Разработка и исследование моделей динамического равновесного фондообразования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Гщтфстынгг--

Шлчтс;:- ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН

»П'

На правах рукописи

ДОИИАНСВА Гульмира Акировна

Разработка « исследования :»одолеП динамического равновесного

фондообразования

01. 01. 11 - Системный анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор А. Д. Цвиркун

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В. В. Кондратьев кандидат физино-математических наун, с. н. с. Б. В. Савельев

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится «_» _ 1993 г. в __

часов на заседании Специализированного совета Д 002.68. 03 Института проблем управления РАН (117806, Моснва, ул. Профсоюзная, 65).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан «_» __ 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

к. т. н.

С. А. Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работу. При формировании инвестиционных программ развития народного хозяйства в новых экономических условиях важное значение приобретает разработка научно обоснованном стратегии сбалансированного развития основных секторов энононики на основе принципов системного анализа, методов долгосрочного прогнозирования и анализа финансовых потоков. Это требует построения н реализация энономиио-математических моделей, учитывающих »»еханизми фондообразования и обеспечивающих качественное исследование поведения оптимальных траектории развития экономических систем и динамики протекающих процессов.

Определяющая роль процессов фондообразования при решении тактических и стратегических задач развитая экономических систем, отсутствие достоверных методов качественного зналиэа . траекторий их развития, трудности численных методов исследования состояний системы обуславливают актуальность выполненной работы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с координационным планом научно-исследовательских работ РАН по комплексной проблеме «Кибернетика» а - ранках темы «Математическое моделирование развития нругшсмаеитзбных систем».

Цоль работы. Целью диссертационной работы явилась разработка формализованного подхода, моделей, методов а алгоритмов качественного исследования оптимальных траекторий

развития моделей динамического равновесного

фондообразования, описываемых при помощи гамилътоновых функций ы дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Достоверность полученных результатов обоснована использованием математической теорию экономической динамики и равновесия (построение моделей), методов функционального анализа (неподвижные точки многозначных отображений), теории оптимизации (методы решения оптимизационных задач), теории дифференциальных уравнении (качественное исследование динамических систем).

Научная новизна. На основе проведенных исследований впервые предложен нласс моделей динамического равновесного фондообразования, формулируемых в терминах гамильтоновых функции и обыкновенных дифференциальных уравнении; разработаны и исследованы математические модели, формализующие механизмы фондообразования. в случаях конкуренции и кооперации в условиях рынка; разработано алгоритмическое и программное обеспечение для пропедения численных экспериментов.

Предложенные в диссертации формализованный подход, модели, методы и программные средства позволяют алгоритмизировать и автоматизировать процесс формирования оптимальной стратегии развития экономической системы. Сформулированная и доказанная в работе теорема о существовании равновесных цен подтверждает коррентность построенных моделей.

Для модели конкуренции численно исследована устойчивость стационарных состояний, сформулированы и

доказаны теоремы об оптимальности стационарных траенториИ. Подобные теоремы доказаны и для многопродуктовоИ (многоотраслевой) модели.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации модели, методы, алгоритмы и программные средства позволяют определить параметры стационарного участка траектории рззвития энономичесноИ системы, а танже оптимальные пропорции потребления и накопления с учетом сложившейся струнтуры потребления, технологических возможностей, начального, состояния и др.

Использование разработанного комплекса моделеП позволяет описать возможное поведение системы при различных значениях исходных данных, отражающих структуру фондов, нормы отдача на единицу масштаба производства, прямые затраты и т. д., улучшить технико- экономические

характеристики принимаемых решений, повысить , качество я сократить сроки подготовки вариантов- развития системы. Разработанные модели, методы, алгоритмы и программные средства, использовались при формировании долгосрочных прогнозов и программ развития топливно-энергетического комплекса в ВНИИНТЭПе при Министерстве Энономинн России, а таки® для определения имеющихся резервов повышения производительности отдельных отраслей в ходе аналогичных расчетов в СОПС и ЭС при Министерстве Экономики России.

