Дефекты, связанные состояния и пространственный беспорядок в задачах термоконвекции и параметрического возбуждения капиллярных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Поля связанных состояний топологических дефектов в структурах, возникающих при параметрическом возбуждении капиллярных волн на поверхности жидкости

1.1 Структура поля уединенного связанного состояния

1.1.1 Обработка изображений.

1.1.2 Модель связанного состояния.

1.1.3 Результаты измерения характеристик связанных состояний

1.1.4 Теоретический расчет фазовых полей.

1.1.5 Сравнение результатов обработки экспериментальных полей и теории

1.2 Структуры в слое с периодической неоднородностью глубины

1.3 Генерация вихрей и перенос примеси топологическими дефектами поля капиллярной ряби.

1.3.1 Обработка изображений.

1.3.2 Структура крупномасштабных течений.

1.3.3 Перенос примеси топологическими дефектами

1.3.4 Обсуждение результатов.

1.4 Выводы.

2 Поле пенто-гепто дефекта в шестигранной структуре образующейся при термоконвекции в слое жидкости

2.1 Результаты измерения характеристик пенто-гепто дефекта

2.2 Выводы.

3 Пространственно-временной беспорядок топологических дефектов

3.1 Последние исследования по проблеме пространственного беспорядка капиллярной ряби.

3.2 Пространственно-временной беспорядок как ансамбль взаимодействующих топологических дефектов.

3.3 Результаты измерения характеристик беспорядка топологических дефектов в поле капиллярной ряби.

3.4 Выводы.

4 Воздействие ветровых напряжений на пространственный беспорядок, возникающий при термоконвекции

4.1 Возникновение структуры как переход в минимум функции Ляпунова.

4.2 Воздействие ветровых напряжений на структуру конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости

4.3 Математическая модель.

4.4 Выводы.

Возникновение пространственно-организованных состояний и переход к турбулентности - это фундаментальные проблемы механики жидкости, газа и плазмы. Изучение перехода к турбулентным течениям при разрушении гидродинамических пространственно-периодических структур, возникающих в пространственно-протяженных неравновесных системах, таких, например, как термоконвекция в горизонтальном слое жидкости или капиллярная рябь на поверхности жидкости, актуально не только для гидродинамики, но и для других областей нелинейной физики, т.к. процессы образования пространственно-периодических структур и их разрушения - перехода к хаосу имеют большое сходство в совершенно разных по физической природе системах.

Для пространственно протяженных систем, неустойчивость которых связана с возбуждением возмущений определенного масштаба, типично возникновение структур, которые представляют суперпозицию конечного числа пространственных гармоник, т. н. ячеистых структур. Одним из сценариев перехода к пространственно-временному хаосу в ячеистых структурах, является переход к хаосу через возникновение и взаимодействие топологических дефектов. Поэтому для исчерпывающего исследования данной проблемы необходимо подробно изучить структуру и динамику топологических дефектов.

Интерес к изучению топологических дефектов, как элементарных объектов нелинейных взаимодействий, определяется рядом причин. Возникновение и движение дефектов обычно приводит к изменению пространственного масштаба ячеистой структуры и релаксации этого масштаба к оптимальному. Топологические дефекты обладают свойствами частиц. Они могут притягиваться, отталкиваться, аннигилировать, образовывать связанные состояния, доменные стенки. Топологические дефекты являются устойчивыми образованиями по отношению к изменениям параметров системы. Поэтому пространственно временной беспорядок топологических дефектов можно представлять как ансамбль частиц, взаимодействующих по определенным законам. При наличии неоднородно-стей в системе, где образуется пространственно-протяженная ячеистая структура, сложные образования из топологических дефектов (например, доменные стенки) могут разделять участки структуры с разной геометрией. Дефекты могут создавать крупномасштабные средние течения, а также захватывать и переносить пассивную примесь.

Кроме того, исследование динамики дефектов может представлять один из возможных подходов к сопоставлению данных экспериментальных исследований с результатами теоретического и численного моделирования. Он состоит в том, чтобы сравнивать не поля, а их топологические особенности, которые в определенном смысле являются инвариантными.

Дефекты могут быть точечными и протяженными. Протяженные дефекты обычно существуют на границе между областями, заполненными идеальными структурами различной ориентации. Среди локальных дефектов, возникающих в гидродинамических структурах, следует выделить дислокации, названные так по аналогии с краевыми дислокациями в кристаллах. Дислокации - нарушения порядка в расположении атомов в твердых телах - изучаются уже на протяжении длительного времени [1].

Существование краевых дислокаций было впервые постулировано Бюр-герсом в 20х годах прошлого века, для объяснения пластических дефор

Л ^ О ГТТТТТ О ФООП ТТГ ГЛЛ ФО ГТО V Г7 ГЛ ТТ ТУТЛ Г* ЛТ>Г\ ТД ГТТТГ' ТТ/^Т/'ОТТТТЛТТ ТГЛГЛ Т^ОТЛ /"» ТТ/ЛТ7ТТТ\ /г О тт ТГГ\

X ик^г IV«/! <-А)-/V . X О. А V <Л> X I ^ X X ^ 1 1V СА) X 1 X X -I> Ч^^^ X 1 1121 IV!. X полнительный слой атомов в идеальной кристаллической решетке (см. рис. 1). Существование таких дислокаций было просто гипотезой до изобретения электронного микроскопа в середине 20го века, когда стало возможным увидеть кристаллическую решетку с большим увеличением.

В динамике формообразования аналогом дополнительного слоя атомов в кристалле является дополнительный период в определенном месте структуры. Поскольку этот дополнительный период ведет к глобальной перестройке всего поля, он не может исчезнуть сам по себе: топологический дефект может либо подойти к границе структуры за конечное время, либо аннигилировать с другим топологическим дефектом противоположного знака. К настоящему времени дислокации различных типов обнаружены во многих гидродинамических экспериментах [2, 3, 4, 5].

Дадим определение термина дислокация в применении к гидродинамическим системам. Пусть имеется простейшая линейчатая (роликовая) структура. Такие структуры могут возникать, например, при термоконвекции в тонком слое жидкости или при параметрическом возбуждении капиллярной ряби. Это поле можно представить формулой: гдеЛ(ж, у) - амплитуда, ф(х, у) - фаза. В случае идеального паттерна А = const и ф — const. Если существует точка (жд, г/о) ГДе А = 0, а интеграл

Рис. 1: Кристалл с краевой дислокацией. и(X, у) = А(х, у) cos(кх + ф(х, у)) от градиента фазы ф по любому замкнутому контуру охватывающему то говорят, что в точке (хо, Уо) есть дислокация. Величина п называется топологическим зарядом дефекта.

