Качественный анализ движений неавтономных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На прав£&р^коп@с$

1 9 КЮН ¿000

СТЕПЕННО Николай Анатольевич

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

специальность: 01.01.09 — математическая кибернетика, 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики-процессов управления

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Александров А.Ю. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Д. А. кандидат физико-математических наук, доцент Рожков Ю. С.

Ведущая организация:

Балтийский государственный технический университет им. Д. Ф.Устинова.

Защита состоится " " 2000 года в часов на заседа-

нии диссертационного совета К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " " 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного

совета К-063.57.16, д.ф.-м.н. В.Ф. Горьковой

fc З-f <>J

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Исследуя различные сложные явления и технологические процессы, при создании математической модели обычно получают системы нелинейных дифференциальных уравнений. При описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, невозможно определить все вовлеченные силы. В этом случае стараются рассмотреть все основные взаимодействующие силы, пренебрегая "малыми". К тому же на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее также трудно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. Поэтому, получив описание некоторого физического процесса с помощью дифференциальных уравнений, которые, вообще говоря, являются приближенными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, т.е. при переходе от первоначальной системы к возмущенной.

Таким образом при работе с управляемыми процессами приходится решать два типа задач: первая — определение по заранее известному типу системы возможные типы возмущений, не нару-щающих качественных свойств исходной системы и вторая — при известных возмущающих воздействиях подобрать начальную систему, гарантирующую заданные свойства. Эти обстоятельства и влекут за собой необходимость исследования как качественных свойств движений нелинейных систем, так и условия сохранения или изменения свойств движений при наличии внешних возмущающих воздействий.

Цель реферируемой работы. Диссертация посвящена изучению условий диссипативности систем дифференциальных уравнений, находящихся под воздействием различных типов нестационарных возмущений.

В работе, на основе второго метода Ляпунова, исследуется асимптотическое поведение движений и определяются критерии равномерной и эвентуальной диссипативности некоторых классов существенно нелинейных систем.

Научная новизна. В работе изучаются конкретные виды нелинейных систем и классы возмущающих воздействий и определяются различные условия равномерной и эвентуальной диссипативности рассматриваемых систем, ранее не встречавшиеся в научных печатных публикациях. Поэтому полученные автором результаты являются новыми.

Практическая ценность. Значимость полученных результатов обусловлена необходимостью развития качественных методов исследования движений систем, обладающих диссипативными свойствами, в связи с широким применением данных типов систем дифференциальных уравнений при моделировании различных технических объектов и технологических процессов. Результаты работы позволяют проводить исследование свойств движений широкого класса нестационарных систем, проявляющихся лишь по истечении достаточно длительного промежутка времени.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теории управления и на ежегодных конференциях факультета прикладной математики-процессов управления СПбГУ, а также на международной конференции "Modelling and investigation of system stability" (Киев, 1997 г.), международном семинаре "Beam Dynamics and Optimization" (СПб, 1998 г.) и конференции "Еругинские чтения — VI" (Гомель, 1999 г.).

Публикации. По результатам исследований, приведенных в диссертации, автором опубликовано пять печатных работ.

Объем работы. Объем работы составляет 85 страниц.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Получены критерии равномерной диссипативности различных типов возмущенных системно обобщенно-однородному первому приближению. На основе теоремы о канонической структуре силовых полей, рассмотрена модель системы первого приближения, имеющая широкое практическое применение.

2. Используя понятие первого, в широком смысле, приближения доказана равномерная диссипативность для некоторых систем второго порядка.

3. Определены условия эвентуальной диссипативности в случае воздействия на диссипативные системы высокочастотных возмущений с ограниченными и неограниченными амплитудами.

4. Для колебательных систем с переменными параметрами установлен ряд критериев равномерной и эвентуальной диссипативности.

2. Содержание работы.

Во введении формулируется тема диссертационной работы, приводится краткий обзор литературы, и определяются задача и объект исследования. Приводятся основные определения.

Определение 1. Систему дифференциальных уравнений будем называть равномерно диссипативной, если существует такое положительное число И, что для любого > 0 найдется достаточно большое Т > 0 такое, что для каждой, начальной точки Хо, Ц-ХоИ < Я, и всякого начального момента времени > 0 выполняется неравенство Хо, ¿0))| < -С при всех £ > ^ + Т.

Решения диссипативной системы иногда называют предельно (финально) ограниченными.

Определение 2. Система дифференциальных уравнений называется эвентуально диссипативной, если существует такое положи-

тельное число Дг, что для любого числа <3 > 0 найдутся достаточно большие положительные числа Т' и Т\ такие, что для любой начальной точки Хо, ||Хо|| <(} и любого начального момента времени

> Т\ будет выполняться неравенство ||Х(2,.Хо>*о)11 < Аг для любого + 2*.

Глава 1 состоит из трех самостоятельных параграфов и посвящена определению условий равномерной диссипативности неавтономных систем по нелинейному приближению различных типов. Приведем основные результаты данной главы.

