Обобщенный термодинамический потенциал в задаче Рэлея-Бенара для изотропных и анизотропных жидкостей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛОГИНОВА МАРИАННА ЕВГЕНЬЕВНА

ОБОБЩЕННЫЙ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЗАДАЧЕ РЭЛЕЯ-БЕНАРА ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ

ЖИДКОСТЕЙ

01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск - 2007

003071204

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета им М Акмуллы

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Мигранов Наиль Галиханович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Вахитов Роберт Минисламович

доктор физико-математических наук, профессор Юльметьев Ренат Музипович

Ведущая организация Институт механики УНЦ РАН

Защита состоится «25» мая 2007 г в У/ часов на заседании Диссертационного совета Д 212 296 03 в Челябинском государственном университете по адресу 454021, г Челябинск, ул Бр Кашириных, 129, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Челябинского государственного университета

Автореферат разослан «25» апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета, „-/Г""

доктор физико-математических наук, 1' / '' Е А Беленков

у

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Ужо не одно десятилетие ведутся довольно интенсивные исследования открытых систем и методы теоретической физики здесь особенно успешны Известно, что законы, которые управляют сложными физическими системами, обладают определенной универсальностью и их исследование в простых системах позволяет достаточно глубоко проникнуть в их механизмы и адаптировать выводы к сложным явлениям физики конденсированных сред

Исследование гидродинамических флуктуаций как в изотропных так и в анизотропных жидкостях дает представление о механизмах, ответственных за поведение рассматриваемых физических систем вблизи точек бифуркаций, где начинают возникать диссипативные структуры и ярко проявляются нелинейные свойства систем

Объектом исследования в данной работе являются жидкость и жидкие кристаллы Их свойства вблизи критических точек существенно претерпевают изменения и кооперативные явления начинают доминировать Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны давно (например, неустойчивость Рэлея-Бенара в простой жидкости) Возникают согласованные взаимосвязанные макрообразования, которые развиваются по своим определенным законам Усиливается роль флуктуаций, которые существенным образом начинают влиять на пороги устойчивости систем Гидродинамические флуктуации обладают рядом свойств, позволяющих судить о динамике системы вблизи точек бифуркаций Важную характеристику о поведении системы можно получить, исследуя корреляционные функции чтих флуктуаций Особенностью данной работы является иссле-

дование задачи Рэлея-Бенара на языке функционала, представляющего аналог свободной энергии, но для открытой системы, находящейся вдали от термодинамического равновесия В работе развивается механизм функционального подхода, который позволил исследовать индетерминированную задачу с включенными в нее флуктуациями Для построения указанного функционала (функционала Ляпунова)- обобщенного термодинамического потенциала (ОТП) использовался метод возмущений При этом экстремумы полученного функционала Ляпунова позволяют выделить, возникающие диссипативные структуры выше порога

Предложенный метод оказался приемлемым в подобных исследованиях флуктуаций в изотропной жидкости и в жидких кристаллах Известно, что физика жидких кристаллов (ЖК) относится к области знаний, которая претерпев стремительное развитие на протяжении полувека, привела к широкому применению ЖК в различных электрооптических устройствах и высокотехнологичных продуктах, таких как жидкокристаллические дисплеи и плоские телевизионные экраны, нералрушающие методы контроля изделий и т д Следует заметить, что прогресс в науке о жидких кристаллах обусловлен достижениями в различных областях

Явления конвективной неустойчивости в гидродинамике описываются общими законами синергетики, так как здесь существуют нелинейные зависимости и при некоторых значениях определенных параметров из хаотического движения жидкости возникают пространственно- временные периодические структуры (самоорганизация), которые образуются в результате нестационарных конвективных течений Эта тема очень актуальна, так как до сих пор нет четкого объяснения явлений, связанных с гидродинамической неустойчивостью

Интерес к теории конвективной устойчивости обусловлен ее многочис-

ленными техническими приложениями С различными аспектами проблемы приходится встречаться, например, при исследовании условий возникновения конвекции, устойчивости неизотермических потоков в промышленных и лабораторных установках, применяемых в современной технике Открытые физические системы, которые при изменении внешнего параметра достигают точки бифуркации и развиваются по какому-то одному из сценариев из их множества, безусловно, требовали для своего адекватного описания новых подходов Метод, основанный на функционале, аналоге свободной энергии для систем вдали от термодинамического равновесия, оказался вполне продуктивным и позволил проследить за ходом развития возникающих структур

