Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

Беляков Антон Олегович

Определение моментов инерции крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Сейранян Александр Паруйрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Агафонов Сергей Алексеевич

кандидат физико-математических наук Соколов Борис Николаевич

Ведущая организация:

Центральный аэрогидродинамический институт им. Н. Е. Жуковского

Защита диссертации состоится 20 мая 2005 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д.053.05.01 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 19 апреля 2005 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.053.05.01: доктор физико-математических наук

В. А. Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и быстроходных морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически определить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача измерения моментов инерции массивных крупногабаритных тел. В Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского (ЦАГИ) поступил заказ от Калужского турбинного завода на разработку стенда для измерения моментов инерции крупногабаритных тел. По мнению специалистов ЦАГИ существующие методы измерения моментов инерции или трудно применимы для крупногабаритных тел или не дают требуемой точности. В. В. Богданов предложил новый метод измерения моментов инерции, где помещенное на четыре пружины тело совершает свободные колебания по трем степеням свободы. На основе предложенного метода в ЦАГИ спроектирован стенд для измерения моментов инерции крупногабаритных тел.

Научная новизна Метод измерения моментов инерции, на основе которого в ЦАГИ разработан стенд, является новым, следовательно, возникла необходимость создания соответствующего математического аппарата. Настоящая диссертация посвящена созданию такого математического аппарата и анализу погрешности определения моментов инерции тела. Показывается, что разработанный математический аппарат совместим с различными методами идентификации линейных систем. Представлены три варианта решения задачи определения моментов инерции тела в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда:

1. Начальное смещение системы от положения равновесия вызывается при помощи известной силы. При этом определяются не только моменты инерции тела, но также его масса и положение центра

масс. Таким образом, все динамические параметры тела определяются без какой-либо информации о жесткостях пружин. Это избавляет от необходимости производить калибровку пружин перед измерениями. Также учитывается изменение жесткостей пружин при их деформации под весом тела, так как эта деформация на порядок больше амплитуды колебаний в процессе измерений.

2. Способ приведения системы в движение неизвестен, но известна масса тела и предполагается, что жесткости пружин одинаковые. В этом случае определяются моменты инерции тела и положение центра масс.

3. Способ приведения системы в движение неизвестен, а жесткости пружин различные. Зная массу и положение центра масс тела, находятся его моменты инерции.

Даются рекомендации относительно способа возбуждения колебаний и границ применимости первого варианта определения моментов инерции тела. Оценивается минимальное время возбуждения колебаний многомерной системы переменным силовым воздействием при применении второго и третьего вариантов определения моментов инерции тела. Проводится анализ чувствительности определяемых динамических параметров тела к погрешности измерения сигнала датчиками. Рассматривается влияние диссипации на алгоритм определения инерционной матрицы системы.

Практическая значимость Полученные алгоритмы предполагается использовать на разработанном в ЦАГИ стенде для определения моментов инерции крупногабаритных тел.

Методы исследования При разработке алгоритмов определения моментов инерции использовались методы теории колебаний и идентификации линейных систем.

Апробация

По теме диссертации подготовлены публикации [1-4]. Основные результаты были доложены на следующих конференциях:

1. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. "Численное моделирование процесса измерения моментов инерции крупногабаритных тел методом свободных колебаний".

2. Научная конференция МФТИ, 2001. "Определение инерционной матрицы по формам свободных колебаний".

3. Международная конференция "Математические идеи П. Л. Че-бышева и их приложения к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. "Моделирование процесса измерения динамических параметров массивных тел по формам колебаний".

4. Научная конференция МФТИ, 2002. "О способах определения моментов инерции по упругим колебаниям", (первая премия).

5. Вторая международная научно-техническая конференция молодых специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". Жуковский, 2002. "Определение инерционных характеристик крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе".

6. Международная научная конференция по механике "Третьи По-ляховские Чтения". С.-Петербург, 2003. "Способы определения динамических параметров тел по колебаниям в упругом подвесе".

7. Международная конференция "Физика и управление". С.-Петербург, 2003. "Optimal excitation of oscillations by a limited control force".

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

В первой главе диссертации представлен краткий обзор существующих методов измерения моментов инерции. Описывается конструкция измерительного стенда, спроектированного в ЦАГИ (см. рис. 1). Дается описание динамической системы стенда и приводится математическая

Рис. 1: Принципиальная схема измерительного стенда.