В первом параграфе исследуется равномерная диссипативность по обобщенно-однородному первому приближению и определяются условия на возмущающие воздействия не нарушающие равномерной диссипативности системы первого приближения.

В параграфе исследуются системы дифференциальных уравнений вида

к

х, = их) + ]Г ■ «= 1, -.., п, (1)

где функции /г(Х), /г^'(Х) определены и непрерывны при X Е Еп, а функции непрерывны и ограничены при t >0 вместе с интегралами

«

£>(<) = £ МТМТ. я = 1,.. .,п, з = 1,.,.,/г. о

Функции /В(Х), являются обобщенно-однородными класса

(гпх,..., т„) порядка т8 + у. и те + сгв соответственно, где /л,ав < 0 и тв + 11,те + Он > 0.

Предполагается, что невозмущенная система х, = /а(Х) асимптотически устойчива и при этом для нее существует обобщенно-однородная класса (шх,..., т„) фукнция У(Х), удовлетворяющая теореме Ляпунова об асимптотически устойчивом положении рав-

новесия.

Теорема 1.1. Если функции

8 = 1,...,«, 3 = (2)

непрерывно дифференцируемы, то при выполнении неравенств

2(7, < ц, я = 1,.га,

система (1) является равномерно диссипативной.

Предположим, что функции = ^>(0^(0) г> в — 1, • • •, я,

г,^ = непрерывны и ограничены при < > 0, и будем также

считать, что функции (2) непрерывно дифференцируемы, а интегралы

<

= / *Т> Г, 5 = 1, . . ., П, ^ = 1,. . . , Л,

О

ограничены при * > 0.

Теорема 1.3. Если функции

г,в = 1,...,п, 1,] = 1,...,к,

непрерывно дифференцируемы, то при выполнении неравенств

Зо-« < /х, я = 1,..., п,

система (1) является равномерно диссипативпой.

Замечание 1.3. Накладывая аналогичным образом новые условия на функции можно продолжить процесс построения функций

Ляпунова и расширить область значений параметров ¡1 и <т„, при которых имеет место равномерная диссипативность системы (1).

В параграфе 1.2, в соответствии с теоремой Зубова В. И. о канонической структуре силовых полей, в качестве первого приближения рассматриваются уравнения правые части которых представи-мы в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих

поля. При определенных дополнительных предположениях относительно функций входящих в правые части этих уравнений, изучаются условия равномерной диссипативности по первому приближению данного вида.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

Здесь \¥(Х) — непрерывно дифференцируемая отрицательно-определенная однородная функция порядка + 1, 0 < /х < 1; С{Х) — ко-сосимметрическая матрица, непрерывная при всех X € Еп; матрица В({) порядка п х к непрерывна и ограничена при < > 0; ¿-мерный вектор Р(Х) непрерывен при всех X £ Еп, является непрерывно дифференцируемым в некоторой области вида

где Я — положительное число и удовлетворяет в этой области не-

равенству ||Р(Х)|| < Р\\х\\', /3 > о, 0 < а < 1.

Предполагается также, что для матрицы й(Х) в области (4) справедлива оценка ||<7(Х)|| < 7|)Х||~А, где 7 > 0, А > 0, а интеграл

Х =

д\У(Х) дХ

+ 67 (Х)Х + ВЩР{Х).

(3)

t > О, \\Х\\ > л,

(4)

/(<) = f В(т) йт ограничен при í > 0.

о

Теорема 1.5. При выполнении нераваенства

система (3) является равномерно диссипативной. Далее рассматривается система вида

Здесь H¡(X) — непрерывно дифференцируемые вектор-функции, компоненты которых в области вида (4) удовлетворяют неравенству < ßill-X"I)", где ßi > 0, 0 < а < 1; функции bj(t) непрерывны и ограничены при t > 0 вместе с интегралами

t i Ij(t) = J bj{r) dr, Jij(t) = J bi{r)Ij(r) dr, i, j = 1,..., m.

о 0

Теорема 1.6. При выполнении нераваенства

■ í> + 2 а < min < —-—, у. + Л

система (5) является равномерно диссипативной.

Замечание 1.4- Результаты этого параграфа, будут также верны и для более общего случая, когда W(JY) — непрерывно дифференцируемая функция, для которой в области (4) выполнены неравенства

-«ill^r1 < W(X) < -aaimr1, < -«зРПГ1,

где aj, а-2, <*з — положительные постоянные.

В последнем параграфе первой главы исследуется проблема равномерной диссипативности некоторого класса нелинейных систем второго порядка на основе понятия первого приближения, в качестве которого используется система линейная относительно функций вида fe{xs), s = 1,2, где для этих функции при всех х„ ф 0 выполняются неравенства xafB(xs) > 0 и верно, что х,

J /,(т) dr —► +со при |х»| -+-4-00, s= 1,2. о

В этом параграфе, используя определение системы первого приближения в широком смысле, предложенное Зубовым В. И., проводится

дальнейшее развитие теории таких первых приближений, которые обладают глобальной грубостью в смысле решения проблемы равномерной диссипативности.

