Идентификация макроэкономических динамических моделей с переменными параметрами методами теории оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

тга^шгаш?.

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ

ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§1.1. Общая характеристика задачи идентификации . II

§ 1.2. Задача идентификации динамической модели с переменными параметрами как задача оптимального управления

§ 1.3. Метод первого порядка решения задачи идентификации с квадратичным критерием

§ 1.4. Метод второго порядка решения задачи идентификации с квадратичным критерием

§ 1.5. Метод наименьших модулей

§ 1.6. Решение задач оптимального управления в классе кусочно-постоянных функций

ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

§ 2.1. Основные допущения анализа производственных функций ••.••••••••

§ 2.2. Функция эластичности замещения ресурсов . •

§ 2.3. Вогнутость цроизводственной функции по координатам

§ 2.4. Производственные функции с переменной эластичностью замещения

§ 2.5. Постановка задачи идентификации производственной функции как задачи оптимального управления

§ 2.6. Метод решения задачи

§ 2.7. Результаты и анализ проведенных расчетов.

ГЛАВА 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ

ФОНДОВ С РАОВДЕЛЕННШ ЛАГОМ

§ 3.1. Основные уравнения динамики фондов . •

§ 3.2. Основные трудности при описании процесса движения фондов дискретными моделями

§ 3.3. Постановка задачи идентификации непрерывной модели динамики фондов

§ 3.4. Решение задачи в общем виде.

§ 3.5. Решение задачи при кусочно-постоянной функции плотности капвложений

§ 3.6. Решение задачи при полиномиальной аппроксимации функции плотности капвложений.

§ 3.7. Расчеты по модели динамики фондов с распределенным лагом

Задача идентификации систем, то есть определение структуры и параметров систем по нападениям, является одной из основных задач теории и практики управления. Эта задача возникает при изучении свойств и особенностей объектов с целью последующего управления ими, К различным вариантам задачи идентификации приводят статистические методы обработки экономической, социологической, биологической, медицинской информации.

Целью исследования данной работы является отработка математического аппарата идентификации и дальнейшее изучение динамических сильно агрегированных моделей экономики с переменными параметрами. Сильно агрегированные модели, то есть модели, в которых в качестве переменных фигурируют лишь основные показатели развития экономики: конечный продукт, основные производственные фонды, общее количество трудящихся, капиталовложения - предназначаются для анализа и прогноза основных тенденций развития экономики в течение продолжительного периода времени: от 10 лет и более. Экономико-математический анализ на основе расчетов с такими моделями дает качественную и количественную характеристики зависимостей между основными народнохозяйственными показателями и является первым этапом составления оптимального перспективного плана. Улучшение техники планирования укрупненных экономических показателей народного хозяйства определяет всю последующую работу по оптимизации народного хозяйства и представляет собой весьма актуальную задачу.

В связи с этим большое распространение получил анализ экономических процессов на основе однопродуктовых моделей экономической динамики с несколькими ресурсами - так называемых моделей экономического роста (МЭР) [1,4,8,11,37,38,39,46,48] .

Модели подобного типа использувтся для описания таких систем, как экономика страны в делом, отдельная отрасль шш регион, поскольку наличие большего числа составных элементов этих систем делает их развитие значительно устойчивым и позволяет рассматривать их как однородные объекты с точки зрения долгосрочного прогнозирования [57,58] .

Типичной моделью экономического роста является модель Солоу ( [37] стр. 31, [ИЗ] ), которая часто применяется для вышеизложенных целей исследования:

Y(iMMMhie М; m)=Fx (llv), к(г)); i]; (I) время; плановый период времени; конечный продукт экономической системы; основные производственные фонды; количество трудовых ресурсов; капиталовложения в основные производственные фонды; конечное потребление; дополнительные расходы (расходы на управление, военные расходы, создание стратегических запасов и пр.); - лаг, переменная типа времени, характеризующая запаздывание; максимальный временной лаг; где i

А, чЦ У к L

I С

7>

L - темп прироста трудовых ресурсов. Теоретический анализ модели (I) с точки зрения управления, устойчивости и достижения оптимальных пропорций развития служит инструментом для оценки эффективности экономических мероприятий на длительную перспективу. С таких позиций модели данного типа широко освещены в литературе - можно перечислить большой список работ, посвященный магистральным теоремам и теоремам устойчивости для подобных моделей ([7] , [в], [37] стр.77, [39] стр.483, [57] ).

Для целей прикладного анализа и прогнозирования динамики конкретной экономической системы, прежде всего, необходимо определить вид и форму связей между переменными в уравнениях модели (I). Первое уравнение этой системы описывает процесс производственной деятельности и указывает на существование функциональной связи между величиной конечного продукта системы и величинами основных производственных фондов и количеством труда, которые в экономико-математической литературе называются ресурсами производства. Функции подобного типа носят название производственных функций и широко применяются в практике экономико-математического моделирования. Второе уравнение системы описывает процесс освоения капиталовложений и указывает на существование функциональной связи между величиной изменения фондов и величиной произведенных капиталовложений.

В большинстве работ для целей прогноза применяются уравнения с заранее заданными функциональными зависимостями и с постоянными параметрами.

Так, например, выбор вида функции часто ограничивается функцией типа Кобба-Лугласа или CES ( [37] стр. 60-63, [63] , [90] ), а уравнение для K(-t) часто выбирается в виде линейного уравне

- 7 ния с запаздыванием ([39] , стр.470) где Т0 - значение временного запаздывания; - коэффициент пропорциональности;

JU - коэффициент выбытия.

Настоящая работа посвящена дальнейшему изучению модели (I), а также развитию методов идентификации моделей с переменными параметрами.

