Некоторые конструктивные методы построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Предисловие.

Введение.

ГЛАВА I Алгоритмы построения периодических (многопериодических) решений общих линейных дифференциальных систем в частных производных.

§ 1.1 Вывод и обоснование алгоритма построения периодического по I и многопериодического решений линейной дифференциальной системы первого порядка.

§ 1.2 Методика построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительным "начальным" условием.

§ 1.3 Исследование алгоритма построения периодического решения линейной дифференциальной системы с дополнительными краевыми условиями по одной пространственной переменной.

§1.4 Алгоритм построения периодического решения линейной дифференциальной системы с краевыми условиями типа

Гурса.

ГЛАВА 2 Методы построения двоякопериодических решений канонических гиперболических систем и уравнений.

§ 2.1 Построение двоякопериодического решения каноничес кой гиперболической системы с помощью характеристик

§ 2.2 Построение периодического решения квазилинейного уравнения Клейна-Гордона методом последовательных приближений.

§ 2.3 Построение периодического решения линейного волно вого уравнения с использованием метода Фурье.

§2.4 К вопросу о построении периодического решения нелинейного телеграфного уравнения.

ГЛАВА 3 Алгоритмы построения решения задачи Коши для линейных нормальных систем в частных производных.

§3.1 Построение решения задачи Коши для линейной системы первого порядка методом последовательных приближе

§3.2 0 коэффициентных оценках решения задачи Коши и скорости сходимости метода последовательных приближений.

§3.3 0 представлении периодических решений задачи Коши канонических гиперболических систем в виде быстросходящихся рядов.

Линейные системы дифференциальных уравнений в частных производных являются одним из важных объектов исследования современного математического анализа, что обусловлено как многочисленными приложениями последних в различных областях естествознания, так и их особыми свойствами. В силу этого проблемы, связанные с разработкой простых и эффективных методов интегрирования линейных и нелинейных систем в частных производных, всегда представляли и пред -стаьляют интерес как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Классическая точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений (следуя Ж.Адамару) состояла в отыскании "общего интеграла", т. е. решения уравнения, содержащего столько произвольных параметров или произвольных функций, сколько необходимо, чтобы пред -ставить все решения, за исключением некоторых особых. В последние годы особенно интенсивно развивается иная точка зрения на интегрирование дифференциальных уравнений. Задача (в большинстве приложений) состоит не в нахождении общего решения дифференциального уравнения, а в выборе среди них некоторого единственного решения, определяемого дополнительными краевыми условиями. Тем не менее воз -можность представить общее решение того или иного дифференциального уравнения или системы в замкнутом виде имеет во многих случаях значительные преимущества.

К настоящему времени разработано и фактически применяется большое число разнообразных методов интегрирования дифференциаль -ных уравнений, основанных на принципиально различных идеях.

Среди них важное место занимают итерационные методы и различные модификации метода малого параметра, представляющие собой одно из мощных; средств современной прикладной математики. В эпоху бур ного развития вычислительной техники эти методы отнюдь не утрачивают своего значения. Они дают возможность получать приближенные аналитические представления решений сложных линейных и нелинейных краевых задач, делать заключения о существовании, единственности и области существования решений. Они служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных "тестовых" решений, а в ряде случаев являются и основой для разработки вычислительных методов. Кроме того, при построении аналитических приближений решений ряда задач по специальным алгоритмам, для определения необходимых числовых коэффициентов разложения могут быть использованы современ -ные ЭВМ, что значительно расширяет практическую роль аналитичес -ких методов.

Цель настоящей работы - разработка и исследование эффективных аналитических методов построения периодических решений линейных дифференциальных систем в частных производных. В основу этих методов положены идеи и представления, разработанные в теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

ВВЕДЕНИЕ

Краевые задачи, связанные с изучением периодических решений дифференциальных уравнений в частных производных, имеют большое значение для самых разнообразных разделов механики, физики, тех -ники (в последнее время биологии) и занимают важное место в сов -ременной теории дифференциальных и интегральных уравнений ( см., например,[I]). Исследование условий существования и единственности периодических решений осуществляется на основе хорошо разработанной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также на основе методов функционального анализа, особенно интенсивно раз -вивающихся в последнее время.