Систематические экспериментальные исследования топологических дислокаций в конвективных структурах были инициированы Уайтхедом. Возникновение дефектов под воздействием внешних возмущений в тетрагональной структуре формирующейся в конвекции Релея-Бенара было исследовано в работе [2]. Движение и взаимодействие дефектов в роликовой структуре, возникающей при термоконвекции [44] и при электрогидродинамической конвекции в жидких кристаллах [45, 46, 47], показало, что идеальная структура может возникать при аннигиляции двух топологических зарядов противоположного знака. Экспериментальным путем [45, 46] было установлено, что заряды, имеющие разный знак, движутся друг к другу с увеличивающейся скоростью. Похожие результаты получены и в теоретической модели, в которой для описания динамики дефектов использовалось уравнение Гинзбурга-Ландау [50].

Аннигиляция топологических зарядов имеет место только если они принадлежат одной моде структуры. Дислокации, принадлежащие различным модам структуры, не могут аннигилировать, но взаимодействуя, они могут образовывать связанные состояния. Примером связанного состояния может служить возникающий в конвективной структуре пенто-гепто дефект, который является результатом притяжения, первоначально разнесенных на некоторое расстояние, дислокаций противоположного знака и принадлежащих различным модам гексагональной решетки. При некоторых допущениях, поля пенто-гепто дефектов могут быть рассчитаны теоретически, как это было сделано в работе [48]. Формирование пенто-гепто дефекта, как результата взаимодействия двух топологических нарядов, было детально изучено для конвекции Марангони

Бенара [49]. Результаты численного моделирования процесса возникновения пенто-гепто дефекта в рамках модельных уравнений [50] качественно совпадают результатами эксперимента. Например, анализ поля фазы мод формирующих гексагональную решетку показал, что коридор, по которому двигаются топологические заряды, наблюдается как в эксперименте [49, 51], так и в численных расчетах [50]. Следует заметить, что дефекты имеют более сложную динамику в экспериментах, чем в численном моделировании. Например, в экспериментах было обнаружено движение топологических дефектов через последовательность рождения и аннигиляции, а также возникновение двойного пенто-гепто дефекта [51], в то время как при численных расчетах такого, насколько известно, до сих пор не наблюдалось. Связанное состояние в структуре, возникающей при возбуждении капиллярной ряби на поверхности жидкости, состоит из двух дислокаций одного знака, принадлежащих встречным бегущим волнам. В отличии от пенто-гепто дефекта, здесь топологические заряды принадлежат одной моде. Связанные состояния топологических дислокаций также обладают свойствами частиц - они могут аннигилировать, рассеиваться или образовывать квазиустойчивые состояния типа доменных стенок [24, 25].

Среди большого разнообразия сред, где, в принципе, возможно получение информации о пространственных структурах, необходимо выделить гидродинамические системы, для которых к настоящему времени развиты и широко используются методы визуализации полей. Это обстоятельство делает гидродинамические эксперименты и, в частности, эксперименты по конвекции и параметрическому возбуждению волн привлекательными для изучения возникновения структур и пространственного хаоса. В то же время, для изучения свойств топологических дефектов важно сравнить дефекты в различных физических системах, чтобы выявить сходство и различие их структуры и динамики. Для этих целей хорошо подходят структуры, возникающие при термоконвекции в слое жидкости и структуры, возникающие при параметрическом возбуждении волн на поверхности жидкости.

В данной диссертации исследуются пространственные и пространственно-временные характеристики гидродинамических структур, возникающих в конвекции Марангони-Бенара и при параметрическом возбуждении волн на поверхности жидкости. Режимы, которые возникают в таких системах, принципиально не сводятся к динамике мод резонатора. Поэтому даже вопрос о том, какие структуры возникают здесь при малой надкритичности после того, как пространственно-однородный режим теряет устойчивость, требует специального исследования. Очевидно, что в этом случае в среде неустойчивым может быть континуум пространственных мод, и их конкуренция и нелинейные взаимодействия будут определять структуру возникающих в системе полей.

В результате конкуреннции мод возникают ячеистые структуры. Такие структуры были обнаружены первоначально в эксперименте с тонким слоем жидкости [7, 8], в дальнейшем были открыты на поверхности Солнца и звезд [9], в мантии Земли [10, И], в проводящих жидкостях, находящихся в магнитном поле [12, 13] и в других физических системах (исследования условий возникновения пространственно-периодических движений в задачах конвекции систематизировано в монографиях [14, 15, 16]).

Целью данной диссертационной работы является исследование структуры и динамики связанных состояний топологических дефектов в пространственно-протяженных двумерных структурах, возникающих при термоконвекции Марангони-Бенара и при параметрическом возбуждении капиллярной ряби на поверхности жидкости.

При этом решаются следующие основные задачи:

1. Исследуется структура связанных состояний топологических дефектов, возникающих при параметрическом возбуждении капиллярной ряби на поверхности жидкости.

2. Разрабатывается математическая модель структуры связанного состояния и проводится сравнение экспериментальных и теоретических данных.

3. Исследуется структура пенто-гепто дефекта шестигранной структуры, возникающей при термоконвекции. Результат сравнивается с имеющимися теоретическими расчетами.

4. Изучаются характеристики пространственно-временного хаоса, образом которого является ансамбль взаимодействующих топологических дефектов.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе исследуются связанные состояния топологических дефектов структур, образованных стоячими волнами, параметрически возбуждаемыми на поверхности жидкости.

Следует отметить, что задача о параметрическом возбуждении волн пространственно-однородным полем накачки возникает в различных физических системах. Так в 70х и 80х годах были подробно исследованы различные режимы при параметрическом возбуждении спиновых волн однородным электромагнитным полем в ферромагнетиках [19, 20]. Однородное, гармонически изменяющееся во времени электромагнитное поле может возбуждать плазменные колебания на половинной частоте [21]. Поверхностные волны в океане могут параметрически возбуждаться при моретрясениях [22, 23], если эпицентр землетрясения находится в океане, который периодически поднимается и опускается.

