Возмущения инвариантных множеств двумерных периодических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

ВОЗМУЩЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

БЕГУН Никита Андреевич

Санкт-Петербург

2013

1 б т М13

005058645

005058645

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: члеп-корреспопдеит РАН, доктор физико-математических наук, профессор Плисс Виктор Александрович.

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических паук, профессор Леонов Геннадий Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный университет);

кандидат физико-математических наук, доцент Иванов Борис Филиппович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров).

Ведущая организация: Санкт-Петербургекнй государственный электротехнический университет "ЛЭТИ".

Защита состоится " 16" мая 2013 г. в 14 час. 00 мин. на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Пстсрбургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28. Математико-механический факультет СПбГУ. Ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 12" апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, доктор физико-математических наук 15 Чурин

Общая характеристика работы

Актуальность темы .

Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Интерес к ним возник еще в начале второй половины XX века. '

Основная задача подобных исследований — отыскание условий, достаточных для того, чтобы в окрестности слабо гиперболического инвариантного множества невозмущенной системы существовало слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы.

Важный вклад в изучение этих вопросов внесли В. А. Плисс, G. R. Sell, S. Smale, В. И. Арнольд, N. Fenichel, R. J. Sacker, M.'W. Hirsch, С. С. Pugh, М. Shub.

В большинстве работ, посвященных данной проблематике, делалось предположение о том, что устойчивое и нейтральное линейные подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица.'

В частности, это предположение делалось в работах В. А. Плисса и G. R, Sell'a (1990,1997), которые являются главными корнями данной диссертации.

В то же время известно, что подобное ограничение представляется весьма существенным.

Таким образом, сама собой назрела необходимость рассмотрения неЛипшицева случая.

Цель работы

Целью работы является формулировка условий, достаточных для того, чтобы в окрестности слабо гиперболического инвариантного множества невозмущенной системы существовало слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы.

Методы исследований

В работе применяются современные методы исследования слабо гиперболических инвариантных множеств. Однако, эти методы существенным образом видоизменяются. Это происходит в связи с тем, что на устойчивое и нейтральное линейные подпространства соответствующих линеаризованных систем не накладывается условие Липшица.

Основные результаты работы

Сформулированы условия, достаточные для того, чтобы в окрестности слабо гиперболического инвариантного множества невозмущенной системы существовало слабо гиперболическое инвариантное множество возмущенной системы.

Научная новизна

Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая и практическая ценность состоит в том, что с помощью полученных результатов можно делать вывод о наличии слабо гиперболического инвариантного множества возмущенной системы в окрестности слабо гиперболического инвариантного множества невозмущенной системы даже в том случае, когда на устойчивое и нейтральное линейные подпространства соответствующих линеаризованных систем не накладывается условие Липшица.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на заседаниях Городского семинара по дифференциальным уравнениям (г. Санкт-Петербург) и на семинаре по динамическим системам во Free University of Berlin (г.Берлин, Германия).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3,4]. Работа [3] опубликована в издании, входящем в перечень рецензируемых научных журналов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 19 наименований. Объем диссертации — 70 страниц. Работа содержит 14 рисунков.

Содержание диссертации

Во введении приводится краткий исторический обзор исследования слабо гиперболических инвариантных множеств. Указываются основные литературные источники по теме работы.

В первой главе рассматриваются системы дифференциальных уравнений

x = X{t,x) (1)

и

y = X(t,y)+Y(t,y), (2)

где t G R, х, у G R2, а X, Y — это С^-функции, действующие из R3 в R2.

Предполагается, что существует число ш > 0 такое, что для любых х,у Е R2, i е I выполнено

X(t + ш,х) = X(t, х), Y(t + ш,у)= Y(t, у).

Далее рассматривается линейная система

± = dX(t,x(t,t0,x0)) х

дх ' ^

Обозначим через <3>(i,£0)x0), Mo G R, x0 G R2 фундаментальную матрицу линейной системы (3), удовлетворяющую условию Ф(г0,£о)Яо) = где I — тождественный оператор на R2.

