Функциональный подход в гидродинамике нематических жидких кристаллов при наличии градиента температуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ПРОБЛЕМЕ РЭ-ЛЕЯ-БЕНАРА В НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ. ФЛУКТУАЦИИ СКОРОСТИ, ДИРЕКТОРА И ТЕМПЕРАТУРЫ НИЖЕ ПОРОГА ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

2.1 Основные уравнения гидродинамики НЖК.

2.2 Постановка задачи

2.3 Решение линейной задачи движения НЖК в тепловом поле

2.4 Флуктуации скорости, директора и температуры в НЖК ниже порога термоконвекции

Глава 3. "СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЙ" АНАЛИЗ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ НЖК

3.1 Выбор медленных переменных для "слабонелинейного" анализа

3.2 Уравнение для параметра порядка.

Глава 4. ОБОБЩЕННЫЙ ФУНКЦИОНАЛ ЛАНДАУ. ФЛУКТУАЦИИ В НЖК ВЫШЕ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

4.1 Функционал Ландау.

4.2 Флуктуации параметра порядка для одномерного случая

Жидкие кристаллы были открыты еще в начале прошлого столетия, однако результаты исследований их физических свойств не получили в то время широкой известности. Это было обусловлено тем, что жидкокристаллические материалы не находили практического применения. Возможность применения жидких кристаллов (ЖК) для систем отображения и записи информации, например, жидкокристаллических индикаторов и плоских дисплеев, была открыта к началу 60-х годов, что и вызвало интенсивные исследования в физике жидких кристаллов.

За последние десятилетия особенно интересным и продуктивным стало направление исследований, связанное с изучением надмолекулярных структур, возникающих в жидких кристаллах. Первые исследования подобных структур, возникающих в пространственно однородных системах, были начаты еще школой И.Пригожина [1, 2, 3], где получили название "диссипативные структуры", которое подчеркивает термодинамический аспект проблемы: они существуют за счет притока энергии и вещества из внешней среды и их диссипации внутри системы. Изучение подобных систем, находящихся в состояниях, далеких от равновесия, показало, что их поведение может быть прямо противоположным тому, которое предсказывает теорема о минимуме производства энтропии (теорема была сформулирована в 1945 году) [3]. Эта теорема выражает своего рода свойство "инерции" неравновесных систем: если заданные граничные условия мешают системе достичь термодинамического равновесия (то есть нулевого производства энтропии), то система переходит в состояние с минимальным производством энтропии (состояние "наименьшей диссипации").

Одним из первых эффектов, проанализированных с термодинамической точки зрения, являлась неустойчивость Рэлея-Бенара [4]. Подобная неустойчивость возникает в слое изотропной жидкости, помещенной между двумя параллельными пластинами в постоянном поле тяготения, причем температура нижней пластины Т\ больше, чем температура верхней Т2. При достаточно большом значении градиента температуры АТ = {Т\ — Т2) состояние покоя становится неустойчивым и возникает конвекция жидкости. При этом возникает упорядоченная структура из шестиугольных ячеек, которую можно наблюдать визуально (подробное описание эффектов, связанных с конвекцией в жидкости можно найти, например, в [5, 6]). Для того, чтобы существовала такая структура, необходимо, чтобы очень большое число молекул жидкости длительное время двигалось когерентно. Механизм возникновения конвекции в жидкости при неустойчивости Рэлея-Бенара можно описать следующим образом. Слабые конвективные токи как флуктуации относительно среднего состояния существуют всегда, но ниже некоторого критического значения градиента температуры затухают и исчезают. При превышении критического значения градиента температуры некоторые флуктуации усиливаются и порождают собой макроскопическое движение жидкости. Возникающий надмолекулярный порядок стабилизируется за счет обмена энергией с окружающей средой. Таким образом, энтропия, как мера хаоса, в связи с возникновением надмолекулярного порядка, может уменьшаться с течением времени.

