Зависимость инвариантных множеств от С0-малых возмущенных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

СЛШТ-ПЕТЕРБУРГСКИЕ ГШДОСТВЕННЫЯ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПОПШШЕВА Валентина Николаевна

' ЗАВИСИМОСТЬ. ИНВАРИАНТНЫХ мношств ОТ С^-МАЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ СШТЕШ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

V

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедра дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук, профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНКИТИ- доктор физико-математических наук, профессор РОЗОВ Николай Христович;

кандидат физико-математическ'их наук, ПЛИСС Петр Викторович ^

ЙВДМЦАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Нижегородский государственный университет имени Л.И.Лобачевского

Защита состоится " 2Т" " 1592 г. в

часов на заседании специализированного совета Д063.57.30 по залоге диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете. Адрес совета: 198904,Ст.Петергоф, Библиотечная пл., д.й, математико-ыеханический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университег . .

Автореферат разослан " 2 ^ " | 1992 г

Учений секретарь специализированного совета Д063.57.30, доцент

Ю.А.СуПШВ

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИК РАЮ И

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Диссертация посвящена исследованию устойчивости двух основных классов инвариантных шояесгв ( прлтлгкпаг'.'р'.х множеств и предельных мнокеств областей ) , а также усто."чивоста по Ляпунову предельных множеств для С -типичных систем.

Вопрос^ оё устойчивости притягивает;?« множеств относительно С -малых изменений системы начал изучать М.Хёрли, исследовавши.'! устойчивость относительно метрики Хаусдор^а £ для типичных систем. С.Ю.Пилюгин изучал устойчивость ппитягиваюцих множеств относительно введенной им метрики

для С ^-типичных систем и устойчивость притягивающих множеств для систем, удовлетворяющих строгому условии трансверсальности.

Несомненный интерес представляет исследование устойчивости притягивающих множеств при С ''-малых возмущениях системы относительно метрга /? 0, . Метрика ранее

не рассматривалась в литературе.

Устойчивость по Ляпунову предельных множеств областей для С "-типичных систем и для структурно устойчивых систем изучал С.Ю.Пилюгин. В частности, иы получены результаты об устойчивости по Ляпунову для предельных множеств семейств вложенных шаров. Ранео не были изучены вопросы об устойчивости по Ляпунову предельных мнояеста типичных в различных топологиях компактов и о зависимости предельного множоства от области.

ЦЕЛЬ РАШТЫ. Диссертация посвящана исследованию устойчивости:

_ о

а) притягивающих множеств при С, -малых возмущениях системы относительно метрик

б) продельных множеств ограниченной области в ^ относительно метрики Хаусдорфа /5 .

- ь -

Кроме того, цель работы состоит в том, чтобы для типичной системы изучить мнояество компактов, предельные множества которых устойчивы по Ляпунову.

МЕТОДЫ ИССЛВДЭЗАНЯЯ. Для решения поставленных задач применяются методы качественной теории данамических систем, топологии многообразий и теории множеств.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получено необходимое условие устойчивости притягивающих множеств при С -малом возмущении системы относительно метрики , введена новая метрика /9 на множестве М. компактных подмножеств замкнутого /г-мерного многообразия _ /. Получено необходимое и достаточное условие устойчивости прйтягивакяцих множеств систем Морса-Ска ¡:ла относительно метрики ,

Найдено необходимое условие устойчивости предельного множества ограниченной области в -Ю. в метрике Хаусдор-фа -г.

Доказано, что для типичного потока предельное множество. компакта из некоторого множества II категории по Бэру _ пространстве (М*, „) устойчиво по Ляпунову. Получен аналогичный результат для пространства XI наделенного метрикой Хаусдорфа й .

ПРАКТиЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании инвариантных множеств динамических систем, моделирующих механические, радиотехнические, биологические объекты.

АПРОБАЦИИ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации дою. давались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Санкт-Петербургского государственного университета, на конференции молодых ученых ыатематико-механического факультета КГУ имени Т.Шевченко'/19«9 г./, а такае на конференциях молодых ученых математико-механического факультета СПГУ /190Н-1990 г.г./. По теме диссертации опубликованы работы [1-3 ]•

СТРУКТУРА И ОВЬЕМ РЛЕОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Обпрй объем диссертации составляет 76 страниц машинописного текста. Еиблиография состоит из 23 наименований работ советских и зарубежных авторов.

Во введении дан краткий обзор основной литературы по теме диссертации, сформулированы цель исследования и осно-епно результаты. р

В главе I изучаетсялространство X (М) систем дифференциальных уравнений класса С,1 с С "-топологией, заданиях на гладком замкнутом /г. -мерном многообразии М. Будем отождествлять систему

с порондаищим ее секторным полем Р".

