Асимптотики при t→∞ решений начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Свиридова Елена: Николаевна

004611641

АСИМПТОТИКИ ПРИ I оо РЕШЕ НИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ МСАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

ВОРОНЕЖ-2010

004611641

Работа выполнена в Воронежском государственном университете на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей

Научный руководитель: ■

доктор физико-математических наук, Глушко Андрей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович;

Защита состоится " 9 " ноября 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Пенкик Олег Михайлович

Ведущая организация:

Российский университет дружбы народов

профессор

Ю. Е. Глшслих

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при *-»+<» решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.

Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Исследования Соболева были продолжены в работах Т. И. Зеленяка, Q. П. Ма?-лова, А. В. Глушко, М. Е. Боговского, С. А. Габова, А. Г. Свешникова, Г. В. Де-миденко, С. В. Успенского, В. Н. Масленниковой, А. Г. Костюченко, С.Я. Се-керж-Зенковича, А. И. Кожанова. В работах этих авторов исследовалась асимптотика при t -»+со решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.

В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. С.А. Габовым и А. Г. Свешниковым были рассмотрены вопросы о глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений, возникающих в стратифицированных жидкостях и стратифицированных вращающихся жидкостях. Исследования во- > просов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова, а именно Ю. Д. Плетнером, М. О, Корпу-совым, С. Т. Симаковым, П. А. Крутицким, Л. В. Перовой и др. В монографии

A. В. Глушко содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вращающиеся вязкие сжимаемые жидкости. Поведение при /—>+оо решений различных задач, описывающих колебания жидкостей, как вязких, так и невязких, исследовалось в работах М. Е. Schonbek, Т. Miyakawa, Th. Gallay, С. Е. Wayne, L. Brandolese, E. Feireisl, С. M Dafermos.

Иной подход к исследованию решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, у истоков которого стояли труды С. Г. Крейна, М. И. Вишика, изложен в работах В. Г. Звягина, Н. А. Сидорова, A. Favini, A. Yagi, С. Г. Пяткова, И. В. Мельниковой, Г. А. Свиридюка,

B. Е. Федорова. Этот подход предполагает изучение дифференциально-операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам.

Цель работы. Построить явные формулы представления решений начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей. Изучить, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия. Получить асимптотические при Г->-к» представления компонент решений таких задач.

Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, различные методы получения асим-

ггготических оценок, в частности, метод стационарной фазы, интегральные преобразования, оценки в шкалах пространств C.JI. Соболева с весом.

Научная новизна. В работе доказаны теоремы о существовании решений начальных и начально-краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей, построены явные формулы представления решений таких задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия, получены асимптотические при t -> +« представления решений таких задач.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при f +00 решенйй задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут бьгть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: международной молодежной научной конференции "XXXIII гагаринские чтения" (3-7 апреля 2007 года, Москва); летних математических курсах "Дифференциальные уравнения в частных лрозводных", проводимых международной математической школой Scuola Ma.tematica Interuniversitaria (15-27 июля 2007 года, Кортона, Италия); научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. А. В. Глушко (Воронеж, 2008-2009-2010 гг.); Первой весенней международной математической школе "Analytical andt Numerical Aspects of Evolution Equations" (30 марта - 3 апреля 2009 года, Берлин, Германия); международной научной математической конференции "Nonlinear probleins for àp and A " (10-14 августа

2009 года, Линчепинг, Швеция); Всероссийской научно-практической конференции "Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения" (26 ноября 2009 года, ВАИУ, Воронеж); Второй весенней международной математической школе "Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations" (27 марта - 2 апреля 2010 года, Берлин, Германия); научной сессии ВГУ (апрель 2010 года, Воронеж); междуна]х>дной научной математической конференции "DynamicarSystems and Partial Differential Equations" (30 марта - 4 июня

2010 года, Университет Политекника де Каталуния, Барселона, Испания).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Работы [б] и [7] соответствуют списку ВАК РФ. Из совместных с научным руководителем работ [2], [б] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц. Библиография содержит 110 наименований работ российских и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Нумерация приводимых ниже теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первой и второй главах изучается движение стратифицированной жидкости в рамках модели1, принадлежащей математикам из МГУ Л. В. Перовой, Ю. Д. Плетнеру, А. Г. Свешникову (далее - "модель Свешникова"), которыми была доказана стабилизация решения этой задачи при большом времени. В данной диссертации при несколько других требованиях на функцию из граничных условий выписаны точные асимптотики компонент решения этой задачи. Рассматривается двумерное движение жидкости, то есть такое, которое описывается функциями, не зависящими от одной из пространственных переменных, или х2 (для определенности - ст х2).

Изучение двумерного движения в рамках указанной модели жидкости приводит к системе линеаризованных уравнений

где ей, >0, Г>0; а = (0,0,а) - вектор Кориолиса; а02 = - квадрат частоты Вейсяля-Бренга, р - динамическое давление, р0(хз) = АеГ1^' - плотность жидкости в невозмущенном состоянии, /?>0 - параметр стратификации. С помощью замены

приходим к системе уравнений

1 Перова Л. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемой плоской, бегущей по дну волной. // Журнал вычислительной математики и математической физихи, 2000,1.-С.136-14Э.

