Эволюционные процессы в динамике вязкоупругого тела в гравитационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОГДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Синицын Евгений Валерьевич

УДК 531.352

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДОШКЕ ВЯЗКОУШГОГО ТШ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

с

Работа выполнена на кафедре теоретической иеханики ыеханико-матеыатического факультета ИГУ им. Ы.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-ыатеиатических наук,

профессор А.П.Ыаркеез Официальные оппонента - доктор флзико-ыатеиатичзскнх наук,

профессор В.В.Белецкий - доктор физико-математических наук, профессор С.Г.Еуравлев Ведущая организация - Московский' авиационный институт

им. С.Орджоникидзе

Защита диссертации состоятся и&Л&р^Я 159 7г.

в 16-00 часов на заседании специализированного Совета Д.'053.05.01 при Московском государственном университете ид. Ц.В.Лоыоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, Главное здание ИГУ, сектор "А", ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ыеханико-ыатеыатического факультета ИГУ.

Автореферат разослан

УченаЗ секретарь специализированного Совета, кандидат фиэико-ыатематически наук

Д.В.Трецзв

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследовании влияния вязкоупругих свойств материала тела на его вращательное и лоступательно-вращательное движение в гравитационном поле.

Актуальность темы. При изучении движения планет и искусственных спутников в большинстве случаев их можно считать абсолютно твердыми телами. Однако, интенсивное освоение космического пространства, развитие ракетно-космической техники (в частности: вывод на орбиту и длительное функционирование больших космических конструкций) поставило задачу об исследовании влияния деформируемости и внутренней вязкости материала на движение тел в центральном ньютоновской поле сил. Актуальность темы обусловлена тем, что до сих пор не был подробно изучен ряд динамических эффектов, рассматриваемых в диссертации, связанных с влиянием свойств материала тела на его поступательно-вращательное движение.

Цель работы. Разработка метода исследования поступательно-вращательного движения вязкоупругого тела, свойства материала которого описываются многопараметрической модель» линейной теории вязкоупругости. Исследование влияния диссипативно-го фактора на эволюцию движения вязкоупругой планеты в центральной ньютоновском поле сил. Изучение механизма резонансного вращения. Исследование эволюции быстрых вращений произвольного динамически симметричного тела в гравитационном поле.

-г -

Научная новизна. Р&зработан мегод исследования дина-кики вязкоупругого тела, являющийся синтезом метода модального анализа, метода пограничных функций теория сингулярно-возмущенных штегро-дифференциальных уравнений типа Всль-торра и принципа соответствия линейной теории вяэкоупругос-

ТИ.

Предложенный метод обобщает известные методы решения подобных задач, в частности, обобщает известные методы исследования приливных явлений в движении планет Солнечной систе-

1

мы. Он позволяет исследовать влияние внутреннего трения на динамику деформируемого тела для ботгее широкого класса материалов и спектра их свойств на основе многопараметрической модели теории вязкоупругости.

Предложенным методом решен ряд задач об эволюции движения вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил. Получены и исследованы уравнения, списывающие эволюция вращательного и поступательно-вращательного движения вязкоупругого кара. Изучено движение вязкоупругого тела, близкого к шару на эллиптической орбите. Предельная угловая скорость и условия существования устойчивого резонансного вращения (резонанс типа "Меркурий") получены как функции параметров, характеризующих свойства материала. Полутени и исследованы уравнения, описывающие эволюцию быстрых врацений произвольного динамически симметричного вязкоупругого тела в гравитационном поле. Показано, что количественные и качественные характеристики эволюции движения существенно зависят от вязко-

упругих свойств материала. Эта зависимость изучена для ряда конкретных тел при различных свойствах иатериала.

При исследовании эволюционных процессов в динамике вяз-коупругого тела в гравитационном поле сделана попытка учета экспериментальных данных о внутреннем трении в реальных материалах» часто невозможного в рамках известных подходов.

Достоверность результатов. Обусловлена применением строго обоснованных математических методов.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты иогут найти применение при создании высокоточных теорий движения Луны и планет, а также при изучении движения искусственных спутников Земли.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Вэсцубликанской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк-1990), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва-1991), на УП Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва-1991), на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МЛ/ и Института проблем механики АН СССР.

Основное содержание диссертации отражено в семи опубликованных работах (см. список работ автора по теме диссертации).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух дополнений, трех приложений, заключения' я списка литературы (108 наименований). Она содержит 142 страницы машинописного текста, из которых 10 занимают рисунки.

'.СОДЕШАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш, сформулирована цель работы и приведен обзор имеющихся по теме диссертации литературных источников. Изложены краткое содержание работы и основные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе формулируется общая постановка задачи, рассматриваемой в диссертации, и разрабатывается метод ее решения.

В § I формулируется постановка задачи о движении вязко-упругого тела произвольной формы в поле массовых сил общего вида. Вязкоупругие свойства метериала описываются при помощи теории вязкоупругости в предположениях: коэффициент Пуассона является постоянным, материал не обладает свойствами мгновенной упругости и вязкого течения при постоянном нагружении. Функция релаксации представлена в виде суммы экспонент. Вводятся основные системы координат и устанавливаются некоторые свойства собственных форм свободных упругих колебаний в средней системе координат.