Использование функционального подхода для изучения периоди -ческих решений нелинейных уравнений в частных производных обусловлено прежде всего необходимостью преодоления трудностей, связанных с "потерей производных" (см. [2-4] ), а также стремлением исследовать самые общие свойства операторов, отвечающих рассматривав -мым задачам. Функциональный подход позволяет устанавливать теоремы существования и единственности решения весьма сложных краевых задач в соответствующих пространствах (см., например, [4]). В то же время проблемам аналитического представления решений дифференциальных систем и эффективным конструктивным способам их построения не уделяется должного внимания, и эти вопросы менее разрабо -таны. Об этом можно судить, в частности, и по имеющейся литературе, посвященной данному кругу вопросов.

В связи с этим обстоятельством разработка конструктивных методов построения периодических решений и получение достаточных коэффициентных условий разрешимости соответствующих краевых задач представляются актуальными как с теоретической, так и с практической точек зрения.

В работах, посвященных конструктивному анализу дифференциальных систем в частных производных, выделим прежде всего задачи, поставленные для гиперболических систем и уравнений, как имеющие важное прикладное значение и тесно примыкающие к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для изучения квазиперио -дических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений ¿х/а = /м с квазипериодической правой частью в монографии [5] изложен подход, основанный на рассмотрении вспомогательной системы в частных производных вида с периодической по правой частью. Это дало возможность записать условие квазипериодичности решения с помощью конечных уравнений (разрешимость которых устанавливается на основании теорем о неявных функциях) и получить ряд важных результатов.

В то же время выяснилось, что изучение этих и более общих систем в частных производных представляет известный интерес, так как они находят применение в некоторых разделах математики и в прикладных задачах. В связи с этим обстоятельством в монографии [б] были изучены многопериодические и почти многопериодические решения систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с одинаковой главной частью, содержащих различные малые параметры. Для таких систем удается избежать "потери производных", пос -кольку они сводятся к соответствующим системам обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разработан мощный аналитический аппарат. Тем не менее, там же отмечается, что такое сведение может привести к обеднению свойств уравнений в частных производных. Кроме того, многие системы в частных производных вообще не сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Поэтому обобщение изло женных в монографиях [5,б] результатов представляет важную задачу.

Следует сказать, что задача о периодических решениях линей -ных и нелинейных гиперболических систем и уравнений явилась предметом многочисленных исследований. Обширная библиография по этому вопросу содержится в [1,7] (см. также[8-10] ).

Отметим работы [10,11-14], в которых построение периодичес -ких решений осуществляется на основе метода последовательных приближений. Обратим внимание также на идею Проди [4,стр.502], которая связана с представлением периодического решения.

Изучению периодических решений автономных волновых уравнений посвящены работы [15-18] ( см. также и библиографию в них). Специфика этих задач заключается в том, что период искомого решения является неизвестной величиной и определяется в процессе построения решения. При этом, как правило, искомые период и решение представляются в виде степенных рядов по малому параметру.

Для линейных гиперболических уравнений и систем с постоянными и переменными по Ь коэффициентами, рассмотренных в [7], периодические решения предлагается строить в виде рядов Фурье по незави -симым переменным. Возникающие при этом трудности в обосновании сходимости этих рядов связаны с проблемой малых знаменателей.

Для непосредственного построения периодических решений некоторых линейных гиперболических уравнений целесообразно использовать метод поэтапного разделения переменных, предложенный в работе [19].

В последнее время в связи с биологическими и другими приложениями интенсивно исследуются периодические решения систем уравне -ний параболического типа [20-27] . Менее разработана теория перио -дических решений систем уравнений эллиптического типа (см., например, [28-30] ) Наиболее изученными в этом плане можно считать лишь скалярные параболические и эллиптические дифференциальные уравне -ния. В частности, отметим работы В.А.Треногина, А.М.Тер-Крикорова

31],, посвященные исследованию длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений, работы А.Б.Васильевой [32,33], связанные с изучением периодических решений сингулярно возмущенных уравнений, а также работы Ю.А.Дубинского [34], в которых исследуются перио -дические решения нелинейных уравнений бесконечного порядка. Заметим, что периодические решения общих (без ограничения на тип) линейных систем в частных производных слабо изучены.