(1)

<т = рр-0\х3) = л-1ре2^

(2)

«х^ сие,.

Система (3) изучается со следующими начальными и граничными условиями:

Ц(х,0) = 0, к-\,2,3, -О, сг(х,0) = 0, <4)

Сформулируем условия, которые будут использованы в диссертации. Условие 1. Функция равномерно по ограничена, то

есть справедлива оценка (я,,<)| с.

Условие 2. В (0;со)) существуют следующие производные функ-

ции

К*„»): *»(*•')ИМ), и = 1.2,3,4.

Условие 3. Имеют место оценки <■"> С «2

1(4*1)

аЦ <оо, и = 2,4.

Условие 4. Функция финитна по переменной / >0, то есть

^(х1(г) = 0 при

Введем нормы

((/)>,. (5)

1 ' о к1

Через , будем обозначать стандартные нормы в соответст-

вующих пространствах /^(Е3), 1г(К+2). Через ¿2(й/2р(К)х(0,со)) обозначим пространство Соболева-Слободецкого с индексом р на К и нормой ({•))> определенной в (5). Также нами будут использоваться следующие обозначения: Р^ъ ~ прямое и обратное преобразования Фурье по переменной

преобразование Лапласа; = [Х-», [УО^'О]]'

В первой главе с помощью преобразований Оурье и Лапласа строится обобщенное решение задачи (3), (4). На основе полученного явного представления доказывается существование решения. Получены оценки для норм компонент решения и их производных, входящих в систему, в пространствах ¿2(К+2), ¿5(ЖДК)х(0,со)), выполнена проверка начальных и граничных условий. Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть К^.ОбА(^21/2(К)х(0,оо));

Ё^.М^.^.О, Тогда решение обоб-

о/ сЦ д/йс,

щвнной задачи (3), (4) существует в х (0,со)) и выполнены следующие

оценки:

8х1

Нгёг! !

1 И^ом»;«» II сггас, ¡^(„.^ I

где постоянная с > 0 не зависит от 1 и от а:.

В диссертации содержатся аналогичные оценки и для всех производных, входящих в систему (3).

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1], [2].

Во второй главе получены асимптотические представления при t—>+ao компонент решения задачи (3), (4). Получение асимптотических представлений компонент решения задачи основано на изучении свойств фазовых функций в интегралах, возникающих при вычислении обратных: преобразований Лапласа и Фурье, и применении метода стационарной фазы. Применение метода стационарной фазы осложняется тем, что подынтегральная функция в исследуемых интегралах сама имеет интегральное представление с сингулярностью в критической точке. Кроме того, подынтегральная функция дополнительно к I зависит от других внешних параметров.

Приведем основные результаты, полученные во второй главе.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при п = 4. Тогда при £ -> -ко для компоненты ^(х,*) решения задачи (3), (4) справедливо асимптотическое представление

Кз(*,/)= }](*,ф^Угау, +

+(110К».')**

-щ) V-« Р)

ах,

коэффициент к(х}) равномерно по х,: 0< б < *, < N<оо ограничен.

ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при и = 3. Тогда при / -> +оо для компоненты У1 (дг,г) решения задачи (3), (4) справедливо асимптотическое представление

К,(*,*)= (^(хО + в^^вт^ + Га)/+

•(«•--г) V-

коэффициенты ^(х,) и <я2(х3) равномерно по х3: 0<е <х3<Ы <<х> ограниче-, ны.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при п = 3. Тогда при Г -» +со для компоненты Г^ (х,г) решения задачи (3), (4) справедливо асимптотическое представление

У2(*,г) = а/?ехр(/?*3)^ [р(^0)ехр(-х, V«? + Р*) -

'«О «о

я- (а -о>0^ /»;

Ь2 (х3) = --Л -¡а ж'11 (а2 - 3 ехр (/?х3) х

х["/+У (з+за2 - {1+Заг)р2Г2 + 1^Л-4)зт(х3 Тя^рА

к 2

/

коэффициенты ¿,(дг3) и 62 (дг3) равномерно по х3: 0<е <х3<Ы <<ю ограничены.

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при и = 3. Тогда при -к» для компоненты ^-(л,г) решения задачи (3), (4) справедливо асимптотическое представление

|^г) = а2лехр(-/?хз)

Г я \ дх>)

\0-«

, Аа150>ехр(-/?х3)«^т~Рг)

с2 (х3) = -А■ 2-*-,а13я1}х;1 (а2 -юг0)~°$ехр(-/?*3)х

(б+6а2 -(13 + ба2)/?2Г2)8т(х(7^02)(х37А2-/?3Г ¿X,

коэффициенты сг(х3) и с2(х3) равномерно по х3: 0<G<XJ<N<OO ограничены.

ТЕОРЕМА 2.5.1. Пусть выполнены условия 1, 2, 4, условие 3 при п = 4. Тогда при ? —>+со для компоненты -^-(х,^ решения задачи (3), (4) справедливо асимптотическое представление

= -Ашг0 ехр(-/?х3)А/^ [ехр(-*3^ + /?2

4-1.5

' ■>-*><) \ КГ1V

е/, (х3) = -9/1 ехр ;г"1-V (а2-а2)'^ х

_<0 у? у > /

с/2 (*3) = ЗА екр{-рь)аий>1ргг-*-5 тт"1 V " ©,2) х

/+1 Я"2 (^т(х^А2 - /?2) ,/Л2 - /!2)"' - сое(х,^Л2 - /71 ,

коэффициенты ^(х3) и <=?2(х3) равномерно по х3: 0<в<дг3<//<оо ограничены.

Замечание. В теоремах 2.1.1, 2.2.1, 2.3.1, 2.4.1, 2.5.1 0(г2) и 0(г3) есть функции переменных / > 0, хъ £ 0, дс, е R, равномерно по ttt9> 0, хг 2t 0, хгбй удовлетворяющие оценкам: et'1,

Результаты главы 2 опубликованы в работах [3], [4], [5], [б].

В третьей и четвертой главах рассматривается двумерное движение жидкости в рамках иной, более общей по сравнению с (1 ), модели.

Исследуемая система уравнений имеет вид

ÊH ôt

ЭК 8t

д2К

-аК +-

I_др_

Ро(.Хз)дХ,

■О,

+ аУ,= О,

р0(х3)0^&с3/

(7)

= 0,

с!1У(А(Х3)И)==0,

где х, е К, х3 > 0, / > 0; а - (0,0,а) - вектор Кориолиса; а0г = - квадрат частоты Вейсяля-Брента, р - динамическое давление, р0(х3) = Ае~1/,х> - плот-' ность жидкости в невозмущенном состоянии, Р > 0 - параметр стратификации.

Отличие "модели Свешникова", изученной в главах 1 и 2, от исследуемой системы (7) состоит в следующем: А. Г. Свешников, Ю. Д. Плетнер, Л. В. Перова предполагали, что учёт переменного коэффициента плотности р0 (х3) в уравнении неразрывности не является необходимым, поэтому четвертое уравнение системы (1), рассмотренной ими, имело вид с1Ь/7 = 0. Настоящая модель изучена с целью выявления того, как с математической точки зрения проявится учет переменной плотности не только в уравнениях Эйлера, но и в уравнении неразрывности.

С помощью замены (2) система (7) приводится к виду

ЗК, г. да . —- - aV. + — = 0,

ôt 2 а*,

+aVi = 0,

ЁИ ôt

t^Kir^i-o.

щ ox3

(8)

По аналогии с рассмотренной в главах 1, 2 задачей вводятся следующие начальные и граничные условия:

^(*.0) = ^4*,0) = <и=1,2,3, ст(*,0) = 0, = (9)

Введем норму

- То+о"4 (1°)

х ' о к1

В третьей главе так же, как в главе 1 для "модели Свешникова", построено обобщенное решение задачи (8), (9), доказано существование решения, получены оценки для норм компонент решения и их производных, входящих в систему, проведена проверка начальных и граничных условий. Справедлив следующий результат.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть ИХ,Ое4(РР21/2(К)><(0,«>));

М5Л МЗД К*1)0> Тогда решение обоб-

а 8х1 д1дх1

щённой задачи (8), (9) существует в ^(К2,. х(0,оо)) и выполнены следующие оценки:

1112 (Вх(0,«))

1Н

11^(140.«)) (I °'ОХ1 |!Г,/5Ь:(0;«,» ]

1Уг*||К*, + *({Их, ,0))ш ,

где постоянная с > О не зависит от { и от х.

В диссертации доказаны аналогичные оценки и для всех производных, входящих в систему (8).

Результаты главы 3 опубликованы в работах [6], [7].

В четвертой главе получены асимптотические представления при * ->+оо компонент решения задачи (8), (9). Структура исследования общая с главой 2. Приведем основные результаты главы 4.

ТЕОРЕМА 4.1.1. Пусть выполнены условия 1,4, условия 2,3 при и = 2. Тогда при Г-»-к» для компоненты вектора скорости решения задачи

(8), (9) справедливо асимптотическое представление

" " ( д2 V

+(1+МИЧ<~3,2)( ] | (1+И)(1

з("з)---'

коэффициент равномерно по 0<е<х3<Ы<со и по

х,: - со < х, < со ограничен.

ТЕОРЕМА 4.2.1. Пусть выполнены условия 1,4, условия 2,3 при и = 2. Тогда при |->+оо для компоненты ^(х,/) вектора скорости решения задачи (8), (9) справедливо асимптотическое представление

и-' \ 02 )

т (хЛ-сМ2Рхг) -Л I «

коэффициент щ (х5) равномерно по \ 0<е<х3<А/<сю ограничен.

ТЕОРЕМА 4.3.1. Пусть выполнены условия 1,4, условия 2,3 при и = 2. Тогда при <-»+оо для компоненты Уг{х,г) вектора скорости решения задачи (8), (9) справедливо асимптотическое представление

.. / ч аехр(2у9х3) 1 х2 -х? , ч

+т

з2 V

т

, ехр(2^) У2 I а

коэффициент т2 (х3) равномерно по х3: 0<е<х3 <.?/<«> ограничен.

ТЕОРЕМА 4.4.1. Пусть выполнены условия 1,4, условия 2,3 при и = 2.

