Исследование динамики некоторых моделей экологических и экономических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

пв

С 'I :

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ • ■ '> УНИВЕРСИТЕТ ШИМ АЛЬ-ФАРАБЙ

, На правах рукописи

Туркпенбяэва Бибигудь Жапаровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОЛОГИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.09 - Математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фиико-математичвсгап наук

Алматы, 1994

Работа вшщнена на кафэдре кибернетики Казахского государственного национального университета им. Аль-Фараои

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

- Доктор технических наук, доцент Т. Н. Бияров

- Член-корреспондент HAH PK, доктор физико-математических наук, профессор А.Т.Лукьянов

- Кандидат физико-математических наук, доцент М.Т.Дженалиев

- Казахский национальный технический университет

Защита диссертации состоится " " ¡лс^иЯ 1994 г. у-г 00 <

в /-7 часов на заседании специализированного Совета К 14/А 01.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012,г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47.

С'диссертацией можно ознакомится в библиотеке КазГУ им. Аль-Фараби.

Ученый секретарь специализированного совета,/) доцент

и¿W/y-

Ш. А. Айпанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Как известно, центральную роль при изучении нелинейных экономико-математических и экологических моделей играют метода теории управления и, более конкретно, при исследовании; устойчивости движения - второй метод Ляпунова; оптимальности движения - принцип максимума Понгрягина, динамическое программирование Беллмана, принцип оптимальности В.Ф. Кротова. Во многих экономико-экологических моделях рассматриваются статические уравнения, не учитывающий фактор времени, а также многие динамические модели экономики рассматриваются на бесконечном горизонте времени, что не всегда приемлемо в реальной жизни.

К исследованию динамики экономико-экологических систем посвящены, в частности, работы Дк.Дебре, М.Интриллигатора, С.Карли-на, Л.В.Канторовича, И.А.Красса, В.Ф.Кротова, В.В.Леонтьева, Ф.Рамсея, П.Самуэльсона, Р.М.Солоу, А.М.Тер-Киркорова, Н.Эрроу, С.А.Айсагалиева, Б.Изтелеуова и др

При реализации программ управления в экономико-экологической системе возможны отклонения от заданной расчетной траектории. Эти отклонения скажутся и на дальнейшем поведении системы. В этой связи, исследования устойчивости движения нелинейной макроэкономической задачи на основе второго метода Ляпунова представляется актуальной задачей.

Многие практические задачи экономики и ряд важных вопросов экологии связаны с задачами определения наилучшего, оптимального зарианта решения. На современном этапе одна из важных актуальных троблем с прикладной точки зрения - эта моделирование опгималь-

ного развития многоотраслэвой экономики с конечным горизонтом времени. Не менее актуальным является решение задачи оптимизации экологических систем, в частности, вопросы безотходной технологии производства и оптимальный контроль над загрязнением окружающей среды.

Таким образом, тема диссертации весьма актуальна.

Цель работы. Исследование устойчивости и оптимальности экономико-экологических динамических систем на основе второго метода Ляпунова и на основе достаточных условий оптимальности Крото-ва В.Ф. с использоввнем понятие устойчивости (управляемости) на конечном отрс з времении.

Методы исследования. В работе использовались общие положения теории устойчивости движения/теории оптимального управления, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математической экономики. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой формулировкой и решением задач, корректно применяя используемых методов.

Научная новизна. Впервые получены условия устойчивости "е большом" однопродуктовой макроэкономической модели и исследовзне один класс нелинейных динамических систем, когда правая част! система содержит ограниченное управляющее воздействие, на основе второго метода Ляпунова.

Решена задача оптимального управления макромодели экономической динамики с конечным горизонтом времени, а также задач; оптимального управления экологической системы, в частности, во просы безотходной технологии изадача оптимального контроля на. загрязнением окружающей среды на основе достаточных услокй! сп тимальности В.Ф.Кротова.

Практическая ценность и реализация результатов работы, эактическая цешость заключается в решэшш конкретных реальных здач динамики многоотраслевой экономики, контроля загрязнения фузкащей среды, т.е. важнейших экономико-экологических задач овременности. Рассмотрена также задача оптимального планировали использования отхода перерабатывающей промышленности для роизводства стройматериалов с реальными численными расчетами на ЭВМ.