С точки зрения конструктивных методов отыскания периодических решений дифференциальных систем в частных производных также пред -ставляют интерес работы [35-38] , в которых рассматриваются некоторые специальные системы в частных производных.

Основная цель настоящей работы - разработка эффективных ана -литических методов построения периодических решений дифференциальных систем в частных производных и нахождение достаточных коэффи -циентных условий разрешимости рассматриваемых краевых задач, а также - исследование возможностей конструктивного способа преодо -ления трудностей, связанных с "потерей производных".

Работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы.

В первой главе на основе подхода, предложенного в [39] и ос -нованного на идеях метода малого параметра и учете аналитической структуры матрицы Грина периодической краевой задачи, развивается методика построения периодических и многопериодических решений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от X коэффициентами, и обо -сновывается конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных".

В частности, в §1.1,1.2 разработаны алгоритмы построения периодических по -I: и многопериодических решений линейной системы вида г+1Ш §£, = т)и + с периодическими по ^ коэффициентами, а также алгоритмы построения периодических решений этой системы с дополнительным условием

В последующих двух параграфах разработаны алгоритмы построения решений следующих краевых задач:

За ^ л /лЗа да дх1 где К^Э/дх) - любая линейная комбинация операторов дифференцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, и) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от £ ;

Ж£ш ^ШъМФ = ^' ренцирования конечного или бесконечного порядка с непрерывными, О) -периодическими, матричными коэффициентами, зависящими только от

Обоснование сходимости всех предложенных алгоритмов построе -ния периодических решений указанных выше задач проведено в соответствующем банаховом пространстве, которое позволяет преодолеть трудности, связанные с "потерей производных". Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных задач.

Во второй главе эта же методика применяется к гиперболическим системам и уравнениям, которые, как известно, допускают интегрирование с помощью итерационных методов, у которых не происходит "потери производных".

В первом параграфе с помощью характеристик строится двоякопе-риодическое решение полулинейной гиперболической системы вида

Во втором и четвертом параграфах обосновывается метод после -довательных приближений для решения классических краевых задач:

I . где СИ) - диагональная матрица. и(4,о)=и(1яг) = о ,

В третьем параграфе на примере линейной краевой задачи ии-ихх=еШ)и + 4(*,х), выясняются причины возникновения "потери производной" в методе Фурье.

Получены достаточные коэффициентные условия однозначной раз -решимости указанных задач.

Заключительная третья глава представляет собой дополнение к первым двум главам. В ней рассмотрены некоторые вопросы, связанные с непосредственным построением решения задачи Коши как для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка, так и для канонических гиперболических систем. Кроме того, для линейной системы вида с непрерывными по I и аналитическими по X коэффициентами и сво -бодным членом получены коэффициентные оценки аналитического по X решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений.

Полученные результаты могут найти применение в научно-исследовательских работах, проводимых Могилевским отделением Института физики АН БССР, на кафедре математики физического факультета МГУ, Львовским институтом прикладных проблем механики и математики.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [59, 60,65,66,69,70,ПО] и обсуждены на семинаре Ю.А.кубинского по дифференциально-операторным уравнениям, на семинаре А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова по теории сингулярных возмущений, на семинаре В.Я.Ско-робогатько, Б.И.Пташника по теории дифференциальных уравнений и их применению, на семинаре А.И.Перова по нелинейным колебаниям, на семинаре П.Е.Соболевского по дифференциальным уравнениям.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. В результате проведенных исследований разработана методика по -строения мало изученных периодических и многопериодических ре -шений общих (без ограничения на тип) линейных дифференциальных систем в частных производных, с независящими от х коэффициентами. Получены коэффициентные условия однозначной разрешимости рассмотренных краевых задач. Обоснован конструктивный способ преодоления трудностей, связанных с "потерей производных".