По сравнению с перечисленными примерами рябь Фарадея обладает тем преимуществом, что поле капиллярных волн может быть легко визуализировано без создания сложных оптических или каких-либо других систем. Это позволяет исследовать не только характеристики временных реализаций, но и характеристики пространственных структур.

В п. 1.1 первой главы представлены результаты исследования структуры связанных состояний топологических дефектов, возникающих в капиллярных поверхностных волнах, параметрически возбуждаемых на поверхности протяженного горизонтального слоя жидкости, колеблющегося вертикально с частотой 2ы. Такие дефекты были описаны в работах [24, 25]. В отличии от конвекции, при параметрическом возбуждении волн пространственно однородным полем накачки паттерны состоят из пар встречных волн с частотой си. В каждой из пар встречные волны связаны благодаря внешнему осциллирующему полю. Характерной особенностью дефектов в ряби Фарадея является возможность возникновения связанных состояний. Топологический дефект, принадлежащий одной из волн, благодаря связи через накачку, обуславливает воздействие на встречную волну и продуцирует в ней фазовые искажения, что приводит к возникновению в ней дефекта. Благодаря этому в параметрически возбуждаемых волнах возникает сильное взаимодействие между топологическими дефектами. В п. 1.1 внимание сконцентрировано на структуре связанных состояний, образованных двумя топологическими дефектами, принадлежащими встречным волнам.

Изучению структур, возникающих в слое жидкости с периодической неоднородностью глубины, посвящен п. 1.2.

В п. 1.3 изложены результаты изучения генерации вихрей и переноса примеси топологическими дефектами поля капиллярной ряби.

Транспорт пассивной примеси в гидродинамических течениях представляет интерес для различных прикладных проблем, возникающих как при разработке технологий, так и в океанологии, биофизике, астрофизике и т.д.[26] Фундаментальное значение имеет выяснение механизмов транспорта частиц в гидродинамических системах, находящихся вдали от состояний равновесия. Для таких систем характерно возникновение пространственных паттернов и исследование движения частиц важно не только для изучения процессов перекоса, по и для получения дополпительной информации о структурах, которые возникают в гидродинамических течениях как результат самоорганизации.

Исследование движения частиц в параметрически возбуждаемой капиллярной ряби проводилось недавно в ряде работ [27, 28, 29, 30] для случая, когда при превышении порога генерации на поверхности протяженного слоя жидкости, колеблющегося в вертикальном направлении, возникают две взаимно-ортогональные стоячие волны. В работах [29, 30] исследовались траектории отдельной частицы в поле такой квадратной решетки и диффузия облака частиц, занимавших в начальный момент времени ограниченную область. Капиллярные волны, образующие квадратную решетку, неустойчивы к возбуждению модуляций [31], и с увеличением амплитуды колебаний происходит переход к пространственно временному хаосу волн огибающих.

Основное внимание в [29, 30] было уделено связи статистических характеристик движения частиц - среднего смещения частиц, пространственных корреляций с характеристиками паттернов, образующих капиллярную рябь, и выяснены условия, при которых возникает броуновское движение частиц.

В данной работе мы исследуем перенос примеси, вызванный уединенными топологическими дефектами. Насколько известно, крупномасштабные течения, вызываемые дефектами, не определялись экспериментально, хотя гипотетическая картина поля скорости, вызванного дефектом в роликовой структуре, представлена, например, в работе [33]. Подробное экспериментальное изучение течений, генерируемых уединенной дислокацией, важно, для исследования механизмов перемешивания в системах, где реализуется пространственно-временной хаос топологических дефектов.

Во второй главе работы изучается структура дефектов в пространственно-периодической структуре, образующейся при термоконвекции Марангони-Бенара в тонком горизонтальном г.ппе жидкости.

Гексагональные ячейки в двумерных неравновесных средах возникают достаточно часто. Структуры, состоящие из таких ячеек наблюдаются в конвекции Релея-Бенара в небуссинековских жидкостях [34, 37, 36, 37], в конвекции Марангони-Бенара [38], в автокаталитических реакциях и т.д. Среди дефектов наиболее типичными для гексагональных структур являются пенто-гепто дефекты, когда в пространственно периодической системе, состоящей из ячеек имеющих шесть соседей, существует пара ячеек с пятью и семью соседями. Возникнув, эти дефекты устойчиво существуют длительное время в отличие от других локализованных нарушений порядка.

Целью данной главы является детальное исследование полей пенто-гепто-дефектов в эксперименте по конвекции с тонкими слоями жидкости. Несмотря на то, что к настоящему времени проведено достаточно большое число численных и аналитических расчетов по исследованию динамики полей в процессе возникновения пенто-гепто-дефектов, в физических экспериментах исследовались, в основном, установившие процессы: фиксировалось расположение дефектов в пространственно протяженной системе, изучалась зависимость числа дефектов от надкри-тичности. Мы сконцентрируемся на анализе полей в окрестности дефекта. В п. 2.1 изложены результаты измерения характеристик пенто-гепто дефекта, затем проведено сравнение результатов обработки экспериментальных полей и теоретических расчетов (см. [39]).

В третьей главе изложены результаты исследования статистических характеристик ансамбля топологических дефектов, возникающих в структуре, которая образуется при параметрическом возбуждении капиллярных волн на поверхности жидкости.

Как выяснено к настоящему времени, в параметрически возбуждаемой ряби при достаточно большой вязкости жидкости вместо волн огибающих возможно возникновение топологических дефектов [32]. Образом пространственного беспорядка, возникающего при увеличении амплнту ды колебаний слоя, в этом случае является ансамбль взаимодействующих топологических дефектов. Как показано в работе [126], топологические дефекты, возникающие при параметрическом возбуждении волн, представляют собой связанные состояния двух одноименных топологических зарядов.

При увеличении надкритичности количество дефектов в пространственно периодических системах увеличивается, а взаимодействие дефектов может привести к пространственно-временному хаосу. Характеристики пространственно-временного хаоса топологических дефектов исследовались в конвекции Марангони-Бенара [40], для конвекции в бинарных смесях [41]. Авторами этих работ было обнаружено, например, что переход к хаосу дефектов в гексагональных решетках сопровождается увеличением количества пенто-гепто дефектов, которые образуют цепочки, разделяющие регионы с идеальными паттернами [40]. Такие же доменные структуры обнаружены при термоконвекции в бинарных смесях [41]. Как было замечено в [41], закон по которому увеличивается количество дефектов при увеличении надкритичности аналогичен закону по которому увеличивается количество дислокаций в кристалле при увеличении температуры.

