Глобальные бифуркации и хаос во взаимодействии колебательных мод круглой пластины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

1.1 Обзорная часть

1.2 Структура диссертации

2 Основные уравнения

3 Динамика невозмущенной системы

4 Расщепление гетероклинических орбит и теория Мельникова

4.1 Параметризация гетероклинических орбит

4.2 Вычисление функции Мельникова ^.2.1 Интеграл /

4.2.2 Интегралы /2 и /

4.2.3 Интеграл /

4.3 Численные примеры

5 Разрушение инвариантных торов

5.1 Локальные координаты угол-действие

5.2 Ренормгруппа

5.2.1 Главные резонансы

5.2.2 Нормальная форма

5.2.3 Ренормализационный оператор

5.2.4 Пример

6 Моделирование колебаний пластины методом конечных разностей

6.1 Конечноразностная схема

6.1.1 Дискретизация переменных и полярная сингулярность

6.1.2 Конечноразностное представление производных

6.1.3 Конечноразностная схема

6.1.4 Устойчивость, согласованность и сходимость схемы

6.2 Локальные бифуркации в динамике идеальной круглой пластины

6.2.1 Аналитические результаты

7

Заключение А Ренормализационный оператор

1.1. Обзорная часть Нелинейная динамика и хаос стали в последние пару десятилетий весьма популярными областями исследования. Одной из наиболее интересных особенностей нелинейного поведения является его широчайшая распространенность, сочетающаяся с некоторыми универсальными закономерностями. Биология и механика, медицина и машиностроение, экономика и квантовая физика, вот лишь некоторые из многих дисциплин, где нелинейная динамика и концепция хаоса позволили получить принципиально новые и обобщающие результаты. Сложно назвать науку, которая не затрагивала бы нелинейных явлений. Доказательством тому служит множество книг, публикаций и междисциплинарных симпозиумов, посвященных нелинейной динамике и хаосу.Методы анализа нелинейных систем позволяют по-новому взглянуть на давно изучаемые и хорошо известные объекты и существенно расширить наши знания об их поведении.В данной работе рассматриваются нелинейные явления и хаос возникающие при взаимодействии колебательных мод такой простой с физической точйи зрения механической системы, как круглая пластина.В динамике многомерных систем, у которых две или больше натуральных частот близки друг к другу, наблюдаются весьма сложные и интересные явления, если взять во внимание нелинейные свойства этих систем. Примером таких систем могут быть упругие пластины.В числе первых исследований нелинейных вибраций круглой пластины следует отметить работы Тобиаса и Уильямса / 1 , 2/ . В них рассматриваются нелинейные вибрации неидеальной пластины, лишенной демпфирования, на которой действует гармоническое возмущение.Разрушение инвариантных торов является одним из ключевых механизмов приводящих к хаосу в гамильтоновых системах. Это явление играет существенную роль в поведении гамильтоновых систем при установившемся режиме /19, 20, 21, 22/. Рассмотрим динамику двумерной вполне интегрируемой гамильтоновой системы, имеющей функцию Гамильтона Щ. Теорема Лиувилля-Арнольда гласит, что если поверхности описываемые уравнением Но = Н компактны, то они расщепляются на двумерные инвариантные торы /19, 17, 22/. Траектория системы, принадлежащая инвариантному тору совершает периодические движения в двух со пряженных направлениях. Частоты этих движений, характеризующие инвариантный тор, мы будем называть частотами инвариантного тора. Используя особую систему координат, так называемую систему уголдействие: {h,12,01,62) мы можем представить частоты инвариантного тора как {oJi,uj2) — {дНо/д11,дЩ/д12). Назовем вектор {UJI.,UJ2) вектором частот инвариантного тора. Отношение частот W = UJI/LO2 называется числом вращения инвариантного тора. Необходимо различать торы с рациональными и иррациональными числами вращения. Инвариантные торы с рациональным числом вращения W = pjq, p,q е Z называются резонансными инвариантными торами, соответствующими резонансу — паре целых чисел {p,q). Тор с иррациональным числом вращения называется нерезонансным или иррациональным тором.