постановка задачи. Показано, что колебания тела на пружинах описываются следующей системой линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями

где q - вектор размерности 3, первой компонентой которого является вертикальное смещение центра масс тела, второй и третьей - углы поворота тела вокруг осей СТ и СХ (рис. 1), у - наблюдаемый вектор вертикальных смещений, получаемых с 4-х датчиков, М - матрица инерции, К - матрица жесткости, С - матрица наблюдения размерности 4x3. Матрицы М и К - симметрические и положительно определенные размерности 3x3. Матрица наблюдения имеет следующий вид

где - базы стенда, т. е. расстояния между точками крепления

пружин по осям Ох и Ог; гх и гг - компоненты радиус-вектора центра масс в связанной системе координат

Выражение для матрицы жесткости записывается следующим образом

К = С7СС. (3)

Если начало связанной с телом системы координат находится в центре масс, то инерционная матрица имеет следующую структуру

(4)

где т - масса тела, а /г2, 1ХХ, 1хг, /гх - элементы тензора инерции тела. Задача состоит в определении матрицы М по последовательности значений вектора наблюдаемого сигнала у.

Во второй главе рассматриваются три варианта решения задачи в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. Выражение для матрицы инерции М получается через матрицы

- матрицы жесткости и инерции системы (1), записанной в нормальных координатах

(5)

В нормальных координатах матрицы К' и М' диагональны по определению. Элементами диагональной матрицы А' являются квадраты частот колебаний системы. Матрица преобразования координат системы (1) к нормальным координатам (5) состоит из собственных векторов матрицы

А = М-1К.

Следовательно, выполняется следующее соотношение

А = Б-'А'З.

Матрица А может быть диагональной не только в нормальных координатах системы (5), (например, если в (б) М = К, где К - не диагональ-на). Известно, что такое возможно только в случае кратных частот. В этом случае для нахождения нормальных координат системы (5) требуется произвести ортогонализацию Грама-Шмидта множеств собственных векторов с одинаковыми собственными значениями. При этом весовой матрицей должна быть М или К, которые неизвестны по условию. Поэтому случай кратных частот исключается из рассмотрения. Матрица инерции преобразуется согласно следующему закону

М = 8ТМ'8. (7)

Матрица преобразования S, переводящая систему (1) из нормальных координат в исходные физические координаты, определяется, если известны матрицы наблюдения С и С' систем (1) и (5). Они связаны следующим образом

С = СЯ. (8)

Так как матрицы С' и С имеют размерность 4x3, матрица S выражается из уравнения (8) по методу наименьших квадратов

где - псевдообратная матрица. После подстановки

выражения (9) в формулу преобразования матрицы инерции (7) и с учетом того, что , для матрицы М получается следующее

выражение

(10)

Это основное выражение, из которого получаются три алгоритма определения моментов инерции тела. Предполагается, что оценки матриц получаются в результате процедуры идентификации, а базы стенда Ьх и ¿г, которые входят в матрицу С согласно (2), известны заранее.

Из выражения (10) с учетом структуры матрицы инерции (4) получаются шесть уравнений

т = Мц{К'п, К'22, К'п),

0 = Мп{гх, гг, К'п, К'22, К'зз),

0 = М13{гх, гг, ^'Ц, К'221

I» = М22(гЖ1 К'221 К'зз),

1XX = М33(гх, Гг, К'ц, К22) К'33),

/гг = -М2з(гх, гг, К'п, К'2Ъ К'3з)

где неизвестными считаются координаты центра масс гх и гг, диагональные элементы матрицы жесткости в нормальных координатах К'п, К22, •К'зз, масса тела т, два главных момента инерции тела 12г, 1ХХ и один центробежный момент инерции 1хг. Всего 9 неизвестных и б уравнений. Чтобы решить эту систему и получить моменты инерции, необходимы еще три независимых условия.

Благодаря структуре (2) матрицы наблюдения С в первое уравнение системы (11) координаты центра масс не входят, во второе и третье уравнения входят линейно, а в остальные три уравнения гх и г2 входят квадратично. Это позволяет выразить моменты из системы (11), если представлены дополнительные три независимые условия.

Недостающие три независимые условия находятся из дополнительной информации о способе возбуждения колебаний, параметрах тела или жесткостях пружин стенда. Приведены три алгоритма определения моментов инерции, в которых используются различные комбинации таких дополнительных условий.

Все три алгоритма имеют одинаковые начальные этапы.