Подобный подход, опирающийся на идею обобщенного термодинамического потенциала, позволил получить дальнейшие оценки гидродинамических флуктуаций для горизонтального слоя жидкости, со свободными границами вбтизи критической точки (точки Бенара)

Идея функционального подхода была успешно адаптирована для жидких кристаллов Следует отметить, что в отличии от обычной жидкости, система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая поведение нематических жидких кристаллов в тепловом поле, уже намного сложнее и, тому же, необходим учет анизотропии системы А если учесть, что с математической точки зрения задача для ориентированного нематика является несамосопряженной, то становится очевидно, что необходим иной принципиальный подход, который позволил бы рассматриваемую проблему свести к более простой, но сохранивший основные черты физических процессов системы Наличие большого числа параметров(козффициента вязкости Лесли, коэффициентов деформации Франка), которые сами в свою очередь требовали своего точного определения, а также учета в рассмат-

риваемой физической системе гидродинамических флуктуаций, безусловно, также усложняли рассматриваемую проблему поведения нематического жидкого кристалла во внешнем тепловом поле

Жидкости являются хорошим модельным объектом, на котором можно достаточно хорошо исследовать механизмы физических процессов в критических точках в поле градиента температуры, ввиду простоты системы и хорошей визуализации,

Целью работы является теоретическое исследование поведения простых жидкостей и нематических жидких кристаллов в поле градиента температуры на языке функционального подхода, учитывающего параметр порядка системы и>, через который выражаются все гидродинамические переменные, рассматриваемых физических систем При построении обобщенного термодинамического потенциала учитываются гидродинамические флуктуации вблизи порогов термоконвективных неустойчивостей, а также развитие адекватного математического аппарата,при помощи которого удалось описать появление и развитие диссипативных структур Таким образом, в данной диссертационной работе были рассмотрены линейная и нелинейная задачи поведения изотропной и анизотропной жидкости во внешнем тепловом поле, описание флуктуаций основных гидродинамических переменных вблизи критических точек

Научная новизна и практичная ценность диссертации В работе получены следующие основные оригинальные научные направления

1 Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, используя теорию возмущений вблизи критической точки Рэлея- Бенара, получено стохастическое уравнение Ланжевена, путем введения соответствующих флукт>ационных членов в исходные гидродинамические уравнения

(1 + Рг)дтю =

ю + Ад^ги —

- -Рг>|2 2 Ис 2 1 1

-г4ю - Дд4 ю +и> +

7Г 7Г 37Г 4

±9^ + 1(^1) (1)

В уравнение (1) входит стохастический член §(1/>о, Проведена оценка случайной силы

2 Испочьзуя соответгтвующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных, построен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП) описывающий движение жидкости

Ф(М) = З-1 /// ^Хг-^АИ2 + \ Н4/2 + 4\дхы

7Г " 7Г

-В—- 2 + -

7Г 07Г"

+ (2)

где значение <5 дается выражением

<9 = (др£вТ2ро/^АТг12 + азТро/т^^ж2/2(1 + Рг),

и введены следующие обозначения 91 = -^-,1 = I 3, а г/ — коэффициент вязкости, ¿е - коэффициент теплопроводности, с„ - удельная теплоемкость на единицу массы, ¿0 - коэффициент объемного расширения, ро - плотность жидкости, соответственно

3 Для изотропной несжимаемой жидкости получены дисперсионные соотношения, с помощью которых были найдены моды, среди которых имеется "мягкая"мода, которая при приближении поля к критическому значению переходит в нулевую и срывает устойчивость системы, в то время как другая мода остается затухающей

+

4 Получено квазигауссово приближенно потенциала (2) для трех плоскостей XOY, XOZ, ZOY Используя соответствующие потенциалы, удалось рассчитать пространственные корреляционные функции основных гидродинамических переменных в режиме теплопроводности Оказалось, что корреляционные функции в плоскостях XOZ и ZOY не удается свести к инвариантной форме относительно вращения из-за наличия дополнительных членов, в отличие от корреляционной функции в плоскости XOY

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при исследовании сжимаемой жидкости в других полях (магнитных, сдвиговых, электрических)

На защиту выносятся следующие положения

• предлагается метод построения обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение несжимаемой жидкости со свободными граничными условиями, основанный на теории возмущений с использованием новых медленных переменных