Таким образом, основной результат данной главы заключается в том, что для исследованных типов систем и классов возмущающих воздействий определены достаточные условия равномерной диссипативности, причем показано, что сохранение диссипативности имеет место в случае, когда порядки возмущающих функций могут превосходить порядок исходной системы.

Глава 2 посвящена определению условий эвентуальной диссипативности для различного рода возмущенных нелинейных нестационарных систем.

В первом и втором параграфах рассматриваются диссипативные неавтономные п-мерные системы, находящиеся под воздействием внешних возмущающих сил, представляющих собой высокочастотные колебания с ограниченными и неограниченными амплитудами соответственно. Для этих возмущенных систем показано, что хотя они и не являются уже равномерно диссипативными, но сохраняют диссипативные свойства, являясь эвентуально диссипативными.

В третьем парагафе исследуются системы второго порядка аналогичные системам третьего параграфа первой главы, но с переменными коэффициентами. Для них также при выполнении некоторых условий показывается эвентуальная диссипативность.

Приведем основные результаты этой главы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(6)

и соответствующую ей возмущенную систему

X = + <?(*, X),

(7)

где вектор-функции F(t,X), G(t, X) оыределены и непрерывны при t > О, X € Е„. Будем считать, что компоненты функций F(t,X), G(t,X) ограничены в любой ограниченной области переменного X и удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменной X с постоянной, не зависящей от t.

Пусть V(t, X) — определенная и дважды непрерывно дифференцируемая при всех t > О, X € Еп функция, частные производные которой

ÖV д*У д2У

дх,' дхедхк' dxadt' ' >••■>>

ограничены во всякой ограниченной области переменного X.

Определение 3. Будем говорить, что функция G(i,X) обладает

свойством А, если для каждого числа из € [0,1] и любого вектора t+u

X 6 Еп верно, что f G(t,X) dr —* 0 при t —► +оо. t

Предполагается что невозмущенная система (6) является равномерно диссипативной, причем существует функция V(t, X) удовлетворяющая в области (4) условиям эквивалентным условиям теоремы Йосидзавы:

1) V(t, X) —» +оо при ||Х|| —► +ос равномерно по t и существует такая непрерывная положительная функция У(Х), что V(t, X) < V(JY);

2) '^W) I < — W{X), где функция W{X) непрерывна и поло-dt 1(6)

жительна.

Теорема 2.1. Если функции gs(t,X) обладают свойством А, то возмущенная система (7) является эвентуально диссипативной. Далее исследуется возмущенная система вида

J8F(a)+S(№). (8)

Здесь G(X) = (gi(X),.. .,gm(X))*, где функции gj(X) определены и непрерывно дифференцируемы при X € Е„, j = 1 ,...,т. Матрица

B{t) = {bs](t)} порядка n x m непрерывна при всех t > 0. При этом функции bsj(t) могут быть не ограниченными на промежутке [0, +00).

+00

Считая также, что интегралы / Ь^(т) йт, з = 1,..., п, з = 1,..., тп,

О

сходятся получена следующая теорема. Теорема 2.2. Если

+оо

' J 4—+оо

то возмущенная система (8) является эвентуально диссипативной.

Рассматривая случай, когда функции могут не стремиться

+оо ,

к нулю при t —* +оо, но при этом интегралы / г,з = 1,.. ,,п, = 1,...,п, сходятся имеем. Теорема 2.3. Если

+оо

ЬА*) У С<'Ц)(Т) йт ' °> Р,г,з = 1,...,п, г, 3,1 = 1,..., к,

«

то возмущенная система (8) является эвентуально диссипативной.

В третьем параграфе исследуются двумерные системы дифференциальных уравнений вида

X1 = РиМЛО^) +

¿2 = ^21(0/1(^1) +Р22(*)МХ2)-

Здесь функции рЯк(*) заданы и непрерывны при £ > 0, а функции /3(хе) определены и непрерывны при / > О, I £ Е2, з,к = 1,2, при всех > р, р> 0 удовлетворяют неравенствам x$fs(xs) > 0 и верно,

х.

ЧТО / /«(т)<2г —» +оо при |х,| —► +00, 8 = 1,2. о

Предполагается, что ри(<) и Ры^) являются непрерывно дифференцируемыми и ограниченными на промежутке [0, +оо) функциями,

причем |Р12(01 ^ а> |Р21(01 > а, а > 0. Функции и /2(^2) обла-

дают свойствами, гарантирующими в области (4) существование и единственность решений системы (9).

Теорема 2.6. Пусть —*■ 0, р'2—► 0 при < —► +оо и существует такое положительное число 7, что при всех £ > 0 справедливы неравенства рп(г) < -7, р2г(<) < Рп{1)Р22^) ~ Рп{1)Р1\{1) > 7-

Тогда система (2.6) является эвентуально диссипативной.