2. На основе этой методики для гиперболических систем и уравнений разработаны эффективные методы решения классических краевых задач, имеющих важное прикладное значение. Впервые сформулированы достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости этих задач.,

3. Для общих линейных нормальных систем в частных производных первого порядка и канонических гиперболических систем разработаны эффективные методы решения задачи Коши. Получены коэффициентные оценки аналитического по х решения задачи Коши, а также коэффициентные оценки погрешности метода последовательных приближений, которые улучшают уже известные результаты.

1. Vej,vodiL 0. Pclülcl1.¿^¡nenlial equciUons: Ume-petiodic solutions. - USA, Sijlhoff A/oozcLkoff, im. -358p.

2. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения.-Успехи мат.наук,1968,т.23,вып.4,с.179-238.

3. Боголюбов H.H.,Митропольский Ю.А.,Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике.-Киев:Наукова думка,1969. -245с.

4. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.: Мир,1972.-588с.

5. Харасахал В.Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений.-Алма-Ата:Наука КазССР,1970.-200с.

6. Умбетжанов Д.У. Почти многопериодические решения дифференциальных уравнений в частных производных.-Алма-Ата:Наука КазССР,1979. -211с.

7. Полищук В.Н.,Пташник Б.И. Периодическая краевая задача для ли -нейных гиперболических уравнений и систем.-Львов,1982.-60с. (Препринт/ ФМИ им.Г.В.Карпенко,АН УССР.: № 64).

8. Погореленко В.А. Обобщение теоремы Рабиновича о периодических решениях нелинейного волнового уравнения.-Воронеж,1979.-31с. -рукопись деп. в ВИНИТИ 24.07.79,№ 3042.

9. Се$а.г1Ь. ВхЫепсе. 1п Ог& 1алуе о/рег1ос11с 5о^йопз я/7 курм-кйс. ралИа1 ¿¿¡{егеШа? ¿(¡иа.иоп$.- Аикше (ог 1}аИока1 Меch.tLn.tis а.пс1 ¡\nalpis, /965, 20, а/3, р. </70-/90.

10. Че.}УО(1(10. Pttiod.it о/а ¿шаг сигс/. -щшк^у поп.¿Сигаггс ¿(¡и,а.Шп. ¿п- от ¿Сггшъио/ь- СъесАо$1ошк Ма{к. Уошипл1,1964, {4 (89), а/3, р.Ш~382.

11. Карп В.Н. Применение метода волновых областей к решению задачи о вынужденных нелинейных периодических колебаниях струны.-Изв. высш.учебн.заведений.Математика,196I,№ 6,с.51-59.

12. Карп В.Н. О существовании и единственности периодического решения одного нелинейного уравнения гиперболического типа.- Изв. высш.учебн.заведений.Математика,1963,№ 5,с.43-50.

13. УумсШ-О. эоЛШо/гз Ьо ш&к1у попйпеаг сьикпотом ыаиъ е.с/иа.Ььом.-Сгёско^ог/а'к Мсфь.Уош/гаI, 1975^5(100), У4 ,р.53Б-554.

14. Тш&^.РггЫа $о1и11оп$ non.lin.ecti иг&и-е. гци^СопЗ ¿п. п-кттшпМ spa.ce. -$1АМ Ъагпа1 Арр(. Ма-И., Ш, 34,

15. Иманалиев М.,Алымкулов К. Отыскание периодических решений нелинейных волновых уравнений.-Сердика Българско математическо списание, 1980, 6, № 1,с.З-8.

16. СкоигД Регьоскс ъоЬ^ьопЬ о^ попйишг шЬопотоил куре^ойс. ^ио+иопъ.-исЫъе. ¿п. МаУшпаАм, ШО^Ш^

17. Черский Ю.И. Метод поэтапного разделения переменных.-Мат.методы и физ.-мех.поля.Киев,1980,12,с.Ю-14.

18. Митряков А.П. 0 периодических решениях систем нелинейных уравнений параболического типа.-Труды Самаркандского университета, 1962,119,с.109-114.

