Оптимальные траектории в однопродуктовых моделях экономической динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Дискретная модель экономической динамики с дезагрегированными фондами

§ I. Описание модели

§ 2. Продуктивные управляющие последовательности

§ 3. Расширенная модель

ГЛАВА 2. Классы оптимальных траекторий

§ 4. Пошагово оптимальные траектории

§ 5. Т-оптимальные Т-траектории и эффективные траектории

§ б. Траектории с максимальным суммарным дисконтированным потреблением,

ГЛАВА 3. Асимптотическое поведение траекторий

§ 7. Теоремы о магистрали для стационарной модели

§ 8. Единственность эффективной траектории

§ 9. Теоремы о магистрали для нестационарного случая

§ 10. Модель с агрегированными фондами

Предлагаемая работа относится к одному из разделов общей теории оптимального управления и посвящена вопросам оптимального управления однопродуктовыми математическими моделями экономической динамики с дискретным временем. ОднопродуктоЕые модели интенсивно исследуются в последние десятилетия. Они представляют собой предельно агрегированные модели экономики, но при этом отражают динамику взаимосвязей между макроэкономическими показателями и находят применение в изучении наблюдаемых закономерностей экономического развития, в анализе и прогнозировании долговременных тенденций основных народнохозяйственных показателей, в формировании представлений о.сущности и характере научно-технического прогресса - основного фактора роста в современной экономике. В качестве блока они входят в более сложные экономико-математические модели, в том числе имитационные. По-видимому, математические методы, разработанные для исследования однопродук-товых моделей, и экономическая трактовка результатов могут быть использованы впоследствии при анализе различных многопродуктовых моделей и других динамических систем.

Математически однопродуктовые модели с непрерывным временем описываются системами дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, модели с дискретным временем - системами разностных уравнений и неравенств. Несмотря на внешнюю простоту однопродук-товых моделей, их математическое исследование далеко не завершено.

Работа по математическому исследованию однопродуктовых моделей была начата зарубежными учеными, среди которых следует отметить прежде всего Ф.Рамсея, М.Брауна, Р.Солоу, Л.Йохансена,

- Ц.

Е.Фелпса, Д.Касса, Т.Купманса, К.Эрроу. Значительный вклад внесли советские исследователи - академик Л.Б.Канторович и его сотрудники Л.И.Горьков, И.Г.Глобенко, В.И.Жиянов, А.Г.Хованский, Е.И.Коркина, а также А.Л.Лурье, В.С.Немчинов, В.л.Макаров,H.H.Моисеев, A.M.Рубинов, М.И.Зеликин, Л.Ф.Зеликина, В.Г.Гребенников, A.A.Рыбкин и др. Их работы были связаны с проблемами существования и единственности равновесных {стационарных, экспоненциальных) траекторий, с нахождением оптимальной стационарной траектории в смысле того или иного заданного критерия оптимальности, с разработкой удобных критериев (принципов) оптимальности. В качестве примера можно указать принцип дифференциальной оптимизации Л.В.Канторовича С23, 26, 33 ], критерий эффективности Гп, 38, 53 Д, принцип максимального использования потенциальных возможностей экономики А.М.Рубинова [56, 57, 59] . Рассматриваются также задачи о построении оптимальной траектории для фиксированного начального состояния и заданного критерия оптимальности и об описании асимптотики таких траекторий. В работах по однопродуктовым моделям широко используются методы теории дифференциальных уравнений, принцип максимума Л.С.Понтрягина, динамическое программирование, теория суперлинейных многозначных отображений.

В настоящей работе рассматриваются две однопродуктовые модели экономической динамики: модель с фондами, различающимися по срокам службы (модель Л ), и простейшая модель экономического прогнозирования (модель $ ). Исследование этих моделей проводилось в рамках разрабатываемой в ИСЭП темы "Развитие математических методов исследования операций и их применение в прогнозировании и управлении НТПП, № Г.Р. 81084-816. Модель UL представляет собой модель с так называемым "овеществленным (материализованным) научно-техническим прогрессом". Изучение этого типа моделей начато в 1959-1962 гг. л.Б.Канторовичем, Р.Солоу, Л.Йо-хансеном с целью исследования влияния динамики замены оборудования на основные экономические показатели. Впоследствии эти работы были продолжены рядом авторов [I, 2, 25, 26, 27, 32, 33, 47, 68, 75, 80, 82, 84].