Вместе с конвекцией Рэлея-Бенара хорошо исследованными на сегодняшний день примерами неравновесных систем являются реакция Белоусова-Жаботинского, вихри Тейлора и другие [4].

Сравнительно новой системой, богатой структурными превращениями, можно считать термоконвективную неустойчивость в жидких кристаллах.

Жидкие кристаллы представляют собой разновидность конденсированного состояния вещества, способного находиться в термодинамически устойчивом состоянии между изотропно-жидкой и твердой фазами. Переходы в ЖК состояния могут быть вызваны чисто термически (термотропные ЖК) или влиянием растворителей (лиотропные ЖК). Структура и классификация ЖК хорошо описаны в монографиях де Жена [7], Пикина [8]. Фундаментальным свойством ЖК, отличающим его от изотропной жидкости и придающим сходство с твердым телом, является наличие ориентационной степени свободы, которая характеризует макроскопическую упорядоченность длинных осей молекул в пространстве. Эта дополнительная степень свободы и обуславливает уникальные свойства анизотропной жидкости, связанные с высокой чувствительностью пространственного распределения молекул по отношению к воздействию внешних физических сил. Благодаря анизотропии диэлектрических, магнитных и вязкоупругих свойств жидкие кристаллы претерпевают разнообразные структурные превращения при воздействии внешних полей. Воздействие последних приводит к возникновению упорядоченных структур, которые представляют собой оптически анизотропную среду с распределенным в пространстве показателем преломления.

В настоящее время наиболее широко исследуется поведение немати-ческих жидких кристаллов (НЖК) во внешних полях. НЖК характеризуются отсутствием дальнего порядка в расположении центров тяжести молекул. Тем не менее в расположении молекул нематика наблюдается определенный порядок - молекулы имеют тенденцию устанавливаться параллельно некоторой оси. Это направление преимущественной ориентации молекул принято характеризовать единичным вектором п, называемым "директором". Следствием этого является то, что нематик - оптически одноосная среда (оптическая ось направлена вдоль п). Направления п и — п неразличимы. Таким образом, нематические жидкие кристаллы обладают присущей твердым телам оптической, электрической и магнитной анизотропией.

Необходимо заметить, что термоконвекция в НЖК имеет ряд особенностей, которые отличают ее от конвективных неустойчивостей в изотропных жидкостях.

Во-первых, кроме прилагаемого градиента температуры в качестве управляющего параметра может выступать также внешнее магнитное поле.

Во-вторых, большое количество материальных констант, описывающих термоконвекцию в НЖК предполагает различные сценарии образования диссипативных структур и многообразие их форм. Отметим, что термоконвекция описывается 5 независимыми коэффициентами вязкости Лэсли, 3 константами упругости Франка, 2 коэффициентами теплопроводности и коэффициентом теплового расширения.

В-третьих, необходимо учитывать ориентирующее влияние границ на распределение молекул НЖК в пространстве. Если на границах не-матической жидкости молекулы ориентированы параллельно ограничивающей пластине (так называемая планарная ориентация молекул), то при возникновении термоконвекции образуются стационарные дис-сипативные структуры, если молекулы ориентированы перпендикулярно (гомеотропная ориентация), то могут образоваться осциллирующие структуры [9].

В настоящее время экспериментально открыто и изучено достаточно большое количество конвективных структур в НЖК. Однако теоретические их исследования проводились лишь в линейном приближении, а выполненные численные расчеты относились к слабонелинейному анализу уравнений гидродинамики нематической жидкости. В связи с этим представляет интерес примение в нелинейной задаче термоконвекции в анизотропной жидкости асимптотических методов. Одним из таких методов является метод многомасштабного разложения [10], который позволяет получить уравнение для параметра порядка, описывающее возникающие выше порога неустойчивости конвективные структуры. Используя это уравнение можно восстановить обобщенный функционал Ландау, являющийся аналогом свободной энергии. На основе использования обобщенного функционала можно найти область устойчивости решений амплитудного уравнения и изучить поведение корреляционных функций параметра порядка как выше, так и ниже порога термоконвекции.

