Методы анализа устойчивости асимптотически инвариантных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи КУПЦОВА Светлана Евгеньевна

МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ

.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной матсматики-процессов управления

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Жабко Алексей Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Камачкин Александр Михайлович

кандидат технических наук,

доцент Шамберов Владимир Николаевич

Ведущая организация: Мордовский государственный

университет им. II.П. Огарёва.

Защита состоится " 2.0 " L&HJW- • 2006 года в Vi часов па заседании диссертационного совета К-212.232.07 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199004, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д. 41/43, ауд. 512.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " Ь " (-¿Й2.АД. 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К-212.232.07, д.ф.-м.н., профессор

В.Ф. Горьковой

1. Общая характеристика работы,

1.1 Актуальность исследований, проводимых в диссертации, объясняется тем, что многие проблемы техники и физики сводятся к изучению поведения интегральных кривых систем обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений в окрестности их стационарных режимов, а также к нахождению оптимальных способов управления поведением объектов, описываемых такими уравнениями. Здесь надо отметить, что в ходе моделирования невозможно учесть все внешние факторы, которые могут оказать влияние на течение процесса. Вместе с этим возникает задача о сохранении тех или иных качественных свойств системой, если внешнее возмущение относится к какому-либо определённому классу. Одним из наиболее актуальных свойств системы является свойство устойчивости, поскольку его нарушение может повлечь за собой существенное отклонение расчётного движения системы от реального. Поэтому дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами. Одним из основных подходов к изучению данной проблемы является второй метод Ляпунова. При всех достоинствах данного метода у него есть существенный недостаток, а именно: не существует универсального способа построения функций Ляпунова. Именно поэтому остаются актуальными исследования, приводящие к ослаблению условий, которым должны удовлетворять функции Ляпунова.

1.2 Цель реферируемой работы. Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на дальнейшее развитие математической теории устойчивости управляемых процессов, а также поиск методов, позволяющих для определённых классов систем упростить задачу выбора функций Ляпунова.

1.3 Научная новизна. Полученное в работе обобщение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости для систем дифференциальных уравнений является новым.

Впервые на наличие асимптотического положения покоя или асимпто-

тически инвариантного множества исследованы дискретные системы.

Получены модификации теоремы В.И. Зубова об асимптотическом положении покоя для траекторий систем дифференциальных уравнений.

Новыми являются достаточные условия существования асимптотически инвариантного множества у систем дифференциальных уравнений.

1.4 Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты применимы при исследовании устойчивости систем дифференциальных и разностных уравнений, которые являются математическими моделями реальных физических процессов или описывают технические объекты с системами автоматического регулирования.

1.5 Апробация работы. Полученные результаты докладывались и получили одобрение на традиционных семинарах и заседаниях кафедры теории управления и представлялись на конференциях:

• XXIX научной конференции "Процессы управления и устойчивость", г. Санкт-Петербург, 1998 г.

• XXXII научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ " Процессы управления и устойчивость ", г. Санкт-Петербург, 2001 г.

• XXXVI межвузовской научной конференции студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость", г. Санкт-Петербург, 2005 г.

• XXXVII международной научной конференции студентов и аспирантов "Процессы управления и устойчивость", г. Санкт-Петербург, 10- 13 апреля, 2006 г.

• VII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Саранск, 17-20 мая, 2006 г.

• III всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", г. Самара, 29-31 мая, 2006 г.

1.6 Публикации. По результатам исследований, приведенных в диссертации, автором опубликовано 5 печатных работ.

1.7 Объем работы. Объем работы составляет 99 страниц.

1.8 Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Обобщение теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевого решения в случае, когда производная положительно определённой функции в силу рассматриваемой системы знакопеременна.

2. Метод исследования систем дифференциальных и разностных уравнений на наличие асимптотической устойчивости нулевого решения, асимптотического положения покоя или асимптотически инвариантного множества.

3. Достаточные условия наличия асимптотического положения покоя или асимптотически инвариантного множества для систем дифференциальных и разностных уравнений.

4. Достаточные условия наличия асимптотически инвариантного множества для систем дифференциальных уравнений с возмущениями. Решение задачи оптимального демпфирования переходных процессов для систем с возмущениями определённого вида.

5. Достаточные условия наличия асимптотически инвариантного множества для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений с возмущениями специального вида. Решение задачи оптимального демпфирования переходных процессов для этой системы. Оценка времени переходного процесса.

2 Содержание работы.

В главе 1 рассматривается задача об асимптотической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. Под понятием устойчивости здесь понимается устойчивость по Ляпунову.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = Г(£,х).

(1.1)

Где х — неизвестная п-мерная вектор-функция скалярного аргумента Ь. Относительно правой части (1.1) будем предполагать, что она непрерывна по всем своим аргументам и липшицева по переменной х на множестве = | |М1 ^ ^ 0}, где Я > 0, а под будем

понимать решение системы (1.1), проходящее в момент ¿о через точку хо. Также будем считать, что у системы (1.1) определено нулевое решение.

Теорема 1.1. Если для систелм дифференциальных уравнений (1.1) существуют функции У(х) и Z(x) такие, что:

1. V непрерывно дифференцируема и положительно определена на множестве

1!. Z непрерывна в Г2я; 2 > § при ||а;|| ^ Н, кроме, быть может, точки х = 0, и V" % на лтожестве О я!