Апробация . работы.' Основные результаты работы докладывались на XI Международной конференции «Системный анализ, моделирование и управление сложными процессами и сбьектами на базе ЭВМ)?» (Тайкент 1992), на II Межрегиональном

з

семинаре «Синтез структур автоматизированного управления а крупномасштабных системах» (Херсон 1992), на Международной школе «Проектирование автоматизированных систем нонтроля и управления сложными объектами» (Туапсе 1992).

Пубяикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Список литературы содержит 77 наименований.

СОДЕРХАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность задачи, рассматриваемой в диссертационной работе. Произведен выбор г.ели, объекта и направления исследования. Приведены основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой глава проведен обзор, анализ и классификация задач и моделей, связанных с исследованием экономических процессов. Проведен сравнительный анализ моделей обмена и производства в теории равновесия и моделей оптимального планирования, межотраслевого баланса и их обобщений.

Предложен новый подход к описанию динамического равновесия, основанный на использовании моделей теории равновесия и динамических моделей. Нонцепция подхода состоит в том, что следует различать между собой потони продунтов как мгновенные характеристики модели, не связанные между собой в различные моменты времени, и фазовые переменные, сравнительно медленно меняющиеся и описывающие существующие

основные производственные фонды. В таном нонтенсте равновесие можно понимать как равновесное распределение потоков продуктов, а динамину в модель вносит учет процессов фондообразования.

Во второй главе, в общем виде сформулирована задача динамического равновесного фондообразования, представлена ее гамильтонова формулировка, приведено определение равновесных цен, доказана теорена об их существовании и единственности в условиях данной модели, рассмотрена связь равновесного я оптимального механизмов функционирования данной

экономической системы и исследованы стационарные состояния оптимальных траекторий.

1. Фаэовоа пространство а пространство продуктсз. В модели рассматривается п экономических агентов, выступающих в качестве потребителей и производителей наборов продуктов х ип RM (отрицательные координаты представляют затраты, положительные - выпуски).

Предполагается, что пространство состоянии каждого агента задается его капиталом или величиной основных производственных фондов k^ е R*.

2. Тахиояогичесгсие ограничения. Производственные возможности каждого агента зависят от ег.о состояния и задаются технологическим ино:хеством из RK, задавиим точечно- NHOKSCTBOHHoe отображение

Т IR* 2rH, j-l,----п

j *

Пусть каждое из множеств ^ (к ) является выпуклым компактом

в RH и Т (k ) - RH с Т (к ).

ГУ. * i У ■

3. Цэны я прибыль. В модели финсируются цены р е RN*

(элемент двойственного пространства), и оптимальная политика j-ro агента есть решение оптимизационной эадачи

х^(к^,р) = Argmax <р,х>, х е Tj(kj) С1)

Вводится функция Гамильтона, соответствующая агенту с номером j и являющаяся выпуклой положительно однородной функцией переменного вектора цен р

Н (k ,р) =тах { <р,х>: хеТ (к ) }, р e'R**, к е R1 (2)

J J х j J * ♦

Тогда оптимальная политика j-ro агента

x(k ,р) е 9 Hfk.p), j f р J J

где 3 - субдифференциал. Если предположить Н гладнии по р,

р 1 ЭН

всюду, кроме р = О, то правая часть сводится н ^-'(kj.p).

4. Прибыль и ее использование. Доход j-ro агента,

избирающего оптимальную политику (1) в соответствии с

тенущими ценами р есть величина Н (к ,р). Вся полученная

J j

прибыль полностью вкладывается в процесс фондообразования.

Определение. Инвестиционным технологическим множеством, соответствующим капиталу j- го типа называется подмножество D^ пространства продуктов RK , обладающее следующим свойством: из любого вентора продунтов у е D^, можно изготовить по меньшей мере одну единицу капитала- j-ro типа. Свойства D^:

(1) d^ £ r", dj является замкнутым и выпуклым.

