Колебания осесимметричных тел с деформируемыми элементами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ вд АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

- ДПР 19М

Но правах рукописи УДК 531.391

СКОРОБОГАТЫХ ИГОРЬ ВЛАДИМИРОВИЧ

КОЛЕБАНИЯ ОСЕСЮШЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической механики факультета "Прикладная математика" Московского Авиационного Института имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель: кандидат физико-математических яаук,

доцент Ю.Г. Марков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Б.Г. Дёмин

кандидат физико-ыатеыатических наук Е.В. Синицын

Ведущая организация: Московский Физико-Технический Институт

Защита диссертации состоится " " _1994.

в _ часов на заседании совета К 053.18.02 в Московском

Авиационном Институте имени Серго Орджоникидзе.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Автореферат разослан "_" _199^ г.

Учёный секретарь совета к.ф.-м.н., доцент ' ^.Ф. Лобанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно большое число задач, важных для науки и техники, в которых существенно влияние деформируемости на движение системы в целом и наоборот, когда движение тела как целого играет ваетув роль в характере процесса колебаний деформируемой среда. Область приложений задач первого типа связана с динамикой крупногабаритных конструкций, с задачами аволпции двкае-ния планет в небесной механике. В настоящее время это направление интенсивно развивается. К другому типу задач относится динамика вибрационных, а также волновых твердотельных гироскопов.

Большое число задач динамики деформируемых тел изучалось в работах А.И.Лурье, В.Ф.Журавлева, Д.Н.Климова, Л.В.Докучаева, В.Г.Вильке, В.В.Белецкого, А.П.Мархеева и других авторов.

Цель работы состоит в изучении вращательных и колебательных движений систем упругое-твердое тело, а также вопросов динамики упругих колебаний.

Метод исследования представляет собой сочетание методов модального анализа и малого параметра. На основе метода модального анализа производится представление полей упругих деформаций бесконечными рядами по некоторой системе базисных функций. В качестве такой системы обычно используют собственные формы свободных колебаний упругого тела. Особенностью рассматриваемых задач является наличие движений с различными характерными временами, что позволяет использовать асимптотические методы.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

- в рамках модального подхода выведены динамические уравнения.

описывающие упругие колебания осесимметричного тела ;

- рассмотрена эволюция плоских движений осесимметричного вязкоунругого тела в гравитационном поле сил, показано аналитически, что происходит гравитационный захват системы ;

- изучена возможность демпфирования угловых колебаний спутника за счет внутреннего трения в материале. Отмечено, что если

в управляющем моменте отсутствует демпфирующая составляющая, то ее роль могут выполнить вязкоупругие свойства материала, однако время затухания колебаний будет существенно больше ;

- в задаче о пространственных малых колебаниях гравитационно ориентированного упругого спутника показано, что игнорирование нежесткости спутника может привести к заметным отклонениям в ожидаемых свойствах углового движения спутника,

и как следствие этого, к ошибкам его ориентации ;

- изучено движение относительно центра масс нежесткого спутника с гиродинами ; в задаче о переориентации определено отклонение его движения от программного (в случае твердого спутника) ;

- исследовано влияние составляющих угловой скорости, перпендикулярных оси симметрии осесимметричного упругого тела на динамику его собственных форм ; рассмотрена динамика колебаний в случае вязкоупругого тела под действием поверхностной нагрузки ; изучен автоколебательный режим ;

- получены уравнения, описывающие эффект прецессии волн крутильных колебаний во вращающемся сферически симметричном теле ; показано, что аналогичный эффект имеет место для абсо-

лютно твердого тела, закрепленного во вращающемся кардановом подвесе с упругостью ;

Достоверность результатов. Результаты диссертации получены с помощью обоснованных математических методов и согласуются с работами других авторов.

Практическая ценность. Проведенные в работе исследовния могут быть применены : 1) при изучении движений (управляемых или неуправляемых) вокруг центра масс упругих конструкций (спутников) в гравитационном поле ; 2) при исследовании колебаний упругих конструкций ; 3) при создании средств инерциальной навигации - вибрационных и волновых гироскопов.