Модель ^ является вариантом наиболее известной и употребительной из однопродуктовых моделей. Близкая модель рассматривалась А.М.^биновнм [54, 59 ] . В обеих моделях ( М и <Р ) используются производственные функции, зависящие от потребления как одного из активных факторов производства. Такого рода функции впервые введены Б.Г.Гребенниковым Г12 ] .

Остановимся на основных вопросах, рассматриваемых в диссертации. Основная задача исследования состояла в сравнительном изучении в рамках модели . Л1 ■ различных критериев (принципов, определений) оптимальности и соответствующих им траекторий. К настоящему времени для моделей экономической динамики различными авторами разработан целый ряд таких критериев, однако отсутствуют общие способы описания оптимальных траекторий и сравнения критериев оптимальности. С этой целью в диссертации введено специальное понятие порождающего управления (в нестационарном случае - порождающей управляющей последовательности), которое тесно связано с понятием синтеза в общей теории оптимального управления. Оно играет существенную роль при описании траекторий, которые являются, в том или ином смысле, оптимальными, именно оптимальная траектория и определяющая ее управляющая последовательность могут быть построены по начальному состоянию и порождающему управлению. При этом порождающее управление (в отличие от определяющего) не зависит от начального состояния, и различным критериям оптимальности соответствуют различные порождающие управления.

Второй круг вопросов связан с проблемой взаимосвязи оптимальных траекторий и магистралей в моделях экономической динамики. Многие работы, относящиеся к моделям экономической динамики, посвящены типичным для теории оптимального управления задачам о максимуме терминального целевого функционала ^ Б период Т или интегрального функционала на временном отрезке ГТрТ^!, . поскольку значения Т , Т1 » Т\ и функционалы ^ , могут выбираться, вообще говоря, весьма произвольно, большое значение имеют результаты о независимости поведения оптимальных траекторий от длины траектории и вида функционала. Такие результаты называются обычно теоремами о магистрали: согласно им "достаточно длинные" оптимальные траектории приближаются к некоторым множествам, называемым магистралями. Как правило, в литературе рассматриваются теоремы о средней и поздней магистрали (в классификации Л.Мак-Кензи Г77, 58 ]), которые оставляют открытым вопрос о поведении оптимальных траекторий в начале промежутка планирования (при малых номерах периодов -Ь ), то есть именно тогда, когда и требуется принимать плановое решение. Теоремы о "ранней" магистрали (то есть о близости магистрали на начальной фазе) рассматривались в работах Г67, 77, 37, 34 ] . В диссертации доказаны две такого рода теоремы для некоторой модели, значительно более общей, чем основные рассматриваемые нами модели М, 9 @ . (В этой модели не предполагается выпуклость производственного отображения). В качестве магистрали выступает эффективная траектория с заданным начальным состоянием 3° . Показано, что если такая траектория единственна, то достаточно длинные оптимальные траектории с началом $ 0 близки к ней на начальном участке. Заметим, что в этом случае "стандартные" теоремы о магистрали могут быть получены из сходимости этой эффективной траектории к магистрали; оптимальные траектории на начальном участке (до выхода на магистраль) близки к эффективной. Таким образом, единственность эффективной траектории с началом в фиксированном состоянии является существенным свойством модели. Б диссертации устанавливаются условия, при которых этим свойством обладает модель Л .

Третья проблема, рассматриваемая в диссертации, относится к описанию асимптотики траектории в нестационарных, то есть изменяющихся со временем моделях. Б стационарных моделях, подобных модели Неймана-Гейла, асимптотическое поведение траекторий часто описывается с помощью некоторого луча. Б нестационарном случае обычно доказывают, что сходится к нулю угловое расстояние между векторами состояний двух различных траекторий (см.[65, 60, 65 ]). В работе показано, что траектории модели М, обладают более сильным свойством асимптотической пропорциональности. Можно показать, что этим свойством обладают и другие нестационарные модели, рассмотрение которых выходит за рамки этой работы.