1. При помощи методов идентификации линейных систем получаются оценки матриц А, С и векторов яо, уо. Обозначим их А, С, яо и Уо- Эти оценки могут оказаться комплексными. Базис, в котором получены оценки параметров системы, вообще говоря, неизвестен.

2. Найдя преобразование Т, диагонализирующее матрицу А, полу-

Т_1АТ, СТ

3. Заменяем комплексные элементы матриц их модулями. Обоснование этого действия дано в 4-ом пункте третьей главы.

4. Проверяем, нет ли кратных диагональных элементов матрицы А' с фиксированной относительной погрешностью. Если таковые имеются, прекращаем выполнение алгоритма, выдав сообщение об ошибке.

Далее алгоритмы определения моментов инерции отличаются дополнительными данными для решения системы уравнений (11). Представлены выражения для заключительного пятого этапа алгоритмов в зависимости от дополнительных условий.

1) Возбуждение известной силой, приложенной до начала

движения позволяет получить дополнительные условия для нахождения матрицы инерции. Пусть перед началом движения в точке крепления к телу одной из пружин приложена известная сила р в вертикальном направлении (см. рис. 2). При этом тело не движется. Затем силу мгновенно убирают, и тело начинает колебательное движение по трем степеням свободы. Пусть - вектор значений сил, приложенных в вертикальном направлении в точках крепления пружин к телу. Тогда вектор обобщенных сил получается из умножения некой матрицы размерности 3 х 4 на вектор Г. Эта матрица зависит от точек приложения сил и положения центра масс. Она совпадает с транспонированной матрицей наблюдения так как точки приложения сил совпадают с точками, в которых находятся датчики смещения.

За дополнительные условия к системе уравнений (11) принимается векторное соотношение в нормальных координатах, связывающее начальное смещение тела от положения равновесия с

чаем оценку матриц

А' = С' =

Рис. 2: Схема приложения силы.

приложенной перед началом движения силой С'т{

= (12)

Из векторного уравнения (12) находятся элементы диагональной матрицы К' покомпонентным делением вектора обобщенных сил на вектор начального смещения Затем подставляются диагональные элементы матрицы К' в систему (11). Этот алгоритм кроме моментов инерции дает массу и положение центра масс тела.

2) Нахождение моментов инерции без информации о способе возбуждения колебаний.

2.1) Известна масса тела т и предполагается, что все четыре пружины имеют одинаковую жесткость к. Матрица жесткости в нормальных координатах выражается через жесткости пружин к\, ¿2, к3, /¡4 аналогично (3)

где С = <Ищ(к1, к2, кц, к^, С' - матрица, совпадающая с матрицей наблюдения, так как пружины крепятся к телу там же, где

О 20 40 60 80 100 120

Уровень шума относительно амплитуд мод колебаний (%)

Рис. 3: Сравнение погрешности определения частот методами Прони и Кунга

расположены датчики. Если жесткости одинаковы и равны к, то

К' = кС^С'.

Последним, пятым этапом алгоритма является вычисление выражений для гх, гг, 1г2,1ХХ и 1хг, используя оценки матриц А' и С', а также заранее известные значения баз стенда Ьх, Ьг и массы тела т. При этом не используется информация о способе возбуждения колебаний.

2.2) Известна масса т и положение центра масс тела гх и г2.

Из первых трех уравнений системы (11) выражаются неизвестные К'ц, К'22 и Й33, которые входят туда линейно. Затем выражения для этих обобщенных жесткостей подставляются в выражения для моментов инерции

Данный алгоритм применим при любом способе возбуждения колебаний и пружинах различных неизвестных жесткостей.

Идентификация системы по последовательности векторов у измеренного датчиками сигнала дает оценки параметров которые используются в алгоритмах определения моментов инерции. В

этой главе представлены два способа идентификации параметров динамической системы по последовательности сигнала - метод Прони и метод Кунга. Проведено сравнение этих методов. Метод Кунга оказывается удобнее метода Прони. Метод Кунга не чувствителен к шуму (см. рис. 3), то есть не требует дополнительной фильтрации сигнала. В отличие от метода Прони метод Кунга работает с многомерным сигналом. Следовательно, он нормально функционирует, даже если одна из мод колебаний на одном датчике не наблюдается. Для определения частот и декрементов затухания сигнала решено использовать метод Кунга. Матрица наблюдения точнее определяется методом наименьших квадратов, как и в методе Прони, с тем отличием, что здесь решаются уравнения для сигналов со всех датчиков одновременно.