Целью работы является исследование поведения нематического жидкого кристалла в поле градиента температуры выше порога термоконвекции с помощью метода многих масштабов, а также анализ флукту-аций в НЖК в критической области возникновения конвекции.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Найдены аналитические выражения для флуктуационных мод, существующих ниже порога неустойчивости.

2. С помощью теории возмущений получено уравнение для параметра порядка, коэффициенты которого впервые выписаны в аналитическом виде. Получен соответствующий функционал Ландау и проанализирована устойчивость решения в виде плоской волны выше порога термоконвекции.

3. Впервые получены аналитические выражения для спектральных плотностей флуктуаций температуры, скорости и директора ниже порога возникновения термоконвекции и аналитические выражения для корреляционных функций флуктуаций параметра порядка ниже и выше порога термоконвекции.

Практическая ценность состоит в следующем

1. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для дальнейшего развития теории, описывающей сценарии перехода от упорядоченных структур к хаосу в анизотропной жидкости.

2. Результаты аналитических расчетов могут быть использованы для анализа результатов экспериментальных работ, относящихся к изучению диссипативных структур в НЖК.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Установленные аналитические выражения для трех типов мод, одна из которых является мягкой модой и при приближении градиента температуры к критическому значению снизу остается незатухающей и вызывает конвективное течение нематической жидкости.

2. Результаты анализа устойчивости решения уравненения для параметра порядка в виде плоской волны выше порога термоконвекции.

3. Установленные зависимости спектральных плотностей флуктуа-ций гидродинамических переменных ниже порога термоконвекции от разности температур на границах.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и приложения, изложена на 101 странице, содержит 4 иллюстрации и список литературы из 94 наименования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертации проведен анализ поведения НЖК в поле градиента температуры ниже и выше порога термоконвекции. По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1. Найдены аналитические выражения для существующих ниже порога флуктуационных мод, одна из которых является мягкой модой и при приближении величины приложенной разности температур на границах к критическому значению снизу переходит в незатухающую и вызвает появление конвективного движения нематической жидкости, в то время как другие остаются диффузионными.

2. Получено уравнение для параметра порядка, коэффициенты которого впервые выписаны в аналитическом виде. Используя соответствующий этому уравнению функционал Ландау, найдена область существования решения в виде плоской волны выше порога термоконвекции, а также впервые получены аналитические выражения для корреляционных функций флуктуаций амплитуды ги.

3. Впервые получены аналитические выражения для спектральных плотностей флуктуаций температуры, скорости и директора ниже порога возникновения термоконвекции.

В заключение автор выражает благодарность научным руководителям за руководство работой, Крехову А.П. без чьего участия эта работа не смогла бы выйти в свет, а также всем сотрудникам лаборатории физики твердого тела Института физики молекул и кристаллов УНЦ РАН за помощь и содействие в выполнении диссертационной работы и обсуждение материалов.

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. - М.: Наука, 1972. 352с.

2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 512с.

3. Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. М.: Наука, 1985. 327с.

4. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 361с.

5. Берже П. Конвекция Рэлея-Бенара в жидкостях с высоким числом Прандтля. В сб.: Синергетика. М.: Мир, 1984. С.220-233.

6. Фове С., Либхабер А. Эксперимент Рэлея-Бенара в ртути жидкости с низким числом Прандтля. В сб.: Синергетика - М.: Мир, 1984. С.234-247.

7. Де Жен П. Физика жидких кристаллов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 384с.

8. Пикин С.А. Структурные превращения в жидких кристаллах. -М.: Наука, 1981. 336с.

9. Guyon Е., Pieranski Р., Salan J. Overstability and inverted bifurcation in homeotropic nematic heated from below //J. Fluid Mech. 1979. V.93. N1. P.65.

10. Newell A.C., Whitehead J.A. Finite bandwith, finite amplitude convection //J. Fluid Mech. 1969. V.36. P.309; V.38. P.279.