• решение задачи о гидродинамических флуктуациях в несжимаемой изотропной и анизотропных жидкостях в окрестностях пороговых значений внешнего теплового поля

Апробация работы. Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на Республиканском конкурсе научных работ студентов ВУЗов (15-10 апреля, 2001 г Уфа), II и VII Всероссийской научно - теоретической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании "(г Бирск, 9-10 июня, 2001 г и 2006 г), XIII и XVII Международной летней школы - семинара по теоретической и математической физике ("Волга -2001 "Казань, 22-3 июля,"Волга - 2005"), II , IV и VI Региональной школы - конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике ( г Уфа - 2002 г, 2004 г, 2006 г), V Уральской региональной научно-практической конференции "Современные проблемы физики и физико-математического образования"( г Уфа 24-26 апреля 2006 г) Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 20 печат-

ных изданиях, список которых приведен в конце автореферота Из иих 2 статьи в центральной печати, 4 в сборниках трудов, 14 тезисов

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка источников и двух приложений Она содержит страниц печатного текста и списка цитируемой литературы из 137 названий

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается выбранной темы диссертационной работы, формулируется цель, основные задачи исследований, научная новизна и практичная значимость, кратко сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приводится краткое содержание четырех глав диссертации Первая ?лава носит методический характер и содержит краткое описание основных методов исследования так называемой проблемы Рэлея-Бенара, или, конвективной неустойчивости Она представляет собой обзор работ по поведению простой и анизотропной жидкостей в поле градиента температуры Данный обзор посвящен вопросам формирования пространственных структур при конвекции Ролея-Венара, проблеме отбора их форм и масштабов, смене режимов конвекции

Вторая рлава посвящена исследованию математической модели описывающей изотропную несжимаемую жидкость с учетом гидродинамических флуктуаций в поле градиента температур В данной главе рассматриваются линеаризованная и нелинейная задачи для слоя жидкости в тепловом поле Предполагается, что все переменные, описывающие поведение жидкости в поле градиента температур, зависят только от координата"! и .гз

Из линейной задачи была найдена "нулевая"мода, приводящая к нарастанию флуктуаций вблизи порога конвективной неустойчивости Показано, что возникают различные моды, одна из которых при приближении (снизу) к критическому значению температуры переходит в нулевую

При рассмотрении нелинейной задачи, учитывались нелинейные члены в уравнении движения жидкости в тепловом поле Вблизи конвективной неустойчивости задача упрощается появлением "медленной"моды, которая и определяет поведение системы Эту моду можно описать посредством медленно изменяющейся комплексной амплитуды«», чье абсолютное значение и фаза описывают интенсивность вращения и положение конвективных роллов

Используя метод теории возмущений, учитывающий разномасштабность изменений переменных по различным осям и времени, так называемый скейлинговый подход с введением "медленных"переменных

ж = ? у = г = 1 = Ь (3)

и заменой ии(х, у, ¿) —> бт((,, т?, г), с включением флуктуационных членов, было получено уравнение Ланжевена Здесь е = д - малый параметр

Исходя из стохастического уравнения Фоккера-Планка, соответствующего полученному уравнению, удалось восстановить функционал (ОТП), экстремумы которого описывают наиболее вероятные нелинейные диссипд-тивные структуры

Третья глава посвящена применению функционального подхода к проблеме Рэлея-Бенара для изотропной несжимаемой жидкости В этой главе производится анализ, полученного во второй главе обобщенного термодинамического функционала Рассмотрены динамические свойства системы и флуктуации параметра порядка для трехмерного случая в квазилинейном приближении, результаты которых воспроизводят в стационарном случае результаты для двумерного течения Показано появление больших и долго-

живущих флуктуации скорости температуры при критических значениях волнового вектора вблизи точки Бенара

В этой главе рассмотрены гидродинамические флуктуации в плоскостях ХОУ, ХО'/у и ZOY Но следует заметить, что распространение флуктуа-ций вдоль оси ОХ остается выделенным, так как направление критического волнового вектора кс, установившихся роллов совпадает с направлением ОХ Поскольку, не существует точных методов для решения этой задачи, мы использовали квазилинейное приближение, которое успешно применялось для одномерного случая Используя функционал, удалось рассчитать пространственные и временные корреляционные функции основных гидродинамических переменных в режиме теплопроводности