В п. 3.1 дан обзор исследований проведенных в последнее время по проблеме пространственного хаоса капиллярной ряби.

В п. 3.2 описывается модель пространственно-временного беспорядка топологических дефектов, как ансамбля взаимодействующих топологических дефектов. Затем вводятся функции характеризующие пространственно-временной хаос (п. 3.3) и приводятся результаты измерения характеристик беспорядка топологических дефектов в поле капиллярной ряби.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению влияния внешних факторов, приводящих к анизотропии системы, на процессы формирования структур и на динамику дефектов в таких структурах на примере воздействия ветровых напряжений па структуру конвекции.

К настоящему времени исследование конвекции в слоях жидкости, однородно подогреваемых снизу, подробно проведено для случаев, когда на свободной поверхности отсутствуют напряжения, вызванные движением воздуха. Для таких систем определены критические параметры - числа Рэлея или Марангони, определяющие переходы от режима теплопроводности к конвекции и от структур одного типа к структурам другого типа (например, от роликовой конвекции к ячеистой конвекции). Между тем, в природе и технике достаточно часто в слое, где имеется градиент температуры, на свободной границе существуют ненулевые тангенциальные напряжения и в жидкости возникает сдвиговое течение. Конвекция такого сорта возникает в океане. В тонком тепловом пограничном слое (порядка миллиметра) при определенных условиях возникает градиент температуры, вызванный испарением жидкости [42]. При этом на свободной поверхности температура меньше, а плотность соответственно больше, чем в глубине. Такой слой жидкости, в котором температура уменьшается при удалении от поверхности, называют иногда холодной пленкой. Наличие ветровых напряжений приводит к появлению сдвиговых течений. Вблизи свободной поверхности характерный вертикальный масштаб сдвигового течения в воде, также как и характерный вертикальный масштаб изменения температуры, может составлять величину порядка миллиметра и менее [43]. В связи с этим представляется важным изучить влияние сдвигового течения на конвекцию. Такая задача исследуется в данной главе.

В п. 4.1 термоконвекция рассматривается как пример градиентной системы и образование структуры как переход к минимуму функционала Ляпунова.

П. 4.2 посвящен изложению результатов изучения воздействия ветра на конвективную структуру, а в п. 4.3 представлена математическая модель описывающая это воздействие. Показано, что переходу к роликовой итр^ТЛ^ Г> тт О ХТ ИЛ Г\ ТТ Л лгл ТТЛ тттт ГГ\Г1Л тц-тттттгл лтол ттгтгт тт гтгтт ттт а г»лт/т\п/л

V/ X у л.\. ± ^ } Х-> ^ии.11АУЛ. Ч^^Ч^Х XX , IV! £111 IV! СЬ!^*!./! и 11 ЧУ УУ функционала.

Основные результаты диссертации докладывались на 6-ой Всероссийской школе- семинаре "Волновыеявления в неоднородных средах"(Крас-новидово, 1998г.), Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях"(Москва, 2001 г.), 5th International school on chaotic oscillation and pattern formation (Саратов, 1998 г.), Научной конференции по радиофизике, посвященной 80-летию ННГУ им. Лобачевского (Н.Новгород, 1998 г.), 6th International conference CHAOS'Ol (Саратов, 2001 г.), International conference "Progress in Nonlinear Science"(Nizhny Novgorod, 2001), 6th Experimental chaos conference (Potsdam, 2001), Second International Conference "Control of oscillation and chaos"(Санкт-Петербург, 2000 г.), Нижегородской сессии молодых ученых (1999, 2000 г.), I Международной конференции "Термодинамика океана; микро- и мезомасштпбы" (Москва, 2000 г.), а также на семинарах ИПФ РАН и Института механики МГУ.

Материалы диссертации опубликованы в работах [122]-[140].

4.4 Выводы

Изучено воздействие ветровых напряжений на структуру конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости. Выяснено, что под воздействием ветровых напряжений происходит, прежде всего, увеличение размера конвективных ячеек и их дрейф в направлении воздушного потока. При превышении критического значения скорости потока, в место ячеистой конвекции, возникает роликовая структура. На основе феноменологического уравнения Свифта-Хоэнберга разработана математическая модель, описывающая переход от шестигранной структуры к вытянутым ячейкам, а затем к роликам, вытянутым вдоль ветра.

Подобное явление - возникновение роликовой структуры может наблюдаться в натурных условиях. В [42] описываются визуальные наблюдения Вудсока пятидесятилетней давности [112] за состоянием поверхности в мелких заливах, прудах и в открытом море (на поверхности крупных волн) при наличии пограничного слоя и действии ветра. Вудсок отмечал появление полос, выстраивающихся по ветру с пространственным периодом порядка сантиметра.

Следует отметить, что в отличии от циркуляций Ленгмюра (см., например, [115] и цитируемую там литературу), в данной ситуации, толщина слоя, в котором происходит конвекция, порядка миллиметра и существенную роль играет эффект Марангони.

Зафиксированы подобные структуры и на поверхности Горьковско-го водохранилища см. рис. 4.9. Фотография была сделана в солнечную погоду при температуре воздуха 25°С и слабом ветре. Визуализация роликовой структуры оказалась возможной благодаря присутствию в приповерхностном слое фитопланктона. Полосы вытянуты вдоль направления ветра, пространственный период составляет несколько сантиметров. Эти полосы, на наш взгляд, могут быть интерпретированы как роликовая конвекция в температурном пограничном слое.

Заключение

Кратко сформулируем результаты работы:

• Исследованы характеристики связанных состояний топологических дефектов, возникающих в стоячих волнах, параметрически возбуждаемых на поверхности жидкости.

- Выяснена зависимость расстояния между дефектами, образующими связанное состояние, от надкритичности и глубины слоя жидкости.

- Установлено, что поле фазы дислокаций, составляющих связанное состояние в капиллярной ряби, содержит составляющую, пропорциональную косинусу двойного азимутального угла.

