Многовариантное моделирование, устойчивость и оптимизация крупномасштабных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

1 Модификация модели мировой динамики

1.1 Модифицированная модель мировой динамики.

1.2 Стратификация населения в модифицированной модели мировой динамики

2 Анализ модифицированной модели мировой динамики

2.1 Сценарный анализ модифицированной модели мировой динамики и поиск варианта перехода к устойчивому развитию в XXI веке.

2.2 Исследование стационарных решений (глобальных равновесий) и их устойчивости при возмущениях, ограниченных в среднем.

2.3 Вычислительный эксперимент на стратифицированной модели мировой динамики. Возможность устойчивого развития.

3 Оптимизация инвестиций в НИОКР в модели фирмы с учетом распространения технологий между фирмами

3.1 Математическая модель.

3.2 Функция полезности системы

3.3 Задача оптимизации.

3.4 Обобщение модели и задачи оптимального управления инвестициями в НИОКР.

4 Результаты вычислительного эксперимента

4.1 Идентификация параметров модели.

4.2 Анализ влияния распространения технологий на развитие фирмы

4.3 Анализ чувствительности оптимального решения к дд

4.4 Анализ чувствительности к эластичности замещения е

4.5 Изучение оптимального соотношения между внутренними и внешними технологиями для двух фирм

Применение математических моделей и методов в экономике, экологии, для изучения процессов жизнедеятельности человечества во взаимодействии с природой, в исследовании других крупномасштабных проблем имеет давнюю историю. Классическими математическими моделями экономической динамики явились модели Д. Рикардо и Вальраса в XIX веке, методы многокритериальной оптимизации Па-рето и игры фон Неймана в первой половине XX века. Начала матема-тпческой экологии и математической биологии были заложены в 20-е - 30-е годы XX века В.Вольтерра и В.А.Костициным, в дальнейшем они были обобщены А.Н.Колмогоровым, Н.Н. Моисеевым и их последователями. После этого направления математической экономики и экологии стали бурно развиваться, в том числе и в СССР, в середине и второй половине XX века. Стали актуальными проблемы взаимодействия человека, экономики и природы.

В XX веке возможности человечества влиять на процессы в биосфере стали соизмеримыми с энергией естественного происхождения, как отмечал еще В.И.Вернадский. С конца 60-х годов в мире началась работа по построению глобальных социально- эколого- экономических моделей мировой динамики. Первой попыткой комплексного математического моделирования и исследования взаимосвязи природы и общества явилось построение и анализ Дж. Форрестером математической модели "Мировая динамика". Эта модель и соответствующая ей компьютерная система "Мир-2" были опубликованы в 1971г. Модель ДжГ Форрестера дала возможность провести сценарный анализ развития человечества в предстоящем столетии, при этом обнаружилась возможность глобальных кризисов в середине XXI века.

Математическая модель воплощает в себе теорию структуры систем, в ней формализуются предположения о системе. Дж.Форрестер разработал и применил в своей работе специальный метод имитационного моделирования сложных систем, названный им системной динамикой - метод изучения сложных систем с помощью описания нелинейных обратных связей. В результате получается динамическая модель объекта в виде нормализованной системы разностных (или дифференциальных) уравнений, где в правых частях могут иметь место запаздывания и разрывные функции.

С другой стороны, в 60-е годы возник системный анализ, позволяющий исследовать крупномасштабные проблемы, как целое. Он обеспечивает рассмотрение многих альтернатив решений, каждая из которых описывается большим числом переменных, содержит неопределенности, учитывает риск, стремление, тем не менее, обеспечить полноту каждой альтернативы; позволяет вносить измеримость и вырабатывать решения в условиях ограниченного времени и ресурсов. В условиях высокой актуальности, возрастающей комплексности, сложности проблем, зависимости между отдельными вопросами, больших затрат на решение, риска неудачи при все уменьшающемся времени на поиск решения методология системного анализа показала наиболее высокую эффективность (см. монографию Н.Н.Моисеева). Это и сейчас практически действующая методология.