Связь темы диссертации с планами отраслей науки и произвол зтва. Диссертационная работа выполнена в соотвествии госбвдквт-ihffl темами Министерства науки и новой технологии Республики Ка-эхстан: " Разработка методов управления для динамических систем фиксированными концами", "Исследование динамики управляем эоцессов", "Исследования сложных систем кибернетики и экономи-i", выполняемый на кафедре Кибернетики КазГУ им. Алъ-Фарабн.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной рабо-i докладывались на Украинской научной конференции "Моделирова-ie и исследование устойчивости процессов" (26-28 мая 1993г. Ки-ä); на III - региональная конференция молодых ученых Западного азахстана (26-28 июня 1993г г. Актюбе); на конференции-конкурсе )Лодых ученных и специалистов КазГУ им. Аль-Фараби (24-26 марта 193г. Алматы); на научном семинаре "Проблеми кибернетики" кафе-)ы кибернетики под руководством д.т.н. Т.Б.Биярова(КазГУ им. [ь-Фараби, 1992, 1993, 1994); на научном семинаре кафедры тео- . и управления под руководством д.т.н., проф. С.А.Айсагалиева :азГУ им. Аль-Фараби, 1993, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 печатных ра-т, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и дбъем работы. Диссертационная работа состоит из вв0дения,трах глав, заключения и изложена на 135 страницах. Список использованной литератур! содержит 105 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проблемы и дается обзор по устойчивости а оптимальности экономических и экологических системах.

, В первой главе параграфе I.I приводится основное сведения из теории дифференциального уравнения и теории устойчивости .

В параграфе 1.2 рассматривается устойчивость одаопродукто-вой макроэкономической подели. Дифференциальное уравнение данной модели имеет вид:

к * В(к), (1)

g(k) - а(1~а)/(Ю -Хк где к - фондовооруженность рабочего, з - доля накопления, а -коэффициент прямых затрат, \=ji+n - сумма нормы амортизации капитала и темпа роста численности рабочей силы, f(k) - производственная функция На одного рабочего, которая удовлетворяет следующим (условиям) свойствам

df(k) (ff (к)

Г (Ю -->0, Г ' (к) --;- <0, VftX) ,

dfe сСе

lim f (к) = œ, lin f(k) = О. . к-* о к-мп

Далее рассмотрена сбалансированный рост данной модели и доказано, что любая траектория модели по -прошествий достаточно большого Бремени неограниченно приближается к траектории сбалэн-

сированного роста.

О помощью функции Ляпунова в виде

[«№;]*= [er»-a)/№J-\fc]*, ftefO; *>) ,

получена область притяжения, определяемое из н-эравенотва:

V(ltmax V(k) = 7(k) , Ckk<®

т.е. если

или ¿(k)<tf(k)}.

то вся траектория k(t), начинающиеся из точки й0 есшттотпчесюг приближается к траекторию сбалансированного роста k=U ■

В параграфе 1.3 исследована динамическая система-на устойчивость с помощью функций Ляпунова, когда правая часть системы обыкновенных дифференциальных уравнений содеркить ограниченное управляющее воздействие.

Пусть неавтономная динамическая система описывается дифференциальным уравнением вида

х = X(x,t) , X(x,t) = f(x,t) +u(x,t)tyx,t) (В) где f(0,t) s 0 , ф(0,t) s о при

Здесь x(t), f(x,t), <p(x,t) - n- мерные вектор-функций, u(x,t) - скалярная функция, удовлетворяющая неравенству.

О (х,t) < 1. (3)

. Наряду с системой (2) рассмотрим ' "предельные- системы

x = f(x,t), (4)

i

X = f(x,t)+<b(x,t), (5)

также с нулевыми положениями равновесия.

Устойчивость данной задачи установлено следующей теоремой. Теорема 1. Для устойчивости в целом положения равновесия >0 системы (2), (3) по второму методу Ляпунова необходимо и

достаточно, ЧТОбЫ, ПрЭДЭЛЬЕКЭ системы (4) и (5) были устойчивы Е целом с одной и той аэ функцией Ляпунова.

Полученные результаты применены для исследования устойчивости модели односекторной экономики (модель Рамсея); одкогс класса нелинейных систем автоматического управления; нелинейногс дроссельного гидравлического привода.

В главе 2 решена задача оптимального управления многоотраслевой экономики на конечном отрезке времени. Исследование проведено на основе достаточных условий В.Ф. Кротова и на основе теории, устойчивости на конечном отрезке времени.