В четвертт" рлаве диссертационной работы рассматривается классическая постановка задачи Рэлея-Бенара, но для анизотропной жидкости, каким является нематический жидкий кристалл Рассматривается модель нематического жидкого кристалла планарной ориентации директора, нема-тик считается бесконечно протяженным в плоскости ХОУ Нематик считается несжимаемым

Задача для нематического жидкого кристалла также сводится к решению линейной и нелинейной задали

В гидродинамическом приближении получены корреляционные функции для флуктуационных членов, включенных в начальную систему уравнений нематодинамики в поле градиента температур

С помощью полученного обобщенного термодинамического потенциала дана дальнейшая оценка гидродинамических флуктуаций для неограниченного в плоскости планарного нематического слоя жидкого кристалла по обе стороны от точки конвективной неустойчивости Используя квазилинейное приближение в одномерном случае, были рассчитаны пространственные, а также временные корреляционные функции флуктуаций параметра порядка Была решена двумерная задача и найдены пространственные и временные корреляционные функции комплексной амплитуды, через которую выражаются все гидродинамические переменные рассмат-

риваемой проблемы, в предположении определенных соотношений между коэффициентами, входящими в ОТП

Выражение для обобщенного термодинамического потенциала, описывающего стационарные диссипативные структуры выше порога термоконвективной неустойчивости по виду совпадает с функционалом, выведенным методом теории возмущений для случая тепловой кнвекции для простой жидкости, что указывает на схожесть принципиального механизма, лежащего в основе поведения физической системы вдали от термодинамического равновесия При построении ОТП в поле градиента температур для планарного нематика методами теории возмущений важно было решить сопряженную, рассматриваемой проблеме, линеаризованную задачу с соответствующими сопряженными граничными условиями, поскольку мы имеем дело с несамосопряженной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

Основные результаты работы сводятся к следующему

1 Исходя из решения линеаризованных систем уравнений описывающих динамику жидкости и нематического жидкого кристалла в поле градиента температур найден спектр собственных частот для режима конвективных неустойчивостей, среди которых имеется "мягкая"мода, ответственная за появление термоконвективной неустойчивостей

2 Для жидкого кристалла в тепловом режиме найдены - спектральные плотности флуктуаций, температуры мезофазы, которые имеют характер лоренцевых кривых, вид которых зависит от значения перпендикулярной составляющей волнового вектора возмущений в нематике Для изотропной жидкости в гидродинамическом приближении получены временные, пространственные корреляционные функции флуктуаций амплитуды параметра порядка в окрестности критической точки

3 В гидродинамическом приближении получены корреляционные функции для флуктуационных членов, включенных в начальную систему уравнений простой и анизотропной жидкостей в поле градиента температур

4 Показано, что вблизи критической точки задача поведения нематичр-

ского кристалла во внешнем поле упрощается появлением медленной комплексной амплитуды, играющего роль параметра порядка и через которую выражаются все гидродинамические переменные Абсолютное значение указанного параметра характеризует интенсивность вращения роллов, а фаза указывает их местоположение в пространстве

5 Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, используя теорию возмущений вблизи критической точки Рзлея - Бенара, а также соответствующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных по ocиOZ получено стохастическое уравнение Ланжевена, при учете в исходной модели флуктуационных членов и новой медленной переменной

6 Получено квазига>ссово приближение потенциала дня изотропной жидкости в плоскостях ХОУ, ХОЕ, ZOY Используя соответствующие потенциалы удалось рассчитать пространственные корреляционные функции основных гидродинамических переменных в режиме теплопроводности В плоскости ХОУ удается свести корреляционную функцию к инвариантной относительно вращения форме.

Основные положения диссертационного исследования изложены в следующих публикациях

1 Логинова М Е , Мигранов Н Г Расчет гидродинамических флуктуаций в анизотропной среде в поле градиента температур // Сборник научных трудов вюрой всероссийской научно-теоретической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании" Бирск - 2001 с 77-78

2 Логинова М Е , Мигранов Н Г Расчет гидродинамических флуктуаций в анизотропной среде в поле градиента температур //Тезисы докладов XIII международной летней школы - семинара по теоретической и математической физике "Волга - 2001" Казань - 2001 г с 96-97

3 Логинова М Е Функциональный подход к проблеме поведения анизотропной жидкости в тепловых полях // Тезисы докладов II Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по ма-

тематике и физике Уфа - 2002 г С 75

4 Logmova М Е Behaviour of homeotropir slab of nematic in thermal field and correlation functions / Abstracts of Contributed Papers International Summer School-Seminar on Recent Problems in Theoretical and Mathematical Physics Kazan - 2004 с 126