Рассматривается также проблема соотношения между дезагрегированной моделью М, и агрегированной моделью Ф (проблема агрегирования). Изучается связь между значениями производственной функции агрегированной модели и соответствующими тем или иным критериям оптимальности стационарными состояниями более сложной модели с дезагрегированными фондами. Возникающие здесь задачи весьма сложны, и для их решения представляется целесообразным использование численных экспериментов.

Методы исследования траекторий модели М. основаны на двух ее удобных представлениях (с помощью произведений матриц и с помощью модели лг типа Неймана-Гейла), которые вводятся в главе I. Использование модели типа Неймана-Гейла существенно облегчает описание эффективных траекторий модели М. и изучение асшш-тотики траекторий. Тем самым исследование модели ^Ц подтверждает сформулированное А.Ы.Рубиновым [59, с.83положение о том, что модели неймановского типа "следует рассматривать как математический аппарат для исследования тех или иных моделей экономической динамики". Отметим, что рассматриваемая в работе как вспомогательный объект модель неймановского типа ^Г относится к практически не исследовавшемуся ранее классу моделей с переменной технологией без строгого состояния равновесия.

При исследовании оптимальных траекторий моделей экономической динамики часто используется описание траекторий с помощью некоторых двойственных объектов, которые обычно интерпретируются как траектории цен. Перечислим некоторые известные подходы, приводящие к двойственному описанию оптимальных траекторий, и укажем на работы, в которых эти подходы рассматриваются применительно к моделям экономической динамики.

1. Принцип максимума Понтрягина [4, 8, 9, 14, 16, 17, 18, 44, 61, 64 ].

2. Двойственность в математическом программировании Г10, 48, 61 ].

3. Теорема о характеристике [38, 53 ].

4. Принцип оптимальности Беллмана [50, 51, 68, 77 ].

5. Вариационное исчисление (условия оптимальности, гамильто-новы системы) [ 69, 70, 73, 81 Л .

Связь между этими подходами отмечалась в работах [38, 58, 61, 69, 7, 48, 49 ] . В настоящей работе используется понятие характеристики, развитое в работах [38, 53 ] . Следует отметить, что условия оптимальности не являются в работе самоцелью, а играют лишь вспомогательную роль.

Работа содержит три главы и приложения. В главе I дается описание модели М, . Определяются основные используемые понятия: стационарная модель, траектория, К -траектория, Т -траектория, стационарная траектория, темпы роста стационарной траектории и модели, управление, правильное и продуктивное управления, управляющая последовательность, продуктивная, определяющая и порождающая траекторию управляющие последовательности и др. Приводится ряд примеров, показывающих связь вводимых предположений с гипотезами, применяемыми в известных однопродуктовых моделях. Важным частным случаем модели Л является стационарная модель М- $ . В § I исследуются стационарные траектории модели , то есть траектории с постоянным темпом роста. Найдена стационарная тралу ектория с максимальным темпом роста се и определяющее ее оптил; мальное управление ъУ . В § 2 рассматриваются продуктивные управляющие последовательности - специальный класс управляющих последовательностей, интересных в теоретическом и прикладном плане. Устанавливаются асимптотические свойства траекторий модели

5 , порождаемых продуктивным управлением. В § 3 построена расширенная модель Я типа Неймана-Гейла, множество траекторий которой содержит все траектории модели М- . Показано, что если траектория модели чУ имеет характеристику, то она является траекторией модели М- . Тем самым изучение траекторий модели М- , имеющих характеристику, равносильно изучению этого класса траекторий для модели У . Центральными понятиями при исследовании оптимальных траекторий и асимптотического поведения траекторий моделей Неймана-Гейла, к которым относится и модель У в случае стационарной модели М- $ , являются понятия неймановского состояния равновесия и неймановской грани. Теорема 3.1 показывает, что в рассматриваемом случае эти объекты полностью определяrj ются управлением .