• Обнаружено, что при наличии периодической неоднородности дна в тетрагональной структуре капиллярной ряби, существуют связанные состояния, состоящие из двух пар топологических дефектов, где каждая пара принадлежит одной из двух ортогональных мод, образующих тетрагональную структуру. Такое связанное состояние существует благодаря связи капиллярных волн через неоднородность.

• Обнаружено, что топологические дефекты в пространственно периодических ячеистых структурах, на поверхности вибрирующего слоя жидкости, создают крупномасштабные средние течения, а также могут захватывать и переносить пассивную примесь; при движении дефекта образуются два вихря, расположенных по обе стороны от оси движения дефекта.

• Рассчитаны количественные характеристики пространственного беспорядка топологических дефектов в капиллярной ряби : найдена зависимость числа дефектов в структурах от надкритичности, определены пространственные корреляционные функции расположения дефектов.

• Исследованы характеристики пенто-гепто дефектов в шестигранных решетках, образующихся при термоконвекции в слое жидкости. Установлено, что поле фазы дислокаций, составляющих пенто-гепто дефект, также как в связанных состояниях при параметрическом возбуждении волн, содержит составляющую, пропорциональную косинусу двойного азимутального угла.

• Установлено, что ветровые напряжения при термоконвекции могут регуляризировать структуру - вызывать переход от нерегулярных ячеек с дефектами к роликовой структуре. На основе феноменологического уравнения Свифта-Хоэнберга разработана математическая модель, описывающая переход, возникающий при увеличении скорости ветра, от ячеистой структуры к вытянутым ячейкам, а затем к роликам, вытянутым вдоль направления ветра.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика том V1.. Теория упругости, М.: Наука. 1987, 736 с.

2. Whitehead J.A. Dislocation in convection and the onset the of chaos, Phys. Fluids, 1983, v.26, N10, p.2899-2904.

3. Pantaloni I., Cersier P., Structure defects in Benard-Marangoni instability, Lecture Notes in Physics, v.210, Springer-Verlag, Berlin, 1984, p. 197-206.

4. Hu J., Edu R.E., Ahlers G., Transition to spiral defects chaos in low Prandtl number convection, Phys. Rev. Lett., 1995, v.74, n 3, p. 391394.

5. Morris S.W., Bodenschats E., Cannel D.S., Ahlers G. Spiral defects in large aspect ratio Rayleigh-Benard convection, Phys. Rev. Lett., 1993, v.71, p.2026.

6. Swift J.В., Hohenberg P.C., Hydrodynamic fluctuations at the convective instabilities, Phys. Rev., 1977, A, 15, p.319.

7. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide, Reue generale des Science, pures et appliques. 1900, v.12, p. 1261.

8. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent, Ann. Chim. Phys., 1901, v.23, p.62.

9. Wasiytinsky J. Studies in hydrodynamics and structure of stars and planets, Astrophysica Norvegica, 1946, v.4, J.Dybwad, Oslo.

10. Parsons В., McKenzie D. Mantle convection and the thermal structure of the planets, J. Geophys. Res., 1978, v.83, p.4485-4496.

11. Froidevaux C., Hataf H.C. Continental drift: What driving mechanism?, Geol. Rundschau, 1981, v.70, p.166-176.

12. Шлиомис М.И. О колебательной конвективной неустойчивости проводящей жидкости в магнитном поле, ПММ, 1964, т.28, Э 4, с.678.

13. Сорокин B.C., Сушкин И.В. Устойчивость равновесия подогреваемой снизу проводящей жидкости в магнитном поле, ЖЭТФ, 1960, т.38, Э 2, с.612.

14. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости, М.: Наука, 1972, 392с.

15. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений, М.: Наука, 1989, 320с.

16. Гетлинг А.В., Конвекция Рэлея Бенара. Структуры и динамика, М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248С.

17. Kuramoto Y., and Tsuzuki Т., Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium, Prog. Theor. Phys., 1976, v.55, p.356.

18. Sivashinsky G.I., Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames, Part I. Derivation of basic equation, 1977, 4, p.1177.

19. Захаров B.E., Львов B.C., Старобинец С.С., Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения, УФН, 1974, т. 114, с.609.

20. Львов B.C., Докторская диссертация, Новосибирск, 1973г., 291с.

21. Алиев Ю.М., Ферленги Э., Параметрическое возбуждение поверхностных колебаний плазмы, ЖЭТФ, 1969, т.57, №5, с.1627.

22. Александров В.Е., Басов Б.И., Левин Б.В., Соловьев C.JI., О формировании диссипативных структур при моретрясениях, Доклады Академии Наук СССР, 1986, т.289, №5, с.1071-1074.

23. Левин Б.В., Трубников Б.А., Фазовые переходы в решетке пара-метричеких волн на поверхности колеблющейся жидкости, Письма в ЖЭТФ, 1986, т.44, в.7. с.311-315.

24. Ezersky А.В., Ermoshin D.A., Kiyashko S.V., Dynamics of defects in parametrically excited capillary ripples, Phys. Rev. E, 1995, v.51, n.4, p.4411-4417.

25. Ezersky А.В., Kiyashko S.V., Matusov P.A., Rabinovich M.I., Domain, domain walls and dislocations in capillary ripples, Europhys. Lett., 1994, v.26, n.3, p.183-188.

26. Ottino J.M., The kinematics of mixing: streching, chaos, and turbulence. Cambridge University press, Cambridge, 1989.

27. Gollub J.P., Nonlinear waves: dynamics and transport. PhysicaD, 1991, v.51, p.501-511.

28. Mesquita O.N., Kane S., Gollub J.P., Transport by capillary waves: fluctuating Stokes drift. Phys.Rev. A, 1992, v.45, n.6, p.3700-3705.

29. Ramshankar R., Berlin D., Gollab J.P., Transport by capillary waves, part I: Particle trajectories, Phys. Fluids A 2, 1990, p.1955-1965.

30. Ramshankar R., Gollub J.P., Transport by capillary waves, part II: Scalar dispersion and structure of concentration field. Phys. Fluids, 1991, A 3, p.1344.

31. Езерский А.Б., Рабинович М.И., Реутов В.П., Старобинец И.М., Пространственно-временной хаос в параметрически возбуждаемой капиллярной ряби. ЖЭТФ. 1986, т.91, с.2070-2083.