5 Logmova M E , Migranov N G Thermal phenomena in anisotropic liquids near the bifurcation point, /Abstract in Proceedings International Joint ESEF-CECAM Workshop "POLIMAT - 2004",Polimorhism m Liquid and Amorphous matter Gienoble - 2004 P 40

6 Логинова M E Флуктуации директора в поле градиента температур в нематическом жидком кристалле /Тезисы докладов IV Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ Уфа -2004 с 93

7 Logmova М Е Migranov N G Thermal Phenomena in Anisotropic Liquids near the Bifurcation Point// 8-th European Conference on Liquid Crista!", Sesto , ITALY, 2005 p 70-71

8 Logmova M E Migranov N G Behaviour of Hometropic Slab of Nematic m Thermal Field and Correlation Functions // 8-th European Conference on Liquid Cnstal", Sesto , ITALY, 2005 - 2005 p 77-78

9 Логинова M E Флуктуации директора нематика в поле градиента температур/ / Тезисы докладов 14 Зимней школы по механике сплошных сред Пермь- 2005 с 195

10 Логинова М Е Поведение гомеотропного слоя нематика в тепловом поле/ Тезисы докладов XI Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ Санкт-Петербург - 2005 с 88

11 Логинова М Е Гидродинамические флуктуации в гомеотропных нема-тических жидких кристаллах при наличии тепловых полей // Ученые записки Сборник научных статей ФМФ БГПУ Уфа - 2005 с 115-119

12 Logmova М Е Migranov N G Thermal Phenomena in Anisotropic Liquids

near the Bifurcation Point, // Abstracts of Contributed Papers International Summer School - Seminar on Recent Problems m Theoretical and Mathematical Physics Kazan - 2005 С 45-46

13 N G Migranov and M E Logmova Correlation Functions of Hydrodynamic Fluctuations In Modeling Viscous Anisotropic Media // Nonlmeat Phenomena m Complex Systems - 2005 V8 №3, P 274-280

14 Логинова M E Использование интегрированных систем для расчета корреляционных функций в анизотропной жидкости нагреваемой сверху //Сборник тезисов Региональной научно-методической конференции "ЭВТ в обучении и моделировании", г Бирск, 2006 с 24-26

15 Логинова М Е Гидродинамические флуктуации в НЖК // Материалы V Уральской региональной научно-практической конференции "Современные проблемы физики и физико-математического образования" Уфа - 2006 с 18-22

16 Логинова М.Е Обратные задачи в теории Релея-Бенара в жидких кристаллах // Сборник тезисов Всероссийской научно-практической конфе-ренциии "Обратные задачи в приложениях" - Бирск - 2006 с 26-27

17 Логинова М Е Анализ гидродинамических флуктуаций для различных жидкостей в тепловых полях // Сборник тезисов 15-ой Всероссийской школы-конференциы молодых ученых и студентов, посвященная 80-летию чл -корр АН СССР А А Поздеева, "Математическое моделирование в естественных науках" Пермь 4-7 октября 2006 г с 55-56

18 Логинова М Е Анализ тепловых явлений в жидкостях вблизи первой точки бифуркации // Сборник тезисов VI Региональной школы - конференции для студентов аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии Уфа - 2006 с 159-160

19 Логинова М Е Исследование тепловых явлений в различных жидкостях вблизи точки бифуркации// Ученые записки Сборник научных статей ФМФ БГ1ГУ Уфа - 2007, С 74-78

20 Логинова М Е , Мигранов Н Г К вопросу о гидродинамических флук-туациях в жидкости вблизи первой точки бифуркации//' Вестник БГУ -Уфа - 200* №2 с 08-73

Логинова Марнакиа Евгеньевна

ОБОБЩЕННЫЙ Т ЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЗАДАЧЕ РЭЛЕЯ-БЕНАРА ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ ЖИДКОСТЕЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 24 04 2007 Формат 60x84 1/16 Бумаг а ксероксная Печать ризографическая. Тираж 100 экз Заказ 106 Гарнитура «Times New Roman» Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии «ПЕЧАТНЫЙ ДОМЪ» ИПВЕРКО Объем 1,0 пл Уфа, Карла Маркса12/4, т/ф 2727-600, 2729-123

I ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ПОВЕДЕНИЮ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЕ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ.