В главе 3 изучаются колебательные системы с параметрами, зависящими от времени I вида

*+А(тх)+=о. (ю)

Здесь X — п-мерный вектор, элементы вектора Е(Х) являются непрерывными однородными порядка и функциями, С(Х) — непрерывно дифференцируемая положительно-определенная однородная порядка ц + 1 функция, где и, ц > 0. Матрица А(<) непрерывна и ограничена при £ > 0, а матрица С(<) — симмтеричная непрерывно дифференцируемая и ограниченная при £ > 0 вместе со своей производной.

Теорема 3.1. Если -Р(Х) = X, матрицы С{Ь) и

положительно определены, то уравнение (10) является равномерно диссипативным.

Теорема 3.2. Пусть и > 1, матрица С^) положительно определена и справедливо неравенство

Х'С~1Ц)АУ)Р(Х) > аЦЛГЦ"*1 (11)

при всех X € Еп, t > 0, где а — положительная постоянная. Тогда уравнение (10) является равномерно диссипативным.

Рассматривая далее возмущенное, по отношению к уравнению (10), уравнение

х + А{г)Г{Х) + с^)ЩР- = цг,х,х), (12)

из предположения, что матрицы С{Ь) и £>(*), являются положительно-определенными, получена справедливость следующей теоремы.

Теорема 3.4. Если Р{Х) = X и для функции X, X) верна оценка

||Ф(«,Х,Х)||<а(||Х|Г+||ХГ), (13)

при всех t > 0 и ||Х|| + ¡|Х|| > Д, /? > 0, где а — положительная постоянная, а положительные числа а и (3 удовлетворяют неравенствам

И + 1

а<(1, а < —, (3< 1,

то уравнение (12) равномерно диссипативно.

Теорема 3.5. Пусть V > 1, справедлива оценка (11) и для функции Ф^,Х,Х) выполнено неравенство (13) при положительных числах а и (3, удовлетворяющих неравенствам

а<ц, (5<у. (14)

Тогда уравнение (12) является равномерно диссипативным. Далее показывается, что сохранение свойств диссипативности рассмотренных уравнений возможно и в случае, когда порядок однородности элементов вектора Р(Х) удовлетворяет условию 0 < v < 1.

Теорема 3.6. Если 0 < и < 1 и для функции Ф^,Х,Х) верна оценка (13), а для положительных чисел а и ¡3 выполнены неравенства (14), то уравнение

является равномерно диссипативным.

Теорема 3.7. Если 0 < v < 1, матрица C(t) положительно определена, - О при t —► +00 и справедливо неравенство (11), то уравнение (10) эвентуально диссипативно.

Для уравнения (12) показана справедливость следующего утверждения.

Теорема 3.8. Пусть выполнены условия теоремы 3.7. Если функция Ф(t,X,X) удовлетворяет оценке (13), где для положительных чисел а и ¡3 верны неравенства (14), то уравнение (12) эвентуально диссипативно.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Степенко Н. А. Об эвентуальных свойствах решений некоторых классов неавтономных систем. Тезисы докладов международной конференции "Modelling and investigation of system stability". Киев, 1997. С. 115.

Степенко H. А. Об эвентуальной диссипативности некоторых классов неавтономных систем // Прикладная математика, информатика, электроника. Межвуз. сб. научных трудов. РГПУ им. А.И. Герцена. СПб, 1997. С. 111-114.

Степенко Н. А. Некоторые условия диссипативности неавтономных систем. Тезисы докладов международной математической конференции "Еругинские чтения — VI". Гомель, 1999. С. 77-78.

Степенко Н. А. Равномерная диссипативность по первому, в широком смысле приближению // Труды XXX научной конференции. Процессы управления и устойчивость. СПб, 1999. С 188-192.

Stepenko N. A. On the asymptotic behavior of solutions of a class of nonlinear systems. Abstracts of Int. Workshop "Beam Dynamics and

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАВНОМЕРНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ.

1.1. Исследование условий диссипативности по обобщенно-однородному первому приближению.

1.2. Представление первого приближения согласно канонической структуре силовых полей.

1.3. Равномерная диссипативность некоторых классов двумерных систем.

ГЛАВА 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭВЕНТУАЛЬНОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Анализ влияния высокочастотных колебаний на диссипативные системы.

2.2. Случай возмущений колебательного типа с неограниченными амплитудами.

2.3. Некоторые условия эвентуальной диссипативности неавтономных двумерных систем.

ГЛАВА 3. КРИТЕРИИ ДИССИПАТИВНОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

3.1. Равномерная диссипативность нестационарных колебательных систем.-.

3.2. Условия сохранения равномерной диссипативности при наличии внешних возмущающих воздействий

3.3. Об одном способе построения функций Ляпунова для нелинейных колебательных систем.