Апробация работы. Материалы диссертации были доложены на

- XVI Научных чтениях по космонавтике (Москва, февраль 1992);

- Российской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии машиностроения" (Москва, ноябрь 1992) ;

- семинарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ, руководимых проф. В.Г.Вильке и В.А.Самсоновым и проф. В.Г.Деминым ;

- семинаре кафедры теоретической механики МАИ .

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в семи работах [1-7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы 74 наименований. Ее общий объем 143 страницы, из которых 8 занимают рисунки.

- к -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указана литература, ^относящаяся к тема диссертации, обосновывается актуальность темы, дано краткое изложение содержания работы.

В первой главе диссертации приведены необходимые сведения

используемые на протяжении всей работы. Приводятся вариационны принципы Гамильтона и ДаламОэра-Лагранжа для деформируемого твердого тела, используемые для получения уравнений колебаний среды. Кратко изложены принципы построения функционалов внутренних упругих и диссипативных сил. Рассмотрены модели линейно теории упругости малых деформаций и вязкоупругости. В конце главы кратко излагается модальный подход, применяемый при исследовании малых линейных колебаний вязкоупругих систем, когда решение неоднородного уравнения деформаций представляется в виде

00

и = 2 ик(?) (1

к=1

разложения по собственным формам ик(?) свободных упругих колебаний, обобщенные координаты подлежат определению, а —»

Ик(?) считаются известными функциями координат

В главе второй изучается влияние колебательных процессов

упругой среде на эволюцию вращательных движений системы упруго твердое тело.

В § 5 дан вывод уравнений колебаний вращащегося осесим-метричного упругого тела с твердой вставкой. При атом предполагается, что твердая вставка вращается с заданной угловой

скоростью. Уравнения получаются из вариационного принципа Дзламбора - Лагранжа и представляют собой бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно нормальных координат. Соотношение (1) вследствие осевой симметрии: пореходит в

со

= 2 К»<*> ▼кт + Рюп"» »ьп]- (2>

к,ш=0 —» —♦

где формы У^ и соответствуют одной и той же частоте и

ортогональны. Коэффициенты дифференциальных уравнений для qkш и р^ выражаются через интегралы от компонент вектор-функций

Лт И »Кт*

§ 6 посвящен задаче о плоском движении вокруг центра масс системы упругое - твердое тело, при этом сам центр масс обращается по круговой орбите вокруг притягивающего центра. Упругое тело в недеформированном состоянии является осесимметричным. Ось симметрии лежит в плоскости орбиты центра масс системы. Уравнения, описывающие движение системы относительно центра масс (вращение как целого и упругие колебания) можно получить из вариационного принципа Даламб&ра - Лагранжа:

](? + "й)*{сГ1 И^ + сЗж (?+Т$)+о5х гЗ* (?+1!)] +2ГЗ * 1} }■+ + 15 - ГЗулШх = О, (3)

по

] {О-1 к^ +15 " (?+13)+(5« гЗ х (? + и)1 + гЙ«"й] + п

- б -

+ "й - i^Sita + (vECTi] + ?Dfii],6ii) = о,

О"1 R„ = О-1 R - 15 * tt - ш x п5 «"¡Si - 2СЙ « tU - li

* а с с о,

-» -2 -1 -Ю -1 -1-Ю -1-Ю

1 = - рл [О "R +(?+t)R - 3 R {R ,"?+t)0-R ],

_+ _»о -з 2 ^ , -»„.