Обычно под идентификацией понимается процесс оценки параметров модели на основе имеющейся информации и статистических значений переменных, полученных в результате эксперимента ([37/ , стр. [4l], [73] , [74]). При этом модель, как правило, задана в виде уравнения или системы уравнений, и задача исследователя сводится к формулировке и решению некоторой математической задачи определения параметров этой модели. Такая идентификация есть идентификация в узком смысле [73,84] . Следуя работе [73] , под идентификацией будем понимать не только оценку параметров модели, но и решение более сложных вопросов:

- изучение динамики переменных и параметров;

- определение степени и формы связи между переменными;

- решение вопроса о применимости модели для заданной цели исследования, то есть вопроса об адекватности модели объекту -оригиналу.

Решение этого круга вопросов есть идентификация в широком понимании этого термина [73,84].

Процесс идентификации достаточно сложен и его описание является скорее методологической задачей, а не математической. В настоящей работе в первой главе рассматривается применение математической теории оптимального управления для идентификации переменных параметров динамических моделей, то есть идентификации в узком смысле. Идентификация в широком смысле используется для построения и исследования моделей, приведенных в главах 2 и 3, а методика ее описывается в общих чертах в первом параграфе первой главы.

На первый взгляд, уравнения системы (I) просты, но дело осложняется радом особенностей как экономического моделирования вообще, так и указанный процессов в частности.

Одной из главных трудностей экономического моделирования является плохая обусловленность информации, то есть: а) короткие и дискретные ряды информации, б) стохастический характер информации, в) отсутствие некоторой желательной информации в принципе (качество управления, влияние социальных мероприятий и т.д.), г) мультиколлинеарность временных рядов.

Для данной модели дело еще осложняется существенной нелинейностью связи между переменными в первом уравнении системы (I) и наличием распределенного запаздывания во втором. Кроме того, как указывалось выше, в работе выясняются возможности моделирования вышеуказанный процессов динамическими уравнениями с переменными параметрами. Поэтому идентификация данной модели требует применения специальных методов решений и внимательного анализа получаемых результатов. Как будет показано в главе I, задача идентификации динамических моделей с переменными параметрами может быть сформулирована как специфическая задача теории оптимального управления, методам решения которой будет посвящена глава I.

Хотя процесс освоения капиталовложений осуществляется в рамках процесса производственной деятельности, предполагается, что оба процесса существуют независимо и потому идентификация уравнений, описывающих их, может производиться независимо. Задаче идентификации процесса производственной деятельности, описываемого первым уравнением (I), посвящается вторая глава, а задаче идентификации процесса освоения капиталовложений, описываемого вторым уравнением системы (I), посвящается третья глава.

Следует сказать, что как каждое из вышеперечисленных уравнений системы (I), так и сама система (I) могут являться составными частями более сложных экономических моделей. Кроме того, существуют модели типа (I) других народнохозяйственных объектов, что еще раз подчеркивает актуальность проведенных исследований.

По своей структуре диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка литературы и двух Приложений. Нумерация формул, графиков и таблиц в каждой из глав и в Приложениях является независимой.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Задача идентификации динамической модели с переменными параметрами сформулирована как специфическая задача теории опти-мальногб управления.

2. На основе подхода Р.П.Федоренко разработаны алгоритмы и программы ее решения.

3. Получены области допустимых значений параметров <э-эластичности и tf-однородности производственной функции.

4. Поставлена и решена задача построения производственной функции и переменной эластичностью замещения по ресурсам.

5. Исследована динамика 6-эластичности и проведено выделение интервалов постоянства б -эластичности, на которых возможно применение более простого аппарата CES -функций.

6. Построена и исследована задача идентификации процесса движения фондов непрерывными дифференциальными уравнениями с распределенным лагом.

7. Получено множество допустимых значений моментов распределенного лага.

8. На основе реальной статистики проведено сравнение двух моделей динамики фондов.

9. Построенные модели позволили оценить реальные лаги в экономике.

Все построенные модели и методы их идентификации доведены до программного уровня и на их основе проводились ретроспективный анализ и предплановые исследования тенденций развития различных секторов народного хозяйсва СССР воШНШОУ ГКНТ СССР, ЩИИТЭИ легкой промышленности СССР.На основе модели динамики фондов с распределенным лагом проводился анализ некоторых разделов проекта основных направлений Экономического и социального развития СССР на I986-ISS0 гг. и на период до 2000г.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю , профессору Ю.П.Иванилову за интересную постановку задачи и постояшое внимание к его работе.

- 131 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена вопросам идентификации макроэкономических динамических моделей, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными параметрами и построению эффективных алгоритмов решения задач идентификации» Решение этой задачи относится к кругу важных направлений развития экономического моделирования.

1. Аганбегян А.Г., Багриновский К.А., Гранберг А.Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. -М.: Мысль, 1972.,

2. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963,667 с.

3. Анчишкин А.й. ред. Методологические выпроси прогнозирования народнохозяйственной динамики. М., 1972.

4. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. М.: Экономика, 1973, 294 с.

5. Анчишкин А.И., Яременко Ю.В. Методы прогнозирования темпов. М., 1970, 22 с.

6. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М., Наука, 1984., 293 с.

7. Ашманов С.А. Теорема о магистрали для нетерминальной целевой функции. В кн.: Оптимизация, вып. 16(33), Новосибирск, Наука, 1975, с.5-14.

8. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. -М.: МГУ, 1980, 199 с.

9. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями. Прикладная математика и механика. 1981, т.45, В 2.

10. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. М.: Мир, 1982, 583 с.

11. П.Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: МГУ, 1981, 128 с.

12. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1963« 400 с.

13. Беллман Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: ИЛ, 1974, 207 с.

14. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.:15,ie