3. Существуют числа 0 ^ £ 1 <¿1 < £ 2 <¿2 < • ■ ■> обладающие свойствалш ¿к—* +оо, £ О при к —+ +оо, кроме того

неравенства 1 к — й к ^ т, выполнены при некотором т > 0 и всех значениях к = 1, 2,... ;

4■ Для любого значения 6 > 0 существует натуральное К, для которого неравенство — £ выполнено на множествах ||з;|[ ^ ё, Ь € для всех к^ К;

то нулевое решение системы (1.1) будет асимптотически устойчивым по Ляпунову.

Глава 2 посвящена исследованию асимптотических положений покоя для дискретных систем и систем дифференциальных уравнений.

В первом параграфе главы 2 рассматривается разностная система

Относительно векторной функции Р[к,г) системы (2.1) предполагается, что она определена на множестве

а;(А: + 1) = F(^г,:r(^c))

(2.1)

¿ = 0,1,2,...; г 6 К".

(2.2)

Определение 2.1. Будем называть положение х = 0 асимптотическим положением покоя для траекторий системы (2.1), если существует некоторая £-окрестность положения х = 0 такая, что любое решение х = х(к,ко,хо) системы (2.1), начинающееся в этой окрестности при к = ко, будет обладать свойством х(А:, ко, хо) -► 0.

11 ' к—*+оо

Определение 2.2. Будем называть положение х = 0 асимптотическим положением покоя для системы (2.1) в целом, если любое решение х(к, ко, xq) системы (2.1) стремится к нулю при к —► +оо.

Пусть функция V(k,z) задана на множестве (2.2). Функции V(k,z) поставим в соответствие функцию

W(k, z) = V(k + 1, F(k, z)) - V(k, z),

которую будем называть приращением функции V(k, z) в силу системы (2.1) и обозначать AV|(2.i)-

Рассмотрим некоторое решение х{к) уравнений (2.1). Приращение функции V(k, z) на этом решении вычисляется по формуле

V(k + 1, х(к + 1)) - х{к)) = W(k, х(к)) = ДУ|(2.3)

Определение 2.3. Функция V(k, z) называется положительно определённой на множестве (2.2) , если она обладает следующими свойствами:

1. V{k, 0) = 0 при всех к = 0,1,...;

2. V(k,z) непрерывна на множестве (2.2) по z\

3. Существует непрерывная в функция Vi (г) такая, что Vi(0) = 0, Vi (г) > 0 при г ф 0 и V(k, z) ^ V\{z) на множестве (2.2).

Если функция —V(k,z) положительно определена на (2.2), то V{k,z) будем называть отрицательно определённой на (2.2). Пусть на множестве /с = 0,1,... задана ограниченная функция Х(к) .

Определение 2.4 • Функция V(k,z) называется отрицательно определённой на множестве к = 0,1,..., ||г|| ^ А(к), если

1. V(k,z) непрерывна на множестве (2.2) по г;

2. Существует отрицательно определённая в R™ функция V\(z) такая, что V(k, z) ^ Vi(z) при каждом к — 0,1,... и всех ||г|| ^ А(/с) .

Теорема 2.1. для системы (2.1) существуют три определённые

при к ^ 0 функцих1 X(k), V(k,z) и W(k,z) такие, что:

1. V(k, z) положительно определена при k ^ 0 и z 6 Rn;

2. Существует непрерывная при z е Мп функция ^(г) такая, что V2(0) = 0 и V(k, z) ^ V2(z) на множестве (2.2);

3. ДУ|(2.1) = W на множестве (2.2);

г) отрицательно определена на множестве ||г|| ^ \(к) ;

5. lim max W(fc,z)iC0;

fc-»+oop||<A(k)

6. \(k) > 0 и X(k)-—► 0;

к—*+oo

7. V(k,z)-=too,

PIHoo

mo x = 0 является для системы (2.1) асимптотическим положением покоя в целом.

В этой же главе рассматриваются системы уравнений:

x = f(t,x), (2.3)

где х — неизвестная п -мерная вектор-функция скалярного аргумента t. Относительно правой части системы (2.3) будем предполагать, что она непрерывна по всем своим аргументам и липшицева по переменной х на множестве fi = {(i, х) | х S R", t ^ 0} .

Теорема 2.2. Если для системы (2.3) существуют три непрерывные в П функции A (t), V(t,x) и W(t, х) такие, что:

1. V и W положительно определены в Г2;

2. V допускает бесконечно малый высший предел;

3. V е С1 (£2) и V"|(2.з) ^ на множестве ||ж]| ^ A(i) ;

4. А 0) >0« A (t)-► 0;

t—>-Ьоо

О

5. V=?oo,

тогда х = 0 является для системы (2.3) асилттотическим положением покоя в целом.

Рассмотрим множество Пл = {(t,x) | ||:r|| ^ h, t ^ 0} . Если функция V(t, х) положительно определена в , то существует непрерывная на Пь функция li(x), Vi(0) = 0 такая, что 0 < Vi(:r) < V(t,x) для любых точек (t,x) таких, что 0 < ||а:|| ^ h и t ^ 0.

Теорема 2.3. Если для системы (2.3) существуют три непрерывные на множестве Г?^ функции V(t,x), W(t, х) и A(t), такие что:

1. V и W положительно определены в О;,;

2. V допускает бесконечно малый высший предел;

3. V € С^П,,) и 1^|(2.з) ^ —W на множестве ||а;|| ^ A(i) ;

4. A(t) > 0 и A(i) —->-0;

t—>-Ьоо

5. max Vit.x) < min Vi(:r) при t > 0,

|M|=A(t) ||х||=Л

mo x = 0 является асилттотическилг положением покоя для траекторий системы (2.3).