Поведение резонансных инвариантных торов при наличии возмущения описывается теоремой Пуанкаре—Биркхоффа /20, 23, 22/. Отображение Пуанкаре резонансного тора представляет собой множество периодических орбит отображения. Под воздействием возмущения большинство этих периодических орбит исчезает, однако часть из них сохраняется. Теорема Пуанкаре—Биркхоффа гласит, что род действием возмущения сохраняется четное количество периодических орбит отображения Пуанкаре. Половину этих орбит составляют эллиптические орбиты, другую половину— гиперболические. Эта теорема объясняет структуры, наблюдаемые в сечениях Пуанкаре неинтегрируемых Гамильтоновых систем. Эллиптические периодические орбиты оказываются окруженными так называемыми «островами» упорядоченного движения, которое соответствует финитному движению /24 / . Характерный размер «островов» зависит от возмущения. «Острова» разделены стохастическими слоями, возникающими в окрестности устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий гиперболических периодических орбит (сепаратрисе). Рассмотрим резонансный инвариантный тор с числом вращения W = p/q, p,q е Z. На сечениях Пуанкаре, заданных как вг = О, mod 2тх и $2 = О, mod 27г этот тор распадается на цепочку wskpwkq «островов», соответственно. Здесь к — натуральное число.Возникновение хаоса в не вполне интегрируемой гамильтоновой системе может проходить по следующему сценарию. Когда возмущение мало, энергетическая поверхность преимущественно состоит из КАМ-торов.Резонансные торы разрушаются и образуют тонкие стохастические слои.Различные стохастические слои изолированы друг от друга неразрущивщимися КАМ-торами. По мере увеличения возмущения, стохастические слои, образованные различными резонансами, сливаются, разрушая КАМ-торы, разделяющие их. Чем больше возмущение, тем больше КАМ-торов исчезает. В конце концов, существует такой уровень возмущения, при котором все КАМ-торы оказываются разрушенными, все стохастические слои объединяются, и система переходит в состояние глобального хаоса, или крупномасштабной стохастичности /25/. В этом состоянии регулярного движения система не совершает. КАМ-тор, разрушенный при максимальной величине возмущения, называется последним КЛМ-тором.В д .иной работе рассматриваются два типа глобальных бифуркаций, наблюдаемых вдинамике круглой пластины лишенной демпфирования: расщепление гетероклинических орбит и разрушения инвариантных торов под действием возмущения.Целью работы является дополнение картины нелинейной динамики пластин. При этом основными задачами являются: • Описание механизмов, приводящих к возникновения хаоса в колебаниях неидеальной круглой пластины. • Определение критериев возникновения хаотического движения и соответствующих пороговых значений параметров пластины. • Построение диаграммы глобальных бифуркаций в колебаниях круглой пластины, объединяющей несколько сценариев развития хаоса. • Кроме этого, в .работе дается детальное описание применения некоторых методов анализа нелинейных систем и гамильтоновой механики к инженерной задаче.В работе используются методы анализа нелинейных систем: метод многих масштабов / З З / , метод Мельникова /34, 35, 36/. Кроме этого, впервые для описания глобальных бифуркаций в динамике пластин применены методы анализа гамильтоновых систем и техника ренормализационных операторов /29 , 32/.На защиту выносятся следующие положения и результаты: • Полное описание механизмов, приводящих к возникновения хаоса в колебаниях неидеальной круглой пластины лишенной демпфирования. • Критерии возникновения хаотического движения в рассматриваемой системе. • Диаграмма,глобальных бифуркаций в колебаниях круглой пластины, объединяющая все известные на сегодняшний день сценарии развития хаоса в этой системе при отсутствии демпфирования. • Конечноразностная схема, моделирующая нелинейные колебания идеальной круглой пластины. • Проверка при помощи конечноразностной схемы полученных ранее аналитических результатов, описывающих локальные бифуркации в динамике идеальной круглой пластины.Недемпфированная упругая пластины — идеализированная система, которую в реализовать в эксперименте невозможно. Однако изучение динамики этой системы позволяет понять механизмы, лежащие в основе сложных нелинейных явлений реального мира. Исследование этой простой механической системы ставит перед нами множество разнообразных, сложных и интересных задач.