(2) = 1.....N Dj - RJJ = Dj.

Определение. Инвестиционной функцией для капитала j-ro

типа называется функция

S (р) = min {<р, у>: у € D }, (3)

з у J

являющаяся выпуклой положительно однородной функцией

переменной цен р.

5. Инвестиционный спрос. Описывая механизм

использования прибыли постулируется, что вся прибыль,

полученная j- м агентом в процессе производства, полностью

используется на создание нового капитала.

Предложение. Величина спроса, порожденного желанием

j-ro агента оптимально использовать свою прибыль для

увеличения своего капитала, дается выражением

Н,(К р)

dJ(kJ-p) = -s-(p)- Wp) (4)

8. Уравнения равновесия.

Определение. Система цен р е R** называется равновесной для системы агентов, пребывающих в состояниях k = ^j» ^ = 1,...п}, если

n Н (к р)

Vk'p)= Z9H (к р) + I gJ(-j— a s (р) э О (5)

j■ t ' ■ j.i j v 1

Теорема. Если все технологические множества Т С**

являются выпуклыми компактами в R* и ~ R"

то для любого к^ существует р-рвч1Ьг(к), j=l,...,n.' 7. Уравнения динамики. Величина

Н (к ,р)

Ak/t) = - р=р'ч,Ьг(к) (6)

имеет смысл количества капитала,- вновь созданного при.

оптимальном использовании всех имеющихся возможностей.

Основное динамическое уравнение в непрерывном времени

k it) = - it k ft) + Дк (t)| «qibr , te R (7) J J J J |p«p <M

в дискретном

к (t+1) = (1-м.) kit) + Лк (t) I вЧ1Ьг, . t=0,l,...(8)

J J J J |p«p <k)

Величина fjесть норма естественного износа фондов различных типов.

Система (7) или (8) с (5) являются дифференциальными или разностными уравнениями в фазовом пространстве переменных к. В общем случае правая часть этих уравнений многозначна. Теорема существования равновесных цен гарантирует непустоту правой части. В дальнейшем исследуется качественное поведение траекторий систем (7),(8).

6. О непроизводственной потребление. Формальное отсутствие непроизводственного потребления исправляется следующим образом. Вводится фиктивное инвестиционное множэство

D = С у 6 R* : и (у) г 1 } J * 1

для агентов, поставляющих на рынок единственный продукт -«труд», и предъявляющих спрос на продукты из «потребительской корзины», что позволяет включать потребителей в приведенное выше описание как частный предельный случай.

Приведены примеры различных способов описания технологических и инвестиционых множеств. Выделен продукт «труд», предложение которого на рынке предполагается постоянным и не зависит от времена. При помощя аппарату производственных функций описана зависимость

производственных возможностей от имеющегося в наличии капитала.

В работе в качестве производственной функции рассмотрена функция Нобба-Дугласа

F(к,1) = с c.a.ß > О, а,ß < 1

Ояноп5>оду*това* молол* (модель «1+1:1+1»). В модели имеется два участника и два товара, один из которых -трудозатраты, а второй - продукт. Предложение труда на рынке постоянно. Предполагается, что цена продукта равна 1, а цена труда (т.е. ставка заработной платы) - р. Технологическое множество одномерно, оно есть отрезок СО,1]. S-функция предполагается равной 1.

Оптимальная политина первого агента (производителя)

l«F(k ,1) - pi ->• max, Oslsl (10)

Балансовое соотношение по труду 1 = 1.

С учетом (10) равновесные цены выглядят нан

3F -

Р - -эГ(к.1) В результате уравнение динамики принимает вид

k = -fM + F(k.l) - 1. |j-(k,l) (11)

Если производственная фуннция однородна первой степени по совокупности переменных k.l, и тем самым удовлетзоряет уравнению Эйлера

k +1 !г =F (12>

то (11) может быть записана как

k' - -fik + к |^-(к.1) (13)

В работе проведен анализ характерных свойств системы (13), ноторые использованы для исследования оптимальности разработанной модели во второй главе.