Теорема 2.4. Дели для системы дифференциальных уравнений (2.3) существуют функции V(x), Z{x), для которых выполнены условия

1. V непрерывно дифференцируема и положительно определена в К" ;

2. V —* оо при ||х|| —► оо;

3. Z непрерывна и ограничена в К", неравенство Z > 0 выполнено для всех х 6 ¡Ж", кроме, быть люжет, точки х = 0; для любого а > 0 существует ¡3 > 0 такое, что Z{x) > (3, если ||х]| а;

^1(2 3)^^ на множестве Г2;

5. существуют числа 0 £ 1 <¿1 < £ 2 < £ 2 < ••■, обладающие свойствами —♦ +оо, — —► 0 при к —> +оо, кроме того неравенства Ь & — £ к ^ т, выполнены при некотором г > 0 и всех значениях к = 1, 2,... /

б1, для любого значения е > 0 существует натуральное К, для которого неравенства — %> выполнены на множествах ||:г|| ^ е, * € [] для всех к^ К;

то х = 0 является для системы (2.3) асимптотическим положением покоя в целол1.

В главе 3 понятие асимптотического положения покоя обобщается на случай произвольного ограниченного множества М. Дал метод исследования систем дифференциальных и разностных уравнений на наличие у них асимптотически инвариантного множества.

Пусть М произвольное замкнутое ограниченное множество из 1&ге. Под расстоянием от решения х(к,ко,хо) системы (2.1) до множества М будем понимать величину д(х(к, ко, то)), где

в{г) = Ы\\г - х\\.

хЕМ

Определение 3.1. Множество М назовём асимптотически инвариантным множеством системы (2.1), если существует некоторая е-окрестность множества М такая, что любое решение х = х(к,ко,хо) системы (2.1), начинающееся в этой окрестности при к = ко, будет обладать свойством

|и(*(АД-о,а;о))|1 -->0.

Определение 3.2. Множество М для траекторий системы (2.1) назовём асимптотически инвариантным в целом, если для любого решения х(к,ко,хо) системы (2.1) выполнено Н^х^Л^жо))!!->0,

11 к—>+со

Определение 3.3. Функция У {к, г) называется положительно определённой относительно множества М на множестве (2.2), если она обладает следующими свойствами:

1. У ( к, г) — 0 при е(г) = 0 для всех к = 0,1,...;

2. У{к,г) непрерывна на множестве (2.2) по г\

3. Существует непрерывная в К™ функция VI (г) такая, что У\(г) = 0 при д(г) = 0, Ух(г) > 0 при д(г) > 0 и У {к, г) ^ Ух{г) на (2.2).

Пусть на множестве к — 0,1,... задана ограниченная функция Л (/с) .

Определение 3-4 • Функция У (к, г) называется отрицательно определённой на множестве к — 0,1,2..., д(г) ^ \(к) , если

1. У(к,г) непрерывна на множестве (2.2) по г;

2. Существует отрицательно определённая в К™ функция Ц(г) такая, что У(к, г) ^ У\{г) при каждом к = 0,1, 2... и вссх д(г) > А (к).

Теорема 3.1. Если для системы (2.1) существуют три определённые при к^0 функции А (к), У(к,г) и \У(к,г) такие, что:

1. У{к, г) положительно определена относительно множества М при к ^ 0 и г в К" ;

существует непрерывная при г 6 К" функция такая, что

УЦг) — 0 при д(г) — 0 и У(к,г) < ^(г) множестве (2.2);

3. ДУ|(2.1) = \У{к,г) на множестве (2.2);

4■ Иг(к, г) отрицательно определена на множестве д(г) ^ ;

6. \{к) > 0 и А {к)-► 0;

о

7. У{к,г)=$ оо,

оо,

||*||-к»

тогда множество М является для системы (2.1) асимптотически инвариантным в целом.

Аналогичные результаты справедливы и для систем дифференциальных уравнений.

Определение 3.5. Ограниченное, замкнутое множество М из К" назовём асимптотически инвариантным множеством для траекторий системы (2.3), если существует £-окрестность множества М, £>(х) ^ £, такая, что любое решение системы (2.3), начинающееся в этой окрестности при

I — Ьо, ¿о ^ 0, будет ограничено при Ь ^ ¿о , и е(х(£, ¿о, хо))-^—-—.

Определение 3.6. Вещественная, однозначная, непрерывная функция У{Ь, х) , заданная на множестве П, называется положительно определённой относительно множества М на множестве £2, если х) = 0 при &(х) = 0, и существует непрерывная функция ^(х), заданная при х € К", такая, что Ц(х) = 0 для всех х 6 М, И(х) > 0 при д(х) > 0, и на множестве Г2 выполнено неравенство У(4,х) > ^(х).

Теорема 3.2. Если для системы (2.3) существуют три непрерывные в £2 функции А(£), У{Ь,х) и IV(г,х) такие, что:

1. V и V/ положительно определены относительно множества М в О ;

2. V —► 0 при р(х) —► 0 равномерно по t на множестве Ь > 0;

3. V 6 С!(Г2) ы V" ^ —IV на множестве д(х) > А(£) ; А(£) > 0 и А(£) —► 0 при Ь —+ +оо;

5. V —> +оо при —► +оо равномерно по Ь на множестве £ ^ 0.

то все решения системы (2.3) будут асимптотически приближаться к множеству М при t —> +00 .