11. Graham R. Hydrodynamic fluctuations near the convection instability // Phys. Rev. Ser. A. 1974. V.10. N5. P.1762.

12. Shu Ch.-Q., Lin L. Pattern formation in thermal convective nematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1987. V.146. P.97.

13. Веревочников A.В., Мигранов H.Г., Чувыров A.H. Функциональный подход к проблеме Бенара-Рэлея для нематического жидкого кристалла // Письма в ЖТФ. 1998. Т.24. Вып.12. С.6-12.

14. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В. Функциональный подход к проблеме шевронов в нематических жидких кристаллах // УФЖ. 1998. Т.43. N3. С.313-317.

15. Мигранов Н.Г., Веревочников А.В., Чувыров А.Н. Флуктуации директора, скорости, температуры вблизи порога термоконвекции нематического жидкого кристалла // УФЖ. 1998. Т.43. N6. С.687-691.

16. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. Hydrodynamics fluctuations of the main variables in nematic LCs subjected to the temperature gradient // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1998. V. 319. P.31.

17. Веревочников A.В., Мигранов H.Г., Чувыров А.Н. Диссипативные структуры в НЖК в поле градиента температур // Кристаллография. 1999. Т.44. Вып. 2. С.329-332.

18. Веревочников А.В., Мигранов Н.Г. Итерационный подход в конструировании обобщенного потенциала для нематического жидкого кристалла вблизи первой точки бифуркации // Вестник СамГУ. 1997. N3(6). С.115-119.

19. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Построение функционала для нематического жидкого кристалла в поле градиента тамператур // Вестник Башкирского университета. 1997. N2(1, II). С.23-27.

20. Веревочников A.B. Гидродинамические флуктуации в нематичес-ких жидких кристаллах вблизи критических точек // Вестник Башкирского университета. 1997. N2(1, II). С.28-30.

21. Migranov N.G., Verevochnikov A.V. and Chuvyrov A.N. The functional construction for liquid crystals in the thermal field gradient presence // Abs. of ECLC. Zakopane, Poland. 1997. P.377.

22. Chuvyrov A.N., Migranov N.G., Verevochnikov A.V. The nematic's director fluctuations in a finite thickness slab in the external electric field // Abs. of 16th ILCC. Kent, Ohio, USA. 1996. P.241.

23. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г., Чувыров А.Н. О нелинейном поведении жидкого кристалла в присутствии флуктуаций гидродинамических переменных // Сб. статей и тезисов науч. конф. по научно-техническим программам Минобразования России. Уфа. 1997. С.8-11.

24. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Решение линейной задачи движения нематика в тепловом поле // Сб. статей и тезисов науч. конф. по научно-техническим программам Минобразования России. Уфа. 1997. С.16-19.

25. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Докритическое поведение ориентированного нематика в поле градиента температур // Деп. в ВИНИТИ. Москва. N1773-B97, 29.05.97, 8с.

26. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Описание критического поведения планарного слоя нематика при помощи функции Ляпунова // Деп. в ВИНИТИ. Москва. N1772-B97, 29.05.97, 8с.

27. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. Корреляционные функции основных гидродинамических переменных в жидких кристаллах в задаче Рэлея-Бенара // Деп. в ВИНИТИ. Москва. N3565-B97, 08.12.97, 8с.

28. Веревочников A.B., Мигранов Н.Г. К вопросу образования шевронов в поле градиента температур в планарном нематике // Деп. в ВИНИТИ. Москва. N3566-B97, 08.12.97, 11с.

29. Блинов Л.М. Электро- и магнитооптика жидких кристаллов. М.: Наука, 1978. 384с.

30. Капустин А.П., Капустина O.A. Акустика жидких кристаллов. -М.: Наука, 1986. 247с.

31. Кац Е.И., Лебедев В.В. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988. 141с.