R = R-R , ЦБ = ш0 = const, ^ =tl -U0, I RuI = 1.

tic = m~1'J itidx, dx = dz1dx2dx3 П

Здесь и R - абсолютные ускорэния центров масс недефор-

мированной и деформированной системы соответственно ; 1 - удел ная плотность гравитационных сил, действующих на частицы систе мы со стороны притягивающего центра ; ECU] и DCTl] - функциона потенциальной энергии упругих деформаций и диссипативный функционал; iiQ и С1 - объем, занимаемый всем телом и его упругой ча

тьга плотностью 7 = const ; m и 70 - масса и плотность тела соо

-1

ветственно. Матрица 0 (t) задает переход от системы координа Кенига, движущейся поступательно, к связанной системе координг

Вариации бЗ и бй независимы, причем на области (П0 - Q) (заши, емой твердой частью системы) имеет место: 63=0 ; ц - гравитащ онный параметр притягивающего центра. Первое уравнение описывг движение системы как целого и представляет собой уравнение 3&j Из второго соотношения системы (3) выводятся уравнения упругю формаций, которые имеют следующий вид:

e2q^ + aeso^q^ + o^q^ + еЧь,'2® * 02 ж (? + U -

Сй' -и; ) , У^) - , 7^)} -

- 2б2 (? + И - И0 , У^) - 3е2(0-1 Б0 « [О-1 И0 * х (?+и -Ис)] , У1ш) = О.

кт

I »

,0

< < • > • V ( ' ' ^кт^

П

Уравнение для р^ получится заменой У^ - Я^. Отметим, что

в случае, когда деформации происходят с частотами, много меньшими собственных частот свободных упругих колебаний системы, целесообразно использовать квазистатический подход к определению деформаций.

В дальнейшем предполагается, что величина ш = |31 порядка ш0 и справедливы следующие неравенства:

О < е « эе « 1, зе = , е = (5)

которые означают,что характерное время затухания собственных колебаний с наинизшей частотой V существенно превосходит период этих колебаний, но намного меньше характерного времени Т0 ~ ш^1 движения механической системы как целого (параметр % характеризует диссипацию энергии в материале, Ь > 0 - размерная константа). Выполнение допущений (5), имеющих физическое обоснование, позволяет упростить задачу определения деформаций и перейти к ее квазистатической постановке. Движение системы рассматривается на интервалах времени порядка Т0 и больших. При этом колебания с собственными (высокими) частотами затухают, а де-

формации носят вынужденный характер и происходят с частотами движения системы как целого.

На основании подученных уравнений показано, что происходит гравитационный захват системы в асимптотически устойчивое положение относительного равновесия, когда ось симметрии направлена по радиус-вектору центра масс.

В § 7 решена задача стабилизации оси симметрии спутника Сх в заданном направлении X с помощью управляющего момента вида

М = - Ца - К2а, (6)

где а - угол между направлениями X и з^, Ц и ^ - коэффи циенты обратной связи по углу и скорости поворота, соответствен но. Изучается возможность демпфирования угловых колебаний спутника, обладающего упругостью за счет внутреннего трения в материале. Найдено условие, из которого следует, что если в управляющем моменте (6) отсутствует демпфирующая составляющая, то ее роль могут выполнить вязкоупругие свойства материала. Однако характерное время затухания колебаний по углу а довольно большое.

В последующем параграфе проводится анализ малых пространственных колебаний гравитационно ориентированного нежесткого спутника. Предполагается, что движение центра масс не зависит от его движения относительно центра масс и орбита остается круговой. Пусть пространственные колебания спутника относительно центра масс возникают под действием малого осциллирующего момента М, действущего .по оси Сх1 и обусловленного, например, некоторым технологическим процессом. Положим М=М0 соз цг, гдэ М0 и р. - соответственно, амплитуда и частота внешнего момента от вибраций, сравнимая с наинизшей собственной частотой

упругой части спутника. При движении в окрестности положения равновесия в орбитальной системе координат ориентация спутника задается двумя малыми углами а,р « 1. Исследовалась устойчивость положения равновесия в орбитальной системе координат. Показано, что игнорирование нежесткости может привести к существенным отклонениям в характере движения по сравнению со случаем твердого спутника.