В этой же главе на наличие асимптотически инвариантного множества исследуются системы дифференциальных уравнений с возмущениями. Рассматривается система дифференциальных уравнений

x = F(x). (3.1)

Предполагается, что система (3.1) имеет ограниченное минимальное множество М, то есть непустое замкнутое инвариантное множество, не содержащее собственного истинного подмножества с аналогичными свойствами, асимптотически устойчивое в целом, тогда известно, что существуют две функции V(x) и W(x) такие, что:

(Bl) V и W заданы и непрерывны при х из К™;

(В2) V = W = 0 при х 6 М;

(ВЗ) V > О при х?М;

(В4) W > а > 0 при в(х) ^ /3 > 0;

(В5) V\(31)=-W для всех х из Rn\

(Вб) V —► +оо при ¡|х|| —> +оо.

Наряду с системой (3.1) рассмотрим возмущённую систему

x = F{x) + G(t,x), (3.2)

где G(t, х) непрерывна и липшицева по переменной х при х € IRn, t ^ 0. ||G(t,x)|| ^ R(t) для х из R™, t > 0, a R{t) непрерывна при i^On

т-^ о. (з.з)

Относительно функции V дополнительно предполагается, что она является непрерывно дифференцируемой в К" , тогда можно утверждать, что

её градиент определён и непрерывен для всех хизЕ™. Функция ||W(a;)|| будет тоже определена и непрерывна для всех х из R™. Далее предполагается, что существует непрерывная функция f(V), обладающая следующими свойствами:

(CI) f(V) непрерывна и f(V) ^ 1 при V > 0;

(С2) существует h > 0 такое, что на множестве д[х) > h выполнено

||W(*)|| < /№)). (3.4)

Теорема 3.3. Если

1. Для любого (3 > 0 существует а > 0 такое, что ц^^ц ^ « при

+ос

2. оо,

о

тогда все решения системы (3.2) будут при t —> +оо асилттотически приближаться к множеству М .

Теорема 3.4. Пусть функции R{t) и /(V), удовлетворяющая (С1) и (С2), соответствуют системе (3.2) и для них выполнено:

-Ьоо

1. / R(t)dt ^ L < +оо;

о

+СО

тогда все решения систелт (3.2) будут при t —► +оо асимптотически приближаться »с множеству М .

В последнем параграфе третьей главы рассмотрена оптимизационная задача демпфирования переходных процессов.

Наряду с системой (3.1) рассматривается управляемая система

х = F(x) + G(t, х) + Ви. (3.5)

где /^(х) и (2(£,х) непрерывны и лишиицевы по компонентам вектора х на множестве £ > 0, х € и ||С(£, х)|| < Я{Ь), Д(£) непрерывна на множестве £ ^ 0, В — постоянная матрица размерности п X г, г ^ п, а управление и — вектор размерности г. Допустимыми управлениями считаются кусочно-непрерывные функции удовлетворяющие условию:

|и,-|<1, э = г. (3.6)

Исследовалась возможность построения управления оптимального по отношению к демпфированию функции V, переводящего систему из некоторого положения в пространстве в любую наперёд заданную окрестность множества М.

Известно, что при ограничениях (3.6) управления оптимальные по отношению к демпфированию функции V, будут иметь вид

*40) = j = l,...,r, (3.7)

где Ь3 это 2 — тый столбец матрицы В. Предположим, что для выбранного движения системы число точек переключения управления на любом конечном отрезке времени конечно.

Теорема 3.5. Если у матрицы В существует п линейно независимых столбцов (Ь\ Ь2,... ,Ьп) = В таких, что Д(£) ^ (||(-В )-1||)-1, тогда все движения системы (3.5) при выбранном законе управления (3.7) будут стремиться к множеству М при £ —► +оо.

Теорема 3.6. Если

1. гаг^ В — п;

2. Д(£) —> 0 при £ —► +оо;

+оо

3. / -4т = +оо, где /(V) ¡^КЦ на множестве д(х) ^ 0, функция о

/(V) непрерывна и /(V) ^ 1 для любого V ^ О,

то все движенья системы (3.5) при выбранном законе управления, будут стремиться к множеству М при t —> +00 .

В главе 4 исследована система дифференциальных уравнений на плоскости на наличие асимптотически инвариантного множества.

Рассматривается система дифференциальных уравнений:

± = (4.1)

У = g {х,у),

Относительно системы (4.1) предполагается, что она удовлетворяет всем условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши и имеет инвариариантные множества г = 0 и г = 1, где г — х2 + у2, причем множество г = 1 является устойчивым предельным циклом.

Правую часть (4.1) представляем в виде / = Фх — uiy, g = шх + Фу, где Ф(х, у) = (xf + yg)/(x2 + у2) , ш(х, у) — (xg - yf)/(x2 + у2) и делаем замену переменных х = г cos <р, у = rsin<£>, тогда (4.1) принимает вид:

Ф

(4.2)

где Ф = Ф(г, ф) — <&(rcosip,rsmip)r. В силу существования заданных инвариантных множеств Ф(0,(£>) = О, Ф(1 ,<р) = 0 и и>{\,ф) ^ 0 при всех ip 6 [0, 2п]. Далее, предполагается, что при каждом г^Ои г ^ 1 функция Ф (г, (р) равномерно отделена от нуля на множестве <р € [0,2тг] некоторой константой, зависящей от г, причем, Ф < 0 при г > 1 и Ф > О при 0 < г < 1.

