Двухтросовая система "гантель-груз" в центральном гравитационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Муницына Мария Александровна

Двухтросовая система "гантель-груз" в центральном гравитационном поле

Специальность 01 02 01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2007 ---юьу

003161569

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научные руководители: Доктор физико-математических наук,

профессор А В Карапетян Кандидат физико-математических наук, доцент А А Буров

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

профессор И И Косенко Кандидат физико-математических наук, доцент А В Родников

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им М В Келдыша Российской академии наук

Защита состоится 9 ноября 2007 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501.001 22 по механике при Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 9 октября 2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 22 доцент \Г // В А Прошкин

Р \М

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тросовые элементы, благодаря своей легкости, возможности относительно быстрого свертывания и развертывания и компактности хранения в свернутом состоянии, успешно используются при проектировании и создании больших орбитальных систем Проекты по использованию тросовых систем в космосе являются актуальными в связи с современным техническим предпосылкам их практической реализации

Цель диссертационной работы. Основной целью данной диссертационной работы является поиск и исследование свойств стационарных движений механической системы, состоящей из гантелеоб-разного тела с массами, сосредоточенными на его концах, и массивной точки, соединенной с этими концами нерастяжимыми невесомыми тросами

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными Впервые в точной постановке рассмотрена плоская задача о движении двухтросовой системы в центральном гравитационном поле

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы, они базируются на общих теоремах динамики, теории устойчивости и бифуркаций

Используемые методы. В работе используются методы Рауса, Ляпунова, Четаева из теории устойчивости и бифуркации стационарных движений При исследовании задачи в спутниковом приближении используется метод малого параметра

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Полученные результаты дают представление о количестве, видах и характере устойчивости стационарных движений рассматриваемой двухтросовой системы Эти результаты могут быть использованы для изменения или стабилизации равновесных ориентаций спутника на орбите

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад РАН В В Румянцева, чл -корр РАН В В Белецкого, проф. А В Карапетяна, 2006 г

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук проф С Я Степанова, проф А В Карапетяна, 2007 г

- Международная научная конференция по механике «Четвертые поляховские чтения», Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г

- IX Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (им Е С Пятницкого), 31 мая - 2 июня 2006 г

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной мехаг нике, 2006, Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006 г

- Шестой международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-7 августа 2007 г

- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им М В Ломоносова, апрель 2007 г

- IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня 2007 г

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в трех печатных работах, одна из них опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК Список работ приведен в конце автореферата

Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 67 наименований Общий объем диссертации - 74 страницы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, посвященных исследованию движений разнообразных тел и систем нескольких тел в центральном гравитационном поле, в том числе тросовых систем, а также приведено краткое содержание диссертации

В первой главе дается постановка задачи Рассматривается движение несимметричной гантели, моделируемой двумя точечными массами, соединенными невесомым нерастяжимым стержнем, и точечного груза, соединенного с концами гантели невесомым нерастяжимыми тросами известной длины Условия нерастяжимости тросов задают две односторонние связи, наложенные на систему Предполагается, что в течение всего времени движения все три массивные точки системы находятся в одной и той же неподвижной плоскости, содержащей притягивающий центр

В первом разделе задача рассматривается в точной постановке В качестве уравнений движения системы выбраны уравнения Лагран-жа с множителями Если в течение движения множители связи принимают неотрицательные значения, то связи, наложенные на систему, эквивалентны двусторонним Если же некоторый из множителей связи меняет знак с плюса на минус, то соответствующая ему связь ослабевает В этом случае до того момента, пока связь вновь не окажется напряженной, значение данного множителя считается тождественно равным нулю. Поэтому в зависимости от знаков множителей связи рассматриваются три типа движения системы

1 свободное движение, когда оба множителя связи тождественно равны нулю, те обе односторонние связи ослаблены,

2 полусвязное движение, когда один из множителей тождественно равен нулю, а другой неотрицателен, те одна из односторонних связей напряжена,

3 связное движение, когда оба множителя связей неотрицательны, т е обе односторонние связи напряжены

Показывается, что уравнения движения допускают циклический интеграл, и рассматриваемая система может совершать стационарные движения, при которых центр масс всей системы равномерно

движется но круговой кенлеровой орбите вокруг притягивающего центра, а система сохраняет' свою ориентацию относительно последнего