Рассмотрим t0 G R, х0 G R2. Будем говорить, что система (3) слабо гиперболична на интервале J С R с

константами а, А1 и Л2, если Л2 < А1, Ах > 0, а > 1 и существуют дополняющие друг друга линейные подпространства о) и 0,х0), сНт [/г(£, ¿0) ^о) = 1, г = 5, гг, такие, что

Ф(£, ¿0, ¿о, ж0) = и1 (г, ¿0, Ж0), г = 5, П,

для любого £ € 3 и, если х 6 £/в(т, ^,х0), то

¿о, £о)Ф-1(т> ¿о, х0)х\ < а\х\е-х^~Т\ для £ > т, £, г е и если х е £/п(т, ¿о, £о)> то

< а|ж|е-А2(4-т),

для £ < т, £, т £ </.

Заметим, что в силу периодичности систем (1) и (2), мы можем провести факторизацию £ ~ £ + кш, £ 6 К, /г 6 и в дальнейшем рассматривать нашу систему в пространстве Н = 5 х К2, где <5 — это окружность длины и.

Множество }¥ С Е называется инвариантным множеством системы (1), если из того, что (£о,£о) € IV, следует, что (£, ж(£, £0, £о)) € И7, £ € М.

Предположим, что существует К а "Б. — компактное инвариантное множество системы (1). Введем обозначение

Кго = {х е М2 : (¿0, X) е К).

Множество К будем называть слабо гиперболическим, если выполнены следующие два условия:

(1) линейная система (3) слабо гиперболична на R с константами а, Ai и Л2 для любой точки (íq, Xq) £ К;

(2) существует г > 0 такое, что для любой точки (to,xQ) £ К, существует 1-мерный диск

D(t0,x0) С KtQ

радиуса г, такой, что

(i) xq - центральная точка D(to,Xo)',

(ii) если х £ D(t0,x0), то в точке (tQ,x) линейное подпространство Un(to,x) касается диска D(t0,x0);

(iii) множество

D(to, Хо) = {(í, x) : \t - í0| < Г, x £ D(t, x(t, ¿o, ж0))} является локально инвариантным;

(iv) если Di(t0,x0) и D2(to,Xo) — это два диска в точке

XS /Ч

(¿o, Xq) со свойствами (i),(ii),(iii), то Di(t0, х0) = D2(t0, х0). Для (to,Xo) £ К мы определим множества

Ti(£0, х0), T2(t0, х0), Т3(¿0, ж0),..., T(í0, х0)

следующим образом:

Ti(í0,Xo)= U D(t,x),

(t,x)eD(t0,x 0)

T¿+i(¿0,2:0) = U D(t,x) для i > 1,

(í,x)eTi(ío,xo)

и

oo

T(í0>a;o) = IjT^ío^o).

i=1

Множество Y (¿o, ж0) будем называть листом, проходящим через точку (t0,x0). В том случае, когда нам не важна точка (t0, ж0), мы будем обозначать лист просто Т.

Теорема. Пусть К — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1). Тогда для любого е > 0 существует такое S > 0, что если

IMIci < I

а Т — это лист, проходящий через (tf, х') G К, то существует непрерывное отображение

h : Т —► S,

удовлетворяющее условиям

(0) если h(t0,x0) = (¿i,yi), то ¿i = í0;

(1) \h(t,x)-{t,x)\<e;

(2) Ty = h(T) — это инвариантное множество системы (2);

(3) линейная система

dy = d{X{t, y{t, t0, у0)) + Y{t, y{t, ¿o, y0))) dt ду УК)

слабо гиперболична для любой точки (tQ,y0) G Тг;

(4) нейтральное подпространство í7y(¿o,Z/o) системы (4) касается множества h(t0, D(t0,x0)) в точке (¿о>Уо)> гДе (t0,y0) = h(t0,x0)-

(5) множество

KY= U Т1

íY

тек

является замкнутым.

Во второй главе доказываются утверждения (1) и (2) основной теоремы. Для этого проводится построение липшицевых координат в окрестности листа Т.

В третьей главе доказываются утверждения (3) и (4) основной теоремы.

В четвертой главе доказывается утверждение (5) основной теоремы.

Список литературы

1. V. A. Pliss and G. R. Sell. Perturbations of attractors of differential equations //J. Differential Equations. 1991. Vol. 92. P. 100-124.

2. V. A. Pliss and G. R. Sell. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets. //J. Differential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1-51.

Публикации автора по теме диссертации:

3. Бегун Н. А. Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. 2012. Вып. 4. С. 3-12.

4. Бегун Н. А. О замкнутости листового инвариантного множества возмущенной системы // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2013. №1. С. 80-88.