В § 9 проводится анализ переходных динамических процессов, вызванных переориентацией спутника; рассматривается задача пространственного поворота конструкции, при котором движение системы представляется в виде суперпозиции движений системы как целого вокруг центра масс и малых упругих колебаний относительно твердой части. Показано, что если время затухания упругих колебаний много меньше времени поворота, то поворот можно считать плоским, деформации - квазистатическими, колебания не будут оказывать влияния на характер поворота системы как целого. В случае, когда времена одного порядка, необходимо учитывать динамику упругих колебаний. Вследствие взаимосвязи колебательных процессов с движением спутника как целого уже не будет возможен плоский поворот.

Третья глава посвящена изучению специальных вопросов колебаний упруго-твердого тела. Здесь изучается влияние вращательных движений тела как целого на динамику колебаний упругой среды.

В начале главы излагается, метод возмущений, для вычисления собственных векторов и частот системы уравнений колебаний с малым параметром. Далее, на основе уравнений § 5 получен известный эффект прецессии собственных форм колебаний во вра-

щащемся осесимметричном теле. После перехода к комплексным переменным (йк = + Ч^) решение представляется в виде: г

2к = \ехр[1Вк ;ш(т;)(1т] (7)

о

Формула (7) описывает поворот комплексной переменной на

угол Вк )ш(г)ат за время Это означает, что к-я собственная о

форма будет прецессировать в упругом теле. Далее в этом же параграфе в качестве примеров рассмотрено движение струны и стержня и получен аналогичный эффект. А именно, показано, что во вращающейся системе координат форма колебаний (для V к) предес-сирует в сторону, противоположную вращению с той же угловой скоростью, что также означает, что по отношению к инерци-альной системе координат направление колебаний остается неизменным, аналогично маятнику Фуко.

В § 12 рассмотрено вращение осесимметричного тела, когда проекции вектора угловой скорости на подвижные оси постоянны и малы. Тогда уравнения движения можно представить в матричной форме

г + и-г - 21ш3вг + г^лг = о (8)

г =

N = с11а£(г>!^,...), В = с11ав(В2,В3,...),

А =

0 А3 0 .

Аз О А4 "

0 А4 0 .

= <*к + ^

Это уравнение имеет интеграл энергии:

ZTZ + Z%Z = h = const (9)

из которого следует, что собственные числа (8) комплексно сопряженные и чисто мнимые. Учитывая малость ш1 и по сравнению с наинизшей частотой свободных колебаний, систему (8) рассматриваем как возмущенную по отношению к уравнению, получаемому из (8) при ш1 = = 0. Методом, изложенным в § 10 в первом приближении определяются поправки к частотам и собст-енным векторам:

\(ш) = ^(3). vk(0) = г>к \(0) =\

^к(0)/аш3 = вк, ^(0)/^ = 0, э\(0)/ш3 = 0,

\ o\l0)/**! = 2vk(Ak6k_bm + Ak+10k+1>m)/(v2 - v£), k*m

Таким образом, с принятой точностью произвольность напра-ления вектора угловой скорости упругого тела вносит поправки только к собственным векторам ; коэффициент, характеризующий прецессию волны при этом не меняется.

В § 13 рассматривается аналогия между двумя механическими задачами. В первой изучаются крутильные колебания вращающегося сферически симметричного упругого тела с твердой вставкой. Методом § 10 приближенно вычисляются частоты и собственные векторы. С точностью второго приближения получается, что будут существовать волны крутильных колебаний в каждом подпространстве ^Pk^k'^k^' прецэссирухщиэ с угловой скоростью - В^ш, где по-

стоянный коэффициент В}ск выражается через интеграл от произведений компонент к-х собственных форм. Далее показано, что аналогичный аффект имеет место и при движении динамически симметричного твердого тела, укрепленного в невесомом кардановом подвесе с упругими связями, вращающегося в инерциальном простран стве.

В последних двух параграфах изучаются колебательные процессы во вращающемся осесимметричном теле под действием поверхностной нагрузки.