32. Stephen M.J., Straley J.P. Physics of liquid crystals // Rew. of Modern Phys. 1974. V.46. N4. P.617.

33. Сонин A.C. Лекции по жидким кристаллам. ч.1. М.: МГУ, 1979. 122с.

34. Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 638с.

35. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. Пер. с англ. Под ред. Х.Суинни, Дж. Голлаба. -М.: Мир, 1984. 344с.

36. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304с.

37. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций: Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 289с.

38. Busse F.H. Non-linear properties of thermal convection // Rep. Prog. Phys. 1978. V.41. N12. P.1929.

39. Dubois-Violette E. Hydrodynamic instabilities of a nematic liquid srystal under a thermal gradient // C.R. Hebd. Sean. Acad. Sci.B (France). 1971. V.273. N.21. P.923.

40. Dubois-Violette E., Guyon E., Pieranski P. Heat convection in a nematic liquid crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1974. V.26. N1/4. P.193.

41. Pieranski P., Dubois-Violette E., Guyon E. Heat convection in liquid crystals heated from above // Phys. Rev. Lett. 1973. V.30. P.736.

42. Salan J., Guyon E. Homeotropic nematics heated from above under magnetic fields: convective thresholds and geometry //J. Fluid. Mech. 1983. V.126. P.13.

43. Lekkerkerker H.N.W. Oscillatory convective instabilities in nematic liquid crystals // J. de Phys. Lett. 1977. V.38. N7. P.277.

44. Lekkerkerker H.N.W. Thermodynamic analysis of the oscillatory convective instability in homeotropic nematics heated from below // J. Phys. Colloq. France. 1979. V.40. C.3.

45. Guyon E., Pieranski P., Salan J. Overstability and inverted bifurcation in homeotropic nematic heated from below //J. Fluid Mech. 1979. V.93. N1. P.65.

46. Фел JT.Г., Ласене Г.Э. Термоконвективный эффект в нематическом жидком кристалле //ЖЭТФ. 1984. Т.86. B.l. С.157.

47. Жолондек X. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости // Матем. сб. 1983. Т.120. В.4. С.473.

48. Nehring J., Saupe A. On the elastic theory of unixial liquid crystals // J. Chem. Phys. 1971. V.54. N1. P.337.

49. Каменский В.Г., Рожков С.С. Роль высших инвариантов в нелинейной динамике нематиков // ЖЭТФ. 1985. Т.89. В.1(7). С.106.

50. Каменский В.Г. Нелинейная динамика директора нематиков в магнитном поле // ЖЭТФ. 1984. Т.87. В.4(10). С.1262.

51. Moritz Е., Franklin W. Nonlinearities in the nematic strees tensor // Phys. Rev. A. 1976. V.14. N6. P.2334.

52. Martin P.S., Parodi O., Pershan P.S. Unified hydrodynamic theory for crystals, liquid crystals and normal fluids // Phys. Rev. A. 1972. V.6. N6. P.2401.

53. Pleiner H., Brand H. Nonlinear dissipative effects in the hydrodynamic of liquid crystals // Phys. Rev. A. 1982. V.25. N2. P.955.

54. Акопьян P.С., Зельдович Б.Я. Термомеханические эффекты в деформированных нематиках // ЖЭТФ. 1984. Т.87. В.5(11). С.1660.

55. Brand H., Pleiner H. Nonlinear effects in electrohydrodynamics of uniaxial nematic liquid crystals // Phys. Rev. A. 1987. V.35. N7. P.3122.

56. Dzyaloschininskii I.E., Volovic G.E. Poisson brackets in condenced matter physics // Ann. of Phys. 1980. Y.125. N1. P.67.

57. Воловик Г.Е., Кац Е.И. О нелинейной гидродинамике жидких кристаллов // ЖЭТФ. 1981. Т.81. B.l(7). С.240.

58. Joets A., Ribotta R. Hydrodynamic transition to chaos in the convection of a anisotropic fluid //J. Phys. (France). 1986. V.47. N4. P.595.

