Стационарные движения твердого тела в центральном гравитационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

р .московский. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИИ. М. В. ЛОМОНОСОВА

- С м,л. _

Механико - математический факультет

На правах рукописи

Абрарова Елена Валериевна

СТАЦИОНАРНЫЕ РШ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в секторе теории устойчивости и механики управляемых систем отдела механики Вычислительного центра РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

А.В.Карапетян

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Маркеев А.П.,

Ведущая организация - Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша РАН

16 часов на заседании диссертационного Совета по механике Д 053.05.01 в МГУ по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-ю.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этак).

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 в МГУ доктор физико-математических наук

кандидат физико-математических наук, доцент Тхай В.Н.

Защита диссертации состоится

1995 г. в

Автореферат разослан

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проектирование протяженных небесных объектов требует более точного знания различных физических факторов, оказывающих влияние на их движение: сил ньютоновского тяготения, упругих, электромагнитных сил, сил сопротивления различной природа. В частности, использование более точных выражений для различного рода сил и моментов вместо приближенных, основанных на использовании тех или иных малых параметров, отражающих, например, отношение размеров тела и размеров орбиты, может выявить механические эффекты, принципиально невозможные в случае использования приближенных выражений. Поэтому тема настоящей работы, посвященной исследованию стационарных движений твердого тела в центральном поле с учетом точного выражения для сил ньютоновского притяжения, представляется актуальной.

Целью работы является изучение стационарных движений твердого тела в центральном ньютоновском поле сил в точной постановке, т.е. с учетом полного выражения для потенциала гравитационных сил.

Основные результаты и их научная новизна I. В плоской задаче о поступательно - вращательном движении тела, моделируемого парой взаимно ортогональных симметричных гантелей, одинаковой длины, но разной массы

1) показано, что вековая устойчивость тривиальных стационарных движений ( одна из гантелей расположена вдоль

радиус-вектора, а другая вдоль касательной к орбите центр; масс ) возможна не только в случае, когда гантель большей массь направлена вдоль радиус-вектора, но и когда она направлена вдол! касательной к орбите;

2) показано, что существуют нетривиальные стационарные движения, при которых гантели повернуты на некоторый угоJ относительно радиус-вектора и касательной к орбите.

II. В пространственной задаче о вращательном движении тела, моделируемого безмассовым шаром, на концах трех взаимно ортогональных диаметров которого расположены точечные массы

1) показано, что вековая устойчивость тривиальных относительных равновесий ( главные центральные оси инерции тела направлены вдоль осей орбитальной системы координат ) возможна не только в случае, когда вдоль радиус-вектора направлена большая ось , вдоль касательной к орбите - средняя ось, а вдоль нормали к плоскости орбиты - меньшая ось, но и в случаях, когда вдоль радиус-вектора направлена средняя или меньшая оси , если при этом вдоль касательной к орбите направлена ось, длина которой больше длины оси, направленной вдоль нормали к плоскости орбиты;

2) показано, что существуют нетривиальные равновесные ориентации трех типов:

а) одна из осей инерции, направлена вдоль нормали к плоскости орбиты, а остальные повернуты относительно радиус-вектора и касательной к орбите,

б) одна из осей инерции направлена вдоль касательной к орбите, а остальные повернуты относительно радиус-вектора и

нормали к плоскости орбиты,

6) ни одна из осей инерции не совпадает ни с одной из осей орбитальной системы координат;

3) показано, что не существует равновесных ориентации, при которых одна из осей инерции направлена вдоль радиус-вектора, а две другие повернуты относительно касательной к орбите и нормали к плоскости орбиты.

III. В пространственной задаче о поступательно-вращательном движении тела в рамках той же модели

1) найдены стационарные движения тела четырех типов:

а) тривиальные, при которых оси инерции тела совпадают с осями орбитальной системы координат, а центр масс описывает круговую орбиту, плоскость которой содержит притягивающий центр,

б) нетривиальные, при которых одна из осей инерции ортогональна плоскости орбиты, содержащей притягивающий центр, а две другие повернуты, относительно радиус-вектора и касательной к орбите,

6) нетривиальные, при которых одна из осей инерции направлена вдоль касательной к орбите, плоскость которой не содержит притягивающего центра, а остальные две повернуты относительно радиус-вектора и нормали к плоскости орбиты,

г) нетривиальные, при которых ни одна из осей инерции тела не совпадает с осями орбитальной системы координат, а плоскость орбиты центра масс не содержит притягивающего центра;

2) показано, что вековая устойчивость тривиальных стационарных движений возможна не только в случае, когда большая ось инерции тела направлена вдоль радиус-вектора,

средняя - по касательной к орбите, а меньшая - по нормали, но и в случаях, когда вдоль радиус-вектора направлена средняя или меньшая оси, если при этом вдоль касательной направлена ось, длина которой больше длины оси, направленной вдоль нормали;

3) показано, что стационарные движения тела, при которых плоскость орбиты его центра масс содержит притягивающий центр, существуют лишь в том случае, если одна из осей инерции тела направлена по нормали к плоскости орбиты.