К концу XX века проблемы социального и экономического развития переплелись с загрязнением окружающей среды, истощением природных ресурсов, сделали необходимым изучение взаимозависимостей и общих закономерностей развития в будущем с применением математических моделей и методов (см. В.А.Коптюг и др.).

В диссертации охвачены и модифицируются ставшие классическими и современные результаты по исследованию различных аспектов развития человечества во взаимодействии с природой, вытекающие из учения о ноосфере В.И.Вернадского, математических моделей мировой динамики и глобального развития, из комплексного исследования проблем устойчивого развития. Получены также результаты по оптимальному управлению в экономико - математических моделях фирмы распространения технологий, базирующиеся на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина.

Предметом первых двух глав диссертации является исследование методами глобального математического моделирования и системного анализа развития природы (с ее биосферой) и человечества (с его техносферой и экономикой) во взаимодействии в XXI веке с учетом настоящего.

В первой главе разработана и описана модификация модели "Мировая динамика", полученная диссертантом с целью повышения уровня адекватности базовой модели Дж. Форрестера действительному процессу глобального мирового развития.

В связи с необходимостью борьбы с угрозами безопасности и перенаселения и нищетой, повышением риска глобальных катастроф и потерь в XXI веке необходимы ограничения потребления (как сверху, так и снизу), глобальное управление развитием, исходя из приоритета нравственно - духовных принципов, ответственности за выживание человечества и природы, высокого качества жизни и устойчивого развития.

Учитываются и дополнительно вводятся в модель следующие факторы: динамика биомассы растительности суши, искусственная очистка загрязнений, регенерация невозобновимых и освоение новых видов ресурсов, научно - технический прогресс, социально - политическая напряженность, правило перераспределения валового мирового продукта в целях управления глобальными процессами мировой динамики.

С целью изучения негативных аспектов процесса глобализации экономики, усиливающегося диспаритета между доходами богатых и бедных слоев населения на рубеже веков и возможностей воздействия на них в модифицированной модели мировой динамики учтена стратификация (расслоение) населения на 20 % богатых и 80 % остальных по данным ООН. Введено понятие глобальной безопасности.

Во второй главе исследованы различные сценарии мировой динамики.

Выявленные угрозы настолько серьезны, что предлагается вводить существенные ограничения на рождаемость, сокращение использования невозобновимых ресурсов и производства загрязнений на единицу выпускаемой продукции. В случае запаздывания введения такого рода мер можно говорить об угрозе прогнозируемых катастрофических последствий глобального кризиса в первой половине XXI века.

Проведен многовариантный сценарный анализ модифицированной модели мировой динамики, рассмотрены различные варианты перераспределения валового мирового продукта на инвестиции в основные производственные фонды, оплату труда, инвестиции в науку, снижение социально - политической напряженности, управление численностью населения, создание экологической отрасли и др. Найден сценарий, удовлетворяющий требованиям введенного определения глобальной безопасности во второй половине XXI века.

Изучены стационарные решения модифицированной модели мировой динамики (предельные к процессам устойчивого развития) и доказана теорема об устойчивости найденных стационарных решений при постоянно - действующих возмущениях, ограниченных в среднем (в смысле Н.Н.Красовского).

В заключении главы изучены возможности устойчивого развития в рамках модифицированной модели мировой динамики, а также найден сценарий перехода к устойчивому развитию по средним показателям в мире.

Найдены сценарии, удовлетворяющие требованиям глобальной безопасности со стратифицированными предельно - критическими показателями. Рассмотрен сценарий "золотого миллиарда" в рамках модифицированной модели мировой динамики со стратификацией населения.