В параграфе 2.1 рассматривается экономическая система, сос тоящая нз п отраслей. Каздая отрасль производит только один про дукт и различные отрасли,производят различные продукты. Прои зводственный процесс непрерывен во времени.

Модель развития многоотраслевой экономики, исследуема ншке, имеет вяд;

f = £ d £ + Y\ t = Б <t. У +■ Oi, 1=1,n (6)

• i , J

i =1 * jsri

E La; (7)

i=l

É = t ¿tí. É(O) = , t€tO,T], (8)

004f4t, t, t) , f*0, KtO, a>cl ; (9)

Мшшшзнруется функционал

*

=j Q(t)g(t,oat (Ю)

o

где i1-, валовой продукт í-й отрасли; Y1- конечный продукт i отрасли; Я1- обьем производственных фондов t-й отрасли; V4- об ем капитальных влоаений í-й отрасли; L1 - трудовые ресурсы; С

обьем фонда потребления 1-й отрасли; - минимальные допустимые значения потребления; Л=||а|[| - матрица прямых затраг.предоолага-ется, что матрица А является продуктивной и неразложимой; ¡¡¿В -матрица коэффициентов технологической структуры капитальных вложений, причем й1.=0 при , ]=1 ,п ; отрасли с номерами I < т является фондообразующими. Для кавдой отрасли J найдется фондообразующая отрасль , такая, что с£ >0 , кроме того

I =»

Ье - количество трудовых ресурсов, определяемое демографическим прогнозом; - функция полезности, вогнутая с полуполовк-

тельным градиентом; - дисконтирующий множитель

Ц - производственные функции, обладающие следующими свойствами;

I) Р' (1С , - являются непрерывными, полозкительными и обращаются в нуль, когда отсутствует один из производственных факторов:

Г(0, Ъ, 0= РСК, О, и =0;

2) ть-ы>о, вщ. и > О ,

дК дЪ

дР*(К, Ъ) дг?(К,1)

3) -< 0 ,--< О ,

дКх вьг

4) р(\к, хь) = тк, I) , \х).

3 параграфе 2.2 рассматривается следующая задача и ее реше-

шо.

Задача : Требуется найти решение задачи оптимального управ-юния (в)-(10) с закрепленным правым концом на отрезке Ю,Т1. Имеем граничное условие;

(С(Т) = Я1 , ийп ,

где - заданы.,

• В рассматриваемой задаче роль состояния играет вектор основных фондов К = (£.....Я"), а роль уравнений процессов

(8). Для решения данной задачи применен достаточное условия оптимальности В.Ф. Кротова, где функция Кротова имеет вид

ФГПХ; í€íO, Т) ,

где <|х(0 - функции, которые нужно определить. Составим конструкцию

я - Е - + в(г)ва,а) +

+ 2 фi(rt;к^. Ш0.Т1. 1=1

Введем в рассмотрение также множители Лагранжа \(t), 7Ш, отвечающие связям (б>,(7), соответственно. Функции ф^) предполагаются непрерывными, кусочно-дифференцируемыми, а V (и, 7 а) -кусочно-непрерывными. Для учета ограничений (6),(7) получим задачу о максимуме функции Л*:

[ф^г^ -(иЧЛ^ ~ | - С4 -

- + тао - + в(г)ва,С)

на множестве всех X, Ъ, К, 7, С, ограниченном неравенствами (9). . После несложных преобразований получим

¡еа, я, ъ, х, у, с) = £ V*. +

са, о ^ г<|> - + ть0 .

¡•I

•Здесь ' -

К, Ъ, V) « - Р.я - 71 ,

Ъ. =Х - £ А. О* = J (Е-Л)! •

v j.i 1 1 Л 1 •»

р = - ф, . ' v. Ц), - s <з>\}

Обозначим

R(t) + G(t) ■ +• 7Х0 + щг 2 vtf,

¿■=д У SO i«t

GfU= шг . G(Î,CJ ,

RJt) = ïïtax RJt, X. К, L) , oa<P(t, K,i), no, lèo. Зтыскание оптимального рекима экономического развитая veD зводится, таким образом, к максимизации функции Д.Ci, К, L, К) и r(t, С) и подбору таких множителей Mt), i(tj, чтобы этот

гроцесс оказался допускаом.

ч

В параграфе 2.3 изучена свойства допусти,их цен и опткмзль-шх режимов развития экономики.

Максимизация функции R1(t. К, L, X, V, С) осуществлена от-;ельно по кавдому слагаемому.