Во втором разделе задача рассматривается в спутниковом приближении Предполагается, что линейные параметры системы малы по сравнению с радиусом орбиты ее центра масс, гравитационный потенциал рассматривается с точностью до членов второго порядка малости В такой постановке задачи движение системы относительно своего центра масс отделяется от его движения по круговой орбите вокруг притягивающего центра Выводятся уравнения движения системы относительно центра масс

Во второй главе рассматриваются свободные движения системы В этом случае рассматриваемая система представляет из себя свободную гантель и груз в центральном гравитационном поле, не стесненные никакими связями Если в процессе движения расстояние от какого либо конца гантели до груза становится равным длине соответствующего троса, то происходит выход на связь, и система переходит в состояние полусвязного (связного) движения

В первом разделе показывается, что в случае свободного движения система может совершать стационарные движения, при которых все три массивные точки системы располагаются на одной и той же орбите относительно притягивающего центра Такие стационарные движения названы "касательными"

Показывается, что степень неустойчивости найденных стационарных движений равна двум в том смысле, что матрица второй вариации приведенного потенциала имеет два отрицательных собственных значения, один положительный, и один - равный нулю Строится бифуркационная диаграмма

Во втором разделе показывается, что в случае свободного движения возможны стационарные движения, при которых гантель расположена вдоль радиус-вектора своего центра масс. Такие стационарные движения названы ''треугольными" В зависимости от параметров системы находится соответствующее значение радиуса орбиты груза

В третьем разделе рассматривается спутниковое приближение задачи о свободном движении В рамках этого приближения доказывается, что кроме относительных равновесий, соответствующих ка-

сательным и треугольным стационарными движениям, других относительных равновесий в случае свободного движения не существует Доказывается, что треугольные относительные равновесия устойчивы в линейном приближении по всем обобщенным скоростям и по углам отклонения гантели и вектора, соединяющего центр масс гантели с грузом, от радиус-вектора центра масс всей системы, но неустойчивы по расстоянию от центра масс гантели до груза

В третьей главе рассматриваются полусвязные движения системы В этом случае рассматриваемая система представляет из себя двузвенник в центральном гравитационном поле Если в процессе движения множитель связи, соответствующий натянутому тросу, принимает отрицательные значения, то система переходит в состояние свободного движения. Если же в процессе движения расстояние между концами двузвенника становится равным длине ослабленного троса, то система переходит в состояние связного движения

На рассматриваемых движениях приведенная система имеет три степени свободы Ее положение описывается следующими обобщенными координатами радиусом орбиты центра масс всей системы Я и углами отклонения вектора, соединяющего груз с центром масс гантели, и самой гантели от радиус-вектора центра масс всей системы а и в соответственно

В случае полусвязного движения возможны стационарные движения, при при которых все три массивные точки системы расположены вдоль радиус-вектора центра масс всей системы Такие стал ционарные движения названы "радиальными" Кроме того, при полусвязном движении допускаются касательные и треугольные стаг ционарные движения, причем множитель связи, соответствующий натянутому тросу, на этих решениях равен нулю

Первый раздел посвящен исследованию радиальных стационарных движений В этом разделе предполагается, что все точки системы располагаются по одну сторону от притягивающего центра Доказывается, что в этом случае множитель связи, соответствующий натянутому тросу, на радиальных движениях принимает строго положительные значения, и, следовательно, при изучении устойчивости рассматриваемых движений можно ограничиться возмущениями, не приводящими к сходу системы со связи

Доказывается, что те радиальные стационарные движения, на которых натянутый трос и гантель дополняют друг друга до развернутого угла, устойчивы при больших значениях радиуса орбиты центра масс всей системы и имеют степень неустойчивости, равную единице, в том случае, когда система располагается вблизи притягивающего центра Строится бифуркационная диаграмма

Рассматриваются системы, параметры которых удовлетворяют условию и < а/г, где V — масса груза, отнесенная к массе всей системы, а — расстояние от центра масс гантели до ее свободного конца, а г — расстояние от центра масс гантели до груза. Доказывается, что в этом случае те радиальные стационарные движения, при которых угол между натянутым тросом и гантелью равен нулю, устойчивы при больших значениях радиуса орбиты центра масс всей системы Эти же движения имеют степень неустойчивости, равную двум, если система располагается вблизи притягивающего центра, и кроме того существуют такие значения радиуса орбиты цента масс всей системы, при которых их степень неустойчивости равна единице Показано, что в сечении пространства Л, а, в, с2, где с — константа циклического интеграла, соответствующими гиперплоскостями существует нечетное число, т е хотя бы одна, точек смены устойчивости по ориентации, от которых ответвляются стационарные движения, отличные от радиальных

