Качественное исследование динамических систем, моделирующих замкнутые экономики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

1 п ДПР 1935

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ФЕДОРЦОВА Ирина Анатольевна,

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, МОДЕЛИРУЮЩИХ ЗАМКНУТЫЕ ЭКОНОМИКИ

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995 г.

Работа выполнена на кафедре статистического моделирования математико-ыеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научные руководители-доктор фшико-магематкческих наук, профессор

С.Ю.ПИЛЮГИН кандидат физико-математических наук, доцент Т.Е.КУЛАКОВСКАЯ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Николай Николаевич ПЕТРОВ кандидат физико-математических наук, доцент

Николай Александрович БОДУНОВ

Ведущая организация-Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Зашита состоится 1995 г. в ' ^ часов

на заседании специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г.Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г.Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан

-Я» МА^^Ч 1995 г.

Ученый секретарь специализированного Совета К 063.57.49, кандидат физико-математических наук, доцент Л.И.ШЕПЕЛЯВЫЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Работа посвящена качественному исследованию некоторых динамических систем, возникающих при описании процессов установления равновесия в замкнутых экономиках без влияния "внешней'1 ситуации.

Теория дифференциальных, урлшюяий и динамических систем давно и широко применялась к исследованию задач математической экономики (отметим, например, работы Л.Гейла, М.Дебре, С.Карлина, В.В.Леонтьева, Р.Маерсона, С.Смейла).

При развитии глобальной качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем после 60-х ходов был создан широкий круг методов, связанных с понятием структурной устойчивости (Д.В.Аносов, С.Смейл, Дж.Роббин, К.Робинсон, В.А.Плисс, Р.Мане).

Применение этих идей и методов к качественному исследованию систем, возникающих в математической экономике, является актуальным.

Цель работы состоит в установлении достаточных условий структурной устойчивости и 12. - устойчивости систем дифференциальных уравнений, описывающих установление равновесия в так называемых однородных и неоднородных рынках, а также в исследовании структуры в целом для динамической системы, описывающей нестандартную экономическую модель, введенную О.Н.Бондаревой.

Методы исследования. В работе применяются методы теории структурной устойчивости, качественной теории динамических систем яа плоскости, а также теории особенностей.

Научная новизна. В диссертации впервые;

1) доказана структурная устойчивость И устойчивость систем дифференциальных уравнений, описывающих установление равновесия в однородных и неоднородных рынках, при типичных функциях затрат;

2) доказано наличие у таких систем асимптотически устойчивых точек покоя с положительными координатами при типичных функциях затрат;

з

3) изучены периодические по времени возмущения системы однородного рынка и доказано наличие у таких возмущений асимптотически устойчивых положительных периодических решений с положительными значениями цены вдоль них;

4) найдены функции спроса, гарантирующие выживаемость всех участников, для динамической системы, описывающей нестандартную экономическую модель О.Н.Бондаревой, и изучена глобальная динамика этой системы.

Практическое и теоретическое значение. Результаты работы могут быть использованы при анализе конкретных экономических задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре кафедры статистического моделирования ма-тематико-механического факультета СПбГУ и на международной конференции МОДА-3, С.-Петербург, 1992.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две статьи (1,2].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 35 наименований. Основной текст диссертации занимает 90 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана краткая историческая сцравка, сформулированы основные результаты работы.

Первая глава диссертации состоит из трех параграфов. В ней рассматриваются системы дифференциальных уравнений

Хс - 4 «»О + аСс! эс^-.с- (хс) (1)

>

описывающие установление равновесия ь динамике цен и про изводств в однородном и неоднородном рынках ')(мы используем нумерацию формул, отличную от текста диссертации). Эти системы моделируют следующие ситуации:

W фирм производят однородный топар; 0Q, *- объем производства фирмы I цепа товара определяется его общим предложением:

f = | +

Си С^с) - затраты фирмы (. на производство количества товара 0С1 (система (1));

ГХ, фирм производят W различных товаров, CCZ и Сс имеют тот же смысл, что выше; выпуск товара ОСс, определяя-ется его спросом, зависящим от цен |3дуна все товары:

(система (2)).

Точки покоя систем (1), (2) соответствуют локальным равновесиям Курно-Нэша. В §1.1 изучается система (1). Предполагается, что:

U Czm ,i(o)>0, <70<0,

где 00!+,.,+

'Furth D. Stability and instability in oligopoly. // J.Econ.Theory. V.40. РЛ07-228. 1986.

существует такое , что

I $ 0.