Обозначим -

Rti(t, Я\ Iï) = тах RJt,K\ f) = . cxr^p'fi, KL\ V)

= bF'Ct, K\ t) - PJC - yL\ читывал линейную однородность производственной функции» можно зписать:

Rt.(t, Г, L1 у= r.(t, tijlï ,

Г

je & = - фондовооруженность;

r.(t, к1) = b/(t, it) - P.ti - ? производственная прибыль отрасли с единицы труда, которую бу-

дэм называть эффективностью отрасли. Здесь

fit, it у - ---- , (=тлг .

х

Учитывая, что Ь1>0, Vt, tefO.TJ (так как в противном случае

получим в качестве необходимых и достаточных условий максимума по Я1 и I1;

r fi.^ít)) = «ах rft.tfj =0 VI, íefO.TJ. nt;

Назовем 1-ю отрасль развиваемой в момент t, если V4ft;>0. и нвразвиваемой, если T(t)~0. Если к моменту t отрасль была не-развиваемой на всем интервале CXi<t, то на основании (8):

Если все отрасли развиваемые, то

1 Л 11

ТОгда получим задачу управляемости для системы

= - .ytA1' + lDítn . ~ о, я1 со; = , tero,T], \ =

переводящее траекторию системы (12) из начального состояния А* в конечное состояние Х'СТХЭ за конечное время Т с помощью выбора управления

Решение системы (12) получено на основе теории устойчивости на конечном отрезке времена.

где Ф(^) - решение линейной однородной системы ФГи МП)т), Ф(0)=Е.

-13т

Q(t)= arUtJlJt), R(t,T)=S QCc)Q*(t)dx. R(t,T)>0, VUtO,TJ,

Wt.T) - <b(t)R(t,T№*(t.), KJt) - r'(t,T), .

ри этом

k*(t)= 4i(tmt,T)R'i(0.T)\'o , \x(T)=o.

Значения 1С, i=J7n, найдем как решения сле)цгвдей краевой адачи: при conat, i=77n :

£ *t - \it , t(0)=£o , i=77n у t<itQ,Tl, де управление V^O, C=77H выберем из условия'

t(T) = , t=77n .

Здесь снова будем рассматривать задачу управляемости относи-вльно управляющее воздействии У4, 1=1,п •

Если известно V1 ,1=77л , то нетрудно вычислить

y^^dWc1, .£=7Тп". jt-1 J m

На основе вышеизложенного алгоритма в параграфе 2.5 и 2.6 злучены решение одаосекторной и трехсекторной модели экономики а конечном отрезке времени.

В параграфе 2.7 рассматривается снова оптимизация данами-)Ской модели многоотраслевой экономики (6)-(10), где требуется айти процесс v=(X(t), Y(t), V(t),C(t), K(t), l(t)}, оптимальный смысле функционала

J(v)=-J 6(t)g(t, C)dt —> min,

D

Решение также получена на основе достаточных условий опта-1Льности В.Ф.Кротова, где функция В.Ф.Кротова выбрана в вид?

-14-cp(t. К) = J JT ,

i я *

что существенно упрощает алгоритм расчета. В параграфе 3.1 главы 3 на основе теории динамического контроля предложены экономико-математическая модель и решение числового примера оптимального планирования использования отхода перерабатывающей промышленности для производства стройматериалов на основе достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова.

Имеется некоторый объем накопленного отхода производства, из которого можно.изготовить дефицитные стройматериалы.

Задача: Необходимо определить динамические технико-экономические параметры строящихся предприятий по утилизации отхода в период времени выпуска.

Динамическая экономико-математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид: целевая функция:

т

j = г е'п f (тс - C.(VL.(t))]u..at -- max ; (13)

О

ограничения: . •

i = -4au(t) (14)

i-i

a(t) $ и $ ^(t), i=Un , (15)

x(O) = xo, x(t)>0, (16)

где x .- первоначальный объем; x(t) - скорость изменения объемг отхода во времени t; п - количество возможных направлений использования отхода; г - постоянная скидка скоростей; а. - долевое участие отхода для производства стройматериала; тс - оптова? цена С-го стройматериала; а - объем производства i-ro строй,ia-териала при времени t; а - минимальный объем производства 1-гс

стойматериала; - максимальный объем производства 1-го стройт материала; Г - значение конечного времени производства; С1(и) -затраты на единицу объема производства ¿-го'стройматериала, ко-, торая, как известно из экономики, нелинейна и имеет вид :

= А,. + А^ + - , 1*1,п , (17)

I

4 .