Оценивается минимальное время возбуждения колебаний многомерной линейной динамической системы с ограниченной малой управляющей силой. Рассмотрена задача быстродействия для колебаний одномерного осциллятора с ограниченной управляющей силой и*:

XI + Ш2Х\ = то 1и*)

(13)

где х\ - скалярная переменная, т - масса тела, и - частота свободных колебаний, и* - функция управления, приводящего систему (13) из любого начального положения к уровню энергии с амплитудой колебаний а за кратчайшее время. Получена линия переключения оп-

тимального управления (см. рис. 4), где Х2 — ш~1х\, а.ит = т~1и>~''и: Показано, что при за линию переключений можно принять ось

абсцисс (см. рис. 4). Функция квазиоптимального управления принимает следующий вид

— го ^и*

Рис 4 Линия переключения управления при а> и„

где Ф (х) = а —х\ — х2 =0 Получена оценка максимально возможного времени возбуждения системы квазиоптимальной (в смысле быстродействия) малой (а > ит) управляющей силой, предполагая, что начальная энергия системы не превосходит конечную более чем в два раза

Показано, что это время можно считать оптимальным с точностью до величины

0(ит/а)

На основании выражения (15) получена оценка минимального времени возбуждения многомерной колебательной системы,

которая описывается следующим уравнением

Рис. 5: Вертикальные смещения, точек крепления пружин к телу.

О 2 4 6 8 10 12

Уром** шуна отмоситолыю мпплуп мод юлебам*< (%)

Рис. 6: Чувствительность динамических параметров к уровню шума в сигнале

где матрицы М и К - симметрические и положительно определенные, q - вектор переменных размерности п, - ограничение амплитуды ^'-ой компоненты вектора управления и, имеющего размерность т, В* - матрица управления размерности п х т. Определено минимальное время, за которое все моды колебаний системы достигают соответствующих уровней энергии. Очевидно, что многомерный осциллятор нельзя возбудить быстрее, чем самую медленную его моду. В результате решения задачи возбуждения только выбранной моды получена оценка минимального времени возбуждения многомерной колебательной системы

т

£авд) ,

где - матрица преобразования, приводящего матрицу М к

единичной матрице и матрицу К к диагональной матрице, содержащей квадраты собственных частот и^ системы (16).

Третья глава посвящена численному эксперименту и анализу чувствительности определяемых параметров тела. В результате численного решения уравнений движения системы получается дискретный сигнал, (см. рис. 5), при помощи которого после добавления шума проводится тестирование алгоритмов определения моментов инерции. Найдена зависимость погрешности определения моментов инерции от погрешности сигнала (см. рис. 6). Определены условия применимости рассмат-

Рис. 7: Относительная погрешность определения динамических параметров в зависимости от положения центра масс относительно центра жесткости.

Рис. 8: Минимальная энергия мод колебаний в зависимости от положения центра масс относительно центра жесткости.

риваемого метода в зависимости от способа возбуждения колебаний. На рисунке 7 представлена зависимость погрешности определения моментов инерции тела от положения центра масс относительно центра жесткости при возбуждении колебаний известной силой, приложенной до начала движения. Видно, что форма области низкой погрешности (см. рис. 7) совпадает с формой высокой минимальной энергии мод колебаний (см. рис. 8), что вполне естественно. Образно говоря, если мода колебаний имеет низкую энергию, то она "утонет" в шуме.

Рассмотрено влияние демпфирования в случае малой диссипации и в случае, когда матрица демпфирования имеет диагональный вид в том же базисе, что и матрицы инерции и жесткости. Показано, что при таких видах демпфирования представленные алгоритмы определения моментов инерции с небольшими изменениями остаются в силе.

Заключение Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Дано математическое описание динамической системы стенда.

2. Предложено три варианта решения задачи определения моментов инерции в зависимости от дополнительных сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. Получены явные выражения для моментов инерции через результаты идентификации измеряемого сигнала.

3. Показано, что разработанный математический аппарат совместим с различными методами идентификации линейных систем.

4. Приведена модификация метода идентификации Кунга для определения параметров линейных динамических систем.

5. Дана оценка минимального времени возбуждения колебаний многомерной линейной динамической системы малой управляющей силой.

6. Проведен анализ чувствительности определяемых параметров тела к погрешности измеряемого датчиками сигнала при помощи численных решений полных уравнений системы, учитывающих нелинейности. Найден допустимый уровень погрешности измеряемого сигнала.

