y{(t-0),

i е 1*(г-0). Если у£ (Т-0) =0, i € I*(t-0), то полагаем

о

1*(Т) = 1*(Т-0) \ {i0}. Кроме того, контролируется поведение терминальных выходных сигналов из пассивных ограничений h£ £(í*|T,:z), I с I \ I*(х-0).

Если x(t*U,2) = g( , tQe I \ I*(t-0), то полагаем . о .»о

I*(t) = 2*(Т-0) и {{Q}.

В § 2 исследуется задача оптимального управления группой

пинамических объектов

I(u) = c'x(t*) -» max,

»

х = Лх + Ъи, г(0) = хо б XQ,

x{t*) с Х*= { х G Я": Щ х £ gt, I = 1,m >, | u(i) | И, 1 « P, I u g R, x <= Rn j,

где XQ= conv { xQi, t=1} - выпуклая оболочка точек xQ t,..., n-мерного пространства.

Эта задача рассматривается с двух точек зрения. В первом случае требуется отыскать тах-оптимальное управление, которое обеспечивает максимальное значение критерия качества для одного тачального состояния x°Q a XQ. Во втором случае строится min-зптимальное управление, на котором достигается гарантированный результат для всей группы. Алгоритм работы позиционного оптимального регулятора, разработанный во второй главе, переносится соответственно на случаи max- и min- оптимальных регуляторов.

В § 3 рассматривается задача оптимального управления со иногими входами при полиэдральных ограничениях на управление

I(u) = c'x(t*) -» max,

х = Ах + Ви, х(0) = х0,

Hx(t') = в.

u(t) е U = {и <s Du = d, \iij\ s 1, J e J), t e T, f x <s Rn, и e Rr, g e Rm, d € Rk,

rank H = m < n, rank D = й < г j.

Для задачи (21) строятся определяющие уравнения, анализируются ситуации, при которых изменяется их структура, приводит-

(21)

ея пример работы оптималы^го позиционного регулятора.

На защиту выносятся следующие результаты:

- алгоритм метода опорных задач для решения линейной дискретной задачи оптимального управления;

- алгоритм работы программно-позиционного регулятора;

- алгоритм работы субодтимального регулятора, обрабатывающего скользящий режим;

- алгоритм работы адаптивного регулятора;

- построение позиционного управления в задаче оптимального управления с терминальными ограничениями-неравенствами;

- построение позиционного управления в задаче оптимального управления группой объектов;

- построение позиционного управления в задаче оптимального управления со многими входами.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Балашевич Н.В. Метод опорных задач для решения линейной дискретной задачи оптимального управления // Межреспубликанская научно-практич. конференция творческой молодежи / Тез. докл. Минск. 1990. С. 18-19.

2. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Синтез адаптивных оптимальных управлений для линейных динамических систем // ДАН России. 1992. Т. 323. N 5. С.811-815.

3. Балашевич Н.В. Синтез оптимальных управлений в задаче с терминальными ограничениями-неравенствами // Межреспубликанская научно-практич. конференция творческой молодежи/ ' Тез. докл. Минск. 1992. С. 4-5.

4- Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Алгоритм решения

лилейных экстремальных задач с больюим числом переменных и

ого приложения к задачам оптимального управления. Минск. «

1992. 46 с. ( Препринт / АН Беларуси. Ия-т математики; N 8).

5. R.Gabasov, N.V.Balashevich, P.M.Kirillova, X.D.Gao. Algorithms for'Solving large Extremal and Discrete Optimal Control Problems // Prints of 6th IFAC/IPORS/IMACS Symposium on Large Scale Systems: Theory and Applications. Beijing, China. 1992. P. 360-365.

6. R.Gabasov, N.V.Balashevich, P.M.Kirillova. Synthesis of adaptive optimal controls for linear dynamic systems // Abstracts of the 9th IPAC Workshop "Control Applications of Optimization". Munich, Germany. 1992. P. 46-47.

7. Балашевич H.B., Костюкова О.И. Синтез оптимальных гарантированных управлений // VI конференция математиков Беларуси / Тез. докл. Часть IV. Гродно. 1992. С .111.

8. Балашевич Н.В. Синтез оптимальных систем со многими входами // Вестник БГУ. Сер. I: Физ. Мат. Мех. 1993. N 1. С.. 57-61.

9. Балашевич Н.В., Медведев В.Г., Костина Е.А. Демонстрация на ПЭВМ алгоритмов роботы оптимальных регуляторов и эстиматоров // 2 Международный семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" / Тез. докл. Челябинск. 1993. С. 21.

10. R.Gabasov, P.M.Kirillova, N.V.Balashevich. Program-positional Optimization for Dynamic Systems // International Series of Numerical Mathematics. 1993. V. 111. P.195-205.

11. Балашевич Н.В., Габасов P., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Синтез оптимальных многомерных систем управления // Известия РАН. Техн. кибернетика. 1993. N 4. С.94-104.