где константы Аы , , положительны и определяются статическим путем.

Функцию Кротова возьмем в виде '

<р(Х,х) = х , £>0 , тогда оптимальное управление:

< а.^).

u^UJî)^

ajt) , если b; (t)

2A.(t) pi(t) , если

, если a ftK

2A.(î) bjt)

2A.(t) b.Jt)

2A, (t)

Jt),

> p.(t),i=T7n~.

■•де

Ajt) ш AtLetl, Ъ. » fie - Aoi)e - a . Сравнение оптимального движения:

x(t) = - J aU.Jt), x(O) = x0

Ш1

хП) =хо (гт.

V Я 1

о

Сонечный момент времени Т* выберем из условия: х(Т) = О, *

\е. Т выберем из условия

Ьа.сгт.

(18)

Второй способ. Функцию Кротова возьмем в виде: <р(1,х) = е~г1фСШ, х^О, где <1>а) - неизвестная функция, тогда оптимальное управление

А

и. =

А.

2АЛ

если

бели

2А..

< а ,

если

2Л„

> р. , 1=77гГ.

где

Выражение

¿(г) ш фа;а - + тс.

[ феи-гфги]* , зго

достигает минимума при

ФОМ - гфет; с 0, х(?)= О, и, учитывая, выражения

у(Т,х) = е'гТф(Т)х(Т) =0

получим

х(Т)=0.

Следовательно, Т* выберем из условия (18). Таким образом мы получили другой вид решения поставленной задачи.

В конце данного параграфа решена числовой пример и постро ■ен график оптимального планирования использования отхода прере рабатывающей промышленности для производства стройматериалов.

I

| В параграфе 3.2 рассматривается оптимальный контроль над загрязнением окружающей среды.

Предполагается, что интересы общества выражаются функцией полезности М(с,Р), зависящей от двух аргументов: с - объем потребления, Р - переменная характеризующая объем .загрязнения, i

Задача управления состоит в определении долей ut и ия вы»

пуска, предназначенных на потребление и борьбу с . загрязнением соотвеств8нно.

Скорость роста основного капитала имеет вид

Я а (1- ut - ия)/(Ю - ЦК," • Скорость роста загрязнения будет равна

Р = (е - öu2)f(k) -7Р. где f(K) - неоклассическая однопродуктовая, двухфакторная производственная функция? ji - коэффициент амортизации основного капитала; 7 - естественная убыль отходов;

Предполагается, что как основной капитал, так и запас загрязнителя не могут быть отрицательными: р$0. Заметим такта, что

О u(t) < J, 0 < u(t) < 1,

. 1 1 (19)

ujt) + ujt)

В качестве критерия, подлежащего максимизации, принимается интеграл от функции полезности вдоль конкретной траектории o(tj л P(t) с учетом дисконтирования: .

W = j M(c,P)e~rldt + F(K,P,T)—— max

о

или

т

J = J U(c,P)e'Tldt + F(K,P,T) -• min.

ГД9

Р(К.Р,Т) ш егГф - (Л + I|>tj]*+ [р - (Р + фг)]\ "

Будем решать задачу нахождения оптимального управления ujt) и ua(t) о помощью достаточных условий оптимальности В.Ф.Кротова ■

Первый способ, функцию Кротова <р(t,К,Р) возьмем в следующем виде:

q>(t,K,P) = е~г7фй + %Р), где ф4, ф^ - неопределенные постоянные.

Далее рассмотрены три случая 8>0, 6=0, 6<0 и для каждого из . нш получены оптимальные управления и доказаны существование единственного положения равновесия. Здесь 9 = - (ф4 f фгб)/(К).

Второй способ. Функцию Кротова <f>(t,K,P) возьмем в следующег виде; -

ФГМ.Р) = e~ri($Jt)R + фz(t)P),

где фJt), tyz(t) - неизвестные функций.

Здесь также рассмотрены три случая 9>0, 9=0, 9<0 и получек оптимальные решения,где 9 = -Гф/i J + бфxCt))f(K).

Обще выводи

На основании проведенной работы по исследованию динамик некоторых моделей экологических и экономических систем можн сформулировать следующие выводы:

1. Получены условия устойчивости "в большом" однопродукто воймакроэкономической модели на основе второго метода Ляпунова.