32. Ezersky A.B., Kiyashko S.V. Matusov P.A., Rabinovich M.I., Domain, domain walls and dislocation in cappilary ripples. Europhys. Lett. 1994, v.26, N 3, p.183-188

33. Croquette V., Convective patterns at low Prandtl number: Part II. Contemporary Physics, 1989, v.30, n.3, p. 153-171.

34. Waiden R.W. and Ahlers G., Non-Boussinesq and penetrative convection in a cylindrical cell, J.Fluid. Mech., 1981, v.109, n.89. p.89-104.

35. Ciliberto S. et al., Competition between different symmetries in convective patterns, Phys. Rev. Lett., 1988, v.61, p.1198-1201.

36. Ciliberto S. et al., Defects in roll-hexagon competition, Phys. Rev. Lett., 1990, v.65, p.2370-2373.

37. Bodenschatz E. et al., Transition between patterns in thermal convection, Phys. Rev. Lett., 1991, v.67, p.3078-3081.

38. Ceriser P. et al., Wavelength selection in Benard-Marangoni convection Phys. Rev. A, 1987, v.35, p.1949-1952.

39. Pismen L.M., Nepomnyashchy A.A., Structure of dislocation in hexagonal pattern, Europhys. Lett., 1993, v.24 (6), p.461-465.

40. Perez-Garcia C. Cerisier P. Occelli R., Pattern selection in Benard-Marangoni instability. In Propagation in systems far from equilibrium, ed. by J.E. Wesfreid, H.R. Brand, P. Manneville, N. Boccacia, SpringerVerlag, Berlin, 1988, p.232.

41. La Porta A., Surko S.M., Phase defects as a measure of disoader in travelling-wave convection. Phys. Rev. Lett., 1996, v.77, n.13, p.2678.

42. Федоров K.H., Гинзбург A.M. Приповерхностный слой океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.

43. Wu J. Viscous sublayer below a wind-disturbed water surface, J. Phys.Ocean. 1984, v.14, p.138-144.

44. Pocheau A., Croquette V. Dislocation motion: a wavenmuber selection mechanism in Reyleigh-Benard convection. J.Phys. (Paris) 1984, v.45, p.35.

45. Rasenat S., Steinberg V., Rehberg I. Experimental studies of defects dynamics and interaction in electrodynamic conbection. Phys. Rev. A1990, v.42, n.10, p.5998.

46. Goren G., Procaccia I., Rasenat S., Steinberg V. Interaction and dynamics of topological defects: theory and experiments near the onset of weak turbulence, Phys. Rev. Lett., 1989, v.63, n.12, p.1237.

47. Joets A., Ribotta R. Localized bifurcations and defect instabilities in the convection of a nematic liquid crystal. Journal of Statistical Physics,1991, v.64, n.5/6, p.981.

48. Pismen L.M., Nepomnyashchy A.A. Structure of dislocations in the hexagonal pattern. Europhys. Lett., 1993, v.24, n.6, p.461.

49. Афенченко В.О., Езерский А.Б., Ермошин Д. А. Динамика дислокаций в пространственно-периодических структурах, Изв. РАН, сер. физ., 1996, v.60, N.12, с.146.

50. Rabinovich M.I., Tsimring L.S. Dynamics of dislocations in hexagonal patterns. Phys. Rev. E, 1994, v.49, n.l, R35.

51. Afenchenko V.O., Ezersky А.В. Dynamics of topological dislocation in a hexagonal lattice appearing at Marangoni-Benard thermoconvection. Izv. VUZov, Applied Nonlinear Dynamics 2000, v.8, n.2, p.43.

52. Gluckman B.J., Marcq P., Bridger J., Gollab J.P. Time averaging of chaotic spatiotemporal wave pattern. Phys. Rev. E, 1993, v.71, n.13. p. 2034-2037.

53. Ezersky А.В., Rabinovich M.I., Reutov V.P., Starobinets I.M. Spatiotemporal chaos in the parametrically excitation of capillary ripple. Sov. Phys. JETP 1986, v.64, p.1228-1236.

54. Milner S.T. Square patterns and secondary instabilities in driven capillary waves, J. Fluid Mech., 1991, v.225, p.81.

55. Lyngshansen L. Alstrom P. Perturbation theory of parametrically driven capillary waves at low viscosity. J.Fluid Mech., 1997, v.351. p.301-344.

56. Zhang W., Vinals J. Pattern formation in weakly damped parametric surface waves driven by two frequency components, J. Fluid Mech., 1997, v.341, p.225-244.

57. Zhang W., Vinals J. Pattern formation in weakly damped parametric surface waves, J. Fluid Mech., 1997, v.336, p.301-330.

58. Филипс O.M., Динамика верхнего слоя океана, М.: "Мир", 1969.

59. Езерский А.Б., Поднозов А.В., Течения, индуцируемые трехмерными пакетами поверхностных волн. Вестник ННГУ. Нелинейная динамика синхронизация и хаос - II. 1997, с.35-42.

60. Лаврентеьв М.А., Шабат Б.В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, М.: "Наука", 1977, 408 с.

61. Cross M. and Hohenberg P., Pattern Formation outside of equilibrium, Rev.Mod.Phys, 1991, v.65, p.851.

62. Афенченко В.О., Езерский A.B. Ермошин Д.А. Динамика дефектов в гексагональных решетках, возникающих при конвекции Марангони-Венара, Вестник ННГУ, 1996, с.35.

63. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение поверхностных волн, Инженерно-физический журнал, 1984, т.47, с.1028-1042.

64. Miles J., Henderson D., Pararnetrically forced surface waves, Annu. Rev. Fluid Mech., 1990, v.22, p. 143-165.

65. Арбузов В.А., Кузнецов E.A. Носков H.H., Полещук А.Г., Савельев В.В., Федоров В.А., О параметрическом возбуждении волн на поверхности жидкости, Институт Автоматики и электорометрии СО АН СССР, Новосибирск, 1977, препринт N57.

66. Нестеров C.B., Секерж-Зенькович С.Я., Секерж-Зенькович Я.И., Теоретическое и экспериментальное исследование волновых движений в двухслойной жидкости, В кн. Пятый Всес. съезд по теоретической и прикладной механике: Аннотации докл. Алма-Ата: Наука, 1981.

67. Секерж-Зенькович С.Я., Калиниченко В.А., О возбуждении внутренних волн в двухслойной жидкости вертикальными колебаниями, Доклады АН СССР, 1979, т.249, в.4, с.797-799.

68. Калиниченко В.А., Нестеров C.B., Секерж-Зенькович С.Я., Чаи-ковский A.A., Экспериментальное изучение поверхностных волн, возбуждаемых при резонансе Фарадея, Известия Академии Наук МЖГ, 1995, N 1, с.122-129.

69. Целыковский А.Ф., Параметрическое возбуждение капиллярных волн на поверхности осциллирующей жидкости, Теория дифракциии распространения волн: Краткие тезисы докл. 7-го Всес. симпозиума по дифракции и распространению волн., М: Наука, 1977, т.З, с.171.

70. Горшков А.С., Марченко В.Ф., Целыковский А.Ф., Параметрическая генерация гравитационных волн на поверхности жидкости. ЖТФ, 1970, т.40, в.6, с.1331-1333.

71. Горшков А.С., Марченко В.Ф., Целыковский А.Ф., Параметрическое усиление волн на поверхности жидкости, Изв. вузов Радиофизика, 1971, т.14, в.2, с.323-325.

72. Марченко В.Ф., Целыковский А.Ф., Параметрическая неустойчивость гравитационных волн на поверхности глубокой воды, ПМТФ, 1972, в.З, с.182-185.

73. Нестеров С.В., Параметрическое возбуждение переменным электрическим полем волн на поверхности жидкости, Вест. Московского ун-та, Сер. физика, астрономия 1964, в.1, с.56-59.

74. Брискман В.А., Шайдуров Г.Ф. Параметрическая неустойчивость поверхности жидкости в переменном электрическом поле, Докл. АН СССР, 1968, т.180, в.б, с.1315-1318.

75. Gollub J.P., Meyer C.W., Symmetry breaking instabilities on a fluid surface, Physica D, 1983, v.9, p.337-346.

76. Ciliberto S., Gollub J.P., Chaotic mode compertion in parametrically forced surface waves, J. Fluid Mech., 1985, v.158, p. 381-398.

77. Ciliberto S., Gollub J.P., Pattern compertion leads to chaos, Phy. Rev. Lett., 1984, v.52, p.922-925.

78. Crawford J.D., Knobloch E., Riecke H., Period-doubling mode interactions with circular symmetry, Physica D, 1990, v.44, p.340-396.

79. Meron E., Procaccia I., Low-dimensional chaos in surface waves: Theoretical analysis of experiment, Phys. Rev. A, 1986, v.34, p.3221-3227.

80. Miles J.W., Nonlinear Faraday resonance, J.Fluid Mech., 1984, v.146, p.285-302.

81. Miles J. Symmetries of internally resonant, parametrically excited surface waves, Phys. Rev. Lett., 1989, v.63, p.1436.

82. Nagata M., Nonlinear Faraday resonance in a box with square base, J.Fluid Mech., 1989, v.209, p.265.

83. Silver S., Knobloch E., Parametrically excited surface waves in square geometry, Phys. Lett. 1988, v. 137, p.349.

84. Umeki M., Kambe J.В., Nonlinear dynamics and chaos in parametrically excited surface waves, J. Phys. Soc. Japan, 1989, v.48, p.140.

85. Umeki M., Faraday resonance in rectangular geometry, J. Fluid Mech., 1991, v.227, p.161.

86. Kambe Т., Umeki M., Nonlinear dynamics of two-mode interactions in parametric excitation surface waves, J. Fluid Mech., v.212, p.373.

87. Edwards W.S., Fauve S., Patterns and quasi-patterns in Faraday experiment, J.Fluid Mech., 1994, v.278, p. 123.

88. Маломед Б.А., Непомнящий А.А., Трибельский М.И., Двумерные квазипериодические структуры в неравновесных системах, ЖЭТФ, 1989, т.96, в.2(8), с.684.

89. Абарбанель Г., Рабинович М.И., Цимринг Ш.Е., Кристаллы и квазикристаллы в неравновесных средах, Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, 1994, т.2, N 1, с.5.

90. Christiansen В., Altrom P., Levinsen M.T., Ordered capillary wave states: Quasiqristals, hexagons, and radial waves. Physical Rev. Lett., 1992, v.68, N14, p.2157.

91. Edwards W.S., Fauve S., Parametrically excited quasiqristalline surface waves, Phys. Rev. E. 1993. v.47. R788.

92. Александров B.E., Басов Б.И., Левин Б.В., Соловьев С.Л., О формировании диссипативных структур при моретрясениях, Доклады Академии Наук СССР, 1986, т.289, N 5, с.1071.

93. Левин Б.В., Трубников Б.А., Фазовые переходы в решетке параметрических волн на поверхности колеблющейся жидкости, Письма в ЖЭТФ, 1986, т.44, в.7, с.311.

94. Езерский А.Б., Коротин П.П., Рабинович М.И., Хаотическая автомодуляция двумерных структур на поверхности жидкости при параметрическом возбуждении. Письма в ЖЭТФ, 1985, т.41, вып.4, с.129.

95. Езерский А.Б., Рабинович М.И., Реутов В.П., Старобинец И.М., Пространственно-временной хаос параметрически возбуждаемой капиллярной ряби, ЖЭТФ, 1988, т.91, в.6(12), с.2070.

96. Езерский А.Б., Шехов В.Г., Пространственно-временная модуляция поверхностных волн параметрически возбуждаемых однородным полем, ЖТФ, 1989, т.59, N 4, с.7.

97. Tufillaro N.B., Ramshnkar R., Gollub J.P., Order- disorder transition in capillary ripples, Phys. Rev. Lett., 1989, v.62, p.422.

98. Douady S., Fauve S., Pattern selection in Farday instability, Europhysics Letters 1988, v.6, N 3, p.221.

99. Fauve S., Kumar K., Laroche C., Beysense D., Garribos Y., Parametric instability of a liquid vapor interface close to the critical point, Phys. Rev. Lett., 1992, v.68, p.3160.100101102103104105106107108

100. Bechhoefer J., Ego V., Manneville S., Johnson В., An experimental study of parametrically pumped surface waves in viscous fluids, J.Fluid Mech, 1994, N 11.

101. Gluckman B.J., Marcq P., Bridger J., Gollub J.P., Time averaging of chaotic spatiotemporal wave pattern. Physical Review Letters, 1993, v.71, N 13, p.2034.

102. Bosch E., van de Water W., Spatiotemporal intermittency in the Faraday experiment, Physical Review Letters, 1993, v.70, N 22, p.3420.

103. Shraiman B.I., Order, disorder and phase turbulence, Phys. Rev. Lett., 1987, v.57, p.325.

104. Shraiman B.I. at al., Spatiotemporal chaos in the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation, Phisica D, 1992.

105. Walgraef D. et al., Chemical waves in a two dimensional oscillating system, J.Chem. Phys., 1983, v.78, p.3043.

106. Occelli R.E. et al., Order in convective structures, J.Phys. Lett., 1983, v.44, p.567.

107. Езерский A.B., Чернов В.В., Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 1999, т.35, с.656.

108. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа,- М.: Наука, 1987.

109. Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I., Nonlinearities in Action, Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1992.

110. Walgraef D., Schiller C. Anisotropy effects on pattern selection near dynamical instabilities, Physica D 1987, v.27, p.423-412.

111. Хакен Г., Синергетика, М.: Мир, 1980.

112. Woodcock А.Н. Surface cooling and streaming in shallow fiesh and salt waters, J. Mar. Res., 1941, v.4, n.2. p.153.

113. Newell A.C., Whitehead J.A., Finite bandwidth, finite amplitude convection, J.Fluid Mech., 1969. v.38, p.279.

114. Stewartson K., Stuart J.Т. A nonlinear instability theory for a wave system in plane Poiseuille flow, J.Fluid Mech., 1971, v. 48, p.529-545.

115. Емельянова O.B., Орданович A.E., Об эффективности конвективных и волновых механизмов возбуждения циркуляции: Ленгмора, Вестник МГУ, математика, механика, 2000, N 3, с.36-40.

116. Haken Н., Advanced Synergetics, Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and Devices (Springer, New York 1983).

117. Sh.-K.Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Benjamin Inc., London 1976).

118. Normand C., Pomeau Y., Velarde M.C., Convective instability: a physicist's approach, Rev. Mod. Phys., 1977, v.49, p.581.

119. Perez-Garcia C., in Stability in Thermodynamic System, ed. by J. Casaa-Vasquez and G.Lebon, Lecture Notes in Physics, Vol.164, (Springer, Berlin 1983).

120. Tesauro G., Cross VI.C. Climbing of dislocations in nonequilibrium patterns, Phys. Rev.,1986, A34, p.1363-1379.

121. Heutmaker M.S., Gollub J.P., Wave-vector field of convective flow patterns, Phys. Rev., 1987, A35, 1, p.242-260.

122. Afenchenko V.O. Ezersky А.В. Nazarovsky A.V., Velarde M.G., "The Structures of Pento-hepto Defects in Hehagonal Lattices at Benard-Marangoni Convection", "International Journal of Bifurcation and Chaos", Vol. 11, No. 5 (2001), pp. 1261-1273.

123. Ezersky А.В., Kiyashko S.V., Nazarovsky A.V., "Bound States of Topological Defects in Parametrically Excited Capillary Ripples", Physica D, v. 152-153 (2001), pp. 310-324.

124. Ezersky А.В., Nazarovsky A.V., Chernov V.V., The action of wind stresses on convective structures, Тезисы I Международной конференции "Термодинамика океана: микро- и мезомасштпбы", Москва, 2000, с.З.

125. Езерский А.Б., Кияшко С.В., Назаровский А.В., Динамика топологических дефектов в протяженных пространственно-периодических структурах, The book of abstracts of 6th International Conference CHAOS'Ol, 2-7 октября, 2001 г., с.65.

126. Ezersky А.В., Kiyashko S.V., Nazarovsky A.V., Defects and Domain Walls at Parametric Excitation Capillary Ripples, Тезисы докладов международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях", Москва, 20-22 июня. 2001, с.104.

127. Ezersky А.В., Kiyashko S.V., Nazarovsky A.V., The Dynamics of Bound States of Topological Defects in Extended Spatially Periodic Structures, Proceedings of the 6th Experimental Chaos Conference, Potsdam, Germany, July 22-26, 2001, pp. 359-364.

128. Ezersky А.В., Kiyashko S.V., Nazarovsky A.V., "Vortex Structures in a Thin Oscillating Liquid Layer", Proceedings of Second International Conference "Control of Oscillation and Chaos", Saint-Petersburg, Russia, July 5-7, 2000, p.552-557.

129. Езерский А.В., Кияшко С.В., Назаровский А.В., Связанные состояния топологических дефектов в параметрически возбуждаемой капиллярной ряби, ИПФ РАН, 1999, препринт N 496.

130. Езерский А.В., Кияшко С.В., Назаровский А.В., Перенос примеси топологическими дефектами поля параметрически возбуждаемой капиллярной ряби, ИПФ РАН, 1999, препринт N 506.

131. Кияшко С.В., Назаровский А.В., Структуры при параметрическом возбуждении капиллярной ряби в слое с периодической неоднородностью глубины, Изв. Академии Наук, серия физическая, 2000, т.64, N 12, с.2405-2411.

132. Езерский A.B., Назаровский A.B., Чернов В.В., Воздействие ветровых напряжений на структуру конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости, Изв. Академии Наук, серия физическая, 2000, т.64, N 12, с.2397-2404.

133. A.B. Ezersky, S.V. Kiyashko, A.V. Nazarovsky, Chaotic dynamics of topological defects in parametrically excited waves, in "Nonlinearity and Disorder: Theory and applications", F.Abdulaev at al. (eds.), Kluwer Academic Publishers, 2001, p.239-253.

134. Афенченко В.О., Езерский A.B., Кияшко С.В., Назаровский A.B. Фазовые поля топологических дефектов в пространственно-периодических структурах, Тезисы 4-ой нижегородской конференции молодых ученых, 1999.

135. Езерский A.B., Назаровский A.B., Чернов В.В., Воздействие ветровых напряжений на структуру конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости, Тезисы 5-ой нижегородской конференции молодых ученых. 2000.

136. Езерский A.B., Назаровский A.B., Чернов В.В., Воздействие ветровых напряжений на структуру конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости, Труды VII Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", 2000, Красновидово, с.13-14.