В § 14 нагрузка направлена по радиус-вектору точки деформированной поверхности и является периодической кусочно-постоянной функцией времени.Методом точечных отображений получены условия существования установившихся параметрических колебаний. При этом выявлена поправка к угловой скорости прецессии стоячей волны.

§ 15 касается изучения нагрузки, направленной по нормали к деформированной поверхности. Показано, что под действием нагрузки специального вида

П - а-

2 2. - п Г1 .при X = 1 , 1 Я?2 + Ч2> > и -Чо,при з1яп X * 1 Р = I-(1 - а-<рI + <£>)■ 1

1 - а-<п2 + п2> < П .Л-1 '"Р11 X =-1

(1 а <р2 + q2> < и ■♦|0>при а10п х

X

X = Р2Р2 + <11>

(где а,£ - константы, < . > - операция усреднения, Р2,Ч2 - обобщенные координаты) усредненные уравнения, описывающие колебания на второй собственной форме будут таковы:

а = - %бг>2а/2 + (2ти)~1А£а(1-а/2- (а2+Ь2))

1,при (а2-Ь2) > О —1,при (а2-Ъ2) < о

Х6у2Ъ/2 - (2то)~1А£Ь(1-а/2-(а2+Ь2))-

1,при (а2-Ь2) > О

»

-1, при (а2-Ь2) < О

ф = шВ.

Здесь а,Ь -полуоси эллипса, выписываемого точкой (р2, ф -угол поворота полуосей. Эта система допускает асимптотически устойчивые решения а* > О, Ъ* = О и а** = О, Ъ** = а*. При этом линейная зависимость угла ф от Ъ определяет прецессии эллипса. Итак, нагрузка (12) компенсирует вязкое трение в материале и не оказывает влияния на прецессию.

В заключении перечислены основные результаты работы.

Основные положения, выносимые на запщту:

- распространение метода модального анализа для систем с распределенными параметрами на динамику упругих колебаний осесимметричного тела ;

- показано, что в эволюции плоских движений осесимметричного тела в гравитационном поле происходит гравитационный захват системы ;

- показана возможность демпфирования угловых колебаний упругого спутника за счет вязкого трения в материале ; рассмотрен разворот упругого спутника и отклонение его движения от программного (для твердого спутника) ;

- исследована пространственная прецессия собственных форм крутильных колебаний сферически симметричного упругого те-

ла ;

- изучены инерциальные свойства мод осесимметричного тела при произвольно направленном векторе угловой скорости, а также автоколебания при учете вязкоупругости и поверхностной пульсирующей нагрузки.

ЛИТЕРАТУРА

1.Марков Ю.Г., Миняев И.С., Скоробогатых И.В. Колебательные про цессы в управлении ориентацией вязкоупругого спутника //Косм, исследования, 1992. Т.30. Вып.4. С.462-472.

2.Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. К динамике собственных форм вр; щахщегося осесимметричного упругого тела //МТТ, 1992. Л 4. С.99-105.

3.Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. Об относительном движении гиро стабилизаторов и нежесткого КА //Косм, исследования. 1993. Т. Вып.З. С.25-33.

4.Скоробогатых И.В. 0 крутильных колебаниях вращающегося сферич! ки симметричного упругого тела. Междуведомственный сборник на, них трудов. Прикладная механика и процессы управления. М., 19 С.37-41.

5.Скоробогатых И.В. Колебательные процессы в динамике движения , упругого спутника. XVI Научные чтения по космонавтике, посвящ ные памяти академика С.П.Королева и других советских ученых -пионеров освоения космического пространства. Тезисы докладов. Москва, 1992.

6.Скоробогатых И.В. 0 параметрических колебаниях деформируемого

космического аппарата //Косм, исследования, 1992. Т.30. Вып.2. С.275-277.

Скоробогатых И.В. Об одном колебательном эффекте в двух задачах механики //ШТ. 1993. Я 3.