В настоящее время теория устойчивости движений систем обыкновенных дифференциальных уравнений стала одной из основополагающих теорий современной математики. Новейшие достижения в разнообразных областях механики, физики, техники, химии и биологии привели к необходимости решать проблемы, связанные с изучением нелинейных явлений и последующей реализацией заданных или прогнозированием уже существующих режимов функционирования различных объектов. Известно также, что на практике осуществляются процессы устойчивые в том или ином смысле. Все это в свою очередь и послужило толчком к интенсивному развитию теории устойчивости.

Другим направлением научных исследований, разрабатываемым особенно бурно, в связи с созданием современных вычислительных средств, является применение широкого комплекса математических моделей при описании и изучении сложных процессов. Это связано с тем фактом, что на практике без применения вычислительного эксперимента в большинстве случаев невозможно получить достаточно четкое представление о рассматриваемом явлении. Однако следует отметить, что отправной точкой в математическом моделировании все-таки является создание математических моделей, описываемых в том числе и с помощью дифференциальных уравнений, и разработка математических методов исследования изучаемого процесса.

Как правило, математические модели, создаваемые для различных сложных процессов, описываются существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений, и т.к. во многих системах, которые изучаются современной наукой, возникают устойчивые состояния различных типов, то и вопрос о качественных свойствах этих систем является одним из фундаментальных вопросов современного естествознания.

В том поистине огромном количестве работ, посвященных проблеме. устойчивости движений, можно выделить два основных направления. Первое из них связано с расширением рассматриваемого круга задач, а второе характеризуется созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Исходя из разнообразия качественных свойств нелинейных систем, описывающих математические модели различных реальных явлений, нас, прежде всего, будут интересовать публикации, относящиеся к первому направлению, а именно — те, в которых рассматриваются различные модификации понятия устойчивости движения, отличающиеся от классического определения устойчивости по Ляпунову.

Проведем теперь небольшой экскурс в историю развития проблемы устойчивости движений систем дифференциальных уравнений. В 1892 году А. М. Ляпунов опубликовал свою докторскую диссертацию "Общая задача об устойчивости движения" (см. [32]), в которой задача об устойчивости движения была впервые поставлена во всей ее общности и предложены мощные и вместе с тем строгие методы ее решения. В этой работе он предложил довольно общее определение устойчивости решения дифференциального уравнения. А. М. Ляпунов изучал только случай устойчивости нулевого решения, т.к. он показал, что задача об устойчивости любого движения может быть сведена без ограничения общности к этому случаю.

Позднее К. П. Персидский [41] ввел равномерную устойчивость по ¿о и И. Г. Малкин [34] для асимптотической устойчивости — равномерность по Хо. Пример неустойчивого атрактора, данный Р. Э. Виноградом [11], привел к разделенению асимптотической устойчивости на два более простых понятия, а именно на устойчивость и притяжение. Затем естественным образом появилось понятие слабого притяжения [56]. Ограниченность решений была изучена Т. Иосидзавой [59]. Распространение этих определений на множества произведено несколькими авторами, в том числе В. И. Зубовым [17],

Т. Йосидзавой [59], Бхатиа и Сеге [57]. Множества, изменяющие ся со временем, рассматривались Йосидзавой. Позднее П. Абетс и К. Пейффер[58] в попытке охватить частичную устойчивость изучали устойчивость множества по отношению к другому множеству. Более ранней работой в этом направлении является работа А. Н. Мичела [61]. Был изучен целый ряд других понятий, таких, как, например, экспоненциальная устойчивость, которую рассматривали многие авторы, устойчивость условно инвариантных множеств и т.п.

Следует отметить, что многочисленные исследования в этих случаях были посвящены изучению сохранения глобальных свойств систем дифференциальных уравнений при воздействии на них различного рода возмущений. Необходимость проведения исследований, относящихся к такому типу, задач вытекает из следующего общеизвестного факта. При описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, невозможно определить все задействованные силы. К тому же, на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее еще более трудно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. В этом случае стараются рассмотреть основные взаимодействующие силы, пренебрегая "малыми". Поэтому, получив описание некоторого физического процесса в дифференциальных уравнениях, которые, вообще говоря, являются приближенными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, т.е. при переходе от первоначальной системы к возмущенной.

Многие авторы (см. например [41, 59]), вводя новые понятия, относящиеся к качественным свойствам движений систем, следовали в основном своим конкретным постановкам задач и необходимым требованиям. Поэтому различные типы устойчивости и подобные свойства рассматривались только для определенных классов систем или систем, правые части которых удовлетворяли конкретным условиям. Очевидно, что охватить одним понятием все свойства движений систем, равно как и описать все классы нелинейных систем, движения которых удовлетворяют тому или иному свойству, невозможно. Таким образом, несмотря на всю значимость опубликованных ранее работ и широкий спектр полученных результатов, возможное поле исследования качественных свойств движений нелинейных систем по-прежнему остается огромным.