I

Подписано к печати 12.04.12. Формат 60x84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 5765._

Отпечатано п Отдеце оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201356883 БЕГУН Никита Андреевич

ВОЗМУЩЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии наук, профессор ПЛИСС Виктор Александрович

Санкт-Петербург 2013

СОДЕРЖАНИЕ

л

Введение ...........................................................3

Глава 1. Постановка задачи .......................................7

Глава 2. Существование отображения Н ..........................14

Глава 3. Слабая гиперболичность Ту ............................52

Глава 4. Замкнутость К¥ ........................................57

Заключение .......................................................68

Список литературы ...............................................69

Ь

Введение

Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Интерес к ним возник еще во второй половине XX века, но и по сей день эти проблемы не потеряли своей актуальности — каждая новая публикация попадает под пристальное внимание со стороны специалистов.

Имеется ряд, ставших уже классическими, результатов в этой области (см. [1], [2), [9], [11]).

Говоря о генеалогии настоящей работы, в первую очередь стоит упомянуть статьи [1] и [2].

Приведем основные результаты, изложенные в них. В статье [1] изучается уравнение

х = Х(х),

где х € Кп, а X — это С^-функция, действующая из Еп вМ".

Вводятся понятия слабо гиперболического инвариантного множества К и листа Т, проходящего через точку х £ К.

Кроме того предполагается, что для любой точки хо £ К нейтральное и устойчивое подпространства линеаризованной системы

. дХ{х^,х0))

х =---X

ох

удовлетворяют условию Липшица.

Доказывается, что у системы

у = Х{у) + У(у),

где у £ 1п, а У — это С^-функция, действующая из Мп в Еп, такая что

ПЬ <

имеется сколь угодно близкое (при должном выборе 5) к К слабо гиперболическое инвариантное множество Ку.

Также доказывается существование гомеоморфизма

Н : К Кп

такого, что

Ку = ЦК).

В работе [2], опубликованной теми же авторами спустя 7 лет, реализовано обобщение вышеприведенного результата. В частности, наравне с устойчивым и нейтральным, рассматривается неустойчивое подпространство линеаризованной системы.

Отметим, что в обеих этих статьях делалось предположение о том, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. В то же время понятно, что подобное ограничение является весьма существенным.

Таким образом, сама собой назрела необходимость рассмотрения нелипшицева случая.

В настоящей работе изучается проблема устойчивости инвариант-

ных множеств двумерных периодических систем, не обладающих вышеупомянутым свойством.

Рассматривается система

х = ж),

где I 6 М. з; Е I2, а I - это ^-периодическая по первой переменной С^-функция, действующая из М3 вК2.

В первой главе даны ключевые определения, сформулирован основной результат работы и показаны его структурные отличия от результатов статей [1] и [2].

Во второй главе проводится построение липшицевых координат в окрестности листа Т (заметим, что в силу отсутствия липшицевой зависимости нейтральных подпространств от точки х, мы не можем брать в качестве координат нормали).

После этого проводится построение непрерывного отображения

¡г : Т —»• Е,

где Н = 5 х М2. 5 - окружность длины и>, такого, что Ту = Н(Т) — это инвариантное множество возмущенной системы

где £ € К, у е М2, а У — это (¿-периодическая по первой переменной ' С^-функция, действующая из М3 в К2, такая что

\\У\\с> < <*■

5

Показывается, что при должном выборе 8 множества Т и Ту являются сколь угодно близкими.

Заметим, что число 5 не зависит от выбора листа Т. В третьей главе доказывается, что при достаточно малом 6, множество является слабо гиперболическим инвариантным множеством. В четвертой главе показано, что множество

КУ = у ТУ

Тек

является замкнутым.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [18,19].

Глава 1. Постановка задачи

В этой работе мы исследуем системы дифференциальных уравнений

х = х{г,х) (1.1)

и

3/ = Х(*,у) + У(*,2/), (1.2)

где < 6 1, £ I2. аХ,У - это С^-функции, действующие из Ж3 вЁ2. Предположим, что

\\¥\\Сг<6 (1.3)

для некоего числа 5 > 0.

Систему (1.1) в дальнейшем будем называть невозмущенной системой, систему (1.2) — возмущенной.

Предполагается, что существует число со > 0 такое, что для любых х,у Е М2, £ Е К выполнено

х(г + и,х) = Х{ь,х),

У(* + и;,у) = У(*,з/).