19. КизалрТ. А штагк оп а. Ьоапс/агу рюМ&т. ¿>/ ьагабо&сypt.-P'wc. У&рсиг Acad., {986,42, H, p.iO-iZ.

20. Вишневский M.П. Периодические и близкие к ним решения парабо -лических систем.-Динамика сплошной среды.Новосибирск,1974, 16, с.84-90.

21. Rosen G. Ñecíssavy condition foi the msien.ee. of peùodiù $ o lui Co nb to sgüetns of ii&cUon-diffusion ¿tjuciUons.- Ma-lh. Biosc¿)¿944,2/, t/3-9, p. US-m

22. Загорский Т.Н.,Кобзарев В.И. О периодических решениях некото -рой параболической системы.-В сб.:Дифференц.уравнения и их приложения. Днепропетровск, 1976, с. I72-I8I.

23. Httde&iK.P. Ñonlineax diffusion, цш1сол$ ¿n icotyyLeciuït Ñoki in MCLÍUmclíícs, 1т,5Й,р.№-гое.

24. Rosen Ptùodic solutions h systems of uaciiorL-diffusion, iqiLCL-iions. Joutnai FicLnkiirL Inst, /М, 301 ñ р

25. Васильева A.B.,Дворянинов С.В.,Розов Н.Х. К асимптотической теории колебаний в сингулярно возмущенных параболических систе -мах.-IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев,1981,с.79.

26. Shade U. Kirne periodische, ¿osuruj&n éeí п1Мйл.шг^ slaik -Mij>húch¿n. s^ie-пгвп. vori pazUeI¿¿n. cLffete/bé¿afy¿e¿cAMn.g£sr. -Mamsci. maíh., im, a/3, $.Z5i-ZU

27. Мухамадиев Э. К теории периодических решений нелинейных систем уравнений эллиптического типа.-Докл.АН СССР,1973,208,№ 5,с.1035-1037.

28. Байзаев С. 0 периодических решениях нелинейной обобщенной системы Коши-Римана.-Докл.АН ТаджССР,1979,22,№ 1,с.3-6.

29. Тер-Крикоров A.M.,Треногин В.А. Решения типа длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной полосе. -Дифференц.уравнения,1967,3,№ 3,с.496-508.

30. Васильева A.B.,Дворянинов C.B. 0 периодических решениях сингулярно возмущенных уравнений параболического типа.-Научные труды Куйбышев.г о с.пед.ин-та,1979,232,с.145-154.

31. Васильева А.Б. О периодических решениях уравнений эллиптичес -кого типа с малыми параметрами.-Дифференц.уравнения,1982, 18, № I2,c.2I74-2I78.

32. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. -Итоги науки и техники.Современные проблемы математики, 1976,т.9,с.5-130.

33. Ткач Б.П. К отысканию периодических решений систем уравненийсо смешанными частными производными нейтрального типа.-Качеств, методы теории дифференц.уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев,1977,с.130-140.

34. Иванов В.А.,Шакибалиев Р.Ш. Существование периодических или почти периодических решений одного класса уравнений в частных производных в критическом случае.-Москва,1978.-11с.(Препринт / Институт теоретической и экспериментальной физики.:№ 166).

35. Тажимуратов И. 0 применении метода Пуанкаре для одной системы уравнений в частных производных первого порядка типа Пфаффа.-Научные труды Куйбышев.гос.пед.ин-та,1980,236,с.95-102.

36. Тажимуратов И. 0 периодических решениях одной системы уравне -ний в частных производных первого порядка.-Мат.заметки,1981,30, If 3,с.363-369.

37. Лацтинский В.Н. Об одном алгоритме построения периодических решений линейных систем второго порядка.-Изв.АН БССР,сер.физ.-мат.наук,1978,№ 3,с.113-116.

38. Ковалевская C.B. К теории дифференциальных уравнений в частных производных.Научные работыЛраздел.М.:Изд-во АН СССР,1948.-368с.

39. Леднев H.A. Новый метод решения дифференциальных уравнений с частными производными.-Мат.сборник,1948,т.22,вып.2,с.205-266.

40. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.-М.:Физматгиз,196I.-400с.

41. Филатов А.Н. Обобщенные ряды Ли и их приложения.-Ташкент: Изд-во ФАН УзССР,1963.-108с.

42. Курант Р. Уравнения с частными производными.-М.:Мир,1964.-830с.

43. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными произ водными.-М.:Мир,1965.-379с.

44. Демидов Г.В. Некоторые приложения обобщенной теоремы Ковалевской. -Численные методы механики сплошной среды.Информационный бюллетень,1970,I,№ 2,с.10-32.

45. Cescm'L. Fmcüonai cLncLipiS cuud loan-daiy mlue f><Loile/nt.~-Lzduu irt McdUma-luLS, I94d J$3, f>.i12*i34.

46. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными.-М.: Мир, 1977.-504с.

47. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.-М.: Мир,1977.-232с.

48. Бондаренко Б.А.,Филатов А.Н. Квазиполиномиальные функции и их приложения к задачам теории упругости.-Ташкент:Изд-во ФАНУзССР,1978.-176с.

49. МiyaktM. А иттк ort i/ut Invtts, -bhiOiem. fr? C&utky-Kow&hirsU.-Pwc. У&р&п. Acad.} ¿930, sei.A, 56, a/2, p. 55-58.

50. Аграчев A.A.»Вахрамеев С.А. Хронологические ряды и теорема Коши-Ковалевской.-Итоги науки и техники.Проблемы геометрии,198I, 12,с.165-189.

51. Лаптинский В.Н. Об одном методе регуляризации периодической краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.-Минск,1979.-15с.(Препринт/ Институт физики АН БССР: № 176).

52. Лаптинский В.Н. Об одном итерационном методе в теории нелинейных колебаний.-Изв.АН БССР,1980,сер.физ.-мат.наук,№ 2,с.6-12.

53. Дубинский Ю.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике. -Успехи мат.наук,1982,т.37,вып.5,с.97-137.

54. Беркинов Х.Б.,Роишев А.Р. 0 связи символического метода интегрирования линейных уравнений в частных производных с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.-Сб.научн.тр.Ташкент, политехи.ин-та,1981,№ 316,с.44-48.

55. Жестков C.B. 0 построении многопериодических решений линейных систем уравнений в частных производных.-5-я республиканская конференция математиков Белоруссии.Тезисы докладов.Часть 2.Гродно, 1980, с.85.

56. Жестков C.B.,Лаптинский В.Н. Об одном конструктивном алгоритме построения периодических решений линейных уравнений в частных производных.-В сб.:Некоторые вопросы дифференц.уравнений в решении прикладных задач.Тула,1981,с.24-27.

57. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности.-М.:Наука,1975.-48с.

58. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях.-МГУ,1978.-106с.

59. Самойленко A.M.,Лаптинский В.Н. Об оценках периодических решений дифференциальных уравнений.-Докл.АН УССР,сер.А,1982,1,с.2931.

60. Peitov&nu D. SotniionS petlodùçues de cziiaines equa-Uons olutlivuvtes jjcLtiuihsr Апл.тсЖ.рига, ed cLppi.JI%S7 $Z>p-8Z~36.

61. Жестков C.B. О некоторых алгоритмах решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных первого порядка.-Изв. АН БССР,сер.физ.-мат.наук,1979,W 3,с.129-130.

62. Жестков C.B. Об одном конструктивном алгоритме решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных первого порядка. -Изв. АН БССР,сер.физ.-мат.наук,1980,№ 6,с.49-51.

63. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями) .-М. :Наука,1968.-504с.

64. Радыно Я.В. Векторы экспоненциального типа и функциональное исчисление. -Док л. АН БССР,1983,27,№ 10,с.875-878.

65. Жестков C.B. 0 построении периодических решений квазилинейного уравнения Клейна-Гордона.-7-я республиканская конференция молодых ученых по физике (Могилев,июнь 1982).Тезисы докладов,1982, с.14.