Обоснованность. Все результаты работы получены с помощью теории устойчивости движения и теории бифуркации и строго обоснованы.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании протяженных спутниковых систем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на мевдународных конференциях:

1) "Динамика космического полета" . Санкт-Петербург -Москва, 22 - 28.05.1994 ,

2) "Современные проблемы теоретической астрономии". Санкт-Петербург, 20 - 24.06.1994 ,

3) "Чтения по космонавтика". Москва, 30.01 - 2.02.1995.

и на семинарах МГУ им. М.В.Ломоносова

1) по аналитической механике под руководством академика В.В.Румянцева (1993, 1994, 1995 )

2) по механике относительного движения под руководством проф. В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. С.И.Трушина, доц. К.Е.Якимовой (1993 )

3) по классической механике под руководством проф. В.В.Козлова и д.ф.м.н. Д.В.Трещева (1993)

Основные результаты опубликованы в 3-х статьях и тезисах докладов на международных конференциях ( работы [1-6] )

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 146 страницах, содержит 64 рисунка и 3 таблицы, список литературы из 57 наименований .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы, приводится краткий обзор литературы по теме диссертации, коротко излагается содержание диссертации.

В главе I рассматривается задача о плоском поступательно-вращательном движении твердого тела, которое моделируется двумя взаимно-перпендикулярными невесомыми стержнями йд длины а, на противоположных концах которых расположены точечные массы тд / 2 ( з = 1,2 ) . Предполагается, что тело движется в плоскости, содержащей притягивающий центр.

В §1.2 найдены тривиальные стационарные движения, отвечающие ориентациям, при которых одна из его главных центральных осей инерции направлена по радиус-вектору центра масс, а другая - по касательной к орбите. В §1.3 найдены достаточные условия устойчивости тривиальных стационарных движений. При различных значениях параметров т1 , тг проанализированы полученные условия устойчивости и показано,

что в некоторых случаях изменяется степень неустойчивости тривиальных стационарных движений, т.е. от последних должны ответвляться нетривиальные стационарные движения. В §1.4 найдены эти нетривиальные стационарные движения, отвечающие ориентациям, при которых ни одна из его главных центральных осей инерции не совпадает с радиус-вектором центра масс и касательной к орбите, причем угловое отклонение не превышает %/4 и стремится к тс/4 при т - тг Также показано, что, кроме указанных стационарных движений, никаких других в данной задаче нет. В §1.5 при различных значениях параметров т , тг построены бифуркационные диаграммы на плоскости (г,эе2), где г - длина радиус-вектора, эе -приведенная постоянная интеграла площадей.

Таким образом, в главе I показано, что даже в тех случаях, когда размеры тела малы, по сравнению с радиусом орбиты его центра масс, возможна вековая устойчивость стационарных движений тела, при которых большая ось его эллипсоида инерции направлена по касательной к орбите, а меньшая - вдоль радиус-вектора. Кроме того, при этом существуют стационарные движения тела, для которых его главные центральные оси инерции не совпадают ни с радиус-вектором, ни с касательной к орбите. Эти результаты обусловлены использованием точного выражения для потенциала сил тяготения и принципиально невозможны при использовании "спутникового" приближения для этого потенциала.

В главе II рассматривается задача об относительных равновесиях безмассового шара, на концах трех взаимно перпендикулярных диаметров которого расположены точечные массы т / 2 (з=1, 2, 3), в поле притяжения однородного шара, в

предположен™, что центр масс тела равномерно движется по круговой кеплеровой орбите радиуса г0 >> а ( 2а ~ диаметр тела ), расположенной в плоскости, содержащей притягивающий центр. В § 2.2 найдены тривиальные равновесные ориентации, при которых главные центральные оси инерции тела совпадают с осями орбитальной системы координат: I - ая направлена вдоль радиус-вектора центра масс , J - ая - по нормали к плоскости орбиты, к - ая по касательной к орбите. Исследована устойчивость тривиальных относительных равновесий при всех возможных I, J, й е Б3 ( Б3 - группа подстановок из трех элементов (7, 2, 3) ). Показано, что существуют нетривиальные относительные равновесия для некоторых [I, к).