Нодоль гошгураяцни (модель «2+1:1+1»). Предполагается, что имеется тольно два товара - агрегированный продунт и

труд. В модели участвуют три агента: два производителя и потребитель, поставляющий на рынок свой труд. Для производителей = 1,2):

- технологическое множество в Я2 с ноординатами

(хД)

Т^кр = { (х,-1): х ^ .1^) (14)

- инвестиционное множество Э состоит только из одной точки (1,0)

- если р = (1, р) вектор цен, то гамильтониан

Н (к р) = шах { ^(кЛ) - р1 } (15)

ио } i i '

По закону Вальраса

1, + 12 = 1 (16)

Уравнение динамики

¿(О = - р к (й) + Р(к 1 ) - рвч,Ьг1 . 3=1,2. (17)

3 i J j J 3 л

Система (15)- (17) поддается численному, качественному и аналитическому исследованию, которое проведено второй и третьей главах работы.

Многоотраслевая модель (ноявль «сЫ+1:Ы+1»). Рассматривается модель с п+1 агентами в пространстве N+1 продуктов (п=1Я). Предполагаетсяв что для производства вектора выпусков е =(0,...,0,^,0,...,0) О-ну участнику необходим вектор затрат а^ е Я*".

Оптимальная стратегия состоит в максимизации чистой прибыли

? (к ,1 )<р,е -а > - 1.1 ->- шах , 0<1 <1.

л J } 1 J J « ' J

Для создания единицы напитала 3- го типа необходио

затратить вентор продунтов с! е

} +

З^р) Г <р,<^>, р=(1,р).

Для «поставщика трудовых ресурсов» или «потребителя» S (р) = min С <р,х>: u(x)il ).

о х

Выбор потребительской корзины doe R* определяет

SQ(p) » <P.d0>. р= С1 ,р)е RH+1 .

Балансовое соотношение по труду

1 +1 +...+1 =1 1 2 п

Уравнение баланса

л 1 n F (к ,1 ) <р,в -а > - 1

V F (в -а ) =---d + V--J--J--J------J--J------J- d

L 3 i У <P.d > о L <p,d > i

j.i 1 ' 1 о j.i J

Стацгокарпыа траектории равновесных модсвей а зя ЭЕеговкаяьныа свойства. Стационарное состояние, т. е. траектория вдоль которой k^(t) - const Vt е R, являются также и решениями некоторой оптимизационной модели, построенной по тем же исходным данным.

3 работе доказывается Теорема устойчивости для одяопроаУБтоаоЯ модели.

Пусть производственная функция F(k,l) положительно однородна первой степени по совокупности аргументов к,1>0 , вогнута по совокупности аргументов к,1 и

ЭР 3F

lim (k, 1) = + о, lim (k, 1) = О.

k-> 0+ k->- 00

Тогда имеется евинственное нетривиальное стационарное решение уравнения С 13 ). Это состояние находится нан единственное решение уравнения

-§-(кй>1) - М-Поназано, что состояние к является стационарным

оптимумом, оптимизационной версии данной модели, представленной вариационной задачей

J L(k(t),k(t))dt ->- max, к(0) = kQ > О (18)

с лагранжианом

L(k,w) = max [с: -fjk+F(k, 1 )-с = о} с R1u{-«},max0 = (19)

с > О

Предложение. Стационарный оптимум к+ является траекторией, удовлетворяющей формальным уравнениям Эйлера-Лагранжа и решениям задачи (18) с начальным условием kQ=k+ на любом временном интервале.

Теорема оптимальности для однопродуктовой модели с положительно однородной производственной фунгцней.

Пусть производственная функция удовлетворяет условиям, наложенным в предыдущей теореме. Тогда стационарная траектория равновесной модели совпадает со стационарным оптимумом в оптимизационной версии этой же модели, к : к

+

Теорема оптимальности для однопродугтовой модели с производственной функцией Кобба-Дугласа.

