Параметрически возбуждаемые внутренние волны в двухслойной жидкости и их взаимодействие тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

д 8 г 1'

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

БОРДАКОВ Георгий Алексеевич

•параметрически возбувдшые внутренние волны в двухслойной жадности и их взаимодействие

(01.02.05 - механика жидкости, газа к плазмы)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в Институте проблем механики АН СССР

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

С.Я. Секерж-Зенькович

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН СССР,

доктор физико-математических наук,

профессор

В.Ф. Журавлев

доктор физико-математических наук,

профессор

Ю.З. Алешков

Ведущая организация: Институт физики атмосферы АН СССР

Защита состоится $¿(¿/¿¿'/2$ 1991 г. в /У — на за-

седании СпециализированногоСовета Д 002.87.01 при Институте проблем механики АН СССР по адресу: 117526, Москва, пр. Вернадского, Г01, ШМ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики АН ССОР.

Автореферат разослан " ИСЛёР-! 1991 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

кандидат физико-математических наук А.И. Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию внутренних гравитационных волн в двухслойной жидкости, параметрически возбуждаемых вертикальными колебаниями сосуда. Впервые экспериментальное исследование возникающих при вертикальных колебаниях сосуда стоячих волн на поверхности жидкости было проведено в 30-е годы прошлого века М. Фараде ем, который обнаружил, что частота возбуждаемых волн равна половине частоты колебаний сосуда. Однако, линейная теория наблюдавшихся Фараде ем волн была построена только в 50-е годы нашего столетия Т.Бенджамином и Ф.Эрселлом. Нелинейная теория параметрически возбуждаемых поверхностных волн впоследствии была разработана в 70-е и 80-е годы в работах Дж. и Х.Окендо-нов, В.Хэнстока и Р.Сани, Ф.Доджа, Д.Кана и Н.Абрамсона, Дж.Майлса, С.В.Нестерова.

Работы Дж.Майлса и его последователей объединяет метод теоретического анализа. Этот метод основан на использовании вариационной формулировки задачи и минимизации соответствующего действия на определенном классе функций. В работах С.В.Нестерова и С.Я.Секерж-Зеньковича развивался другой теоретический подход, основанный на применении методов усреднения к исходным уравнениям и граничным условиям, описывающим волновые движения.

Нелинейная теория параметрического возбуждения внутренних волн в двухслойной жидкости развивается в работах С.Я.Секерж-Зеньковича (с 1983 г.). Модель двухслойной жидкости, с одной стороны, позволяет описывать и поверхностные волны (если считать, что плотность верхней жидкости равна нулю), а, с другой стороны, дает представление о характере волновых движений стратифицированной жидкости. Таким образом, результаты, полученные в рамках модели двухслойной жидкости, могут охарактеризовать сходство и различив внутренних и поверхностных волн в жидкости. С.Я.Секерж-Зеньковичем было изучено пара-

метрическое возбуждение волн в одномодовом приближении и в предположении, что глубины слоев жидкости бесконечны.

Представляет значительный интерес вопрос о том, каков будет характер волновых движений жидкости в том случае, когда условия возбуждения допускают возникновение волн двух (или более) мод с различными собственными частотами. Постановка такого вопроса приводит к задачам о так называемом взаимодействии волн. Эти задачи в последнее время привлекают внимание широкого круга исследователей и актуальны как с точки зрения теории, так и для практических приложений.

Эффективным методом исследования проблем взаимодействия волн явлется переход к системам гидродинамического типа. Этот метод, предложенный А.М.Обуховым и эффективно разрабатывавшийся его сотрудниками, заключается в том, что вместо самой гидродинамической системы исследуется система ОДУ, моделирующая основные характеристики движения жидкости. В том случае, если изучаются движения близкие к периодическим (или квазипериодическим), такая система ОДУ получается из исходной с помощью различных методов усреднения. Исследование этой системы ОДУ, т. е. системы гидродинамического ила, гораздо проще, чем исходной задачи, и позволяет получить содержательные результаты.

Кроме того, представляет интерес вопрос о влиянии конечности глубин слоев на характер параметрического возбуждения волн. Известно, что при возбуждении волн на поверхностных волн в однородной жидкости резонансная кривая , т. е. зависимость амплитуды волн от частоты возбуждения, может менять свой наклон при изменении глубины жидкости. Интересно знать, будет ли аналогичное явление иметь место для внутренних волн в двухслойной жидкости, а также при какихсооношениях плотностей и глубин слоев оно может происходить.