Результаты работы позволили достаточно полно описать возникновение хаоса в колебаниях неидеальной круглой пластины. Впервые построены диаграммы глобальных бифуркаций этой системы, объединяющие несколько сценариев развития хаоса. Тем самым эта работа дополняет картину нелинейной динамики пластин.

Тем не менее, остается ряд открытых вопросов, предполагающих дальнейшие исследования.

Во-первых, необходимо всесторонне изучить насколько адекватно поведение модели (2.21) отражает динамику системы (2.1). Это можно сделать экспериментально, или моделируя систему (2.1) численно. С этой целью была разработана конечноразностная схема, представленная в Приложении 6. Там же приводятся некоторые результаты, полученные с ее помощью для идеальной круглой пластины.

Во-вторых, следует рассмотреть расщепление гетероклинических орбит при наличии демпфирования. Странные аттракторы, возникающие в та

101 ких случаях, структурно устойчивы и сохраняются при введении дисси-пативны с возмущений /35, 36/. Это делает рассматриваемую задачу ближе к реальности, однако приводит к сложной проблеме адаптации метода Мельникова к динамике ограниченных многообразий, до сих пор не решенной /34/.

Наконец, стоит отметить роль параметра внешней расстройки а в анализе глобальных бифуркаций. Этот параметр оказывает существенное влияние на картину локальных бифуркаций /3, 9, 38/, но, как оказалось, не влияет на глобальные бифуркации. Это упоминается в статьях /13, 38/ и подтверждается в данной работе. Анализ функции Мельникова для гетеро-клинических орбит почти ничего не говорит о роли параметра а, кроме того, что он определяет резонансные случаи (4.73) и (4.74). Динамику системы в этих случаях рассматривали Ё и Ли /18/. Неизученным осталось влияние параметра а на поведение инвариантных торов.

Конечно, недемпфированная пластина — это идеализированная система. Однако ее изучение ставит перед нами множество интересных и сложных задач, и приводит к разработке универсальных методов анализа нелинейных систем, имеющих широкое практическое применение.

А. Ренормализационный оператор

Рассмотрим гамильтониан Н = Н0 (/i, /2) + Hi (61,62), приведенный к нормальной форме (5.38). Пусть две пары целых чисел m = (шьтг) and р = (р\, р2) представляют главные резонансы системы, а иррациональное число W* соответствует числу вращения исследуемого КАМ-тора. Во вполне интегрируемой системе КАМ-тор имеет координаты (Ц, 12).

Ренормализационный оператор имеет следующий вид:

Д:{Я,т,р}-»{Я,1т,>р/}.

АЛ)

Новый гамильтониан запишем, как

Н' — N (Щ + Н[),

А.2) где will + uj2h + a'll + 2b'hh + c722 + ^r (Smm + Spp),

H[ = s2 [Km^m>2 cos (m'-fii + m'2e2) + Kj j cos (p[9i + p'292)

A.3) (A.4) и N обозначает операцию приведения к нормальной форме (5.38). Частоты uji , си2 и коэффициенты а', Ъ' и с! задаются как дНп u>i = dh дН(] и? =

ВД) дГ2

1 д2Н(\ а

2 а/2 у = 1д2Щ it,Ц)

2dhdl2 с —

AV5) 1д2Н0

2 а/| Л*)

А.5)

Амплитуды Kpq имеют вид

Kp,q — 7) \SmmA^q + SppAp^ + 2Smp (Ap'* + Ap'q *)] , (A.6) где

Aid rnj , £a'M (ci+lj + С^-Щ + £c'p (Chj+1 + C^"1) +

W f 4 ™ ' o2 + —

1J+1+C'«U"1++J-1). (a.?) Jp+i (Vp,q) Jq+j izp,q) + Jp-i (llp,q) Jq~3 (ZP,Q) ' (A.8)

