Моделирование динамики космического манипулятора в масштабе реального времени тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ргв

1 5 Ш «93

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

Белоусов Игорь Рафаилович

УДК 621. 865. 8. 004.14: 629. 7

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО МАНИПУЛЯТОРА В МАСШТАБЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

Специальность : 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат .диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета ИГУ им. М. В. Ломоносова и в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

Научный руководитель: академик РАН

доктор физико-математических наук профессор Д. Е. Охоцимский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. М. Формальский

кандидат физико-математических наук, снс В. С. Ярошевский

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский

институт машиностроения (ЦНИИМАШ)

Защита состоится " 2. " ^ддз г> в часов на

заседании специализированного совета Д 053.05.01 (М 1 по механике) при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу : 119899, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, зона "А", ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан МА^ЗГе- 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

доктор физико-математических наук, доцент Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для обучения экипажей космических кораблей навыкам управления роботами-манипуляторами необходима разработка тренажеров, воспроизводящих движение манипулятора в условиях невесомости. Имитация движения должна выполняться в масштабе реального времени с учетом динамики моделируемых объектов, что необходимо для формирования у операторов правильных навыков работы. Существующие системы моделирования космических манипуляторов, созданные в NASA, ESA, ряде организаций нашей страны использует мощную вычислительную базу, сложную технику. Поэтому актуальна разработка эффективных методов моделирования, позволяющих реализовать качественный, универсальный тренажер на стандартной, сравнительно недорогой технике.

Цель диссертации. Диссертация выполнена в рамках работ по созданию комплекса моделирования движений схвата большого космического манипулятора (БКМ) - бортового манипулятора космического корабля "Буран". Для имитации движения схвата БКМ используется промышленный робот РМ-01, расчет движения выполняется на ЭВМ РС/АТ-286. Цель диссертации состоит в исследовании динамики БКМ при выполнении манипулятором медленных движений в окрестности рабочей точки, в разработке эффективных алгоритмов математического моделирования манипуляторов и программного обеспечения моделирующего комплекса, обеспечивающих его работу в масштабе реального времени.

Научная новизна. Предложен метод формирования уранений динамики манипуляторов в матричном виде, обладающий высокой вычислительной эффективностью. На основе неявных методов разработаны быстрые алгоритмы интегрирования уравнений динамики манипуляторов с нелинейностями в моделях приводов и упругими элементами в шарнирах. Разработанные методы могут быть использованы при моделировании динамики широкого класса манипуляторов.

Практическая ценность. Создано математическое и программное обеспечение комплекса моделирования движений схвата БКМ. Применение разработанных методов моделирования позволило организовать работу комплекса в масштабе реального времени, что дает возможность использовать его в качества тренажера при обучении операторов навыкам работы с БКМ. Комплекс может применяться для моде-

лирования других манипуляторов (крупногабаритных манипуляторов, манипуляторов для экстремальных сред), непосредственные эксперименты с которыми трудно проводить в лабораторных условиях. Результаты диссертации использовались при разработке стенда моделирования космических манипуляторов в ЦНИИМАШе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-практической конференции "Применение ЭВМ в задачах механики" (Севастополь, 1991 г. ), на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 1992 г. ), на научно-практической конференции "Космическая робототехника: проблемы и перспективы" (Калининград,' 1992 г.), на научно-технической конференции "Роботы и манипуляторы в экстремальных средах" (С-Петербург, 1992 г. ), а также на семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова (под рук. академика РАН Д. Е. Охоцимского и проф. Ю. Ф. Голубева) и ИПМ им. М.В.Келдыша РАН (под рук. проф. А. К. Платонова).

Структура диссертации, публикации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа изложена на м страницах, содержит 24 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 64 наименования. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-5).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении описана постановка задачи и кратко изложено содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена формированию эффективных в вычислительном плане уравнений динамики манипуляционных роботов.