Изучено влияние научно - технического прогресса на развитие человечества, на развитие производства, однако в макромоделях такое влияние можно изучать на достаточно агрегированном уровне. Для более полного изучения этого вопроса, представляющего реальный интерес, в последующих главах диссертиации разрабатывается математическая модель на микроуровне, позволяющая исследовать влияние научно - исследовательской деятельности на производство фирмы.

В третьей и четвертой главах затронуты классические задачи теории экономического роста и оптимального распределения ресурсов, изучавшиеся К.Эрроу, Г.Гроссманом, Е.Хелпманом, А.А.Петровым и др., в частности, рассматриваются функция полезности, определенная как интегрированный дисконтированный индекс потребления логарифмического типа, модели инвестиционных и технологических циклов. Обобщенные модели эндогенного роста были изучены в работах С'.В.Дубовского, В.Ф.Борисова, Г.Хутченрайтера и А.В.Кряжимского. Асимптотическое поведение субъектов экономики, обменивающихся знаниями, устойчивость экономического роста при различных типах НТП (С.В.Дубовский, С.Н.Осипов), влияние технологического потенциала и распространения технологий внутри экономического сектора на развитие производства фирмы (А.М.Тарасьев, Ч.Ватанабе) есть область математической экономики, к которой относятся эти главы диссертации.

Целью третьей главы является разработка динамической модели, описывающей влияние технологического потенциала фирмы на ее производство с учетом распространения технологий экономического сектора между фирмами этого сектора. Динамика производства включает возрастающие тенденции, вызванные зависимостью производства от наукоемкости, и убывающие тенденции, связанные с фактором риска инвестиций в НИОКР. Разработанная модель функционирования фирмы базируется на работах А.М.Тарасьева и Ч.Ватанабе, в которых рассматривались подобные модели, но без оценки фактора освоения и использования (внедрения) внешних технологий наряду с инвестированием в развитие НИОКР и созданием собственных технологий фирмы.

Сформулирована и решена задача оптимального управления инвестициями в НИОКР, доказана теорема о единственности оптимального решения в этой задаче.

В главе IV описаны идентификация параметров модели, вычислительный эксперимент и результаты сценарного анализа, выполненного на базе моделирования японских электронных компаний. Найдена оптимальная политика инвестирования фирмы и проведен анализ чувствительности оптимального решения модели к дисконтированной предельной производительности технологий и эластичности замещения между любыми двумя продуктами, а также сравнение инвестиционной политики сильной и технологически отстающей фирм.

Цель работы - разработка инструментов (математических моделей), позволяющих математическими методами проводить исследования:

- устойчивого или неустойчивого развития человечества с его техносферой и экономикой во взаимодействии с природой и возможностей, путей и средств достижения социально - эколого - экономической стабильности на мировом уровне;

- влияния наз^чно - технического прогресса на производство на микроэкономическом уровне, оптимальных режимов инвестирования в НИОКР и освоение новых технологий.

Научная новизна. В настоящей диссертации впервые разработаны:

- модифицированная модель мировой динамики, одновременно учитывающая производственную функцию Кобба-Дугласа, научно - технический прогресс, динамику биомассы растительности суши, создание отрасли регенерации невозобновимых природных ресурсов и ряд других факторов, а также введена стратификация населения по данным ООН;

- микроэкономическая модель исследования влияния инвестиций в НИОКР и освоения внешних технологий внутри экономического сектора на производство отдельно взятой фирмы из этого сектора.

При этом проведен анализ решений уравнений моделей с точки зрения устойчивости при возмущениях и теории оптимального управления.

Теоретическая и практическая ценность. С теоретической точки зрения результаты первых двух глав работы являются существенным шагом в создании более реалистичной, чем у Дж. Форре-стера и его последователей, модифицированной модели мировой динамики с последующей стратификацией населения, математические методы используются для поиска и исследования стационарных решений первой модели.