VP,q = (Pa' ~ > zv,q = (Pb'' ~ ' (A'9) wf wf

Wi = Wi + 2a! h + 2672, (A. 10) w2 = t02 + 2b'h + 2c72. (A.ll)

Здесь Jj (я;) есть функция Бесселя первого рода. Величины Smm, Smp, 5РР могут быть вычислены как

VMP итт — о > итр — > °рр — о V1 ^ / где М и Р суть коэффициенты в выражении для Н\.

Новые резонансы могут быть вычислены следующим образом: т[ = 1 + aia2, (А. 13) ш2 = - (ао + «2 + a0aitt2), (А. 14) = a0 + а2 + aoaia2> (А. 15) - (1 + + ао^з + а2а3 + a0aia2a3), (А. 16)

7. Заключение

В работе исследуются глобальные бифуркации и переход к хаосу во взаимодействиях колебательных мод неидеальной круглой пластины.

Хаотический режим колебаний неидеальной круглой пластины может развиться по нескольким сценариям: через удвоение периода, возникновение Шильниковских орбит, расщепление гомо- и гетероклинических орбит, разрушение инвариантных торов. В данной работе рассматривается два из них: расщепление гетероклинических орбит и разрушение инвариантных торов. При этом делаются следующие допущения: система находится в состоянии внутреннего резонанса и внешнего резонанса, так, что нормальные частоты рассматриваемой моды близки, и частота возмущения близка к одной из нормальных частот.

В отсутствии возмущения и диссипации энергии система, моделирующая неидеальную круглую пластину, представляет собой вполне интегрируемую гамильтонову систему. При определенных параметрах системы на ее фазовом портрете появляются гетероклинические орбиты. В работе показано, что часть из них под действием возмущения расщепляется и приводит к возникновению странного аттрактора. Аналитически (с помощью метода Мельникова) показано, что области в пространстве параметров, в которых невозмущенная система имеет гетероклинические орбиты, соответствуют областям в которых наблюдается хаотическое движение. Численный эксперимент подтверждает этот результат.

В отсутствие разрушающихся гетероклинических орбит хаос в колебаниях недемпфированной круглой пластины может возникнуть из-за разрушения инвариантных торов. В работе исследуется при каких параметрах разрушение инвариантных торов приводит к существенным хаотическим явлениям и к глобальному хаосу. Построение для невозмущенной системы локальных координат типа угол-действие позволило выяснить структуру инвариантных торов системы и найти области в пространстве параметров, в которых возникают обширные стохастические слои. Ренормализаци-онный анализ разрушения КАМ-торов позволил получить порог возникновения в системе глобального хаоса.

1. Williams, С. J. Н. Forced undamped non-linear vibrations of imperfect circular discs / C. J. H. Williams, S. A. Tobias // Journal of Mechanical Engineering Science. — 1963. — Vol. 5. — Pp. 325—335.

2. Tobias, S. A. Free undamped non-linear vibrations of imperfect circular discs /S. A. Tobias // Proceedings of the Insitution of Mechanical Engineers.— 1957. —Vol. 171. — Pp. 691-703.

3. Sridhar, S. Nonlinear resonances in forced responses of plates, part i: symmetric responses of circular plates / S. Sridhar, D. T. Mook, A. H. Nayfeh // Journal of Sound and Vibration. — 1975. — Vol. 41. — Pp. 359-373.

4. Hadian, J. Modal interactions in circular plates / J. Hadian, A. H. Nayfeh // Journal of Sound and Vibration.— 1990.— Vol. 142.— Pp. 279-292.

5. Lee, W. K. Combination resonances of a circular plate with three-mode interaction / W. K. Lee, С. H. Kim // AS ME Journal of Applied Mechanics. — 1995. — Vol. 62. — Pp. 1015-1022.