В первой части главы дается обзор методов описания кинематики и динамики роботов. Особое внимание уделяется анализу вычислительной эффективности рассматриваемых алгоритмов и их способности решать необходимую при моделировании манипуляторов прямую задачу динамики (определение движения манипулятора по действующим на него внешним моментам и силам).

В данной работе представлен метод описания динамики манипуляторов на основе уравнений Лагранжа II рода, имеющий матричную структуру и обладающий довольно высокой вычислительной эффективностью. Метод применим для манипуляторов, оси соседних шарниров

которых параллельны или перпендикулярны.

При описании кинематики использован метод последовательного формирования систем координат звеньев1. Приведена формализация метода для манипуляторов с параллельными и перпендикулярными осями соседних шарниров - наиболее распространенного класса манипуляторов. Показано применение метода для описания кинематики манипулятора БКМ, получены выражения для расчета матрицы Якоби, решения прямой кинематической задачи. При расчете кинематических и динамических величин использованы матрицы преобразования координат размера 3x3, что обеспечило вычислительную эффективность соотношений.

Уравнения динамики получены в виде :

И(я)ч + я) + р = т

БЦ) - симметричная, положительно определенная матрица инерции манипулятора с элементами

1 = тах(к,з) р=к 1=5

~ вектор кориолисовых и центробежных сил :

V

Б, 1=1

4-1=1 МХЛ^р' I ^г.) +

1 = тах(к, 5, Ь ) р=к 1=тах(5,1)

р - вектор гравитационных сил с компонентами : 1

)

Рк = ¡Г-ш.(й,£>ркгр 1=к р=к

Обозначения: V =ЭС, /8ц • Н . =ЗС, /Эа, aq , С, =С,..С

рк 1р ^к' ркэ 1р ^к 1р 1 р

С1 - матрица поворота для смежных звеньев

1 Накано Э. Введение в робототехнику, М.: Мир, 1988.

С 1 - вектор переноса между соседними системами коорд. (СК) г =\ р

р и _ радиус-вектор центра масс звена в СК звена 1

3 = .) - ш. г г^ ; ш - масса звена

11 1 Ч 1

Jl = J ^г* о^ - матрица инерции звена.

Показано, что уравнения применимы для описания динамики манипуляторов как с вращательными, так и с поступательными шарнирами. Уравнения представлены в замкнутом виде, их форма позволяет решать прямую и обратную задачи динамики. Структура полученных уравнений способстбовала разработке простых и эффективных программ расчета динамики на ЭВМ.

Оценен объем вычислительных затрат, необходимых для расчета уравнений динамики. Для 6-звенного манипулятора общего вида требуется выполнить 4375 умножений и 3406 сложений, а также 12 обращений к тригонометрическим функциям. В суммарный объем вычислений входят также затраты на решение прямой задачи кинематики и расчет элементов матрицы Якоби манипулятора.

При рассмотрении конкретного типа манипулятора число операций сокращается, т. к. некоторые компоненты векторов гс и

-у 1

матриц ^, и Урзк будут иметь нулевые значения. Для манипулятора БКМ вычислительные затраты на расчет полной модели динамики составляют 3479 операций умножения и 2503 операции сложения. Программная реализация алгоритма расчета уравнений динамики позволяет учитывать особенности геометрии и распределения масс для конкретных манипуляторов, что повышает вычислительную эффективность алгоритма.

Во второй главе на основе исследования динамики медленных (до 100 мм/сек) движений БКМ выбраны адекватные модели механической части манипулятора и приводов.

Уравнения динамики космического манипулятора не содержат членов, связанных с учетом гравитационных сил.

Для характерных скоростей движения манипулятора БКМ при выполнении им технологических операций (порядка 50 мм/сек на линейных перемещениях схвата и 0.01-0.05 рад/сек для угловых скоростей в шарнирах) оказалось возможным не учитывать влияние

квадратичных по скорости кориолисовых и центробежных сил, что подтвердили результаты численного моделирования. В рассмотренных экспериментах ошибка в определении положения схвата не превышала величины Ар=2. 5 мм, а в определении ориентации А0=0. 03°. Относительная ошибка 3 = Мах [ДрШ1/ Мах (ДХ.ДУ.Дг) 100% составила 0. 5-0. 7 '/. (ДХ, ДУ, & - диапазон изменения декартовых координат центра схвата манипулятора в процессе движения).