Глава вторая посвящена исследованию траекторий, оптимальных в смысле того или иного критерия оптимальности. Рассматривается ряд критериев, которые часто используются в различных моделях экономической динамики: пошаговая оптимальность (в смысле заданной последовательности неотрицательных векторов цен { \> { ), терминальная оптимальность (при заданном возрастающем терминальном функционале 'У ), интегральная оптимальность (максимизация суммарного дисконтированного потребления с заданным дисконтом ), эффективность ("динамический Парето"-принцип оптимальности). Рассматриваются задачи о построении оптимальной траектории с заданным начальным состоянием. Показано, что центральную роль при описании оптимальных траекторий модели v/ll играет понятие порождающей управляющей последовательности (в случае стационарной модели

- порождающего управления). Различным определениям оптимальности соответствуют различные порождающие управляющие последовательности (порождающие управления). В частности, предложение 5.1 показывает, что если продуктивная управляющая последовательность определяет некоторую эффективную траекторию, то она порождает эффективную траекторию для любого начального состояния. Соглано теореме 5.2, если управление ьУ модели

Лс продуктивно, то оно порождает эффективную траекторию для любого начального состояния. В §§ 5,6 устанавливается упоминавшаяся уже связь между оптимальными конечными Т -траекториями и бесконечными эффективными траекториями. В § 5 рассматривается вопрос о построении эффективной траектории модели М, с заданным начальным состоянием. В § б устанавливаются условия корректности постановки задачи о построении траектории с максимальным суммарным дисконтированным потреблением.

Третья глава посвящена исследованию асимптотического поведения траекторий модели <ЛХ . В § 7 применительно к модели уточняется известное понятие траектории, имеющей средний темп роста оС . Оказывается, что если какая-то траектория имеет средний темп роста оС и определяется управляющей последова

-Ь 1 . . „ -Ь- . Л тельностью £ г^- } , то ъЗ- -> . Теоремы 7.1 и 7.2 описывают асимптотику траекторий, имеющих средний темп роста . В отличие от общих теорем о магистрали для модели Неймана, они гарантируют сходимость к неймановскому лучу, а не к неймановской грани, хотя модель не имеет строгого состояния равновесия. В § 8 исследуется проблема единственности эффективной траектории модели М. с фиксированным начальным состоянием. Этот вопрос важен, поскольку предположение о единственности эффективной траектории является основным в главе I при доказательстве упоминавшихся теорем о ранней магистрали. В теореме 8.1 найдены достаточные условия единственности в модели . В § 9 вводится понятие асимптотической пропорциональности бесконечных последовательностей векторов. Доказана теорема 9.1 об асимптотической пропорциональности траекторий модели XI , порождаемых одной управляющей последовательностью. Центральную роль при доказательстве этой теоремы играет лемма 9.1, которая является обобщением теоремы Перрона-Фробениуса на случай произведений матриц из заданной последовательности. Теорема 9.2 и лемма 9.3, по существу, представляют собой теоремы о магистрали, относящиеся не к траекториям, а к управляющим последовательностям модели М- . Теорема 9.3 касается проблемы единственности эффективной траектории в нестационарном случае. В § 10 диссертации рассматривается однопродуктовая модель ¿Р с агрегированными фондами. Эта модель тесно связана с моделью Л/С , с одной стороны, и с многочисленными однопродуктовыми моделями, рассматривавшимися различными авторами (см. Г 59 3), - с другой. Обсуждается возможность рассмотрения модели $ как результата агрегирования модели М- . Результаты численного эксперимента подтверждают гипотезу о возможности построения модели ф по модели М, .

В приложении I получено представление произвольной траектории модели Ф через начальное, состояние и управляющую последовательность. Для модели Ф исследуются оптимальные траектории в смысле различных определений оптимальности: пошаговая, терминальная, интегральная оптимальность, эффективность. Поскольку модель ^ , вообще говоря, не является частным случаем модели Ж, » она исследуется независимо. Результаты близки к соответствующим результатам §§ 4-6.

Приложение 2, помещенное в конце работы, призвано служить иллюстрацией возможностей использования исследуемых моделей в математической экономике. Здесь рассматривается связь результатов, относящихся к модели {Р , с некоторыми вопросами, актуальными для экономической науки и широко обсуждаемыми в литературе: связь между основными экономическими показателями, их оптимальные значения и тенденции изменения, оптимальные размеры потребления, взаимосвязь I и П подразделений общественного воспроизводства, выбор критерия оптимальности развития экономики, связь между нормативными коэффициентами эффективности капиталовложений и приведения затрат к единому времени и т.д.