Задачей данного диссертационного исследования является изучение свойств возмущенных систем и дальнейшее развитие той части теории устойчивости, которая относится к ограниченности и предельной ограниченности движений, а именно изучаются понятия равномерной и эвентуальной диссипативности систем дифференциальных уравнений.

Приведем теперь основные формулировки и утверждения, используемые в данной диссертации.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

Х = ^,Х), (0.1) где функция X) определена и непрерывна при всех £ > 0, X € Еп.

Определение [13, с. 293]. Система (0.1) называется равномерно диссипативной, если существует такое положительное число В, что для любого > 0 найдется достаточно большое Т > 0 такое, что для каждой начальной точки Хо, ||Хо|| < С}, и всякого начального момента времени ¿о > 0 выполняется неравенство ||Х(£, Хо, ¿о) II < В при всех Ь > ¿о + Т.

Решения диссипативной системы иногда называют предельно (финально) ограниченными (см. [59]). Т. Иосидзавой была доказана теорема, котороя будет в дальнейшем широко применяться в диссертационной работе. Приведем ее формулировку.

KJ

Теорема Иосидзавы [59]. Если существует функция Ляпунова V(t,X), определенная и непрерывно дифференцируемая в области t> О, \\X\\>R, R> О, для которой выполнены условия:

1) а(||Х||) < V(t,X) < 6(||Х||), где а(г) — непрерывная положительная возрастающая функция, Ъ(г) — непрерывная неубывающая функция при г > 07 причем b(r) —>■ +оо при г —У +оо;

2) существует такая непрерывная положительная функция с(г) при г >0, что V(t,X) < —с(||Х||); где V(t,X) — полная производная от функции V(t,X) в силу системы (0.1), то система (0.1) равномерно диссипативна.

Применяя результаты, полученные в [45, с. 24-27], нетрудно показать, что условия теоремы Иосидзавы эквивалентны следующим

1') V(t, X) —>• +оо при ||Х|| —> +оо равномерно по t и существует такая непрерывная положительная функция V(X), что V(t,X) < V{X)\

2') -—^ ' ^ ^ < —W(X), где функция W(X) непрерывна и положительна.

Поэтому для проверки условий теоремы Иосидзавы достаточно проверить выполнение условий 1') и 2').

В. И. Зубов в работе [17] показал, что при воздействии на асимптотически устойчивую однородную систему возмущениями, порядок функций которых больше порядка функций, входящих в правые части системы, нулевое решение остается асимптотически устойчивым, а в случае, когда порядок возмущающих функций меньше порядка функций правых частей системы — возмущенная система является равномерно диссипативной. Этим же автором в [16] изучались системы с обобщенно-однородными правыми частями и были выделены классы систем, все решения которых ограничены при возрастании времени. В [2] для некоторых классов нестационарных систем были получены условия равномерной диссипативности, которые существенно расширили область возможных порядков функций, входящих в правые части систем.

Развивая эти исследования, в первом параграфе первой главы данной диссертации в качестве систем первого приближения рассматриваются системы уравнений, правые части которых являются обобщенно-однородными функциями.

Определение [16, с. 187]. Функцию /(X) определенную и непрерывную при всех X £ Еп, будем называть обобщенно-однородной класса (ш1, . , тп) порядка т, если для любого с £ ( — оо, +оо) имеет место соотношение ст>х1,.,ст»хп) = стЦх1,.,хп), где т — неотрицательное, ., тп — положительные рациональные числа с нечетными знаменателями.

Известно [16, с. 190], что для любой обобщенно-однородной функции /(X) класса (шх,., тп) порядка ш, справедлива оценка п

Х)\ < агп\ где а>0 и г = а если функция /(X) положительно-определенная, то /(X) < а2гт, где аиа2 > 0.

Предполагая, что для системы первого приближения существует непрерывно дифференцируемая обобщенно-однородной функция

Ляпунова, в этом параграфе определяются достаточные условия равномерной диссипативности возмущенных систем по обобщенно-однородному первому приближению, причем порядки возмущающих функций могут превосходить порядок исходной системы.

В работе [20] была получена теорема о канонической структуре силовых полей, согласно которой любая автономная система дифференциальных уравнений

Х = Р{Х), с непрерывно дифференцируемыми правыми частями всегда может быть представлена в виде где — кососимметрическая матрица, т.е. 0*(Х) = —

Здесь функция \¥(Х), непрерывно дифференцируемая при всех X £ Еп, является потенциалом поля скоростей, а функция С(Х)Х представляет собой соленоидалъное поле. Физическое свойство солено-идального поля сил заключается в том, что оно не дает вклада в элементарную работу, а именно Х*0(Х)Х = 0.

Во втором параграфе данной главы, рассматривая первое приближение системы в виде (0.2), исследуются условия сохранения равномерной диссипативности систем при наличии внешних возмущающих воздействий в случае отрицательно-определенной функции IV {X).