Тогда уравнения динамики БКМ можно представить в виде :

Дальнейшие исследования показали, что для расчета коэффициентов с1кз можно использовать упрощенные модели.

Численные эксперименты позволяют сделать вывод, что динамика как нагруженного (с полезной нагрузкой в схвате), так и нена-груженного манипулятора хорошо описывается моделью, в которой предполагается, что масса каждого звена манипулятора сосредоточена в его центре масс. Кроме того, если масса груза Мгр более чем в три раза превосходит общую массу робота Мроб, то динамика БКМ может быть описана моделью с невесомыми звеньями (их масса входит добавочным членом в массу груза). Для разных масс переносимого груза получены оценки погрешности моделей.

При моделировании используются следующие модели:

1. МГр=0; "массы звеньев - в центрах масс".

2. Мгр<3 Мр0(у "массы звеньев - в центрах масс".

3. МГр>3 Мр0(5; "звенья невесомы".

Вычислительные затраты, связанные с решением задач кинематики и динамики механической части робота составляют соответственно 837, 1269 и 951 операций сложения и умножения (с плавающей запятой) плюс вычисление 12 тригонометрических функций. Для компьютера АТ 286/287, на котором реализован моделирующий комплекс, затраты процессорного времени при решении этих задач составляют 0. 03, 0. 045 и 0. 035 сек.

Численные эксперименты при исследовании динамики БКМ показали, что расчет новых значений динамических коэффициентов можно осуществлять один раз за такт управления моделирующим комплек-

8

<к=1____п)

сом, который равен 0.35 сек. Таким образом, на каждом цикле, с учетом дополнительных затрат, связанных с вычислением программных скоростей, остается от 0. 285 сек до 0. 3 сек на интегрирование уравнений динамики. Специальные методы, описанные в главах 3 и 4, позволяет организовать процесс вычислений в реальном масштабе времени.

Для замыкания уравнений динамики получены выражения для обобщенных моментов в шарнирах. Рассмотрены электромеханические привода с двигателями постоянного тока, обратимыми зубчатыми редукторами и замкнутыми по скорости следящими системами. Представлены различные по сложности модели приводов, в которых учитываются упругость в шарнирах и нелинейные элементы: люфт, сухое трение, муфты предельного момента, тормоза. Показано, что при ; моделировании БКМ достаточно рассматривать модели приводов второго порядка.

Численное исследование динамики манипулятора БКМ, проведенное для широкого класса начальных условий, показало, что при использовании упрощенных моделей максимальная ошибка не превосходит 0.5-1.0 V. по сравнению со значениями, рассчитанными по полной модели динамики.

В третьей главе представлены алгоритмы интегрирования уравнений динамики БКМ с учетом упругости и нелинейных элементов в моделях приводов.

С интегрированием уравнений динамики связаны наибольшие трудности при моделировании манипуляторов в реальном времени. Несмотря на существенную жесткость уравнений, во многих системах моделирования космических и других манипуляторов используются явные методы интегрирования, для которых приходится выбирать малый (порядка 10~3-10"5 сек) шаг интегрирования, чтобы обеспечить устойчивость вычислительной схемы. Использование малого шага сильно увеличивает время интегрирования и может привести к накоплению значительной вычислительной погрешности. Поэтому для манипуляционных систем предпочтительнее применение неявных методов интегрирования, которые дают возможность увеличить шаг интегрирования, сохраняя устойчивость.

Для интегрирования уравнений динамики БКМ использован неявный метод Эйлера первого порядка. Эффективность его применения обусловлена также тем, что модель динамики БКМ, выбранная во

второй главе, линейна относительно обобщенных скоростей. Это позволяет при вычислении решения разностных уравнений не использовать итерационные процедуры и получать решение в явном виде.