В третьей и четвертой главах диссертации теоретический интерес представляет математическая модель, описывающая функционирование фирмы, использующей в своем производстве не только собственные технологии, но и освоение технологий других фирм сектора экономики, а также способ поиска оптимальных решений в этой модели на базе классического принципа максимума Понтрягина.

Практическая ценность первых двух глав в том, что с помощью модифицированной модели мировой динамики более точно исследованы потенциальные мировые кризисы в XXI веке, а также возможности и пути глобального перехода мирового сообщества к устойчивому развитию.

Прикладная значимость третьей и четвертой глав - в использовании модели и результатов ее анализа для исследования развития различных фирм и для выбора оптимальной стратегии инвестирования в научно - исследовательские и опытно - конструкторские работы, в освоение технологий экономического сектора для конкретой фирмы.

С помощью модели продемонстрированы преимущества эффективного использования в производстве фирмы технологий, разработанных другими компаниями, а также проанализирована роль способности фирмы осваивать внешние технологии при развитии фирмы. Модель полезна для проведения сравнительного анализа оптимальных значений с реальными данными для различных фирм на интервале в десятки лет.

Актуальность проблематики, связанной с устойчивостью и оптимизацией крупномасштабных систем, ставшей темой диссертации, вызвана интересом ученых, экономистов и лиц, принимающих решения, к проблемам глобального развитая человечества, угрозам катастрофического развития и возможным стратегиям перехода к устойчивому развитию и возможностям оптимизации инвестиций в науку и освоение технологий на микроэкономическом уровне.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В., "Оптимальное управление", М.: "Наука", 1979.

2. Aseev S.M., Kryazhimskii A.V., Tarasyev A.M., "The Pontryagin Maximum Principle and Transversality Conditions for an Optimal Control Problem with Infinite Time Interval", M.: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol.233, 2001, 64-80.

3. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., "Численные методы", М.: "Наука", 1987.

4. Borisov V.F., Hutschenreiter G., Kryazhimskii A.V., "Asymptotic growth rates in knowledge-exchanging economies", Annals of Operations Research, vol.89, 1999, 61-73.

5. Брундланд Г.Х., "Наше общее будущее", Доклад Комиссии по окружающей среде и развитию. М.: "Прогресс", 1989.

6. Watanabe С., "Trends in the Substitution of production factors to technology empirical analysis of the inducing impact of the energy crisis on Japanese Industrial Technology", Elsevier Science Publishers B.V., 1992.

7. Watanabe C., Asgari В., "Dynamic Interaction between Assimilation Capacity, Technology Spillovers, Sales and R&D Intensity. The Case of Electrical Machinery Industry in Japan", Tokyo Institute of Technology, 2000.

8. Watanabe С. et all "Technology Spillover as a Complement for High-level R&D Intensity in the Pharmaceutical Industry", Elsevier Science Ltd., Technovation, 2001.

9. Watanabe C. et all "Global Technology Spillover and its Impact on Industry's R&D Strategies", Elsevier Science Ltd., Technovation 21, 2001, 281-291.

10. Вернадский В.И. "Мысли и переписка о ноосфере", М.: "Наука", 1995.

11. Гальперин В.М. и др., "Макроэкономика", С.-П.: Изд. С.-П. Гос. университета экономики и финансов, 1997.

12. Grossman G.M., Helpman Е., "Innovation and Growth in the Global Economy", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, 1991.

13. Доклады о развитии человека за 1992, 1995, 1997, 1999, 2000, ПРО-ОН, Нью Йорк: Оксворд юниверсити пресс.

14. Дубовский С.В., "Выбор типа научно технического прогресса при моделировании экономического роста", М.: Сб. тр. ВНИИ Системных исследований, вып. 13, 1989, с. 4-9.

15. Дубовский С.В., "Новые модели инвестиционных и технологических циклов в экономике", М.: Сборник трудов ВНИИСИ, вып. 12, 1991, с. 4-13.