66. Жестков C.B. Конструктивные методы исследования некоторых задач математической физики.-Минск,1983.-20с.(Препринт/Институт физики АН БССР: № 313).

67. Самойленко А.М.,Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений.-Киев:Вища школа,1976.-179с.

68. Haûe й. К. Peùodlc Sotui Loris o-f a. ciass of hypei io<àc -e.fna.iion s conicùniny cl srnaiê patamelet-Aichiû-t <fpb Rctiio/iaê Mectonics and Anatyùs, iS^Z3, a/5, p. 380-338.

69. Лика Д.К.,Рябов Ю.А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний.-Кишинев:Штиинца,1974.291 с.

70. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.-М.:Наука,1966.-332с.

71. Мьппкис А. Единственность решения задачи Коши.-Успехи мат.наук,1948,,т.З,вып.2,с.3-46.

72. VeitkaAeshcL Muüty MX А suivy o(some. diirttymen.ls ¿t-LIul Шогу о/ СшсЛу Pzobiem. Bo-Piz tiino deiict lf/iior?e Ma,i. Ш&лпа. Boio^tict, №1,4 W, р. Ш-5~а.

73. PllccL C. Sll2pwifk/na, di Caiui/^ pei ¿г equazterU -¿¿/lea^L ¿г cLtbivciie. р&ггь&ёс- AUl frccc^d. /daZ. Li/tcel. Re/icL.}c£. sci.fi med. z naiiib., p.d9Z-Z0Z.

74. Гаврилob А.Ф. Применение способа последовательных приближений Пикара к интегрированию некоторых уравнений математической физики., -Сб. трудов Ленинград.электротехн.ин-та связи им.М.А.Бонч-Бруевича,1955,с.164-169.

75. Райкерус A.A. К вопросу о приближенном решении задачи Коши способом неопределенного параметра.-Уч.зап.Петрозаводск.ун-та, 1955(1957),4,№ 4,с.3-12.

76. Герасименко Л.В. Применение метода последовательных приближе -ний к решению задачи Коши-Ковалевской.-Труды Казанского с/х инта им.М.Горького.Казань,1959(i960),т.3,вып.42,с.48-52.

77. TaißrdiG-. Vti pioUemcL dt ColllcJi^.- Ann. icuola. noim. super. Pisa, sei. fu, t rnaA., {9S4,18, a/Z, />. iC5-{86,84. \cuncunolo MlnouL. Ort Camchy's ръой&пъ а. -й/иал- put-iia£ cLiffeienkal iqua-iLons o^ огс/ег., Рыс. Уа^а^п.

78. Вострова Л.Е. Задача Коши для волнового уравнения.-Волжский мат.сборник,1971,8,с.64-67.

79. Qtordh Я Щег ein ь/И^шп^шг^кгед- ¿иг LösiLn^^ei^cL^i^im^ lei pojbhielit^L J>tlfettri^^¿¿icJuL/bü¿n- ^-¿¿t O^d/tLcnQ. Wiss.

80. Тескк. ttocksck. KcLiê-Maiz-SMi imj^M, p.70S- Ш

81. Иванов JI.A. Теорема Коши-Ковалевской для систем с особенностями. -В сб. .'Методы решения операторных уравнений.Воронеж, 1978, с.50-54.

82. Яненко Н.Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных.-Труды 4-го всесоюзного математического съезда.Ленинград,1964,с.247-252.

83. Сидоров А.Ф. О некоторых представлениях решений квазилинейных гиперболических уравнений.-Числ.методы мех.сплошной среды.Но -восибирск,1975,6,№ 4,с.106-115.

84. Кокарева Т.А.,Кретов М.В. Методика интегрирования квазилиней -ной системы с двумя неизвестными функциями.-В сб.:Совершенст -вование процесса обучения математике.Калининград,1979,с.10Т-115.

85. Шарипов Б. Некоторые квазилинейные совместные системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка интегрируемые в квадратурах.-Докл.АН ТаджССР, 1980,23,1? 3,с. 126-130.

86. Сидоров А.Ф. Аналитические методы построения решений в нелинейных задачах пространственной конвекции.-В сб.:Механика неоднородных сред.Новосибирск,1981,с.236-250.