7. Произведена оценка отклонений центра масс от центра жесткости и главных осей инерции от главных осей жесткости системы, при которых предложенные алгоритмы определения моментов инерции удовлетворяют требуемой точности.

8. Изучено влияние демпфирования в случае малой диссипации и в случае, когда матрица демпфирования имеет диагональный вид в том же базисе, что и матрицы инерции и жесткости.

Статьи по теме диссертации

1. Беляков А. О. Численное моделирование процесса измерения моментов инерции крупногабаритных тел методом свободных колебаний // Ученые записки ЦАГИ. 2002. № 1-2, С. 129-139.

2. Беляков А. О. Определение динамических параметров массивных тел по формам колебаний. Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика С.-Петербург (в печати).

3. Беляков А. О. Optimal excitation of oscillations by a limited control force // Труды международной конференции "Физика и управление" С.-Петербург. 2003. С. 1130-1133.

4. Беляков А. О., Блаженнова-Микулич Л. Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. сер. 1, Математика механика. 2005. №3, С. 25-28.

Тезисы докладов

1. Беляков А. О. "Численное моделирование процесса измерения моментов инерции крупногабаритных тел методом свободных колебаний". В книге: Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 93.

2. Беляков А. О. "Определение инерционной матрицы по формам свободных колебаний". В книге: Тезисы XLIV научной конференции МФТИ. Часть VI. 2001. С. 48.

3. Беляков А. О. "Моделирование процесса измерения динамических параметров массивных тел по формам колебаний". Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания. Международная конференция. Тезисы докладов. Обнинск, 2002. С. 14.

4. Беляков А О. "О способах определения моментов инерции по упругим колебаниям". Тезисы ХЬ1У научной конференции МФТИ. Часть VI. 2002. С. 72.

5. Беляков А О. "Определение инерционных характеристик крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе". Современные проблемы аэрокосмической науки и техники. II Международная научно-техническая конференция молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. - Жуковский: ЦАГИ: Авиационный печатный двор, 2002. С. 31.

6. Беляков А. О. "Способы определения динамических параметров тел по колебаниям в упругом подвесе". Третьи Поляховские Чтения: Тезисы докладов международной научной конференции по механике. Санкт.-Петербург: Изд-во НИИХ СПб. ун-та. 2003. С. 29.

Ol Oí' OW

» í -

' l

\ i у

\

19 Май

Введение

Глава I. Описание метода измерений

1 Существующие методы измерения моментов инерции

2 Конструкция измерительного стенда и процесс измерений

3 Математическая модель стенда и постановка задачи

Глава II. Способы возбуждения колебаний и алгоритмы определения моментов инерции

1 Возбуждение известной силой, приложенной до начала движения

2 Нахождение моментов инерции без информации о способе возбуждения колебаний

2.1 Пружины одинаковы, известна масса.

2.2 Известна масса и положение центра масс тела.

3 Идентификация линейной колебательной системы

3.1 Определение частот, декрементов затухания и амплитуд сигнала методом Прони.

3.2 Идентификация методами пространства состояний.

4 Оценка минимального времени возбуждения многомерной колебательной системы с управлением

4.1 Синтез управления.

4.2 Синтез управления при малом управлении и неизвестных параметрах системы.

4.3 Максимальное время возбуждения системы.

4.4 Оценка минимального времени возбуждения многомерной колебательной системы

4.5 Пример расчета.

Глава III. Численный эксперимент и анализ погрешностей

1 Численное моделирование процесса колебаний

2 Пример вычислений динамических параметров

3 Анализ погрешности определения динамических параметров

3.1 Анализ чувствительности динамических параметров к ошибке идентификации.

3.2 Анализ чувствительности динамических параметров к ошибке измерения сигнала.

4 Влияние демпфирования на частоты и формы колебаний системы

Выводы

Актуальность темы

Для обеспечения требуемых маневренных характеристик самолетов и быстроходных морских судов конструкторам требуется знать моменты инерции их массивных деталей. Но из-за сложности конструкции некоторых элементов, таких как силовые установки, аналитически определить их моменты инерции не представляется возможным. Возникает задача измерения моментов инерции массивных крупногабаритных тел. В Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н. Е. Жуковского (ЦАГИ) поступил заказ от Калужского турбинного завода на разработку стенда для измерения моментов инерции крупногабаритных тел. По мнению специалистов ЦАГИ существующие методы измерения моментов инерции [1, 2, 3, 5, 6, 7] или трудно применимы для крупногабаритных тел или не дают требуемой точности. В. В. Богданов [9] предложил новый метод измерения моментов инерции, где помещенное на четыре пружины тело совершает свободные колебания по трем степеням свободы. Моменты инерции тела (включая центробежные) содержатся в инерционной матрице колебательной системы. Инерционная матрица определяется по сигналу с датчиков, измеряющих смещение тела. При этом не требуется знание жесткостей пружин. На основе предложенного метода в ЦАГИ спроектирован стенд для измерения моментов инерции крупногабаритных тел

9].