16. Дубовский С.В., Осипов С.Н., "Устойчивость экономического роста в условиях нестационарного научно технического процесса", М.: Сборник трудов ВНИИСИ, вып. 12, Москва, 1991, с. 32-41.

17. Дубошин Г.Н., "Основы теории устойчивости движения", М.: Изд. МГУ, 1952.

18. Егоров В.А., Каллистов Ю.Н., Митрофанов В.В., Пионтковский А.А., "Математические модели глобального развития", Л.: Гидро-метеоиздат 1980.

19. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н., "Математические методы в экономике", М.: Изд. "ДИС", 1997.

20. Zhu В., "Theoretical Analysis and Empirical Demonstration of Optimal R&D Investment Trajectory Control", Tokyo Institute of Technology, 2000.

21. Интрилигатор М.Д., "Математические методы оптимизации и экономическая теория", М.: "Прогресс", 1975.

22. Кеннеди П., "Вступая в XXI век", М.: "Весь мир", 1997.

23. Кондратьев К.Я., Данилов- Данильян В.И., Донченко В.К., Лосев К.С., "Экология и политика", С.-П., РАН, 1993.

24. Коптюг В.А. "Наука спасет человечество (избранные труды по проблемам устойчивого развития)", Новосибирск: Изд. СО РАН, НИЦ ОИГГМ, 1997.

25. Крапивин В.Ф., Свирежев Ю.М., Тарко A.M., "Математическое моделирование глобальных биосферных процессов", М.: "Наука", 1982.

26. Красовский Н.Н., "Некоторые задачи теории устойчивости движения", М.: Физматиздат, 1959.

27. Лотов А.В., "Введение в экономико математическое моделирование", М.: "Наука", 1984.

28. Ляпунов A.M., "Общая задача об устойчивости движения", M.-JL: Гостехиздат, 1950.

29. Малкин И.Г., "Теория устойчивости движения", М.: "Наука", 1966.

30. Матросова К.В., "Устойчивое развитие в модифицированной математической модели "Мировая динамика", Сборник статей "Математическое моделирование социальных процессов", М.: МГУ, 1998, с. 75-84.

31. Matrossova K.V., "Sustainable Development in the Modified Model "World Dynamics, Nonlinear Analysis, vol.47, 2001, 5403-5413.

32. Матросова К.В., "Оптимизация инвестиций в модели НИОКР с учетом распространения технологий между фирмами", рукопись деп. в ВИНИТИ, 19.04.02, 719-В2002, 30с.

33. Медоуз Деннис, Медоуз Донелла, Рандерс Й., Беренс III Вильям, "Пределы роста", М.: Изд. МГУ, 1971.

34. Meadows D.L. et al. "Dynamics of Growth in a Finite World", Cambridge: Mass. Whright Allen Press Inc., 1974.

35. Медоуз Донелла, Медоуз Деннис, Рандерс Йорген "За пределами роста", М.: "Прогресс "Пангея", 1994.

36. Моисеев Н.Н. "Математические задачи системного анализа", М.: "Наука", 1981.

37. Моришима М., "Равновесие, устойчивость, рост", М.: "Наука", 1972.

38. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А., "Опыт математического моделирования экономики", М.: Энергоатомиздат, 1996.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., "Математическая теория оптимального управления", М.: Физмат-гиз, 1961.

40. Tarasyev A.M., Watanabe С., "Optimal Dynamics of Innovation in Models of Economic Growth", Journal of Optimization Theory and Applications, vol.108, no.l, 2001, 175-203.

41. Филиппов А.Ф., "Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью", М.: "Наука", 1985.

42. Форрестер Дж., "Мировая динамика", М.: "Наука", 1978.

43. Hutschenreiter G., Kaniovski Y.M., Kryazhimskii A.V., "Endogenous Growth Absorptive Capacities and International R&D Spillovers", IIASA, WP-95-92, 1995.

44. Arrow K.J. "Production and Capital", Collected papers, The Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London,• 1985.