87. Гарифуллин P.M. Применение метода интегрирующего множителя для решения некоторых квазилинейных уравнений.-Численные методы механики сплошной среды.Новосибирск,I98I,I2,if° I,с.30-36.

88. Гарифуллин P.M. Аналитическое решение некоторых систем квази -линейных уравнений.-Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск,198I,12,№ 2,с.22-27.

89. Мелешко C.B. Об одном классе решений систем квазилинейных дифференциальных уравнений со многими независимыми переменными.-Численные методы механики сплошной среды.Новосибирск,1981,12, 1Г> 4,с.87-100.

90. Салехов Г.С. К проблеме Коши для линейных уравнений с частными производными в области бесконечно дифференцируемых функций, -Успехи мат.наук,1947, т. 2,вып.2,с.226-228.

91. Салехов Г.С. О задаче Коши для одного класса уравнений с частивши производными в области сколь угодно гладких функций.-Изв.Казанского филиала АН СССР,сер.физ.-мат. и техн.наук,1948, № 1,с.63-74.

92. Салехов Г.С.,Фридлендер В.Р. К вопросу о задаче, обратной задаче Коши-Ковалевской.-Успехи мат.наук,1952,т.7,вып.5,с.169 -192.

93. Сочнева В.А. О решениях общих линейных систем уравнений с частными производными над пространствами Жеврея.-Докл. АН СССР, 1966,166,№ I,с.41-44.

94. Сочнева В.А.,Фридлендер В.Р. Задача Коши для многомерных линейных систем над пространствами Жеврея.-Мат.сборник,1969,79, № 2,с.264-292.

95. Крылов А.Н. 0 некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах.М.-Л.:ГТТИ,1950,-368с.

96. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа.-М.:Наука, 1967.-512с.

97. Клейза И.В. 0 представлении решения задачи Коши рядом Хартог-са.-Литовский мат.сборник.Вильнюс,1976,16,№ 3,с.65-71.

98. Бондаренко Б.А. Операторные алгоритмы построения решений уравнений математической физики.-Вопросы вычисл. и прикладной математики .Ташкент,1981,65,с.106-115.

99. Ul№ C.V. Li/ua/i luruihonoLÍs and Ни Стеку 'Houfctit^skL Циогет,-%илла1 ИМ. and M¿ck.} 1Щ 19, р. ZH-2W.

100. ЕгЬегF. Ьи Reihm- Meüucle. 3ui Losung des Cauchy-PzoUzmsdiЦтпк&^ШсАи-пде/г еШгг (уьЖпшгу. -î. cut^erf. Ma-Lk.und Me.th.jm,Я, s.ß-17.

101. Филимонов A.M. 0 решениях специального вида уравнений в частных производных полиномиального типа.-В сб.:Дифференц.геомет-рия.Калинин,1977,с.II2-II9.

102. OiiotrK. TfvL ^¿дт/ method <fo%. soêvin^ of ¿U éou/tdat^ ^wllltfiS Ни- jocoikai diffw/ziiai ¿quaiùûnz ¿>/ а/г^ Шжг Мат. iecH.7 dm, 2, ь/3,

103. Жестков C.B. Решение трехмерной обратной задачи теплопроводности в постановке Коши.-В сб.'.Некоторые вопросы дифференц.уравнений в решении прикладных задач.Тула,1982,с.97-99.

104. Рудерфер В.И. Априорные оценки решения задачи Коши для урав -нения и системы уравнений в частных производных с коэффициентами, неаналитическими по выводящей переменной.-Докл.АН СССР, 1978,240,№ 4,с.782-785.

105. Краснодембский A.M. Периодичность решений одного типа линей -ных уравнений в частных производных первого порядка.-В сб.: Теоретические и прикладные вопросы алгебры и дифференц.урав -нений.Киев,1976,с.100-101.

106. Титов С.С. Решение периодических задач Коши с помощью специ -альных тригонометрических рядов.-Численные методы механики сплошной среды.Новосибирск,1978,9,$ 2,сЛ12-124.