При помощи основных теорем динамики получены уравнения, описывающие поступательно-вращательное движение и деформации

вязкоупругого тела.

Второй параграф посвящен построению асимптотики решений уравнений движения, полученных в § I.

Вводятся следующие основные допущения: период свободных упругих колебаний тела на низшей гармонике и характерное время затухания этих колебаний много меньше характерного времени движения тела как целого. Заметим, что обычно используемое предположение о том, что характерное время затухания свободных колебаний много больше периода этих колебаний не вводится. В соответствии с допущениями вводится малый параметр и система уравнений динамики вязкоупругого тела преобразуется .к системе сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.

Построение асимптотики решений производится при помощи метода пограничных функций [I] . Проверяются условия, при которых возможно применение этого метода. С учетом членов, линейных по малому параметру, получены оценки погрешности асимптотического решения и интервала времени, на котором она справедлива.

Решения для обобщенных координат, описывающих деформации тела, ищется при помощи преобразования Лапласа по времени.

[I] Васильева А.£., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.,Наука, 1970.

Такой подход основан на применении "принципа соответствия"

[2]задач линейной теории вязкоупругости.

Из подученного выражения для обобщенных координат, описывающих деформации тела, при введении дополнительных предположений следует известное [з] .

Далее, исследуемая система приводится к виду системы уравнений динамики абсолютно твердого тела с малыми возмущениями, что в дальнейшем позволяет использовать известные асимптотические методы механики, в частности, метод усреднения.

Следующий параграф (§3) посвящен конкретизации общих уравнений динамики § I на случай, когда вязкоупругое тело движется в центральном ньютоновском поле сил. Часть уравнений, которая описывает движение подвижного трехгранника, имеет вид известных уравнений Сантини. Уравнения, описывающие деформацию тела отличаются от известных членами, определяющими диссипацию энергии.

Вторая глава посвящена исследованию влияния вязкоупругих свойств материала на его быстрые вращения в гравитационном поле сил. Рассматривается произвольное динамически симметрич-

Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости. 11., Цир, 1965.

[3] Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле. Космич. исслед. 1989. Т. 29, » 2, С. 163-175.

ное вязкоупругое тело, центр масс которого движется по неэволюционирующей круговой орбите. Эволюция его вращательного движения исследуется при помощи метода, разработанного в Главе I и метода усреднения.

в § 4 вводятся канонические переменные Андуайе. Уравнения движения выводятся в. форме уравнений Рауса, причем переменные Андуайе составляют гамильтонову, а обобщенные коорди- " наты, описывающие внутренние степени свободы - лагранжеву части переменных. Далее, как это обычно делается в подобных задачах, производится разделение эволюции на два этапа: "быструю" и "медленную" диссипативные эволюции.

Этап "быстрой" диссипативной эволюции рассматривается в § 5, Этот этап характеризуется тем, что влияние гравитационных моментов не учитывается и в качестве невозмущенного движения фигурирует регулярная прецессия в случае Эйлера. Методом усреднения получено уравнение, описывающее эволюцию такого движения для тела, материал которого описывается моделью Главы I. Показано, что с течением времени тело стремится к вращению вокруг оси наибольшего момента инерции. Такое движение - исходное для этапа "медленной" диссипативной эволюции, которая рассматривается в следующем параграфе.

Шестой параграф разделен на три части. Первые две посвящены выводу уравнений, описывающих эволюцию "медленных" переменных на втором этапе эволюции в зависимости от соотношения между моментами инерции тела в недеформированном состоянии. Анализ полученных уравнений показал, что в случае, когда мо-

мент инерции относительно оси динамической симметрии превышает экваториальный момент инерции, траектории системы "стремятся" к асимптотически устойчивой особой точке, соответствующей следующему стационарному движению: тело неподвижно в орбитальной системе координат, а ось динамической симметрии ортогональна плоскости орбиты. В случае обратного неравенства между моментами инерции положении равновесия системы эволюционных уравнений соответствует стационарное движение, при котором тело неподвижно в орбитальной системе координат, а ось симметрии принадлежит плоскости орбиты, причем она может быть ортогональна радиусу-вектору центра масс, а может быть сонаправлена с ним. Рассматривается вопрос об устойчивости таких движений в силу эволюционных уравнений.

В п. 3 § б рассмотрен случай, когда тело совершает продольные колебания вдоль оси симметрии. В этом случае уравнения § 4 имеют интеграл, и этап "быстрой" диссипативной эволюции отсутствует. Получены уравнения, описывающие эволюцию вращательного движения такого тела, положение равновесия которых - равномерное врап'чние тела вокруг оси симметрии ортогональной плоскости орбиты.

В заключение этого параграфа обсуждается поведение системы на небольших промежутках времени ("консервативная эволюция"), а также вопрос о применимости полученных уравнений в окрестности описанных положений равновесия ("этап гравитационного захвата").