Система (1) рассматривается на множестве

V Г ^ хе К" •• 0 £ а; й И У

Предполагается, кроме того, что на границе "V поле направлено внутрь "V" . Показано (лемма 1.1.1), что все траектории системы (1), начинающиеся в ~\Г , попадают с возрастанием "Ъ во множество

у4=фе-\Г; Е(*)>о\

и остаются там.

Множество вектор-функций рассматривается с - топологией на (0,М].

Теорема 1.1.1. При фиксированной функции ^ для открытого и плотного множества векторов сС* ) все точки покоя системы (1) в

гиперболические.

Далее система (1) исследуется при и при выполнении

одного из условий:

А ?.'(*)- с: Ы)< о,,

в

Теорема 1.1.2. Пусть функция н системе (1) удовлетво-

ряет условию (3). Тогда для открытого и плотного множества векторов С(Х) система (1) структурно устойчива в "V .

Для фиксированной функции £ обозначим через £ (.£.) множество векторов с(^с) > удовлетворяющих неравенству

(4).

Теорема 1.1.3. Для открытого и плотного множества векторов С(х)б 'В. (£) система (1) -О." устойчива в .

Теорема 1.1.4. Пусть выполнено, одно из условий (3), (4). Тогда для открытого и плотного множества векторов С (в случае условия (3)) и множества векторов £ С4-) (в

случае условия (4)) система (1) имеет асимптотически устойчивую точку покоя в .

В §1.2 система (2) рассмотрена при 2, и получены

аналоги теорем 1.1.1-1.1.4. Заметим, что доказательства соответствующих теорем з некоторых местах существенно различны. В §1.3 изучается система

= I ч ^ -Ц?

в которой -г- Л Л •

4+ * си),

функции и) - периодичны по -Ъ ,иих СЛ

нормы (относительно X ) ограничены числом. Д>> о

Теорема 1.3.1. Пусть .для системы (1) выполнено одно из условий (3], (4). Тогда для вектора с ('*-) из открытого

и плотного множества (в случае условия (3)) и из открытого и плотного подмножества Е (-£ ) (в случае условия (4Д существует такое Д0 >0 , что если С2'— нормы 4 / Сс ограничены числом Д. €= С О/До') , то система (5)

имеет асимптотически устойчивое 1л)- периодическое ре-

шение с положительными компонентами, вдоль которого цена £ положительна.

В главе II рассматривается введенная О.Н.Бондаревой дискретная динамическая система, соответствующая описанной ей модели рынка

Две фирмы (им соответствуют нижние индексы) выпускают два товара (верхние индексы). Пусть ос^З С~Ь) - количество товара ^ у фирмы с на конец периода ~Ь г

Ь1"-' > - технологические коэффициенты, —

спрос фирмы С на товар j .

Система имеет вид

г. . Ь

'Бондарева О.Н. Кооперативная игра "спрос-предложение" как модель несбалансированного рынка // Вестник ЛГУ. Сер. 1. N 22. С.7-11. 1980.

'Бондарева О.Н. Теоретико-игровой анализ однопродуктового рынка с одинаковыми полезностями // Кибернетика. N 5. С.67-71. 1990.

Цены на товары меняются на периоде и зависят от спроса: а уравнения для капиталов имеют нид:

В §2.1 стапится основная задача: найти функции спроса, зависящие от всех переменных, кроме бЬ) > и гарантирующие выполнение неравенств

(выживание фирм), а также описать возникаю1цую динамику.

В §2.2 рассмотрена динамика систем (6)-(7) при неограниченном спросе (формально в^ОИ = Суз ). Показано, что содержателен лишь случай выполнения неравенстн

»21 42. . С^2 л

к 8 >1> ь412

дальше в главе II эти неравенства предполагаются выполненными. Пз'сть

Показано, что при неограниченном спросе одна из фирм разоряется, за исключением вырожденного случая Л(о)=&. (4.)=А.(2^Д,(3|)=0 • в котором с С ЬИ г Со Со) , С= В §2.3 находятся функции спроса.

Теорема 2.3.1. Максимально возможные функции спроса, не записящие.от Х^' (4т') , и гарантирующие выживание обеих фирм, задаются формулами:

С1СЫ) о1,л

1 Гра-О > а а^^с+'А (8)

Показано, что при функциях спроса (8) существуют ^ ^

(теорема 2.3.2) и указаны условия на начальные данные, при которых эти пределы положительны (теорема 2.3.3); в последнем глучае найдены предельные значения капиталов.

СПИСОК РАБОТ , ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Федорцова И.А. Функции спроса одной нестандартной экономической модели // Вестник СПбГУ, Сер.1. N 7. С.30-35. 1994.

2. Федорцова И.А. Типичная динамика одной модели спроса - предложения. // Вестник СПбГУ, Сер.1. N 1. С.120. 1995.

ю