6. Sridhar, S. Nonlinear resonances in forced responses of plates, part ii: asymmetric responses of circular plates / S. Sridhar, D. T. Mook,

7. А. Н. Nayfeh // Journal of Sound and Vibration. — 1978. — Vol. 59. — Pp. 159-170.

8. Nayfeh, T. A. Subharmonic traveling waves in a geometrically non-linear circular plate / T. A. Nayfeh, A. F. Vakakis // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 1994. — Vol. 29, no. 2. — Pp. 233-245.

9. Lee, W. K. Corrected solvability conditions for non-linear asymmetric vibrations of a circular plate / W. K. Lee, M. H. Yeo // Journal of Sound and Vibration. — 2002. — Vol. 257. — Pp. 653-665.

10. Lee, W. K. Nonlinear interactions in asymmetric vibrations of a circular plate / W. K. Lee, M. H. Yeo // Journal of Sound and Vibration. — 2003. — Vol. 263. — Pp. 1017-1030.

11. Lee, W. K. The effect of the number of the nodal diameters on nonlinear interactions in two asymmetric vibration modes of a circular plate / W. K. Lee, M. H. Yeo, S. B. Samoilenko// Journal of Sound and Vibration. — 2003. — Vol. 268. — Pp. 1013-1023.

12. Touze, C. Asymmetric non-linear forced vibrations of free-edge circular plates, part i: theory / C. Touze, O. Thomas, A. Chaigne // Journal of Sound and Vibration. — 2002. — Vol. 258. — Pp. 649-676.

13. Thomas, O. Asymmetric non-linear forced vibrations of free-edge circular plates, part ii: experiments / O. Thomas, C. Touze, A. Chaigne // Journal of Sound and Vibration. — 2003. — Vol. 265. — Pp. 1075-1101.

14. Feng, Z. C. Global bifurcation and chaos in parametrically forced systemswith one-one resonance / Z. C. Feng, P. R. Sethna // Dynamics and Stability of Systems. — 1990. — Vol. 5. — Pp. 201-225.

15. Кузнецов, С. П. Динамический хаос (курс лекций) / С. П. Кузнецов. Современная теория колебаний и волн. — Букинист, 2001.

16. Kovacic, G. Orbits homoclinic to resonances, with an application to chaos in a model of a forced and damped sine-gordon equation / G. Kovacic, S. Wiggins. // Physica D. — 1992. — Vol. 57. — Pp. 185-225.

17. Raman, A. Effects of imperfection on the non-linear oscillations of circular plates spinning near critical speed / A. Raman, C. D. Mote // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2001. — Vol. 36. — Pp. 261-289.

18. Ott, E. Chaos in Dynamical Systems / E. Oil. — Cambridge University Press, 1993.

19. Yeo, M. H. Evidences of global bifurcations of an imperfect circular plate / M. H. Yeo, W. K. Lee. — Journal of Sound and Vibration in press.

20. Arnold, V. I. Small denominators and problems of stability of motion in classical and celestial mechanics / V. I. Arnold // Russian Mathematical Surveys. — 1963. — Vol. 8, no. 6. — Pp. 85-191.

21. Moser, /. K. Lectures on hamilton systems / J. K. Moser// Memoirs of the American Mathematical Society. — 1968. — Vol. 81. — Pp. 1—60.

22. Заславский, Г. M. Введение в нелинейную физику / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. — М.: Наука, 1988.

23. Дубровин, Б. А. Интегрируемые системы / Б. А.Дубровин, И. М. Кри-чевер, С. П. Новиков. — М.: ВИНИТИ АН СССР. Итоги науки и техники, 1985. — Т. 4.

24. Слабый хаос и квазирегулярные структуры / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев, Д. А. Усиков, А. А. Черников. — М.: Наука, 1991.

25. Goldstein, Н. Classical Mechanics / Н. Goldstein. — Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1980.

26. Escande, D. F. Large-scale stochasticity in hamiltonian systems / D. F. Escande // Physica Scripta.— 1982.— Vol. T2/1.— Pp. 129— 41.