Тогда при Г -> +оо для компоненты —(х,г) решения задачи (8), (9) справедпи-

дх1

во асимптотическое представление

^л^А^А-^и 0)+

.о 11 о+и)[1 - ¿г ] * м**

Зл/2

.(О —

,2_3/2 </„5.

а

коэффициент тл (л:,) равномерно по х3: 0<е<х3<//<оо ограничен.

ТЕОРЕМА 4.5.1. Пусть выполнены условия 1.4, условия 2,3 при и = 2.

я

Тогда при Г-»-к» для компоненты ~(х,1) решения задачи (8), (9) справедливо асимптотическое представление

5 О V

дг'

! {и-х^

коэффициент )я5 (д^ ) равномерно по х1: - оо < < оо ограничен.

Замечание. В теоремах 4.1.1, 4.2.1, 4.3.1, 4.4.1, 4.5.1 0(г5'2), и

0(г3) есть функции переменных О0, *3 ¿0, Х; еК, равномерно по г ^ г0 > 0, х, ^ 0, х, еК. удовлетворяющие соответственно оценкам: |0(г3/2)|^сг3/2, |о(г2)|^еГ2, ¡0(г5)|йсг3.

Результаты главы 4 опубликованы в работах [6], [7].

Основные результаты диссертации.

1. Построены формулы представления решений двух задач, при различных предположениях описывающих малые колебания невязкой экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости.

2. Получены оценки компонент решений в шкале пространств С.Л. Соболева с весом.

3. Доказано выполнение начальных и граничных условий.

4. Построены нулевые и первые члены точных асимптотических разложений при / -и» компонент решений исследованных задач.

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук А. В. Глушко за научное руководство и постоянный интерес к работе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Свиридова E.H. Оценка поведения при г -»со решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве / E.H. Свиридова // Механика и моделирование материалов и технологий: тез. докладов международной молодёжной науч. конф. "XXXIII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ". Москва, 2007. — С. 95-97.

2. Свиридова E.H. Оценка поведения при t -> со решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве / E.H. Свиридова, A.B. Глушко // Груды математического факультета ВГУ, 2007.

— №11,—С.35-48.

3. Свиридова E.H. Асимптотика при *-» оо компонент решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. Часть 1. / E.H. Свиридова // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика.

— 2009. —№1. — С. 150-158.

4. Свиридова E.H. Асимптотика при /->оо компонент решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. Часть 2. / Е.Н.Свиридова // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика.

— 2009. — №2. — С. 101-111.

5. Sviridova Е. The asymptotic behavior as f -> oo of the components of solution of the Cauchy problem describing small fluctuations of stratified fluid rotation in the semi-space. / E. Sviridova // International Scientific Conference "Nonlinear problems of Ap and A ". Book of abstracts. — Linköpings Universitet, Linköping, Sweden. — 8-15 August 2009.

6. Глушко A.B. Асимптотики решений двух задач динамики экспоненциально стратифицированной жидкости / A.B. Глушко, E.H. Свиридова // Вестник РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. — 2010. — №2. — С.10-14.

7. Свиридова E.H. Асимптотика при / ->оо решения задачи о малых колебаниях стратифицированной жидкости во вращающейся системе координат / E.H. Свиридова // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2010. — №1.— С. 169-174.

Работы [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ.

Подп. в печ. 28.09.2010. Формат 60x84/16. Усл. леч. л. 0,87. Тираж 80 экз. Заказ 1239.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. 204-133

Введение.

Краткое содержание работы.

Глава 1. Существование решения "модели Свешникова".

1.1 Выражение компонент решения задачи (3), (4).

1.2 Оценки норм компонент решения задачи (3), (4).

1.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (3), (4).

Глава 2. Асимптотические представления компонент решения "модели Свешникова".

2.1 Асимптотика компоненты решения У3 (х,/) задачи (3), (4) при ^ —» +оо.

2.2 Асимптотика компоненты решения Ух задачи (3), (4) при t —> +оо.

2.3 Асимптотика компоненты решения К2 (х,/1) задачи (3), (4) при ^ —» +оо.

2.4 Асимптотика компоненты решения задачи (3), (4) при / —» +со.

2.5 Асимптотика компоненты решения задачи (3), (4) при Г +со.

Глава 3. Существование решения "обобщенной модели"

3.1 Выражение компонент решения задачи (8), (9).

3.2 Оценки норм компонент решения задачи (8), (9).

3.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (8), (9).

Глава 4. Асимптотические представления компонент решения "обобщенной модели".

4.1 Асимптотика компоненты решения У3 (х,/) задачи (8), (9) при / -> +оо.

4.2 Асимптотика компоненты решения (х,?) задачи (8), (9) при ? —> +оо.

4.3 Асимптотика компоненты решения К, (х,/) задачи (8), (9) при ^ -» +оо.

4.4 Асимптотика компоненты решения —(х,г) задачи (8), (9) при / -> +оо.

4.5 Асимптотика компоненты решения задачи (8), (9) при Г -» +со.

Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при t->+ со решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.

Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. JL Соболева, например, [1], [2] и др. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Исследования Соболева были продолжены в работах Т. И. Зеленяка, В. Н. Масленниковой, М. Е. Боговского, Г. В. Деми-денко, С. В. Успенского, А. В. Глушко, В. П. Маслова, С.Я. Секерж-Зенковича, С. А. Габова, А. Г. Свешникова, А. Г. Костюченко, А. И. Кожано-ва, см. например, работы [3]—[14]. В работах этих авторов исследовалась асимптотика при t —» +со решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.

В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. А. Г. Свешниковым и С. А. Габовым были рассмотрены вопросы о глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений, возникающих в стратифицированных жидкостях и стратифицированных вращающихся жидкостях (см. [15], [16]). Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова, а именно Ю.Д. Плетнером, М. О. Корпусовым, С. Т. Симаковым, П. А. Крутицким, J1. В. Перовой (см. [17]-[27]). В монографии А. В. Глушко [29] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вращающиеся вязкие сжимаемые жидкости. Поведение при t —» оо решений различных задач, описывающих колебания жидкостей, как вязких, так и невязких, изучалось в работах М. Е. Schonbek, Е. Feireisl, Th. Gallay, С. Е. Wayne, Т. Miyakawa, L. Brandolese, С. M. Dafermos, Chen, Gui-Qiang и др. (см. [30]-[73]).

Иной подход к исследованию решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, у истоков которого стояли труды С. Г. Крейна, М. И. Вишика, изложен в работах В. Г. Звягина, А. Yagi, А. Раут!, Н. А. Сидорова, С. Г. Пяткова, И. В. Мельниковой, Г. А. Свиридю-ка, В. Е. Федорова (см., например, [74]-[84]). Этот подход предполагает изучение дифференциально-операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам.

Цель работы. Построить явные формулы представления решений начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей. Изучить, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия. Получить асимптотические при / —» +оо представления компонент решений таких задач.

Методы- исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, различные методы получения асимптотических оценок, в частности, метод стационарной фазы, интегральные преобразования, оценки в шкалах пространств С.Л. Соболева с весом.

Научная новизна. В работе доказаны теоремы о существовании решений начальных и начально-краевых задач для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания стратифицированных жидкостей, построены явные формулы представления решений таких задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия, получены асимптотические при г +оо представления решений таких задач.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при t —» +оо решений задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.

Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах:

• международной молодежной научной конференции "XXXIII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ" (3-7 апреля 2007 года, Москва);

• летних математических курсах "Partial Differential Equations", проводимых международной математической школой Scuola Matematica Interuniversitaria (15—27 июля 2007 года, Кортона, Италия);

• научных семинарах под руководством д.ф.-м.н. А. В. Глушко (Воронеж, 2008-2009-2010 гг.);

• Первой весенней международной математической школе "Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations" (30 марта - 3 апреля

2009 года, Берлин, Германия);

• международной научной математической конференции "Nonlinear problems for Ар and А" (10-14 августа 2009 года, Линчепинг, Швеция);

• Всероссийской научно-практической конференции "Инновации в авиационных комплексах и системах военного назначения" (26 ноября 2009 года, ВАИУ, Воронеж);

• Второй весенней международной математической школе "Analytical and Numerical Aspects of Evolution Equations" (27 марта - 2 апреля

2010 года, Берлин, Германия);

• научной сессии ВГУ (апрель 2010 года, Воронеж);

• международной научной математической конференции "Dynamical Systems and Partial Differential Equations" (30 марта - 4 июня 2010 года, Барселона, Испания).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [85]-[91]. Из совместных работ [86], [90] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 127 страниц. Библиография содержит 110 наименований работ российских и зарубежных авторов.

Основные результаты диссертации.

1. Построены формулы представления решений двух задач, при различных предположениях описывающих малые колебания невязкой экспоненциально стратифицированной вращающейся жидкости.

2. Получены оценки компонент решений в шкале пространств С.Л. Соболева с весом.

3. Доказано выполнение начальных и граничных условий.

4. Построены нулевые и первые члены точных асимптотических разложений при ^ —> +оо компонент решений исследованных задач.

Все установленные в диссертации результаты являются новыми. Сравнение результатов изучения стабилизации решений двух моделей показало, что учет переменной плотности в уравнении неразрывности привел к существенным изменениям в скорости стабилизации, в частности к изменению порядка асимптотик компонент К,(я,/), -^-(х,^), -^-(х,?). Это дх2 свидетельствует о существенном различии моделей.

Сами результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при / —> +со решений задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны при изучении многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, например, коллапса интрузий в жидкостях, решения экологических задач (исследования поведения разливов нефти в океане) и в других случаях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Соболев С. Л. Об одной задаче математической физики // Изв. Акад. наук. Серия: Математика, 1954. — Т. 18. — № 1. — С. 3-50.

2. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Прикладная механика и техническая физика, 1960.3. —С. 20-55.

3. Зеленяк Т. И. О поведении на бесконечности решений одной смешанной задачи // Дифференц. уравн., 1969. — Т. 5. — № 9. — С. 1676-1689.

4. Зеленяк Т. И., Капитонов Б. В., Сказка В. В., Фокин М. В. О проблеме С. Л. Соболева в теории малых колебаний вращающейся жидкости // Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1983. — № 471. — 20 с.

5. Масленикова В. Н. Оценка в Ьр и асимптотика при / —> оо решения задачи Коши для систем С. Л. Соболева // Тр. Ми. Акад. наук СССР, 1968.1. Т. 103. —С. 117-141.

6. Масленикова В. Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева // Сиб. мат. жур., 1968. -— Т. 9. — №5. —С. 1182-1198.

7. Маслов В. П. О существовании убывающего при >+со решения уравнения С. Л. Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области // Сибирский математический журнал, 1968. — Т. 9. —№6. —С. 1351-1359.

8. Глушко А. В., Рыбаков С. О. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал, 1992. — Т. 33. — № 1. — С. 32-43.

9. Глушко А. В., Рыбаков С. О. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнений динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал, 1992. — Т. 33. — № 4. — С. 43-58.

10. Демиденко Г. В. Оценки при t —> +со решения одной задачи С. JI. Соболева // Сибирский математический журнал, 1984. — Т. 25. — № 2. — С. 112-120.

11. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об одном классе краевых задач для системы Соболева. // Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989.1. С. 54-78.

12. Секерж-Зенькович С. Я. К теории установившихся волн конечной амплитуды, вызванных давлением, периодически распределенным по поверхности потока тяжелой жидкости конечной глубины // ДАН СССР, 1968. —Т. 180.— №2. —С. 304-307.

13. Секерж-Зенькович С. Я. Об установившихся волнах конечной амплитуды, вызванных давлением, периодически распределенным по поверхности потока тяжелой жидкости бесконечной глубины // ДАН СССР, 1968.

14. Т. 180. — №3. —С. 560-563.

15. Успенский С. В., Васильева Е. Н. О поведении на бесконечности решения одной задачи гидродинамики // Труды МИАН СССР, 1990. — Т. 192. —С. 221-230.

16. Габов С. А., Малышева Г. Ю. О задаче Коши для одного класса движений вязкой стратифицированной жидкости // Журн. выч. матем. и мат. физ, 1984. —Т. 24. —№3. —С. 467-471.

17. Габов С. А., Малышева Г. Ю., Свешников А. Г. Об одном уравнении составного типа, связанном с колебаниями сжимаемой стратифицированной жидкости // Дифференциальные уравнения, 1983. — Т. 19. —№7. — С. 1171-1180.

18. Симаков С. Т. К вопросу о малых колебаниях в стратифицированной жидкости // ПММ, 1989. — Т. 23. — № 1. — С. 66-74.

19. Достовалова А. С., Симаков С. Т. Фундаментальное решение модельного уравнения несжимаемой стратифицированной жидкости // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 1994. — Т. 34. — № 10. — С. 1528-1534.

20. Плетнер Ю. Д. Структурные свойства решений уравнения гравитационно-гироскопических волн и явное решение одной задачи динамики стратифицированной вращающейся жидкости // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 1990. —Т. 30.— № 10. —С. 1513-1525.

21. Плетнер Ю. Д. О свойствах решений уравнений, аналогичных двумерному уравнению Соболева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1991. — Т. 31.— № 10. —С. 1512-1525.

22. Плетнер Ю. Д. О свойствах решений некоторых уравнений в частных производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. — Т. 32. — № 6. — С. 890-903.

23. Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997. — Т. 37. — № 9. — С. 1112-1121.

24. Крутицкий П. А. Первая начально-краевая задача для уравнения гравитационно-гироскопических волн в многосвязной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997. — Т. 37. — № 1. — С. 117-128.

25. Алынин А. Б., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Однозначная разрешимость задачи Дирихле для уравнения ионно-звуковых волн в плазме // ДАН, 1998. — Т. 361. — № 6. — С. 749-751.

26. Алыиин А. Б., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. Разрешимость одной внешней начально-краевой задачи для уравнения ионно-звуковых волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. — Т. 36. — № 10. — С. 180-189.

27. Свешников А. Г., Корпусов М.О., Перова Л. В., Плетнер Ю. Д. Асимптотика при больших временах начально-краевой задачи для двумерного уравнения Соболева // Диф. уравн., 1999. — Т. 35. — № 10. — С. 1—5.

28. Перова Л. В., Плетнер Ю. Д., Свешников А. Г. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской бегущей по дну волной // Журн. выч. матем. и мат. физ., 2000. — Т. 40. — № 1. —С. 136-143.

29. Глушко А. В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости // Доклады РАН, 1999. — Т. 365. — № 1 — С. 26-30.

30. Глушко А. В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики // Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. — 300 С.

31. Schonbek M. Е. Is decay for weak solutions of the Navier-Stokes equations. Arch. Rational Mech. Anal., 88(3): 209-222, 1985.

32. Schonbek M. E. Lower bounds of rates of decay for solutions to the Navier-Stokes equations, J.A.M.S. 4, 423^49, 1991.

33. Schonbek M. E. Large time behaviour of solutions to the Navier-Stokes equations in Hm spaces. Comm. Partial Differential Equations, 20(1-2): 103-117, 1995.

34. Schonbek M. E., Schonbek T. P., Suli, E. Large-time behavior of solutions to the Magneto-Hydrodynamic equations Mathematische Annalen, 304, no.4, 717-756, 1996.

35. Schonbek M.E., Wiegner M. On the decay of higher-order norms of the solutions of Navier-Stokes equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 126(3): 677-685, 1996.

36. Schonbek M. E., Schonbek T. P. On the boundedness and decay of moments of solutions to the Navier-Stokes equations. Adv. Differential Equations, 5(7-9): 861-898, 2000.

37. Schonbek M. E., Schonbek T. P. Moments and lower bounds in the far-field of solutions to quasi-geostrophic flows. Discrete Contin. Dyn. Syst., 13(5): 1277-1304, 2005.

38. Temam R. Navier-Stokes equations. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2001. Theory and numerical analysis.

39. Carpio A. Large-time behavior in incompressible Navier-Stokes equations. SIAM J. Math. Anal. 27, 449-475, 1996.

40. Kajikiya R., Miyakawa T. On Z2 decay of weak solutions of the Navier-Stokes equations in R". Math. Z. 192, 135-148, 1986.

41. Miyakawa T. Application of Hardy space techniques to the time-decay problem for incompressible Navier-Stokes flows in R". Funkcial. Ekvac. 41, 383434, 1998.

42. Miyakawa T. On space time decay properties of nonstationary incompressible Navier-Stokes flows in R". Funkcial. Ekvac. 32, 541-557, 2000.

43. Miyakawa T. and Schonbek M.E. On Optimal Decay Rates for Weak Solutions to the Navier-Stokes Equations. Mathematica Bohémica 126, 443-455, 2001.

44. Fujigaki Y., Miyakawa T. Asymptotic profiles of non stationary incompressible Navier-Stokes flows in R". SIAM J. Math. Anal. 33, 523-544, 2001.

45. Miyakawa T. Notes on space-time decay properties of nonstationnary incompressible Navier-Stokes flows in R". Funkcial. Ekvac. 45, 271-289, 2002.

46. Miyakawa T. On upper and lower bounds of rates of decay for nonstationary Navier-Stokes flows in the whole space. Hiroshima Math. J. 32, 431-462, 2002.

47. Fujigaki Y., Miyakawa T. On solutions with fast decay of nonstationary Navier-Stokes equations in the Half space. Preprint, Kobe university, Japan, 2002.

48. Brandolese L. Asymptotic behavior of the energy and pointwise estimates for solutions to the Navier-Stokes equations, Rev. Mat. Iberoamericana 20, 223-256, 2004.

49. Brandolese L. Space-time decay of Navier-Stokes flows invariant under rotations, Math. Ann. 329, 685-706, 2004.

50. Brandolese L., Vigneron F. New asymptotic profiles of nonstationary solutions of the Navier-Stokes system, J. Math. Pures Appl. 88, 64-86, 2007.

51. Brandolese L. Fine properties of self-similar solutions of the Navier-Stokes equations, Arch. Rational Mech. Anal., 192, 375-401, 2009.

52. He C., Xin Z. On the decay properties of Solutions to the nonstationary Navier-Stokes Equations inR3. Proc. Roy. Edinburgh Soc. Sect. A 131, 597619, 2001.

53. Gallay Th., Wayne C. E. Long-time asymptotics of the Navier-Stokes and vorticity equations on R3. Phil. Trans. Roy. Soc. London 360, 2155-2188, 2002.

54. Gallay Th., Wayne C. E. Invariant manifolds and the long-time asymptotics of the Navier-Stokes and vorticity equations on R2. Arch. Ration. Mech. Anal. 163, 209-258, 2002.

55. Gallay Th., Wayne C. E. Global stability of vortex solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equation. Comm. Math. Phys. 255, 97-129, 2005.

56. Gallay Th., Wayne C. E. Existence and stability of asymmetric Burgers vortices. J. Math. Fluid Mech. 9, 243-261, 2007.

57. Yanagisawa T. Asymptotic behavior of solutions to the viscous Burgers equation, Osaka J. Math. 44 (1), 99-119, 2007.

58. Feireisl E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids. Oxford: Oxford University Press, 2003.

59. Feireisl E. On the motion of a viscous, compressible, and heat conducting fluid. Indiana Univ. Math. J. 53, 1707-1740, 2004.

60. Vazquez J. L. Asymptotic behavior for the porous medium equation posed in the whole space, J. Evol. Equ. 3 (1), 67-118, 2003.

61. Reyes G., Vazquez J. L. The inhomogeneous PME in several space dimensions. Existence and uniqueness of finite energy solutions, Preprint, 2008.

62. Chen, Gui-Qiang and H. Frid. Asymptotic Stability and Decay of Solutions of Conservation Laws. Lecture Notes, Northwestern U., 1996.

63. Chen, Gui-Qiang and H. Frid. Asymptotic Stability or Riemann waves for conservation laws. ZAMP No. 48, 1997, 30-44.

64. Chen, Gui-Qiang and H. Frid. Large time behavior of entropy solutions of conservation laws. J. Diff. Eqs. No.152, 1999, 308-357.

65. Chen, Gui-Qiang and H. Frid. Uniqueness and asymptotic stability of Riemann solutions for the compressible Euler equations. Trans. AMS No.353, 2001, 1103-1117.

66. Chen, Gui-Qiang, Frid H. and Yachun Li. Uniqueness and stability of Riemann solutions with large oscillations in gas dynamics. Comm. Math. Phys. No.228, 2002, 201-217.

67. Chen, Gui-Qiang and Dehua Wang. The Cauchy problem for the Euler equations for compressible fluids. Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Vol. I, pp. 421-543, ed. S. Friendlander and D. Serre. Amsterdam: North Holland 2002.

68. Dafermos С. M. Large time behavior of solutions of hyperbolic systems of conservation laws with periodic initial data. J. Diff. Eqs. No.121, 1995, 183202.

69. Dafermos С. M. Stability for systems of conservation laws in several space dimensions. SIAM J. Math. Anal. No.26, 1995, 1403-1414.

70. Goatin P., Gosse L. Decay of positive waves for n x n hyperbolic systems of balance laws. Proc. AMS No.132,2004, 1627-1637.

71. Hattori, Harumi. The existence and large time behavior of solutions to a system related to a phase transition problem. SIAM J. Math. Anal. No.34, 2003, 774-804.

72. Liu, Hailiang, Natalini R, Long time diffusive behavior of solutions to a hyperbolic relaxation system. Asymptot. Anal. No.25, 2001, 21-38.

73. Asakura F. Asymptotic stability of solutions with a single strong shock wave for hyperbolic systems of conservation laws. Japan J. Indust. Appl. Math., -No.ll, 1994, 225-244.

74. Alber H. D. Global existence and large time behavior of solutions for the equations of no isentropic gas dynamics to initial values with unbounded support/Preprint No.15, Sonderforschungsbereich 256, Bonn, 1988.

75. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве — М.: Наука, 1967.

76. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике — М.: Наука, 1989. — 416С.

77. Свиридюк Г. А. Об одной- модели динамики несжимаемой вязкоупру-гой жидкости // Изв. вузов. Математика, 1988. — № 1. — С. 74-79.

78. Свиридюк Г. А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупругой-жидкости // Изв. вузов. Математика, 1988. — № 1. — С. 62-70.

79. Свиридюк Г. А., Вакарина О. В. Задача Коши для линейных урвнений типа Соболева высокого порядка // Дифференц. уравн., 1995. — Т. 31. — № 11. —С. 1912-1919.

80. Федоров В. Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. Уравнения, 2001. — Т. 37. — № 12. — С. 1646-1649.

81. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach * Spaces. New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker Inc., 1999.

82. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston: VSP, 2003.

83. Yagi A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators //Osaka J. Math. 1991. V. 28. P. 385^110.

84. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations //Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXIII. P. 353-384.

85. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6., № 1. P. 2542.

86. Глушко А. В., Свиридова Е. Н. Оценка поведения при / -> оо решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. // Труды математического факультета ВГУ, 2007, — № 11. — С.35-48.

87. Свиридова Е. Н. Асимптотика при t -» оо компонент решения задачи о малых колебаниях вращающейся стратифицированной жидкости в полупространстве. Часть 1. // Вест. ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2009. — №1. — С.150 -158.

88. Глушко А. В., Свиридова E. H. Асимптотики решений двух задач динамики экспоненциально стратифицированной жидкости // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. — 2010. — №2. — С.10-14.

89. Свиридова Е.Н. Асимптотика при t —> оо решения задачи о малых колебаниях стратифицированной жидкости во вращающейся системе координат // Вестник ВГУ. Сер. Физика. Математика. — 2010. — №1— С. 169 -174.

90. Глушко А. В., Щербатых В. Е. Асимптотика при t оо решения задачи типа Неймана для системы уравнений движения вращающейся жидкости.

91. Воронеж: Воронежский государственный университет, 1984. — 60 с.

92. Глушко А. В., Карев А. Н. О существовании, единственности и асимптотике по времени решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 1984. — 60 с.

93. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. — М.: Наука, 1990. — 344 с.

94. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи'динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.

95. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. — Новосибирск: Научная книга. 1998. —437 с.

96. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. — Новосибирск: Наука, 1984. — 224 с.

97. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной — Новосибирск: Научная книга, 1998. —436 с.

98. Успенский С. В., Васильева Е. Н. Теоремы вложения для Соболевских функциональных пространств. Приложения к дифференциальным уравнениям — М.: МГУП, 2006. — 118 с.

99. Фадеев Д. К., Вулих Б. 3., Уральцева Н. Н. Избранные главы анализа и высшей алгебры — JI: изд-во. Ленингр. ун-та, 1981. — 199 с.

100. Олейник O.A. Лекции об,уравнениях с частными производными — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. — 260 с.

101. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа — М.: Дрофа, 2003. — 840 с.

102. Бреховских Л. М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред1. М.: Наука, 1982. — 335 с.

103. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики.

104. М. Физматлит, 2000. — 398 с.

105. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1985. —450 с.

106. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.— 368 с.

107. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа — М.: МФТИ, 1997. — 716 с.

108. Соболев С. J1. Уравнения математической физики — М.: Наука, 1966. — 443 с.

109. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции — М.: Наука, 1990. — 528 с.

110. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах — М.: Наука, 1984. — 752 с.