Другими словами, системы (1.1) и (1.2) предполагаются периодическими по £ с периодом и.

Обозначим через ¿о, £о) максимально продолженное решение системы (1.1), удовлетворяющее условию

ж (¿о, ¿о, х0) = х0,

7

где t1to е К, Хо е к2.

Аналогично, обозначим через «/(¿,¿0) Уо) максимально продолженное решение системы (1.2) удовлетворяющее условию

у(*о^о,Уо) = Уо,

гдеМо^К, у0£Ш2

Заметим, что в силу периодичности систем (1.1) и (1.2), мы можем провести факторизацию

+ геш, к^ъ,

и в дальнейшем рассматривать нашу систему в пространстве 5 = 5 х М2 (так называемое цилиндрическое пространство), где 5 — это окружность длины си.

Обозначим через Ф(£, ¿о^о)) ¿о £ жо 6 Ж2 фундаментальную матрицу линейной системы

удовлетворяющую условию

где / — тождественный оператор на К2.

Рассмотрим ¿о € К, х$ £ К2. Будем говорить, что система (1.4) слабо гиперболична на интервале 7 С М с константами а. Ах и Аг, если Аг < Ах, Ах > 0, а > 1 и существуют дополняющие друг друга линейные

подпространства [/п(£, ¿о, ^о) и £()), ¿о, жо) = 1,

сНт , ¿о, жо) = 1, такие, что

= и3 {г, г0,ж0),

¿о, ¿о, а?о) = £/п(Мо,а;о),

для любого £ е 7 и если ж £ £/в(т, ¿о, ^о), то

|Ф(*, ¿о, х0)Ф~1(т, £0, я0)ж| < а|ж|е"А1^-т), (1.5)

для £ > г, г е 7, и если ж € ип(т, ¿о, £о)> то

5Со)Ф_1(т, < а\х\е~х^~т\ (1.6)

для £ < г, 6 ^

Линейное подпространство [/6'(£о,£о) — ^(¿сь ¿сь ^о) называется устойчивым линейным подпространством, линейное подпространство [/п(£= о^сь^о) — нейтральным линейным подпространством.

Заметим, что подпространства [/5(£о,жо) и £/"(£о,£о) являются прямыми.

Множество С Н называется инвариантным множеством системы (1.1), если из того, что (¿о,^о) € следует, что ¿о? ^о)) €

г € Е.

Предположим, что существует К С Н — компактное инвариантное множество системы (1.1). Введем обозначение

Множество К будем называть слабо гиперболическим, если выполнены следующие два условия:

(1) линейная система (1.4) слабо гиперболична на Е с константами а, Ах и Л2 для любой точки (¿о,жо) ^ К]

(2) существует г > 0 такое, что для любой точки (£о>£о) £ К существует 1-мерный диск

б(*0,ж0) С

радиуса г, такой, что

(I) £о — центральная точка _0(£о,£о);

(II) если х £ т0 в точке линейное подпространство [/п(£о,я) касается диска .О(£о,£о);

(III) множество

£>(¿0, ж0) = {(¿, х) \\Ь- ¿0| <г,х е £>(£, ж(£, ¿о, жо))}

является локально инвариантным.

Заметим, что диск 2}(£о,£о) ~ это дуга в

К2.

В этой работе мы не предполагаем липшицеву зависимость 11п^о,хо) от хо, теряя, очевидно, при этом свойство единственности дисков.

Вместо липшицевости мы потребуем выполнения следующего условия:

^Ч УЧ

(гу) если £>1(^0,^0) и /^2(^0? жо) ~ эт0 Два диска в точке (¿сь жо) со свойствами (1),(п),(ш), то ¿^(¿о^о) = ¿^(¿сь^о)-

Известно, что если множество К является слабо гиперболическим, то существует число а > 0 такое, что

¿(и8&о,хо),ип(к,хо))> а

для любой ТОЧКИ (¿(Ь^о) £ К.

Иными словами, угол между устойчивым и нейтральным подпространствами отделен от нуля числом а.

Не умаляя общности, будем считать, что

а < 0.1.

Для (¿о, %о) £ К мы определим множества

Т1(*о, хо), Т2(*о, ж0), Тз(*о, ж0), •••, Т(*0, жо)

следующим образом:

Т1(«о,жо)= У!