Наряду с системой (4.1) рассматривается возмущённая система

X = fix,у) + Ri(t), У = g{x,y) + R2{t), в которой Ri и 7?2 непрерывны на множестве t ^ 0, и выполнено

(4.3)

R(t) (4-4)

В новых координатах (4.3) примет вид:

г = Ф(г, ip) + cos ípRi (t) + sin (pR2(t), ^

гф = 7-W + COS С^Л2(0 — sin tpRl(t). t

Теорема 4.1. J£gau /R(r)dT N = const при всех i ^ О, тогда все о

решения системы (4.3) будут при t —> +оо асимптотически приближаться к множеству г < 1.

Теорема 4.2. Если Ф(г, ¡р) равномерно отделена от нуля на лтожестве г ^ е, где е > 1, тогда все решения системы (4.5) будут при t —> +оо асимптотически приближаться к множеству т ^ 1.

Во втором параграфе этой главы для той же системы рассмотрена оптимизационная задача демпфирования переходных процессов. Наряду с системой (4.1) рассматривается управляемая система:

± = f(x,y)+R1(t) + b1u, ^

У = У) + Ü2 (*) + Ь2и,

{

где bi и ¿>2 постоянные строчки размерности г, и - вектор управлений размерности г, функции Ri(t) и пг(^) определены и непрерывны на множестве í ^ 0. В полярных координатах х = r cos <р, у = г sin ip, система (4.6) будет выглядеть следующим образом:

г = Ф(г, ip) + i?i(í) cos (р + i?2(í) sin ip + Ь\и cos <p + ¿>2W sin ip, ^ гф = гш + Riify cos ip — R\ (í) sin + 62" eos '-p — bi'u sin ip.

{

Решается вопрос возможности построения управления из класса кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих условию (3.6), которое являлось бы оптимальным в смысле демпфирования функции V(r) = и переводило бы систему из произвольной точки плоскости в любую наперёд заданную окрестность множества г ^ 1. Предполагается, что на любом конечном отрезке времени количество точек переключения управления конечно.

Тсорсма 4.3. Если у матрицы В найдутся такие линейно независимые столбцы Ь1 и Ь3, что:

ж^а^иг1,

где В = (Ь',№), тогда любое движение системы (4.6), стартующее из точка, находящейся вне произвольной 6— окрестности множества г ^ 1, в произвольный момент времени îq ^ 0, при выбранном законе управления будет попадать в эту 6— окрестность множества г ^ 1 за вре.ия t ^ ta + ^(го — (1 + S)), где m = — шах Ф(т-) 7 го = v^o+1/o •

Далее предполагается, что Ф(г, <р) удовлетворяет следующим условиям: Ф(1,<£>) = 0 при всех ip 6 [0, 27г] , существует величина А > 0 такая, что Ф(г, ф) ^ Л на множестве г ^ 1 и Ф(г, <р) ^ — Д на множестве г ^ 1.

Теорема 4.4. Если у матрицы В найдутся такие линейно независимые столбцы Ь1 и ti>, что:

1. А <(||Б_1||)-1) гдеВ = (Ь\Ы);

2. R(t) —► 0 при t -* +оо,

то движения системы (4.6), начинающиеся вне произвольной <5 - окрестности множества г = 1, при выбранном законе управления будут попадать в эту 6— окрестность множества г = 1 за конечное время.

Время перехода можно оценить так:

t < T + -(т-0 - 1 -Ô + (N- а)(Т - i0)) при r0 > 1,

а

t<;T + -(l-6-ro+(N-a)(T-tQ)) при 0<г0<1, а

где a = (||# 1||)~1 — А, N = max R(t), а момент времени Т выбирается из условия R(t) при t ^ Т.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Тарасова (Купцова) С.Е. Об асимптотическом положении покоя.//Процессы управления и устойчивость: Труды XXIX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ. - СПб: ПИИ Химии СПбГУ, 1998, с.100-105.

Тарасова (Купцова) С.Е. Поведение траекторий на плоскости в окрестности предельного цикла.//Процессы управления и устойчивость: Труды XXXII научной конференции студентов и аспирантов факультета. ПМ-ПУ. - СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001, с.116-118.

Купцова С.Е. О возмущении траекторий автономных систем на плоскости./ /Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI межвузовской научной конференции студентов и аспирантов./Под ред. II.В. Смирнова, В.Н. Старкова. — СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005, с.69-72.

Купцова С.Е. Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений,//Труды средневолжско-го математического общества. 2006. Т.8. №1. С.235-243.

Купцова С.Е. К вопросу об устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. Труды III Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара,. 29-31 мая 2006 г., Часть 3. С. 140-142.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 03.07.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-г 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 330/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

Глава 1. Об асимптотической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Глава 2. Асимптотические положения покоя.

§2.1. Асимптотические положения покоя в дискретных системах.

§2.2. Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений.

Глава 3. Асимптотически инвариантные множества.

§3.1. Асимптотически инвариантные множества в дискретных системах.

§3.2. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений.

§3.3. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями

§3.4. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов.

Глава 4. О возмущении траекторий автономных систем на плоскости.

§4.1. О возмущении траекторий автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности устойчивого предельного цикла.

§4.2. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов на плоскости.

Описание различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, осуществляется во многих случаях с помощью нелинейных систем дифференциальных уравнений или, в конце концов, приводится к таким системам. Основная задача прикладной математики состоит в создании наиболее адекватного прогноза поведения системы, описывающей ту или иную физическую модель. Однако, ввиду того, что начальные условия и некоторые параметры системы не могут быть известны абсолютно точно, появляется необходимость исследования не только конкретного движения, но и целого семейства движений, окружающих выбранное. Так появилась проблема, связанная с одним из важнейших свойств систем дифференциальных уравнений, а именно, зависимость её решений от начальных данных и параметров.

Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений х = f(t,x,y) от начальных данных (to, жо) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [11]) и Бендиксоном [10]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [13]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы определено на всей полуоси t ^ О, сформулировать для него понятия устойчивости и асимптотической устойчивости [2]. Самим Ляпуновым в этой работе было предложено несколько различных способов решения данной проблемы. В частности, один из методов, который называется вторым методом Ляпунова опирается на понятие положительно определённых функций, которые в некотором смысле определяют "меру" отклонения возмущённого движения системы от заданного невозмущённого движения той же системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости были обращены последователями этого направления области дифференциальных уравнений, в частности, Н.Н.Красовским [16], К.П. Персидским [38], И.Г. Малкиным [23], В. И. Зубовым [5], и, таким образом, предложенный А. М. Ляпуновым подход является критериальным. В [2] была доказана и основная качественная теорема теории устойчивости движений — теорема об исследовании устойчивости по линейному приближению. С помощью этого метода, Т. Иосидзавой [3] была изучена ограниченность решений, а распространение этих понятий на множества были произведены, в том числе, В.И. Зубовым [4], Т. Иосидзавой [3], Бхатиа и Сеге [9]. Вообще говоря, аналитическим исследованием устойчивости (при конечных и даже бесконечных областях притяжения) вторым методом Ляпунова посвящена обширная литература, в частности монографии [14, 15, 6, 16, 17]. Следует отметить, что многочисленные исследования на тему устойчивости были посвящены изучению вопроса о сохранении глобальных свойств систем дифференциальных уравнений при воздействии на них различного рода возмущений. В математической постановке это означает, что возмущаются начальные условия и сами уравнения, описывающие движение. Впервые влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения механических систем исследовано Н. Г. Четаевым [18]. В дальнейшем задача устойчивости при постоянно действующих возмущениях исследовалась многими советскими авторами [19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27]. Из результатов, полученных зарубежными авторами в этом направлении, отметим работы [17, 29, 30, 31, 32].

Необходимость проведения исследования такого типа задач возникает из того, что при описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, не возможно определить все задействованные силы. К тому же на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее практически невозможно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. В этом случае исследователи стараются рассмотреть основные силы, действующие на систему, пренебрегая "малыми". Поэтому, получив описание некоторого физического процесса в дифференциальных уравнениях, которые, вообще говоря, тоже являются приближёнными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, то есть при переходе от первоначальной системы к возмущённой.

Ответ на данный вопрос играет огромную роль при проектировании и построении систем автоматического регулирования, так как гарантирует сохранение качественных свойств всех траекторий, находящихся в некоторой окрестности исследуемых движений, при неограниченном возрастании времени. В предлагаемом диссертационном исследовании нас будет интересовать вопрос, сохранит ли система то или иное свойство решений, связанное с устойчивостью, если на систему оказывает воздействие некая внешняя сила, исчезающая при неограниченном возрастании времени. Причём отличие этой силы от постоянно действующих возмущений заключается в том, что на начальном этапе она может принимать достаточно большие по модулю значения.

Исходя из разнообразия качественных свойств нелинейных систем, описывающих математические модели реальных явлений, некоторые авторы вводили различные модификации понятия устойчивости движения, отличающиеся от классического определения устойчивости по Ляпунову , например, в работе [1] изучается предельное поведение движений при неограниченном возрастании времени в том случае, когда предельное многообразие не состоит из траекторий системы дифференциальных уравнений, движения которой изучаются. Внимание исследователей к изучению данной проблемы привлёк В.В. Немыцкий [33], указывая на острую необходимость изучения такого рода движений. В широком классе случаев такое поведение движений сводится к появлению асимптотических положений покоя или расчётно устойчивых движений [34]. Здесь уместно отметить, что понятие асимптотического положения покоя было впервые введено и рассмотрено В.И. Зубовым, который и поставил перед автором данной работы задачу дальнейшего изучения этой проблемы. Его работы [1, 7, 8] и стали отправным пунктом для написания данной диссертационной работы.

В первом параграфе главы 2 введено и исследовано понятие асимптотического положения покоя для систем разностных уравнений.

Во втором параграфе дан метод исследования систем дифференциальных уравнений на наличие асимптотического положения покоя. Метод основан на построении функций типа Ляпунова и некоторой вспомогательной функции Л. В итоге, предложенную в работе В.И. Зубова [1] теорему удалось модифицировать на случай, когда производную функции Ляпунова, в силу рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, невозможно представить в виде суммы положительно определённой и исчезающей при t —+00 функций. Также были получены достаточные условия наличия асимптотического положения покоя для траекторий системы дифференциальных уравнений в целом.

Здесь также можно отметить, что колебания в различных механических, электрических и радиотехнических системах изучаются в конечном счёте с помощью математического аппарата, связанного с нелинейными дифференциальными и разностными уравнениями. Развитие колебаний как в управляемых, так и в неуправляемых системах во многом определяется их стационарными режимами и поведением этих систем в окрестности упомянутых стационарных режимов. Данные колебания рассматриваются на инвариантных множествах и могут отвечать стационарным точкам, периодическим или почти периодическим решениям систем дифференциальных уравнений. Поэтому в этой работе основное внимание уделяется изучению вопроса о поведении интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности периодических орбит и инвариантных множеств.

В первом параграфе третьей главы можно найти обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных инвариантных множеств систем разностных уравнений.

Во втором параграфе третьей главы произведено обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных траекторий и предельных инвариантных множеств систем дифференциальных уравнений.