II ИЗОТРОПНАЯ ЖИДКОСТЬ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА. АНАЛИЗ ИНДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

11.1 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ.

11.1.1 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ

11.1.2 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ.

11.2 ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ПОВЕДЕНИЕ ЖИДКОСТИ ВДАЛИ ОТ ТЕРМО- , ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ./

II.2.1 УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ АМПЛИТУДЫ .'осу И.2.2 УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА.

Выводы.

Ш ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ РЭЛЕЯ-БЕНАРА ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 65 III. 1 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ .ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

111.2 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В РЕЖИМАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

111.3 ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА

111.4 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ. РЕЖИМЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

III.4.1 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ В ПЛОСКОСТЯХ XOZ И ZOY.

Выводы.

IV АНИЗОТРОПНАЯ ЖИДКОСТЬ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ

IV. 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

IV.2 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В АНИЗОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ.ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

IV.3 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В РЕЖИМАХ ТЕПЛОПРВОДНО

СТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

IV.4 ВРЕМЕННЫЕ КОРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В

ПЛАНАРНЫХ НЕМАТИКАХ

IV.5 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПОРЯДКА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

Выводы.

Актуальность темы. Уже не одно десятилетие ведутся довольно интенсивные исследования открытых систем и методы теоретической физики здесь особенно успешны. Известно, что законы, которые управляют сложными физическими системами, обладают определенной универсальностью и их исследование в простых системах позволяет достаточно глубоко проникнуть в их механизмы и адаптировать выводы к сложным явлениям физики конденсированных сред.

Исследование гидродинамических флуктуации как в изотропных так и в анизотропных жидкостях дает представление о механизмах, ответственных за поведение рассматриваемых физических систем вблизи точек бифуркаций, где начинают возникать диссипативные структуры и ярко проявляются нелинейные свойства систем.

Объектом исследования в данной работе являются жидкость и жидкие кристаллы. Их свойства вблизи критических точек существенно претерпевают изменения и кооперативные явления начинают доминировать. Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны давно (например, неустойчивость Рэлея-Бенара в простой жидкости). Возникают согласованные взаимосвязанные макрообразования, которые развиваются по своим определенным законам. Усиливается роль флуктуаций, которые существенным образом начинают влиять на пороги устойчивости систем. Гидродинамические флуктуации обладают рядом свойств, позволяющих судить о динамике системы вблизи точек бифуркаций. Важную характеристику о поведении системы можно получить, исследуя корреляционные функции этих флуктуаций. Особенностью данной работы является исследование задачи Рэлея-Бенара на языке функционала, представляющего аналог свободной энергии, но для открытой системы, находящейся вдали от термодинамического равновесия. В работе развивается механизм функционального подхода, который позволил исследовать индетерминированную задачу с включенными в нее флуктуациями. Для построения указанного функционала (функционала Ляпунова)- обобщенного термодинамического потенциала (ОТП) использовался метод возмущений. При этом экстремумы полученного функционала Ляпунова позволяют выделить, возникающие диссипативные структуры выше порога.

Предложенный метод оказался приемлемым в подобных исследованиях флуктуаций в изотропной жидкости и в жидких кристаллах. Известно, что физика жидких кристаллов (ЖК) относится к области знаний, которая претерпев стремительное развитие на протяжении полувека, привела к широкому применению ЖК в различных электрооптических устройствах и высокотехнологичных продуктах, таких как жидкокристаллические дисплеи и плоские телевизионные экраны, неразрушающие методы контроля изделий и т.д. Следует заметить, что прогресс в науке о жидких кристаллах обусловлен достижениями в различных областях.

Явления конвективной неустойчивости в гидродинамике описываются общими законами синергетики, так как здесь существуют нелинейные зависимости и при некоторых значениях определенных параметров из хаотического движения жидкости возникают пространственно- временные периодические структуры (самоорганизация), которые образуются в результате нестационарных конвективных течений. Эта тема очень актуальна, так как до сих пор нет четкого объяснения явлений, связанных с гидродинамической неустойчивостью.

Открытые физические системы, которые при изменении внешнего параметра достигают точки бифуркации и развиваются по какому-то одному из сценариев из их множества, безусловно, требовали для своего адекватного описания новых подходов. Метод, основанный на функционале, аналоге свободной энергии для систем вдали от термодинамического равновесия, оказался вполне продуктивным и позволил проследить за ходом развития возникающих структур.