Целью диссертационной работы является изучение эффектов взаимодействия мод и учет влияния конечности глубин слоев при параметрическом возбувдении внутренних волн в двухслойной жидкости.

Работа выполнена в соответствии с плановой тематикой Института проблем механики АН СССР "Волновые процессы в неоднородных, стратифицированных и гранул; среда*9 .-.№0109.10.007316

Методы исследования. В основу исследования полонены уравнения движения идеальной несжимаемой двухслойной жидкости в пола силы тяжести, записанные в переменных Лагранжа. Для построения решений задач применялись асимптотические метода теории нелинейных волн подобные методу Крылова-Боголюбова. Выкладки проводились на компьютере с помощью пакета "Полимех--символ", разработанного в Институте проблем механики АН СССР на базе системы аналитических вычислений ИесШое-З. Системы ОДУ,.описывающие изменение во времени амплитуд и фаз главных гармоник волн анализировались метоами качественной теории дифференциальных уравнений, а также численно.

Научная новизна данной работы состоит в том, что исследованы асимптотические представления решений нелинейных задач о параметрическом возбуждении волн на границе раздела двухслойной тяжелой жидкости в вертикально колеблющемся сосуде с учетом конечности глубины слоев жидкости и взаимодействия двух нелинейных волновых мод.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут найти применение в океанологии. Выявленные в работе общие закономерности развития и взаимодействия внутренних волн имеют. отношение к процессам волнообразования в термоклине океана при прохождении по нему длинных поверхностных волн, процессам генерации краевых волн на отмелях и, вообще, процессам перемешивания в океане. Ери этом большое значение имеет тот факт, что, как было выяснено, внутренние волны взаимодействуют гораздо сильнее поверхностных.

Полученные в работе результаты могут также иметь технические приложения. Это относится к проблемам добычи нефти на океанском шельфе и ее транспортировки в танках, а также, вообще, к проблемам транспортировки неоднородных жидкостей. Кроме того, исследовавшиеся в работе гидродинамические системы могут моделировать нелинейные волновые процессы в плазме.

Апробация работа. Изложенные в работе материалы докладывались на 3-Й Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследований" /май 1989, г. Светлогорск/, на 2-й Всесоюзной школе "Нелинейные волны" /сентябрь 1989, г. Светлогорск/, в Институте проблем механики АН СССР на семинаре группы волновых процессов в жидкости, семинаре по теории нелинейных колебаний и волн, семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов, в Институте физики атмосферы АН СССР на семинаре теоретического отдела.

Публикация. Материалы диссертации изложены в трех публикациях (четвертая статья сдана в печать).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, одного дополнения и заключения, изложена на 123 страницах, из которых 15 составляют рисунки. В конце работы приведен список использованной литературы из 88 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается исторический обзор и анализ современного состояния работ, посвященных изучаемым в диссертации проблемам, формулируются цели исследования и основные результаты, которые выносятся на защиту.

В главе I исследуется задача о параметрическом возбувде-нии одномодовой плоской стоячей волны в двухслойной жидкости с конечными глубинами слоев при вертикальных колебаниях прямоугольного сосуда, в котором находится жидкость. В четырех параграфах этой главы записанные в переменных Лагранжа уравнения и граничные условия, описывающие движение жидкости, исследуются с помощью асимптотических методов нелинейной волновой механики аналогичных методу Крылова-Боголюбова теории колебаний.

Выводится система ОДУ, описывающая изменение во времени амплитуды и фазы определенного класса волн (одномодовых волн

о частотой близкой к половине частоты параметрического воз-бувдения), которая затем анализируется с целью определения различных режимов возбуадения волн и построения резонансных кривых. Одновременно строятся и анализируются приближенные решения, описывающие профили волн и движение жидких частиц.

§ I.I посвящен постановке задачи, а также выбору малого параметра и начального приближения, что определяет характер исследуемых волн. Рассматривается плоское движение двухслойной невязкой несжимаемой жидкости, полностью заполняющей вертикально колеблющийся прямоугольный сосуд с жесткими непроницаемыми стенками. Плотности жидкостей равны рс, глубины слоев жидко.стей - \ (i = I для верхней жидкости и i = 2 для нижней), сосуд колеблется по тармоническому закону с частотой П и амплитудой а. ,

Вводится декартова система координат, жестко связанная с колеблющимся сосудом, ось X которой направлена вдоль плоской в невозмущенном состоянии границы раздела жидкости в плоскости движения, а ось Y - вертикально вверх в плоскости движения вдоль левой стенки сосуда. Координаты индивидуальной частицы жидкости в этой декартовой системе обозначаются через х , у.. Для задания этих индивидуальных частиц и времени вводятся переменные Лагранжа a, b, t. За основное состояние жидкости принимается ее поступательное движение вместе с сосудом, при котором

xi= <\> Vi= ь ' Рг ~ gPtd + stfoosQt/g)b, где р. - давление в жидкости.