В § 2.3 исследованы нетривиальные относительные равновесия, отвечающие ориентациям, для которых :

1) / - ая ось инерции направлена по нормали к плоскости орбиты, а { - ая и к - ая оси повернуты на угол ф относительно радиус-вектора центра масс и касательной к орбите соответственно, причем ср = т ± <р* (гс = О, 7) , где Ф* € (0,х/4) и ф* %/4 , если ш{ / т^ 1 .

2) к - ая ось инерции тела направлена по касательной к орбите, I - ая и $ - ая оси составляют угол ф с радиус-вектором центра масс и нормалью к плоскости орбиты соответственно, причем ф = т ± ф* {п = О, 7) , где ф* € (0,%/4) и ф* %/4 , если т^ / т1 1 .

В § 2.4 показано, что все указанные нетривиальные относительные равновесия неустойчивы в вековом смысле . Найдена степень неустойчивости этих равновесий для всех I, к е Б3 и

при всех возможных т , тг , т . Кроме того, показано, что для некоторых ((, J, к) существуют нетривиальные относительные равновесия отличные от указанных выше и, отвечающие ориентациям, при которых ни одна из главных центральных осей инерции не совпадает ни с радиус-вектором центра масс, ни с касательной к орбите , ни с нормалью к плоскости орбиты. Эти равновесия исследованы в § 2.5. Области существования всех относительных равновесий и степени их неустойчивости представлены на плоскости параметров / m{ , m / ) .

Таким образом, в главе II показано, что в рассматриваемой модельной задаче имеют место следующие явления, вызванные использованием точного выражения для потенциала гравитационных сил:

7) наличие вековой устойчивости относительных равновесий тела, отвечающих тривиальным ориентациям в случаях, когда не только наибольшая, но также средняя или малая оси эллипсоида инерции тела направлены вдоль радиус-вектора его центров масс,

2) существование нетривиальных относительных равновесий тела, для которых его главные центральные оси инерции не совпадают с осями орбитальной системы координат.

При использовании точного выражения для гравитационного потенциала в рассматриваемой модельной задаче всегда существует 24 тривиальных ориентации. Если эллипсоид инерции тела близок к эллипсоиду вращения , то существуют еще 48 нетривиальных ориентвций первого типа, кроме того, если эллипсоид инерции близок к шару, то существует еще 64 относительных равновесия второго типа.

ю

В главах III и 1У рассматривается пространственная задача о поступательно-вращательном движении тела в рамках той же модели.

В § 3.2 найдены тривиальные стационарные движения, отвечающие ориентациям, при которых центр масс тела движется по круговой орбите, плоскость орбиты содержит притягивающий центр, главные центральные оси инерции совпадают с осями орбитальной системы координат и направлены следующим образом : t - ая - по радиус-вектору центра масс, J - ая по нормали к плоскости орбиты, к -ая - по касательной к орбите. Показано, что при заданном значении постоянной интеграла площадей возможны два различных стационарных движения тела, отвечающие одной и той же его ориентации и различающихся величиной радиуса орбиты.

В § 3.3 найдены достаточные условия устойчивости тривиальных стационарных движений. Показано, что при i > k , t > J происходит смена степени неустойчивости, т.е. происходит ветвление тривиальных стационарных движений и рождаются нетривиальные стационарные движения. В § 3.4 при различных параметрах тп1 , т2 , т3 численно определены шесть областей, различающихся взаимным расположением точек ветвления. В § 3.5 указан характер устойчивости тривиальных стационарных движений при всех I, J, k t S и для всех возможных т1 , т2 , т3 . Приведены соответствующие бифуркационные диаграммы.

В § 4.1 поставлена задача отыскания нетривиальных стационарных движений и отмечены их некоторые общие свойства.

В § 4.2 показано, что существуют нетривиальные стационарные движения двух типов , отвечающие ориентациям, при которых :

1) J - ая ось направлена по нормали к плоскости орбиты,

I - ая и к - ая оси повернуты на один и тот же угол <р относительно радиус-вектора центра масс и касательной к орбите, причем ф = те ± фА (п = О, 1) , <р* € (О,тс/4) и <р* тс/4 при т^ / т -> 1. При этом плоскость орбиты центра масс тела проходит через притягивающий центр.

2) к - ая ось направлена по касательной к орбите , I -ая -составляет угол ф с радиус-вектором центра масс, } - ая - угол Ф + В с нормалью к плоскости орбиты, причем ф = тот + ф** (п =0,1) 0< ф**< ф\ %/4, 6 =1/2агсгй|А. Лр)81п2ф/(1-|1, .(р)соз2ф) = (ш - т.)а2 / тр2 . При этом расстояние от плоскости орбиты центра масс тела до притягивающего центра равно р|з£гс0| ( р - длина радиус-вектора ) .