{ь,х)еО{го,хо)

Тг+1^0,ж0) = У для г > 1,

и

оо

г=1

Очевидно, что Т(£о,жо) — инвариантное множество. Это следует из локальной инвариантности множеств !)(£,ж).

Очевидно также, что Т(£о,жо) € К. Это следует из инвариантности множества К.

Из единственности дисков D(t,x) следует, что если (ti,xi) б T(to,^o), т0 Y(ti,x\) = T(i0,®o)- Это, в частности, означает, что если пересечение множеств Y(ii,:ri) и T(io,^o) не является пустым, то = Y(i0,zo)-

Множество будем называть листом, проходящим через

точку (¿0,ж0).

В том случае, когда нам не важна точка (¿о, мы будем обозначать лист просто Т.

Теперь мы можем сформулировать основную теорему.

Теорема. Пусть К — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1.1). Предположим, что выполнено свойство единственности дисков (iv). Тогда для любого е > О существует такое > 0; что если

\\У\У <

а Т — это л,ист, проходящий через (¿', х') 6 К, то существует непрерывное отображение

h : Т —у Е,

удовлетворяющее условиям

(0) если h(tQ,xo) = (¿i,i/i). то t\ — ¿о/

(1)

(2) Ту = h(T) — это инвариантное множество систем,ы (1.2);

(3) линейная система

dy _ d(X{t, y{t, ¿о, Уо)) + Y{t, y(t, ¿о, yo)))

У (1-7)

ду

слабо гиперболична для любой точки (¿о, 2/о) £ ;

(4) нейтральное подпространство £/у(£о,Уо) системы (1.7) касается множества £о)) 6 точке (¿о5Уо); где

(¿о,2/о) = /1(^0,

(5) множество

КУ = у тк тех

является замкнутым.

Доказывать теорему мы будем поэтапно.

Во второй главе проводится построение отображения /г и доказывается, что множество Ту = является инвариантным множеством системы (1.2).

Утверждения (3) и (4) будут доказаны в третьей главе. Замкнутость множества К¥ доказывается в последней, четвертой, главе.

Глава 2. Существование отображения 1л

Зафиксируем число о > 0 такое, что

Пег = гшп(А1, А1 — А2). Зафиксируем Т > 0, для которого выполнены следующие три условия

-(Ах-а)Т <

зт(а/4) 1000а2

С-СЛх-Зд)Т < 8ш(а/5)

Ь 500а2 ' 1 ^

-(Л1-Л2)Г <

8т(а/4)

1000а2 '

Покажем, что найдется с, 0 < с < 1/10, такое, что для любого вектора удовлетворяющего неравенству

¿{\]п{1 о, х0),() < са, (¿о, х0) е К, (2.2)

выполнены неравенства

¿(^(Мо,®о),Ф(Мо,яо)С) < ^ 0 < ^ - ¿о < 2Т, (2.3)

и

СО/

< 256, Т<г-г0<2Т. (2.4)

Рассмотрим рис. 1.

Рисунок 1. Проекции вектора на устойчивое и нейтральное пространства в момент времени ¿о

Рассмотрим вектор

Обозначим С5 проекцию вектора С на пространство сь^о)- Обозначим также Сп проекцию вектора £ на пространство [/п(£о,%о)-Обозначим

Легко видеть, что в силу (2.2) угол ш удовлетворяет неравенству

и > а — са > 0.9а.

Обозначим

7 — хо)).

15

Из теоремы синусов имеем

С5 с

sin 7 sin cu'

из чего немедленно следует

С5 sin 7 sinca Cn sinu ~ sin 0.9o;

Теперь рассмотрим рис. 2.

Рисунок 2. Проекции вектора на устойчивое и нейтральное пространства в момент времени t

Обозначим £г = Ф(£, ¿0, ж0)С Т < Ь - ¿0 < 2Т.

Обозначим также проекцию вектора ^ на пространство и (¡г проекцию вектора С на пространство сь^о)-

и

Обозначим

cJt = Z(CuUs{t,to,xo)) <yt = ACuUn(t,t о^о))-

Из теоремы синусов имеем

а сг

sm 71 sin cut

Отсюда следует, что

Sin7t = ^ñ Sin íüt < p^sin^ <

o y )T sin ca

< a e-^ 1 2'-siniüt <

sin 0.9a

sin(a/4) o sin ca sinca

< —y—4~a2-sin ujt < -.

- 1000a2 sin 0.9o; 1000

Отсюда, в свою очередь, следует (2.4).