Третий параграф этой главы посвящён исследованию асимптотических автоколебаний (или асимптотически инвариантных множеств) в системах дифференциальных уравнений с возмущениями. Напомним, что периодическим автоколебанием системы дифференциальных уравнений х = F(x) называется её периодическое решение, орбитально асимптотически устойчивое по Ляпунову.

А. А. Андронов поставил проблему изучения поведения возмущённой системы [35] х = F(x) + G(t, x) при различных возможных возмущениях G(t, х), а именно, сохраняется ли автоколебательный характер в возмущённой системе, иначе говоря, происходит ли затягивание движений в процесс автоколебания. Это усложняется тем, что инвариантное для невозмущённой системы множество М уже не будет в общем случае инвариантным множеством для возмущённой системы. Решением данной задачи занимался В. И. Зубов. В его работах [1, 6], были получены достаточные условия сохранения асимптотических автоколебаний у возмущённой системы, однако проверка ограниченности решений, вынесенная в условия теорем будет превращаться в целое дополнительное исследование, либо будет накладывать жёсткие ограничения на правые части системы. В данном разделе работы автору удалось сформулировать ряд утверждений, позволяющих обойти данную сложность.

В параграфе 3.4 рассматривается задача перевода траекторий системы дифференциальных уравнений в любую наперёд заданную окрестность некоторого множества с помощью управления оптимального в смысле демпфиривания функции, которая задаёт расстояние от текущей точки на траектории, соответствующей некоторому переходному процессу, до интересующего нас множества.

В первом параграфе четвёртой главе, на основе методов развитых в предыдущих главах, проведено исследование системы двух дифференциальных уравнений на плоскости на наличие асимптотически инвариантного множества. При условии того, что невозмущённая система имела асимптотически устойчивый предельный цикл, получены условия на правые части системы, при которых у возмущённой системы появляется асимптотически инвариантное множество, а возмущающая сила, исчезающая с течением времени, может принимать на начальном этапе достаточно большие по модулю значения.

В параграфе 4.2 четвёртой главы рассматривается ещё одна оптимизационная задача демпфирования переходных процессов. Для системы двух дифференциальных уравнений на плоскости имеющих устойчивый предельный цикл надо построить управление, оптимальное в смысле демпфирования функции V, которое бы при наличии возмущений в системе, сохраняло автоколебательный режим. Получены оценки на возмущения, и на время перехода изображающей точки движения в произвольную окрестность предельного цикла.

На данный момент математический аппарат для решения задач, связанных с исследованием на асимптотическую устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, развит достаточно хорошо, и несмотря на то, что полученные результаты применимы к широкому классу уравнений, в общем случае проблема требует дальнейшего исследования. В частности, поиск функций Ляпунова представляет собой довольно сложную задачу, причём универсальных методов построения этих функций не существует, поэтому целесообразно было бы попытаться ослабить условие знакоопределённости производной функции Ляпунова в силу системы. Первыми в этом направлении можно считать работы [14, 16] Н.Н. Красовского и Е.А. Бар-башина, в которых был получен эффективный критерий асимптотической устойчивости, в предположении, что правые части уравнений возмущённого движения автономны или периодически зависят от времени. Позднее, в [12] была показана справедливость теоремы Барбашина-Красовского для почти периодических систем. В данной диссертационной работе, в главе 1 предложен следующий способ исследования асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений. Выбираем достаточно простую положительно определённую функцию Ляпунова V и строим вспомогательную функцию A(t), которая ограничивает область отрицательности производной функции V в силу системы. А по виду функции A(t) мы делаем заключение о поведении решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.

При написании работы автор пользовался следующими обозначениями: * — операция транспонирования, ||а; || = \Jx{ + х\ + . + — евклидова норма вектора, знак ■ по тексту обозначает конец доказательства.

При написании работы автор придерживался сквозной нумерации формул, определений и теорем внутри каждой главы. max ||Лж|| — матричная норма, МИ

W = (ё? Ю* ~ вект°Р градиента функции V х||=1

Заключение.

В данной диссертационной работе основное внимание уделено развитию идей второго метода Ляпунова. Дан метод исследования систем дифференциальных и разностных уравнений на наличие у них асимптотического положения покоя или асимптотически инвариантного множества. Получены модификации теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения системы нелинейных дифференциальных уравнений для случая, когда производная функции Ляпунова меняет знак. Здесь хотелось бы отметить, что основная трудность заключается в доказательстве продолжимости и ограниченности решений. Достаточно сильные ограничения на функции V, Z, а так же на вид области положительности производной функции V в силу системы, наложены именно из-за этого. Поэтому, если из каких-то соображений известно, что решения ограничены или хотя бы продолжимы при t ^ to, то условия теорем 1.1, 1.2, 3.4, 3.5 и 2.4 можно существенно ослабить.

В дальнейших исследованиях, метод, предложенный для анализа асимптотической устойчивости систем дифференциальных и разностных уравнений, или исследования систем на предмет наличия у них асимптотического положения покоя было бы интересно распространить на случай, когда мера области положительности производной функции V в силу системы не стремится к нулю при t ч- +оо, и даже на случай, когда к нулю стремится мера области отрицательности производной функции V в силу системы.

Исследованные в диссертационной работе системы могут быть также использованы в следующих задачах теории управления:

1. Пусть задана система х = f(x,y), y = g(t,y,u), относительно которой известно, что g(t, 0,0) = 0, а и является стабилизирующим управлением для второй подсистемы. Будет ли оно доставлять первой подсистеме свойство x(t,to,xo]yo) М при t +00, где М — замкнутое инвариантное множество системы х = f(x, 0) ?