В § 4.3 получены достаточные условия устойчивости нетривиальных стационарных движений первого типа. Показано, что все эти стационарные движения неустойчивы в вековом смысле. При близких массах (т^ /т1 = 1 + и , т /т1 = 1 + и , О < и, V « 1) степень неустойчивости этих равновесий может изменяться и от этих решений при I = 3, 3 = 1, к = 2 ( т1 > тг > т3 ) всегда ответвляются дополнительные стационарные движения, а при I = 3, 3=2, к = 1 дополнительные стационарные движения ответвляются, если 2тг > т, +- т3 (2и > и) .

В § 4.4 получены достаточные условия устойчивости нетривиальных стационарных движений второго типа. Показано, что все эти стационарные движения также неустойчивы в вековом смысле. При близких массах степень неустойчивости этих движений может изменяться и от этих решений при 1=3, 3=2, к = 1 всегда ответвляются дополнительные стационарные движения, а при

i = 3, J = 1, k = 2 дополнительные стационарные движения существуют, если 2т> + т3 (2v > и) . Дополнительные стационарные движения отвечают ориентациям, при которых плоскость орбиты центра масс тела не содержит притягивающий центр, причем ни одна из главных центральных осей инерции тела не совпадает ни с одной из осей орбитальной системы координат. В § 4.5 построены соответствующие бифуркационные диаграммы.

Таким образом, в главах III и 1У показано, что в рассматриваемой модельной задаче имеют место следующие явления, вызванные использованием точного выражения для потенциала гравитационных сил:

1) существование нетривиальных стационарных движений тела, для которых по крайней мере две из его главных центральных осей инерции не совпадаеют с осями орбитальной системы координат,

2) возможность наличия вековой устойчивости "тривиальных" стационарных движений, при которых ось наименьшего момента инерции не направлена вдоль радиус-вектора, даже при выполнении предположения о малости размеров тела по отношению к радиусу орбиты его центра масс, если при этом отношение тех или иных двух моментов инерции тела близко к единице ( отметим, что последнее заведомо имеет место для многих естественных небесных тел ),

3) существование стационарных движений тела, для которых плоскость орбиты его центра масс не проходит через притягивающий центр.

При использовании точного выражения гравитационного потенциала всегда существуют 72 стационарные ориентации ( во

всяком случае в рассматриваемой модельной задаче): 24 тривиальные ориентации, 24 "плоские" нетривиальные ориентации (9=0) и 24 "пространственные" (9 ? О) нетривиальные ориентации. Кроме того, если эллипсоид инерции тела близок к шару, то существуют по крайней мере 32 дополнительные стационарные ориентации "общего вида" ( для т1 > т > т3 , близких одно к другому). Наконец, если 2тг > + тг , то существуют еще 32 стационарные ориентации "общего" вида.

Отметим также, что стационарные движения тела, для которых плоскость орбиты его центра масс проходит через притягивающий центр, существуют ( при и; ф тг / т3 ) только в том случае, когда одна из его главных центральных осей инерции ортогональна плоскости орбиты.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абрарова Е.В., Караготян A.B. О стационарных движениях твердого тела в центральном гравитационном поле // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 5- С.68-73.

2. Абрарова Е.В. Об устойчивости стационарных движений твердого тела в центральном поле // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. С.

3. Абрарова Е.В. Об относительных равновесиях твердого тела в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1995. С. 3-28.

4- Абрарова Е.В., Карапетян A.B. О бифуркации и устойчивости стационарных движений твердого тела в центральном поле // Современные проблемы теоретической астрономии. Тезисы докладов. С.-Петербург: ИТА РАН. 1994- Т. 2. 0. 9 - 10.

5. Abrarova E.V., Karapetyan А.7. On bifurcation and stability of eteady motions of rigid body in the oentral field // Spaoe Plight dynamios symposium. Abstracts. S.-Peterburg -Moscow. 1994. P.40 .

6. Абрарова E.B., Карапетян A.B. О ветвлении и устойчивости стационарных движений и относительных равновесий твердого тела в гравитационном поле // Чтения по космонавтике. Тезисы докладов. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша. 1995.

Подл, к печ. 20.02.95 г. Объем 1,0 п.л. Формат 60x84/16 Тираж 70 экз. Заказ 215

ТОО "Нерей" ВНИР0.107140, Москва, В.Красносельская,17