Заметим также, что при оценивании мы воспользовались третьим из неравенств (2.1).

Обозначим N(to,xo) С {t — ¿o} х (to,xo) Е К — 1-мерное подпространство, перпендикулярное t/n(¿o,£o) в точке (to? ^о)•

По выбранному с зафиксируем г\ > 0 такое, что для любых

/ч

(íq,xo), (to,Xi) Е К таких, что \х§ — a^i| < г\ и х\ 6 _D(¿o,£o) выполнено

¿(Un(t0,XQ),x0 - жО < са, (2.5)

sin Z(f/n(í0, жо), хо - xi) < 1/10, (2.6)

(2.7)

8т(/([/п(*0, *0), ^(¿о, < 1/20. (2.8)

Из теоремы Перрона об устойчивом многообразии следует, что для любой точки (¿о,жо) € К существует 1-мерный диск 1)р(£о,£о) (так на~ зываемый диск Перрона) такой, что если х\ 6 то

|аг(*, *0, - ¿о, ®о)I < 2« |ж1 - ж0| е-^-^Ч (2.9)

при £ > ¿о-

Известно также, что радиус Ь диска Рр(£о,£о) не зависит от (¿о>£о) и диск Ор(1 о,жо) сколь угодно мало (при должном выборе 6) отличается от из(Ь0, х0).

Заметим, что диски Перрона Пр(1 о,£о) непрерывно зависят от (¿о, хо) е К.

Зафиксируем такое х, что диски х), (¿, х) €Е -^(¿о, ^о) образуют расслоение в ^-окрестности диска -О(¿о, ^о) для любой точки (¿о, ^о) € К. Это, в частности, означает, что для любой точки (¿0)£о) £ К

0,х0),х)С и Пр{1ъХ1),

где В((Ьо, хо), х) ~ это шаР радиуса х с центром в точке (¿о, £о)-Существование такого х показано в [3] и [4].

Далее нашей задачей будет построение системы координат в окрестности листа Т.

Заметим, что в силу отсутствия липшицевой зависимости угла между ж) от точки х, мы не можем воспользоваться теоремой о трубчатой окрестности.

В противном случае, в качестве координат мы могли бы рассмотреть пару (ь,и), где

V £ Т, и£ М(у).

Подобные рассуждения были проведены в [1].

В том случае, если липшицева зависимость отсутствует, нормали АГ(г») и ]У(г> 1), У\ Е О (у) могут пересекаться сколь угодно близко, что делает невозможным построение таких координат.

Мы рассмотрим два типа листов и построим координаты для каждого из них.

Зафиксируем (0, х) 6 Т.

Обозначим х\ и Х2 "граничные" точки диска 0(0, х). Теперь рассмотрим соседний диск 1)(0, ж) с центром в ж и крайними точками жз и Х2- Понятно, что этот процесс мы можем продолжить, рассмотрев диски с крайними точками х4 и жз, Ж5 и Ж4, и так далее.

К первому типу мы отнесем те листы, у которых каждый последующий диск не пересекает ни один из предыдущих, ко второму типу — те, у которых такое пересечение существует (см. рис.3).

Сначала построим координаты для листов первого типа. Будем считать, что

. П г < —.

- 2

Рисунок 3. Примеры листов 1-го и 2-го типов

Зафиксируем (0,х) Е Т.

Обозначим х\ и "граничные" точки диска .0(0,ж) (см. рис.4).

Предположим, что iV(0,£i) и N(0,x2) пересекаются в точке О. Проведем прямую через точки О и х и обозначим ее М(0, х) (в том случае, если N(0, xi) и N(О, Х2) не пересекаются, в качестве М(0,х) мы берем прямую, параллельную N(0, и N(0,жг), проходящую через х). Заметим, что в силу (2.7) и (2.8),

ССУ.

¿(N(0,x),M(0,x))<-

sin(Z(^(0,z),M(0,z)))<i.

Рассмотрим треугольник Охх2-Из теоремы синусов следует, что

\х - х2\ \Ох\

ъш{/.хОх2) $т.{/.хх2 О) Из этого, учитывая (2.6) и (2.8), следует, что

\Ох\ > 17г. Рассмотрим теперь х € 0(0, х).

Проведем прямую через точки О и ж и обозначим ее М(0,х). Заметим, что в силу (2.7) и (2.8),

С(У.