2. Исследована динамическая нелинейная система на устойчи

эсть в целом с помощью метода функций Ляпунова, когда правая зсть системы содержит ограниченное управляющее воздействие. При сом функция Ляпунова строится только лиэь для "предельных" сис~ эм, что существенно упрощает исходную задачу.

3. Решена задача оптимального управления макромодели экойо-

ической динамики с конечным горизонтом времени, в основа кото-

«

ой лежит межотраслевой баланс, а мощность отраслей описывается роизводственнымя функциями. Исследования проведены методами снованными на достаточных условиях оптимальности В.Ф.Крогсва п стойчявости движения на конечном отрезке времени.

4. На основе теории оптимального управления решена задала птимального планирования использования отхода перерабатывающей ромышенности для производства стройматериалов.

5. Решена задача оптимального контроля над загрязнением окупающей среды, т.е. впервые решена эколого-экономическая задача а основе достаточных условии оптимальности.

Основные пололсения диссертационной работы опубликованы в ледувдих работах:

I. Оптимальное управление в использовании отходов для ¿пуска стройматериалов // Библиогр. указ. деп. в КазНИМНКИ эучные работы, К3868-Ка92, -Алма-Ата, 1992, вш1.2. - 5с.

2. К неклассической модели оптимального экономического рос-

э // Библиогр. указ. деп. в КазШШКИ научные работы - Алма-Ата, 3743 -Ка92, вып.2 (в соавторстве Бияровым Т.Н.)

3. Выбор оптимальной структуры использования отходов произ-?дства // Тезисы докладов конференции молодых ученых КазГНУ, лматы, 1993. с.44

4. Исследование устойчивости однопродуктовой макроэкономической модели // Препринт Кб. Инженерная Академия РК, Алматы, 1993г., 27С.(в соавторстве Бияровым Т.Н., Жумагуловым Б.Т.)

5. Об устойчивости одного класса динамических систем // Тезисы докладов украинской научной конференции. Киев, 1993г., Часть I, с.17 (в соавторстве Бияровым Т.Н.)

6. Об устойчивости одного класса динамических систем // Рукопись деп. а КазгосИНТИ Я4597 - Ка94, Алматы, 1994.-16с.(в соавторстве Бияровым Т.Н.)

7. Динамическая модель развития многотраслевой экономики с конечным горизонтом времени //- Рукопись деп. в КазгосИНТИ У4596 -Ка94, Алматы.1994. - 42с.(в соавторстве Бияровым Т.Н.)

8. Оптимизация в экологических задачах// Рукопись деп. в КазгосИНТИ У4643 -На94, Алматы, 1994. - 31с.(в соавторстве Бия-

ровым Т.Н.)

Б. Ж. Туржпенбаева ЭКОНОМИК/Ж ХЭНЕ ЭКОЛОГИЯЛЫК ЯУИЕДЕРД1Н КЕИБ1Р МОДЕЛЬДЕР1Н1Н ДИНАЫИКАСЫН ЗЕРТТЕУ ТУЖЫРЫМДАМА

Жумыста б1рен1мд1 макроэкономикалык модель дердЫ орныкты-*

ыгы айне он жагында шектеул! баскарушы'эсер! барсызьдтыемес

«

инамикалык жуйелердш dip тобынын орнылыктьгы Ляпуновтын ек!н-i тэс1л1 бойынша жанаша шеш1лген. .

Экономикалык динамиканын макромодел!н хэне экологиялщ ' уйенi юектеул1 уакыт аралыгында ти!мД1 баскару» коршаган орта-ын ластануын бакылау жэне калдыксыз технология, есептер! алгат' ет аналитикалык турде шепйлген.

В. Zh. Turkpenbayeva '

Investigating Dynamics oi Some Modeis of Ecologlc and Economic Systems •ABSTRACT

In the work the stability conditions " in big" for one-roduct macroeconomlc model are first obtained and it is lnves-igated a class of nonlinear dynamic systems when right part of ystem contains a limited controlling Influence on the baslaof he second Ljapunov's method. ■

It Is solved the problem for optimum control of macromodel i economic dynamics with finite horizont of time. Also It . 1'3 . olved the problem for optimum control of ecologlc system, In articular, the problem of optimum checking of soiling nvironment, and the problems of technology without • waste roducts.

VOÊ •таэвшеэ *и*мгу 'j 'ЛИУ сеикн^м ¿^diieiAÎ •ок ooi «¿bu 'оег сея^Е м «ю-61 » оиеоитюц