Рассматриваются волны хотя и конечной амплитуды, но мало отличающиеся от линейных. При этом вводится малый параметр е и считается, что крутизна волн есть величина порядка е1X2, а отношение амплитуды ускорения сосуда к ускорению силы тяжести (перегрузка) есть величина порядка е, то есть síf/g = je, где 7 = 0(1). Такое соотношение между крутизной волн и перегрузкой выбирается для того, чтобы эффекты нелинейности и параметрического возбуждения имели одинаковый порядок. Эти со-

ображения эквивалентны известным результатам Малкина для неавтономных систем типа Ляпунова.

Исходя из всех этих соображений, вводятся новые независимые переменные а, р и новые функции т)., Н. по формулам

а= аге , р = Ьае , а-)- е^.аГ1, гд= Ь *

- £Р1 (1 +■ уЕоовС^)»/. + е^р.с/Я.эе"2 ,

где ыа= йХае, X = (р2- р±)/(р2о^хг+ р^Ш^) ,

ае - волновое число ае = тсп/1, п - номер моды или число узлов в волне, I - длина сосуда.

Б результате уравнения Лагранжа, неразрывности и граничные условия приводятся к удобной для применения асимптотических методов механики форме. Их решения ищутся в виде рядов по степеням е1'2, главный член которых соответствует одномодовой стоячей волне. Например, для \ имеем

С

т].= - в11(х.+(-1 ГР) сова оовФ + е1''гт^2+ е + ...

причем, как и обычно при применении метода усреднения, считается, что функции т).2(а, Р; О, тт^С^, Р; С, Ф, ), — периодичны по угловым переменным с периодом 21с, ампли-

туда и полная фаза главной гармоники изменяются с течением времени согласно уравнениям

<30

— = 8^гЛ(С,в) + £ А, (0,6) + ...,

(И

т

— = Л + е В (С,в) + Б В,(С,в) 4

т 1 2

где в = Ф - т/2, Д = ш - П/2, а функции в) и Вк(С, в)

периодичны по 0 с периодом 2ж и подлежат определению, как и функции т].2, г)1Э- Аналогичные соотношения записываются также для Е. , и £ . й ...

^ ^12 э13' 12 13

Подобный выбор главных членов разложения т^, Н^ по степеням е1'2 (первого приближения) и "медленной" фазы 9, так как считается, что А мало Д = оСе'^ш), означает, что рассматривается задача о возбуждении одномодовой стоячей волны вблизи главного параметрического резонанса 2ш % П.

В § 1.2 и 1.3 вычисляются неизвестные функции второго • Чг' ^12 • И трэтьего Л2, В2,... приближений соответственно. Для этого соответствующие асимптотические разложения подставляются в уравнения движения и граничные условия для того, чтобы выделить при этом члены одинакового порядка по е^2 . Выделенные в каждом порядке члены дают линейные краевые задачи, из условий существования решений которых определяются функции Ак, Ву. При этом получается, что А±= В= О, и, следовательно, необходимо вычислять функции третьего приближения. При вычислении этих функций в асимптотических разложениях удерживаются лишь те члены, которые нужны для определения Л2, В2, а т)1э, Я.э в отличие от второго приближения не вычисляются.

Полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие зависимость С и 0 от времени анализируются в § 1.4. Влияние вязкости учитывается посредством добавления в эти уравнения полуэмпирических членов. Вид уравнений таков

<ЗС ш2

— = в - С з:т29 - V О

ей 2П

(29 ш2 •

— = А - V +■ е - ооб29 - еош СГ

т гп

Здесь о - это вычисленный в § 1.3 коэффициент, зависящий от X и в V - полу эмпирический коэффициент, описывающий вязкую диссипацию. Прии V = 0 данные уравнения гамильтоновы.

Анализ уравнений для С и 9, проделанный посредством исследования их особых точек с применением методов теории бифуркаций, показывает, что на оси П существует интервал (резо-

нансная зона; ее положение приблизительно определяется неравенством |Д| < зС^/в£), вне которого начальное волновое возмущение затухает. Внутри же резонансной зоны возможно существование периодических колебаний с частотой П/2 и конечной амплитудой.