Учет в моделях приводов нелинейных элементов (люфтов, ограничений на ток и напряжение в двигателях, муфт предельного момента, сухого трения) приводит к появлению в области изменения

фазовых координат Ч и ч граничных значений, при переходе через которые меняется вид правых частей уравнений динамики. Люфты и муфты определяют границы по переменным а сухое трение, ограничения по току и напряжению - по переменным Для обеспечения корректности интегрирования в этом случае необходима разработка алгоритмов выхода на фазовые ограничения. Расчет соответствующих значений осуществляется с помощью линейной интерполяции.

Представлены алгоритмы неявного интегрирования для учета нелинейносгей, определяемых ограничениями по току и напряжению в двигателях, наличием люфтов в редукторах. Приведены результаты расчета решения уравнений динамики по этим алгоритмам, оценки их точности.

Разработан также алгоритм интегрирования уравнения динамики для случая, когда кроме нелинейностей в модели привода учитывается упругость в шарнире. Уравнения динамики записываются в виде :

Ч = Ес Л

(1)

- Елдв Ндв = Мдв - Ес Л

Ес - матрица жесткости шарниров; А - вектор деформаций в шарнирах; Идв - момент, развиваемый двигателем; и Идв определяют положение и скорость роторов двигателей.

Применив к (1) неявную разностную схему Эйлера, получим :

уп+1 = нп + ь 0-1Есдп+1 (2)

. уДВ(п+1) = „ДВп+ ь Е^дв (НДВ(п*П_ Есдп*1, (3)

где Ь - шаг интегрирования. Кроме того, справедливы соотношения:

r qn+1 = qn + h Vntl

_ qAB(n+l) _ ^двп + h yflBln+l)

Т.к. qn+1 и q*Bln+1) входят в выражения ¿n+1 в виде разностей (q®®tn+1)- q"+1), которые можно выразить через 1 и из уравнений (4), то система (2)-(3) содержит лишь неизвестные НДЕ(п+1) и Wn+1.

Выразив w4B(n+i) через wn+i для тех шарниров, в которых выбран люфт, получим :

i/Blnt,)= s" uf1 ♦ s? , (5)

l i i i

где s" и Sj определяются в соответствии с условиями на выбор люфта и нарушения ограничений по току и напряжению. Представим уравнения (2) в виде :

D Vn+1 = D V" + h Ес Дп+1 (6)

В этих уравнениях Д"+1=0 для тех шарниров, в которых люфт не выбран; для остальных шарниров :

Д?+1=с (Aq?+ h(sw wf1 + s^- ы?м)± e „) i 1 i i i i л

где Aq"=qB®n- q" ; ел~половина величины люфта.

Следовательно, решение (6) можно получить из системы :

В Vn+1 = D Vn + b (7)

где ¡ijjSd.j при если люфт не выбран, то Зи=с1.., b1=0, а

если люфт выбран, то 3 =dM-h2c (s"-l), b^hCjiAq" + ± сд). ги-1

Определив И из системы (7), найдем по формулам (5) значения и(Дв(п+1) для тех j ПрИ КОТОрЫХ в соответствующих шарнирах люфт выбран. Для остальных шарниров значения находим по

формулам явного решения из уравнений :

J*B q'^B= Мдв 1 n 1 1

Затем из (4) определим q"*1 и

Если на интервале !t , t J происходит переход через фазо-

- И -

вое ограничение, то с помощью линейной интерполяции определяется момент выхода на ограничение по току (tj ), напряжению (t ) или

люфту (t ). Затеи рассчитываются новые значения координат при i

t= tmjn= Min (tj , t , tj ), и процесс интегрирования продолжается с этого момента времени.