В параграфе 1.3 исследуется проблема равномерной диссипативности некоторого класса нелинейных систем второго порядка на основе понятия системы первого, в широком смысле, приближения, предложенного В. И. Зубовым в [18]. В этой статье в качестве первого приближения используются нелинейные члены входящие в правые части систем дифференциальных уравнений. Используя это понятие, в данном параграфе проводится дальнейшее развитие теории таких первых приближений, которые обладают глобальной грубостью в смысле решения проблемы равномерной диссипативности.

Вторая глава посвящена определению условий эвентуальной диссипативности для различного рода возмущенных нелинейных нестационарных систем.

Определение [59]. Система (0.1) называется эвентуально дисси-пативной, если существует такое положительное число И, что для любого числа 0 > 0 найдутся достаточно большие положительные числа Т' и Т\ такие, что для любой начальной точки Хо, ||Хо|| < и любого начального момента времени tQ > Т\ будет выполняться неравенство Хо, ¿о)|| для любого Ь > ¿о + Т'.

В первом и втором параграфах рассматриваются диссипативные неавтономные п-мерные системы вида (0.1), находящиеся под воздействием внешних возмущающих сил, представляющих собой высокочастотные колебания с ограниченными и неограниченными амплитудами соответственно. Для данных типов возмущающих воздействий показано, что изучаемые системы являются эвентуально диссипативными.

В третьем парагафе исследуются системы второго порядка с переменными коэффициентами. Для них также при выполнении некоторых условий показывается эвентуальная диссипативность.

Наконец, в последней главе рассматриваются колебательные системы с параметрами изменяющимися с течением времени.

Нелинейные осцилляторы являются очень выжными примерами колебательного движения и могут служить точными или приближенными моделями во многих задачах классической механики и физики, т.к. уравнениями вида х + ¡(х,х) +д(х) = е(г) можно описать различные динамические системы, имеющие существенно нелинейный характер. Особенно часто такие уравнения рассматриваются в различных механических приложениях, где при наличии соответствующей комбинации отрицательного и положительного затуханий система приобретает способность иметь колебания в отсутствие консервативных сил или периодического возбуждения. Также приходится рассматривать задачи связанные с модулированием физических параметров такого рода осцилляторов.

В данном диссертационном исследовании изучаются колебательные системы с переменными параметрами вида

X + А№(Х) + = Ф(*, X, X) и на основе методов, разработанных в предыдущих двух главах, доказываются теоремы, согласно которым уравнения данного вида при различных условиях на параметры являются равномерно дис-сипативными или эвентуально диссипативными.

Основные результаты диссертации, полученные в итоге проведенных исследований и выносимые на защиту, являются следующие.

1. Проведен анализ асимптотического поведения движений некоторых типов возмущенных систем по обобщенно-однородному первому приближению и получены критерии равномерной диссипативности указанных систем. Рассмотрена одна модель системы первого приближения специального вида, имеющая широкое практическое применение.

2. На основе понятия первого, в широком смысле, приближения проведено качественное исследование решений некоторых типов систем второго порядка и найдены условия равномерной диссипативности для этих систем.

3. Определены условия эвентуальной диссипативности в случае воздействия на нелинейные нестационарные диссипативные системы некоторых классов высокочастотных возмущений как с ограниченными, так и с неограниченными амплитудами.

4. Для колебательных систем с переменными параметрами установлен ряд критериев равномерной и эвентуальной диссипативности.

Определены новые условия равномерной и эвентуальной дис-сипативности по нелинейному приближению. Выделены различные классы возмущений, ненарушающие исходных свойств системы. Полученные результаты развивают методы качественного анализа свойств систем дифференциальных уравнений и позволяют проводить исследование ограниченности движений широкого класса нестационарных систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе на основе второго метода Ляпунова проводится анализ диссипативных свойств некоторых классов существенно нелинейных нестационарных динамических систем. При этом основной используемый подход в диссертационном исследовании основан на понятии системы первого приближения, в качестве которой рассматриваются различные нелинейные системы.

Целью диссетрации является изучение условий ограниченности решений нелинейных нестационарных систем, получение критериев равномерной и эвентуальной диссипативности, а также исследование влияния внешних возмущающих воздействий на диссипативные системы.

1. Александров А. Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Изв. АН., Теория и системы управления. 1999. № 2. С 5-9.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости равновесия нестационарных систем // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 205-209.

3. Александров А.Ю. О вибрационной стабилизации нелинейных систем // Диф. уравнения и прикл. задачи. Сб. научн. трудов. Тула, 1996. С. 3-7.

4. Барбашин Е. А. О двух схемах доказательства теорем об устойчивости по первому приближению. // ДАН, Т. 3. № 1. 1957.

5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970.

6. Баутин Н. Н., Леонтович-Андронова Е. А. Методы и приемы качественноко исследования динамических систем на плоскости. М., 1990.

7. Биркгоф Г. Динамические системы. ГИТТЛ, 1941.

8. Варех Н. В., Котляр Б. Д. Качественная теория дифференциальных уравнений и ее применение к исследованию математических моделей. Днепрпетровск, 1991.

9. Виноград Р. Э. Неприменимость метода характеристических показателей к изучению нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб., новая серия, Т. 41 (83), № 4. 1957.

10. Голечков Ю. И. О сохранении свойств ограниченности решений при возмущении нелинейной п-мерной дифференциальной сис-темы // Диф. Ур. № 5, 1982. С. 748-752.

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1998.

12. Игнатьев А. О. Об устойчивости положения равновесия колебательных систем с переменными коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. № 1. С. 167-168.

13. Игнатьев А. О. О неустойчивости положения равновесия линейного осциллятора с переменными параметрами // Прикл. математика и механика. 1991. Т. 55. № 4. С. 701-703.

14. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1959.

15. Зубов В. И. Устойчивость движения. М., 1973.

16. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // ДАН. 1996. Т. 346. № 3. С. 295296.

17. Зубов В. И. Колебания и волны. Л., 1989.

18. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. М., 1983.

19. Зубов С. В., Зубов Н. В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб., 1996.

20. Иосидзава Т. Функция Ляпунова и ораниченность решений // Математика, 1955. Т.9, №5, С. 95-127.

21. Козлов В. В., Фурта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М., 1996.

22. Красноборов Н. А. Построение устойчивого линейного уравнения второго порядка. М., 1996.

23. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

24. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1, М., 1988.

25. Ла-Салль Дж., С. Левшец Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М., 1964.

26. Ла Салль Дж. П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. Т. 1. С. 69-75. М., 1965.

27. Лагранж .Ж Аналитическая механика, Т. 1. Гостехиздат, 1950.

28. Лозгачев Г. И. Построение функций Ляпунова для нелинейных динамических систем. // Диф. ур. Т.11, 1998. С. 1565-1567.

29. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., 1961.

30. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.

31. Магницкий Н. А. Асимптотические методы анализа нестационарных управляемых динамических систем. М., 1992.

32. Малкин И. Г. К вопросу об обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости // ПММ., Т. 18, вып. 2," 1954.

33. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. 1966.

34. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости. М., 1971.

35. Мирзов Д. Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Майкоп, 1993.

36. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.

37. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Босов А. В. Обыкновенные дифференциалные уравнения в приложениях к анализу динамических систем. М., 1997.

38. Перепелкин Е. А. Анализ динамических систем: Учебное пособие. Барнаул, 1995.

39. Персидский К. П. Об устойчивости движения в первом приближении. // Мат. сб., т. 40. 1933.

40. Петухов В. Р. Теория динамических систем: Учеб. пособие. Калинин, 1981.

41. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. M.-JI. 1964.

42. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений М., 1974, 320 с.

43. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М., 1987. G. 256.

44. Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. "изд-во иностр. лит., 1953.

45. Степенко Н. А. Об эвентуальных свойствах решений некоторых классов неавтономных систем. Тезисы докладов международной конференции "Modelling and investigation of system stability". Киев, 1997. С. 115.

46. Степенко H. А. Об эвентуальной диссипативности некоторых классов неавтономных систем // Прикладная математика, информатика, электроника. Межвуз. сб. научных трудов. РГПУ им. А.И. Герцена. СПб, 1997. С. 111-114.

47. Степенко Н. А. Некоторые условия диссипативности неавтономных систем. Тезисы докладов международной математической конференции "Еругинские чтения — VI". Гомель, 1999. С. 77-78.

48. Степенко Н. А. Равномерная диссипативность по первому, в широком смысле приближению // Труды XXX научной конференции. Процессы управления и устойчивость. СПб, 1999. С 188-192.

49. Стокер И. Нелинейные колебания в механических и электрических систеиах. ИЛ, 1953.

50. Старжинский В. М. Достаточные условия устойчивости одной механической системы с одной степенью свободы // Прикл. математика и механика. 1952. Т. 16. № 3. С. 369-374.

51. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. М., 1991.

52. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск, Т. 1,2. 1996.55J Чурков В. И. Динамические задачи большой размерности. М., 1998.

53. Bhatia N. P. Weak attractors in dynamical systems // Bol. Soc. Mat. Mexicana, 11. 1966.

54. Bhatia N. P., Szego G. P. Dynamical systems: stability theory and applications // In. Lecture Notes in Mathematics, 35, Springer Verlag. 1967.

55. Habets P., Peiffer K. Classification of stability-like concepts and their study using vector Liapunov functions // J. Math. Anal., 43. 1973.

56. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. The Math. Soc. of Japan, Tokyo, 1966.

57. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order // Ann. math. 1944. V. 45. № 4. P. 723-737.

58. Michel A. N. On the bounds of the trajectories of differential systems // Int. J. Control, 10. 1969.-85

59. Stepenko N. A. On the asymptotic behavior of solutions of a class of nonlinear systems. Abstracts of Int. Workshop "Beam Dynamics and Optimization (BDO'98)". Russia, St.-Petersburg, June 1998. P. 32.