Характер зависимости этой амплитуды от частоты О (резонансной кривой) определяется знаком величины о. При изменении знака о меняется наклон резонансной кривой. Это явление, в отличие от параметрического возбуждения поверхностных волн, где оно также наблюдается, может происходить многократно в зависимости от способа изменения ^ и р.. Для пары вода-керосин построены кривые, показывающие, как изменяется знак о при изменении у^.

В § 1.4 анализируются, также, полученные в § 1.3 выражения, описывающие движение жидкости. Показывается, что нелинейные стоячие волны в двухслойной жидкости с конечными глубинами слоев при параметрическом резонансе обладают следующими свойствами: в каждом из слоев жидкости движение ее потенциально; узлы перемещаются; пучности неподвижны; граница раздела ни в какой момент времени не распрямляется; ее форма в случае бесконечных и одинаковых глубин слоев близка к синусоидальной при малой разности плотностей. В зависимости от- соотношения плотностей и глубин слоев жидкости впадины границы раздела будут иметь большую или меньшую крутизну по сравнению с гребнями. Эта зависимость, также, проанализрована в § 1.4.

В главе 2 исследуется задача о взаимодействии мод двух-модовой плоской стоячей волны, параметрически возбуждаемой в двухслойной жидкости с бесконечными глубинами слоев при вертикальных колебаниях прямоугольного сосуда, в котором находится жидкость. В пяти параграфах этой главы записанные в переменных Лагранжа уравнения и граничные условия, описывающие движение жидкости, исследуются с помощью асимптотических методов нелинейной волновой механики аналогичных методу Крылова-Боголюбова теории колебаний.

Выводится система ОДУ, описывающая изменение во времени

- ю -

амплитуд и фаз главных гармоник определенного класса волн (двухмодовых волн с частотой близкой к половине частоты параметрического возбуждения), которая затем анализируется с целью определения различных режимов генерации и взаимодействия волн. Определяются- условия генерации одномодовых волн, двухмодовых составных волн с постоянными амплитудами главных гармоник, периодической передачи энергии из моды в моду. Одновременно строятся приближенные решения, описывающие профили волн и движение жидких частиц.

§ 2.1 посвящен постановке задачи, а также выбору малого параметра и начального приближения, что определяет характер исследуемых волн. Как и в § 1.1 рассматривается плоское движение двухслойной невязкой несжимаемой жидкости, полностью заполняющей вертикально колеблющийся прямоугольный сосуд с жесткими непроницаемыми стенками, только в отличие от § 1.1 глубины слоев считаются бесконечными. Обозначения этого параграфа такие же как в § 1.1, и таким же образом вводится декартова система координат. За основное состояние жидкости принимается ее поступательное движение вместе с сосудом.

Малый параметр е вводится так же как в § 1.1, причем как и в § 1.1 считается, что перегрузка и квадрат крутизны волн являются величинами порядка е. Безразмерные величины т)., ^, Н1 вводятся по формулам, совпадающим с формулами § Г.Г, только X. в них заменяется на б = (р2- р4)/(р2+ р4), а волновое число эе = х/2.

В результате уравнения Лагранжа, неразрывности и граничные условия приводятся к удобной для применения асимптотических методов механики форме. Их решения ищутся в виде рядов по степеням главный член которых соответствует двухмодовой стоячей волне с номерами мод п. (номер моды - число узлов в соответствующей одномодовой волне). Например, для Т). имеем 2

т)^ 2 ^ ехр((-1 )1п.р> оовад оовШ. + е т^ч- ...

Как обычно при применении метода усреднения, считается,

что функции Ч2(СЧ' Р; С,' "ЧзЧ'

(о = 1,2) периодичны по угловым переменным Ш., Ш с периодом 2%, а амплитуды и полные фазы главных гармоник изменяются с течением времени согласно уравнениям

вв.

—' = А + е'^В (С ,0 ) + еВ (С »6 ) + .... = 1,2,

йЬ } ' 1

где 9. = ГО/2, А.= п1х20) - П/2, а функции А. (С., е.) и

3 } J J ^ J ^

В.к(С., 6.) периодичны по обеим 6. с периодом 2п и подлежат определению, как и функции т].2, т)1а. Аналогичные соотношения записываются также для £ „, С ,... и£ .