В том случае, если параметры системы удовлетворяют соотношению и > а/г, радиальные стационарные движения, для которых угол между натянутым тросом и гантелью равен нулю, неустойчивы (имеют степень неустойчивости, равную единице) при больших значениях радиуса орбиты центра масс всей системы, и их степень неустойчивости равна двум, если система располагается вблизи притягивающего центра Показано, что в сечении пространства Я, а, в, с2 соответствующими гиперплоскостями число точек смены устойчивости по ориентации, от которых ответвляются стационарные движения, отличные от радиальных, равно нулю или четно

Во втором разделе рассматриваются касательные стационарные движения в случае полусвязного движения Доказывается, что рассматриваемые стационарные движения неустойчивы в вековом смысле по отношению к возмущениям, не приводящим к сходу системы со связи Степень неустойчивости при этом равняется двум

В третьем разделе рассматривается спутниковое приближение задачи о полусвязном движении Доказывается, что кроме относительных равновесий, соответствующих касательным, треугольным и радиальным стационарными движениям, других относительных равновесий в случае полусвязного движения не существует.

Доказывается, что треугольные относительные равновесия неустойчивы в линейном приближении

В четвертой главе рассматриваются связные движения системы В этом случае рассматриваемая система представляет из себя жесткий треугольник в центральном гравитационном поле Если в процессе движения один или оба множителя связи принимают отрицательные значения, то система переходит в состояние полусвязного (связного) движения

На рассматриваемых движениях приведенная система имеет две степени свободы Ее положение определяется радиусом орбиты центра масс всей системы Я и углом а между радиус-вектором центра масс всей системы и вектором, соединяющим груз с центром масс гантели.

В точной постановке задачи в конфигурационном пространстве приведенной системы численно строятся кривые стационарных движений Пределы этих движений при больших радиусах орбиты центра масс всей системы находятся из спутникового приближения задачи.

В первом разделе рассматриваются связные движения систем, образованных симметричной гантелью и тросами равной длины. Такие системы названы "симметричными".

Доказывается, что решения а = 0 и а = тг соответствуют стационарным движениям симметричных систем при любом значении радиуса орбиты центра масс всей системы

Предполагается, что притягивающий центр расположен вне треугольника, образованного тремя массивными точками системы В этом случае множители связей принимают строго положительные значения

Плоскость параметров симметричных систем разбивается на четыре области-

1 а2/г2 <1У<1, 2у > 1 - а2/г2,

2 а2/г2 < V < 1, 2ь> < 1 - а2/г2,

3 г/ < а2/г2, 2г/ < 1 - а2/г2,

4 и < а2/г2, 2г/ > 1 - а2/г2

В первой и второй областях решение а = 0 устойчиво при больших значениях Л, и неустойчиво со степенью неустойчивости, равной единице, если система находится вблизи притягивающего центра В сечении пространства Л, а, с2 плоскостью а = 0 число точек смены устойчивости по ориентации либо равно нулю, либо четно

В третьей и четвертой областях степень неустойчивости решения а — 0 равна единице как при больших Л, так и в случае, если система расположена вблизи притягивающего центра В сечении пространства Л, а, с2 плоскостью а = 0 существует нечетное число, т е хотя бы одна, точек смены устойчивости по ориентации

В первой и второй областях решение а = -к устойчиво при больших значениях Л, в третьей и четвертой областях степень его неустойчивости равна единице Если система расположена вблизи притягивающего центра, то во второй и третьей областях степень неустойчивости решения а = 7г равна единице, а в первой и четвертой степень неустойчивости этого решения равна двум В сечении пространства Л, а, с2 плоскостью а = 7г существует нечетное число точек смены устойчивости по ориентации в первой и третьей областях, и не существует, или существует четное число, во второй и четвертой областях

Численно строятся проекции кривых стационарных движений в пространстве Л, а, с2 на плоскость (Л, а) для симметричных систем из всех четырех областей

Во втором разделе рассматривается спутниковое приближение задачи о связном движении рассматриваемой системы Выписывается уравнение движения системы относительно своего центра масс, строится его фазовый портрет

Находятся относительные равновесия системы Те из них, которые соответствуют таким положениям системы, при которых главная центральная ось инерции треугольника с наибольшем радиусом инерции направлена перпендикулярно радиусу орбиты центра масс

всей системы устойчивы, а те, при которых эта ось направлена вдоль радиус-вектора центра масс всей системы — неустойчивы.

На фазовой плоскости системы строятся также области, внутри которых множители связи принимают отрицательные значения, т е связное движение не возможно

Отдельно рассматриваются симметричные системы Положениям относительного равновесия симметричных систем в случае связного движения отвечают значения а — 7гп/2, где п£ 2 Области невозможности связного движения симметричных систем симметричны относительно начала координат.

Если параметры системы удовлетворяют соотношениям V > а2/г2, то устойчивыми положениями относительного равновесия являются значения а = 2пп, п е а неустойчивыми — а = 7г/2 + 2-кп, п <Е Е Неустойчивые положения равновесия находятся на границах областей невозможности связного движения

Если же выполнено неравенство у < а2/г2, то устойчивые положения относительного равновесия — а = тг/2 + 2тгп, п € 2, а неустойчивые — а = 2тт, п 6 2 На границах областей невозможности связного движения находятся устойчивые положения равновесия

В заключении приведены основные результаты и выводы

• Определены три тина движений системы

— свободное движение, при котором оба троса ослаблены,

— полусвязное движение, при котором один трос ослаблен, а другой натянут,

— связное движение, при котором оба троса натянуты.

• Применена редукция по Раусу и найдены стационарные движения приведенной системы для всех типов движения

• Для всех найденных движений полусвязного или связного типа проверено условие натянутости связи (связей)

• В зависимости от параметров системы изучена устойчивость и ветвление найденных решений при всевозможных значениях радиуса орбиты центра масс всей системы Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм

• Отдельно рассмотрены системы, образованные симметричной гантелью и тросами равной длины Пространство параметров таких систем разбито на области, различающиеся типом бифуркационных диаграмм Для каждой области построены типичные диаграммы

• В случае связного движения системы дана геометрическая интерпретация движения Построен фазовый портрет системы, найдены области схода со связи

• Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для изменения или стабилизации равновесных ориентаций спутника на орбите

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Муницына М А Относительные равновесия системы ''гантель-груз" с односторонними связями на круговой кеплеровой орбите / / Автоматика и Телемеханика 2007 №8 С 9-15

2 Муницына М А Движение системы с односторонними связями в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения М ВЦ РАН 2006 С 75-84

3 Муницына МА Стационарные движения системы с односторонними связями в центральном гравитационном поле // Труды IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" посвященной 105-летию Н Г Четаева Иркутск. 2007 Т 5 С 47-56

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 5 о экз Заказ № 33

Введение

Глава 1. Постановка задачи.

1.1. Точная постановка.

1.2. Спутниковое приближение

Глава 2. Свободное движение.

2.1. Касательные стационарные движения.

2.2. Треугольные стационарные движения.

2.3. Относительные равновесия.

Глава 3. Полусвязное движение

3.1. Радиальные стационарные движения

3.2. Касательные стационарные движения.

3.3. Треугольные относительные равновесия

Глава 4. Связное движение

4.1. Решения а = 0 и а = тг для симметричных систем

4.2. Спутниковое приближение

В настоящее время проявляется большой интерес к применению тросовых элементов при проектировании и создании больших орбитальных систем. Это объясняется легкостью тросовых элементов, возможностью их относительно быстрого свертывания и развертывания, компактностью хранения в свернутом состоянии, а также современными техническими предпосылками практической реализации проектов по использованию тросовых систем в космосе.

Движению разнообразных тел и систем нескольких тел в гравитационном поле в различных постановках задачи посвящено огромное количество работ.

В ограниченной постановке задачи, в которой исследовалось только вращательное движение спутника, а движение его центра масс в центральном поле считалось круговым, Ж.-Л. Лагранжем были найдены положения относительного равновесия спутника с трехосным эллипсоидом инерции [1]. На этих решениях главные центральные оси инерции спутника совпадают с орбитальными осями координат, т.е. с направлением на притягивающий центр, нормалью к плоскости орбиты центра масс спутника и касательной к этой орбите. Эти решения рассматривались также в работах Ф. Тиссерана [2] и Э. Дж. Рауса

31.

Решение задач в неограниченной постановке, в которой орбитальное и вращательное движения спутника рассматривались совместно, были начаты Г.Н. Ду-бошиным [4]. Им были найдены регулярные решения, аналогичные решениям Лагранжа, для спутника в виде однородного стержня и спутника, обладающего осью динамической симметрии и ортогональной ей плоскостью динамической симметрии. Задача о существовании подобных решений для спутника с трехосным эллипсоидом инерции была рассмотрена В.В. Белецким [5]. Им показано существование решений Лагранжа и найдены достаточные условия их устойчивости. В случае, когда размеры спутника малы по сравнению с расстоянием до притягивающего центра, т.е. в так называемом спутниковом приближении, эти условия принимают простой вид: устойчивые стационарные движения отвечают таким положениям спутника, когда большая ось эллипсоида инерции тела направлена на притягивающий центр, средняя — по касательной к орбите, а меньшая — но нормали к плоскости орбиты.

В работах [6-8] показано, что положений относительного равновесия, отличных от движений Лагранжа, в случае использования спутникового приближения для динамически несимметричных спутников не существует.

Существование в неограниченной постановке положений относительного равновесия, при которых главные центральные оси инерции не совпадают с осями орбитальной системы координат, показано в работах Ю.В. Баркина [9-11].

Использование точного выражения гравитационного потенциала в модельных задачах [12-22] позволило обнаружить новые эффекты и провести параметрический анализ условий устойчивости стационарных движений двух тел.

Движению систем нескольких твердых тел посвящены работы [23-25].

Впервые идея использования тросов в спутниковых системах принадлежит, по видимому, К.Э. Циолковскому [26]. В своей книге он высказал идею создания искусственной гравитации на орбите путем соединения тросом двух спутников, вращающихся вокруг собственного центра масс. В этой же работе он описывает башню, соединяющую землю с геостационарной орбитой. Позднее Ю.Н. Арцутанов заменил башню тросом [27], и полученная система получила название космического лифта. Точные расчеты [28] показали невозможность реализации такой системы в связи с отсутствием на тот момент материалов необходимой прочности.

Однако в последние годы появились новые материалы [29], теоретически подходящие для подобных проектов. Идея космического лифта, а также лунного лифта, обрела второе дыхание [30-33].

Тросовые системы нашли множество применений: спуск зондов в атмосферу, создание искусственной микротяжести, дозаправка топливом непосредственно на орбите и т.д. Фундаментальные результаты в исследовании динамики орбитальных тросовых систем принадлежат В.В. Белецкому [34]. При изучении динамики орбитальных тросовых систем рассматривались различные модели тросовых элементов, начиная с таких, как гибкая невесомая нить, соединяющая две массивные точки [35, 36], до нескольких тел, соединенных весомым деформируемым тросом. Учитывалось также влияние атмосферы [37-43], магнитных и электрических сил, возникающих в тросе [44, 45], светового давления, и т.д. Рассматривались и ударные взаимодействия в тросовых системах [46-49].

Большое количество работ посвящено также вопросам управления орбитальными объектами с помощью применения тросовых элементов [50-55]. Было показано [55], что при потере устойчивости ориентации космической станции из-за перераспределения масс за счет развертывания тросовых систем при определенных условиях возникают в результате бифуркации новые равновесные конфигурации, которые могут быть как устойчивы, так и неустойчивы. Те из них, которые устойчивы, могут быть эффективно использованы при эксплуатации космических станций. Выход на неустойчивые равновесия обеспечивает опрокидывания станции, что, с одной стороны, может быть использовано для ее переворотов, а, с другой стороны, может иметь катастрофические последствия. В то же время, орбитальные тросовые системы могут обеспечить существование и устойчивость тех равновесных ориентации, которые не могут • быть обеспечены традиционными, гироскопическими средствами [56].

В работах [54, 57] рассматривается тросовая система, в которой к четырем различным точкам основного спутника с помощью тросов крепится тело-противовес. Аналогичная двухтросовая система, с тросами, сходящимися в одной точке, была рассмотрена в работе [58]. В работе [59] рассматривается орбитальная система, состоящая из груза на тросе, закрепленном на концах гантелеоб-разного тела.

В настоящей работе рассматривается модельная задача о движении двух-тросовой системы, состоящей из гантелеобразного тела с массами, сосредоточенными в его концах, и массивной точки, соединенной с этими концами нерастяжимыми невесомыми тросами известной длины. Предполагается, что вся система движется под действием центральных сил ньютоновского притяжения в плоскости, проходящей через притягивающий центр.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе поясняется постановка задачи, вводятся необходимые обозначения. Обсуждаются две постановки задачи: точная, в которой рассматривается точное значение гравитационного потенциала, и спутниковое приближение, в котором гравитационный потенциал рассматривается с точностью до второй гармоники.

Во второй главе рассматривается случай так называемого свободного движения системы, т.е. такого движения, при котором оба троса ослаблены. В точной постановке задачи найдены касательные стационарные движения, при которых все три массивные точки системы движутся на одном расстоянии от притягивающего центра. Доказана вековая неустойчивость найденных стационарных движений. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм. Найдены также треугольные стационарные движения, на которых гантель ориентирована вдоль радиуса орбиты своего центра масс. В спутниковом приближении доказана неустойчивость таких движений.

В третьей главе рассматривается случай полусвязного движения, т.е. такого движения, при котором один из тросов ослаблен, а другой — напряжен.

Рассмотрены, как и в предыдущей главе, касательные и треугольные стационарные движения, исследована их устойчивость. Кроме того, в случае полусвязного движения появляются новые решения — радиальные стационарные движения, на которых натянутый трос и гантель располагаются вдоль радиуса орбиты центра масс всей системы. В зависимости от параметров задачи исследована устойчивость найденных решений. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм.

В последней главе рассматривается случай связного движения, т.е. такого движения, при котором напряжены оба троса. В спутниковой постановке задачи найдены относительные равновесия, построен фазовый портрет системы, определены области схода со связи. Отдельно рассматриваются системы, образованные симметричной гантелью и тросами равной длины. В точной постановке задачи рассмотрены стационарные решения, соответствующие тем положениям таких систем, при которых большая ось эллипсоида инерции треугольника, образованного гантелью и тросами, направлена на притягивающий центр. В зависимости от параметров задачи исследована устойчивость таких решений. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм.

Результаты диссертации опубликованы в работах [60-62], и докладывались на конференциях [63-66].

Заключение

В точной постановке рассмотрена плоская задача о движении двухтросо-вой системы, состоящей из несимметричной гантели и груза, соединенного с концами гантели невесомыми нерастяжимыми тросами разной длины, в центральном гравитационном поле.

• Определены три типа движений системы:

- свободное движение, при котором оба троса ослаблены;

- иолусвязное движение, при котором один трос ослаблен, а другой натянут;

- связное движение, при котором оба троса натянуты.

• Применена редукция но Раусу и найдены стационарные движения приведенной системы для всех типов движения.

• Для всех найденных движений полусвязного или связного типа проверено условие натянутости связи (связей).

• В зависимости от параметров системы изучена устойчивость и ветвление найденных решений при всевозможных значениях радиуса орбиты центра масс всей системы. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм.

• Отдельно рассмотрены системы, образованные симметричной гантелью и тросами равной длины. Пространство параметров таких систем разбито на области, различающиеся типом бифуркационных диаграмм. Для каждой области построены типичные диаграммы.

• В случае связного движения системы дана геометрическая интерпретация движения. Построен фазовый портрет системы, найдены области схода со связи.

• Результаты, полученные в данной работе, могут быть использованы для изменения или стабилизации равновесных ориентаций спутника на орбите.

1. Lagrange J.L. Oeuvres. t.V. Gautier. Villars. Paris. 1870.

2. Tisserand F. Traité de Mécanique Célaste. V. 2. Gautier. Villars. Paris. 1891.

3. Routh E.J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Macmillan and Co. London. 1905.

4. Дуботип Г.Н. Небесная механика. M.: Наука. 1968.

5. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука. 1965.

6. Sarychev V.A. Asymptotically stable stationary rotational motions of a satellite // Proc. of the First IFAC Sympos. on Automatic Control in the Peaceful uses of Space. N.Y.: Plenum Press. 1966. P. 277.

7. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном иоле. М.: МГУ. 1975.

8. Likins RW., Roberson R.E. Uniqueness of Equilibtium Attitudes for Earth-Pointing Satellites // J. of Astronaut.Sci. 1966. V. 13. N 2. P. 87-88.

9. Баркин Ю.В. Некоторые особенности в поступательно-вращательном движении Луны, обусловленные влиянием третьей и высших гармоник её силовой функции // Письма в Астрон. журн. 1980. Т. 6. №6. С. 377-380.

10. Баркин Ю.В. О вращательном движении тел Солнечной системы // Тр. Объединен, чтений, посвящ. разраб. научного наследия пионеров освоения космич. пространства. Секц. Прикл. небесн. мех. и упр. движ. 1981.

11. Варкин Ю.В. "Косые,,регулярные движения спутника и некоторые тонкие эффекты в движении Луны и Фобоса // Косми. исследования. 1985. Т. 23. №1. С. 26-36.

12. Степанов С. Я. О множестве стационарных движений спутника — гиростата в центральном ньютоновском поле сил и их устойчивость // ПММ. 1969. Т. Выи. 4. С. 737-744.

13. Pascal M. Sur le mouvement d'un triple bâtonnet dans un champ newtonien // J. de Mecanique. 1972. V. 11. №1. P. 147-160.

14. Белецкий В. В., Пономарева О.H. Параметрический анализ устойчивости относительного равновесия в гравитационном поле // Препринт Ин-та прикл. матем. им. М.В. Келдыша. АН СССР. М. 1988.

15. Белецкий В. В., Пономарева О.Н. Параметрический анализ устойчивости относительного равновесия в гравитационном поле // Космические исследования. 1990. Т. 28. вып. 5. 664-675.

16. Карапетян A.B., Сахокиа И.Д. О бифуркации и устойчивости стационарных движений двух гравитирующих тел // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 6. С. 935-938.

17. Карапетян A.B., Шаракин С.А. О стационарных движениях двух взаим-ногравитирующих тел и их устойчивости // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Матем., Механика. 1992. №3. С. 422-428.

18. Карапетян A.B. О бифуркации стационарных движений взаимногравити-рующих тел // Задачи исследов. устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1993. №3. С. 22-26.

19. Абрарова Е.В., Карапстяп A.B. О стационарных движениях твердого тела в центральном гравитационно поле // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 5. С. 68-73.

20. Абрарова Е.В. Об утойчивости стационарных движений твердого тела в центральном поле // ПММ. 1995. Т.59. Вып. 6. С. 947-955.

21. Абрарова Е.В., Карапетяп A.B. О вевлении и устойчивости стационарных движений и относительных равновесий твердого тела в центральном гравитационном поле // ПММ. Т. 60. Вып. 3. С. 375-387.

22. Муницына М.А. О стационарных движениях двух взаимно гравитирую-ищх тел и их устойчивости // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2005. М. С. 39-42.

23. Буров A.A., Степанов С.Я. О колебаниях маятника на круговой орбите // ПММ. Т. 65. Вып. 4. 2001. С. 714-719.

24. Guerman A.D. Equilibria of Multibody Chain in Orbit Plane // Journal of Guidance, Control, anf Dynamics. Vol. 26. No. 6. November-December 2003.

25. Евдокимснко А.П. Об установившихся движениях гиростата, подвешенного на стержне в центральном гравитационном поле // ПММ. 205. Т. 69. В. 2. С. 219-225.

26. Циолковский К.Э Путь к звездам. М.: Изд-во АН СССР. 1961.

27. Арцутанов Ю.Н. В космос на электровозе // Комсомольская правда. 31 июля 1960 г.

28. Isaacs J.D., Vine A.C., Bradncr Я., Bachus G.E. Satellite elongation into a true "Sky-hook" // Science. 1966. V. 151. №3711. P. 682-683.

29. Pearson J., Levin E., Oldson J., Wykes H. Lunar space elevator for cislunar space development // Phasa I Final Technical Report. May 2, 2005.

30. Burov A., Ricard N. On lunar elevator // Аннотация доклада. В "Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики". Материалы XXIX академических чтений по космонавтике. М.: Война и мир. 2005. С. 88.

31. Levin Е.М. Lunar tether transport // Prepared for STAR Technology and Research. March 8, 2005.

32. Белецкий В.В., Иванов М.В., Отставнов Е.И. Модельная задача о космическом лифте // Космические исследования. 2005. Т. 4. №2. С. 157-160.

33. Буров А.А., Косенко И.И. О возможности размещения космической станции в окрестности треугольной точки либрации с помощью тросовых систем // Тезисы XXXI академических чтений по космонавтике, посвященные 100-летию академика С.П.Королёва. М.: 2007.

34. Белецкий В. В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990. 336 с.

35. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки друх тел на орбите // Космические исследования. 1969. T. VII. Вып. 3. С. 377-384.

36. Белецкий В.В., Новикова Е.Т. О пространственном движении связи двух тел на орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. №5. С. 23-28.

37. Белецкий В.В., Яншин A.M. Влияние аэродинамических сил на вращательное движения искусственных спутников. Киев: Наукова думка. 1984.

38. Воронцова B.JI. Влияние аэродинамики на вращение и ориентацию искусственного спутника-связки двух тед // Автореферат на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат. наук. М.: 2000. 12 с.