Пусть X с: Л - притягивающее (т.е. асимптотически устойчивое кошаятное инвариантное ) множество системы ( I ). Обозначим через Л * множество компактов в Л 9 пуст- £> - некоторая метрика на М *

ОПРЕДЕЛЕНИЗ. Притягивающее множество X системы (I) называется устойчивым в X °({*[) относительно, метрики если по любому £ >0 «окно указать такую окрестность X системы (I ) в X "(М), 470 У лвйой системы

С0ДККШП5 ДИССЕРТАЦИИ

3? = ^

(I)

&

(2)

- Ь -

из /С есть притягивающее множество -Г с >3(X, X) <

Фиксируем метрику на . Обозначим через рССх., 8) расстояние от точки ¿с. до замкнутого множества Е> <=• М.. Для В *, Б а<£/1 * полоним

г) - ¿1 (■*-,£> .

Стандартная метрика Хаусдорфа определяется равенством:

А (&х , Ьа) = /яйл/г(е>иь1 )).

Положим

Л» . . л*

В диссертации введзна новая метрика /<А на Та ;

Пусть Л ^ - неблувдамцеа множество системы (I),

Основные результаты главы I сфрмулированы в виде следующих теорем ( нумерация теорем в автореферате не совпадает с их нумерацией в диссертации).

ТЕОРЕМА I. Если множество гиперболично и на

граница выполнено строгое условие трансверсальности,

то множество X устойчиво в IX °(Л.) относительно метрики Др.

ТЕОРЕМА 2. Если система (I) является системой Мореа-Смейла и X ФJrviT,'™ притягивающее множество -Г

не является устойчивым в ЗС (М^) относительно метрики

ТЕОРЕМА 3. Если притягивавшее множество ДГ системы (I) устойчиво относительно метрики./?^ и Л* = г

то ЛГ устойчиво в X (№.) относительно метрики Из теорем 1,2,3 вытекает следующее утверждение, ' ТИОРЗМА 4. Притягачаю'деа шюксство ЛГ системы Морса-Смойла устойчиво в Xе относительно штрики тогда и только тогда, когда — ЛЛХ .

3 глава 2 получены условия устойчивости предельного множества соСО-") области С для дассипативной системы в М^, с .

Обозначим через X ) пространство систем дифференциальных уравнений класса С на JPí.n' с С, «метрикой. 0 Рассмотрш систему из

= (3)

сИ

ОПРЗЛЕЙЕКШ. Система (3) называется дисеипативной, если существует такое число А >0> что

¿Игь -£ —

при любых ,

л _ А/

Для ограниченного множества Ссл< определим его пргдельное множество для системы (3) :

еи(<2)= | Ьгъ со(-ё. *ех>, ГЛ

*—»Сю .

ОПРЗДЕШШ. Предельное множество ы(О) называется устойчивым в метрике Хаусдор|а относительно С -тшх

возмущений системы, если по любому £ >С можно указать такую окрестность А системы (3) в что

для любой системы

eL* _ с 4 )

dt

из К. выполнено неравенство

( ¿5 (G) - предельное множество для системы (4)).

Пусть X - характеристическое ( т.е. компактное инвариантное устойчивое в целом) множество системы (3). Основной результат главы 2 следующий. TEOPjSIA 5. Пусть система (3) диссжативна и удовлетворяет на Т аксиоме А и строгому условию трансверсальности, О - ограниченная область в , Пусть существует набор / Д.. | базисных множеств такой, что

rw _

Sei; WYil;), с Л w (£1:)фф, г*1,п.

£ = L

Тогда предельное множество оо (G) устойчиво в метрике

Хаусдорфа R относительно С'-малых возмущений системы.

Результаты главы ? сформулированы в терминах потоков. Обозначим через Fпространство непрерывных потоков на Л с С "-метрикой.

ТЕОРИЙ 6. Дня типичного потока в пространстве F(tf) существует множество $£ II категории по Бэру в * такое, что для компакта GdSC. ыногесгво ш CG-) устойчиво по. Ляпунову.

ТЕОРЕМ. 7. Для типичного потока в пространстве F(M) существует множество II категории по Бэру Я)

такое, что для компакта Q еr5f^. множество ьа (G) устойчиво по Ляпунову.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. Погонышева В.Н. Устойчивость притягивающего множества относительно метрики //Вестник ЛГУ. Cep.I. 1990. Вып.1( И). С.108-109.

2. Погонышева В.И. Устойчивость предельного мнокества в метрике Хаусдорфа. Л., 1990. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 26.07.90, № 4240-В90.

3. Погоншева В.Н. Завиышость предельного множества от области. Л., 1990. 23с. - Деп. в ВИНИТИ. 7.08.90,

»? 450I-B90.