А(Ы(0,х), М(0,х)) < —,

зт(Л(Щ0,х),М(0,х))) <

Рассмотрим треугольник Охх. Из теоремы синусов следует, что

\Ох\ _ \Ох\ ът(£ххО) Б1п (АххО)

Из этого, учитывая (2.6) и (2.8), следует, что

\Ох\ > Юг.

Таким образом, в окрестности диска /)(0,ж) мы можем ввести координаты (у, и), где V Е .0(0, ж), и Е М(0,г>) и |и| < Юг.

Теперь рассмотрим соседний диск В(0, х) с центром в ж и крайними

Рисунок 5. Координаты в окрестности дисков

Координаты на нем мы можем ввести тем же самым образом, что и на .0(0, х). Этим же способом мы введем координаты на всех последующих дисках.

Таким образом мы построим координаты на уровне £ = 0. Теперь будем строить координаты на уровне £ = ¿. Заметим, что при изменении времени мы можем через промежуток £ = ки> пересечь ту область, на которой уже были построены координаты (такое может случиться в силу того, что пространство Е является цилиндрическим). В том случае, если вышеупомянутое пересечение не происходит, мы

/Ч

ровно таким же образом, как и на диске 12(0,ж), введем координаты на 3(1, х{1, 0, ж)).

После этого мы построим координаты на диске, соседнем с /)(£, х(1, 0, ж)), и так далее.

Таким образом, повторяя рассуждения изложенные выше, мы построим координаты на уровне Ь = Ь.

В том случае, если через промежуток £ = ки произойдет пересечение с областью, на которой мы уже построили координаты, мы можем рассмотреть множество

{(¿,г(0)}ек, ге [о,М>

такое, что г(0) = г(ки>) = х, г(£) — непрерывная функция (т. е. соединить точку х саму с собой) и, после построения координат на £>(0, х) и уровне

/ч __ __ __

£ = 0, строить координаты на £>(£,г(£)) и уровне £ = В этом случае мы тоже, очевидно, построим непрерывные координаты в окрестности

листа Т.

Теперь перейдем к изучению второго типа листов.

Напомним, что в этом случае, объединяя диски на уровне t = 0, мы получаем замкнутую кривую. Обозначим ее D(0,x).

Докажем сначала, что в этом случае найдется такое к Е N, что через время ки> множество Z)(0,:r) перейдет само в себя.

Предположим противное.

Обозначим

Д = x(iw,0,D(0,x)), i е ъ.

Рассмотрим множество

К0 = {х Е М2 : (0, х) Е К}.

Заметим, что D% С Ко, г G Z.

Зафиксируем число г) : 0 < 77 < х- В силу компактности К существует такое число N Е N, что множество Ко не может пересекаться более, чем с N непересекающимися шарами радиуса г).

Рассмотрим множества Do, D\, Эти множества, в силу

нашего предположения и в силу единственности дисков, не могут пересекаться.

Обозначим

/-{0,1, ...,7V-1}.

Обозначим также

в = min dist(JDi, D3). i.jei

Выберем теперь такое число N G N, что если х принадлежит ij-окрестности множества Dj, г е Ъ, то

dist(x(Nu, 0, x),x(Nu, О, Д)) < в.

Заметим также, что такое N мы можем выбрать в силу слабой гиперболичности.

Рассмотрим теперь множества

..., D_fj+N_v

Несложно видеть, что их ч]—окрестности не пересекаются, иначе мы бы получили, что

mindist(A, Dj) < 9.

ijei

Но это. очевидно, противоречит тому, что множество К$ не может пересекаться более, чем с N непересекающимися шарами радиуса г).

В результате, найдется такое k G N, что через время ксо множество D(0, я) перейдет само в себя.

Так же, как и в случае с первым типом листов, мы можем рассмотреть множество

{(¿,r(i))}eif, î6[o,H

такое, что г(0) = г(ксо) = ж, r(t) — непрерывная функция.

Обозначим Lt длину замкнутой кривой x(t, О, D(0, х)), t G [0, кш]. Обозначим также

L = max Lt,

te[o,kw]

I = min Lt.

te{0,k(¿]

Рассмотрим такое Мб N, что

L

< r\-

2 M

Теперь мы можем построить координаты на каждом из множеств D(t,r(t)), t € [0, kw] тем же способом, каким мы строили координаты для листов первого типа, только в качестве радиуса диска мы будем бра