59. Plaut E., Ribotta R. Cascade of structures in the thermoconvection of a nematic in the director-dominated regime // Europhys. Lett. 1997. V.38. N6. P.441.

60. Горьков JI.П. Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи // ЖЭТФ. 1957. Т.33. В.2(8). С.402.

61. Malkus W.V.R., Veronis G. Finite amplitude cellular convection //J. Fluid Mech. 1958. V.4. P.225.

62. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535с.

63. Normand Ch., Pomeau Y., Velarde M.G. Convective instability: A physicist's approach // Rev. Mod. Phys. 1977. V.49. N3. P.581.

64. Schlüter A., Lortz D., Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection //J. Fluid Mech. 1965. V.23. N1. P.129.

65. Dubois-Violette E., Rothen F. Non-linearities close to the thermal threshold in a planar nematic liquid crystal // J. Phys. (France). 1979. V.40. N10. P.1013.

66. Dubois-Violette E., Gabay M. The thermal oscillatory instability in a homeotropic nematic: an inverse bifurcation // J. Phys. (France). 1982. V.43. N9. P.1305.

67. Berge L.I., Ahlers G., Cannell D.S. Thermal convection in a planar nematic liquid crystal with a stabilizing magnetic field // Phys. Rev. E. 1993. V.48. N5. P.3236.

68. Kramer L. and Pesch W. Convection instabilities in nematic liquid crystals // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1995. V.27. P.515.

69. Feng Q., Pesch W., Kramer L. Theory of Rayleigh-Benard convection in planar nematic liquid crystals // Phys. Rev. A. 1992. V.45. N10. P. 7242.

70. Feng Q., Decker W., Pesch W., Kramer L. On the theory of Rayleigh-Benard convection in homeotropic nematic liquid crystals //J. Phys. II (France). 1992. V.2. N6. P.1303.

71. Barrat P.J. and Manley J.M. A linear analysis of instabilities occuring in plane shear flow of nematic liquid crystals when a vertical temperature gradient is present //J. Non-Equilib. Thermodyn. 1983. V.8. N.2. P.143.

72. Barratt P.J. and Sloan D.M. A numerical investigation into thermal instabilities in homeotropic nematics heated from below // J. Fluid Mech. 1981. V.102. P.389.

73. Wu M., Ahlers G., Cannel D.S. Thermally Induced Fluctuations below the Onset of Rayleigh-Benard Convection // Phys. Rev. Lett. 1995. V.75. N9. P.1743.

74. Rehberg I., Rasenat S., M. de la Torre Juarez, Schopf W., Horner F., Ahlers G. and Brand H.R. Thermally induced hydrodynamic fluctuation below the onset of electro convection / / Phys. Rev. Lett. 1991. V.67. P.596.

75. Rehberg I., Horner F., Chiran L., Richter H. and Winkler B.L. Measuring the intensity of director fluctuation below the onset of electro convection // Phys. Rev. A. 1991. V.44. P.7885.

76. Treiber M., Kramer L. Sochastic envelope equations for nonequilib-rium transitions and application to thermal fluctuations in electroconvection in nematic liquid crystals // Phys. Rev E. 1994. V.49. N4. P.3184.

77. Group d'Etudes des cristaux liquides (Orsay) Dynamics of fluctuations in nematic liquid crystals //J. Chem. Phys. 1969. V.51. N2. P.816.

78. Ericksen J.L. Anisotropic Fluids // Archs. ration. Mech. Analysis. 1960. V.4 P.231.

79. Ericksen J.L. Inequalities in liquid crystal theory // Physics Fluids. 1966. V.9. P.1205.

80. Leslie F.M. Some constitutive equations for anisotropic fluids // Quart. Journ. Mech. appl. Math. 1966. V.19. P.357.

81. Leslie F.M. Some constitutive equations for liquid crystals // Archs. ration. Mech. Analysis. 1968. V.28. P.265.