312* а1Э 12* 13

Подобный выбор главных членов разложения т^, £ , Hi по степеням е1'х (первого приближения) и "медленных" фаз так как считается, что AJ малы А.= СКа^и), означает, что рассматривается задача о возбуждении двухмодовой стоячей волны вблизи главного параметрического резонанса для обеих мод, то есть 2п.уги % 0 при ^ = 1,2 (двойной двукратный резонанс).

Таким образом, в работе учитывается только вклад двойного двукратного резонанса. Это требует отдельного обоснования, так как, вообще говоря, следовало бы в главных членах разложений т^, , К по степеням б1'2 записывать выражения, соответствующие сумме бесконечного числа (а не двух) мод, и искать при этом все возможные резонансы. Такое обоснование дается в специальном дополнении, где находятся все возможные резонансы (в которых участвует до' четырех мод включительно) для свободных волн.

Для выполнения условий резонанса необходимо, чтобы разность собственных частот мод была мала по сравнению с этими частотами. Это условие для соседних мод может быть выполнено только при больших номерах мод. Таким образом, в данной работе исследуется лишь взаимодействие мод с большими номерами (высоких мод). Однако, резонансные зоны низких мод могут перекрываться лишь при больших значениях перегрузки 7Е, из-за

чего используемое в данной работе приближение слабонелинейных волн неприменимо для исследования их взаимодействия.

В § 2.2 и 2.3 аналогично тому, как это делается в § 1.2 и 1.3 вычисляются неизвестные функции второго А^, кг' и третьего А.г, В^,... приближений соответственно. При этом получается, что А^= О. Как и в § 1.3, при вычислении поправок третьего приближения удерживаются лишь те члены, которые нужны для определения А.г, В.2, а г).э, £1э, Н в отличие от второго приближения не вычисляются. В конце § 2.3 приведены соотношения, описыанщие состояние и движение жидких частиц.

В § 1.4 анализируются полученные ранее обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие зависимость J.= С^/п'"'2 и 0. от времени. Влияние вязкости учитывается посредством добавления в эти уравнения полуэмпирических членов. Вид уравнений таков

&Г.

—J = 2Ш 1С,с7.з1п29 - гvJ., О = 1,2

<Я 11

6В£

- = А - V + 60) ТС ООБ20 - 2 ВЫ СТ. «Г- 2£Ш О Л

(И 1 1 11 11 32

сЮ2

— = А - V + ЕШ ТС 00626, - 2ЕШ о «Г - 2еш о «7

^ 22 2 2 22 Э 1

Здесь ок - это вычисленные в § 2.3 коэффициенты, зависящие от б и п., V. - полуэмпирические коэффициенты, описывающие вязкую диссипацию, а %= -уш п./20. При к. = О данные уравнения гамильтоновы.

Уравнения для J. и 6j анализируются посредством исследования особых точек системы уравнений и их бифуркаций. Выясняется, что система имеет четыре типа особых точек: тривиальную особую точку, особые точки, соответствующие возбуждению только одной из мод, особые точки, соответствующие возбуждению обеих мод. При с^ > о1ст2 последние могут терять устойчиаоор с образованием усточивого предельного цикла в фазовом прос-

транстве системы, что соответствует периодической передаче энергии из мода в моду. Такой тип взаимодействия ( о* > о1о2) называется сильным, другой возможный тип ( о^ < орг) - слабым.

§ 2.5 посвящен изучению различных режимов возбуждения и взаимодействия волн, а также сравнению полученных теоретических результатов с данными экспериментов. Выясняется, какие волновые процессы будут происходить при разных значениях частоты возбуждения О.

В случае слабого взаимодействия могут возбувдаться как одномодовые волны обеих мод, так и двухмодовые волны с постоянными амплитудами обеих главных гармоник (составные волны). Построены резонансные кривые для всех этих видов волн. Показано, что при переходе к возбуждению составных волн от одно-модовых полная энергия волн может существенно увеличиваться. В случае сильного взаимодействия кроме описанных волновых процессов может происходить периодическая передача энергии от одной моде к другой. Это явление изучалось посредством численного решения уравнений, описывающих изменение амплитуд и "медленных" фаз.

Описанные выше теоретические результаты качественно совпадают с данными экспериментов. Однако, видно, для выяснения картины происходящих процессов необходимы дополнительные эксперименты и, быть может, дальнейшее развитие теории.