Стационарная траектория равновесной модели совпадает со стационарным оптимумом модифицированной оптимизационной версии, т.е. задачи (16) с лагранжианом L(k,w) = max {с: -fjk+F(.k, 1 )-с - о) eR1u(-®}, •

с > о + т р

Оба свойства, установленные в данной главе для простейшей модели перенесены на многоотраслевую модель и доказаны.

Определение. Вариационную задачу т

Г L( k( t) , k( t) )dt ->- max, k(0) = k

о 0

с лагранжианом

X -> max 1 (20)

к . 1 € В j; ■> ♦

£F (к 1 )q - I („ к + « )d ;> Xd (21)

j.j j j i j j., jj j j

E 1 s 1 j = l.....n (22)

назовем оптимизационной версией многоотраслевой модели.

Решение к+ стационарной оптимизационной задачи

L (к,О) ->• max keR*

называется стационарным оптимумом для этой версии.

Твореяа оптвнаяьноета для многоотраслевой модаяи с 1-одаород1Шми производственны!«» фунецияня.

Пусть ' производственные фуннции F являются

1-однородными, тогда стационарный режим равновесной многоотраслевой модели совпадает со стационарным оптимумом соответствуюдеН оптимизационной версии.

Теорема означает, чго с учетом известного характера асимптотического поведения оптимизационных моделей, предельные режимы для равновесного и оптимального механизмов функционирования совладают в асимптотическом смысла.

Из этого вытекает Теорема суцестиоэшшя я единственности язя стационарных состояний равповасяоп кояояп.

Пусть все производственные функции строго вогнуты и все fj^X) , тогда равновесная модель имее^ единственное стационарное состояние.

Теореиа оптимальности для многоотраслевой модэгш е дровэводственныии фунгцилми Кобба-Дугласа.

Если

------- .< ' 1 \

.1 J J J J J

F (k ,1 ) = const к 1 1 j=l,...,n,

то стационарный равновесный режим совпадает со стационарным оптимумом, в котором в качестве новых значений параметров ц^ фигурируют

= -М- .

При анализе стационарного режима в модели конкуренции доназана Теорема об устоЯчивостн для модели с вогнутыня функциями Кобба-Дугласа.

Если Р ,• з = 1,2, есть функции Кобба-Дугласа с

показателями о^, , удовлетворяющими неравенствам

у -а + В < 1, 1 1 3

то система, описывающая модель конкуренции «2+1:1+1»

ЭР

к - -и к + Р (к ,1 ) - 1 -ьт-1-(к ,1 ), 3 = 1,2

1 J 111 1 J у

ЭР1 аРг

-аГ- -"ЪГ

1 2

1+1 =1 1 2

устойчива по линейному приближению в стационарном режиме, удовлетворяющем к=0.

Третья глава содержит описание комплекса программ, сконструированного для анализа модели. В ней рассмотрена структура, алгоритмы и методы численного решения поставленных задач. Описаны программные средства визуализации графического изображения фазового портрета в двумерном случае.

Проведен детальный анализ многоотраслевой модели. Приведен пример линеаризации параметров модели, связанных между собой производственной функцией Кобба-Дугласа.

Для исследования качественной картины развития экономической системы рассмотрена модель «2+1: 1+1»(модель конкуренции). Она максимально агрегирована и позволяет наиболее полно исследовать стационарные режимы.

В связи с тем, что система, описывающая модель, нелинейна и аналитическое решение задачи не представляется возможным, в работе предложен метод приближенного решения на заданном промежутке, обеспечивающий необходимую точность.

Численные исследования показали, что в зависимости от значения нормы отдачи на единицу масштаба производства наблюдаются разные картины фазовых портретов: при а+р & 1 -

это устойчивый узел (рис.1), тогда как при а+р > 1 - седло (рис. 2).

Для многоотраслевой модели, в которой межотраслевые связи представлены в виде леонтьевской линейной модели, а внутриотраслевое взаимодействие элементов описывается нелинейными производственными функциями, исследован характер поведения оптимальных траекторий развития отраслей.