Подобный подход, опирающийся на идею обобщенного термодинамического потенциала, позволил получить дальнейшие оценки гидродинамических флуктуаций для горизонтального слоя жидкости, со свободными границами вблизи критической точки (точки Бенара).

Идея функционального подхода была успешно адаптирована для жидких кристаллов. Следует отметить, что в отличии от обычной жидкости, система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая поведение нематических жидких кристаллов в тепловом поле, уже намного сложнее и, тому же, необходим учет анизотропии системы. А если учесть, что с математической точки зрения задача для ориентированного нематика является несамосопряженной, то становится очевидно, что необходим иной принципиальный подход, который позволил бы рассматриваемую проблему свести к более простой, но сохранивший основные черты физических процессов системы. Наличие большого числа параметров(коэффициента вязкости Лесли, коэффициентов деформации Франка), которые сами в свою очередь требовали своего точного определения, а также учета в рассматриваемой физической системе гидродинамических флуктуаций, безусловно, также усложняли рассматриваемую проблему поведения нематического жидкого кристалла во внешнем тепловом поле.

Жидкости являются хорошим модельным объектом, на котором можно достаточно хорошо исследовать механизмы физических процессов в критических точках в поле градиента температуры, ввиду простоты системы и хорошей визуализации.

Целью работы является теоретическое исследование поведения простых жидкостей и нематических жидких кристаллов в поле градиента температуры на языке функционального подхода, учитывающего параметр порядка системы w, через который выражаются все гидродинамические переменные рассматриваемых физических систем. При построении обобщенного термодинамического потенциала учитывались гидродинамические флуктуации вблизи порогов термоконвективных неустойчивостей, а также развитие адекватного математического аппарата,при помощи которого удалось описать появление и развитие диссипативных структур.

Таким образом, в данной диссертационной работе были рассмотрены линейная и нелинейная задачи поведения изотропной и анизотропной жидкости во внешнем тепловом поле; описание флуктуаций основных гидродинамических переменных вблизи критических точек.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, используя теорию возмущений вблизи критической точки Рэлея- Бенара, получено стохастическое уравнение Ланжевена, путем введения соответствующих флуктуационных членов в исходные гидродинамические уравнения.

В уравнение (1) входит стохастический член ^(фц, 1). Проведена оценка случайной силы.

2. Используя соответствующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных, построен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП), описывающий движение жидкости.

1 + Pr)dTw = И2 w + 4djw — и + w + о7г s w + ^,1). (1)

Ф(М) = g1 ///d3x[-^2v\w\2 + i \w\4/2 + 4\dxw\2 +

-iA~{dxwdyW* - dxw*d2yw)/2 - ^\d2w\2 + +i—{dxwd2zw* - dxw*d2zw)/2 +to*

7г

8\/2

7г где значение Q дается выражением циент вязкости, аэ - коэффициент теплопроводности, cv - удельная теплоемкость на единицу массы, (5 - коэффициент объемного расширения и ро - плотность жидкости, соответственно.

3. Для изотропной несжимаемой жидкости получены дисперсионные соотношения, с помощью которых были найдены моды, среди которых имеется 11 мягкая"мода, и она при приближении поля к критическому значению переходит в нулевую и срывает устойчивость системы, в то время как другие мода остается затухающей.

4. Получено квазигауссово приближение потенциала (11.70) для трех плоскостей XOY, XOZ, ZOY. Используя соответствующие потенциалы, удалось рассчитать пространственные корреляционные функции основных гидродинамических переменных в режиме теплопроводности. Оказалось, что корреляционные функции в плоскостях XOZ и ZOY не удается свести к инвариантной относительно вращения форме из-за наличия дополнительных членов, в отличие от корреляционной функции в плоскости XOY

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что результаты использованы при дальнейшем развитии исследований нелинейных диссипативных структур, возникающих в ЖК во внешних тепловых полях, а также теоретические результаты могут быть адаптированы к исследованию сжимаемой жидкости и в других внешних полях (магнитных, сдвиговых, электрических).

На защиту выносятся следующие положения о предлагается метод построения обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение несжимаемой жидкости со свободными граничными условиями, основанный на теории возмущений с использованием новых медленных переменных. о решение задачи о гидродинамических флуктуациях в несжимаемой изотропной и анизотропных жидкостях в окрестностях пороговых значений внешнего теплового поля.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка источников и приложений. Она содержит 141 страниц печатного текста и списка цитируемой литературы из 137 названий.