В следующем параграфе (§7) уравнения, полученные в § б и описывающие эволюцию переменных действие на этапе медленной диссипативной эволюции исследуются на примере некоторых простейших конкретных тел (кольцо, цилиндрическая оболочка, стержень, цилиндр). Исследование проводится численными методами. В качестве иллюстрации используются экспериментальные данные, характеризующие внутреннее трение в металлах, на основе которых строится модель механической добротности в области малых частот. Проводится сравнительный анализ результатов с результатами, полученными ранее для этих тел. Показано, что от вязкоупругих свойств материала существенно зависят количественные и качественные характеристики эволюционного движения. К примеру, при различных свойствах материала и одних и тех же начальных условиях угол между вектором кинетического момента и нормалью к плоскости орбиты может либо увеличиваться, либо уменьшаться.

Следует отметить, что новые качественные эффекты в эволюции движения получены при использовании экспериментальных данных о вязкоупругом поведении металлов.

В третьей' главе рассматриваются эволюционные процессы в динамике вязкоупругого шара в гравитационном поле. Такая постановка задачи может служить одной из моделей приливных явлений в движении планет Солнечной системы.

В § в при помощи результатов Главы I и метода усреднения подучены уравнения, описывающие эволюцию вращательного движения шара на круговой орбите. Используется точное решение зада-

чи о деформациях упругого шара в поле сил притягивающего центра. В процессе эволюции ось вращения шара стремится к нормали к плоскости орбиты, а угловая скорость собственного вращения стремится к орбитальной. Применение полученных уравнений иллюстрируется на примере планеты с параметрами Венеры (без учета резонанса в ее вращении) с применением данных о вязкоупругом поведении Земной коры, приведенными некоторыми авторами. Оказывается, что для разных типов данных характерны как количественно так и качественно различные эволюционные процессы. Для одного типа данных угол между осью вращения планеты и нормалью к плоскости орбиты сначала увеличивается, затем убывает до нуля. Для другого типа при разных начальных данных возможно либо монотонное убывание этого угла до нуля, либо немонотонное (на некотором промежуточном этапе он возрастает). Из своего теперешнего вращения Венера может прийти к стационарному вращению для одной модели за 2,6 млрд. лет, для другой - за 450 млн. лет. Отметим, что численные значения в этом параграфе и далее приведены лишь с целью проиллюстрировать полученные результаты.

В следующем параграфе (§9) исследуется эволюция плоского поступательно-вращательного движения вязкоупругого шара (планеты). Используется разложение координат эллиптического движения по степеням эксцентриситета. Полученные здесь уравнения позволяют проследить эволюцию формы орбиты в зависимости от ее вязкоупругих свойств. Оказывается, что пои первоначально быстром вращении планеты для одного типа свойств материала

характерно следующее начальное направление эволюции: эксцентриситет л больиэл полуось возрастают. Для другого типа свойств начальное направление эволюции противоположное. Финальное движение такое ае как и в § 8.

Последний параграф (§ 10) посвящен изучению эволюции и резонансов (резонанс "типа Меркурий"3 во вращательном движении вязкоупругого тела близкого к тару на эллиптической-орбите. Предельная угловая скорость и условия существования устойчивого резонансного вращения получены как функции эксцентриситета и параметров, характеризующих вяэноулругие свойства материала. Если использовать данные (§ 8) о вязхоупругом поведении Земной коры, то эти условия оказываются выполненными для планеты с характеристиками Меркурия, вращающейся со соизмеримость» 3:2 между угловой скоростью собственного вращения и орбитальной угловой скоростью в среднем движении.

В заключение десятого параграфа дается краткий обзор и сопоставительный анализ основных известных моделей приливных явлений, указываются области изменения параметров используемой модели, при которых результаты совпадают с известными.

Дополнения и приложения содержат информации вспомогательного характера.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Синицын Е.В. Эволюция вращательного движения вязкоупру-гой планеты на круговой орбите // Космические исследования, 1990, Т. 28, вып. 3, с. 323-328.

2. Синицын Б.В. Эволюция кеплеровского движения вязкоупругой планеты // Астрономический журнал, 1990, Т. 67, вып. 3, с. 630-635.

3. Синицын Е.В. Асимптотика сингулярных возмущений в исследовании поступательно-вращательного движения вязкоупругого тела //В сб. тез. -респ. конф. Динамика твердого тела и устойчивость движения. Донецк, 1990, с.60.

4. Синицын Е.В. Эволюция быстрых вращений вязкоупругого тела в гравитационном поле // В сб. тез. Всесоюзн.конф. Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации. Москва, 1991, с. 19.

5. Синицын Е.В. Асимптотика сингулярных возмущений в исследовании поступательно-вращательного движения вязкоупругого тела // Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1991, вып. I, с. 104-110.

6. Синицын Е.В. Движение вязкоупругого тела, близкого к шару на эллиптической орбите //В сб. УП Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Москва, 1991, с.318.

7. Синицын Е.В. Эволюция и резонансы в движении вязкоупругого тела, близкого к шару на эллиптической орбите //Прикладная математика и механика, 1991, т.59, вып.4, с. 647-652.