Отметим, что область применения однопродуктовых моделей не ограничивается макроэкономическим анализом. Так, авторш, совместно с экономистом А.Т.Бабко, предложена оптимизационная модель прогнозирования цикла жизни промышленных изделий [5 ] . Ее краткое описание приводится в приложении 3. Данная модель представляет собой частный случай однопродуктовой модели с фондами, различающимися по срокам службы, рассматриваемой в главе I диссертации.

Б приложении 4 приводится краткая сводка полученных в работе результатов, касающихся оптимальных траекторий стационарной модели М, с и порождающих их управлений.

1. Андреев С.Н. Об оптимальном сроке службы фондов. - Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8, с.18-24.

2. Андреев С.Н., Киянов В.И. Дискретная модель экономики с фондами, дифференцированными по моментам создания. Сб.тр.ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8, с.24-31.

3. Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979.

4. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. -М.: МГУ, 1980.

5. Бабко А.Т., Матвеенко В.Д. О некоторых вопросах прогнозирования цикла жизни изделий. Б кн.: Социально-экономические проблемы управления народным хозяйством. - Л.: ЛФЭИ, 1983.

6. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

7. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

8. Васин A.A. Оптимальное управление однопродуктовыми экономическими моделями. В кн.: Матем. методы в исслед. операций.-М.: МГУ, 1981.

9. Воробьева В.Н. Магистральные свойства оптимальных траекторийв одной макроэкономической модели. Оптимизация, вып.27 (44), Новосибирск: 1981, с.21-33.

10. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1981.

11. Гранберг А.Г. Математические модели социалистической экономики. М.: Экономика, 1978.

12. Гребенников В.Г. Некоторые проблемы взаимосвязи темпа ростанационального дохода, фондоотдачи и нормы накопления на примере односекторной модели. Экон. и матем. методы, 1968, т.4, вып.4, с.583-596.

13. Дементьев Н.П. Обобщенные магистрали в моделях леонтьевско-го типа с переменной технологией. Автореферат дисс. на соиск. уч.ст.канд.ф.-м.наук. Новосибирск: 1980.

14. Зеликин М.И., Корнев С.А. Синтез оптимальных траекторий для одной а-мерной многошаговой задачи оптимального управления. В кн.: Оптимальное управление, вып.7. М.: МГУ, 1977.

15. Зеликина Л.Ф. Оптимальные вложения в научно-технический прогресс в макроэкономических моделях и магистральные теоремы. Экон. и матем. методы, 1975, т.II, вып.З, е.453-467.

16. Зеликина Л.Ф. Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторого класса задач оптимального управления. -ДАН СССР, 1977, вып.224, Ne I, с.31-34.

17. Зеликина Л.Ф. Многомерный синтез и теоремы о магистрали в задачах оптимального управления. В кн.: Вероятностные проблемы управления в экономике. М.: Наука, 1977.

18. Каганович М.М. Математические модели скользящего планирования. Таллин: Балгус, 1983.

19. Казанцев C.B. Макромоделирование расширенного воспроизводства. Новосибирск: Наука, 1980.

20. Канторович Л.В. Об исчислении нормы эффективности на базеоднопродуктовой модели развития хозяйства. Б кн.: Оптимальное планирование, вып.8. Новосибирск: Наука, 1967.

21. Канторович Л.В., Вайнштейн А.Л. Об исчислении нормы эффективности на основе однопродуктовой модели развития народного хозяйства. Экон. и матем. методы, 1967, т.З, вып.5,с.696-710.

22. Канторович Д.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972.

23. Канторович Л.В., Горьков Л.И. О некоторых функциональных уравнениях, возникающих при анализе однопродуктовой экономической модели. ДАН СССР, 1959, т.129, К? 4, с.732-735.

24. Канторович Л.В., Жиянов В.И. Однопродуктовая динамическая модель экономики, учитывающая изменение структуры фондов при наличии технического прогресса. ДАН СССР, 1973,т.211, К 6, с.1280-1283.

25. Канторович Л.В., Жиянов В.И., Хованский А.Г. Принцип дифференциальной оптимизации в применении к однопродуктовой динамической модели экономики. CMS, 1978, т. 19, ?ir 5,с.1053-1064.