2. Пусть задана система х = f(x,u) + h(t,x,y), y = g{t,y),

Предположим, что про вторую часть системы известно только то, что вектор-функция y(t) -> 0 при t +оо, то есть мы можем считать, что вторая часть системы не только не управляема, но и не наблюдаема. Требуется доставить системе свойство x(t) —> 0 при t +оо.

1. Зубов В.И. Колебания и волны. - Л.: Изд. ЛГУ, 1989.

2. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: ГИТТЛ, 1950. - 472 с.

3. Yoshizawa Т. Stability Theory by Liapunov's Second Metod. The Math. Soc. of Japan, Tokio, 1996.

4. Зубов В.И. Устойчивость движения. М., 1973.

5. Зубов В.И. Лекции но теории унравления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

6. Зубов В.И. Методы A.M. Лянунова и их нрименение. — Л. Издатель- ство ЛГУ, 1957.

7. Зубов В.И. Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 312, М. 806- 808.

8. Зубов В.И. Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 310, №2. 288- 290.

9. Bhatia N. Р., Szego Р. Dynamical systems: stability theory and appli- cations // In. Lecture Notes in Mathematics, 35, Springer Verlag. 1967.

10. Bendixson I. Demonstration de l'existence de l'integrale d'une equation aux derivees partielles lineaire //Bull. Soc. Math. France. — 1896. — JV^24, Vol.3. - P. 220-225.- 9 7 -

11. Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces. Vol. 5. — Paris: HfGauthier-Villars, 1896. - 363 p.

12. Савченко А.Я., Игнатьев A.O. Некоторые задачи устойчивости иеав- тоиомных динамических систем. Киев: Наукова думка, 1989. 208с.

13. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. — М.: Высш. шк. - 1988. - 712 с.

14. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970.

15. Демидович Б.Н. Лекции но математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.

16. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.

17. Ла-Салль Ж., Лефшец Исследование устойчивости нрямым мето- дом Лянунова. — М.: ИЛ, 1964.

18. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы но аналитической меха- нике. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

19. Артемьев Н.А. Осуществимые движения // Изв. АН СССР. Сер. ма- тематика. - 1939.- №3. - 351-367.

20. Горшин СИ. Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями. // Изв. АН КазССР. Сер. математика и механика.—1948.- т.- 46-73.

21. Дубошин Г.Н. К вонросу об устойчивости движения относительно но- стоянно действующих возмущений. // Тр. Государ, астрон. ин-та им.Штернберга. — М.: Изд-во Моск. ун-та. — 1940. —14, №1. — 153-164.- 9 8 -

22. Малкин И,Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмуще- ниях // Прикл. математика и механика. — 1944. — 8, J03. — 241-245,

23. Малкин И.Г. К вопросу об обращении теоремы Лянунова об асимнто- тической устойчивости // ПММ., Т.18, вып.2. — 1954.

24. Дёмин В.Г. Движение искусственного снутника в нецентральном поле тяготения. — М.: Наука, 1968. — 352 с.

25. Ворович И.И. Об устойчивости движения при случайных возмущени- ях // Изв. АН СССР. Сер. математика. - 1956. - 20, М. - 17-32.

26. Тихонов А.А. К задаче об устойчивости движения нри постоянно дей- ствующих возмущениях // Вестник Ленингр. ун-та. — 1969. — J\*^ 19. —С. 116-122.

27. Ханаев М.М. Усреднение в теории устойчивости: Исследование резо- нансных многочастотных систем. — М. Наука, 1986. — 192 с.

28. Чезари Л. Асимптотическое новедение и устойчиость решений обык- новенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1964. — 477 с.

29. Руш Н., Абетс Н., Лалуа М. Нрямой метод Ляпунова в теории устой- чивости. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

30. Lochar G. Sur le comportement d'um mouvement asymptotiquement sta- ble souniis a des perturbatous aleatories // C. r. Acad. sci. — 1964. — 258,N 7. - P. 1999-2002.

31. Lochar G. Sur les perturbations repidement oscillantes d'un systeme dy- namique a stabilite asymptotique // Ibid. — N 12. — P. 3172-3175.

32. Strauss A., Yorke J.A. Perturbation theorem for ordinary differential equa- tions // J. Dif. Equat. - 1967. - N 3. - P. 15-30.- 9 9 -

33. Немыцкий В,В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциаль- ных уравнений, — М., Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. 550 с.

34. Зубов С В . Стабилизация динамических систем: Учебное пособие. СПб., 1993. 100 с.

35. Андронов А.А. Собрание трудов. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. — 538 с.

36. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамиче- ских систем: — СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 2004. — 186 с.

37. Александров А.Ю. Жабко А.П. Устойчивость разностных систем: Учеб. пособие. - СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003. - 112 с.

38. Персидский К.П. Сб устойчивости решений дифференциальных урав- нений: ИАН Казахской ССР 97, вып.4. - 1950.

39. Тарасова Е, Об асимптотическом положении покоя. // Труды XXIX научной конференции факультета ПМ-ПУ СПбГУ "Процессы унрав-ления и устойчивость". - СПб: НИИ Химии СПбГУ, 1998, с. 100-105.

40. Тарасова Е. Поведение траекторий на плоскости в окрестности пре- дельного цикла. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ:// Труды ХХХП научной конференции студентов и аспирантов фа-культета ПМ-ПУ. - СПб: ООП НИИ Химии СПбГУ, 2001, с.116-118.