Поиск равновесных цен и равновесных состояний проведен комбинацией метода «нащупывания» и метода Ньютона, ноторый основан на идее линейной аппроксимации функции избыточного

Для наглядности изображения и удобства пользователей

Рис. 1

Рис. 2

спроса.

разработаны программные средства, отражающие траектории изменения трудовых ресурсов, капитала и цен по отраслям в виде графиков и таблиц.

Проведены прантичесние расчеты на конкретных реальных данных для 13 основных отраслей промышленности и сельского хозяйства.

В Заключении приведен перечень основных теоретических и практических результатов.

В Прилохенин приведены некоторые численные данные, полученные ' 8 ходе проведенных исследований, материалы, подтверждающие практическое использование и экономическую эффективность внедрения полученных автором результатов.

Основные результаты работы

1. Предложен новый подход к описанию и исследованию моделей динамического равновесного фондообразования, основанный на . использовании моделей теории равновесия и динамических моделей.

'2, В рамках предложенного подхода разработаны модели динамического равновесного фондообразования, формулируемые в терминах гаиильтоновых функций и дифференциальных уравнений, позволяющие формализовать механизм фондообразования в условиях рынка.

3. Сформулирована и доказана теорема существования равновесных цен, подтверждающая корректность построенных моделей динамического равновесного фондообразования. Теорема доказывает, что существуют равновесные цены, при которых

достигается равновесие между спросом и предложением в данных моделях.

4. Проведено полное качественное исследование однопродуктовоЯ модели и модели «2+1:1+1» (модели конкуренции), которое поназало, что в зависимости от нормы отдачи на единицу масштаба производства наблюдаются принципиально различные фазовые портреты.

5. Сформулированы и доказаны теоремы об от ..мальности стационарных траекторий в модели «2+1: 1+1»(модели конкуренции) и многоотраслевой модели, ' доказывающие, что стационарные траектории равновесных моделей совпадают со стационарным оптимумом в оптимизационной версии этих моделей.

6. Проведены численные исследования устойчивости стационарных состояний в модели «2+1: 1+1» с вогнутыми функциями Кобба- Дугласа, которые показали, что динамическая система, описывающая модель, устойчива по линейному приближению.

7. Разработан панет программ, позволяющий численно исследовать многоотраслевую модель и представить динамику основных показателей (трудовых ресурсов, . цен, напитала) по отраслям а айда графиков и таблиц.

8. Полученные в диссертации теоретические результаты использованы при решении практических задач

фондообразования.

'3

Список публикаций потопе диссертации.

1. Дошманова Г. А. Анализ устойчивости стационарных траекторий в модели динамического равновесного

фондонакопления. / Тез. докл. II Международной конференции "Системный анализ, моделирование и управление сложными процессами и объектами на базе ЭВМ": Ташкент, 1992.

2. Доиманова Г. А. , Ямовенко С. В. Модели динамического равновесного фондообразования. / Тез. донл. Межрегионального семинара "Синтез струнтур автоматизированного управления в крупномасштабных системах": Херсон, 1992.

3. Цвиркун А. Д. , Яновенно С. О. , Дооманова Г. А. ' Оптимальность • стационарных траекторий в моделях динамического равновесного фондообразования. / Аннотированная программа Международной школы "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сложными объектами": Туапсе, 1992.

4. Цвиркун А. Д. , Яковенко С. В. , Голубкин А. Е , Дошманова ' Г. А. Модели динамического равновесного фондообразования. : М. - Институт проблем управления, 1992.

Личные вхяад диссертанта в работы, опубликованные в соавторстве, состоит в следующем: в работах [2], [3] доказана теорема существования равновесных цен и исследовано качественное - поведение оптимальной траектории в однопродунтовой модели, модели конкуренции и в многоотраслевой модели. В работе [4] разработан комплекс программ для численного исследования модели.