26. Канторович Л.В., Жиянов В.И., Хованский А.Г. Анализ динамики экономических показателей на основе однопродуктовых динамических моделей. Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1978, вып.9, с.5-25.

27. Канторович Л.В., Макаров B.JI. Оптимальные модели перспективного планирования. В кн.: Применение математики в экономических исследованиях, т.З. М.: Мысль, 1967.

28. Канторович Л.В., Макаров В.Л. Дифференциальные и функциональные уравнения, возникающие в моделях экономической динамики. СМЖ, 1970, т.II, К: 5, с.1046-1059.

29. Карлин С. Математические методы б теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

30. Коркина Е.И. Принцип дифференциальной оптимизации в двух-секторной модели экономики. В кн.: Методы исследования сложных систем. Труды III конференции молодых ученых. М.: ВНИЙСЙ, 1980.

31. Коркина Е.И. Асимптотическое поведение траекторий в двух малосекторных моделях экономики. Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8, с.31-36.

32. Коркина Е.И., Хованский А.Г. Принцип дифференциальной оптимизации и малосекторные модели экономики. Там же, с.З-п.

33. Красс И.А. Математические модели экономической динамики. -М.: Советское радио, 1976.

34. Кротов В.Ф. Оптимальное управление экономическими процессами. М.: МЭСЙ, 1977.

35. Лопатников Л.И. Краткий экономико-математический словарь. -К.: Наука, 1979.

36. Макаров В.Л. Асимптотическое поведение оптимальных траекторий линейных моделей экономики. СМ1, 1966, т.7, № 4,с.832-853.

37. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

38. Матвеенко В.Д. Дискретная модель с фондами, различающимися по срокам службы. Оптимизация, вып.26 (43), Новосибирск: 1981, с-. 90-102.

39. Матвеенко В.Д. Бесконечно-оптимальные траектории в дискретных однопродуктовых моделях экономической динамики. Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8, с.37-43.

40. Матвеенко В.Д. Эффективные траектории в дискретной однопродуктовой модели с дезагрегированными фондами. Оптимизация, вып.31 (48). Новосибирск: 1983, с.105-127.

41. Матвеенко В.Д. Классы оптимальных траекторий в дискретной однопродуктовой модели экономической динамики. В кн.:П Всесоюзная конференция "Системное моделирование социально-экономических процессов", ч.1. Таллин: 1983.

42. Матвеенко В.Д. Оптимальные значения макроэкономических показателей в однопродуктовых динамических моделях. Сб.тр.ВНИИ системных исслед. f 1933, вып.9, с.' 58 -65.

43. Митягин Б.С. Заметки по математической экономике. УМН, 1972, т.27, вып.З (165), с.3-19.

44. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.

45. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. -М.: Мир, 1972.

46. Паппэ Я.Ш. Типы развития в односекторных моделях экономического роста с экзогенным научно-техническим прогрессом общего вида. Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8,с.43-58.

47. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980.

48. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982.

49. Романовский И.В. Асимптотическое поведение дискретного детерминированного процесса с непрерывным множеством состояний. В кн.: Оптимальное планирование, вып.8, Новосибирск: Наука, 1967.

50. Романовский И.В. Асимптотические и стационарные задачи динамического программирования. Автореф. дисс. на соиск.уч.ст.докт. ф.-м. наук. Л.: 1968.

51. Рубинов A.M. Об одной макроэкономической модели. Оптимизация, вып.21 (38), Новосибирск: 1978, с.139-152.53. рубинов A.M. Суперлинейные многозначные отображения и их приложения к экономико-математическим задачам. Л.: Наука, 1980.

52. Рубинов A.M. дискретный вариант простейшей модели экономического прогнозирования. Односекторная модель. Оптимизация, вып.25 (42), Новосибирск: 1980, с.139-151.

53. Рубинов A.M. Дискретный вариант простейшей модели экономического прогнозирования. Двухсекторная модель. Оптимизация, вып.26 (43), Новосибирск: 1981, с.ЮЗ-118.

54. Рубинов A.M. Об одном подходе к исследованию макромоделей экономической динамики. Оптимизация, вып.28 (45), Новосибирск: 1982, с.80-101.