Разработанные алгоритмы неявного интегрирования были использованы при моделировании динамики манипулятора БКМ для широкого класса начальных конфигураций манипулятора и значений управлений. Численные эксперименты показали :

I. Шаг интегрирования по сравнению с максимально возможным для явного метода Рунге-Кутта четвертого порядка может быть увеличен на 2-3 порядка (при организации расчетов в моделирующем комплексе значение шага интегрирования составляло 0.03-0.1 сек)

II. Для выбранных моделей динамики БКМ, отличия в определении положения и ориентации схвата манипулятора при использовании алгоритмов неявного интегрирования по сравнению с методом Рунге-Кутта четвертого порядка составили :

(а) линейная модель

¡и, ограничения по току и напряжению

(с) люфт + (Ь) (сП упругость + (с)

III. Средние затраты машинного времени для получения решения уравнений динамики БКМ на интервале времени ЛТ=1 сек составляют:

- для метода Рунге-Кутта четвертого порядка : 89.5 сек;

- при использовании неявных алгоритмов : 0.8 сек.

Реализации алгоритмов не требует больших вычислительных затрат; их применение позволяет проводить моделирование динамики БКМ в масштабе реального времени.

В четвертой главе представлены архитектура, программное обеспечение и организация работы стенда-тренажера, предназначен-

модель привода А . мм Д0, град 5, %

а 1.8 0.015 0.2

Ь 2. 0 0. 02 0.3

с 2.4 0.027 0. 8

d 2.7 0.03 1. 0

ного для воспроизведения движений схвата БКМ в масштабе реального времени.

Анализ систем моделирования космических манипуляторов показал, что метод имитации движения их схватов с помощью промышленных роботов позволяет создать качественный моделирующий комплекс, обладающий преимуществами стендов натурного моделирования, но требующий меньших затрат на реализацию. Актуальность разработки подобных систем обусловлена тем, что, как правило, представляет интерес анализ движения не всего робота, а только его схвата, так как операции, выполняемые роботом - перемещение грузов, захват объектов - связаны в конечном счете с управлением именно его охватом.

На этом принципе основана работа стенда-тренажера для моделирования движения схвата БКМ. Он создан на базе инструментальной ЭВМ РС АТ-286/287, промышленного робота РМ-01 со стойкой управления "Сфера-36" и пультов дистанционного управления. В качестве задающих устройств используются клавиатура компьютера, кнопочный пульт управления или блок управления, состоящий из рукояток поступательного и вращательного движения, светодиодных индикаторов и переключателей.

Работа стенда организована следующим образом. Оператор с помощью задающих устройств определяет желаемое движение. Управляющий сигнал обрабатывается в компьютере и поступает на вход программы моделирования динамики БКМ, которая рассчитывает новое положение схвата космического манипулятора и соответсвующее положение схвата робота РМ-01. Оно передается по каналу последовательной связи 1*3-232 системе управления робота, которая выводит его в следующую точку. В результате схват робота РМ-01 повторяет в пространстве движение схвата БКМ.

Непрерывность движения схвата по тректории достигается использованием контурного режима управления роботом РМ-01. В результате исследования работы моделирующего комплекса в контурном режиме был определен такт управления комплексом - интервал времени между двумя последовательными запросами узловых точек системой управления робота РМ-01. Он составляет 0.35 сек. Для моделирования в масштабе реального времени необходимо рассчитывать новые положения схвата БКМ с частотой, определяемой этим значением. При выполнении этого условия схват робота РМ-01 будет пов-

торять траекторию движения охвата БКМ, причем скорость движения схвата РМ-01 по траектории будет совпадать со скоростью движения схвата моделируемого манипулятора.

Предложен алгоритм организации работы моделирующего комплекса в масштабе реального времени, обеспечивающий выполнение всех необходимых расчетов на такте управления за время, не превышающее 0.35 сек. Максимальная скорость движения схвата по траектории составляет около 100 мм/сек, что не выходит за границы рабочего диапазона скоростей для манипулятора БКМ при выполнении им технологических операций.