Научная новизна

Метод измерения моментов инерции, на основе которого в ЦАГИ разработан стенд [9], является новым, следовательно, возникла необходимость разработки соответствующих математических алгоритмов. Настоящая диссертация посвящена созданию этих алгоритмов и анализу погрешности определения моментов инерции тела. В работе показано, что разработанный математический аппарат совместим с различными методами идентификации линейных систем [13, 14, 15]. Представлены три варианта решения задачи определения моментов инерции тела в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда:

1. Начальное смещение системы от положения равновесия вызывается при помощи известной силы. При этом разработанный автором алгоритм определяет не только моменты инерции тела, но также его массу и положение центра масс. Все динамические параметры тела определяются без информации о жесткостях пружин, кроме предположения о постоянстве жесткостей пружин в процессе колебаний. Другими словами, жесткости пружин косвенно определяются в процессе измерений. Таким образом учитывается изменение жесткостей пружин при их деформации под весом тела, так как эта деформация на порядок больше амплитуды колебаний в процессе измерений. Это избавляет от необходимости производить калибровку пружин перед измерениями.

2. Способ приведения системы в движение неизвестен, но известна маеса тела и предполагается, что жесткости пружин одинаковые. Для этого случая автором разработан алгоритм определения моментов инерции тела и положения центра масс.

3. Способ приведения системы в движение неизвестен. Жесткости пружин различны. Для этого случая автором разработан алгоритм, позволяющий при известных массе и положении центра масс тела находить его моменты инерции.

Даются рекомендации относительно способа возбуждения колебаний и границ применимости первого варианта определения моментов инерции тела. Оценивается минимальное время возбуждения колебаний многомерной системы переменным силовым воздействием при применении второго и третьего вариантов определения моментов инерции тела. Проводится анализ чувствительности определяемых динамических параметров тела к погрешности измерения сигнала датчиками. Рассматривается влияние диссипации на алгоритм определения инерционной матрицы системы.

Практическая значимость Полученные алгоритмы предполагается использовать на разработанном в ЦАГИ стенде для определения моментов инерции крупногабаритных тел. Данные автором рекомендации могут быть использованы при конструировании аналогичных измерительных стендов.

Метод исследования При разработке алгоритмов определения моментов инерции использовались методы теории колебаний [23, 38, 39, 40, 41, 42], теории идентификации линейных систем [13, 14, 15, 18, 19, 21], теории оптимального управления и теории возмущения матричных операторов.

Достоверность результатов Достоверность численного решения полных уравнений движения системы подтверждается совпадением численного решения с частными аналитическими решениями. Эффективность предложенного метода определения моментов инерции тела подтверждается результатами численных экспериментов. Оценка влияния демпфирования на частоты и формы колебаний системы согласуется с известными аналитическими результатами.

Структура диссертации Работа состоит из трех глав.

В первой главе диссертации представлен краткий обзор существующих методов измерения моментов инерции. Описывается конструкция измерительного стенда, спроектированного в ЦАГИ. Дается математическое описание динамической системы стенда и приводится математическая постановка задачи.

Во второй главе рассматриваются три варианта решения задачи в зависимости от сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. В этой же главе изложены способы идентификации параметров динамической системы по последовательности сигнала, измеряемого датчиками стенда. Дана оценка минимального времени возбуждения колебаний многомерной линейной динамической системы ограниченной малой управляющей силой.

В третьей главе проведен анализ чувствительности определяемых параметров тела к погрешности сигнала, измеряемого датчиками. Найден допустимый уровень погрешности сигнала. Определены условия применимости рассматриваемого метода в зависимости от способа возбуждения колебаний. Изучено влияние демпфирования в случае малой диссипации и в случае, когда матрица демпфирования имеет диагональный вид в том же базисе, что и матрицы инерции и жесткости. Показано, что при таких видах демпфирования представленные алгоритмы определения моментов инерции с небольшими изменениями остаются в силе.

Апробация

По теме диссертации подготовлены публикации [30, 31, 32, 33]. Основные результаты были доложены на следующих конференциях:

1. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. "Численное моделирование процесса измерения моментов инерции крупногабаритных тел методом свободных колебаний".

2. Научная конференция МФТИ, 2001. "Определение инерционной матрицы по формам свободных колебаний".

3. Международная конференция "Математические идеи П. Л. Чебыше-ва и их приложения к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2002. "Моделирование процесса измерения динамических параметров массивных тел по формам колебаний".

4. Научная конференция МФТИ, 2002. "О способах определения моментов инерции по упругим колебаниям", (первая премия).

5. Вторая международная научно-техническая конференция молодых специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". Жуковский, 2002. "Определение инерционных характеристик крупногабаритных тел по колебаниям в упругом подвесе".

6. Международная научная конференция по механике "Третьи Поля-ховские Чтения". С.-Петербург, 2003. "Способы определения динамических параметров тел по колебаниям в упругом подвесе".

7. Международная конференция "Физика и управление". С.-Петербург, 2003. "Optimal excitation of oscillations by a limited control force".

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю А. П. Сейраняну за руководство и за переданное умение самостоятельно отличать полезный научный результат.

Автор благодарит Ю. В. Болотина, И. В. Новожилова, И. JI. Антонова, В. В. Александрова, Ю. Г. Мартыненко за ценные замечания по тексту диссертации, а также О. Н. Кириллова и А. А. Майлыбаева за полезные советы. Автор особо благодарит В. В. Богданова за постановку задачи и консультации и JI. Ю. Блаженнову-Микулич за совместную работу и за указание на литературу по методам пространства состояний.

Основные результаты и выводы

В первой главе диссертации представлен краткий обзор существующих методов измерения моментов инерции. Описана конструкция измерительного стенда, спроектированного в ЦАГИ. Дано математическое описание динамической системы стенда и поставлена задача определения моментов инерции тела.

Во второй главе предложено три варианта решения задачи в зависимости от дополнительных сведений о способе возбуждения колебаний или о параметрах тела и жесткостях пружин стенда. Рассмотрены методы Прони и Кунга идентификации линейной динамической системы по последовательности наблюдаемого сигнала. Проведено сравнение этих двух методов, в результате которого предпочтение отдано методу Кунга. Получены явные выражения для определения моментов инерции тела по результатам идентификации с привлечением дополнительных условий в трех вариантах. Показано, что разработанный математический аппарат совместим с различными методами идентификации линейных систем. Дана оценка минимального времени возбуждения колебаний многомерной линейной динамической системы малой управляющей силой.

В третьей главе приведены результаты численных решений полных уравнений системы, учитывающих нелинейности. При помощи этих решений проведен анализ чувствительности определяемых параметров тела к погрешности измеряемого датчиками сигнала. Проведен анализ чувствительности определяемых параметров к ошибке идентификации. Найден допустимый уровень погрешности измеряемого сигнала. Произведена оценка отклонений центра масс от центра жесткости и главных осей инерции от главных осей жесткости системы, при которых предложенные алгоритмы определения моментов инерции удовлетворяют требуемой точности. Определены условия применимости рассматриваемого метода в зависимости от способа возбуждения колебаний. Изучено влияние демпфирования в случае малой диссипации и в случае, когда матрица демпфирования имеет диагональный вид в том же базисе, что и матрицы инерции и жесткости.

Разработанные автором алгоритмы определения моментов инерции будут наиболее эффективны если конструкция стенда позволит возбуждать и наблюдать колебания тела по всем шести степеням свободы. В этом случае за одно измерение будет определяться весь тензор инерции тела вне зависимости от положения главных осей инерции.

1. Буянов Е. В. Методика и установка для точного определения тензора инерции твердого тела // Измерительная техника. 1988. №12. С. 2527.

2. Гернет М. М., Ротобылъский В. Ф. Определение моментов инерции. М.: "Машиностроение", .1969.

3. Orne D., Schmitz Т. Analysis of a Platform for Measuring Moments and Products of Inertia of Large Vehicles //Journal of dynamic systems, measurement and control, №2, 1978.

4. Ashley S. Testing vehicle inertia //Mechanical Engineering, №117, 1995.

5. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. 480 с.

6. Ишлинский А. Ю., Стороженко В. А., Темченко М. Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М.: Наука, 1991.

7. Мельников В. Г. Синтез и исследование нелинейных систем управления для параметрической идентификации тензоров инерции тел. Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук, С.-Петербург, 2001.

8. Hecker F., Hahn Н. Mathematical Modeling and Parameter Identification of a Planar Servo-Pneumatic Test Facility //Nonlinear Dynamics. 1997. №14, C. 269-277.

9. Богданов В. В., Волобуев В. С., Кудряшов А. И. Комплекс для измерения массы, координат центра масс и моментов инерции машиностроительных изделий // Измерительная техника, 2002. №2. С. 37-39.

10. Новожилов И. В. Фракционный анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 224 с.

11. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

12. Gladwell G. М. L. Isospectral vibrating beams // Procedings of Royal Society, London. A 458, pp. 2691-2703. 2002.

13. Kung S. Y. A New Identification and Model Reduction Algorithm via singular value decomposition//12th Asilomar Conf. Circuits, Syst. Comput. Pacific Grove. Calif., Nov. 1978.

14. Verhaegen M. Identification of the Deterministic Part of MIMO State Space Models Given in Innovation Forms from Input-Output Data // Automatica, V.30. №1, pp. 61-74. 1994.

15. Viberg M. Subspace-based Methods for the Identification of Linear Timeinvariant Systems 11 Automatica, V.31. №12, pp. 1835-1851. 1995.

16. Александров В. В., Садовничий В. А, Чугунов О. Д. Математические задачи динамической имитации полета. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 181 с.

17. Федорова Г. А. Идентификация параметров имитационных динамических стендов. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, Москва, 1992.

18. Цыпкин Я. 3. Информационная теория идентификации. М.: Наука, 1995.

19. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Наука, 1975.

20. Эйкхофф П. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983.

21. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я. 3. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432 с.

22. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1974. С. 357-361.

23. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1983. 328 с.

24. Моисеев Н. Я. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975. 528 с.

25. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 416 с.

26. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.

27. Бахвалов H. С., Жидков H. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1978. 600 с.

28. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1977. 439 с.

29. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И. Теоретические основы информационной техники., М.: Энергия, 1971. 423 с.

30. Беляков А. О. Численное моделирование процесса измерения моментов инерции крупногабаритных тел методом свободных колебаний // Ученые записки ЦАГИ. 2002. № 1-2, С. 129-139.

31. Беляков А. О. Определение динамических параметров массивных тел по формам колебаний. Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика С.-Петербург (в печати).

32. Беляков А. О. Optimal excitation of oscillations by a limited control force // Труды международной конференции "Физика и управление" С.-Петербург. 2003. С. 1130-1133.

33. Беляков А. О., Блаженнова-Микулич JI. Ю. Идентификация инерционной матрицы консервативной колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та. сер. 1, Математика механика. 2005. №3, С. 25-28.

34. Bushaw D. W. Expérimental towing tank // Stevens Inst. of Technology. Reprint 169. N.Y.: Hoboken, 1953.

35. Александров В. В., Болтянский В. Г., Лемак С. С., Парусников Н. А., Тихомиров В. М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. 304 с.

36. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 384 с.

37. Саввин А. Б. О наибыстрейшем выведении изображающей точки за пределы заданной фазовой плоскости. // Изв. АН СССР. Технич. ктберн. 1963. № 4.

38. Обморшев А. Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.

39. Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. М.: Мир, 1982. 304 с.

40. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с.

41. Вибрации в технике. Справочник. Том 1. Колебания линейных систем /Под редакцией В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1999. 504 с.

42. Трубецков Д. И., Рожнев А. Г. Линейные колебания и волны. М.: Физматлит, 2001. 416 с.

43. Вишик М. И., Люстерник JI. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. I. УМН. 1960. Т. 15. Вып. 3. С. 3-80.

44. Севрюк М. В., Сейранян А. П. Эволюция частот колебаний диссипа-тивной системы // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 21-30.

45. Сейранян А. П., Шаранюк А. В. Анализ чувствительности частот колебаний механических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 2. С. 37-41.

46. Seyranian А. P., Elishakoff /. (Eds.) Modern Problems of Structural Stability. Wien, New York: Springer. 2002. 394 p.

47. Seyranian A. P., Mailybaev A. A. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. Singapore: World Scientific, 2003. 420 p.

48. Гантмахер Ф. P. Лекции по аналитической механике. M.: Физматлит, 1966.

49. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988.

50. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа. 1976.

51. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М.: "Наука". Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. 432 с.