Следует отметить, что при р4= О, то есть для поверхностных волн коэффициент оэ, отвечающий за взаимодействие, обращается в 0. Этот интересный результат подверкдается и при решении соответствующей задачи с уравнениями и граничными условиями для поверхностных волн использованными в работе методами. Именщиеся экспериментальные данные также, по-видимому, подтверждают факт отсутствия межмодового взаимодействия в первом порядке по е для поверхностных волн.

В дополнении развивается другой подход к решению задачи, исследованной в главе 2. Этот подход основан на использовании гамильтоновой формулировки данной задачи и нахождении нор-

мальной формы Пуанкаре гамильтониана до четвертого порядка включительно. Для этого используется известный метод Хори-Де-цри.

Выясняется, что в нормальной форме гамильтониана, соответствующего свободным волнам, отсутствуют члены, отвечающие резонансам трех мод, а из членов, отвечающих резонансам четырех мод, присутствуют лишь члены с попарно равными номерами мод и члены, номера мод которых относятся как 1:4:4:9. Поэтому при изучении взаимодействия двух мод при параметрическом возбуждении волн (причем рассматриваемые моды, как правило, являются соседними) следует рассматривать резонансы с попарно равными номерами мод. Это соответствует исследованию двойного двукратного резонанса, что и делается в главе 2. Получающиеся при этом результаты аналогичны результатам главы 2.

В заключении формулируются основные результаты и выводы диссертационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные новые научные результаты, полученные в работе, следующие:

I. Построено и исследовано приближенное решение задачи о параметрическом возбуждении одномодовой плоской стоячей волны в двухслойной жидкости с конечными глубинами слоев при вертикальных колебаниях прямоугольного сосуда, в котором находится жидкость. При этом:

а) построена методом усреднения и исследована система ОДУ", описывающая изменение во времени амлитуды и фазы главной гармоники данной волны;

б) определено положение резонансной зоны, показано, что резонансная кривая в зависимости от соотношения плотностей и глубин слоев жидкостей может иметь различный наклон, причем при заданных плотностях жидкостей условия смены этого нак.'-р-на, в отличие от поверхностных волн, задаются не критической глубиной, а критическими кривыми на плоскости глубин слоев,

для пары вода-керосин эти кривые построены;

в) определены характеристики движения жидкости и профили границы раздела, показано, что впадины этих профилей могут иметь большую или меньшую крутизну по сравнению с гребнями в зависимости от значения некоторой величины, являющейся функцией плотностей и глубин слоев жидкостей;

2. Построено и исследовано приближенное решение задачи о параметрическом возбуждении двухмодовой плоской стоячей волны в двухслойной хидкосги с бесконечными глубинами слоев при вертикальных колебаниях, прямоугольного сосуда, в котором находится жидкость. При этом:

а) построена методом усреднения и исследована система ОДУ, описывающая изменение во времени амлитуд и фаз двух главных гармоник данной стоячей волны

б) определены возможные типы межмодового взаимодействия: сильное и слабое, а также условия их реализации;

в) определены и проанализированы виды возможных волновых движений жидкости: одаомодовые волны, двухмодовые составные волны с постоянными амплитудами обеих главных гармоник, периодическая передача энергии от моды к моде, что позволило объяснить ряд волновых явлений, наблюдавшихся в лабораторном эксперименте;

г) показано, что поверхностные волны разных мод в рассмотренном порядке теории возмущений не взаимодействуют;

д) определены характеристики движения жидкости и профили границы раздела;

е) описывающая исследуемые волны система ОДУ была построена также методом нормализации гамильтониана задачи.

По теме диссертации опубликованы следудцие работы: I. Бордаков Г.А., Медведев Г.Н., Секерж-Зенькович С.Я. нелинейное взаимодействие двух параметрически возбуждаемых волн на границе раздела 2-слойной жидкости // ill Всесоюзная школы-семинар "Методы гидрофизических исследований". Тезисы докладов. Калининград. 1989. T.I. С.66.

2. Bordakov G.A., Sekerzh-Zen'oovieh S.Ya. Nonlinear Faraday resonance in two-layer fluid of finite depth // Preprint of ГРМ USSR AS. Moscow. 1990. No.475. 18p.

3. Bordakov G.A., Sekerzh-Zen'oovioh S-Уа. Nonlinear interaction of parametrioally exoited internal waves in two-layer fluid of finite depth // Preprint of IPM USSR AS. Moboow. 1990. No.482. 2Op.

4. Бордаков Г.А. Исследование параметрического возбуждения волн в бесконечно глубокой двухслойной жидкости методом нормализации гамильтониана // (в печати).