27. Chirikov, В. V. Resonance processes in magnetic traps / В. V. Chirikov// Journal of Nuclear Energy C. — 1960. — Vol. 1. — Pp. 253-260.

28. Greene, J. M. A method for determining a stochastic transition / J. M. Greene // Journal of Mathematical Physics.— 1979.— Vol.20. — Pp. 1183-201.

29. Olvera, A. An obstruction method for the destruction of invariant curves / A. Olvera, C. Simo // Physica D.~ 1987,—Vol. 26. — Pp. 181-192.

30. Escande, D. F. Renormalization method for the onset of stochasticity in a hamiltonian system / D. F. Escande, F. Doveil // Physical Letters A. — 1981. — Vol. 83, no. 7. — Pp. 307-310.

31. Chandre, C. Kolmogorov-arnold-moser renormalization-group approach to the breakup of invariant tori in hamiltonian systems / C. Chandre,

32. M. Govin, Н. R. Jauslin // Physical Review E. — 1998. — Vol. (3) 57(2, part A), no. 7. — Pp. 1536-1543.

33. Chandre, C. Renormalization-group analysis for the transition to chaos in hamiltonian systems / C. Chandre, H. R. Jauslin // Physics Reports. — 2002. — Vol. 365, no. 7. — Pp. 1-64.

34. Pronine, M. Renormalization theory for Hamiltonian systems: Ph.D. thesis / Universitat Bremen.— 2002.

35. Nayfeh, A. H. Nonlinear Oscillations/A. H. Nayfeh, D. T. Mook. — John Wiley & Sons, Inc., 1979.

36. Wiggins, S. Global Bifurcations and Chaos, Analytical methods / S. Wiggins.— Springer-Verlag N-Y, Inc., 1980.

37. Guckenheimer, J. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifu-ractions of Vector Fields / J. Guckenheimer. — Springer-Verlag N-Y, Inc., 1983.

38. Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos/ S. Wiggins.— Springer-Verlag N-Y, Inc., 1990.

39. Efstathiades, G. J. A new approach to the large-deflection vibrations of imperfect circular disks using galerkin's procedure / G. J. Efstathiades // Journal of Sound and Vibration. — 1971. — Vol. 16. — Pp. 231—253.

40. Yang, X. L. Local and global bifurcations in the parametrically excited vibrations of nearly square plate / X. L. Yang, P. R. Sethna // International Journal of Non-linear Mechanics. — 1991. — Vol. 26. — Pp. 199-220.

41. Мельников, В. К Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях / В. К. Мельников // Труды Московского Математического Общества. — 1963. — Т. 12. — С. 3—52.

42. Burton, D. М. Elementary number theory / D. M. Burton. — Allyn and Bac-^n, Inc., 1980.

43. Lieberman, M. A. Transient chaos in dissipatively perturbed, nearly inte-grable hamiltonian systems / M. A. Lieberman, K. Y. Tsang// Physical Review Letters. — 1985. — Vol. 55, no. 7. — P. 908-911.

44. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — M.: Наука, 1989.

45. Carnahan, B. Applied Numerical Methods / B. Carnahan, H. A. Luther, J. O. Wilkes. — John Wiley & Sons, Inc., 1969.

46. Mitchell, A. R. The Finite Difference Method in Partial Differential Equations / A. R. Mitchell, D. F. Griffiths. — John Wiley & Sons, Inc., 1987.

47. Ferziger, J. H. Numerical Methods For Engineering Application / J. H. Ferziger. — John Wiley & Sons, Inc., 1981.

48. Mohseni, K. Numerical treatment of polar coordinate singularities / K. Mohseni, Т.* Colonius // Journal of Computational Physics.— 2000. — Vol. 157. — Pp. 787-795.

49. Lee, W. K. Chaos and Fractal Basin Boundary of a Circular Plate / W. K. Lee, H. D. Park. — submitted to International Journal of Bifurcation and Chaos.