Структура программного обеспечения стенда имеет вид:

Пульт - обработка задающих устройств

ПрСк - расчет программных скоростей в шарнирах ЯПР

УрДин - формирование коэффициентов уравнений динамики

Привод - вычисление управляющих моментов в шарнирах

Инт - интегрирование замкнутой системы уравнений динамики БКМ

Схват - расчет нового положения схвата манипулятора БКМ и

соответствующего положения схвата робота РМ-01 Огр - контроль ограничений на конфигурацию манипуляторов РМ-01 и БКМ

РМ01 - вывод манипулятора РМ-01 в вычисленную точку Граф - отображение на экране дисплея движения манипулятора БКМ с полезной нагрузкой

Эксперименты по оценке точности отслеживания траектории роботом РМ-01 при движении в контурном режиме показали, что для скоростей до 100 мм/сек отклонение траектории схвата от эталон-

ной не превосходит 0.5 мм. Это обеспечивает высокую достоверность воспроизведения на стенде результатов моделирования движения.

Проведены эксперименты по моделированию движения схвата манипулятора БКМ на стенде-тренажере, которые продемонстрировали возможность воспроизведения на стенде качественных особенностей движения БКМ. Стенд может использоваться для разработки алгоритмов выполнения сборочных и других технологических операций с помощью БКМ, а также для обучения операторов навыкам работы с БКМ в условиях невесомости

Результаты диссертации использованы при создании стенда моделирования космических манипуляторов в ЦНШМАШе. Разработанные методы моделирования и макетирования движения манипуляторов могут применяться для моделирования различных типов манипуляторов, используемых в промышленности и экстремальных средах.

В заключении сформулированы основные результаты, отмечена научная новизна и практическая ценность работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получены уравнения динамики в форме Лагранжа для манипуляторов с вращательными и поступательными шарнирами, соседние оси которых параллельны или перпендикулярны. Уравнения хорошо алгоритмизуемы, имеют матричную структуру, обладают высокой вычислительной эффективностью.

2. Построены модели динамики большого космического манипулятора, учитывающие особенности его конструкции и приводов. Они обеспечивают высокую вычислительную эффективность уравнений движения и упрощение структуры алгоритмов интегрирования.

3. На основе неявных методов разработаны быстрые алгоритмы интегрирования уравнений динамики манипуляторов с нелинейностями в моделях приводов и упругими элементами в шарнирах. Применение алгоритмов для интегрирования уравнений динамики космического манипулятора позволило на два-три порядка увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными методами высоких порядков при сохранении высокой точности и устойчивости вычислительной схемы.

4. Создан стенд для моделирования движения охвата большого космического манипулятора. Разработано соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение. Моделирование и воспроизведение на стенде движений схвата манипулятора осуществляется в масштабе реального времени.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Охоцимский Д. Е., Платонов А. К., Белоусов И. Р., Карташев В. А. "Моделирование движения схвата технологического манипулятора в реальном масштабе времени". Отчет ИПМ им. М. В. Келдыша РАН #267-90, 1990 г.

2. Белоусов И. Р., Карташев В. А. "Управление в задаче натурного моделирования пространственных движений объектов". Тр. XXII Региональной конференции молодых ученых. Свердловск, 1991.

3. Белоусов И. Р., Карташев В. А. "Натурное моделирование движений манипулятора в реальном масштабе времени". В сб. "Программирование прикладных систем", М.: Наука, 1992.

4. Белоусов И. Р. "Неявные алгоритмы интегрирования уравнений динамики манипулятора с нелинейными элементами в приводах". Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, N 73,1992.

5. Охоцимский Д. Е., Белоусов И. Р., Карташев В. А. "Моделирование динамики космического манипулятора в масштабе реального времени". Труды научно-технической конференции "Роботы и манипуляторы в экстремальных условиях". Санкт-Петербург, 21-22 мая 1992 г.

БСЛС\СОВ ]|ГОрЬ Рпц/ИШСВИЧ " Мол' Д1Ша-;11КГ кос-

мического матшулятора в маситабс. реал! похъ ьромгпи*'. СпьШ'алььость: 01.0^.01 - тг.-оретическая мехоиика.

Подписано в печать 23.02.93т". Заказ 31. Тираж 80 -чх\

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН