Исследование стоячих поверхностных волн в жидкости конечной глубины с применением компьютерной алгебры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

--, г

на правах рукописи ШИНГАРЁВА ИННА КОНСТАНТИНОВНА

Исследование стоячих поверхностных волн в жидкости конечной глубины с применением компьютерной алгебры

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы *

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва —1995 год

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор, С. Я. Секерж-Зенькс кандидат технических наук, доцент, И. И. Карпов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л. Д. Акуленко кандидат физико-математических наук А. В. Марченко

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Зашита состоится "_ Л_" UffiH.S. 1995 г. в 4 _ на заседании

Специализированного совета Д 002.87.01

при Институте проблем механики РАИ

по адресу: 117526, Москва, пр. Вернадского, 101, И II M l'Ail.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан "__" Ju G. _1995 r.

Учёный секретарь

Специализированного совета Д 002.87.01 при ИПМ РАН кандидат физико-математических наук

А. И. Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Настоящая работа посвящена теоретическому исследованию нелинейных стоячих двумерных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Рассматриваются свободные волны и параметрически возбуждаемые волны.

Исследование нелинейных стоячих гравитационных волн представляет собой более сложную задачу, чем исследование стационарных прогрессивных волн. До сих пор не проведено строгого математического доказательства существования решения даже простейших задач о нелинейных стоячих волнах. Интерес же к исследованию классических задач о свободных волновых движениях с каждым годом все нарастает. Так, уже получены приближенные решения в виде разложений в ряд по малому параметру для ряда задач о свободных стоячих волнах, например, о дву- и трехмерных волнах в жидкости конечной и бесконечной глубины; о составных волнах, в которых возможно существование волн двух (или более) мод с различными собственными частотами; о внутренних волнах на границах раздела двухслойной или стратифицированной жидкости. Решены задачи о параметрическом возбуждении волн в жидкости бесконечной и конечной глубины в случае, когда возбуждается одна мода, частота которой близка к половине частоты параметрического возбуждения; а также задача о возбуждении составных двухмодовых волн как в случае, когда частоты обеих мод близки к половине частоты параметрического возбуждения, так и в некоторых случаях кратных резонансов (например, одна из частот близка к половине, а другая—к 1/4 частоты параметрического возбуждения).

Для исследования первого объекта настоящей работы мы обращаемся к одной из фундаментальных задач о стоячих волнах — задаче о двумерном свободном волновом движении идеальной несжимаемой жидкости, заключенной в сосуд конечной глубины с точки зрения влияния конечности глубины на характер волновых движений.

Как известно, зависимость частоты пологих нелинейных стоячих волн от амплитуды записывается в виде ряда по четным степеням амплитуды

и=и>о + ф1(х)С* + ф2{х)С*+---, где и>о — частота линейной волны, С — амплитуда волны, х —

глубина жидкости, ••• — полиномы, зависящие от

глубины жидкости и являющиеся первой, второй и т.д. поправками к частоте нелинейной волны. В рамках ранее построенной теории была определена лишь первая нелинейная поправка к частоте и обнаружено, что частота увеличивается с ростом амплитуды для глубин, меньших некоторого значения (когда 0i(x) < 0), и уменьшается—для больших глубин, когда ф\(х) > 0. Оставался открытым вопрос, что будет происходить при глубинах жидкости, равных или близких к той, при которой

*i(x) = o.

Такую глубину будем называть критической. Заметим, что при критической глубине

^ = 0 „„» с1 = о

Чтобы ответить на этот вопрос необходимо определить Ф2(х)> т-е-вычислить более высокие приближения по малому параметру.

Другим объектом исследования является параметрически возбуждаемые стоячие волны. Как известно, к параметрическим относятся колебания, возбуждение которых происходит вследствие изменения во времени (а возможно и в пространстве) параметров колебательной системы. Такие колебания (или волны) изучались многими исследователями для механических и электрических систем с конечным числом степеней свободы, а также для распределенных систем, изучаемых в нелинейной оптике и акустике. В меньшей степени это явление исследовалось в гидродинамике.

Исследование параметрического возбуждения волн актуально для технических приложений: для задач транспортировки жидкостей, добычи нефти на шельфе, создании антивибрационных и антисейсмических установок, так называемых настраиваемых жидкостных гасителей колебаний (tuned liqued damper). Кроме того, параметрический способ возбуждения волн имеет некоторые преимущества по сравнению с другими в плане легкости и простоты сопоставления теории с результатами лабораторного моделирования.

Особый интерес представляет случай, когда при возбуждении поверхностных волн в однородной жидкости резонансная кривая (зависимость амплитуды волн от частоты возбуждения) может менять свой

наклон на противоположный при изменении глубины жидкости. Интересно знать: что будет происходить при глубинах жидкости, близких к критической, т.е. той, при которой и происходит это изменение наклона резонансной кривой. В рамках ранее построенной теории ответить на этот вопрос невозможно, так как первая нелинейная поправка к частоте обращается в нуль и амплитуда волн стремится к бесконечности, вследствие чего необходимо вычислять более высокие приближения по малому параметру. Этот случай представляет особый интерес, т.к. при этом, по-видимому, должны возбуждаться наиболее сильные волны.

Целью диссертационной работы является аналитическое и численное исследование влияния конечности глубины на характеристики волновых движений при свободном движении жидкости и при параметрическом возбуждении волн в жидкости, заключенной в вертикально колеблющийся сосуд.

При этом определяется зависимость частоты свободных стоячих поверхностных волн от амплитуды в жидкости конечной (в том числе и критической) глубины, изучаются свойства полученной зависимости; определяются режимы параметрического возбуждения волн, находится зависимость амплитуды возбуждаемых волн от частоты для глубин жидкости, близких к критической. Изучаются также профили волн; проводится сравнение полученных результатов с данными лабораторных экспериментов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты: 93-013-17594, 94-01 -00793-а)

Методы исследования В основу исследования положены уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, записанные в переменных Лагранжа. Для построения аналитических решений задач применялись асимптотические методы теории нелинейных волн, подобные методу Крылова—Боголюбова. В каждой задаче оыло построено пять приближений по малому параметру, выбор которого определялся из следующих соображений. В задаче о свободных :тоячих волнах малый параметр е вводился исходя из предположения, 4то крутизна волн есть величина порядка е. В задаче о параметри-*ески возбуждаемых стоячих волнах малый параметр вводится так,

чтобы эффекты нелинейности и параметрического возбуждения имели одинаковый порядок. Для этого рассматривается соотношение между крутизной волн и перегрузкой: крутизна волн есть величина порядка е1!л, а отношение амплитуды ускорения сосуда к ускорению силы тяжести (перегрузка) есть величина порядка е, то есть sQ.2/д = с. Аналитические выкладки проводились на компьютере с помощью специально разработанных процедур, написанных на языке системы символьных вычислений Maple. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающие изменение во времени амплитуд и фаз главных гармоник волн анализировались методами качественной теории дифференциальных уравнений и с использованием системы символьных вычислений Maple, пакета программ Phaser; а также численно.

При построении численного решения указанных задач применяется процедура, подобная методу граничных элементов, согласно которой нахождение частного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений и граничных условий сводится к решению системы нелинейных трансцендентных уравнений, которая затем решается численно (метод Ньютона).

Научная новизна данной работы состоит в том, что получены асимптотические представления решений нелинейных задач о свободных стоячих поверхностных волнах для широкого диапазона глубин жидкости и о параметрическом возбуждении поверхностных волн в жидкости при глубинах сосуда, близких к критической; на основе метода граничных элементов разработана численно-аналитическая процедура построения численного решения краевых задач о стоячих нелинейных волнах (свободных и параметрически возбуждаемых). Проведено сравнение решений, полученных различными методами и объяснены случаи несовпадения этих решений.

Практическое значение. Полученные в работе результаты могут иметь технические приложения. Это относится к проблемам добычи нефти на океанском шельфе и ее транспортировки в танках; а также, к проблемам транспортировки жидкостей; процессам, возникающим при колебаниях резервуаров (нагрузки при землетрясениях, настраиваемые жидкостные гасители колебаний). Кроме того, исследовавшиеся

в работе гидродинамические системы могут моделировать нелинейные волновые процессы в плазме.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается корректностью математических постановок задач; соответствием полученных результатов экспериментальным; а также соответствием аналитических (в предельных случаях) и численных расчетов результатам, полученным другими авторами.

Апробация работы. Изложенные в работе материалы докладывались в Институте механики МГУ на семинаре под руководством член-корреспондента РАН А.Г. Куликовского и профессора A.A. Бармина; на семинаре кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством академика Д.Е. Охоцимского и профессора Ю.Ф. Голубева; в Институте проблем механики РАН на семинаре лаборатории волновых процессов в жидкости; на международной конференции "New Computer Technologies in Control Systems".

Публикации. Материалы диссертации изложены в работах [1-8].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений, изложена на |3>С страницах, содержит 37 рисунков, 5 таблиц. В конце работы приведен список использованной литературы из 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается исторический обзор и анализ современного состояния работ, посвященных изучаемым в диссертации проблемам, формулируются цели исследования и основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе 1 исследуется задача о свободных нелинейных одномодо-вых плоских стоячих волнах в жидкости, находящейся в прямоугольном сосуде с жесткими стенками. В четырех параграфах этой главы записанные в переменных Лагранжа уравнения и граничные условия, описывающие движение жидкости, исследуются с помощью асимптотических методов нелинейной волновой механики, аналогичных методу Крылова—Боголюбова теории колебаний.

Выводится и исследуется зависимость частоты волн от амплитуды для широкого диапазона глубин жидкости. Найденная зависимость сравнивается с зависимостями, полученными другими авторами численно, а также аналитически в случае глубин, далеких от критической. Одновременно строятся и анализируются приближенные решения, описывающие профили волн и движение жидких частиц.

§1.1 посвящен постановке задачи, а также выбору малого параметра и начального приближения, что определяет характер исследуемых волн. Рассматривается двумерное движение идеальной несжимаемой жидкости, помещенной в прямоугольный сосуд с жесткими непроницаемыми стенками. Плотность жидкости равна р, глубина жидкости h.

Вводится декартова система координат, ось ОХ которой направлена вдоль плоской (в невозмущенном состоянии) свободной поверхности жидкости, а ось OY — вертикально вверх в плоскости движения вдоль левой стенки сосуда. Координаты индивидуальной частицы жидкости в этой декартовой системе обозначаются через х, у. Для задания этих индивидуальных частиц и времени вводятся переменные Лагранжа a, b, t.

Рассматриваются волны хотя и конечной амплитуды, но мало отличающиеся от линейных. При этом вводится малый параметр е и считается, что крутизна волн есть величина порядка е.

Исходя из этих соображений, вводятся новые безразмерные независимые переменные а, 0 и новые безразмерные функции т], <т по формулам

а = ах, 0 — 6и, х=а+е£х-1, у = Ь + ет]х~1,

Р= ~9РУ+ £fMo<T*~2< гДе шо = А = thx, X = hx,

где х—волновое число (х = пп/1), п—номер волновой моды или число узлов в волне, I—длина сосуда.

В результате уравнения Лагранжа, неразрывности и граничные условия приводятся к удобной для применения асимптотических методов механики форме. Их решения ищутся в виде рядов по степеням е, главный член которых соответствует одномодовой стоячей волне. Например, для т] имеем

г/ = -г-— sh(/3 + x)cosa cos Ф + er]2 + £2m + £3щ + e4rj5 + • • •,

причем, как и обычно при применении метода усреднения, считается, что функции гц(а,/3,С, Ф) периодичны по угловым переменным Ф с периодом 27г; амплитуда С = const, а полная фаза главной гармоники изменяется с течением времени согласно уравнению

¿Ф d9

— = „ = «0 + -^-,

где

= eBi (С) + £2В2(С) + е3В3(С) + е*В4(С) + ■■■.

Здесь и — искомая частота нелинейной волны, которая считается близкой к частоте линейной волны ыо, а функции В ¡{С) периодичны по Ф с периодом 2тг и подлежат определению, как и функции тц. Аналогичные соотношения записываются также для и <Т{.

Подобный выбор главных членов разложения т), £, <т по степеням е (первого приближения) и "медленной" фазы 9 означает, что рассматривается задача о движении одномодовой стоячей волны.

В §1.2 вычисляются неизвестные функции второго {В\, т)7, ^2), третьего (В2, 7з, ^з, сз), четвертого (Вз, щ, £4, <г4) и пятого (В4, 775, £5, сг5) приближений. Для этого соответствующие асимптотические разложения подставляются в уравнения движения и граничные условия для тот, чтобы выделить при этом члены одинакового порядка по е. Выделенные и каждом порядке члены даюг линейные краевые задачи, из условий существования решений которых определяются функции /?,. При этом по втором приближении получается, что В\ = 0, и, следовательно, необходимо вычислять функции третьего приближения 1з, Ь, а'л- В четвертом приближении получается, что Вз = 0, и, следовательно, необходимо вычислять функции пятого приближения. При вычислении этих функций в асимптотических разложениях удерживаются лишь те члены, которые нужны для определения £4, а щ, £5, (Т5 в отличие от четвертого приближения полностью не вычисляются. В конце §1.2 приведены соотношения, описывающие состояние и движение жидких частиц.

В §1.3 анализируется полученная таким образом искомая зависимость частоты и> = ¿Ф/Л нелинейной стоячей волны от амплитуды еС (обезразмеренной на волновое число х)

- = 1 -е7С2ф1(х)-е4С'фЛх) и>о

Здесь 01 (х), ф2(х)—вычисленные в §1.2 коэффициенты, зависящие от глубины жидкости х

Фз{х) = (361Ь16 х - 641Ь14 Х - 883 X + 691О»10 Х~

- 16111118х+ 6138Л6 х -40771Ь4х+ 13231Ь2-81).

Исследуемая зависимость справедлива в широком диапазоне глубин жидкости от /»т,п до Л = оо. Этот диапазон содержит и глубину, при которой ф\(х) обращается в нуль — критическую. Анализ исследуемой зависимости показывает, что при глубинах жидкости, близких к критической зависимость частоты и от С С аппроксимируется многочленом четвертой степени и, в частности, может быть и немонотонной. При глубинах жидкости, далеких от критической, рассматриваемая зависимость аппроксимируется многочленом второй степени по еС и является монотонной. Если <Д1(х) > 0 (что имеет место и при Л = оо), то частота волн монотонно убывает с увеличением их амплитуды. Если ф\{х) < 0, то частота волн монотонно возрастает с ростом амплитуды. Найденная зависимость сравнивается с зависимостями, полученными другими авторами численно, а также аналитически в случае глубин, далеких от критической.

В §1.4 анализируются также полученные в §1.3 выражения, описывающие движение жидкости. Показывается, что нелинейные стоячие волны в жидкости конечной глубины обладают следующими свойствами: движение жидкости потенциально; узлы перемещаются; пучности неподвижны; свободная поверхность ни в какой момент времени не распрямляется; ее форма в случае бесконечных глубин близка к синусоидальной.

В главе 2 исследуется задача о параметрическом возбуждении од-номодовой плоской стоячей волны в жидкости конечной глубины при вертикальных колебаниях прямоугольного сосуда, в котором находится жидкость. В пяти параграфах этой главы записанные в переменных Лагранжа уравнения и граничные условия, описывающие движение жидкости, исследуются с помощью асимптотических методов нелиней-

ной волновой механики, аналогичных методу Крылова—Боголюбова теория колебаний.

Выводится система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение во времени амплитуды и фазы определенного класса волн (одномодовых волн с частотой, близкой к половине частоты параметрического возбуждения), которая затем анализируется с целью определения различных режимов возбуждения волн и построения резонансных кривых.

§2.1 посвящен постановке задачи, а также выбору малого параметра и начального приближения, что определяет характер исследуемых волн. Как и в §1.1 рассматривается плоское движение идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей вертикально колеблющийся прямоугольный сосуд с жесткими непроницаемыми стенками- Обозначения этого параграфа такие же как в §1.1. Сосуд колеблется по гармоническому закону с частотой П и амплитудой е.

Вводится декартова система координат, жестко связанная с колеблющимся сосудом, ось ОХ которой направлена вдоль плоской в невозмущенном состоянии поверхности жидкости в плоскости движения, а ось ОУ—вертикально вверх в плоскости движения вдоль левой стенки сосуда. Координаты индивидуальной частицы жидкости в этой декартовой системе обозначаются также как в §1.1 через х, у. Для задания этих инлипидуальных частиц и времени вводятся переменные Лагранжа а, А, I. За основное состояние жидкости принимается ее поступательное движение вместе с сосудом, при котором

где р—давление в жидкости.

Также рассматриваются волны хотя и конечной амплитуды, но мало отличающиеся от линейных. Малый параметр е, в отличие от §1.1, вводится следующим образом. Считается, что крутизна волн есть величина порядка е!<'4, а отношение амплитуды ускорения сосуда к ускорению силы тяжести (перегрузка) есть величина порядка е, то есть яП2/? = е. Такое соотношение между крутизной волн и перегрузкой выбирается для того, чтобы эффекты нелинейности и параметрического возбуждения имели одинаковый порядок.

х = а, у = 6

Аналогично §1.1, вводятся безразмерные переменные а, р и безразмерные функции г), сг по формулам, в которых следует заменить значение малого параметра £ на е1/4, частоту линейной волны ио на собственную частоту при параметрическом возбуждении w, а также добавить в формулу, описывающую распределение давления в жидкости, еще одно слагаемое, характеризующее отклонение реального давления в жидкости от гидростатического.

В этих переменных уравнения Лаграижа, неразрывности и граничные условия приводятся к удобной для применения асимптотических методов механики форме. Их решения ищутся в виде рядов по степеням е1^4, главный член которых соответствует одномодовой стоячей волне. Например, для т) имеем

r¡ = —— sh(x + Р) cosacos Ф -f íj2 + еЦз + + £V¡ Н----

sh х

Как обычно при применении метода усреднения, считается, что функции íj2(a, /?, С, Ф), ij3(a, & С, Ф), r?4(a, /?, С, Ф), i»5(a, 0, С, Ф,Oí)... периодичны по угловым переменным Ф, Ш с периодом 2ir, амплитуда и полная фаза главной гармоники Ф изменяются с течением времени согласно уравнениям

~ = eÍAi(C, 0) + еЪА3(С, 0) + е<А3(С, 0) + £А4(С, ©) + ■•■,

dt ~ 2 + dt '

где

= А + е'В^С, 0) + £*В2(С, 0) + 0) + еВА{С, 6) + ■ • •.

Здесь Д = и — Í2/2, а функции .A¡(C,0) и В,(С, в) периодичны по в с периодом 2ir и подлежат определению, как и функции r¡2, щ, щ, щ. Аналогичные соотношения записываются также для fo, £з, • • • и а2, о"з, •• •

Подобный выбор главных членов разложения г/, а (первого приближения) по степеням е1/4 и "медленной" фазы 0 (так как считается, что Д мало, А = 0(е)) означает, что рассматривается

задача о возбуждении одномодовой стоячей волны вблизи главного параметрического резонанса 2ш яз Q.

В §2.2 аналогично тому, как это делается в §1.2, вычисляются неизвестные функции второго (A\,Bi, т]2,^2, ^2), • • •, пятого (А4, В а, 45,(5,05) приближений. При этом во втором приближении получается, что А\ = В\ = 0, и, следовательно, необходимо вычислять функции третьего приближения »73,^3, ""з. В четвертом приближении получается, что — Вз = 0, и, следовательно, необходимо вычислять функции пятого приближения. Как и в §1.2, при вычислении функций пятого приближения удерживаются лишь те члены, которые нужны для определения Л4, Д*, а т]ь, £5, 05 в отличие от четвертого приближения полностью не вычисляются.

В §2.3 анализируются полученные ранее (в §2.2) обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие зависимость С и Э от времени.

= Се~- sin 20 at 4

= Д - е Wi(x)C2 + ешф2(х)С4 + Cj cos20

Следует отметить, что в данной задаче рассматривается случай критической глубины, т.е.

*|(х)«0, Фх{х) = 0{£^).

При Ф\{х) = 0(1) уравнения, описывающие изменение амплитуды и фазы волны во времени, переходят в известные уравнения ранее построенной теории (в рамках трех приближений).

Влияние вязкости учитывается посредством добавления в эти уравнения полуэмпирических членов. Эти члены соответствуют уравнениям параметрического возбуждения стоячих волн в вязкой жидкости, полученным на основе решения задачи методами пограничного слоя в рамках линейной теории. Вид уравнений таков

~ = Ce-sm2Q-i'C at 4

~ = А-и ^-£*u<I>i(x)C2 + еыфг(х)СА + Sj cos2Q

Здесь ф\{х), 0г(х)—вычисленные в §2.2 коэффициенты, зависящие от глубины жидкости х, V — полуэмпирический коэффициент, описывающий вязкую диссипацию. При и = О данные уравнения являются гамильтоновыми.

Анализ уравнений для С и 0, проделанный посредством исследования их особых точек, показывает, что устойчивым особым точкам этих уравнений соответствуют устойчивые стационарные режимы возбуждения; что на оси П существует интервал (резонансная зона; ее положение определяется неравенством |Д| < ей/4), вне которого начальное волновое возмущение затухает. Внутри же резонансной зоны возможно существование периодических колебаний с частотой П/2 и конечной амплитудой.

В §2.4 исследуется характер зависимости амплитуды волн от частоты возбуждения при стационарном режиме возбуждения (резонансной кривой). Для значениий (х)> Фг{х)^ £> характерных для реальных гидродинамических систем, строится полная картина возможных взаиморасположений резонансных кривых, соответствующих одной моде. При этом оказывается, что резонансные кривые при глубине жидкости, близкой к критической, распадаются на две непересекающиеся ветви С^ и С+, имеющие разные знаки наклона и разные фазы.

При этом получается, что разные ветви резонансных кривых соответствуют разным типам особых точек уравнений для С и 0, причем исчезновение того или иного режима всегда происходит при слиянии устойчивой особой точки с соответствующей неустойчивой особой точкой. В результате этого могут происходить резкие изменения амплитуды волн при плавном изменении частоты, а также явления гистерезиса.

Для глубин жидкости, далеких от критической наблюдается исчезновение одной из ветвей резонансных кривых. Так, для глубокой

2<Ь(Х)

2ф2(х)

жидкости исчезает ветвь Ct, а ветвь С+ имеет отрицательный наклон. Для жидкости, глубина которой значительно меньше критической, исчезает ветвь С^, а ветвь Ct имеет положительный наклон.

В §2.5 для реальных характеристик данной гидродинамической системы строятся резонансные кривые (используя соотношения §2.4), которые затем сравниваются с соответствующими зависимостями, наблюдаемыми в эксперименте. Также описывается эксперимент, в результате которого подтверждается выявленное в асимптотической теории свойство, согласно которому разные ветви резонансной кривой соответствуют различным фазам колебаний жидкости.

В главе 3 рассматривается задача главы 1 с точки зрения построения численного решения. В трех параграфах этой главы уравнения движения и граничные условия, описывающие движение жидкости, в отличие от двух предыдущих глав, записываются в переменных Эйлера и исследуются численно с помощью метода, подобного методу граничных элементов. При этом уравнения движения и граничные условия выводятся аналитически и преобразуются к виду, удобному для численного анализа при помощи системы символьных вычислений Maple.

Полученная зависимость частоты волн от амплитуды для широкого диапазона глубин жидкости как качественно, так и количественно хорошо согласуется с той, которая была найдена аналитически в главе 1, а также с зависимостями, полученными другими авторами численно, а также аналитически в случае глубин, далеких от критической. Строятся также волновые профили для различных значений глубин жидкости и в различные моменты времени.

§3.1 посвящен постановке задачи. Рассматривается двумерное движение идеальной несжимаемой жидкости, помещенной в прямоугольный сосу а, расстояние между вертикальными стенками которого равно ¿А, где Л—длина волны. Считается, что движение жидкости периодично по времени t с периодом Т = 2ir/w, а также периодично в горизонтальном направлении с периодом, равным длине волны, т.е. рассматриваются стационарные волны.

Вводится декартова система координат, ось ОХ которой направлена вдоль плоской (в невозмущенном состоянии) свободной поверхности жидкости, а ось OY—вертикально вверх в плоскости движения.

При этом движение является симметричным около вертикальной плоскости х = 0; невозмущенная ^свободная поверхность имеет координаты у = 0 и х £ [0, //л]. Здесь 1/п — А/2, где /—расстояние между вертикальными стенками, а л—номер рассматриваемой волновой моды. Такой выбор соотношений параметров в данной задаче позволяет рассматривать всегда только как бы моду с л = 1, т.е. половину длины волны. Остальная часть волны образуется симметричными отражениями.

Уравнения движения и граничные условия записываются в точном нелинейном виде, искомыми величинами в которых являются неизвестные функции потенциала скорости ф(х, у, Т), волнового профиля г}(х,Т) и частоты нелинейной волны ы. При этом считается, что глубина жидкости равна Л, плотность жидкости р — 1, давление на поверхности жидкости р = 0, амплитуда главной гармоники нелинейной волны С—задается равной полуразности вертикальных расстояний от точки гребня до точки впадины волны

С= |Н =1[ч(0,0)- 7(£,0) .

Рассматриваются волны хотя и конечной амплитуды, но мало отличающиеся от линейных. Исходя из этих соображений, шюлятся новые безразмерные переменные х> У, о>, I, С и функции г](х,1), ф{х, у, 4) по формулам

X = кх, х = хх, у = ух, и — I = Тш-^/хд, С = Сх, —£—, Ф(х,У,1) =--•

где к—волновое число (х = 2я"/А), л—номер волновой моды.

В результате уравнения движения и граничные условия приводятся к удобной для применения численных методов механики форме.

В §3.2 описывается метод решения системы безразмерных уравнений §3.1. Приближенные значения функций ф(х,у,Ь) и ч(х,С) ищутся в виде частичных сумм рядов, главный член которых соответствует

одномодовои стоячей волне

оо оо

т){х,1) — ^ ^ Ьпк ПХ СОв(к — 1 )£,

п = 1*: = 1

оо оо

Ф(х, у, /) =а01 + в'п СО!5(" ~ СМ" -1 )Сг/ + х).

п=1к=1

Л

где до, ац,...,Ь ц,...—неизвестные искомые коэффициенты. При этом получается, что в силу условий периодичности и симметрии задачи ап* = 0, Ьпк = 0 при п+к четном.

Аппроксимируя функции ф[х,у,1) и 7){х,1) частичными суммами вида

N-1 ЛГ

/7(37,1) = Ьпк соз пх соз(к — 1)1,

гс = 1 * = 1

/V N-1

ф(х, у, I) =а0ь + °пк БШ И С08(п - 1)г сЬ(п - 1)(у + *),

п = 1 к = \

подставляя их в уравнения движения и граничные условия и учитывая свойства периодичности и симметрии, получается система трех уравнений с N(N —1) + 2 неизвестными ап*, 6пц, ао, ш и параметрами Си^.

7(0,0) -ч(х,0) =2.

Выбирая сетку по периодически изменяющимся переменным ¿иг, по формулам

Т (¿-1), € = 1,. — 1, при N ф. 4;

у(г-1), » = 1,...,ЛГ - 1, при N = 4

и подставляя частичные суммы для ф(х, y,t) и rj(x,t) в первое и второе уравнения полученной системы в точках сетки, получается N(N — 1) нелинейных трансцендентных уравнений. Подставляя частичные суммы для T](x,t) в последнее уравнение рассматриваемой системы, получается еще одно алгебраическое уравнение. Последнее уравнение получается подстановкой значений х = 0, t = 0 в первое уравнение даннной системы.

Рассматриваемая система N(N — 1) +2 нелинейных трансцендентных уравнений с N(N — 1) + 2 неизвестными ап*, ¿п*, ао и ш выводится аналитически с помощью системы компьютерной алгебры Maple для различных значений N (N = 4,6,8)— 14, 32, 58 уравнений, соответственно. После чего также с помощью языка системы Maple аналитически формируется матрица первых производных этой системы, которая затем преобразуется к виду, удобному для численного анализа (язык Fortran). В результате данная система уравнений решается численно методом итераций Ньютона.

В §3.3 описывается процедура построения численного решения; выбор начального приближения, что определяет характер исследуемых волн (одномодовых стоячих волн); приводятся результаты полученной зависимости частоты нелинейной волны от амплитуды для широкого диапазона глубин жидкости. Особое внимание уделяется глубинам жидкости, близким к критической. Полученные результаты показывают, что при глубинах жидкости, близких к критической, зависимость частоты и от амплитуды С немонотонна, а число гармоник при N = 4 недостаточно для расчета исследуемой зависимости. При глубинах жидкости, далеких от критической, рассматриваемая зависимость является монотонной. Так, при \ > х* {X*—критическая глубина) частота волн монотонно убывает с увеличением их амплитуды. При х < X* частота волн монотонно возрастает с ростом амплитуды. Полученная зависимость сравнивается с той, которая была найдена аналитически в главе 1, а также с зависимостями, полученными другими авторами численно, а также аналитически в случае глубин, далеких от критической.

Строятся также волновые профили для различных значений глубин жидкости и в различные моменты времени.

В главе 4 рассматривается задача главы 2 с точки зрения построения численного решения. В трех параграфах этой главы уравнения

движения и граничные условия, описывающие движение жидкости, как и в главе 3, записываются в переменных Эйлера и исследуются численно с помощью метода, описанного в главе 3 и подобного методу граничных элементов. При этом все необходимые преобразования перед непосредственным применением метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений также проводятся аналитически при помощи системы символьных вычислений Мар1е.

Полученная зависимость амплитуды волн от частоты возбуждения (резонансная кривая) для широкого диапазона глубин жидкости как качественно, так и количественно хорошо согласуется с той, которая была найдена аналитически в главе 2. При этом особое внимание уделяется глубинам жидкости, близким к критической. Резонансные кривые в этом случае распадаются на две непересекающиеся ветви, имеющие разные знаки наклона. Причем в процессе построения решения обнаруживаются новые многомодовые решения, которые, соответствуют резонансам, описанным в дополнении к диссертации Г.А. Бор-дакова и в работе Брайана и Щасны (1994). Однако в настоящей работе рассматриваются стоячие волны, в линейном приближении которых присутствует только одна частота (одномодовые нелинейные стоячие волны). Поэтому одновременно с построением решения строятся волновые профили, которые являются критерием выбора соответствующих поставленной задаче решений. Волновые профили также строятся для различных значений глубин жидкости и в различные моменты времени.

§4.1 посвящен постановке задачи. Рассматривается двумерное движение идеальной несжимаемой жидкости, помещенной в вертикально колеблющийся прямоугольный сосуд с жесткими непроницаемыми стенками, расстояние между которыми равно |А, где А—длина волны. Считается, что движение жидкости периодично по времени Ь с периодом Т — 2тг/ы, а также периодично в горизонтальном направлении с периодом, равным длине волны. Сосуд колеблется по гармоническому закону с частотой 12 и амплитудой Обозначения этого параграфа такие же как в §3.1.

Декартова система координат вводится также как в §3.1, при этом также рассматривается всегда только как бы мода с п = 1.

Уравнения движения и граничные условия записываются в точном нелинейном виде, искомыми величинами в которых являются не-

известные функции потенциала скорости ф{х,у,Т), волнового профил) fj(x,î) и частоты нелинейной волны Со. При этом выполняются вс< предположения §3.1.

Как и ранее, рассматриваются волны хотя и конечной амплиту ды, но мало отличающиеся от линейных. Безразмерные переменные и функции вводятся по соответствующим формулам §3.1, в которые следует добавить новую переменную—безразмерную амплитуду колебаний сосуда s = sx. В результате уравнения движения и граничные условия приводятся к удобной для применения численных методов механики форме.

В §4.2 описывается метод решения систем Ci безразмерных уравнений §4.1. После всех преобразований, проведеннных согласно процедуре, аналогичной процедуре §3.2, получается система трех уравнений с N(N — 1) -f 2 неизвестными апк, &п*> До, ы и параметрами С, s и

ч(1+4«аоов204а,^-+^с[(^)+фа]=0 при у=Сч(М). дф дт] дф дг]

= 0 при У =

I?(0,0)-iî(T,0)=2.

Выбирая сетку по периодически изменяющимся переменным t их по соответствующим формулам §3.2 и подставляя частичные суммы для функций ф{х, y,t) и ту(г, t) в уравнения полученной системы в точках сетки, получается система N(N — 1) + 2 нелинейных трансцендентных уравнений с N{N — 1) 4- 2 неизвестными а„*, ¿„jt, ао, w и параметрами С, s их, которая также выводится аналитически с помощью системы компьютерной алгебры Maple для различных значений N (N = 4,6,8). После чего также с помощью языка системы Maple аналитически формируется матрица первых производных этой системы, которая преобразуется к виду, удобному для численного анализа (язык Fortran). В результате данная система уравнений решается численно методом итераций Ньютона.

В §4.3 описывается процедура построения численного решения; выбор начального приближения, что определяет характер исследуемых волн (одномодовых стоячих волн). При этом объясняется особенность построения численных решений при параметрическом возбуждении, а именно: из асимптотического анализа, проведенного в главе 2,

известно, что искомые зависимости амплитуды стоячей волны от частоты параметрического возбуждения принадлежат разным классам решений (что соответствует разным фазам колебаний жидкости). Так как последнее уравнение предыдущей системы фиксирует фазу колебаний жидкости, то для получения решений разного типа необходимо выбирать параметр з (амплитуду колебаний сосуда) с разными знаками. Приводятся результаты полученной зависимости амплитуды волны от частоты возбуждения (резонансные кривые) для широкого диапазона глубин жидкости, которые как качественно, так и количественно хорошо согласуются с резонансными кривыми, полученными аналитически в главе 2. Особое внимание уделяется глубинам жидкости, близким к критической. В этом случая из всего множества полученных решений (принадлежащих разным классам и многомодо-вых) необходимо выбрать для каждого класса решений устойчивые од-номодовые решения. Для этого одновременно с построением решения строятся волновые профили, которые служат критерием выбора соответствующих поставленной задаче решений. Полученные результаты показывают, что при глубинах жидкости, близких к критической, резонансные кривые распадаются на две непересекающиеся ветви, имеющие разные знаки наклона.

В заключении формулируются основные результаты и выводы диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные новые научные результаты, полученные в работе, следующие:

1. построено и исследовано приближенное решение задачи о свободных нелинейных одномодовых плоских стоячих волнах в жидкости конечной глубины. При этом:

1.1 построена методом усреднения и исследована зависимость амплитуды волн от частоты для широкого диапазона глубин жидкости;

1.2 показано, что полученная зависимость немонотонна при глубинах жидкости, близких к критической;

1.3 определены характеристики движения жидкости и волновые профили;

2. Построено и исследовано приближенное решение задачи о параметрически возбуждаемых одномодовых плоских стоячих волнах при вертикальных колебаниях сосуда, в котором находится жидкость, глубина которой близка к критической. При этом:

2.1 построена методом усреднения и исследована система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая изменение во времени амплитуды и фазы главной гармоники рассматриваемых волн; '

2.2 показано, что резонансная кривая при глубинах жидкости, близких к критической, распадается на две непересекающиеся ветви, имеющие разные знаки наклона и разные фазы;

2.3 для экспериментально наблюдаемых значений параметров изучаемой колебательной системы построены резонансные кривые и проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов;

3. на основе метода граничных элементов разработан численно-аналитический способ построения численного решения задач о свободных нелинейных одномодовых плоских стоячих волнах в жидкости конечной глубины и о параметрически возбуждаемых одномодовых плоских стоячих волнах при вертикальных колебаниях сосуда, в котором находится жидкость, глубина которой близка к критической.

Практически все результаты были получены благодаря применению методов компьютерной алгебры и специально для этой цели разработанной библиотеки процедур, реализующих решение рассматриваемых задач.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бордаков Г.А., Карпов И.И., Леонов В.В., Секерж-Зенькович С.Я., Шингарева И.К. Приближенное решение задачи о параметрическом возбуждении поверхностных волн при глубине жидкости, близкой к критической. ИПМ РАН. М. 1993. Препринт № 526. 28 с.

2. Бордаков Г.А., Карпов И.И., Секерж-Зенькович С.Я., Шингарева И.К. Параметрическое возбуждение поверхностных волн при

глубине жидкости, близкой к критической. Докл. РАН. 1994. Т.334. № 6. с.36-37.

3. Бордаков Г.А., Карпов И.И., Секерж-Зенькович С.Я., Шингаре-ва И.К. О немонотонности зависимости частоты свободных стоячих поверхностных волн от амплитуды. Докл. РАН. 1995. Т.341. № 5 (в печати).

4. Бордаков Г.А., Карпов И.И., Секерж-Зенькович С.Я., Шингаре-ва И.К. Аналитический вывод зависимости частоты стоячих поверхностных поли от амплитуды в жидкости конечной глубины. ЖВМ и МФ. 1995 № 8 (в печати).

5. Журов Л.И., Карпов И.И., Шингарева И.К. Основы Maple. Применение в механике. ИПМ РАН. М. Препринт. 1994. № 536. 76 с.

6. Bordakov G.A., Karpov I.I. , Sekerzh-Zen'covich S.Ya., Shingare-va I.K. Computer algebra system Maple. It's application to the theory of water waves. Proceed, of Internationa! Conference "New Computer Technologies in Control Systems". Program Systems Institute of RAS. p. 23-24. 1994.

7. Вордакон Г.А., Карпов И.И., Секерж-Зенькович С.Я., Шингарева И.К. Система компьютерной алгебры Maple. Ее применение п теории шиповых движений жидкости. Известия РАИ. Техническая кибернетика. 1!)95 (в печати).

8. Шикг лргпл И. К. Численное решение задачи о свободных нелинейных стячих волнах на поверхности жидкости конечной глубины. ИПМ РАН. М. Препринт. 1995 (в печати).