39. Докучаев Л.В., Ефименко Г.Г. Влияние атмосферы на относительное движение связки двух тел на орбите // Космич. исследования. 1972. Т. 10. М. С. 57-65.

40. Ефименко Г.Г. Пространственное движение связки двух тел под действием гравитационных и аэродинамических сил // Космич. исследования. 1973. Т. 11. №3. С. 484-486.

41. Левин Е.М. Об устойчивости стационарных двжиний связки двух тел на орбите под действием гравитационных и аэродинамических сил // Космические исследования. 1984. Т. XXII. Вып. 5. С. 675-682.

42. Жук В.К, Шахов Е.М. О колебаниях спутника-зонда малой массы под действием аэродинамических и гравитационных сил // Космич. исследования. 1990. Т. 28. М. С. 820-830.

43. Садов Ю.А. О динамике орбитальной тросовой системы с невесомым тросом в однородной атмосфере // Тезисы XXXI академических чтений по космонавтике, посвященные 100-летию академика С.П.Королёва. М.: 2007.

44. Козлов О.В. Электрический зонд в плазме. М.: Атомиздат. 1969.

45. Левин Е.М. Об устойчивости стационарных движений элекстромагнитной тросовой системы на орбите // Коссмические исследования. 1987. Т. XXV. Вып. 4. С. 491-501.

46. Beletsky V. V., Pankova D. V. Connected bodies in the orbit as dynamic billiard // Regulär and Chaotic Dynamics. 1996. V. 1. P. 87-103.

47. Белецкий В.В. Прикладные задачи динамических биллиардов // Нелинейная механика под ред. В.М. Матросова и др. М.: Физматлит. 2001. С. 402-430.

48. Косенко И.И. Вычислительная модель ударных взаимодействий в орби-тельной тросовой системе // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 2. М.: ВЦ РАН. 2001. С. 37-51.

49. Косенко И.И., Степанов С.Я. Устойчивость положений относительного равновесия орбитальной связики с учетом ударных взаимодействий // Известия РАН. МТТ. 2006. №4. С. 86-96.

50. Angrilli F., Bortolami S.B., Lorezini Е.С., Rupp C.C. Control and Flight Performance of Tethered Satellite Small Expendable Deployment System-II // J. Guidance. 1886. Vol. 10. №3. P. 233-241.

51. Banerjee A.K., Kane T.R Pointing Control, with Tethers as Actuator, of a Space Station Supported Platform // J. Guadañee. 1992. Vol. 16. №2. 396-399.

52. Misra A.K., Modi V.J. Deployment and Retrieval of Shuttle Supported Tethred Satellites // J. Guadañee. 1981. Vol. 5. №3. P. 278-285.

53. Pascal Al, Djebli A., El Bakkali L. On Fast Retrivial Law for Tethered Satellite // Acta Astronáutica. 2002. Vol. 56. №8. P. 461-470.

54. Kumar K., Kumar K.D. Tethered dual spacecraft configuration: a solution to attitude control problems // Aerosp. Sci. Technol. 4. 2000. P. 495-505.

55. Burov A., Troger H. On repativ equilibria of an orbital pendulum suspended with a tether // Вторые поляховские чтения: Избранные труды. Спб.: Изд-во Нии Химии С.-Петербургского ун-та. 2000. С.73-81.

56. Степанов С. Я. Симметризация критериев знакоопределенности симметричных квадратичных форм // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 6. С. 979-987.

57. Newton R.R Dynamigs of a satillite stabilized by wires // J. of Spacecraft and Rockets. 1966. V. 3. №10. P.1469-1475.

58. Родников A.B. О положениях равновесия груза на тросе, закрепленном на гантелевидной космической станции, движущейся по круговой геоцентрической орбите // Космические исследования. 2006. том 44. №1. С. 1-11.

59. Муницына М.А. Движение системы с односторонними связями в центральном гравитационном поле // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 2005 С. 75-84.

60. Муницына М.А. Относительные равновесия системы "гантель-груз" с односторонними связями на круговой кеплеровой орбите // Автоматика и Телемеханика. 2007. №8. С. 9-15.

61. Карапетян A.B., Муницына М.А. Тросовая система "гантель-груз" в центральном гравитационном поле // Ломоносовские чтения 2006, МГУ им. Ломоносова, секция механики, апрель 2007 г. Тезисы докладов.

62. Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями. М., "Международная программа образования". 1997. 336 с.