55. Рубинов A.M. Математическое моделирование оптимальных размеров фонда потребления и фонда накопления. Сб.тр. ВНИИ системных исслед., 1982, вып.8, с.58-65.

56. Рубинов A.M. Экономическая динамика. В кн.: Итоги науки и техники, т.19. М.: ВИНИТИ, 1982.

57. Рубинов A.M. Математическое моделирование расширенного воспроизводства. Л.: Наука, 1983.

58. Рубинов A.M., Шапиев К.Ш. Об одном обобщении теоремы о магистрали в сильной форме. В кн.: Оптимальное планирование, вып.10, Новосибирск: Наука, 1968.

59. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

60. Черемных Ю.Н. Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики. М.: МГУ, 1975.

61. Черемных Ю.Н. Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.: Наука, 1982.

62. Чернятин В.А. Однопродуктовая модель производства с дифференцированной структурой фондов. Экон. и матем. методы, 1980, т.16, вып.2, с.344-356.

63. Шапиев К.Ш. Об одном обобщении теоремы о магистрали Радне-ра. В кн.: Оптимальное планирование, вып.Ю, Новосибирск: Наука, 1968.

64. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту. В кн.: Математическая экономика. М.: Мир, 1974.67. .brock «У. Sensitivity of optimal growth paths with respect to a change in target stocks. Z. Nationalokon., 1971, v.31, suppl.I, pp.73-89.

65. Buhl H.U., Eichhorn W. , GleiBner W. Optimal new-capital-investment policies for economies with finite capital longevity and technical progress. In: Optimal control theory and economic analysis. - North-Holland, 1982,pp.169-183.

66. Cass D., Shell K. Introduction to Hamiltonian dynamics in economics. J. of econ. theory, 1976, v.12, No.I, pp.I-IQ.

67. Cass D. , Shell K. The structure and stability of competitive dynamical systems. J. of econ. theory, 1976, v.12, No.I, pp.31-70.

68. Johansen L. Substitution versus fixed production coefficients in the theory of economic growth: a synthesis. -Econometrica, 1959, v.27, No.2, pp.157-176.

69. Johansen L. On the theory of dynamic input-output modelswith different time profiles of capital construction and finite life-time of capital equipment. J. of econ.theory, 1978, v.19, pp.513-533.

70. Kataoka H. On the local conservation laws in the von Neumann model. Lect. Notes Econ. and Math. Syst., 1983, v.210, pp.156-163.

71. Keeler E.J3. A twisted turnpike theorem. Z.Nationalokon, 1971, v.31, suppl.I, pp.91-98.

72. Kemp M.C., Thanh P.O. On a class of growth models. Eco-nometrica, 1966, v.34, No.2, pp.257-282.

73. Koopmans T.C. A simple model of a capital stock in equilibrium with the technology and the preferences. Lect.Notes in Control and Inf. Sci., 1982, v.32, pp.20-31.

74. Mc Kenzie L.W. Turnpike theory. Econometrica, 1976, v.44, No.5, pp.841-865.

75. Ostrowski A.M. Positive matrices and functional analysis. -Ini Recent advances in matrix theory. Stanford: 1964, pp.81-101.

76. Radner R. Paths of economic growth that are optimal with regard only to final states; a turnpike theorem. Rev. Econ. stud., 1961, v.28, pp.98-104.

77. Ramanathan R. Introduction to the theory of economic growth. Lect. notes in econ. and math, systems, v.205, 1982.

78. Samuelson P.A. Law of conservation of the capital-output ratio. Proceedings of the Nat.Ac. of Sci., 1970, v.67, No. 3, pp.1477-1479.

79. Sheshinsky E. Balanced growth and stability in the Johan-sen vintage model. Rev. of Econ. Stud., 1967, v.34 (2), No.98, pp.239-248.

80. Solow R.M. Investment and technical progress. In: Mathematical methods in the social sciences, 1959. Stanford: I960.

81. Solow R.M., Tobin C., tfeizsacker C.C.V., Yaari M. Neoclassical growth with fixed factor proportions. Rev. of Econ. Stud., 1966, v.33 (2), No.94, pp.79-115.- 130 -ТРАЕКТОРИИ МОДЕЛИ 9